6
29
|57r|[ms E]
Liber Thebit filii Chore de figura sectore
30
[1]|1|[ed. Carmody] Quod de figura quae nominatur sector dixisti et quod de ea quaesivisti et
31
de ipsius esse, intellexi. Nullam autem geometricarum scio figurarum cum qua
32
in stellarum operetur scientia, in qua maior hominum sit labor quam in figura
33
hac, neque quae ipsa sit famosior. |2|[ed. Carmody] Causa vero studir eorum in ipsa est
7
1
illud, |3|[ed. Carmody] quod scimus de multitudine utilitatis eius et vehementi necessitate
2
ipsius in scientia sperae, |4|[ed. Carmody] et quod ipsa est radix super quam currit res in
3
pluribus operibus scientiae stellarum |5|[ed. Carmody] Et quamvis praeter Ptholomeum ad
4
hanc alius antecessit figuram et in ea locutus fuit, non tamen plenarie
5
de ea executus est, neque eius complevit demonstrationem aliquis, de quo audi-
6
vissemus adhuc. Ipse vero non attulit nisi duas tantum intentiones,
7
quae in ipsa reperiuntur de comnpositione proportionis. |6|[ed. Carmody] Quae sunt: Quoniam
8
quando secuerint se inter duos arcus ab bg duo arcus ad ge super punctum u
9
et fuerint arcus isti circulorum magnorum arcus qui cadunt in spera, et
10
fuerit unusquisque illorum arcuum minor semicirculo, erit proportio cordae
11
dupli arcus ae ad cordam dupli arcus eb composita ex proportione cordae dupli
12
arcus au ad cordam dupli arcus ud et ex proportione cordae dupli arcus dg ad
13
cordam dupli arcus gb. Et erit etiam proportio cordae dupli arcus ab ad cordam
14
dupli arcus be composita ex proportione cordae dupli arcus ad ad cordam
15
dupli arcus du et ex proportione cordae dupli arcus ug ad cordam dupli
16
arcus ge.
17
[2]|9|[ed. Carmody] Sunt autem hic intentiones aliae oportunae et necessariae in compositione
18
proportionum cordarum duplorum arcuum qui sunt in hac figura secundum multos
19
alios modos praeter has duas intentiones. |10|[ed. Carmody]Non est enim horum arcuum
20
aliquis cuius dupli cordae proportio ad cordam dupli comparis sui non com-
21
ponatur ex duabus proportionibus, id est ex proportionibus cordarum duplorum
22
arcuum reliquorum exceptis paucis eorum et si ab eis elongentur. Proportio
23
namque cordae dupli arcus ae ad cordam dupli arcus dg, nedum aliorum, est
24
composita ex proportionibus cordarum duplorum arcuum reliquorum; |11|[ed. Carmody]et unaquaeque
25
harum proportionum quae secundum aliquem modum componitur, ipsamet com-
26
ponitur secundum modos alios. Quod autem intendimus |57v|[ms E] est distinctio
27
illius et ostensio per modos communes illi et reliquis eorum quae sunt similes
28
ex re compositionis proportionis et conveniunt ad exponendum in hac scientia.
29
|12|[ed. Carmody]Distinctio autem harum rerum et earum allatio [vel comprehensio] non
30
fuit Ptholomeo necessaria neque alicui surgenti secundum eius sen-
8
1
tentiam [i. e. volenti tueri eius sententiam], quoniam non promisit illud
2
exponere, vero id quod est necessarium in demonstratione duarum intentionum
3
quarum intendit explanationem, et est necessarium illi qui secundum eius vult
4
sententiam surgere.
5
Ipse enim non attulit nisi unam de divisionibus demonstrationis harum
6
duarum intentionum, reliquas vero divisiones ipsius dimisit, confidens quod qui
7
legeret illud et intelligeret, posset sequi ipsius exemplum in reliquis divisionibus
8
et inveniret eius demonstrationem. Et res quidem istae expositoribus libri
9
huius ipsius necessariae fuerunt; ego vero iam exposui illud colloquendo
10
ad eum qui a me quaesivit eius expositionem, sed non affirmavi neque eius
11
divisiones in libro ostendi. Verum tamen quidam nostrorum sociorum, propterea
12
quod scivit illud et intellexit, affirmavit sibi et comprehendit omnia huius
13
figurae accidentia |66v|[ms P] quae contingunt in ea, et divisiones eius per quas
14
dividitur secundum duos modos, seilicet dissolutionis et compositionis, quos
15
Ptholomeus demonstrare [vel probare] voluit.
16
[3] Et scivit (id est discupulus), quod accidunt ei secundum modum
17
dissolutionis tres divisiones et secundum-modum compositionis viginti septem
18
divisiones, quarum delentur et evanescunt quattuordecim et verificantur reliquae.
