1
ALHAZEN FILII
2
ALHAYZEN DE CREPVSCVLIS
3
ET NVBIVM ASCENSIONIBVS LIBER VNVS.
4
Gerardo Cremonensi interprete.
5
NVMERI.
6
1. Crepusculum matutinum incipit, ac uespertinum desinit, sole ante ortum et post occasum
7
suum 19 partibus, in peripheria circuli per uerticem regionis solisque locum transeuntis, sub
8
horizontem demerso.
9
OStendere uolo in hoc tractatu quid sit crepusculum, et quae caussa necessario faciens
10
eius apparitionem: inde uero progrediar ad cognoscendum ultimum, quod eleuatur
11
a superficie terrae, de uaporibus subtilibus ascendentibus ex ea. Dico ergo, quod cre-
12
pusculum matutinum et crepusculum uespertinum sunt similis figurae: unum namque
13
eorum ex accessione luminis solis, et alterum ex ipsius recessione contingit. Vtrorumque
14
uero colores diuersi sunt, propter diuersitatem horizontum, in quibus sol est apparens. Quoniam
15
sol quando est in horizonte orientali, non multum eleuatus, est illic color eius alius a colore ipsius
16
in uisibus, quando est secundum aequalitatem illius altitudinis in horizonte occidentali. Et simili-
17
ter radij eius, qui uidentur in crepusculo, et quod uidetur in aethere de luminibus eius. Et ipse aether
18
coloratus est, sequens illud, secundum quod est sol in utrisque partibus eius. Nam qui ex illo est in
19
oriente color, est albedo et claritas: et qui est in occidente, ad rubedinem aliquantulum uergit. Quae
20
res uero sit illud illuminans, et qualiter sit apparens illic, et quae caussa necessario faciat ipsum, ad il-
21
lud praemittemus propositiones, exponentes illud, cuius uolumus declarationem. Ex illo quidem
22
est, quod sphaera orbis [e terra et aqua constantis] tota semper est splendida et luminosa ex lumi-
23
nari maiori (quod est sol) nisi quantum obtegunt tenebrae contingentes ex terra, in figura pyrami-
24
dis, quae est nox. Et ego non significo in hoc libro per illud, quod accidit de huiusmodi receptione
25
luminis ex sphaeris stellarum, nisi quod cum sphaera, propter claritatem aeris et subtilitatem aethe-
26
ris, et tenuitatem eius non suspenditur aliquid de lumine solis, sicut uidemus ipsum suspendi cum
27
corporibus altis (quę sunt stellae) quia illuminantur et deferunt nobis illud, quod recipiunt ex lu-
28
mine, et consequuntur ipsum uisus nostri in eis: et quamuis dissentiant in stellis, in lumine tamen
29
non dissentiunt. Visus autem nostri non consequuntur, quod in eis est de luminibus: nisi quod ipsae
30
procul dubio sunt spissioris et uehementioris corporeitatis, quam aether, in quo sunt. Et hoc patet
31
per significationes, quod quaedam earum tegunt nobis quasdam, quia eclipsant eas: aer uero non
32
tegit nobis aliquid ex eis, quae sunt post iplum. Et propterea uidemus, quod tota nox est secundum
33
habitudinem unam, in qua non illuminatur nobis ex aethere aliquid: quamuis sciamus secundum
34
scientiam nostram, quod quamplurimum eius aetheris est luminosum, non tectum a sole. Et uide-
35
mus quod illud, quod ex eo soli apparet, et nihil aliud tegit, est in uisione, sicut illud, quod terra te-
36
git, quod pyramis tenebrarum continet. Et non facit necessario aequalitatem utriusque apud uisus
37
nostros, nisi illud, quod diximus de subtilitate aeris, et quod non perducit illuminationem eius, et
38
perducit nobis tenebrositatem ipsius. Tunc autem non cessat habitudo umbrae apparere nobis se-
39
cundum similitudinem ipsius, quousque incipiat ab oriente splendor diluculi et lumen sparsum, cu-
40
ius principium est in primis cum superficie horizontis: et illius principij non est nobis caussa, nisi
41
sol: cum sit caussa illuminationum. Et non est nobis principium illud sol ipse, nec radius eius tantum,
42
quoniam iam praemisimus, quod radij eius pertranseunt usque ad aetherem totum, quem uidemus,
43
aut ad plurimum eius: et non est diuersa eius habitudo in illa hora ab alia habitudine ante illud. Ve-
44
runtamen radij eius suspenduntur tunc cum aliquo corpore spissiore aere: ducit ergo nobis cum
