40
0
De Mensura Circuli
1
|28va|[MS Paris, BnF, lat. 9335]Liber Arsamithis de mensura circuli.
2
I. OMNIS CIRCULUS TRIANGULO ORTHOGONIO EST
3
EQUALIS, CUIUS UNUM DUORUM LATERUM RECITUM
4
CONTINENTIUM ANGULUM MEDIETATI DIAMEITRI CIR-
5
CULI EQUATUR ET ALTERUM IPSORUM |28vb|[MS Paris, BnF, lat. 9335] LINEE CIRCU
6
LUM CONTINENTI.
7
Sit itaque circulus ABGD [*]Fig. 4 triangulo E equalis, secundum
8
quod ante narravimus in propositione. Dico ergo quod eius mensura
9
ipsius mensure equatur. Quod si non ita fuerit, tunc circulus aut maior
10
aut minor eo erit. Sit itaque primo maior. Faciam autem in circulo
11
quadratum ABGD. Iam ergo separatum est ex circulo ABGD plus
12
medietate ipsius et est quadratus ABGD. Secabo autem arcum AB
13
in duo media supra punctum F et arcus ei similes similiter, et copulabo
42
14
AF et FB et ei similes. Iam ergo separatum est etiam ex residuis
15
portionibus circuli ABGD plus medietate ipsarum et est AFB et
16
sibi similes. Cum ergo fecerimus ita secundum illud quod sequitur,
17
remanebunt portiones que erunt minores quantitate eius quod circulus
18
addit super triangulum E. Et figura tunc rectilinea poligonia, quam
19
continet circulus, erit maior triangulo. Sit itaque figura illa AFB et
20
eius similes. Ponam autem centrum circuli N et producam perpendi-
21
cularem NS. Linea igitur NS est minor uno duorum laterum trianguli
22
continentium rectum angulum. Et linea circumdans poligonium est
23
minor reliquo latere ipsorum, quoniam ipsa etiam est minor circum-
24
ferentia circuli. Quod autem fit ex multiplicatione unius duorum
25
laterum trianguli continentium rectum angulum in alterum, et est
26
duplum aree trianguli, est plus aggregato ex NS in lineam circumdan-
27
tem poligonium, et est duplum poligonii. Cum igitur illud ita sit,
28
tunc triangulus est maior poligonio. Sed iam fuerat minor, et hoc
29
quidem est contrarium et impossibile.
30
Sit etiam circulus minor triangulo E, si fuerit illud possibile. De-
31
scribam autem supra ipsum quadratum continentem ipsum. Sitque
32
quadratus QC. Et iam quidem separatum est ex quadrato QC plus
33
medietate eius, et est circulus. Dividam autem arcum BA in duo
34
media et arcus sibi similes in duo media. Linee ergo que transeunt per
35
puncta sectionum contingunt circulum. |29ra|[MS Paris, BnF, lat. 9335]Tunc linea ZT iam divisa
36
est in duo media supra F. Et linea CF est perpendicularis super ZT,
44
37
et similiter linee ei similes. Et quoniam ZC et CT sunt maius ZT et
38
est earum medietas maior medietate ipsius, tunc linea CT est maior
39
TF, que est equalis TB. Ergo triangulus FCT est maior medietate
40
trianguli FCB. Et multo plus illo erit maior medietate figure FCB,
41
que continetur duabus lineis FC, CB, et arcu BF. Et similiter erit
42
triangulus CFZ maior medietate figure CFA. Ergo totus TCZ est
43
maior medietate figure AFBC, que continetur duabus lineis AC, CB
44
et arcu AFB. Et similiter sunt trianguli sibi similes plus medietate
45
portionum aliarum sibi similium. Cum ergo fecerimus illud in eo
46
quod sequitur, remanebunt portiones supra circulum, que cum aggre-
47
gabuntur erunt minus augmento trianguli E super circulum ABGD.