19
Et neque completur demonstratio eius quod Ptholomeus probare voluit de hac
20
figura nisi comprehensione scientiae earum et affirmatione probationis
21
cuiusque divisionis earum. Iam autem feci te videre harum divisionum
22
esse, et scivisti eas et intellexisti; et feci te scire, quod hic sunt viae et
23
intentiones aliae communes, quae aggregant has divisiones, plures, sine quibus
24
non completur figurae probatio, et comprehendunt eas in paucis rebus; et ego
25
multociens eas ostendi. Sed tu dicebas ut ostenderem tibi opus per quod
26
ipse illud operatus est. Voluisti ergo scire, si fuerit unum illorum
27
operum per quae operatus sum an non, et si aestimo quod Ptholomeus ad
9
1
hoc illud opus intendit in
2
harum duarum intentionum quarum praecessit narratio huius figurae, an ad
3
illud. |18|[ed. Carmody] Sed opus quod est unum operum, per quae operatus sum, non aestimo
4
quod Ptholomeus ad hoc intenderit in eo |97v|[ms B] cuius |58r|[ms E] praemisit
5
narrationem de demonstratione figurae. At ad viam primam ex qua divi-
6
duntur in duobus modis dissolationis |105v|[ms A] et compositionis triginta divi-
7
siones, de quibus perveniunt (?) sedecim divisiones verae. |19|[ed. Carmody] Quod est,
8
quoniam haec via quae aggregat has divisiones in re parva, et est secundum
9
quod narro:
10
[4]|20|[ed. Carmody] Cum secuerint se inter duos arcus ab bg duo arcus ad ge supra punctum
11
u, fuerintque hii arcus ex arcubus circulorum maiorum, qui cadunt in spera,
12
et fuerit unusquisque arcus eorum minor semicirculo: tunc erit proportio
13
cordae dupli arcus ae ad cordam dupli arcus eb composita ex proportione
14
cordae dupli arcus au ad cordam dupli arcus, ud et ex proportione cordae
15
dupli arcus dg ad cordam dupli arcus gb. |21|[ed. Carmody]Quod sic probatur: Ponam enim
16
centrum sperae punctum z, et producam lineas zg, zu, ze, et producam
17
duas lineas ab ad, quae secent duas lineas ze, zu super duo puncta h t,
18
|22|[ed. Carmody]et producam lineam ht et lineam bd. Linea igitur bd aut concurret lineae
19
zg cum protrahetur secundum rectitudinem a parte dg aut a parte altera et
20
diversa, aut erunt aequidistantes. Quod si concurrerint a parte dg, osten-
21
detur cum probatione quam narravit Ptholemeus, quod proportio cordae dupli
22
arcus ae ad cordam dupli arcus eb componitur ex proportione cordae dupli
23
arcus au ad cordam dupli arcus du et ex proportione cordae dupli arcus dg
24
ad cordam dupli arcus gb. |23|[ed. Carmody]Quod si concurrerint zg db a parte diversa huic
25
parti, producemus duos arcus gb ge, donec concurrant supra punctum k. Erunt
26
ergo gbk gek duo semicirculi, quoniam hii arcus sunt circulorum maiorum spaerae.
27
Et duae lineae gzk db, cum protrahentur in parte bk, concurrent; et iam seca-
28
bunt se inter duos arcus ad dk duo arcus ab ku supra punctum e. Erit ergo
29
res in eo iam reversa ad probationem quam narravit Ptholomeus, et fiet
10
1
proportio cordae dupli arcus au ad cordam dupli arcus ud composita ex pro-
2
portione cordae dupli arcus |67r|[ms P] ae ad cordam dupli arcus eb et ex pro-
3
portione cordae dupli arcus bk .ad cordam dupli arcus kd. (Fig. 4.)
4
Omnium autem sex quantitatum quarum primae proportio ad secundum
5
componitur ex proportione tertiae ad quartam et ex proportione quintae ad
6
sextam, erit proportio tertiae ad quartam |58v|[ms E] composita ex proportione
7
primae ad secundam et ex proportione sextae ad quintam, quemadmodum
8
ostendam in sequentibus. Ergo proportio cordae dupli arcus ae ad cordam dupli
9
arcus eb componitur ex proportione cordae dupli arcus au ad cordam dupli
10
arcus ud et ex proportione cordae dupli arcus kd ad cordam dupli arcus kb. Corda
11
autem dupli arcus kd est corda dupli arcus gd, et corda dupli arcus kb est corda
12
dupli arcus gb; ergo proportio cordae dupli arcus ae ad cordam dupli arcus eb
13
componitur ex proportione cordae dupli arcus au ad cordam dupli arcus ud et
14
ex proportione cordae dupli arcus gd ad cordam dupli arcus gb. Et illud est
15
quod demonstrare voluimus.
16
|67v?|[ms P] Quod si fuerit linea bd aequidistans lineae zg, tunc linea ht
17
erit aequidistans lineae bd, quoniam si non fuerit aequidistans ei, tunc zg
18
non aequidistabit bd, sed zg fuit aequidistans bd. Et si esset linea ht non
19
aequidistans duabus lineis bd zg, concurreret eis, et esset cum eis in super-
20
ficie una. Res autem non est sic, duae igitur lineae ht bd aequidistant, et
21
propter illud erit proportio ah ad hb sicut proportio at ad td; proportio autem
22
ah ad hb est sicut proportio cordae dupli arcus ae ad cordam dupli arcus eb,
23
et proportio at ad td est sicut proportio cordae dupli arcus au ad cordam dupli
24
arcus ud; corda autem dupli arcus gd est aequalis cordae dupli arcus bg,
25
linea enim bd aequidistat lineae gz; ergo proportio cordae dupli arcus ae ad
26
cordam dupli arcus eb componitur ex proportione cordae dupli arcus au ad cor-
27
dam dupli arcus ud et ex proportione cordae dupli arcus gd ad cordam dupli
28
arcus bg.
