1
1
|1, 3|<Liber primus>
2
<Definitiones>
|1|[ed. Curtze]|7/1r|[ms K]|13v|[ms M]3
< def. 1 > Dixit Euclides: Punctum est quod partem non habet.
4
Supra hoc dixit Sambelichius : punctum est principium quantitatum et
5
est unde augentur, et ipsum solum est quod non dividitur habens situm.
6
Cum ergo in sua habitudine firmatum fuerit et postea motum ac si a
7
primo situ ad alium situm velociter cucurrerit, provenit ex eo ob
8
causam sui motus et sui cursus quantitas habens unam dimensionem.
9
Quia enim ipsum non dividitur, non provenit ex eo nisi una tantum
10
dimensio que est longitudo tantum. Linea quoque cum se moverit, si
11
fuerit eius motus sequens motum puncti, augebit solam sui longitudinem
12
tantum; linea enim non fit nisi ex motu puncti. Si autem linea in se
13
ipsam moveatur et de suo situ primo ad alium situm fuerit mota,
14
accidit ex sua remotione alia dimensio que vocatur latitudo, et
15
provenit ex ea quantitas habens duas dimensiones que vocatur superfi-
16
cies, eo quod sit sicut illud quod super corpora est expansum et est
17
illud quod ex corporibus videtur. Superficies quoque si moveatur
18
linee sequens motionem, augebit se solam tantum. Si autem tota moveatur
19
a suo primo situ ad alium situm, proveniet dimensio tertia que
20
vocatur profunditas, et fit ex ea corpus, quod cum sit tres habens
21
dimensiones, undique a superficiebus comprehenditur.|2|[ed. Curtze]
22
Exemplum subiciam huiusmodi, sc. quod cum aliqua superficies
23
mota fuit que antequam moveretur, fuerat superficies quadrata,
24
que sc. sit superior cubi superficies qui ex eius motu provenit,
25
et sit alia superficies in quam finitus est motus, que sc.
26
est superficies cubi inferior: quatuor ergo linee que comprehendunt
27
quadratum, fecerunt quatuor reliquas superficies que comprehendunt
28
cubum. Declaratum est igitur quod corpus undique a superficiebus
2
1
comprehenditur. Si ergo corpus moveatur, impossibile est quin eius
2
motus sit sequens unam suarum superficierum, ideoque in se ipsum
3
augetur et non accidit magnitudini alia dimensio. Et convenit necessario
4
quod sit magnitudo dimensionum cum rectis angulis, eo quod sit.
5
finita; linee vero quarum unam super aliam erigi possibile est super
6
rectos angulos, tres tantum sunt. Ideoque sunt tres dimensiones, sc.
7
longitudo, latitudo, profunditas. Quapropter locales etiam dimensiones
8
fuerunt tres, sc. a sursum deorsum, a dextra in sinistram, ab anteriori
9
ad posterius.
10
Dixit preterea Sambelichius: punctum ideo negando Euclides difinivit
11
quia omni complenti deest una dimensio eius quod completur, sicut
12
diminutio superficiei a corpore et diminutio linee a superficie et
13
diminutio puncti a linea. Cum ergo corpus sit habens tres dimensiones,
14
punctum necessario nullam earum habet neque habet partem. Vera enim
15
causa ob quam negando difinivit, est quia causa dimensionum ipsum est,
16
et oportet ut causa sit magis propinqua ad hoc ut non dividatur, quam
17
causatum, eo quod ipsa sit magis propinqua uni qui est causa totius.
18
Et quia res magis simplex est causa eius quod est post ipsam, cum
19
fuerint ambo unius generis, sc. generis habentis situm, ideo punctum
20
quod in linea est inventum - quod est sicut finis quod proprie geometre
21
sciunt - est magis simplex quam linea neque habet partem, donec ad
22
hoc deductum sit ut non dividatur; et similiter etiam unitas que
23
complet tres, exivit a tribus. Punctum vero quod est causa linee,
24
eo quod sit sublimius et simplicius dimensioni|3|[ed. Curtze]bus, dicitur non
25
habere partem. Non tamen dicitur non habere partem nisi ideo quod non
26
habet dimensionem neque dividitur, et est causa eius quod dividitur
27
habentis dimensionem. Quapropter hec difinitio unitati non convenit,eo
28
quod non sit causa eius quod dividitur dimensionem habentis, neque
29
omnino sit unius et eiusdem generis cum eis que habent dimensiones.
30
Motus enim licet habeat continuitatem et dimensionem, non tamen ha-
31
bet eas nisi ex quantitate. Similiter quoque tempus non habet eas
32
nisi ex motu. Ergo finis motus et instans non ob aliud sunt non ha-
33
bentia partem et dimensionem nisi propter punctum. Punctum ergo prius
3
1
et posterius est indivisum et indimensum. Manifestum quoque est quod
2
punctum quod est magis simplex quam linea, non diminuit aliquid eorum
3
que habent dimensiones cum partitur ea, neque auget ea, eo quod non
4
habet partem et est finis eorum. Si quis autem puncti virtutem scire
5
quesierit, quod est magis simplex quam linea, in sensibilibus imaginetur
6
centrum totius et polos.
7
Preter hanc vero multe alie difinitiones puncto attribute fuerunt.
8
Hermides enim dixit quod punctum est principium omnium quantita-
9
tum indivisum, et forsitan non ob aliud sic difinivit nisi ut esset
10
difinitionis conversio manifesta.
11
Aposedonius autem dixit quod punctum est extremitas non habens
12
dimensionem aut extremitas linee.
13
Sed difinitio magis propinqua intentioni est ut dicatur quod punctum
14
est quod non habet dimensionem quantitatis continue habentis situm. In
15
hac enim difinitione appositum est maius genus quod est quantitas quod
16
continuum divisit, per quod punctum separatur ab unitate; hoc est
17
quod licet unitas sit indivisa, est tamen quantitatis discrete. Hoc
18
autem pro|4|[ed. Curtze]pinquum commune quod est situm, separat punctum a
19
tempore et a motu et ab eorum extremitatibus. Et ex hoc quod diximus
20
in hac difinitione punctum non habere dimensionem, separavimus
21
punctum a superficie et a linea et a corpore que habent situm. Quod
22
si loco huius dicti non habens dimensionem diceretur quod ipsum est
23
sicut extremitas aut causa, separaretur a linea et a superficie et a
24
corpore quoniam nullum horum habet dimensionem.
25
Quidam vero alii difinierunt punctum dicentes punctum esse unitatem
26
habentem situm, sicut difinierunt unitatem dicentes ipsam esse
27
punctum non habens situm. Quam difinitionem dederunt non ut esset vera
28
sed transumptionem faciendo. Hoc est ideo quod continua et discreta
29
diversificantur in situ; ergo erunt finis motus et instans magis
30
propinqua puncto quam unitas propter communitatem que est inter ea
31
secundum continuitatem que non est in unitate. Ego autem dico quod u-
32
nitas est res carens partibus et situ, et est principium quantitatis
4
1
discrete.
2
< def. 2 > Dixit Euclides: Linea est longitudo sine latitudine.
3
Supra hoc vero dixit Sambelichius: linea habet principium ex quo
4
ipsa fuit, quod est punctum, et ipsa est principium superficiei. Quia ergo
5
ipsa fuit ex principio indiviso, est longitudo, et quia ipsa est principium
6
latitudinis, est sine latitudine. Linea quoque ab aliis separata est cum
7
difinitione negativa, sed cum qua est affirmativa.
8
Hermides autem difinivit lineam dicens eam esse quantitatem que
9
habet unam dimensionem.
10
Alii autem difinierunt eam dicentes ipsam esse extremitatem quan-
11
titatis continue habentis situm quam separat punctum. Que manifeste
12
apparent in sensibilibus, sc. inter lumen et umbram. |5|[ed. Curtze]
13
< def. 3 > Dixit Euclides: Due extremitates linee sunt duo puncta.
14
Supra hoc Sambelichius dixit: non Dixit Euclides quod queque linea
15
sit finita punctis. Impossibile tamen est quod sit linea infinita. Non
16
tamen iudicare de hiis verbis attinet geometris quia hoc tantum
17
magistro naturalis scientie convenit; geometre tamen quandoque ponunt
18
lineas esse infinitas; linea quoque circumflexa est infinita. Euclides
19
autem noluit intelligere nisi quod linee finite finiuntur punctis
20
quemadmodum superficies finiuntur lineis et - ut omnino dicam - sicut
21
finitur omne illud quod est unius generis, per id quod minus est illo
22
secundum unam dimensionem. Et non dixit hoc nisi propter sectionem
23
quantitatum et earum augmentum; hoc est quod cum fuerint fines line-
24
arum puncta, manifestum est quod cum punctum diviserit lineam, non
25
minuit ex ea dimensionem, et etiam quod si linee sese contingant in
26
punctis, nichil augmenti ex contactu illo recipiunt. Geometre vero verba
27
ista probabiliter recipiunt|14r|[ms M] et credunt.
28
< def. 4 > Dixit Euclides: Linea recta est que est posita super e-
5
1
quale quod est inter omnia duo puncta cadentia super ipsum, ac si vellet
2
dicere illud quod Axamites intellexit; hoc est: brevior dimensio que
3
coniungit quod est inter duo puncta.
4
|1, 9|Supra hoc Sambelichius: Euclides vult intelligere quando dicit quod
5
est 'equale quod est inter omnia duo puncta' , dimensionem que est
6
inter duo puncta duarum extremitatum suarum. Quia cum nos posuerimus
7
duo puncta que sunt linee extremitates, - non enim difinivit in hoc
8
loco nisi lineam finitam - et acceperimus dimensionem que est inter
9
ea ac si positum esset lineam non esse inter ea, erit illa dimensio
10
equalis linee cuius illa duo puncta sunt extremitates. Si enim vellemus
11
mensurare dimensiones que sunt inter quedam puncta et alia cum
12
linea, mensuraremus cum breviori linea que est brevior viis que sunt
13
inter res separatas, neque me|6|[ed. Curtze]tiremur cum linea in qua sit
14
curvitas.
15
Et ideo difinivit eam Asamites dicens: linea recta est brevior
16
lineis quarum extremitates sunt eedem, et vult dicere quod sit brevior
17
linea que coniungit quod est inter duo puncta. Mensuratio etiam non
18
fiet nisi cum linea recta, quoniam ipsa so|8/1v|[ms K]la est difinita;
19
hoc est quod nulla aliarum linearum invenitur difinita. Possibile enim
20
nobis est coniungere punctum puncto cum lineis curvis et circumflexis et
21
compositis, quarum alie sunt maiores aliis; quod semper fieri
22
possibile est.
23
|2, 10|Euclides quoque cum difinivit genus linee et dixit quod est
24
longitudo sine latitudine, processit deinde ad loquendum de speciebus.
25
Species enim linee sunt multe, sc. quod earum alie sunt recte,
26
alie circumflexe, alie medie inter rectas et circumflexas que sunt
27
ac si ex eis forent composite. Harum vero que sunt medie, quedam
28
sunt inordinate quam ob rem non indigent eis geometre, sicut sectiones
29
piramidum que sunt formate ad animalium similitudinem, et alie
30
infinite; quedam sunt quibus geometre utuntur, sicut sectiones piramidum
31
que sunt alternate et que sunt addite et que sunt diminute, et li-
6
1
nee que sunt leulevie et alie linee multe his similes in quibus
2
sunt multe res mirabiles. Euclides vero quia scivit mensuram et
3
utilitatem prologi, non difinivit nisi rectam et circumflexam que
4
sunt simplices.
5
|3, 6|Plato vero difinivit rectam lineam dicens: linea recta est cuius
6
medium duas ipsius extremitates cooperit. Cum enim aliquis fixerit
7
oculum supra unum punctum duarum extremitatum et voluerit videre
8
aliam extremitatem et posuerit oculum in loco puncti, inveniet quod
9
illud quod est in medio, cooperit extremitatem|7|[ed. Curtze] aliam que est
10
post ipsum. Hec autem difinitio loco indicis ponitur, sc. quod non
11
ideo quod medium cooperit duas extremitates, est linea recta, sed quia
12
linea est recta, ideo medium cooperit duas extremitates; quod est ideo
13
quod visus transit secundum rectitudinem.
14
Alii vero difinierunt eam dicentes: linea recta est que est bene
15
ordinata.
16
Alii vero difinierunt eam dicentes: linea recta est cuius omnes
17
|4, 5|partes possibile est omnibus superponi partibus undique. Hoc est quod
18
partes circuli licet superponantur alie aliis, non tamen superpositio
19
illa est undique, id est: si ponatur curvitas extrinseca unius
20
partis eius super curvitatem extrinsecam alterius partis ipsius,
21
contingent se in uno puncto sicut circuli se contingent et non se
22
cooperient. Si autem intrinseca curvitas intrinsece curvitati obviando
23
adiungatur non superponendo, continget eam in duobus punctis et non
24
cooperient se.
25
|4, 11|Alii autem difinierunt eam dicentes: linea recta est que cum due
26
ipsius extremitates figuntur, figitur et non movetur a suo situ si-
27
cut meguar. Linee enim circumflexe licet earum extremitates sicut
28
poli figantur, non propter hoc tamen remanet quin moveantur de loco ad
29
locum sicut medietas circuli que est inter duos polos; sed licet ima-
7
1
ginaremur lineam rectam mobilem duabus suis extremitatibus fixis, non
2
tamen de loco suo moveretur.
3
Ideoque alii difinierunt eam dicentes: linea recta est que cum
4
super duas ipsius extremitates rotatur, non movetur de suo loco ad
5
alium locum. Circumferentia vero circuli etsi moveatur super unam
6
suarum extremitatum que est centrum, non tamen movebitur de loco ad
7
locum, sed si moveatur super duo puncta, sicut super duos polos,
8
movebitur de suo loco.
9
|5, 8|Oportet nos itaque scire quod difinitio linee recte quam Euclides
10
dedit, brevior est et|8|[ed. Curtze] magis conveniens omnibus difinitionibus
11
quas alii dederunt. Quod est ideo quod quidam eorum assumpserunt
12
difinitionem loco indicis, et alii assumpserunt difinitionem secundum
13
relationem quam habent alie ad alias. Ex hoc ergo videtur nobis quod
14
linea recta est magis simplex et antiquior circumflexis. Linea enim
15
recta adinvicem cooperit aliam secundum quod posita fuerit; in aliis
16
vero lineis non contingit sic. Linea quoque recta est media et sola;
17
alie vero linee que non sunt recte, simul habent curvitatem exterius
18
et concavitatem interius. Sed cum linea recta terminatur res et cum
19
ea mensuratur; ipsa est enim minor linea lineis quarum extremitates sunt
20
sue extremitates. Alie vero linee non sunt sic.