45
sua spissitudine radium, quem induit. Et dico, quod illud, quo suspensus est radius in illa hora, non
46
est terra, neque extremitates plagarum eius distinctae a nobis: quoniam cum uidens est super aequa-
47
litatem terrae, non peruenit eius uisus, nisi quasi ad 23 milliaria [Italica] ab omni parte. Et si acci-
48
dit ei, ut sit super altiorem montium, qui esse potest (et ille non pertransit octo milliaria, secundum
49
quod dixerunt sapientes, intendentes hoc) uisus non pertransit tunc, nisi 250 milliaria fere. Et hoc
50
manifestum est ex eo, quod noctem facit forma terrae: sed altitudo loci uisus a superficie eius, hoc est
51
spatium, quod diximus, abscondit orbem in quarta horae. Oportet ergo, ut oriatur sol paululum post
52
crepusculum matutinum per quartam horae ad minus: illud ergo, quod est inter apparitionem cre-
53
pusculi et apparitionem solis, est plus hora multo. Hoc autem, quod diximus, non est, nisi propinquitas,
54
propter eum, qui non est exercitatus in geometricis. In ueritate uero uisus non peruenit ad punctum
55
terrę, quod iam illuminatum est a sole, nisi cum ipse peruenerit et comprehenderit cornu ipsius solis: quoniam
56
duae lineae contingentes unum punctum circuli a duabus partibus diuersis coniunctae, sunt linea una secun-
57
dum rectitudinem [per 14 p 1: quia semidiameter circuli ad tactus punctum ducta, efficiet cum utraque angu-
58
los rectos per 18 p 3.] Quando ergo illuminatum apparet nobis, tum non est illud terra ipsa, propter id, quod
1
diximus: nec est aer implens totam sphęram: quoniam, ut praemisimus, super totum aerem aut plu-
2
rimum eius, semper cadit radius solis nocte et die: et non apparet illud in ipso, propter ipsius subtili-
3
tatem. Et super terram non est corpus spissius aere, nisi uapores ascendentes, quibus non deest sem-
4
per, quin illuminentur a sole. Tunc uero, quando pyramis umbrae ab eo remouetur, quod de uapo-
5
rum sphaera terram continente uisus nostri consequuntur, et recipit eos corpus solis, et cadunt su-
6
per eos radij eius, suspenditur cum eo radius, et defert ipsum nobis, et consequuntur ipsum uisus
7
nostri, et uidetur a nobis eius lumen, sicut uidemus ipsum apparere in nubibus ex coloratione hu-
8
miditatum ascendentium, et sicut colores, qui in roribus uidentur, in forma portionis circuli, et alio-
9
rum modorum. Quando ergo uolumus scire, quanta sit ultima eleuatio illorum uaporum a superficie
10
terrae: tunc ad eam cognitionem praemittuntur quatuor res, quarum nulla excusatur, et praeter ipsas
11
nulla alia re indigemus, ita ut non possit fieri per minus, nec sit necessarium plus. Illa autem quatuor
12
sunt: corpus terrae: corpus solis: longitudo centri solis a centro terrae in omni situ: et quanta sit de-
13
pressio solis ab horizonte, donec appareat crepusculum matutinum. Corpus autem terrae est sicut
14
instrumentum omnium aliorum: et quantitas circuli magni continentis eam, secundum quod dixe-
15
runt sapientes, et significauerunt illud per propositiones certas, est 24000 milliaria. Et dixerunt,
16
quod per quantitatem, qua medietas diametri terrae est pars una, est medietas diametri solis quinque
17
partes, et medietas partis: et per eam est longitudo centri solis a centro terrae in longitudine media,
18
(non in omni situ) mille et centum et circiter decem partes: et quod depressio solis ab horizonte,
19
cum oritur crepusculum, est 18 gradus: et iam inuenitur super 19: et super hoc fabricabo supputatio-
20
nem nostram: quoniam cum narrator rei est cum additione in ea, dignior est, ut recipiatur sermo eius,
21
cum non contradicit ei alius: quandoquidem narrator cum additione scit, quod non scit alius, et con〈-〉
22
sequitur, quod non consequitur alius. Nam qui narrat de aliquo, quod uiderit illud, antequam uiderit
23
ipsum alius, dignior est ut consequatur, quod intendit, quando non existimatur de eo suspicio. Prae-
24
mittam igitur ad illud, quod inter manus meas est, propositiones quasdam multi iuuaminis.
