20
0
In Quadratum Circuli
1
|37v|[MS Paris, BnF, lat. 11246] In nomine domini misericordis et miseratoris,
2
incipit liber Ersemidis in quadratum circuli.
3
⟨I.⟩ OMNIS CIRCULUS TRIANGULO ORTOGONIO, CUIUS
4
UNUM EX DUOBUS LATERIBUS RECTO ADIACENTIBUS
5
ANGULO DIMIDIO DIAMETRI EIUSDEM CIRCULI, ALTE-
6
RUM VERO LATUS LINEE CIRCUMFERENTI EQUATUR,
7
EXISTIT EQUALIS.
8
Sit ergo circulus ABCD triangulo E in supradictis omnibus
9
equus. Dicemus igitur ipsius embadum embado illius equum existere.
10
Quod si ei equalis non fuerit, erit itaque circuli embadum eo maius
11
vel minus. Facta autem primus positione quod sit maius, intra circulum
12
quadratus AC describatur. Eo igitur descripto ex circulo ABCD plus
13
dimidio intra quadratum continebitur. De hinc arcum AB, et ceteros
14
arcus, in duo equa supra punctum R, et super alia puncta, abscidamus.
15
Post hoc alias duas lineas AR, RB producamus. A reliquis igitur
16
sectionibus circuli plus earumdem medietate separabitur. Cumque hoc
22
17
frequenter fecerimus abscisiones minores eo in quo predictus circulus
18
prefatum triangulum excedit in constante remanebunt. Rectilinea
19
itaque figura multiangula ab ipso circulo circumdata triangulo maior
20
existit. Positoque circuli centro puncto N ca|38r|[MS Paris, BnF, lat. 11246]thetum NS protrahemus.
21
Linea igitur NS minor est quovis illorum laterum trianguli que recto
22
adiacent angulo; et multiangule figure circumductio reliquo latere
23
minor existit. Quodque ex multiplicatione alterius lateris trianguli
24
recto angulo adiacentis in alterum, scilicet, latus recto adiacens angulo,
25
quod est duplum totius aree trianguli colligitur. Maius est eo quod
26
ex multiplicatione NS in circumdatione multiangule figure coadunatur
27
quod est duplum aree multiangule figure. Dimidium itaque dimidio
28
maius existit. Maior est ergo triangulus figura multiangula. Superius
29
autem eum minorem esse monstravimus. Igitur hoc est impossibile.
30
Item si predictus circulus minor triangulo E et circa ipsum quadra-
31
tus PQ describatur, abscisum est itaque ex quadrato PQ plus sui ipsius
32
dimidio, quod est circuli quantitas. Hiis itaque peractis arcum BA in
33
duo equa supra punctum R, ceteros etiam arcus super alia puncta, in
34
duo divideres equalia. A portionum punctis lineas ipsum circulum
35
contingentes abstrahemus. Linea igitur FH in duo equa supra punc-
36
tum R absciditur. Super lineam itaque FH linea NR perpendiculariter
37
erigitur. Idem et de ceteris lineis ostendetur. Verum quia QF et QH
38
sunt maiores HF, erit dimidium maius dimidio. Linea igitur QH
39
maior est linea HR, que est equalis linee HB. Triangulus itaque RQH
40
maior est dimidio trianguli QRB. Multo igitur maior dimidio figure
41
RQB lineis BQ, QR, et arcu BR contente. Similiter et triangulus QRF
42
maior est RFA. Totum igitur QHF dimidio figure AQB maius
43
existit. Eodemque modo alii trianguli maiores dimidio aliarum absci-
44
tionum fore probantur. Cumque hoc frequenter factum fuerit, absci-
45
siones semper extra circulum remanebunt que in unum collecte minus
46
eo in quo triangulus E circulum ABCD superat apparebunt. Facta
47
namque positione quod portio RFA alieque portiones supersint,
48
figuram rectilineam circa ipsum circulum descriptam triangulo E mi-
49
norem fore pronunciabimus; quod esse non potest, ipso enim maior
50
existit. Circulus itaque triangulo E minor esse non potest. Supra vero
51
probatum est ipsum ipso maiorem nullatenus esse. Necesse est igitur
24
52
eos sibimet invicem equos existere. Similiter probabitur embadum
53
trianguli E ei quod procedit ex mul|38v|[MS Paris, BnF, lat. 11246]tiplicatione sui perpendicularis
54
in dimidium sue basis equum existere; eiusdem quoque perpendicu-
55
laris equus est dimidio diametri circuli ABCD; ipsiusque basis linee
56
circumferenti eiusdem circuli existit equalis. Illud igitur quod ex mul-
57
tiplicatione dimidii diametri in dimidium circumferentie ABCD pro-
58
venit embado trianguli est equale. Et hoc volumus.