21
|6, 7|< def. 5 > Dixit Euclides: Superficies est que habet longitudionem et
22
latitudinem.
23
Supra hoc Sambelichius inquit: processit Euclides ad loquendum de
24
secunda specie quantitatis, sc. de superficie, quam difinivit secundum
25
eundem modum cum affirmatione et negatione, id est: quod cum dicit
26
habens longitudinem et latitudinem , dicit cum affirmatione, et cum
27
dicit non plus, dicit cum negatione. Cum enim dicit non plus, tantum
28
valet ac si diceret: non habet profunditatem.
29
Hermides vero difinivit superficiem dicens: superficies est
30
quantitas habens duas dimensiones, quemadmodum difiniens corpus dixit
8
1
ipsum esse quantitatem habentem tres dimensiones.
2
Nomen autem superficiei in lingua greca derivatum est ex apparitio-
3
ne, sc. quia est hoc quod apparet in corpore. Corpus enim non apparet
4
donec ipsa videatur.
5
|7, 5|< def. 6 > Dixit Euclides: Superficiei extremitates sunt linee.
6
Supra hoc Sambelichius: sicut linea cum de suo situ primo mota
7
fuerit, fecit superficiem, ita etiam ex eius extremitatibus quia mote
8
fuerunt, provenerunt linee que continent superficiem. Ex quo voluit
9
intelligi quod cum|9|[ed. Curtze] linea mota fuerit a suo situ, provenit
10
superficies cui acciderunt duo termini qui sunt due linee que provenerunt
11
ex duabus extremitatibus linee propter ipsius motum. Duo autem
12
termini qui remanent, sunt due dimensiones quarum una continet locum
13
linee primum, et secunda que occupat locum ubi finitur motus. Hoc est
14
quod Euclides in hoc loco non fuit locutus nisi de superficie finita. De
15
infinita vero et rotunda nichil dixit.
16
|8, 1|< def. 7 > Dixit Euclides: Superficies plana est illa que est posita
17
supra dimensionem que est equalis ei quod est inter lineas
18
rectas que sunt supra ipsum, ac si vellet dicere: est brevior superficies
19
que coniungit inter duas rectas lineas.
20
Supra hoc Sambelichius: processit Euclides loquendo de genere super-
21
ficiei communi et transivit ad species ipsius que sunt multe - sicut
22
species linee - quarum quedam sunt superficies simplices, quedam
23
superficies composite; compositarum item alie sunt ordinate,
24
alie inordinate. Sed superficies simplices sunt quarum sunt recte linee
25
aut quarum linee sunt rotunde; composite in quibus coniunguntur due
26
species linearum. Compositarum vero que est ordinata, est sicut
27
semicirculi et eorum partes, et universaliter quas linee comprehendunt
28
ordinate; inordinate vero sunt quas inordinate comprehendunt
29
|8, 11|linee. Euclides tamen non assumpsit de speciebus superficie nisi
9
1
planam tantum, quemadmodum fecit in lineis, et quod prius difinivit ex
2
eis, est superficies plana quam eodem modo difinivit quo lineam rectam.
3
Linea enim recta ita se habet ad lineas ut superficies plana ad
4
superficies. Dimensio enim superficiei plane est equalis dimensioni
5
que est|14v|[ms M] inter lineas rectas que ipsam comprehendunt, et est
6
dimensio terminata que est brevior dimensionibus. Quod si etiam
7
accidat quod latera ipsius non sint equidistantia, sed fuerit di-
8
mensio que est inter lineas, diversa in suis diversis partibus, erit
9
etiam hec difinitio vera. Hoc est ut si|10|[ed. Curtze] assumptum fuerit
10
spatium brevius quod est inter lineas que sunt ipsius fines, in
11
quacumque parte ipsius fuerit, licet spatium brevius quod est inter
12
eas, in quibusque locis sit maius et in aliis minus: superficies
13
tamen que est inter lineas illas, ubicumque est spatium, debet esse
14
dimensio illi spatio equalis.
15
|9, 8|Alii autem difinierunt superficiem planam dicentes: superficies
16
plana est in qua est possibile protrahi ab omni puncto ad omne
17
punctum lineam rectam.
18
He quidem difinitiones omnes difiniunt superficiem planam omnem et
19
non solum superficiem quam recte continent linee; quod Euclides
20
difinire voluit cum dixit: quod est equale spatio quod est inter rectas
21
lineas quod ipse comprehendunt. Superficiem enim rotundam linee recte
22
non comprehendunt; superficies quoque compositas non tantum recte
23
comprehendunt linee.
24
|10, 4|Oportet autem nos scire antiquos consuevisse nominare omne planum
25
superficiem et posuisse in divisione oppositum corpori. Euclides vero
26
non posuit planum nisi pro specie superficiei, et voluit cum eo
27
secundum hoc quod videtur ex dictis eius in difinitione superficiei,
28
ut esset illud quod linee recte comprehendunt. Sed secundum hoc quod
29
videtur ex hoc quod alias superficies dimisit, non voluit nisi quod
30
omnis superficies super quam recta linea posita fuerit quolibet modo,
31
sit coniuncta cum ea absque divisione ad hoc ut fieret opposita in
32
divisione superficiei sperice et medie, sc. simplici et composite; et
33
dimisit omnes alias superficies, sicut superficiem columpne et pirami-
10
1
dis, eo quod alibi intelliguntur, et voluit intelligere superficies planas
2
que sunt in cubo et in basibus columpnarum et piramidum.
3
Quod si quis voluerit reducere hanc difinitionem ad hoc ut non solum
4
sit superficierum quas recte comprehendunt linee, sed etiam superfi-
5
cierum rotundarum et mediarum, minuat ex ea parum. Dicat ergo: superfi-
6
cies plana est cuius spatium est equale spatio linee que ipsum|11|[ed. Curtze]
7
comprehendit aut spatio linearum que ipsum comprehendunt. Ergo hec
8
difinitio erit rectarum et non rectarum.
9
|11, 5|< def. 8 > Dixit Euclides: Angulus superficialis est inclinatio
10
duarum linearum in una supeficie sibi obviantium non secundum recti-
11
tudinem positarum.
12
Supra hoc|9/2r|[ms K] Sambelichius: postquam Euclides tractavit de
13
linea et superficie, incipit. loqui de angulo superficiali quoniam
14
ipse est medius earum, et dixit quod ipse est inclinatio duarum linearum
15
in una superficie sibi concurrentium et non secundum rectitudinem
16
coniunctarum.
17
Quare dixit 'in superficie' , eo quod si due linee secundum
18
hunc modum forent in corpore aut in duabus superficiebus, non esset
19
ex eis angulus superficialis, sed diceretur quod esset angulus superfi-
20
cialis in potentia; similiter quoque superficies. 'Ex duabus vero
21
lineis' dixit, quia impossibile est angulum superficialem ex una
22
linea fieri, neque est possibile ut ex pluribus quam duabus fiat, sed
23
erunt multi anguli. 'Duas vero lineas' dixit et nichil plus, et non
24
dixit 'duas lineas rectas' , ideo ut hec difinitio comprehenderet omnes
25
species angulorum superficialium, eos sc. quos due recte comprehendunt
26
linee et quos due circumflexe comprehendunt linee et quos linee
27
comprehendunt quarum una est circumflexa et altera recta.
28
Angulorum autem species quos circumflexe continent linee, tres
29
sunt, sc. angulus qui fit ex duabus lineis circumflexis a parte
30
gibbosa coniunctis, et angulus qui fit ex eis cum ipse a parte curva
31
iunguntur, et alius qui fit ex eis cum una iungitur alii a parte
32
gibbosa et alia a parte curva.
11
1
Species quoque angulorum qui fiunt ex linea recta et circumflexa
2
que dicuntur cornee, sunt due. Prima species est cum angulus fit ex
3
linea recta coniuncta circumflexe a parte gibbosa, secunda cum fit
4
angulus ex linea recta coniuncta circumflexe a parte curva, sicut ex
5
|12, 11|portionibus circuli. Angulorum preterea sunt multe species secundum
6
coniunctionem linearum compositarum.
7
Euclides tamen hic angulum superficialem universaliter difinivit;
8
ideo vero posuit|12|[ed. Curtze] in difinitione 'sibi obviantium' quia si
9
linee due forent separate, non proveniret ex eis angulus. Et similiter
10
si concursus earum foret secundum rectitudinem, non fieret ex eis
11
angulus, et hoc est quod due linee sic coniuncte fierent una linea et non
12
fieret ex eis angulus. Dicit ergo quod due linee sic posite
13
quarum una ab altera declinat, sunt angulus.
14
|13, 5|Quidam putant secundum hoc quod dicitur in hac difinitione quod
15
angulus non sit nisi relatio tantum, et quod non sit quantitas. Videtur
16
tamen quod sit quantitas.
17
- Cum enim angulus expansus sit maior recto et acutus recto sit minor,
18
et maius et minus sint in quantitate, ergo angulus est quantitas.
19
- Angulus quoque habet qualitatem, sc. quia expansio et acuitas que sunt
20
in angulis, sunt qualitates.
21
- Angulo preterea accidit ut dividatur in duo media quod contingit in
22
nona figura prime partis libri Euclidis; sed divisum in duo media non
23
est nisi quantitas.
24
- Preterea angulus dividitur cum linea, ac si esset longitudo et
25
latitudo.
26
Verumtamen secundum hoc quod queque superficies dividitur cum
27
linea in longitudine et latitudine, et angulus dividitur in longitudine de
28
puncto ad punctum et non dividitur in latitudine - quoniam angulus non
29
minuitur propter partes que proveniunt propter lineas que protrahuntur
30
super duas lineas angulum comprehendentes - ideoque videtur quod
31
angulus non habet latitudinem.
32
- Angulus quoque corporeus non habet profunditatem, eo quod secundum
12
1
profunditatem non dividitur.
2
|14, 4|- Amplius etiam quantitas cum duplatur, remanet quantitas. Angulus
3
vero rectus cum duplatur, non remanet angulus. Ergo angulus non est
4
quantitas.
5
Forsitan tamen Euclides ideo difinivit ipsum per id quod manifeste
6
invenitur in eo, sc. relatio, quoniam procul dubio angulus est medius
7
inter lineam et superficiem quantum ad quantitatem. Ideoque Apolo-
8
nius difinivit universalem angulum breviori difinitione et|13|[ed. Curtze]
9
convenientiori qua significatur quod ipse sit medius in quantitate,
10
cum dixit quod angulus est coniunctio superficiei aut corporis ad unum
11
punctum que comprehenduntur a linea curva aut superficie acuta. Ex hoc
12
enim significavit quod est quantitas, et significavit quod eius
13
species est medians, cum dixit quod coniunguntur ad unum punctum et
14
|15, 1|quod comprehendit ea linea curva aut superficies acuta. Noster vero
15
socius Aganiz, eo quod vidit Apolonium excepisse post difinitionem
16
suam, cum dixit quod non convenit ut hec sit universalis difinitio,
17
sed convenit ad coniungendas species et numerandas, difinivit angulum
18
hoc modo dicens: angulus est quantitas habens dimensiones cuius
19
extremitates perveniunt ad unum punctum. Iste quidem ex hoc quod
20
dixit 'habens dimensiones' , coniunxit communitatem que est inter
21
superficialem et corporeum, et intellexit ibi separationem que est
22
inter eos, et voluit ut ex verbis eius intelligeretur quod angulus
23
superficialis habet longitudinem et latitudinem, et est habens duas
24
dimensiones, et angulus corporeus est habens tres dimensiones.
25
Et forsitan convenientius est ut angulus ponatur medians in quanti-
26
tate, sc. ut superficialis sit medius inter superficiem et lineam, et
27
|15, 10|corporeus sit medius inter superficiem et corpus. Et forsitan aliquis
28
difiniet angulum et dicet: angulus est quantitas quam comprehendit
29
vicinior quantitas quantitatibus que eo simpliciores existunt, ad unum
30
pervenientes punctum. Eo autem in hac difinitione dictum est 'simplici-
31
ores' , quoniam si fuerit angulus superficialis,|15r|[ms M] ipse erit
13
1
medius inter id quod habet unam dimensionem et id quod habet duas,
2
ergo comprehendent eum linee; et si fuerit corporeus, comprehendent
3
ipsum superficies. Et quod dictum est in|14|[ed. Curtze] difinitione 'com-
4
prehendit eam' , ideo additum est ut significetur inclinatio compre-
5
hendentis. Linee enim recte cum ad unum concurrunt punctum, si se-
6
cundum rectitudinem coniungantur, nichil comprehendent. Angulus vero
7
superficialis est quantitas quam due comprehendunt linee ad unum
8
concurrentes punctum, quarum comprehensio est in uno puncto; quia
9
licet linee non comprehendant angulum undique aut superficies non
10
comprehendant ipsum undique, sicut fit in aliis figuris, tamen flexio
11
illa et inclinatio est aliqua comprehensio. Dicimus enim quod introitus
12
portus comprehendit navim.
13
|16, 9|< def. 9 > Dixit Euclides: Quando due linee que angulum compre-
14
hendunt fuerint recte, angulus dicetur rectilineus.
15
Supra hoc Sambelichius: quia Euclides difinivit angulum universali
16
difinitione, rediit ad specificandum et significavit secundum hoc quod
17
dixit in una specie, quid in reliquis speciebus sit dicendum. Quoniam
18
intelligitur ex his verbis quod si fuerint due linee que continent
19
angulum, circumflexe, nominabitur angulus cuius duo latera sunt
20
circumflexa, et si fuerint linee que ipsum comprehendunt, composite,
21
anguli latera dicentur composita secundum divisionem que precessit.
22
|17, 3|< def. 10 > Dixit Euclides: Cum linea recta super rectam erigitur
23
lineam et fiunt duo anguli qui sunt in utraque parte. equales: uterque
24
eorum est rectus et linea erecta dicitur perpendicularis super lineam
25
illam.