25
2. Si sphaericum luminosum illuminet opacum aequale: hemisphaerium illuminabit. Vitell. 2 6 p 2.
i1
26
DIco ergo, quod omnium duarum sphaerarum aequalium, inter
27
quas non est aliud corpus, quod unam earum alteri abscondat:
28
illud, quod ex unaquaque earum uersa facie respicit alteram, est
29
medietas eius aequaliter. Et significo per uersam faciem unius respectu
30
alterius: quod si una earum est luminosa, et altera recipiens lumen, illu-
31
minatur, et relucet medietas recipientis lumen. Cuius exemplum est,
32
ut sint duae sphaerae a et b aequales: et pono, ut aliqua superficies plana
33
transeat per centrum utriusque: secabit ergo duas sphaeras super duos cir-
34
culos aequales, et in superficie una [per 1 th. 1 sphaer. Theodosij.] Sint
35
ergo illi duo circuli a g h, b d c: et continuabo a cum b: et protraham duas
36
lineas a g, b d perpendiculares super lineam a b: [per 11 p 1] ergo ipsae
37
sunt aequidistantes [per 28 p 1] et continuabo g cum d. Et quoniam duae
38
lineae a g, b d sunt ęquales [per 15 d 1: quia sunt semidiametri ęqualium
39
circulorum] et aequidistantes [e concluso] duae lineae a b, g d similiter
40
erunt aequales et aequidistantes: [per 33 p 1] ergo duo anguli ad g et d
41
sunt recti: [per secundam partem 34 p 1] ergo linea g d est contingens
42
duos circulos [per consectarium 16 p 3.] Et quando nos protrahemus
43
g a et b d secundum rectitudinem, ad duas circumferentias duorum cir-
44
culorum, usque ad duo puncta e et z, deinde continuabimus e cum z: erit
45
recta linea e z contingens duos circulos [ijsdem de caussis, quibus d g
46
tangere ostensa est:] et erit unaquaeque duarum portionum g h e, d c z,
47
quarum una est uersa facie ad alteram, medietas circuli [per 17 d 1] quo-
48
niam unamquamque earum secat diameter circuli. Et similiter contingit
49
in omnibus superficiebus planis, quae transeunt per duo centra duarum
50
sphaerarum. Iam igitur declaratum est, quod lineae egredientes ex una duarum sphaerarum ad alte-
51
ram, contingunt utrasque simul, et comprehendunt ex unaquaque earum medietatem. Et illud est,
52
quod declarare uoluimus.
53
3. Si sphaericum luminosum illuminet opacum minus: plus hemisphaerio illuminabit. Vi-
54
tell. 27 p 2.
55
QVod si una duarum sphaerarum est maior altera: tunc illud, quod ex minore uersa facie respi-
56
cit maiorem, est plus medietate minoris: et quod ex maiore uersa facie respicit minorem,
57
est minus medietate maioris. Cuius exemplum est, ut sint duae sphaerae a et b: et sphaera a sit
58
maior. Protraham ergo superficiem planam, transeuntem per centra utriusque: secabit ergo utramque earum in duo
59
media super duos circulos a g d, b e z [per 1 the. 1 sphęr.] et continuabo a cum b, et protraham ipsam secundum
60
rectitudinem in partem h: et ponam proportionen medietatis diametri circuli a g d ad medietatem diametri
61
circuli b e z, sicut proportio a h ad b h. Eius uero acceptio est prompta ex tractatu sexto et quinto Eucli-
62
dis [si enim trib. rectis datis, differentia nempe semidiametrorum circulorum a et b: semidiametro b c mi-
63
noris circuli, et ipsa a b, inueniatur per 12 p 6 quarta proportionalis b h: erit per 18 p 5 ut a d semidiameter
1
maioris circuli ad b c semidiametrum minoris b c: sic a h ad b h.] Et protraham a puncto h lineam
2
contingentem circulum a g d [per 17 p 3] quae sit h c d. Dico ergo, quod ipsa contingit etiam circulum b e z:
i1
3
quod patet: quia continuabo a cum d per lineam a d: ergo est perpendi-
4
cularis super lineam h d [per 18 p 3] et protraham a puncto b perpen-
5
dicularem super lineam h c d [per 11 p 1] quae sit b c. Et quoniam duae
6
lineae b c, a d sunt perpendiculares super lineam h d [e fabricatione et
7
concluso] sunt aequidistantes [per 28 p 1.] Et quia linea b c est aequi-
8
distans ipsi a d, quae est basis trianguli: erit ergo proportio a d ad b c,
9
sicut proportio a h ad h b [per 4 p 6: quia triangula a h d, b h c sunt aequi-
10
angula per 29. 32 p 1] et iam posuimus proportionem a h ad h b, sicut
11
proportionem medietatis diametri circuli a g d, ad medietatem diame-
12
tri b e z: ergo linea b c est medietas diametri circuli b e z: ergo punctum
13
c est super circumferentiam circuli b e z [per 17 d 1] et duos angulos ad
14
d et c posuimus rectos: ergo linea h c d contingit minorem circulum
15
[per consectarium 16 p 3] nos uero iam protraximus eam contingen-
16
tem maiorem: ergo ipsa est contingens utrosque simul. Et protraham simi〈-〉
17
liter ex puncto h lineam, contingentem duos circulos similiter in par-
18
te z, quae sit linea h z k. Est ergo, quod ex circulo a maiore uersa facie
19
respicit circulum b minorem, portio d g k: et est minor medietate cir-
20
culi: quoniam angulus h a d est minor recto [per 32 p 1] quoniam ipse
21
est in triangulo uno, et est triangulum d a h cum angulo d h recto.