59
⟨II.⟩ PROPORTIO AREE OMNIS CIRCULI AD QUADRA-
60
TUM SUI DIAMETRI EST UT PROPORITIO 11 AD 14.
61
Sit itaque linea AB circuli diametrus supra quem quadratum CG
62
constituamus . Sitque linea DC linee DE dimidium. Sit etiam
63
EF septima pars linee DC. Quia igitur proportio trianguli ACE ad
64
⟨tri⟩angulum ACD est ut proportio 21 ad 7 et proportio ACD ad
65
AEF est ut proportio 7 ad 1, erit proportio trianguli ACF ad
66
⟨tri⟩angulum ACD sicut proportio 22 ad 7. Proportio autem quadrati
67
CG est quadrupla triangulo ACD et triangulus ACF circulo AB
68
equus existit, eo quod perpendicularis AC linee que ab huius circuli
69
centro ad circumferentiam protrahitur est equalis et basis CF equa
70
est linee circumferenti. Linea enim circumferens maior est triplo
71
diametri septimaque superaddita fere. Probatum est igitur ex hoc
72
quod dictum est, quod circuli AB proportio ad quadratum CG est
73
ut proportio 11 ad 14, et id est quod volumus, ut in subscripta figura
74
monstratur.
75
⟨III.⟩ OMNIS LINEA CIRCUMFERENS SUPPERADDIT VEL
76
MAIOR EST TRIPLO DIAMETRI MINUS SEPTIMA PLUSQUE
77
DECEM PARTIBUS EX 71 DIAMEITRI PARTIBUS.
78
Sit itaque linea AC diametrus circuli cuius centrum est punctus E
79
et linea DF eundem circulum contingat . Angulus quoque
80
FEC duas unius anguli recti partes contineat. Proportio igitur EF
81
ad FC est ut proportio 306 ad 153, et proportio EC ad FC maior
82
est proportione 265 ad 153. Hiis ita constitutis angulum FEC in duo
83
equa cum linea GE dividemus. Igitur ⟨pro⟩portio duarum linearum
84
FE, EC simul collectarum ad FC est ut ⟨pro⟩portio EC ad CG. Erit
26
85
itaque ⟨pro⟩portio CE ad CG maior proportione 571 ad 153. Quare
86
proportio EG in fortitudine ad CG in fortitudine est ut proportio
87
⟨34⟩9 milium quadringentorum ⟨et 50⟩, i.e., ad ⟨vigenti⟩ tria milia
88
quadringenta novem. Proportio vero quam eadem EG ad eandem
89
CG habet in longitudine maior est proportione 591 ⟨et unius octave⟩
90
ad 153. Simili quoque modo angulo CEG in duo equa cum linea EH
91
diviso, probabitur quod proportio EC ad CH maior est proportione
92
1162 et unius octave ad 153. Proportio igitur HE ad CH est maior
93
proportione 1172 et unius octave ad 153. Item si angulum HE in
94
duo equa cum linea EK diviserimus, erit proportio EC ad CK maior
95
proportione 2334 et unius quarte ad 153. Proportio igitur EK ad CK
96
maior est proportione 2339 uniusque quarte ad 153. Similiter diviso
97
angulo KEC in duo equalia cum linea LE, erit proportio EC ad CL
98
in longitudine maior proportione 4673 et semissis ad 153. Et quoniam
99
angulus FEC duas unius anguli recti partes continet, erit |39r|[MS Paris, BnF, lat. 11246] angulus
100
LEC una pars ex 48 partibus unius anguli recti. Supra punctum etiam
101
E si fecerimus angulum CEM angulo LEC equalem, angulus LEM
102
unam partem ex 24 partibus unius anguli recti continebit. Linea igitur
103
LM recta est latus multiangule figure circa ipsum angulum designate
104
que 96 equos angulos amplectitur. Et quia probatum est quod pro-
105
portio EC ad CL sit maior proportione 4673 et semissis ad 153 et
106
duplum linee EC est linea AC, duplum quoque CL est linea LM,
107
erit proportio AC ad circumductionem figure multiangule maior pro-
108
portione 4673 et semissis ad 14688, quod est plus triplo 667 et semissis.
109
Figura⟨m⟩ igitur multiangula⟨m⟩ circa ipsum circulum descriptam
110
maiorem triplo diametri in quantitate unius septime partis totius
111
diametri fore necesse est.
112
[*][End without second half of proof.]