26
Supra hoc Sambelichius: quia anguli species duobus modis diversi-
27
ficantur, uno secundum speciem comprehendentis, alio secundum magni-
28
tudinem sui ipsius, et Euclides iam dixerat differentias eius secundum
29
id quod ipsum comprehendit, dixit hic differentias superficiales
30
secundum quantitatem ipsius. Angulus ergo rectus est quem due recte
31
comprehendunt linee quarum queque ita |15|[ed. Curtze] super aliam est erec-
14
1
ta ut nulla in eis sit inclinatio; ideoque rectus vocatur et meruit
2
difinitionem equalitatis. Et ideo cum fuerit linea erecta super aliam
3
lineam non inclinata neque super extremitatem linee alterius erecta,
4
sed in alio loco, et proveniunt ex duabus lineis duo anguli et fuerint
5
|18, 1|equales, quisque eorum erit rectus. Sed cum una linea fuerit super
6
aliam inclinata, proveniet ex illa inclinatione unus duorum angulorum
7
maior recto et alter minor recto. Erunt ergo maior et minor secundum
8
hoc ac si essent relati ad equalitatem, sc. quod maior aut minor
9
equalitate. Et ideo anguli recti sunt difiniti quia sunt equales;
10
anguli vero alii quia sunt maiores aut minores rectis, non sunt
11
difiniti, et illud est ideo quod inclinatio diversificatur secundum
12
augmentum et diminutionem[*]The Latin translation omits a part of the Arabic sentence due to eye-skip alternatim, id est: quod quantum augetur
13
maior, tantum minuitur minor.
14
Angulus autem qui est maior recto, dicitur expansus, et qui est
15
minor, dicitur acutus. Et licet hec diversitas in primis appareat in
16
angulis quos recte linee comprehendunt, ita tamen in reliquis angulis
17
necessario contingit proportionaliter.
18
< def. 10 > Dixit Euclides: Linea erecta dicitur perpendicularis
19
super lineam super quam est erecta.
20
|19, 1|Supra hoc Sambelichius: quia res graves que descendunt a superioribus
21
ad inferiora, naturaliter habent pervenire ad centrum totius, ideo
22
est earum descensus cum equalitate absque inclinatione. Ideoque
23
earum motus secundum rectum fit angulum; quapropter linea rectos
24
faciens angulos super lineam super quam est erecta, vocatur perpen-
25
dicularis super lineam super quam ipsa est erecta, quia eius descensus
26
est ac si naturaliter ad centrum descendere vellet. Et hec linea vocatur
27
perpendicularis cum imaginatur descendens, et vocatur erecta cum
28
imaginatur surgens.
29
|19, 7|< def. 11 > Dixit Euclides: Angulus expansus est angulus maior recto.
30
et angulus acutus est angulus mino recto.
31
Hoc vero declaratum est in capitulo quod precessit.
15
1
< def. 12 > Dixit Euclides: Terminus est finis rei.|16|[ed. Curtze]
2
Supra hoc Sambelichius: non vult dicere Euclides absolute quod
3
terminus sit finis cuiuslibet rei, sc. noluit dicere in hoc loco de
4
puncto, sed voluit dicere terminum qui dividit unam rem ab alia qui sit
5
quantitas. Punctum vero non est sic et hanc nostram dictionem confirmat
6
illud quod Dixit Euclides post hoc.
7
|20, 4|< def. 13 > Dixit Euclides: Figura est que termino|10/2v|[ms K] vel
8
terminis comprehenditur.
9
Supra hoc Sambelichius: iam declaratum est quod ex necessitate
10
debet habere quantitatem, sc. quod punctum non comprehendit figuram
11
neque unum neque plura, quoniam ipsum caret dimensione. Hec autem
12
difinitio comprehendit figuras superficiales et corporeas et eas que
13
sunt simplices et composite. Manifestum est ergo quod possibile est
14
ut sit figura quam una linea comprehendat circumflexa aut due linee
15
circumflexe aut una superficies circumflexa aut due superficies
16
circumflexe. Similiter quoque possibile est ut unam rem comprehendant
17
quantitas recta et quantitas circumflexa que utreque aut erunt linee
18
aut superficies, sed quantitatum rectarum - sive sint linee sive sint
19
superficies -, non continet una earum sive due figuram; et pauciores
20
quas possibile est comprehendere figuram, sunt tres. Et est sciendum
21
quod cum dicimus figuram, non intelligimus tantum lineas que compre-
22
hendunt superficiem, sed voluimus intelligere lineas simul cum eo quod
23
ipse comprehendunt; et similiter etiam in corporibus.
24
|21, 3|< def. 14 > Dixit Euclides: Circulus est figura plana quam una linea
25
comprehendit, ad quam omnes linee ab uno punctorum que sunt in ea.
26
protracte sunt equales: quod punctum vocatur circuli centrum.
27
Supra hoc Sambelichius: quia Euclides voluit difinire species
28
figure, incepit a simpliciori que est ea quam una comprehendit linea
29
ex simplicibus. Inveniuntur tamen|17|[ed. Curtze] multe alie figure que neque
16
1
sunt circuli et ab una comprehenduntur linea, sicut sector piramidis
2
qui vocatur sector diminutus, et ei similes; illa autem linea non est
3
simplex, immo composita. Superficies vero quarum latera sunt recta,
4
comprehenduntur a lineis simplicibus que sunt plures duabus. Apparet
5
itaque ex eo quod in difinitione circuli dicitur quod ipse sit figura
6
plana, quod sit separatus a figuris que non sunt figurate, sicut sunt
7
superficies que imaginantur infinite, et alie que ab una parte sunt
8
finite et ab alia infinite; et separavit etiam ipsum a lineis et
9
corporibus, et etiam separavit ipsum per id quod dixit quod comprehen-
10
ditur ab una linea, a figuris quas plures quam una comprehendunt
11
linee, sive sint similes sive dissimiles. Cum residuo quoque difi-
12
nitionis separavit ipsum a sectore piramidis qui vocatur diminutus,
13
et ab aliis figuris ei similibus quas una linea sed composita compre-
14
hendit, sc. quod non invenitur in sectore diminuto punctum unum a quo
15
omnes linee recte ad circumferentiam protracte sint equales; in-
16
venitur tamen in eo punctum a quo omnes linee recte ad circumferentiam
17
protracte sunt equales lineis que ab eodem protracte eis directe
18
coniunguntur. Et vere debent esse linee recte que a centro ad circum-
19
ferentiam protrahuntur, equales quoniam spatium quod est inter duos
20
pedes circini ex cuius circumductione fit circulus, [quod] est
21
linea recta que est inter centrum et circumferentiam; cum una extre-
22
mitatum fuit fixa et alia circumducta, proveniet superficies
23
circuli. Unde mihi videtur quod cum hanc dedit difinitionem, qualiter
24
fieret circulus docere voluit. In difinitione autem ideo addidit
25
quod est punctum intra figuram, ut doceret centrum et ut scirent
26
quod punctum datum intra figuram est supra centrum, quoniam extra
27
circulum invenitur punctum a quo omnes linee ad circumferentiam
28
protracte sunt equales, et est id quod|15v|[ms M] vocatur polus. Sed non
29
est unum tantum; unum tamen est in utraque duarum partium. Dico
30
etiam quod inveniuntur in unaquaque duarum partium extra circulum
31
puncta infinita a quibus linee ad circumferentiam protracte sunt
32
equales.|18|[ed. Curtze] Quod autem dixit Sambelichius est propter circulos
33
qui sunt in spera, quia non inveniuntur puncta illorum circulorum in
17
1
superficie spere in duabus partibus nisi duo, sed si perpendicularis
2
que est supra centrum, ab utraque parte in infinitum protrahatur,
3
linee que ab infinitis punctis que sunt in linea, ab utraque parte ad
4
circumferentiam protrahantur, sunt equales.
5
|23, 10|Quod autem circumferentia nominavimus circulum, non proprie sed
6
transumptive fecimus; quod tamen factum est propter sectionem que
7
circumferentie accidit, et quia etiam invenimus Euclidem nominasse
8
circumferentiam circulum ubi dicit quod circulus non secat circulum
9
nisi in duobus punctis. Non ergo oportet ut difiniamus hunc cir-
10
culum dicentes ipsum esse figuram absolute aut superficiem, sed
11
oportet ut difiniamus sic dicentes quod ipse est unus terminus et
12
una linea comprehendens figuram intra quam est punctum unum a quo
13
omnes linee protracte et ad ipsum pervenientes sunt equales. In
14
precedentibus autem ostensum est quod figura est id quod comprehendit
15
terminus sive termini, et apparet quod figura non est id solum quod
16
comprehendit neque id solum quod comprehenditur. Unde licet hec
17
difinitio comprehendenti tantum conveniat, figura tamen non est nisi
18
utrumque: figura enim non provenit figura nisi ideo quod est
19
comprehensa.
20
|24, 5|Est ergo inquirendum quare in lineis linea recta sit simplicior
21
linea circumflexa, et in figuris rotunda sit simplicior rectis. Hoc
22
autem ideo est quoniam invenimus circulum ab una comprehendi linea;
23
linea vero cum est recta, non comprehendit figuram. Ob hoc igitur
24
dicemus quod propter hanc causam linea recta facta est non compre-
25
hendens figuram, sc. quod ipsa est simplicior lineis; et ideo sola
26
non comprehendit superficiem quoniam ipsa est valde contraria nature
27
superficiei. Rotunda vero, quantum ad se, est ac si esset eius
28
nature cuius est superficies, adeo ut sit aliquo modo sicut figura,
29
etiam si non comprehenderet figuram. Circumferentia enim sola per se
30
sine superficie vide|19|[ed. Curtze]tur esse quasi figura; ideo geometre ea
31
usi fuerunt loco figure, cum dixerunt quod circulus non secat circu-
32
lum nisi in duobus punctis. Nolunt enim intelligere cum dicunt circu-
18
1
lum, nisi circumferentiam, et cum protrahunt in ipso lineas et ponunt
2
ei centrum, faciunt ita ac si esset superficies; ideoque videtur mihi
3
quod cum Euclides difinivit lineam rectam et figuram quam recte
4
comprehendunt linee, et in circulo pretermisit difinire circumferen-
5
tiam et difinivit figuram rotundam, sc. circulum, ideo fecit ut
6
|25, 9|doceret quod linea rotunda est aliquo modo figura, et etiam quia
7
circulus non fit nisi propter motum linee que protrahitur a centro ad
8
circumferentiam cum fixione centri, et tunc fit circumferentia. Ergo
9
ipsa non fit nisi eo modo quo fit superficies, et non fit eo modo quo
10
linea, sc. quia ex linea recta cum ipsa movetur per se, provenit
11
superficies, et etiam quia linea circumflexa cum exterius habeat
12
gibbositatem et interius concavitatem, facit extimari quod sit figura,
13
licet non habeat latitudinem, propter hoc quod habeat formam de
14
foris et formam intus.
15
|26, 1|Preterea querendum nobis est quare Euclides in difinitione figurarum
16
premisit circulum figuris quarum latera sunt recta, et in ordine
17
figurarum, cum de eis locutus est, premisit figuras quarum latera
18
sunt recta, circulis. Dicam ergo breviter, sc. quia figure rotunde
19
curviores sunt figuris quarum latera sunt recta, oportuit ut pre-
20
mitteret probationes figurarum quarum latera sunt recta. Vel etiam si
21
aliquis voluerit querere causam huius, dicam quod forsitan ista est
22
quia figure quarum latera sunt recta, magis note et certiores circulis
23
sunt. Cum enim aliquis circulos metiri voluerit, non poterit eos
24
mensurare nisi cum figuris rectilineis, ideo quod proportio unius
25
circulorum ad alterum est sicut proportio quadrati unius diametrorum ad
26
aliud.|20|[ed. Curtze]
27
|26, 10|< def. 15 > Dixit Euclides: Diametrus circuli est linea recta que
28
transit per centrum circuli cuius due extremitates perveniunt ad circuli
29
cicrumferentiam. et dividit circulum in duo media.
30
Supra hoc Sambelichius: diametrus greca lingua ideo vocatur dia-
31
metrus quod transit per totum spatium circuli, ac si metiretur ipsum.
19
1
Mensurare enim est per totam rem transire, et etiam inde dicitur
2
diametrus greca lingua quia dividit circulum in duo media. Neque
3
aliqua aliarum linearum que in circulo cadunt, est diametrus neque
4
nominatur hoc nomine. Sed quod diametrus dividat circulum in duo
5
media et non in duas diversas partes, probatur ab eis hoc modo.
6
Ponam circulumabg cuius centrum sit punctum e et diametrus ipsius
7
linea bd. Dico igitur quod medietas circuli que est bgd, est equalis
8
|27, 7|medietati circuli que est bad. Probatio eius: quoniam si non fuerit
9
equalis, aut erit maior aut minor. Ponamus autem prius si est possibile,
10
ut sit maior. Protraham ergo a centro
11
e lineam rectam ad arcum bgd quocum-
12
que modo acciderit, sitque linea eg.
13
Cum ergo medietas circuli que
14
est bgd, superposita fuerit alii me-
15
dietati que est bad, excedet eam cum
16
sit maior ea, et sit superatio similis
17
portioni bzd. Linea ergo eg posita est super lineam eaz, et quia
18
punctum e est centrum circuli abg, ergo linea eg est equalis linee ea.
19
Sed linea eg est equalis linee ez, ergo linea ez est equa|21|[ed. Curtze]lis linee
20
ea, maior sc. minori equalis, quod est impossibile. Ergo medietas circuli
21
que est bgd, non superat medietatem circuli que est bad.
22
Dico etiam quod non est minor ea, neque cadit infra ipsam. Probatio
23
eius: quoniam reducam formam figure ut erat prius, et ponam medietatem
24
circuli que est bgd, cum superponitur, minorem medietate circuli que
25
est bzd, et reducetur eius situs super bad; ergo erit etiam linea eg
26
equalis linee ez et linee ea. Ergo erit linea ea equalis linee ez, minor sc.
27
maiori equalis, quod est impossibile.
28
|28, 3|Quod si quis dixerit quod medietas
29
circuli que est bgd, cum superponitur
30
alii medietati circuli que est bad, non
31
cadit tota intus neque tota extra,
32
sed secat eam in puncto a, sicut in
33
alia signatum est figura, linea
34
tamen eg superponetur linee ea et in
20
1
hoc non erit diversitas aliqua; linea enim eg non egreditur arcum bad ne-
2
que retrahitur|11/3r|[ms K] infra ipsum. Protraham etiam a centro e
3
lineam eh et ponam ut secet arcum bad in puncto t, ergo erit linea et
4
equalis linee ea. Sed linea ea est equalis linee eh, ergo linea et equalis
5
linee eh, quod est impossibile. Et quia medietas circuli, cum super-
6
ponitur alii medietati, non cadit extra neque intus neque secat eam,
7
sed undique cooperit eam, ergo est ei equalis.
8
|29, 3|< def. 16 > Dixit Euclides: Semicirculus est figura que comprehen-
9
ditur a diametro et medietate circumferientie. et portio circuli est figura
10
que continetur a recta linea et portione arcus circumferentie aut maiore
11
semicirculo aut minore.