22
Ergo est portio d g minor quarta circuli [per 33 p 6] et similiter por-
23
tio g k, aequalis e[*]e corrupt for ei [see Errata p. a3v, l. 16.] [quod autem g k sit aequalis d g, patet, ducta semidia-
24
metro a k. Quia enim rectae d h, k h tangentes aequantur per consecta-
25
rium 36 p 3 et semidiametri a d, a k per 15 d 1, estque communis a h: ęqua-
26
bitur angulus h a d angulo h a k per 8 p 1: quare per 26 p 3 peripheria d
27
g aequabitur peripheriae g k.] Ergo portio d g k est minor medietate
28
circuli. Et quoniam linea b c est aequidistans lineae a d [e concluso] est angulus c b h aequalis an-
29
gulo d a h [per 29 p 1] ergo erit portio c l similis portioni d g, et tota portio c l z similis portioni d g
30
k [per 33 p 6.] Ego unaquęque earum est minor medietate circuli: remanet ergo portio c e z maior me〈-〉
31
dietate circuli: et illud est, quod ex circulo minore uersa facie respicit circulum maiorem. Ergo duę
32
portiones c e z, et d g k sunt ex duobus circulis, qui uersa facie se respiciunt. Et significo quidem per
33
hoc, quod aliquid portionis unius non cooperitur ex circulo altero: et portio c e z est maior medie-
34
tate circuli, et portio d g k minor. Et illud est, quod uoluimus declarare.
35
4. Si peripherias duorum circulorum aequalium duae rectae lineae tangant: puncta semiperi-
36
pheriarum conuexis partibus se respicientium singula singulis appa-
37
rent, reliquarum uero semiperipheriarum conuexis partibus se non
38
respicientium latent.
i2
39
ET dico, quod quando sunt duo circuli aequales, et protrahuntur
40
duae lineae, quarum unaquaeque contingit duos circulos simul, se-
41
cundum formam, quam praemisimus: tunc in unaquaque duarum
42
portionum, quarum una uersa facie respicit alteram, non est locus, qui
43
abscondat aliquid ex circulo uno circulo alteri: et quod in reliquis dua-
44
bus portionibus duorum circulorum, quę non facie ad faciem se respi-
45
ciunt, non est locus, qui appareat circulo alteri. Cuius exemplum est,
46
quod sint duo circuli a b g d e, et z h t k l: et protrahantur duę lineae b h,
47
et d k contingentes duos circulos simul: ergo duae portiones b g d, et
48
h t k sunt, quae se facie ad faciem respiciunt: earum portiones b e d, et h
49
l k sunt, quae se non facie ad faciem respiciunt. Dico ergo, quod non est
50
in portione b g d punctum, quod aliquid ex circulo z h abscondat cir-
51
culo a b: et quod non est in portione b e d punctum, quod appareat pe-
52
nitus circulo z h: et quod tota ipsa portio est abscondita circulo z h: et
53
quod neque est in portione h l k punctum, quod appareat circulo a b. Cu-
54
ius demonstratio est: quod ego continuabo a cum z, per lineam a g z,
55
et signabo super arcum b g d punctum, qualiter uelim, quod sit punctum
56
m. Si ergo fuerit punctum m a puncto g ad partem b: tunc protraham
57
ex puncto m lineam aequidistantem lineae b h [per 31 p 1] et si fuerit pun-
58
ctum m a puncto g ad partem d: tunc protraham ex puncto m lineam
59
aequidistantem lineae d k: sit ergo m t. Dico igitur quod linea m t tota est
60
extra circulum h m g d e, de qua non cadit aliquid in eo. Cuius demonstratio est: quod ego continuabo a
61
cum b, et protraham lineam m t secundum rectitudinem, donec concurrat cum linea b a super punctum n [concur-
62
ret autem per lemma Procli ad 29 p 1: quia m t parallela ducta est ipsi b h, quę concurrit cum a b in b] ergo duo〈-〉
63
rum angulorum ad n unusquisque est rectus [quia enim angulus n b h rectus est per 18 p 3, et ipsi b h parallela
64