29
[5] Et postquam iam ostensum est illud, tunc declarabitur ex eo quod
30
diximus secundum modum compositionis, quod erit proportio cordae dupli arcus
31
ab ad cordam dupli arcus eb composita ex proportione cordae dupli arcus ad ad
32
cordam dupli arcus du et ex proportione cordae dupli arcus ug |106r|[ms A] ad
33
cordam dupli arcus ge; quod sic probatur: Producam enim duos arcus ab ad,
34
donec concurrant supra punctum z; erunt itaque abz adz duo |59r|[ms E]
35
semicirculi; et tunc iam secabunt se inter duos arcus ze eg duo arcus zu gb
36
supra punctum d; ergo proportio cordae dupli arcus zb ad cordam dupli arcus
11
1
be componitur ex proportione cordae dupli arcus zd ad cordam dupli arcus du
2
et ex proportione cordae dupli arcus ug ad cordam dupli arcus ge, propter illud
3
quod iam declaratum est ex parte dissolutionis. Corda vero dupli arcus zb est
4
corda dupli arcus ab, et corda dupli arcus zd est corda dupli arcus ad; ergo
5
proportio cordae dupli arcus ab ad cordam dupli arcus be componitur ex pro-
6
portione cordae dupli arcus ad ad cordam dupli arcus du et ex proportione
7
cordae dupli arcus ug ad cordam dupli arcus ge; et illud est quod voluimus
8
declarare.
9
[6] Haec ergo via iam aggregavit illas divisiones plures in re parva;
10
et excusavit ab uno quattuor antecedentium quae ad hanc figuram prae-
11
misit Ptholomeus, quamvis esset necessarium huic operi, ut ante ipsum
12
demonstraretur probatio quam attulit Ptholomeus de probationibus divisionum
13
huius figurae et quod praemisit ante ipsam ex antecedentibus. Ego
14
tamen non aestimo quod Ptholomeus intenderit ad illud in eo quod dimisit
15
de probatione, sed ad viam primam multarum divisionum; secundum illud
16
autem quod ego dixi de illo sunt duo testimonia; quorum unum est, quoniam
17
dixit, postquam expedivit (?) se ab eo quod dixit de parte dissolutionis de eo
18
quod declarabitur secundum illud exemplum quo declaratur in descrip-
19
tione linearum rectarum, quae sunt in superficie: modus compositionis
20
figurae elcata. Testimonium vero ad aliud est, quoniam si voluisset
21
nisi declarationem eius per hanc viam quae aggregat divisiones, non esset ei
22
necessarium praemittere antecedens, in quo demonstravit qualiter sunt pro-
23
portiones secundum modum compositiones in lineis quae secant se in super-
24
ficie; non enim nullo modo operatus est per illud in aliqua parte sui
25
libri omnino, nisi procedat in probatione elcata via |98r|[ms B] prima quam
26
diximus; tunc enim est illud ei necessarium in ea; haec igitur altera via
27
quam diximus. Et si iam aggreget illas divisiones plures et comprehendat
28
eas in quattuor divisionibus tantum, non tamen conceditur nobis absolute cum
29
intendimus exponere duas intentiones viri sermonis, ut dimittamus pro-
30
bationem quam intendit in eo quod dimisit et afferamus aliam.
12
1
Quod si absolute concedatur nobis, ut afferamus probationem ad id quod
2
Ptholomeus voluit probare de hac figura unamcunque voluerimus, nos
3
iam affer|59v|[ms E]emus ei probationem propinquiorem et leviorem probationibus
4
Ptholomei non pervenientem ad probationem quam ei fecit, neque ad
5
aliquod quattuor antecedentium, quae praemisit propter ipsam, et quae
6
(i. e. probatio) communicabit omnes divisiones eius in capitulo uno secun-
7
dum modum compositionis, et capitulo secundum modum dissolutionis tantum.
8
Et est haec quam narrabo. |39|[ed. Carmody] Praemittam prius hoc antecedens:
9
[7] Si ex uno omnium duorum circulorum de circulis maioribus qui cadunt in su-
10
perficie spaerae separentur duo arcus minores duobns[*]duobns corrupt for duobus semicirculis ab eo quod
11
sequitur unum duorum punctorum sectionis eorum, et protrahantur a duabus
12
extremitatibus duorum arcuum duae perpendiculares supra superficiem circuli
13
alterius, erit proportio cordae dupli unius duorum arcuum ad cordam dupli arcus
14
alterius sicut proportio perpendicularis protractae ab extremitate arcus
15
unius ad perpendicularem productam ab extremitate arcus alterius, sive sint
16
ambo arcus in parte una, sive duabus diversis. |40|[ed. Carmody] Verbi gratia: (Fig. 7.)