12
Supra hoc Sambelichius: quod id quod dicitur: semicirculus sit
13
medietas circuli, vere est, manifestum est ex his que prediximus. Quod
14
autem sit figura com|22|[ed. Curtze]prehensa a linea composita ex recta et
15
circumflexa, verum est. Sic enim difinivit eam post simplices
16
|29, 10|figuras.
17
< def. 17 > Dixit Euclides: Figure rectorum laterum sunt quas recte
18
comprehendunt linee, sed trilatera figura est quam tres comprehendunt
19
linee, et quadrilatera quam quatuor comprehendunt recte linee, et plura
20
habens latera est quam plures linee quam quatuor comprehendunt.
21
Supra hoc Sambelichius: postquam Euclides locutus fuerit de simpli-
22
ciori figura que est quam una circumflexa comprehendit linea que est
23
simplex linea, et de figura quam comprehendit linea recta et linea
24
circumflexa, processit ad figuras rectilineas et incepit a figura quam
25
tria continent latera, id est, quod circulum comprehendit una linea et
26
semicirculum comprehendunt due linee; figuram vero cuius latera sunt
27
recta, non comprehendit una linea tantum neque due tantum. Quo modo
28
enim potest esse ut una recta linea comprehendat ipsam, cum ipsa in
29
rectitudine|16r|[ms M] sit tensa nullam in se habens curvitatem neque
30
in suis partibus, neque comprehendat aliquid. Manifestum est ergo hoc
21
1
in una recta linea, sed quod due recte linee non comprehendant super-
2
ficiem, hoc est unum ex his que premittuntur; ideoque ego declarabo in
3
loco ubi Euclides ipsum posuit. Prima figurarum rectilinearum est
4
habens tria latera, secunda habens quattuor latera, tertia habens multa
5
latera.
6
|31, 3|< def. 18 > Dixit Euclides: Figurarum tria habentium latera alia
7
est triangulus tria habens latera equalia qui dicitur triangulus equilaterus:
8
alia est triangulus duorum equalium laterum qui est cuius duo latera sunt
9
equalia; alia est cuius tria latera sunt diversa.
10
Supra hoc Sambelichius: diversorum laterum triangulus ideo vocatus
11
est quod eius motus est tortuosus; sicut enim equalitas est causa
12
quare aliquid est stabile,|23|[ed. Curtze] ita diversitas est causa motus; et ideo
13
cum aliquis voluerit incedere, si fuerint ipsius duo crura diversa,
14
necessario claudicabit.
15
|31, 11|< def. 19 > Dixit Euclides: Etiam figurarum trilaterarum alia est
16
triangulus orthogonius et est ille qui habet unum rectum angulum; alia
17
est ambligonius qui unum angulum habet obliquum; alia est oxigonius
18
cuius omnes anguli sunt actui.
19
Supra hoc Sambelichius: quia figurarum rectilinearum essentia fuit
20
ex rectis lineis et ex angulis qui ab illis lineis comprehenduntur,
21
ideo fuerunt earum differentie duobus modis. Et ideo, postquam dixit
22
Euclides differentiam que provenit ex lateribus, rediit ad dicendum
23
differentiam que provenit ex angulis. Et quia ex geometria ostensum
24
est quod omnes tres anguli cuiuslibet trianguli sunt equales duobus
25
rectis, manifestum est ex hoc quod possibile est in triangulo unum
26
rectum angulum esse et quod sit in eo unus expansus, licet sit maior
27
eo, et erunt in eo ex angulis acutis ad minus duo aut omnes tres.
28
Ideoque Dixit Euclides quod triangulus orthogonius est cuius unus an-
29
gulorum est rectus, et etiam tunc unusquisque duorum reliquorum angu-
22
1
lorum erit minor recto; et similiter dixit de triangulo ambigonio; de
2
triangulo vero oxigonio dixit quod omnes eius anguli sunt acuti. Et
3
possibile est ut iste tres differentie sint in illo cuius latera sunt diversa,
4
et in illo cuius duo latera sunt equalia; in illo autem cuius omnia
5
latera sunt equalia: quia latera sunt equalia, sunt omnes eius anguli;
6
ergo omnes sunt acuti necessario.
7
|33, 4|< def. 20 > Dixit Euclides: Figurarum quadrilaterarum alia est
8
quadratum cuius omnia latera sunt equalia et omnes eius anguli recti:
9
alia est tetragonus longus cuius anguli sunt recti, sed latera non
10
sunt equalia: alia est rombus cuius omnia latera sunt equalia, sed
11
anguli non sunt recti; alia est romboides, id est similis rombo,
12
cuius omnia |24|[ed. Curtze] latera ex adverso posita sunt equalia et anguli
13
similiter ex adverso constituti sunt equales, latera tamen omnia non sunt
14
equalia et anguli non sunt recti: alie vero figure omnes quadrilatere
15
dicuntur trapezie.
16
Supra hoc Sambelichius: Figurarum quadrilaterarum est illa cuius
17
omnia latera et omnes anguli sunt equalia, et est illa que proprie
18
dicitur quadratum propter equalitatem que est in ea. Et illa cuius
19
anguli sunt equales et latera diversa, sicut figura que vocatur
20
tetragonus longus: ipsius enim longitudo a latitudine est diversa et
21
augmentatur super ipsam neque equatur ei, sicut fit in quadrato, et
22
etiam vocatur hec figura cuius longitudo est augmentata; longitudo
23
enim ipsius rei extense assimilatur. Et earum sunt quarum latera sunt
24
equalia et anguli non sunt equales, sicut illa que vocatur rombus, que
25
est sicut quadratum a duabus partibus compressum; et ideo duo anguli
26
ipsius facti sunt acuti et alii duo expansi, quorum expansio tanta
27
fuit quanta fuit acutorum constrictio. Et earum est illa cuius latera
28
et anguli diversificantur, non tamen unumquodque laterum ipsius est
29
cuilibet lateri inequale neque unusquisque angulus unicuique angulo
30
inequalis, sed unumquodque laterum eius est inequale duobus lateri-
31
bus que ei sunt viciniora; et similiter unusquisque angulorum
32
eius est inequalis duobus angulis sibi vicinioribus; et vocatur similis
23
1
rombo et est longus a duabus partibus compressus.
2
< def. 20 > Et Dixit Euclides: Si fuerint figure alie ab istis
3
quadrilatere, vocantur trapezie.
4
Supra hoc Sambelichius: figure iste vocantur trapezie, eo quod sint
5
|34, 8|inordinate quas Asamites similiter nominavit. Euclides tamen in libro
6
Divisionum invenitur dixisse |25|[ed. Curtze] quod non nominavimus figuras
7
quadrilateras trapezias, nisi illas quarum duo latera que sibi opponuntur,
8
sunt equidistantia et alia duo sicuti eveniunt. Alias vero vocamus
9
similes trapeziis.
10
< def. 21 > Dixit Euclides: Linee recte equidistantes sunt que cum
11
|35, 1|sint in una superficie, si utrinque etiam in infinitum protrahantur, non
12
concurrent in aliquam duarum partium.
13
Supra hoc Sambelichius: linee iste ideo vocate sunt equidistantes
14
quod spatium quod est inter eas, custodiant, ac si semper forent in
15
suo situ uno modo in dimensione. Non enim concurrunt donec sint una
16
linea, neque dilatantur ab invicem in tantum ut spatium fiat maius.
17
Neque intelligitur in his lineis solum hoc quod non concurrunt:
18
possibile est enim ut due linee non concurrant, quod contingit cum
19
earum una fuerit in plano ut linea ab, et alia sit in superficie in alto
20
ut linea gd. Has enim duas lineas etiam
21
si in infinitum protrahantur, possibile
22
est non concurrere cum superficies
23
fuerint equidistantes. Iste tamen due
24
linee non sunt equidistantes, eo quod
25
spatium quod est inter eas, non est
26
uno modo. Quod si spatium quod est
27
inter lineas, fuerit uno modo, erunt equidistantes, licet sint in
28
duabus superficiebus. Iste autem licet non sint equidistantes, est
29
tamen aliquid distantie inter eas etsi non undique.
24
1
|36, 3|Ideoque quidam difinierunt lineas equidistantes dicentes: linee
2
equidistantes sunt que cum in infinitum protracte utrinque fuerint,
3
erit spatium quod est inter eas, sc. perpendicularis que ab
4
unaquaque illarum protrahitur ad suam comparem, equale semper et non
5
|26|[ed. Curtze] diversum. He autem due linee quas prediximus, nominantur
6
equidistantes in situ. Quod si quis dixerit quod iste qui difinivit
7
|36, 6|lineas equidistantes hac difinitione, apposuit in difinitione quod
8
indiget probatione, sc. quod spatium quod est inter duas equidistantes
9
lineas, est perpendicularis que protrahitur supra eas, et quod
10
Euclides declaravit hoc in figura 28 prime partis: dicam quod non
11
indiget difinitio ut in ea ponatur perpendicularis, sed sufficit ut
12
dicatur in ea quod spatium quod est inter eas, est equale; neque
13
appositum fuit in difinitione nisi pro expositione.
14
Phylosophus tamen Aganiz difinivit lineas equidistantes dicens:
15
linee equidistantes sunt que cum sint in una superficie, si utrinque
16
in infinitum protrahantur, erit spatium semper quod est inter eas,
17
unum.
18
Quidam extimant quod equalitas spatii quod est inter eas, sit
19
causa quare non concurrant, si non fuerit intentio utriusque orationis
20
una.
21
Et fortasse hoc quod appositum est in difinitione, sc. 'in una
22
superficie' , non est necessarium, quoniam cum spatium quod est inter
23
eas, fuerit unum, non declinabit una ab altera, ergo necessarium est
24
eas esse in una superficie, sc. in superficie que protracta est
25
inter eas, licet etiam una sit in plana superficie et altera sit in
26
alto.
27
Spatium autem quod in difinitione ponitur, est brevior linea que
28
coniungit quod est inter duas lineas, quod in precedentibus est
29
dictum. Hoc quoque spatium quod est inter duo opposita puncta, est
30
linea recta que coniungit quod est inter ea. Linea enim recta est
31
|38, 1|brevior lineis quarum extremitates sunt extremitates eius, sc. id quod
32
est inter duo puncta. Spatium autem quod est inter punctum et lineam
33
aut |12/3v|[ms K] inter punctum et superficiem, est |27|[ed. Curtze] perpendi-
34
cularis que a puncto protrahitur ad eam, et est brevior linea que est
25
1
inter punctum et lineam aut inter punctum et superficiem. Spatium
2
vero quod est inter lineam et lineam, si fuerint equidistantes, erit
3
equale ubique et est brevius spatiis que sunt inter eas, et est
4
perpendicularis super unamquamque earum ubique. Quod si non fuerint
5
equidistantes, minores linee que coniungunt quod est inter eas,
6
di|16v|[ms M]versificantur secundum diversitatem punctorum in eis
7
positorum. Hec quoque linea quia protrahitur a puncto ad lineam, est
8
perpendicularis super lineam super quam protrahitur, et non est
9
perpendicularis super lineam super quam datum est punctum. Hec autem
10
omnia necesse est geometricis probationibus probari.
11
|38, 11|Quod vero in difinitione dicitur 'si protrahantur in duas partes' ,
12
ideo necessarium fuit quia due recte linee que ab una parte coniun-
13
guntur, non coniunguntur ab alia parte, immo magis separantur et non
14
sunt equidistantes.
15
|39, 1|Quod autem dixit eas 'protrahi in infinitum' , non dixit nisi
16
quantum ad imaginationem, - deessent enim utreque quoniam earum
17
protractio fieret in spatio quod esset maius spatio quod est inter nos
18
et speram stellarum fixarum -, sed ut sit cum posuerimus earum
19
protractionem in aliquo termino ubi non coniunguntur, illud quod est
20
ultra ubi non coniungantur, et iudicemus quod non coniunguntur. Hic
21
quoque fuit usus usque nunc in hoc ut ad vitandam verborum multitu-
22
dinem et comprehendendam brevitatem ponerent hoc.
23
Et punctum est causa rerum continuarum et unitas est causa rerum
24
discretarum. Et punctum est radix recte linee et circumflexe, et spera
25
et piramis est radix corporum.|28|[ed. Curtze]
26
< Premittenda >
27
|40, 2|Dixit Euclides: Ea que premittuntur, sunt quinque.
28
< 1 > Prima est ut linea recta a quolibet puncto ad quodlibet punctum
29
protrahatur;
30
< 2 > et ut protrahatur linea secundum coniunctionem et rectitudinem
31
alterius linee finite;
32
< 3 > et ut supra quodlibet centrum quodlibet spatium occupando circu-
26
1
lus circumducatur;
2
< 4 > et omnes recti anguli sunt equales;
3
< 5 > et si linea recta super duas rectas lineas ceciderit et provenerint
4
duo anguli qui sunt ab una parte minores duobus rectis. linee ille
5
|40, 2|protracte coniungentur a parte in qua sunt anguli minores duobus
6
rectis.
7
Supra hoc Sambelichius: postquam Euclides dedit difinitiones
8
essentiam cuiusque rei difinite significantes, processit ad nume-
9
randum ea que sunt premittenda. Sed ea que premittuntur, sunt ea que
10
non sunt concessa. Non tamen dimittitur discipulus quin cogatur
11
credere, exempli gratia: ut sit inter magistrum et eum radix posita
12
et concessa, et hec radix aut erit impossibilis, (sicut illud quod
13
Asamites premisit et petiit ut concederetur ei, sc. ut esset extra
14
mundum. Dixit enim quod si istud concederetur ei, ipse ostenderet
15
quod moveret terram, ubi dixit: "Puer, concede mihi quod sit possibile
16
me elevari et manere extra mundum, et ego faciam te videre quod ego
17
movebo terram" ; et hoc fuit cum iactavit se invenisse virtutem geome-
18
tricam; et petiit ut premitteret istud et poneret sic esse, licet
19
sit impossibile; quod ideo fecit ut post afferret doctrinam); aut
20
|41, 2|erit possibilis. Ergo ea que premittuntur, aut erunt impossibilia, sicut
21
prediximus, aut erunt possibilia, scita a magistris et discipulis ignota, que
22
oportet premitti ab eis ante doctrinam |29|[ed. Curtze] in principio doctrine.
23
Sed alia que probantur, sunt etiam a magistris scita et discipulis
24
ignota; que non tamen ponuntur pro rebus premittendis quia non sunt
25
principia, sed sunt probanda.