ducta est t m n: ęquabitur per 29 p 1 angulus t n b angulo n b h, ideoque rectus, et per 13 p 1 a n t rectus]
1
et continuabo m cum a. Angulus igitur trianguli a n m est rectus: et iam protractum est latus n m secundum
2
rectitudinem usque ad t, et prouenit angulus a m t extra triangulum, qui est maior recto [per 16 p 1] scili-
3
cet angulo n. Et quando protrahitur ab extremitate diametri circuli linea, quae cum ipsa contineat plus
4
angulo recto: tunc illa linea non secat circulum, nec cadit de ea intra ipsum aliquid: ergo de linea m t non
5
cadit in circulo a m aliquid. Ergo punctum m facie ad faciem respicit circulum z, et non abscondit aliquid
6
ei: quoniam quando non abscondit ei aliquid ex corpore istiusmet sphaerae a m: tunc nulla alia res tegit
7
illud: quoniam nos posuimus, ut inter duas sphaeras non sit corpus aliud ab eis, quod tegat unam earum
8
alteri. Et similiter ostendetur hoc in omni puncto super arcum h t k. Et dico iterum, quod non est in arcu b e d
9
punctum, quod appareat circulo z: nec est possibile, ut continuetur cum aliquo de circulo z per lineam, nisi
10
et illa linea secet circulum a b, et cadat intra ipsum. Quod si possibile est: protrahamus a pumcto e lineam
11
peruenientem ad aliquid de circumferentia circuli h t k l: et non secet aliquid de circulo a e d: et si fuerit pos-
12
sibile, sit linea e q l: et protraham lineam d k in utrasque partes duarum extremitatum eius: necesse est ergo, ut
13
occurrat lineae e q l in duobus locis: quoniam linea d k, quam iam posuimus contingentem duos circulos, non
14
est possibile, ut secet unum duorum circulorum, nec cadat inter utrosque [per 16 p 3:] et quoniam non cadit
15
inter ipsos, tunc secabit lineam e l in duobus locis: ergo iam sunt duae lineae rectae continentes su-
16
perficiem: illud autem est contrarium et impossibile [per 12 axioma.]
17
5. De peripheria maximi in terra circuli sol illuminat partes 180, scrupula prima 27, scru-
18
pula secunda 52. Vitell. 59 p 10.
19
QVod autem oportet nos facere secundum illud, quod pręmisimus, ut inueniamus, quamta sit quan-
20
titas arcus terrae illuminati a sole: quam iam posuimus maiorem esse medietate terrae: ponam ergo
21
duos circulos solis et terrae, super quos secat utrosque una superficies plana, quales sunt a b c
22
d e, f h g. Circulus ergo a sit terrae, et circulus solis f: et protraham duas lineas contingentes unumquenque
23
eorum, sicut diximus, quae sint duae lineae b h et e g. Igitur portio b c d e ex terra, est illuminata a sole,
i1
24
sicut iam ostendimus [3 n] et illud est plus me-
25
dietate circuli. Quando ergo uolumus scire
26
quantitatem eius, tuc nos continuabimus a cum b
27
et cum f, et f cum h: ergo b a et h f sunt aequidistantes
28
[per 28 p 1] quoniam utraeque sunt perpendiculares
29
super lineam b h, contingentem duos circulos [per
30
18 p 3] Et secabo ex linea h f, quod sit aequale li-
31
neae b a [id uero fieri potest, quia f h ex thesi ma〈-〉
32
ior est a b] et sit linea h k: et continuabo a cum k:
33
ergo a k est perpendicularis super h f [per 29 p 1]
34
quoniam est aequidistans ipsi b h: cum continuet totum,
35
quod est inter extremitates duarum linearum b a,
36
et h k aequalium et aequidistantium: ergo angulus k
37
est rectus. Et propterea quod linea h f est quinque
38
partes et medietas partis, per quantitate, qua linea
39
b a est pars una [ut dictum est 1 n] remanet linea
40
k f quatuor partium et medietatis unius partis
41
ex illa quantitate: et per eandem inuenitur linea a
42
f 1110, in medijs longitudinibus [sole constituto.]