17
Sint duo circuli abgd aegu de circulis maioribus, qui cadunt in spaerae
18
superficie et iam secuerunt se supra duo puneta a et g; et separentur ex
19
circulo agu, qui est unus eorum, duo arcus quorum unusquisque sit minor
20
semicirculo, sintque ae az, et producantur a duobus punctis e et z duae per-
21
pendiculares supra superficiam circuli abgd, dico ergo quod proportio cordae
22
dupli arcus ae |68r|[ms P] ad cordam dupli arcus az est sicut proportio per-
23
pendicularis, quae protrahitur a puncto e ad perpendicularem quae protrahitur
24
a puncto |41|[ed. Carmody] quod sic probatur: differentia enim communis duorum circulorum
25
abgd aegu est diametrus eorum, sit ergo diametrus ag; producam autem
26
a duobus |106v|[ms A] punctis e et z duas perpendiculares supra ag, sintque eh
27
zt; si ergo fuerint duae perpendiculares etiam supra superficiem circuli abgd,
28
tunc iam declaratum est, quod voluimus, quoniam ipsae sunt duo sinus duorum
13
1
arcuum ae az. Quod si non fuerint ita, protraham a duobus punctis e z
2
duas perpendiculares supra superficiem ciruli abgd, sintque ek zl, sunt ergo
3
aequidistantes; et protraham duas lineas lt kh, sed duae lineae eh zt sunt
4
etiam aequidistantes; quando vero duae lineae continentes angulum aequidistant
5
duabus aliis lineis continentibus alium angulum, sunt duo anguli aequales, angulus
6
igitur hek aequatur angulo tzl; et duo anguli ekh zlt sunt recti; ergo duo
7
tri|60r|[ms E]anguli ehk ztl sunt similes. Ergo proportio eh ad zt est sicut
8
proportio ek ad zl, proportio autem eh ad zt est sicut proportio cordae dupli
9
arcus ae ad cordam dupli areus az, quoniam ipse sunt sinus eorum; ergo
10
proportio cordae dupli arcus ae ad cordam dupli arcus az est sicut proportio
11
perpendicularis ek ad perpendicularem zl. Et similiter etiam declarabitur ex eo
12
quod diximus, si unus duorum arcuum ae az fuerit a parte au. Et illud est
13
quod voluimus demonstrare.
14
[8] Et postquam praemisimus hoc antecedens, tunc secent se inter
15
duos arcus ab bg duo arcus ad ge supra punctum u. Et sint hii arcus
16
ex circulis maioribus qui cadunt in spaera, sitque unusquisque arcus eorum
17
minor semicirculo, dico igitur, quod proportio cordae dupli arcus ab ad
18
cordam dupli arcus be componitur ex proportione cordae dupli arcus ad ad
19
cordam dupli arcus du et ex proportione cordae dupli arcus ug ad cordam
20
dupli arcus ge; quod sic probatur: Producam enim a punctis a e u perpendicu-
21
lares supra superficiem circuli arcus bg, sintque perpendiculares ax eh ut; ponam
22
autem perpendicularem ut, quae est una earum, mediam in proportione inter
23
duas perpendiculares az eh; erit ergo proportio az ad eh composita ex propor-
24
tione az ad ut et ex proportione ut ad eh; proportio vero perpendicularis
25
az ad perpendicularem eh, iam ostendimus per antecedens quod praemisimus,
26
quod est sicut proportio cordae dupli arcus ab ad cordam dupli arcus be; et
27
proportio perpendicularis az ad perpendicularem ut, ostendimus per ipsum, quod
28
est sicut proportio cordae dupli arcus ad ad cordam dupli arcus du; et proportio
29
perpendicularis ut ad perpendicularem eh, ostendimus per ipsum etiam, quod
30
|68v|[ms P] est sicut proportio cordae dupli arcus gu ad cordam dupli arcus ge.
31
Ergo proportio cordae dupli, arcus ab ad cordam dupli arcus be componitur ex
32
proportione cordae dupli arcus ad ad cordam dupli arcus ud et ex proportione
33
cordae dupli arcus gu ad cordam dupli arcus ge. Et dico etiam, quod erit secun-
34
dum modum dissolutionis proportio cordae dupli arcus ae ad cordam dupli arcus
35
eb composita ex proportione cordae dupli arcus au ad cordam dupli arcus ud
14
1
et ex proportione cordae dupli arcus gd ad cordam dupli arcus gb. Via autem
2
in probatione illius est similis viae in eo quod ostendimus ante ipsum |60v|[ms E],
3
et illud est, quia, si nos produxerimus a punctis a b d ad superficiem circuli
4
arcus gue perpendiculares tres quae sint az bh dt et posuerimus perpendi-
5
cularem dt ex eis mediam in proportione inter duas alias perpendiculares, erit pro-
6
portio perpendicularis az ad perpendicularem bh composita ex proportione per-
7
pendicnlaris ax ad perpendicularem dt et ex proportione perpendicularis dt ad
8
perpendicularem bh. Proportio autem perpendicularis az ex eis ad perpendicu-
9
larem bh est sicut proportio cordae dupli |98v|[ms B] arcus ae ad cordam dupli
10
arcus eb, et proportio perpendicularis az ad perpendicularem dt est sicut pro-
11
portio cordae dupli arcus au ad cordam dupli arcus ud, et proportio perpen-
12
dicularis dt ad perpendicularem bh est sicut proportio cordae dupli arcus gd ad
13
cordam dupli arcus gb. Hoc autem totum est, propter illud quod iam ostensum
14
est in antecedente quod praemisimus. Ergo proportio cordae dupli arcus ae
15
ad cordam dupli arcus eb componitur ex proportione cordae dupli arcus au ad
16
cordam dupli arcus ud et ex proportione cordae dupli arcus gd ad cordam dupli
17
arcus gb. Et illud est cuius voluimus declarationem. (Fig. 8 u. 9.)