26
Ea autem que premittuntur, non ob aliud queruntur premitti, nisi
27
quia sunt principia. Ergo eorum sunt quedam que ob hoc solum pe-
28
tuntur premitti quia sunt necessaria in doctrina, sicut tres prime pe-
29
titiones; et eorum item quedam que parum sunt declaranda, donec con-
30
cedantur et recipiantur per se. Diferentia tamen inter ea et inter
31
per se nota est quod per se nota ex quo concipiuntur, recipiuntur per
32
se; sed petitiones sunt naturaliter medie inter per se nota et alia
33
quorum cause sunt ignote discipulis, sicut difinitiones que sunt medie
27
1
inter probabilia que ab omnibus recipiuntur, et inter per se nota,
2
quoniam petitiones note sunt, sed non omnibus nisi magistris tantum in
3
unoquoque magisterio.
4
|42, 1|Quidam vero extimant quod iste petitiones geometrice que premit-
5
tuntur, non ob aliud premittuntur, nisi ut conservetur materia. Non
6
enim omnia possunt in ea perfici que perficienda sunt, et haberet ali-
7
quis quod contra diceret ex parte materie, et diceret: impossibile est
8
mihi ut protraham lineam rectam supra superficiem maris, et impos-
9
sibile est mihi ut protraham lineam rectam supra locum in cuius medio
10
sit civitas aut flumen, et impossibile est ut protraham lineam rectam
11
in infinitum, infinitum enim non reperitur. Sed qui ista dicit, extimat
12
quod ista que premittuntur, non sunt necessaria, nisi ei cuius geometria
13
consistit in materia tantum. Post vero quid dicet de equalitate
14
rectorum angulorum et quo modo reperiet quod premissio huius
15
non fuit nisi propter materiam; et similiter etiam in aliis petitionibus
16
que |30|[ed. Curtze] secuntur.
17
Melius est ergo ut dicatur quod petitiones sunt ea que recipiuntur a
18
discipulo, ex quo primum audit ea quibus indiget in probatione. Ergo
19
quedam earum sunt impossibiles, quam ob rem gravis est earum receptio
20
et non facilis, sicut trium primarum est facilis receptio; que tamen
21
non ob aliud petuntur, nisi ut concedantur quatinus doctrina introdu-
22
catur, sicut dixi. Quedam sunt que sciuntur a magistris, et
23
recepta sunt ab eis, et discipulis sunt prius ignota et non manifesta,
24
et ideo petunt a discipulo ut concedat ea sicut tria que premittun-
25
tur. Utilitas autem trium primorum est ut debilitas materie non prohibeat
26
nobis probationes. Illa autem que sunt post illa tria, sunt necessaria
27
probationibus que secuntur.
28
|43, 3|< pet. 1 > Dixit Euclides pro petitione: Ut protraheretur linea recta
29
a quolibet puncto ad quodlibet punctum.
30
Supra hoc Sambelichius: non dixit hoc Euclides nisi quia necessario
28
1
invenitur inter quelibet duo puncta posita brevior dimensio que est
2
inter ea; que cum protracta fuerit, erit linea recta et erunt ipsius
3
extremitates illa duo puncta data. Et impossibile est ut linea recta
4
protrahatur transiens per tria puncta, nisi punctum quod est in medio,
5
fuerit cooperiens duo puncta que sunt extrema, sc. quod illa tria puncta
6
|43, 11|sint in rectitudine posita.
7
Possibile quoque est ut a quolibet,
8
puncto ad quodlibet punctum protraha-
9
tur arcus circuli. Cum ergo protraxe-
10
rimus lineam rectam que coniungit
11
quod est inter duo puncta, sicut
12
linea bga, et posuerimus punctum g
13
centrum et circumduxerimus circulum
14
secundum spatium quod est inter g et a, transibit per punctum b;
15
spatium enim quod est inter g et b, est equale spatio quod est inter g
16
et a, ergo erit linea ab arcus |31|[ed. Curtze] circuli.
17
Et hoc necessario fuit premittendum quia essentia materie geo-
18
metrie consistit in imaginatione. Si enim foret in corporibus habentibus
19
materiam, superfluum esset ut quereretur premitti quod protraheretur
20
linea recta ab Ariete ad Libram.
21
|44, 5|< pet. 2 > Dixit Euclides: Ut protraheretur linea recta que con-
22
iungatur alii linee recte finite secundum rectitudinem.
23
Supra hoc Sambelichius: coniuncta sunt quorum fines sunt idem.
24
Possibile ergo est ut linea recta protrahatur ab extremitate alterius
25
linee secundum rectitudinem, ita quod sint continue et sint una
26
|44, 9|recta linea; et est possibile etiam ut sit linea protracta continua
27
alii linee et tamen non sit continuatio secundum rectitudinem, et hoc est
28
cum comprehendunt angulum; et est etiam possibile ut due linee sint
29
secundum rectitudinem et non sint una linea, quod contingit cum non
30
coniunguntur.
29
1
Quod autem in difinitione apponitur ut sit linea finita, bene dictum
2
est quoniam si esset infinita, non posset protrahi. Lineam autem finitam
3
possibile est in infinitum protrahi, si necesse fuerit; quod ideo fit ne
4
linearum brevitas in aliquibus figuris nos impediat.
5
Quod vero linea recta que alii linee recte finite coniuncta secundum
6
rectitudinem |17r|[ms M] protrahitur, sit cum ea linea una, hac proba-
7
tione probare possumus, ea tamen conditione ut una ex petitionibus
8
que secuntur, concedatur nobis, sc. ut supra quodlibet centrum
9
secundum magnitudinem cuiuslibet spatii describatur circulus. Dico
10
igitur quod si ponam lineam rectam finitam, que sit ab, erit linea
11
que secundum illius continuitatem et rectitudinem protrahetur, una linea
12
|45, 3|cum ea.
13
Probatio eius: quoniam si non fuerit una linea |32|[ed. Curtze] cum ea que
14
secundum continuitatem et rectitudinem illius protrahetur, protraham
15
lineam ab in rectitudinem et si est
16
possibile, sint linee abg et abd recte.
17
Circumducam ergo circulum super
18
centrum b secundum spatium quod est
19
inter b et a, qui sit circulus agd. Si
20
ergo unaqueque duarum linearum abg
21
et abd fuerit recta, unaqueque erit diametrus, quoniam transit per
22
centrum, et queque earum dividit circulum in duo media. Ergo arcus agd
23
est equalis arcui ag, maior sc. minori,|13/4r|[ms K] quod est impossibile.
24
Ergo linea que protrahitur secundum continuitatem et rectitudinem
25
|46, 1|linee ab, est una linea cum ea.
26
< pet. 3 > Dixit Euclides: Et ut describatur circulus supra quod-
27
libet punctum quantumlibet occupando spatium.
28
Supra hoc Sambelichius: spatium vult hic intelligi: illud supra quod
29
circumducitur circulus, et est utrinque finitum. Manifestum est
30
autem quod si est possibile ut a quolibet puncto protrahatur linea rec-
30
1
ta ad quodlibet punctum, et circulus est qui fit cum figitur unum
2
duorum punctorum recte linee quod est centrum circuli, et circumducitur
3
aliud punctum, donec fiat circumferentia, ergo possibile est ut
4
circumducatur supra quodlibet punctum quantumlibet occupando spatium
5
|46, 7|circulus.
6
< pet. 4 > Dixit Euclides: Et ut omnes anguli recti sunt equales.
7
Supra hoc Sambelichius: qui hec verba secundum logicam perscrutatus
8
fuit, apparebit ei huius veritas manifeste, et hoc est quod si
9
anguli recti sunt qui proveniunt |33|[ed. Curtze] ex linea ita erecta ut non sit
10
in ea inclinatio, et erectio in qua non est inclinatio neque augetur neque
11
minuitur, sed semper manet uno modo, ergo anguli recti sunt semper
12
equales.
13
Possibile quoque est ut hoc ostendatur per lineas geometricas hoc
14
|46, 12|modo. Dico quod est impossibile ut sit angulus rectus maior recto angulo.
15
Quod si possibile est, sint duo anguli recti diversi qui sint
16
anguli abg, ezh, et sit angulus ezh maior angulo abg.
17
Manifestum est igitur quod cum posu-
18
erint angulum abg super angulum ezh
19
et posuerint lineam ab super lineam ez,
20
cadet linea bg infra angulum ezh.
21
Positum enim fuit quod angulus ezh est
22
maior angulo abg. Ponamus ergo quod
23
iam ceciderit infra ipsum, cuius situs est supra lineam zl. Erit ergo
24
angulus ezh maior angulo ezl; producam ergo lineam zt secundum recti-
25
tudinem linee zh. Ergo erit angulus ezh equalis angulo ezt quia sunt
26
consequentes; quia linea ez cum fuerit erecta absque inclinatione, erunt
27
duo anguli qui sunt utrinque, equales. Sed angulus ezh est maior
28
angulo ezl, ergo angulus ezt est maior angulo ezl. Producam ergo
29
lineamzk secundum rectitudinem linee zl, ergo erit angulus ezk equalis
30
angulo ezl quia sunt consequentes et recti. Sed angulus ezt est maior
31
angulo ezl et iam fuit ostensum quod angulus ezl est equalis angulo ezk;
32
ergo angulus ezt est maior angulo ezk. Ergo minor est maior maiore,
31
1
quod est impossibile. Impossibile est ergo quod angulus rectus sit maior
2
|34|[ed. Curtze] recto angulo aut minor eo, ergo omnes anguli recti sunt
3
equales.
4
|48, 3|Nec tamen omnes anguli equales sunt recti nisi fuerint ad invicem se
5
sequentes. Possibile est enim equales angulos esse expansos aut
6
acutos.
7
Nec etiam necesse est ut omnes anguli qui sunt equales rectis, sint
8
recti nisi hoc nomen 'rectus angulus' impositum fuerit arcubus quia
9
provenient anguli quos arcus comprehendent, recti transumptive.
10
Exempli causa: Ponatur angulus rectus supra quem sunt a,b,g. Ponam
11
itaque duas notas super duas lineas ab et bg quarum spatia que sunt
12
inter eas et b, sint equalia, que sint puncta d et e, et circumducam
13
supra duo puncta centra e et d
14
secundum spatia que sunt inter db
15
et be, duos semicirculos qui sunt
16
semicirculi azb et btg. Erit ergo
17
angulus abz equalis angulo gbt; cum
18
enim semicirculi fuerint equales, anguli
19
eorum erunt equales. Ponam ergo
20
angulum abt communem; erit ergo
21
totus angulus azb equalis angulo abg. Sed angulus abg est rectus; ergo
22
angulus azb qui est lunaris, est equalis angulo recto.
23
|49, 4|< pet. 5> Dixit Euclides: Quod si recta linea ceciderit super duas
24
rectas lineas et fuerint duo anguli qui sunt ab una parte. minores duobus
25
rectis, ille due linee protracte ex parte in qua sunt illi duo anguli.
26
concurrent.
27
Supra hoc Sambelichius: hec petitio non valde est manifesta, ideo
28
necessarium fuit ut lineis declaretur quod |35|[ed. Curtze] Amitaras et
29
Deiurus hic ostenderunt multis figuris et diversis.
30
Dixit Anarizius : hoc equidem exposuimus et interposuimus quod
31
Aganix addidit post probationem figure 26.
32
1
|49, 12|< pet. 6 > Dixit Euclides: Due recte linee non comprehendunt super-
2
ficiem.
3
Supra hoc Sambelichius: hec petitio non invenitur in antiquis scriptis;
4
que ideo fuerit dimissa quoniam est manifesta, et ideo dixerunt quod
5
petitiones sunt quinque. Moderni vero probant eam hoc modo. Dixerunt
6
enim quod si est possibile ut sint due recte linee comprehendentes
7
superficiem, faciamus ergo ut due recte linee agb, adb comprehendant
8
superficiem, sicut in figura apparet. Producam itaque lineam agb et
9
lineam adb secundum rectitudinem
10
usque ad duo puncta e et z, et cir-
11
cumducam supra centrum b cum
12
spatio ba circulum aez. Ergo quia
13
punctum b est centrum circuli aez,
14
erit unaqueque duarum linearum agb,
15
adb diametrus circuli; ergo arcus az
16
est equalis arcui aze, maior sc. minori,
17
quod est impossibile. Ergo due linee recte non comprehendunt superfi-
18
ciem.
19
|50, 8|Quod si quis dixerit: arcus non est equalis arcui, sed quantitas adb
20
est equalis quantitati agz, necessario concedet quod angulus had
21
est equalis angulo hag, quod est impossibile; et ideo est necessarium ut
22
hoc concedat, quoniam semicirculi cum superponuntur, cooperiunt se. Et
23
etiam quia portio adb est equalis portioni agz et punctum b est
24
centrum, ergo unaqueque duarum portionum est semicirculus; ergo erit
25
pars adb extra circulum.
26
< Propositiones per se note >
27
|51, 4|Dixit Euclides: Propositiones per se note sunt:
28
< 1 > Res uni rei equales, sunt equales;
29
< 2 > et si equalibus equalia addantur, omnia erunt equalia;
30
< 3 > et si de equalibus equalia demantur, que reliquuntur erunt
31
equalia;
33
1
< 4 > et cum inequalibus equalia addita fuerint, omnia erunt inequalia;
2
< 5 > et si de inequalibus demantur equalia, que relinquuntur erunt
3
inequalia;
4
< 6 > et quecumque sunt dupla unius rei, sunt adinvicem equalia;
5
< 7 > et ea que cum superponuntur, vicissim se cooperiunt, sunt
6
equalia;
7
< 8 > et omne totum est maius sua parte;
8
< 9 > et due recte linee non comprehendunt superficiem neque locum.
9
Supra hoc Sambelichius: iam diximus in precedentibus per se nota
10
esse que necesse est per se ab omnibus recipi, et ut per se credantur
11
absque medio.
12
|51, 7|< ax. 1 > Dixit Euclides: Ea que sunt equalia uni rei, sunt adin-
13
vicem equalia.
14
Supra hoc Sambelichius: si hec verba dicta fuerint in equalibus,
15
erunt vera et vicina ad intelligendum, sed si communius dicta fuerint,
16
non erunt vera: licet enim aliqua sint longiora aliqua re, non tamen
17
necessario sequitur quod unum sit longius alio; neque illi qui sunt fratres
18
unius hominis, sunt fratres necessario quando |37|[ed. Curtze][*]the reference to p. 36 is lacking in the edition unus fuerit
19
frater eius ex parte matris et alter ex parte patris.|17v|[ms M] Et ideo
20
oportet ut relatio in hoc sit simplex et ab una et eadem parte accepta,
21
et non a multis partibus diversis, quemadmodum in exemplo fratrum os-
22
tendimus; et neque accipiatur a maiori neque a minori, sicut diximus in
23
his que sunt longiora una re.
24
|52, 7|< ax. 2 > Dixit Euclides: Si equalibus equalia addantur, omnes fient
25
equalia.