43
Ergo per quantitatem, qua linea a f subtensa angu-
44
lo recto, est 60 grad. est linea k f 14 minuta et
45
tres quintae unius minuti: ergo angulus k a f est
46
14 min. excepta tertia parte quintae partis unius
47
minuti, [id est 13 minu. et 56 sec. Nam secundum
48
pręcepta arithmetices quincunx seu quinta pars
49
unius minuti sunt 12 secunda, quorum tertia pars
50
per diuisionem inuenta, sunt 4 secun. quibus sub-
51
ductis a 14 minutis, rectam[*]rectam corrupt for restant [see Errata p. a3v, l. 16.] 13 minuta et 56 secun-
52
da] per quantitatem, qua angulus rectus est 90
53
grad. et illud est quantitas arcus c d: sed arcus b c
54
est 90 grad. quoniam angulus b a c est rectus. Er-
55
go arcus b d est 90 grad. 14 min. excepta tertia
56
parte quintae partis unius minuti: et arcus d e
57
est ęqualis arcui b d. [Ducta enim a puncto a pa-
58
rallela ipsi e g: erit angulus a semidiametro e a et parallela comprehensus, rectus per 29 p 1, et aequalis
59
angulo b a c per 10 ax. Et quia ducta parallela secat de semidiametro f g uersus f aequalem ipsi f k per 15
60
d. 34 p 1. 1 ax: et angulus a parallela et semidiametro f g comprehensus, rectus est per 29 uel 34 p 1: ęqua-
61
buntur quadrata parallelae et sectae de semidiametro f g uersus f, quadrato f a per 47 p 1, cui per ean-
62
dem aequantur quadrata ipsarum a k et k f: subductis igitur quadratis aequalibus ipsarum f k et sectae de
63
semidia metro f g uersus f, relinquentur quadrata ipsarum a k et ductae parallelae aequalia, ideoque recta
64
a k aequalis erit ductae parallelae: et per 8 p 1 angulus d a c aequabitur angulo ab f a et parallela ad cen-
65
trum a comprehenso. sed angulo c a b aequalis conclusus est angulus a semidiametro e a et parallela com-
1
prehensus. Quare si aequalibus angulis aequales addantur, aequabitur per 2 axio: totus angulus b a d
2
toti angulo e a d: et per 26 p 3 peripheria b d peripheriae e d.] Ergo totus arcus b c d e illuminatus a
3
sole, est 180 partes et 27 minuta et quatuorquintae et tertia quintae unius minuti cum propinquitate
4
[id est 52 secunda: nam ex arithmeticae regulis????? unius minuti sunt 48 scrupula secunda, et quinta pars
5
unius minuti sunt 12 scrupula secunda, quorum tertia pars, 4 scilicet scrupula secunda addita cum 48
6
scrupulis secundis, efficiunt 52 serupula secunda.] Et illud est, quod uoluimus declarare.
7
6. Posita peripheria maximi in terra circuli 24000 milliarium Italicorum. erit summa ua-
8
porum in nubem coactorum a terra altitudo 52000 passuum. Vitell. 60 p 10.
9
INcipiamus ergo nunc ex eo, quod intendimus de caussa apparitionis crepusculi, et formae appari-
10
tionis eius nobis, et figurationis ipsius in horizonte orientali. Ponam ergo circulum signatum su-
11
per sphaeram terrae, et super quam abscindit terram superficies plana, transiens per zenith capitum et per
12
z centrum terrae et solis circulum a b, et locum uisus a: et faciam transire super punctum a lineam contingentem
13
circulum [per 17 p 3] et prolongabo duas extremitates eius in duas partes, super quas sint d, e. Mani-
14
festum est igitur, quod super totum, quod cadit sub linea d a e ad partem b, non cadit uisus, quoniam terra
15
abscondit illud nobis: quia extensio uisus non est, nisi super lineam rectam [per primam hypothesin opti-
16
corum Euclidis.] Et Euclides quidem iam declarauit [16 p 3] quod non egreditur a puncto contactus
17
linea inter lineam contingentem et circulum Visus ergo non cadit sub linea d a e, sed cadit super illud, quod
18
eleuatur ab ea. Et ponam formam pyramidis tenebrarum euenientium ex umbra terrae, parum ante crepu-
19
sculum, quando est depressio solis plus 19 gradibus per minutum unum, uerbi gratia, aut circiter: super
20
quam sint g, e, f, c: totum enim, quod cadit in hac pyramide designata (cuius caput est f, et basis ipsius
21
terra) est tectum soli, non apparens ei, neque illuminatum ab eo, et est in ueritate tenebrosum: et quod ca-
i1
22
dit exterius ab ea, est apparens soli, et super ipsum cadunt radij eius et lumen eius. Veruntamen quod ex
23
corporibus est subtile ualde, non perducit ad uisus nostros illud, quod
24
ex radio induit, propterea quod aequantur in uisibus nostris illud, quod
25
ex aere subtile est intra pyramidem, et quod est extra ipsum: et uidetur
26
aether totus in forma luminis et tenebrarum. Et nos quidem scimus,
27
quod illud, quod continet nos ex aere, et quod est propinquum nobis,
28
est tenebrosum, non apparens soli: et quod procedit in incessu in altum,
29
aut dextrorsum, aut sinistrorsum, et anterius et posterius, est lumi-
30
nosum, apparens soli: et sunt ambo cum illo apud nos aequaliter in tota