18
[9]|107r|[ms A] Iam ergo praecessit probatio duarum intentionum quas
19
Ptholomeus probare voluit de re alcata. Reperiuntur vero modi alii de com-
20
positione proportionum in elcata, quos non narravit Ptholomeus et quibus
21
non indiguit in complemento probationis eius quod praemisit de his duabus
22
intentionibus, sicut indiguit divisionibus quarum praemisit narrationem. Verum
23
quia sunt unius generis cum illis et sunt necessarii in rebus aliis, visum est
24
mihi ut afferrem ad illud radices communicantes et aggregantes permutationes
25
omnes per quas praeparatur permutatio proportionis in omnibus sex quan-
26
titatibus, quarum duarum proportio est composita ex duabus proportionibus
27
quattuor reliquarum, donec, cum invenerit aliquis sex quantitates secundum hunc
28
modum compositionis proportionis, possit permutare eas, et generet ex eis
29
omnem rem cuius generatio possibilis est, sive sit res quae reperitur in arcubus
30
super spaeram, sicut in alcata aut in lineis rectis in superficie, sive |69r|[ms P] secun-
31
dum modum dissolutionis sit illud, sive secundum modum compositionis, aut
32
quocumque modo sit. Quod autem generatur ex omnibus sex quantitatibus
33
secundum hunc modum decem et septem modi sunt de compositione proportionis,
34
qui cum radice ex qua generantur erunt decem et octo modi.
15
1
Sit itaque primus ex decem et octo ut proportio primae sex quantita-
2
tum ad secundam earum componatur ex proportione tertiae ad quartam et ex
3
proportione quintae ad sextam. Erit itaque modus secundus generatus ex eo,
4
ut proportio primae ad secundam sit composita ex proportione tertiae ad sextam
5
et ex proportione quintae ad quartam. Verbi gratia: Sint sex quantitates super
6
quas sint a b g d eu, et proportio primae quae est a ad secundam quae est b
7
componatur ex proportione tertiae quae est g ad quartam quae est d et ex pro-
8
portione quintae quae est e ad sextam quae est u, dico ergo, quod proportio
9
primae quae est a ad secundam quae est b, componitur etiam ex proportione
10
tertiae quae est g ad sextam quae est u et ex proportione quintae quae est e
11
ad quartam quae est d; quod sic probatur:
12
Ponam enim de medias duas inter g u; erit ergo proportio g ad u compo-
13
sita ex proportione g ad d et ex proportione d ad e et ex proportione e ad u.
14
Proportio ergo composita ex proportione g ad u et ex proportione e ad d est
15
sicut proportio composita ex proportione g ad d et ex proportione d ad e
16
et ex proportione e ad u et ex proportione e ad d; sed proportio composita ex
17
proportione g ad d et ex proportione d ad e et ex proportione e ad d est sicut
18
proportio g ad d; ergo proportio composita ex proportione g ad u et ex pro-
19
portione e ad d est sicut proportio composita ex proportione g ad d et ex
20
proportione e ad u; proportio vero a ad b iam fuit composita ex proportione
21
g ad d et ex proportione e ad u; ergo proportio a ad b componitur ex pro-
22
portione g ad u et ex proportione e ad d.
23
Modus autem tertius est, ut proportio primae quae est a ad tertiam quae
24
est g componatur ex proportione secundae quae est b ad qartam quae est d
25
et ex proportione quintae quae est e ad sextam quae est u; quod sic probatur: Ponam
26
enim b mediam inter a et g; erit ergo proportio a ad g composita ex propor-
27
tione a ad b et ex proportione b ad g; proportio autem a ad b componitur ex
28
proportione g ad d et ex proportione e ad u; ergo proportio a ad g componitur
29
ex proportione b ad g et ex duabus proportionibus g ad d et e ad u; proportio
30
autem b ad d est composita ex proportione b ad g et ex proportione g ad d,
16
1
ergo proportio a ad g componitur ex proportione b ad d et ex proportione
2
e ad u.
3
Modus autem quartus est, ut proportio primae quae est a ad tertiam quae
4
est g componatur etiam ex proportione secundae quae est b ad sextam quae est
5
u et ex proportione quintae quae est e ad quartam quae est d; quod sic pro-
6
batur: Nos enim iam ostendimus in modo tertio, quod proportio a ad g com-
7
ponitur |69v|[ms P] ex proportione b ad d et ex proportione e ad u; fiat itaque
8
prima a et secunda g et tertia b et quarta d et quinta e et sexta u; iam vero
9
ostendimus in modo secundo, quod quando illud fuerit ita, tunc proportio a ad g
10
erit composita ex proportione b ad u et ex proportione e ad d.
11
Modus autem quintus est, ut sit proportio primae quae est a ad quin-
12
tam quae est e composita ex proportione secundae quae est b ad sextam
13
quae est u et ex proportione tertiae quae est g ad quartam quae est d, quod
14
sic probatur: Quia proportio a ad b est etiam composita ex proportione e ad u
15
et ex proportione g ad d, fiat tunc prima a et secunda b et tertia e et quarta
16
u et quinta g et sexta d; iam autem ostendimus in modo tertio, quod si
17
illud fuerit ita, tunc proportio a ad e erit composita ex proportione b ad u
18
et ex proportione g ad d.
19
Modus vero sextus est, ut proportio primae quae est a |107v|[ms A] ad
20
quintam quae est e composita sit ex proportione secundae quae est b
21
ad quartam quae est d et ex proportione tertiae quae est g ad sextam
22
quae est u.
17
1
Ponam autem modum septimum et octavum duos modos qui necessarii erunt
2
in probatione eorum quae sunt post eos. In septimo vero erit proportio tertiae
3
quae est g ad quartam quae est d composita ex propor-
4
tione primae quae est a ad secundam quae est b et ex
5
proportione sextae quae est u ad quintam quae est e;
6
quod sic probatur: Ponam enim proportionem d ad z
7
sicut proportionem e ad u; proportio igitur a ad b com-
8
ponitur ex proportione g ad d et ex proportione d ad z;
9
proportio autem g ad z est etiam composita ex pro-
10
portione g ad d |99r|[ms B] et ex proportione d ad z; ergo
11
proportio a ad b est sicut proportio g ad z; proportio
12
autem g ad d est composita ex proportione g ad z et ex
13
proportione z ad d; proportio autem g ad z iam ostendimus,
14
quod est sicut proportio a ad b, et proportio z ad d iam fuit sicut proportio
15
u ad e, ergo proportio g ad d componitur ex proportione a ad b et ex pro-
16
portione u ad e.