26
Supra hoc Sambelichius: licet huius intentio declaretur ex numeris
34
1
manifeste, tamen per se manifesta est et recepta. Per se autem nota hec
2
antiquitus non inveniuntur nisi tria, in modernis vero scripturis inveniun-
3
tur tria addita que non indigent expositione, et similiter ea que secuntur,
4
quoniam sunt manifesta. Hec autem ideo posita fuerunt ut non essent in
5
geometria aliqua probata ex principiis non concessis.
6
Quidam vero addidit hoc pro per se noto, sc.:
7
< ax. a > Cum <super> equalia addita fuerint diversa. erit super-
8
fluitas summe super summam equalis supefluitati additi super additum.
9
|53, 10|Et probat hoc modo: ponamus duas quantitates equales ab, gd et ad-
10
dam supereas duas quantitates diversas ea, zg et sit ea maior. Dico
11
igitur quod augmentum eab super zgd est equale augmento ae super zg.
12
Probatio eius: ut secem ex ae tantum
13
quantum est zg, sitque ah, et quia
14
augmentum eb super bh et super zd est eh, et est idem augmentum ae
15
super ah et super gz, ergo propter hoc est augmentum be super zd
16
equale augmento ea super gz.
17
< ax. b > Et etiam si augmentata fuerint super diversa equalia.
18
erit superfluitas que est inter ea post |38|[ed. Curtze] augmentum. equalis
19
supefluitati que erat inter ea ante augmentum.
20
Exempli causa: quoniam nos addidimus super duas quantitates
21
diversas ea, gz duas quantitates equales ab, gd, ergo erit superflui-
22
tas eb super zd equalis superfluitati ea super gz, et hoc est illud quod
23
ante ostendimus.
24
Addidit etiam alia, sc.:
25
< ax. c > quod superficies secat superficiem super lineam:
26
< ax. d > et si superficies que sese secant. fuerint plane, secabunt se
27
super rectam lineam;
28
< ax. e > et linea secat lineas super punctum. Hoc enim indigemus in
29
prima figura;
35
1
< ax. f > et possibile est superficiem planam et lineam rectam eo quod
2
sint plane, in infinitum protrahi.
3
|55, 1|Oportet nos preterea ante particularia premittere ista: dico ergo
4
quod intentio geometrie est sicut precessit ex his que diximus, sc.
5
declaratio quantitatum et figurarum et situs et proportionum u|14/4v|[ms K]
6
nius ad aliud; et intentio eius in unoquoque istorum aut est
7
theorica aut practica. Quod si eius intentio fuerit in eo ad dandam
8
scientiam, nominatur theorica, et si fuerit eius intentio in eo ad
9
demonstrandam operationem, vocatur practica. Theorica ergo est cuius
10
finis est aliquid ostendere, sicut figura quarta primi tractatus et
11
que ei sunt similes; et iste figure sunt ille in quarum fine consuetudo
12
est dicere: 'et hoc est illud quod demonstrare voluimus'. Practica
13
vero est cuius finis est secundum quod videtur aliquid operari, et iste
14
figure sunt in quarum fine consuetudo est dicere: 'et istud est quod
15
facere voluimus' .
16
|55, 10|Quod si quis dixerit: quare ergo dicitis geometrie intentionem
17
esse ad indicandam scientiam solum, cum videamus ipsam simul cum
18
scientia indicare operationem, dicemus quod illarum ope|39|[ed. Curtze]ratio-
19
num fines non tribuunt nobis nisi scientiam. Dico ergo quod opus
20
figure que docet facere triangulum equilaterum, non donat nisi scienti-
21
am, et non opus manuum; invenimus enim quosdam hoc bene scientes qui
22
non possunt hoc perficere in materia neque attribuere ei hanc formam;
23
quomodo vero fiat et ingenium perficiendi dicere poterit. Possibile
24
tamen est geometriam esse principium aliarum doctrinarum practice que
25
manibus exercentur. Opera enim que sunt in geometria, sunt apud
26
sapientes, sicut ea que premittuntur ad declarationem aliorum.
27
|56, 7|Quidam quoque invenerunt in figuris unam differentiam quam voca-
28
verunt inventum. Et hoc est cum non fuerit nostra intentio ad
29
sciendum neque operandum, sed ad inveniendum illud quod est per se
30
inventum, sicut nostra intentio quam habemus in prima figura tertie
31
partis: non enim intendimus ibi nisi invenire centrum circuli dati.
32
Sed differentia que est inter inventionem et operationem, est quod in-
33
ventionis finis non est nisi invenire rem que iam est inventa; et non
36
1
invenire rem que numquam fuit inventa. Et differentia que est inter
2
eam et scientiam, est quod illud quod scientia nobis tribuit, utrum
3
priusquam probetur, inventum sit aut non, ignoramus, sicut quod anguli
4
cuiuslibet trianguli sunt equales duobus rectis angulis; in inven-
5
tione autem scimus quod circulus habet centrum, sed volumus locum
6
ipsius scire, nisi si aliquis dixerit quod rem quam aliquis vult
7
invenire, ignorat an sit invenire possibile vel non, sicut si aliquis
8
vellet invenire quantitatem superficiei alicuius circuli dati.|40|[ed. Curtze]
9
|57, 4|Nominantur tamen omnes figure scientie aut operationes nomine
10
equivoco; unumquodque autem istorum, sc. scientia et operatio et
11
inventio et si qua sunt alia, dividuntur in sex partes, id est:
12
propositio, exemplum, differentia, opus, probatio, conclusio.
13
Propositi est in hoc loco quam dialectici dicunt esse id quod ad
14
demonstrandum ponitur, et ipsa et conclusio in intentione sunt idem.
15
Exempli causa: ut dicamus quod omnes tres anguli cuiuslibet trianguli
16
sunt equales duobus rectis; hoc equidem est propositio et est etiam
17
conclusio. Cum enim probaverimus quod omnes tres anguli trianguli
18
sunt equales duobus rectis, confirmabitur propositio, ergo fiet
19
conclusio; et hoc est cum dixerimus: iam manifestum est quod omnes
20
anguli cuiuslibet trianguli sunt equales duobus rectis angulis. Hec
21
equidem propositio non est pars probationis; cuius difinitio est
22
oratio que premittit nobis intentionem quam volumus scire aut operari
23
aut invenire. Et si fuerit in intentione aliquid datum aut aliquid
24
quesitum, sicut est in prima figura in qua datur linea recta et queritur
25
ut faciamus triangulum equilaterum, oportet ut in propositione dicatur
26
utrumque, sc. datum et quod quesitum est.
27
|58, 3|Exemplum vero est illud quod subicit visui intentionem
28
propositionis.
29
Differentia quoque est que separat illud quod quesitum est in
30
propositione et quod positum est in exemplo, sc. quod queritur ad fa-
37
1
ciendum aut ad probandum, a suo communi genere.
2
Opus vero est ut signet aliquis ea que ad probationem sunt neces-
3
saria cum lineis, et ut faciat ea que sibi imperantur ad facien-
4
dum, sicut in figura prima ad protrahenda latera trianguli equilateri et
5
ad circumducendos circulos cum quibus opus trianguli et probatio ipsius
6
completur.
7
|58, 11|Probatio autem est id quod congregat quesitum |41|[ed. Curtze] ex eis que
8
premissa sunt et concessa; que quandoque erit ex eis que primum
9
intelliguntur in ratione et secundum naturam sunt antiquiora; et tunc
10
vocatur probatio veraciter, sicut probatio prime figure, quoniam
11
circuli quorum linee que protrahuntur a centris ipsorum ad circumfe-
12
rentias ipsorum, equantur, sunt equales; et ex hac oratione demon-
13
stratur quod quesitum in hac figura et circulus sunt antiquiora
14
triangulo. Et forsitan erit probatio ex eis que non sunt per se nota,
15
sicut cum probatur quod omnes anguli trianguli sunt equales duobus
16
rectis, et post quod omnes anguli quadrati sunt equales quatuor rectis,
17
quod non ob aliud probatur nisi quod omne quadratum dividitur in duos
18
triangulos. Quadratum enim naturaliter est post triangulum.
19
Conclusio est reversio propositionis, sicut si dicetur: manifestum est
20
quod omnes tres anguli cuiusque trianguli sunt equales duobus rectis
21
angulis. Dicetur ergo confirmative quoniam probatum est, ideoque nichil
22
additur ei nisi 'ergo' .|18r|[ms M]
23
|59, 10|Figure vero perfecte: quedam complentur cum his sex; et alie cum
24
quinque, sicut figura quarta prime partis: non enim fuit in ea neces-
25
sarium opus; et quedam sunt que complentur cum quatuor, cum non fuerit
26
in figura res, et tunc removebitur exemplum et differentia, sicut
27
invenitur in figura septima primi tractatus. Sed propositio et
28
probatio et conclusio necessaria sunt in omnibus figuris.
29
Preterea oportet ut ostendam ista, sc. quid sit theorema et quid
30
corolarium et quid est diversitas positionis et quidest alhaynedi et
31
quid est convertere intentionem ad impossibile.|42|[ed. Curtze]
38
1
|60, 4|Dico igitur quod theorema est quod sumitur ad demonstrationem
2
alterius, licet in se sit scientia aut figura, sicut accepimus in figura
3
secunda latera duorum triangulorum. Illud ergo aliud facile ostenditur per
4
ipsum, ideoque oportet ut premittatur aut ponatur post, sed tamen
5
concedatur in probatione cito.
6
Corrolarium vero est illud quod cum probatione eius quod proban-
7
dum premittitur, declaratur. Ex probatione ergo illa adipiscitur corro-
8
larium.
9
Diversitas autem positionis est ut forma intentionis ponatur super
10
multos modos in quibus probatio diversificetur.
11
Alhaynedi est oratio probationi opposita sequens probationem
12
quousque ad finem perveniat.
13
Intentionem vero convertere ad impossibile est ut ponatur contradic-
14
toria intentionis, et ostendatur quod ex ea accidit quod est impossibile,
15
sicut accepimus in figura septima latus maius, ut ostenderemus cum eo
16
falsitatem contradictorie intentionis et veritatem intentionis posite.
17
Expleta sunt ea que intendit Sambelichius in expositione prologi
18
prime partis libri Euclidis.
39
1
< Theoremata >
2
< I 1 > In primo theoremate sunt quinque figure, una Euclidis et 4
3
Irini.
4
Dixit Irinus: si quis quesierit a nobis quare Euclides voluit
5
ostendere quomodo fieret triangulus equilaterus, et non ostendit quomodo
6
alii trianguli fierent, cum sufficeret ei in suis operibus triangulus
7
duorum equalium laterum absque illo, dicemus quod non ideo fecit quin
8
ipse sciret facere triangulum duorum equalium laterum, sed quia opus
9
trianguli equilateri est discipulo ad discendum facilius et etiam quia ipso
10
habito habetur alius,|43|[ed. Curtze] sed licet alius habeatur, non tamen habetur
11
iste. Possibile tamen est ut triangulus duorum equalium laterum super
12
datam rectam lineam semper hoc modo constituatur.
13
Sit linea data ab. Ponam ita-
14
que a centrum et cum spatio quod
15
est inter a et b, describam arcum
16
bg, postea ponam b centrum et cum
17
spatio quod est inter b et a,
18
describam arcum ad et protraham
19
lineam ab secundum rectitudinem in
20
duas partes ad duos arcus bg et ad.
21
Et quia ga est equalis ab et ab est
22
equalis bd, ergo ag est equalis bd; posita ergo ab communi erit gb
23
equalis ad. Post hec ponam a centrum et cum spatio quod est inter a
24
et d, describam circulum qui sit circulus dze, deinde ponam b centrum et
25
secundum spatium quod est inter b et g, describam circulum gzt, et
26
protraham a puncto z, quod est sectio duorum circulorum, duas lineas za
27
et zb. Et quia punctum a est centrum circuli zde et iam protracte sunt ab
28
eo ad circumferentiam ipsius due recte linee que sunt ad|44|[ed. Curtze] et az,
29
ergo ipse sunt equales: ergo linea az est equalis linee ad. Sed linea ad
30
fuit equalis linee bg, ergo linea az est equalis linee bg. Et etiam quia b
31
est centrum circuli gzt et ab eo ad circumferentiam iam protracte
40
1
sunt due linee bz et bg, ergo ipse sunt equales; ergo linea bz est equalis
2
linee bg. Sed linea bg iam fuit equalis linee az, ergo linea az est equalis
3
linee bz. Et illud est quod demonstrare voluimus.
4
Post hec planius locutus est ostendens quomodo super rectam lineam
5
constituatur triangulus omnia latera habens diversa, et hoc tribus modis:
6
quorum primus est ut sit linea data brevior una duarum reliquarum
7
linearum et longior altera; secundus vero est ut sit linea data brevior
8
quaque duarum reliquarum linearum; tertius quoque est ut sit linea data
9
longior quaque duarum reliquarum linearum.
10
< a > Primus autem modus quo ostenditur quod linea data sit brevior
11
una duarum reliquarum linearum et
12
longior altera, est huiusmodi. Sit linea
13
data ab et ponam ut a sit centrum supra
14
quod secundum spatium quod est inter a
15
et b, circumducam circulum qui sit cir-
16
culus bgd. Ponam |45|[ed. Curtze] etiam punc-
17
tum b centrum supra quod cum spatio quod
18
est |15/5r|[ms K] inter b et a, describam circulum age. Deinde signabo in
19
arcu ge punctum qualitercumque contingat, quod sit punctum z, et con-
20
iungam a cum z. Punctum quoque secundum signabo in linea que est inter
21
punctum z et circumferentiam circuli bgd, quod sit punctum h, et con-
22
iungam b cum h et protraham ipsam lineam secundum rectitudinem usque ad
23
punctum t. Manifestum est ergo quod linea ah est longior linea ab et li-
24
nea ab est longior linea bh. Et illud est quod demonstrare voluimus.
25
< b > Secundus vero modus quo
26
ostenditur quod linea data sit brevior
27
quaque duarum linearum reliquarum, in
28
hoc declaratur exemplo. Sit linea data ab
29
quam secundum rectitudinem in duas
30
protraham partes donec bd sit equalis
31
ag, et similiter sit ag equalis ab secun-
32
dum quod fecimus in |46|[ed. Curtze] triangulo
33
duorum equalium laterum. Deinde ponam punctum a centrum et
34
cum spatio quod est inter a et d, describam circulum dez.