31
comprehensione uisus: et non apparet aliquid uisibus nostris ante ortum
32
solis, et post occasum solis, nisi sit eleuatum a superficie horizontis, et
33
nisi sit extra pyramidem umbrae, et nisi sit spissius aere subtili. Manife-
34
stum est igitur, quod non apparet uisibus nostris aliquid in habitudi-
35
ne splendoris et illuminationis, nisi per aggregationem trium conditio-
36
num in eo: quarum una est, ut non sit sub linea d a e: quoniam si est sub ea,
37
prohibet sphęra terrae inter ipsum et uisum: quia non comprehendit
38
ipsum uisus luminosum neque tenebrosum Et alia est, ut non sit in py-
39
ramide umbrae: nam si est in ea, est tenebrosum, propterea quod priua〈-〉
40
tum est facie solis et illuminatione sua ab eo. Et alia est ut sit spissius
41
aere subtili implente sphaeram: quoniam iam sciuimus, quod aer altior
42
extra pyramidem, cadit super lineam d a e: et cum illo non apparet nobis
43
in eo aliquid luminis, propter tenuitatem et subtilitatem suam, et pro〈-〉
44
pterea quod uidemus in hoc loco, et est parum ante crepusculum, il-
45
lud, quod comprehendimus de sphaera, tectum, non illuminatum, et non
46
diuersificatur pars eius a parte. Et scimus, quod non est in eo punctum
47
neque locus unus, in quo aggregentur istae conditiones tres. Sed pun〈-〉
48
ctum e est: ubi occurrit ultimo statui pyramidis linea d a e: et iam po-
49
suimus in eo duas conditiones: quoniam non est sub linea d a e, nec in-
50
tra pyramidem: ergo cadit super ipsum radius solis. Non ergo facit ne-
51
cessariam tenebrositatem eius in oculis nostris tunc, nisi priuatio eius a conditione tertia, quę est spis-
52
situdo. Iam ergo certificatur, quod aer, ubi est punctum e, in hoc loco est subtilis, et non perueniunt ad
53
ipsum uapores spissi, ascendentes de terra, qul sunt spissiores aere. Deinde postquam eleuatur sol pa-
54
rum, et fit depressio eius ab horizonte 19 graduum tantum. Et fit forma pyramidis et figura eius, sicut
55
illa, super quam sunt i, m, h, k, et apparet in horizonte res luminosa, et non fuerat ante illic res luminosa:
56
scimus quod ille est primus locorum et hospitiorum, in quo aggregantur conditiones tres prędictae: quo-
57
niam ante illud parum per illud, cui non est quantitas, non fuit illic aliquid de lumine: et primus locorum, in
58
quo aggregatur, ut non sit sub linea d a e, nec intret pyramidem tenebrarum, est punctum m. Ergo
59
punctum m est primus locorum, in quo inuenta est conditio tertia, et est illic spissitudo aeris. Ergo punctum
60
m est ultimus status uaporum, et summa ascensio eorum: et non abbreuiantur ab eo, neque pertranseunt ipsum.
61
Quoniam si abbreuiarentur ab eo, esset punctum m in aere subtili, et non appareret nobis in eo aliquid de
62
lumine, sicut non apparet in eo, qui est post ipsum, ad partem e: et si pertransirent ipsum, illuminaretur
63
nobis punctum e ante hoc: quoniam non ponimus in eo, quod est inter m et e, in his duobus locis rem sen-
1
sibilem. Ergo punctum m est ultimus status, ad quem perueniunt uapores ascendentes in altum, et occursus
2
lineae d a e contingentis sphaeram terrae cum linea h i. Quando ergo uolumus scire longitudinem eius a fa-
3
cie terrę, tunc nos describemus altitudinis circulum, transeuntem per centrum solis, quando eius depressio
4
ab horizonte est 19 graduum: et illud est apud ortum crepusculi, super quem sint a, b, c, d: secabit ergo sphę-
5
ram terrae super circulum e f g h [per 1 the. 1 sphaer. Theodosij] et linea a e k pertranseat per zenith ca-
6
pitum et per centrum terrae, perpendicularis super lineam b k d [per 11 p 1] ergo linea b k d secat terram
7
in duo media, [per 17 d 1] apparens et occultum. Apparens ergo est illud, quod est supra ipsam, ad partem
8
a, et occultum, quod est ad partem g: et non dicimus hoc, nisi dilatando et appropinquando. Veritas uero
9
est, quod apparens non est, nisi illud, quod est super lineam p e q o protractam, contingentem sphaeram super
i1
10
punctum uisus: ueruntamen non est apud hunc or-
11
bem terrae magna quantitas. Et ponam arcum b c 19
12
graduum, qui sunt depressio solis apud ortum cre-
13
pusculi. Super punctum ergo c est centrum solis:
14
faciam igitur illic super ipsum punctum, circulum, cum
15
longitudine quintupli et medietatis eius, quod
16
est aequale lineę e k: qui sit circulus l m: et super
17
ipsum scilicet punctum c secat solem orbis a b c d:
18
et continuabo lineam k g: deinde protraham duas
19
lineas contingentes duos circulos solis et terrae
20
[per 17 p 3] continentes illuminatum terrae a sole,
21
quae sint m h n, l f n, contingentes terram super duo
22
puncta h et f: et sunt termini pyramidis umbrę.