17
Modus autem octavus est, ut proportio quintae quae est e ad sextam quae
18
est u, componatur ex proportione primae quae est a ad secundam quae est b et
19
ex proportione quartae quae est d ad tertiam quae est g; quod sic probatur:
20
Quoniam proportio a ad b est etiam composita ex proportione e ad u et
21
ex proportione g ad d, tunc fiat prima a et secunda b et tertia e et quarta u
22
et quinta g et sexta d; iam vero ostendimus in modo septimo, quod si illud
23
fuerit ita, tunc proportio e ad u componitur ex proportione a ad b et ex pro-
24
portione d ad g.
25
Revertamur igitur nunc ad ordinem quem sequimur. Ponam itaque modum
26
nonum, ut sit proportio secundae quae est b ad quartam quae est d composita
27
ex proportione primae quae est a ad tertiam quae est g et ex proportione sexto
28
quae est u ad quintam quae est e.
29
|70r|[ms P] Modus autem decimus est, ut sit proportio secundae quae est b
30
ad quartam quae est d composita etiam ex proportione primae quae est a ad
31
quintam quae est e et ex proportione sextae quae est u ad tertiam quae est g.
32
Modus vero undecimus est ut sit proportio secundae quae est b ad sextam
33
quae est u composita ex proportione primae quae est a ad tertiam quae est g
34
et ex proportione quartae quae est d ad quintam quae est e.
35
Modus autem duodecimus est ut sit proportio secundae quae est b ad
36
sextam quae est u composita etiam ex proportione primae quae est a ad quintam
37
quae est e et ex proportione quartae quae est d ad tertiam quae est g.
38
|108r|[ms A] Modus autem tredecimus est ut sit proportio tertiae quae est g
39
ad quartam quae est d composita ex proportione primae quae est a ad quintam
40
quae est e et ex proportione sextae quae est u ad secundam quae est b.
18
1
Modus autem quartus decimus est, ut sit proportio tertiae quae est g
2
ad sextam quae est u composita ex proportione primae quae est a ad secundam
3
quae est b et ex proportione quartae quae est d ad quintam quae est e.
4
|70v|[ms P] Modus vero quintus decimus est ut sit proportio tertiae quae
5
est g ad sextam quae est u composita ex proportione primae quae est a ad
6
quintam quae est e et ex proportione quartae quae est d ad secundam quae est b.
7
Modus autem sextus decimus est, ut sit proportio quartae quae est d
8
ad quintam quae est e composita ex proportione secundae quae est b ad primam
9
quae est a et ex proportione tertiae quae est g ad sextam quae est u.
10
Modus autem septimus decimus est ut sit proportio quartae quae est d
11
ad quintam quae est e composita etiam ex proportione secundae quae est b ad
12
sextam quae est u et ex proportione tertiae quae est g ad primam quae est a.
13
|81|[ed. Carmody] Modus vero octavus decimus est ut sit proportio quintae quae est e
14
ad sextam quae est u composita ex proportione primae quae est a ad tertiam
15
quae est g et ex proportione quartae quae est d ad secundam quae est b.
16
Isti ergo sunt decem et octo modi. |83|[ed. Carmody] Et manifestum est quod licet nobis
17
in unoquoque modo convertere in proportionibus, et ponemus consequens in
18
omni proportione antecedens et antecedens |99v|[ms B] consequens, |84|[ed. Carmody] et pervenient
19
inde decem et octo modi secundum conversionem illius, quisque modus eorum
20
conversus sui oppositi. |84|[ed. Carmody] Et erit compositio proportionum in eis secundum con-
21
versionem; et non invenitur in his sex quantitatibus modus praeter illos quos
22
nominavimus, in quo sit proportio duarum quantitatum ex eis composita ex duabus
23
proportionibus, i. e. ex proportionibus quattuor reliquarum.
24
[10]|85|[ed. Carmody] Iam autem edidi ad inveniendum illud tabulas, |71r|[ms P] ut sit inventio
25
eius quod voluerit inquisitor de eis facilior. Et posui proportionem eius quod
26
est in linea prima earum in longitudine producta ad illud, quod est ante ipsum
27
in linea secunda, compositam ex proportione eius quod est ante ipsum in linea
28
tertia, ad id quod est ante ipsum in linea quarta, et ex proportione eius quod
29
est ante ipsum in linea quinta, ad id quod est ante ipsum in linea sexta. Pro-
30
portiones autem eius, quod est in linea secunda, ad id quod est in linea prima,
31
componuntur ex proportione reliquarum conversa. Cum autem fuerint quanti-
32
tates duae, ante quas fuerit sifre, non oportebit ut sit proportio unius eorum
33
ad alteram composita ex duabus proportionibus, scil. ex proportionibus reliquarum.
34
|108v|[ms A] Quod vero est ante eas in linea septima, est numerus modorum secun-
35
dum quod ordinavi de eis sermonem antecedentem, donec, cum voluerit inquisitor
36
reditionem in probatione alicuius eorum, inveniat ipsam leviter.
37
[11] Iam ergo declaravimus rem decem et octo modorum et conversionem eorum.