35
Ponam etiam punctum b centrum et secundum spatium quod est inter
41
1
b et g, circumducam circulum gez. In circumferentia igitur circuli
2
gez a parte exteriore circuli dez signabo punctum qualitercumque cadat,
3
quod sit punctum t, et coniungam a cum t et b cum t. Linea ergo at
4
longior est linea ad, sed linea ad est equalis linee bg: ergo linea at est
5
longior linea bg. Sed linea bg est equalis linee bt, ergo linea at est
6
longior linea bt. Sed linea bt est longior linea ba, quoniam ipsa est
7
equalis linee bg. Manifestum est ergo quod linea at est longior linea tb et
8
linea tb est longior linea ba. Et illud est quod demonstrare voluimus.
9
< c > Tertius quoque modus quo demonstratur quod linea data sit
10
longior quaque duarum reliquarum linea-
11
rum, tali declaratur exemplo. Sit linea
12
data ab. Ponam itaque punctum a centrum
13
et cum spatio quod est inter a et b, de-
14
scribam circulum dgb. Post hec ponam
15
punctum b centrum et secundum spatium ab
16
circumducam circulum ade, et producam
17
duas lineas ag, bh donec se supra punctum z secent. Manifestum est itaque
18
quod linea ab est longior unaquaque duarum linearum az et bz. Et illud est
19
quod demonstrare voluimus.|47|[ed. Curtze]
20
<I 2 > De secundo theoremate.
21
Cum Euclides dixit: volo ostendere qualiter puncto dato linea copuletur
22
etcetera, noluit intelligere nisi quod punctum sit extremitas linee que ei
23
copulatur; hoc igitur est illud quod ei post necessarium fuit in opere huius
24
libri. Alii vero super alias coniunctiones invigilaverunt invenientes eas
25
multis posse fieri modis, quorum unus est:
26
< a > ut sit linea data similis linee bg et sit punctum datum super
27
ipsam lineam positum ad similitudinem puncti a. Volo itaque quod puncto
28
a linea recta equalis linee bg coniungatur cuius extremitas perveniat
29
ad punctum a. Constituam itaque supra unam sectionem linee, sc.
30
supra sectionem ab, triangulum equilaterum quod fiet secundum
31
probationem prime figure huius partis,|18v|[ms M] sitque triangulus abd.
42
1
Deinde protraham duas lineas bd et da
2
secundum rectitudinem neque ponam ea-
3
rum protractioni terminum, donec adeo
4
sint longe ut cum circulus circumducetur,
5
remaneat ex unaquaque earum aliquid
6
superfluum. Deinde ponam punctum b
7
centrum et cum spatio quod est inter b
8
et g, circumducam circulum gez. Manifes-
9
tum est ergo quod linea bg est equalis linee bz. Si ergo posuero etiam
10
punctum d centrum et cum spatio quod est inter d et z, descripsero
11
circulum zht, manifestum est quod |48|[ed. Curtze] linea dz est equalis linee dh.
12
Cum ergo minuerimus duas lineas equales da et db ex duabus lineis e-
13
qualibus zd et dh, remanebit linea bz equalis linee ah. Sed iam osten-
14
dimus quod linea bz est equalis linee bg, et ea que sunt equalia uni rei,
15
sunt equalia: ergo linea ah est equalis linee bg. Iam ergo adiunximus
16
puncto a lineam ah equalem linee bg cuius extremitas est punctum a. Et
17
illud est quod demonstrare voluimus.
18
< b > Est quoque alius modus quo docetur qualiter protrahatur linea
19
equalis linee date, qui est huiusmodi. Ponatur ut non sit punctum a
20
supra lineam gb neque punctum a sit extremitas linee quesite, sed sit
21
linea gb, cum secundum rectitudinem
22
protrahetur, transiens super ipsum.
23
Producam ergo lineam bg secundum
24
rectitudinem, transibit ergo super
25
punctum a. Deinde constituam super
26
lineam ba triangulum equilaterum qui sit
27
triangulus adb, et protraham lineam da secundum rectitudinem usque ad
28
punctum e. Deinde ponam punctum a centrum et cum spatio ag descri-
29
bam arcum geh. Manifestum est ergo quod linea ag est equalis linee ae.
30
Sed linea ba est equalis linee da, ergo linea bg est equalis linee de. Et
31
illud est quod demonstrare voluimus.
32
< I 5 > Hoc quod sequitur quinto theoremati additum est.|49|[ed. Curtze]
43
1
Si quis nobis dixerit quare Euclides probavit in hoc theoremate quod
2
duo anguli qui sunt sub basi, sint equales, cum in libro suo non invenia-
3
tur per hos aliquid fecisse, respondebimus quod ipse scivit illud in quo
4
dubitatur in septimo theoremate et in nono. Premisit itaque eius decla-
5
rationem ut per eam solveret dubitationem quemadmodum in eis ostende-
6
tur.
7
Possibile tamen est ut monstretur quod duo anguli qui sunt supra ba-
8
sim, sunt equales absque ostensione equalitatis duorum angulorum qui
9
sunt sub basi, secundum hunc modum. Sint duo latera ab et ag trian-
10
guli abg equalia; dico igitur quod angu-
11
lus abg est equalis angulo agb.
12
Probatio eius: quoniam signabo in
13
linea ab punctum d, et secabo ex linea
14
ag lineam ae equalem linee ad, et protra-
15
ham lineas de, dg, eb; et quia ba est
16
equalis ag et linea ad est equalis linee ea:
17
ergo duo latera ab, ae trianguli abe sunt
18
equalia duobus lateribus ag et ad trianguli agd, quodque videlicet latus
19
suo relativo est equale, et angulus a est communis duobus triangulis.
20
Ex probatione igitur quarte figure erit basis be equalis basi gd, et
21
angulus aeb erit equalis angulo adg et angulus abe equalis angulo agd.
22
Si ergo due linee equales ad, ae minuantur ex duabus lineis equali-
23
bus ab, ag, remanebit linea db equalis linee eg. Sed iam fuit ostensum
24
quod linea be est equalis linee gd et angulus dbe equalis angulo egd, et
25
basis de est communis: ergo ex probatione figure quarte erit angulus bde
26
equalis angulo ged et angulus bed equalis angulo gde. Cum ergo
27
minuerimus eos ex duobus equalibus angulis bde, ged, remanebit angu-
28
lus bdg equalis angulo beg; latera quoque ipsos continentia sunt equalia,
29
quodque videlicet suo relativo equale, et basis bg est communis |50|[ed. Curtze]
30
eis. Ex probatione igitur figure quarte erit angulus abg equalis angu-
31
lo agb. Et illud est quod demonstrare voluimus.
32
< I 6 > Sexti theorematis propositio potest sic enuntiari: Omnis tri-
44
1
anguli cuius duo anguli qui sunt supra basim, sunt equales, duo latera
2
sunt equalia.
3
Et sic: Si equantur duo anguli trianguli, latera ipsis subtensa sunt
4
equalia.
5
Ex eis quoque que huic sexto theoremati adduntur, est istud quod
6
sequitur: Omnis triangulus cuius duo anguli qui sunt sub basi, sunt
7
equales, est duorum equalium laterum.
8
Exempli causa: sit triangulus abg cuius duo latera ab et ag: cum
9
protrahuntur usque ad duo puncta d et e, sit angulus gbd equalis angu-
10
lo bge: dico igitur quod latus ba est
11
equale lateri ag.
12
Probatio eius: quoniam non est
13
possibile aliter esse. Quod si possibile
14
fuerit quod non sit ei equale: ponam
15
ergo quod ba sit maius ag, et
16
secabo bt equale ag, quemadmodum
17
manifestum est ex probatione figure tertie, et protraham gt et signabo
18
in linea ad punctum z et abscidam gh equale bz, sicut manifestum est ex
19
probatione figure tertie, et producam duas lineas bh, gz. Et quia
20
divisimus lineam gh equalem bz, ergo si acceperimus bg communem, erunt
21
due linee hg,|51|[ed. Curtze] gb equales duabus lineis zb, bg, et angulus bgh
22
est equalis angulo gbz. Manifestum est ergo ex probatione figure quarte
23
quod basis zg est equalis basi bh, et triangulus bgz est equalis trian-
24
gulo gbh, et angulus bzg equalis angulo bhg. Cum ergo equalia equalibus
25
addiderimus, erit linea zt equalis linee ah totaliter. Sed iam ostendimus
26
quod bh est equalis gz, et quod angulus ahb est equalis angulo azg: ergo
27
duo latera bh, ha sunt equalia duobus lateribus tz, zg, quodque latus suo
28
relativo equale, et angulus h est equalis angulo z. Ergo secundum
29
probationem figure quarte triangulus hab est equalis triangulo zgt. Sed
30
iam ostendimus quod triangulus hgb est equalis triangulo gbz: cum ergo
31
ex equalibus minuerimus equalia, remanebunt equalia. Remanet ergo
32
triangulus abg equalis triangulo btg, maior sc. equalis minori, quod
33
est contrarium et impossibile. Non est ergo possibile ut sit latus ab
34
maius latere bg neque minus eo: est equale igitur ei. Et illud est quod
35
demonstrare voluimus.
45
1
< I 7 > Additum septimo hoc est.
2
Si quis dixerit: possibile est ut a duabus extremitatibus linee ab due
3
linee ag et bg protrahantur equales
4
duabus lineis ad et bd protactis donec ag
5
sit equalis ad et bg sit equalis bd: dico illud
6
fore impossibile.
7
Probatio eius: quoniam producam
8
lineam gd et protraham duas lineas ag et ad
9
secundum rectitudinem usque ad duo puncta e et z:|52|[ed. Curtze] quia ergo
10
triangulus agd est duorum equalium laterum, latere videlicet |16/5v|[ms K]
11
ag existente equali lateri ad, erunt ex probatione quinte figure duo
12
anguli qui sunt sub basi, equales. Angulus igitur edg est equalis
13
angulo zgd. Sed angulus bgd est maior angulo zgd, ergo angulus bgd est
14
maior angulo edg. Sed angulus edg est maior angulo bdg, ergo angu-
15
lus bgd est multo maior angulo bdg. Et etiam quia triangulus bdg est
16
duorum equalium laterum, ergo secundum probationem figure quinte
17
sunt duo anguli qui sunt supra basim, equales: ergo angulus bdg est e-
18
qualis angulo bgd. Sed iam ostendimus quod angulus bgd est multo
19
maior angulo bdg, et hic est ei equalis; quod est contrarium et impos-
20
sibile.
21
Manifestum est itaque ex hoc quod hic probatur, quod commodum
22
proveniat ex eo quod in quinta figura probatur, quod duo anguli qui
23
sunt sub basi, equales existunt.|19r|[ms M]
24
< I 8 > Adiunctum octavo theoremati relatum ad probationem que
25
fit secundum modum contrarietatis.
46
1
< a > Basis trianguli abg que est bg, superponatur basi ez que est
2
trianguli dez, et cadant linee ab, ag ab
3
altera parte sicut linee eh, hz, et
4
con|53|[ed. Curtze]iungam puncta d et h cum
5
linea dh. Et quia linea de est equalis
6
linee eh, ergo ex probatione quinte fi-
7
gure sunt duo anguli qui sunt supra
8
basim, equales. Angulus ergo dhe est
9
equalis angulo hde. Ex hac quoque probatione monstratur quod
10
angulus dhz est equalis angulo hdz. Angulus ergo edz totus est equalis
11
toti angulo ehz. Et illud est quod demonstrare voluimus.
12
< b > Preterea possibile est ut linea ag secundum rectitudinem con-
13
iungatur linee dz, sicut linea dzh. Quia
14
ergo triangulus deh duo latera habet e-
15
qualia, sc. latus de quod est equale
16
lateri he, angulus edh est equalis angulo
17
ehz. Et illud est quod demonstrare
18
voluimus.
19
< c > Positum est quod linea ag sit quasi coniuncta secundum recti-
20
tudinem linee dz: possibile quoque est ut
21
linea ag linee dz taliter coniungatur
22
quatinus ipsa cum linea dz ab altera
23
parte contineat angulum. Sit ergo ita
24
sicut linee dz, zh, et producam
25
lineam dh. Et quia triangulus deh est
26
duorum equalium laterum, latere de
27
equali lateri eh, ergo ex eo quod manifestum est ex figura quinta,
28
angulus edh |54|[ed. Curtze] est equalis angulo ehd. Et etiam quia triangulus dzh
29
est duorum equalium laterum, ergo secundum probationem figure quinte
30
angulus zdh est equalis angulo zhd. Sed cum de equalibus equalia de-
31
muntur, que relinquuntur sunt equalia: remanet ergo angulus edz angu-
32
lo ehz equalis. Et illud est quod demonstrare voluimus.
47
1
Figure tamen iste probationibus non sint necessarie, quoniam cum ba-
2
sis superponitur basi, non scitur certitudo duorum angulorum a et d. Et
3
illud est quod demonstrare voluimus.
4
< I 9 > Additio noni theorematis,
5
Si quis dixerit quod triangulus equilaterus qui fit super lineam trian-
6
guli aed que est linea de, cadit super
7
lineam ab ad similitudinem z: erit ergo
8
latus de equale unicuique duarum
9
linearum dz, ze. Et quia triangulus aed
10
est duorum equalium laterum, ergo ex eo
11
quod est manifestum ex probatione figure
12
quinte, angulus deg est equalis
13
angulo edb quia ipsi sunt anguli qui sunt
14
sub basi. Et etiam quia triangulus dze
15
est duorum equalium laterum, ergo ex eo quod precessit ex probatione
16
figure quinte, etiam erunt duo anguli qui sunt supra basim, equales. Ergo
17
angulus zde est equalis angulo zed, maior videlicet minori, quod est
18
contrarium et impossibile.
19
Quod si dixerit quod egreditur a linea abz, erit magisterium eius
20
turpius. Et illud est quod demonstrare voluimus.
21
< I 11 > Hoc quod sequitur, Irinus undecimo theoremati addi-
22
dit|55|[ed. Curtze]
23
Si quis dixerit: volo quod a puncto a quod est linee extremitas, linea
24
recta protrahatur que sit perpendicularis
25
super lineam ab: signabo ergo in
26
linea ab punctum g, a quo producam
27
perpendicularem que sit gd, sicut osten-
28
sum est ex probatione precedentis figure.
29
Sit itaque protractio gd in infinitum.
30
Secabo autem ex gd quod sit equale
48
1
linee ag. Sit itaque linea gd, et producam perpendicularem de quemad-
2
modum protraxi aliam in infinitum, et dividam angulum agd in duo media
3
cum linea recta ex probatione figure none, et producam eam donec con-
4
currat linee de et ponam ut ipsa concurrat ei in puncto e. Deinde
5
coniungam quod est inter duo puncta a et e, producendo lineam ae. Dico
6
igitur quod linea ae est perpendicularis supra lineam ab supra
7
punctum a.