48
Remaneat ergo portio FZA et portiones sibi similes. Figura igitur
49
tunc rectilinea que circulum continet erit minor triangulo E. Sed
50
hoc quidem est impossibile, quoniam fuit maior. Et illud ideo, quoni-
51
am NF equatur catheto trianguli et linea continens poligonium est
52
maior reliquo latere trianguli quod continet rectum angulum, eo quod
53
sit maior linea circumdante circulum. Illud ergo quod fit ex multipli-
54
catione FN in lineam continentem figuram poligoniam est maius eo
55
quod fit ex multiplicatione unius duorum laterum trianguli continen-
56
tium rectum angulum in alterum. Non est igitur circulus minor trian-
57
gulo E. Et iam quidem ostensum fuit in hiis que premissa sunt, quod
58
ipse non est maior eo. Circulus igitur ABGD est equalis triangulo E.
46
59
[Corollarium I:] Et etiam quia area trianguli E est equalis ei quod
60
fit ex multiplicatione perpendicularis sue in medietatem basis ipsius,
61
et eius perpendicularis est equalis medietati diametri ABGD, et basis
62
eius equalis circumferentie circuli ABGD, tunc quod fit ex multipli-
63
catione eius in medietatem sectionis circumferentie est area figure
64
accepta equalis aree trianguli E.
65
[Corollarium II:] Et propter hoc erit multiplicatio medietatis diame-
66
tri in medietatem portionis circumferentie area figure que continetur
67
ab illa portione et duabus lineis egredientibus a duabus extremitati-
68
bus portionis ad centrum. Et illud est cuius voluimus declarationem.
69
II. PROPORTIO AREE OMNIS CIRCULI AD QUADRATUM
70
DIAMETRI IPSIUS EST SICUT PROPORITIO 11 AD 14.
71
Exempli causa, sit linea AB [*]Fig. 5diametrus circuli, et super
72
ipsam quidem faciam quadratum HG. Sitque DG medietas DE, et
73
sit linea EZ septima GD. Et quia proportio trianguli AGE ad trian-
74
gulum AGD est sicut proportio 3 ad 1 et proportio trianguli AGD
75
ad triangulum AEZ est sicut proportio 7 ad 1, tunc propter illud
76
|29rb|[MS Paris, BnF, lat. 9335]fit proportio trianguli AGZ ad triangulum AGD sicut proportio
77
22 ad 7. Quadratus vero GH est quadruplus trianguli ADG, et
78
triangulus AGZ est equalis circulo AB, quoniam perpendicularis AG
79
est equalis linee que egreditur a centro circuli ad lineam ipsum circum-
80
dantem, et basis GZ est equalis circumferentie circuli, quoniam est
81
plus triplo diametri ipsius et septima diametri fere. Iam igitur veri-
82
ficatum est quod diximus, quod proportio circuli AB ad quadratum
83
GH est sicut proportio 11 ad 14. Et illud est quod voluimus declarare.
48
84
III. OMNIS LINEA CONTINENS CIRCULUM ADDIT SUPER
85
TRIPLUM DIAMETRI IPISIUS MINUS SEPTIMA ET PLUS 10
86
PARTIBUS 71 PARITIUM DIAMETRI.
87
Exempli causa, sit linea AG diametrus circuli AG [*]Fig. 6. Sitque
88
eius centrum E, et linea DZ sit contingens circulum, et sit angulus
89
ZEG tertia anguli recti. Ergo proportio EZ ad ZG est sicut proportio
90
306 ad 153. Dividam autem angulum ZEG in duo media linea HE.
91
Ergo proportio ZE ad EG est sicut proportio ZH ad GH. Ergo
92
proportio ZE et EG coniunctarum ad ZG est sicut proportio EG ad
93
GH. Fit ergo proportio EG ad GH maior proportione 571 ad 153.
94
Ergo proportio EH in potentia ad HG in potentia est plus propor-
95
tione 349450 ad 23409. Ergo proportio eius ad ipsam in longitudine
96
est maior proportione 591 et octave ad 153. Angulum quoque HEG
97
dividam in duo media linea ET. Ergo secundum similitudinem eius
98
quod diximus, declaratur quod proportio EG ad GT est maior pro-
99
portione 1162 et oc|29va|[MS Paris, BnF, lat. 9335]tave ad 153. Ergo proportio TE ad TG est maior
100
proportione 1172 et octave ad 153. Angulum quoque TEG in duo
50
101
media dividam linea EK. Proportio igitur EG ad GK est maior
102
proportione 2334 et quarte ad 153. Et angulum etiam KEG dividam
103
in duo media linea LE. Proportio igitur EG ad GL in longitudine
104
est maior proportione 4673 et medietatis ad 153. Et quia angulus ZEG
105
fuit tertia anguli recti, oportet ut sit angulus LEG quadragesima
106
octava pars anguli recti. Faciam autem supra punctum E angulum
107
equalem angulo LEG, sitque angulus GEM. Angulus igitur LEM
108
est vicesima quarta pars recti anguli. Linea ergo recta LM est latus
109
figure poligonie continentis circulum habentis 96 angulos equales.