38
Quod autem non sit hic modus alius praeter illos, in quo oportet ut sit
39
proportio duarum sex quantitatum, quarum narratio praecessit, composita ex
40
duabus proportionibus scil. ex proportionibus quattuor reliquarum, demonstratur ex
19
1
eo quod narro: Et est quod, quando comparaverimus unamquamque sex quanti:
2
tatum cum unaquaque reliquarum quantitatum earum, et proportionaverimus ipsam ei
3
et comprehenderimus illud totum, erit suma (sic) illius quindecim (?) combinationes. Et
4
nos iam declaravimus ex quibus duabus proportionibus componantur novem earum,
5
neque remanent post illud (sic) nisi sex combinationes, quae sunt prima cum
6
quarta, et prima cum sexta, et secunda cum tertia, et secunda cum quinta, et
7
tertia cum quinta, et quarta cum sexta; harum autem combinationum nulla est,
8
cuius proportio necessarie sit composita ex duabus proportionibus, scil. quattuor
9
quantitatum quae remanserunt. Et illud est, quia nos ponemus lineas a b g d e u
10
secundum modum primum, dico igitur primum, quod proportio primae quae est a
11
ad quartam quae est d, non est necesse, ut sit composita ex duabus proportionibus,
12
quae sunt inter quantitates b, g, e, u quattuor, quocunque modo sumantur
13
duae proportiones ex proportionibus earum aut conversim; quod sic probatur:
14
Ponam enim lineam z aut minorem aut maiorem linea a; et ponam superficiem
15
orthogoniam aequalem ei quod est ex a in d, cuius unius lateris proportio ad
16
aliud sit sicut proportio z ad d, sintque latera eius h t; et sit proportio h, quod
17
est unum eorum, ad t sicut proportio z ad d. Sed illud quod est ex h in t est
18
aequale ei quod est ex a in d, ergo proportio h ad a est sicut proportio d ad t,
19
proportio vero a ad b componitur ex proportione g ad d et ex proportione e
20
ad u, ergo proportio composita ex proportione h ad a et ex proportione a ad b,
21
quae est sicut proportio h ad b, est aequalis proportioni composita ex proportione
22
d ad t et ex proportione g ad d et ex proportione e ad u; qua propter erit
23
proportio h ad b aequalis proportioni compositae ex proportione g ad t et
24
ex proportione e ad u. Harum igitur sex quantitatum quattuor, quae sunt b g e u
25
sunt quattuor sex |71v|[ms P] primarum (?) et neque est in eis diversitas nisi in
26
prima et quarta earum tantum; quod si esset modus unus necessarius in se (!),
27
ut proportio primae ad quartam omnium sex quantitatum esset composita ex
28
duabus proportionibus eisdem quattuor reliquarum, quaecunque duae proportiones
29
essent, et essent quattuor reliquae hic (?) sex quantitatum primarum existentes
30
quattuor reliquae sex quantitatum postremarum, |109r|[ms A] esset proportio primae
31
sex primarum quae est a ad quartam earum quae est d, sicut proportio primae
32
sex postremarum quae est h ad quartam earum quae est t; sed proportio h ad t
33
iam fuit sicut proportio z ad d, ergo proportio a ad d est sicut proportio z ad d,
34
ergo erit xz aequalis a; iam vero fuit una earum longior altera, hoc quidem est
35
contrarium, non est ergo hic modus unus in prima et quarta, per quem (?)
36
oporteat, ut sit proportio eius ad ipsam composita ex duabus proportionibus
37
eisdem inter quattuor reliquas. Et dico etiam quod non sunt hic modi diversi
20
1
per quos fiat proportio primae ad quartam, quandoque (?) et in quibusdam
2
quantitatibus composita ex duabus proportionibus inter reliquas quattuor, et in
3
quibusdam earum ex duabus proportionibus aliis earum. Manifestum namque
4
est, quod aggregatio omnium duarum proportionum acceptarum inter quattuor
5
quantitates habet numerum aliquem diffinitum comprehensum, et ipse numerus
6
est duodecim; de lineis vero licet nobis ponere quantas voluerimus, quarum
7
numeratio sit maior hac numeratione, et sint omnes diversarum quantitatum,
8
quem ad modum posuimus lineam z; et ostendam in eis omnibus sicut ostendi
9
nunc, quod proportio cuiusque earum ad d erit composita ex duabus propor-
10
tionibus quattuor, quae sunt g d e u, si esset res secundum quod diximus. Et
11
quia iam invenimus lineas relatas 3 (tres aut z) plures numeri numero
21
1
modorum quos aggregari ostendimus ex omnibus duabus proportionibus quattuor,
2
tunc necessarium est quod sit proportio quarumdam linearum quas invenimus
3
quae sunt de relatis lineae z ad lineam d, sicut proportio lineae alterius ex
4
eis ad lineam d, quoniam ipsa componitur ex duabus proportionibus eisdem
5
statis (?), scil. ex proportionibus quattuor quantitatum. Erunt igitur duae lineae
6
ex eis aequales aut plures duabus lineis; nos vero iam posuimus eas diversas,
7
hoc quidem contrarium est, non oportet igitur, nt sit proportio a ad d composita
8
ex duabus proportionibus inter quattuor reliquas neque ex duabus proportioni-
9
bus eisdem, neque quandoque (?) ex aliquibus duabus proportionibus et quan-
10
doque (?) ex duabus proportionibus aliis earum; neque proportio d ad a etiam,
11
si enim esset necessarium, eius conversio esset necessaria; iam igitur ostendimus
12
id quod voluimus in hoc combinatione.