23
Ergo linea m h n occurrit lineae p o super pun-
24
ctum q [per lemma Procli ad 29 p 1: quia concur-
25
rit cum b k d parallela ipsi p o per 28 p 1] ergo pun-
26
ctum q, secundum quod ostendimus in figura, quę
27
est ante hanc, est locus luminosus apud ortum cre〈-〉
28
pusculi: et est ultimus status ascensionis uapo-
29
rum. Cum ergo uolumus cognoscere longitu-
30
dinem eius a superficie terrae: tunc continuabi-
31
mus k cum q per lineam k r q: et continuabo k cum
32
h. Ergo portio h g f est illuminata: quia facie ad
33
faciem respicit solem. Iam ergo ostendimus [prae-
34
cedente numero] quod ea est 180 grad. et 27
35
min. et 52 secund. et arcus g h est medietas eius:
36
[Quia enim l n, m n tangunt peripheriam circuli
37
e f g h in punctis f et h per fabricationem, erunt
38
anguli ad f et h recti per 18 p 3. Si igitur semidia-
39
metros k l, k m circuli a b c d ductas cogites:
40
aequabuntur quadrata linearum f l, f k quadrato
41
semidiametri k l per 47 p 1, per quam etiam qua-
42
drata linearum h m, h k aequabuntur quadrato
43
semidiametri k m: subductis igitur quadratis
44
ipsarum f k, h k per 5 d 1 aequalibus, a quadratis k l, k m similiter per 15 d 1 aequalibus: relinquentur qua-
45
drata ipsarum f l, h m aequalia, d et iccirco rectę f l, h m aequales. Quare cum triangula f k l, h k m sint aequi-
46
latera, erunt aequiangula, et angulus f k l aequalis angulo h k m per 8 p 1. Rursus si semidiametros l c,
47
m c circuli l m ductas animo concipias: erunt triangula l k c, m k c aequilatera et aequiangula, et angu-
48
lus l k c aequalis angulo m k c. Quamobrem si angulis f k l, h k m e concluso aequalibus addas angu-
49
los l k c, m k c aequales: totus angulus f k g aequabitur toti angulo h k g per 2 axio: et peripheria f g
50
peripheriae h g per 26 p 3] et est grad. 90 et 13 min. et 56 secun. et illud est quantitas anguli h k g: et iam
51
fuit angulus b k c 19 grad. quoniam est depressio solis: ergo remanet angulus h k b 71 grad. 13 min. 56
52
secun. sed angulus e k b est 90: quia rectus existit. Ergo remanet angulus e k h 18 grad. 46 min. 4 se-
53
cun. Et quia linea k q diuidit eum in duo media, et illud est manifestum: [Quia enim e k, h k: item e q, h q
54
aequantur: illae per 15 d 1, quia circuli e f g h sunt semidiametri: hae per secundum consectarium 36 p 3, quia
55
ab eodem puncto q peripheriam e f g h tangunt: et communis est k q: aequabitur angulus e k q angulo h k
56
q per 8 p 1. Quare angulus e k h bifariam sectus est per rectam q k] angulus igitur q k e est 9 grad. 23. mi.
57
2 secund. ergo angulus k q e est complementum recti [per 32 p 1: quia angulus ad e rectus est per 18 p 1]
58
et illud est 80 grad. 36 min. 8 secun. Chorda ergo eius, quę est linea e k, est 59 grad. 11 min. 48[*]48 corrupt for 40 [see Errata p. a3v, l. 16.] secun.
59
per quantitatem, qua est linea k q 60 grad. [ut monstrat tabula rectarum subtensarum in circulo.] Verun〈-〉
60
tamen per quantitatem, qua est linea k e 60 grad. erit q r k 60 grad. et 48 min. et quinque sextorum unius
61
minuti: sed linea k r ex illis est 60 grad. ergo remanet r q 48 min. et 50 secun. et est illud ex miliari-
62
bus (quibus circumferentia terrae continet 24000) milliaria, 51 et 47 minut. et 34 secun., et 6
63
partes ex 11 partibus secundis. Et illud est ultimum, ad quod eleuantur et perueniunt
64
uapores ascendentes ex terra. Et illud est, quod uoluimus.
65
FINIS.