110
Et quoniam iam declaravimus quod proportio EG ad GL est maior
111
proportione 4673 et medietatis ad 153, et duplum EG est linea AG,
112
et duplum GL est linea LM, sequitur ut sit proportio AG ad lineam
113
circumdantem figuram poligoniam 96 angulorum maior proportione
114
4673 et medietatis ad 14688. Et illud quod est plus triplo 667 et me-
115
dietatis, cuius proportio ad 4673 et medietatem est minor septima.
116
Oportet ergo ut sit figura poligonia continens circulum plus triplo
117
diametri ipsius per id quod est minus septima diametri et plus dimi-
118
nutione linee continentis circulum a triplo diametri eius et septima.
119
Et sit circulus cuius diametrus sit AG [*]Fig. 7. Describam autem
120
in ipso latus exagoni, quod sit GB. Angulus igitur GAB est tertia
121
recti. Ergo proportio AB ad BG est minor proportione 1351 ad 780,
122
propterea quod proportio AG ad GB est sicut proportio 1560 ad
123
780, quoniam AG est dupla GB. Dividam autem an|29vb|[MS Paris, BnF, lat. 9335]gulum GAB
52
124
in duo media linea AH. Et quia angulus BAH est equalis angulo
125
HAG, angulo AHG communi, erunt anguli trianguli AHG equales
126
angulis ABZ. Ergo proportio AH ad HG est sicut proportio AB
127
ad BZ, et sicut proportio AG ad GZ et sicut proportio GA, AB
128
coniunctarum ad BG. Et ex eo declaratur quod proportio AH ad HG
129
est minor proportione 2911 ad 780, et quod proportio AG ad HG est
130
minor proportione 3013 et medietatis et quarte ad 780. Dividam autem
131
angulum GAH in duo media linea AT. Declarabitur ergo ex eo
132
quod premisimus, quod proportio AT ad TG est minor proportione
133
5924 et medietatis et quarte ad 780. Et illud est sicut proportio 1823
134
ad 240, quoniam proportio cuiusque duorum numerorum primorum
135
ad suum relativum duorum numerorum postremorum est sicut pro-
136
portio 3 et quarte ad 1. Fit ergo proportio AG ad GT minor propor-
137
tione 1838 et novem undecimarum partium unius ad 240. Et etiam
138
dividam angulum TAG in duo media linea AK. Ergo proportio AK
139
ad KG est minor proportione 3661 et novem undecimarum unius ad
140
240 et illud est sicut proportio 1007 ad 66, quoniam proportio cuiusque
141
duorum numerorum primorum ad suum relativum duorum numero-
142
rum postremorum est sicut proportio 40 ad 11. Ergo proportio AG|30ra|[MS Paris, BnF, lat. 9335]
143
ad KG est minor proportione 1009 et sexte ad 66. Angulum quoque
144
KAG dividam in duo media linea AL. Ergo proportio AL ad LG
145
est minor proportione 2016 et sexte ad 66. Ergo proportio AG ad GL
54
146
est minor proportione 2017 et quarte ad 66. Cum ergo composueri-
147
mus, fiet proportio linee continentis figuram poligoniam ad diametrum
148
maior proportione 6336 ad 2017 et quartam. Sed proportio 6336 est
149
plus triplo 2017 et quarte secundum plus 10 partibus 71 partium unius.
150
Ergo linea continens figuram poligoniam habentem 96 angulos, quam
151
circulus continet, addit super triplum diametri eius plus 10 partibus
152
71 partium. Fit ergo linea continens circulum plus triplo diametri sui
153
secundum id quod est plus 10 partibus 71 partium et fit augmentum
154
eius super hanc quantitatem plus augmento laterum figure poligonie.
155
Linea ergo continens circulum addit super triplum diametri eius
156
minus septima ipsius et plus 10 partibus 71. Et illud est quod declarare
157
voluimus.