13
Iam vero possibile nobis est, ut declaramus rem combinationum
14
aliarum quinque reliquarum, et quod non est necessaria in eis compositio pro-
15
portionum secundum quod diximus per id quod simile est isti; et ideo etiam
16
quia ostensum est illud in prima et quarta quae sunt a d, quoniam, si esset
17
necessarium |100r|[ms B] in a d, ut componeretur ex duabus proportionibus quae
18
sunt inter quattuor reliquas, foret necessarium illud in a u; licet enim nobis
19
ut ponamus a primam et b secundam et e tertiam et u quartam et g quintam
20
et d sextam; erunt ergo tunc a d loco primae et sextae, nos vero iam osten-
21
dimus, quod illud non est necessarium in a d, ergo non est necessarium in a u.
22
Et per similitudinem illius declaratur res secundae et tertiae, quae b g; licet
23
enim nobis ponere b primam et a secundam et d tertiam et g quartam et u
24
quintam et e sextam; erunt ergo a et d in loco secundae et tertiae. Et similiter
25
etiam demonstratur res secundae et quintae, quae sunt b et e; licet enim
26
nobis ut |72r|[ms P] ponamus b primam et a secundam et u tertiam et e quartam
27
et d quintam et g sextam, et erunt a d loco secundae et quintae. Similiter
28
quoque ostenditur res tertiae et quintae quae sunt g e; licet enim nobis ponere
29
e primam et u secundam et a tertiam et b quartam et d quintam et g sextam,
30
et erunt a d in loco tertiae et quintae. Similiter quoque demonstratur res quartae
31
et sextae; licet enim nobis, ut ponamus u primam et e secundam et b tertiam,
32
et a quartam et g quintam et d sextam et erunt a d in loco quartae et sextae.
33
Hac ergo sunt sex combinationes in quibus non est necessaria res compositionis
34
proportionis sicut illa quae est necessaria in re novem reliquarum.
22
1
[12] Nos autem iam ostendimus quod necessarii sunt in unaquaque illarum duo
2
modi compositionis, dico igitur quod non est necessarius in aliqua earum modus
3
tertius. Et ponam exemplum in eo simile illi quod praecessit. Proportio igitur a ad b
4
componitur ex proportione g ad d et ex proportione e ad u; nos autem iam
5
ostendimus, quod oportet secundum illud, ut sit proportio a ad b composita etiam
6
ex proportione g ad u et ex proportione e ad d, dico igitur quod non est neces-
7
sarius in illo modus tertius. Et illud est, quoniam haec proportio aut
8
dicetur esse composita ex proportione quae est |109v|[ms A] inter g e et d u, aut ex
9
ea quae est inter g d et e u, aut ex ea quae est inter g u et d e. Quod si
10
fuerit necessarium ut sit composita ex proportione quae est inter g e et d u,
11
erit unaquaque duarum proportionum g e et d u etiam composita ex duabus pro-
12
portionibus inter quattuor reliquas; sed nos iam ostendimus, quod illud non est
13
necessarium. De ea vero quae est inter g d et e u, et de ea quae est inter
14
g e et d u (?), iam diximus quod componitur secundum duos modos in unaquaque
15
earum; dico igitur, quod non oportet ut componatur secundum modum alium
16
eorum qui sunt inter istas de proportionibus; et illud est quoniam iam possibile
17
est, ut sint quantitates duae a b non aequales, et similiter quantitates g d e u.
18
Sit ergo ita, et sit proportio a ad b prius composita ex duabus proportionibus quae
19
sunt inter g d et e u, non secundum modum quem diximus, si possibile est illud.
20
Si ergo composita fuerit ex proportione g ad d et ex proportione u ad e, cum iam
21
fuerit etiam composita ex proportione g ad d et ex proportione e ad u, tunc
22
proportio u ad e erit sicut proportio e ad u, duarum igitur linearum e u non
23
est una maior altera; nos autem iam posuimus eas diversas, hoc quidem
24
est contrarium: Quod si composita fuerit proportio a ad b ex proportione
25
d ad g et ex proportione e ad u, demonstrabitur secundum viam huic similem,
26
quod d g sunt aequales, sed non est ita. Si ergo composita fuerit proportio a
27
ad b ex proportione d ad g et ex proportione u ad e, et proportio b ad a est
28
|106|[ed. Carmody] etiam composita ex his duabus proportionibus, tunc a b erunt aequales; sed non
29
sunt ita; proportio igitur a ad b non componitur ex proportione, quae est inter
30
g d et e u, secundum aliquem modorum excepto eo quem praediximus. Similiter
31
quoque ostenditur, quod non est composita ex proportione quae est inter g u d e
32
nisi secundum modum unum cuius praemisimus narrationem; si enim contingeret
33
illud secundum modum alium, aequarentur aut duae quantitates g u, aut duae
34
quantitates d e, aut duae quantitates a b, sed illud non est ita. Non est igitur
35
hic modus tertius in compositione proportionis a ad b exceptis duabus modis
36
quos diximus.
37
|108|[ed. Carmody] Similiter quoque non erunt in aliqua combinationum reliquarum de novem
38
combinationibus nisi duo modi; erit igitur summa modorum |72v|[ms P] decem
23
1
et octo modi et eorum conversiones tantum, neque pauciores illis neque
2
plures. Proportio enim combinationum reliquarum iam sublata est, sicut osten-
3
dimus in his quae praecesserunt. Explicit liber de figura sectore thebit
4
ibencora (sic).