8
Probatio eius: quoniam secuimus lineam gd ad equalitatem linee ga, et
9
fecimus angulum age equalem angulo dge, ergo ge communi ex eo quod
10
manifestum est ex probatione figure quarte, erit angulus gae equalis
11
angulo gde. Angulus autem gde est rectus, ergo angulus eag est rectus.
12
Ergo linea ae est perpendicularis supra punctum a linee ab. Et illud est
13
quod demonstrare voluimus.
14
< I 14 > Quod sequitur, 14 theoremati additum est.
15
Hoc autem alio modo probatur secundum viam plenitudinis et usus.
16
Ponam itaque ut a puncto b linee ab due linee bg et bd sint protracte
17
et provenerint |56|[ed. Curtze] duo anguli abg, abd duobus rectis angulis
18
equales. Dico igitur quod ipse
19
secundum rectitudinem coniunguntur
20
et fiunt linea una.
21
Probatio eius: quoniam possibile est
22
ut a puncto b quod est communis
23
extremitas linearum bg, bd, protrahatur
24
linea que supra earum extremitatem sit
25
perpendicularis: quia si fuerit
26
perpendicularis super lineam bg et non fuerit perpendicularis super
27
lineam bd, tunc duo anguli abg et abd non sunt equales duobus rectis
28
angulis. Sit itaque linea illa linea be. Ponam itaque lineam aliam supra
29
quam sit zh, in qua signabo notam t. Deinde protraham a puncto t
30
perpendicularem supra lineam zh que sit linea tk. Manifestum est
49
1
itaque quod angulus ztk est equalis angulo dbe, et angulus htk
2
angulo gbe equatur. Cum ergo superposuerimus angulum ztk angulo dbe,
3
ponetur punctum t supra punctum b, et superponetur linea tz linee bd, et
4
linea tk cadet supra lineam be. Angulus quoque kth locabitur super
5
angulum ebg quoniam etiam ipsi sunt equales, et ponetur linea th supra
6
lineam bg, et ponetur tunc tota linea zth super lineam dgb. Sed linea zth
7
est una recta linea, ergo linea dbg est una recta linea. Et illud est
8
quod demonstrare voluimus.
9
< I 19 > Quod sequitur nono decimo additum est theoremati secun-
10
dum modum contrarietatis quod Irinus addidit.|57|[ed. Curtze]
11
Ad illud probandum hoc antecedens explanetur:
12
< a > Cum angulus bag qui est trianguli abg, in duo media linea ad
13
dividetur sicut ostensum est ex probatione figure none, erit gd longi-
14
or db. Dico igitur quod linea ga est
15
longior linea ab. Protraham itaque de
16
secundum rectitudinem ad et eius equali-
17
tatem, et secabo dz ad equalitatem bd
18
quemadmodum manifestum est ex proba-
19
tione figure tertie, et protraham ez
20
quam producam usque ad h, et protra-
21
ham az. Due ergo linee ad et db sunt
22
equales duabus lineis ed et dz, et duo anguli adb, edz oppositi sunt
23
equales: secundum probationem igitur figure quarte erit basis ab equalis
24
basi ez, et angulus bad equalis angulo dez. Sed angulus bad est
25
equalis angulo gad, quoniam angulus gab fuit divisus in duo media
26
linea ad; et iam fuit ostensum quod angulus bad est equalis angulo hed:
27
necesse est ergo ut angulus hae sit equalis angulo hed. Ergo secundum
28
probationem figure sexte erit linea ah equalis linee he, ergo linea ag
29
est longior linea he. Sed linea he est longior linea ez, et linea ez est
30
equalis linee ab, ergo linea he est longior linea ab. Sed linea ag est
31
longior he, ergo linea ag est multo longior linea ab.
32
< b > Post hec dico quod si fuerit angulus abg qui est trianguli abg,
50
1
|19v|[ms M] maior angulo qui est agd, erit latus ag maius latere ab.
2
Dividam itaque latus bg in duo media supra punctum d quemadmodum
3
est manifestum |58|[ed. Curtze] ex probatione figure decime, et protraham line-
4
am ad quam producam usque ad e, et ponam ut de sit equalis ad, et
5
5 producam lineam be. Duo ergo latera bd et de sunt equalia duobus
6
lateribus gd et da, et angulus adg est
7
equalis angulo bde: triangulus quoque bde
8
est equalis triangulo adg; ergo angulus dbe
9
est equalis angulo agd. Ergo angulus abg est
10
maior angulo dbe. Dividam itaque angu-
11
lum abe in duo media cum linea bz, sicut
12
manifestum est ex probatione figure none.
13
Linea ergo ez est maior linea za. Secundum probationem ergo figure que
14
ante hanc est exposita, erit latus be maius latere ab. Sed latus be est
15
equale lateri ag, ergo ag est longior ab. Et illud est quod demonstrare
16
voluimus.
17
< I 20 > Quod sequitur theoremati 20 additum est.
18
< a > Sit itaque triangulus abg. Dico igitur quod coniunctio duorum
19
laterum ab et ag maior latere bg, posito quod latus bg sit maius unoquo-
20
que duorum laterum ab et ag.
21
Probatio eius: quoniam dividam
22
angulum bag in duo media quemadmodum
23
est ostensum ex probatione figure none,
24
extrinsecus itaque angulus trianguli abd,
25
sc. an|59|[ed. Curtze]gulus adg, maior existit
26
angulo bad, qui est equalis angulo gad;
27
quod equidem manifestum est secundum probationem [igitur] figure
28
sexte decime. Angulus trianguli adg qui est angulus adg, maior existit
29
angulo gad, ergo secundum probationem figure none decime latus ag est
30
longius latere dg. Et secundum similitudinem huius probationis ostenditur
31
quod latus ab est maius latere bd. Ergo coniunctio laterum ab et
51
1
|17/6r|[ms K] ag est maior latere bg. Et illud est quod demonstrare voluimus.
2
< b > Alia figura 20 addita theoremati.
3
Sit itaque triangulus abg et sit latus bg longius lateribus ipsius.
4
Secabo ergo ex latere bg quod sit equale ab, sitque bd, sicut manifestum
5
est ex probatione figure tertie. Secundum
6
ergo probationem figure quinte angulus bad
7
est equalis angulo bda, sed secundum
8
probationem figure sexte decime angulus bda
9
est maior angulo dag, et similiter angu-
10
lus gda est maior angulo dab. Ergo duo anguli qui sunt ab utraque
11
parte linee ad, cum coniungentur, erunt maius angulo bag solo. Sed
12
angulus bda est equalis angulo bad quoniam linea ab est equalis
13
linee bd. Remanet ergo angulus adg maior angulo gad, ergo latus ga est
14
maius latere gd. Sed bd est equale ab, ergo coniunctio laterum ab, ag
15
maior est latere bg. Et illud est quod demonstrare voluimus.
16
< c > Aliud quod additum est 20.|60|[ed. Curtze]
17
Si quis dixerit quod possibile est ut sit triangulus cuius duo latera
18
sint equalia reliquo tertio lateri: ponam
19
ergo triangulum abg et ponam ut coniunc-
20
tum ex lateribus ab, ag sit equale lateri bg.
21
Secabo igitur bd ad equalitatem ab quem-
22
admodum manifestum est ex probatione
23
figure tertie; remanebit ergo dg equale ga et protraham lineam ad. Et
24
quia latus bd est equale lateri ba, ergo angulus adb est equalis
25
angulo bad ex probatione figure quinte. Secundum similitudinem quoque
26
huius probationis est manifestum quod angulus dag est equalis angulo gda.
27
Sed duo anguli qui sunt in puncto d ab utraque parte linee ad,
28
equantur duobus rectis, quod ex probatione figure tertie decime patet, et
29
ipsi sunt equales angulo bag. Hoc autem contrarium et impossibile est
30
propter hoc quod linea da in puncto a erigitur supra coniunctionem
31
duarum linearum ba, ag, et fiunt duo anguli bad, dag equales duobus
32
rectis. Secundum probationem ergo figure quarte decime sequitur ut
33
sint due linee ab, ag secundum rectitudinem coniuncte et fiant linea una
34
recta. Due ergo linee ba, ag una recta linea sunt, ergo trian-
52
1
gulus a duabus rectis lineis continetur, quod est contrarium et im-
2
possibile. Et illud est quod demonstrare voluimus.
3
< d > Hoc quoque quod sequitur, est additum 20.
4
Ponam ut duo latera ab, ag coniuncta sint minus latere bg. Dividam
5
itaque bd ad equalitatem ba, et ge ad
6
equalitatem ga. Secundum |61|[ed. Curtze] proba-
7
tionem igitur figure quinte erunt duo an-
8
guli bda et bad equales, et similiter duo
9
anguli gea, gae equales. Sed angulus adb
10
est maior angulo dag, ergo angulus |adb est
11
multo maior angulo gae; et similiter
12
ostenditur quod angulus aeg est maior angulo bad multo. Ergo coniunctio
13
duorum angulorum adb, aeg est maior coniunctione duorum angulo-
14
rum bad, gae. Sed iam fuit ostensum quod ipsi sunt eis equales, quod est
15
contrarium et impossibile. Et illud est quod demonstrare voluimus.
16
< I 24 > Additio figure 24.
17
Si linea dh protrahatur donec sit equalis lateri ag et postea pro-
18
ducatur eh equalis linee bg, ergo separabitur
19
punctum z et proveniet triangulus dhe. Sed
20
iam protracte sunt a duabus extremitatibus
21
unius laterum ipsius quod est de, due linee
22
que sunt dz, ze, quarum extremitates in
23
puncto z infra triangulum concurrunt.
24
Secundum probationem igitur figure vicesime
25
prime erit coniunctio duorum laterum ez, zd, quasi linea una,
26
minor coniunctione duarum linearum dh, he positarum quasi linea
27
una. Sed latus dh est equale lateri dz, remanet ergo latus eh
28
maius latere ez. Manifestum est autem ex probatione figure
29
quarte quod basis eh est equalis basi bg. Basis |62|[ed. Curtze] er-
53
1
go bg est maior basi ez. Et illud est quod demonstrare voluimus.
2
< I 25 > Hoc quod sequitur, figure 25 additum est absque via con-
3
trarietatis; quod equidem reperi, sed eius inventorem minime inveni.
4
Ponam itaque ut duorum triangulorum abg, dez latus ab sit equale la-
5
teri de, et latus ag sit equale la-
6
teri dz, sed reliquum latus bg sit maius
7
reliquo latere ez. Dico igitur quod
8
angulus bag est maior angulo edz.
9
Probatio eius: quoniam protraham
10
lineam ez usque ad h secundum recti-
11
tudinem et ponam ut eh sit equa-
12
lis bg, et producam lineam ed
13
secundum rectitudinem usque ad punctum t et ponam dt equalem ag, et
14
ponam punctum d centrum et cum spatio dt describam arcum tkz. Et
15
quia td est equalis dz et duo la- tera ab et ag, posita quasi linea|63|[ed. Curtze]
16
una, sunt maius latere bg quemadmodum ex probatione figure
17
vicesime est manifestum, et latus bg est equale lateri eh, et coniunctio
18
duorum laterum ab, ag positorum quasi linea una, est et: ergo linea et est
19
maior linea eh. Ponam itaque punctum e centrum et cum spatio eh
20
describam arcum hl et protraham ek et dk. Linea ergo dk est equalis
21
linee dt. Sed dt est equalis ag, ergo linea dk est equalis linee ag. Et
22
etiam quia ek est equalis eh que posita fuit equalis bg, est linea ek
23
equalis linee bg. Duo ergo latera ed, dk sunt equalia duobus lateri-
24
bus ba, ag, quodque suo relativo, sc. ab est equale de et ag equale dk,
25
et basis bg est equalis basi ek: ergo angulus edk est equalis angulo bag,
26
quod quidem ex probatione figure octave est manifestum. Sed angu-
27
lus edk est maior angulo edz, ergo angulus bag est maior angu-
28
lo edz. Et illud est quod demonstrare voluimus.
54
1
< I 26 > Quod sequitur, figure 26 additum est secundum copiositatis
2
modum; quod quidem reperi, sed inventorem eius minime inveni.
3
Cum |20r|[ms M] angulus b fuerit equalis angulo e et angulus g equalis
4
angulo z, et latus bg equale lateri ez, ergo si latus bg superponatur
5
lateri ez et punctum b ponatur super
6
punctum e et punctum g super punctum z,
7
superponetur linea bg linee ez quoniam ipse
8
sunt equales, et locabitur angulus b super
9
angulum e, et angulus g super|64|[ed. Curtze]
10
angulum z. Manifestum est igitur quod duo latera ab, ag cooperient duo
11
latera ed, dz, et angulus a cooperiet angulum d: quoniam si duo late-
12
ra ab, ag non cooperuerint duo latera de, dz, sed ceciderint ad
13
similitudinem ebz, erit angulus zeb, sc. angulus abg, maior angulo zed;
14
sed iam fuit ei equalis, quod est contrarium et impossibile. Et si ceci-
15
derint intra triangulum quemadmodum linee eh, hz, erit angulus zed maior
16
angulo hez, sc. angulo abg; sed iam fuit ei equalis, quod est contrarium
17
et impossibile.
18
Quod si huius figure addite figure 26 opus fuerit, sicut opus figure
19
quarte absque indicio contrarietatis, tunc manifestum erit quod
20
angulus b cooperit angulum e et angulus g cooperit angulum z. Et cum
21
isti duo anguli cooperuerint duos angulos e, z, et latus bg superpositum
22
lateri ez cooperit ipsum, ergo duo reliqua latera superposita duobus
23
reliquis lateribus cooperiunt ipsa, quodque sc. eorum suum relativum, et
24
angulus a cooperit angulum d et triangulus cooperit triangulum. Et illud
25
est quod demonstrare voluimus.
26
< I 6 > Postquam ergo hoc theorema scitum fuerit, scietur probatio
27
figure sexte absque contrario, que erit huiusmodi: Cum duo anguli a-
28
licuius trianguli sunt equales, tunc ipse est duorum equalium laterum.
55
1
Exempli causa: sit angulus abg triangu-
2
li abg equalis angulo agb, dico igitur quod
3
latus ab est equale lateri ag.
4
Probatio eius: quoniam dividam duo la-
5
tera bd, ge, et ponam ut sint equalia, et
6
protraham duas lineas be, gd. Duo ergo |65|[ed. Curtze]
7
latera db, bg sunt equalia duobus
8
lateribus eg, gb et angulus dbg est equalis angulo bge, ergo secundum
9
probationem figure quarte erit basis dg equalis basi eb et angulus gbe
10
equalis angulo bgd, et angulus bdg equalis angulo beg. Ex probatione
11
igitur figure tercie decime erit reliquus angulus aeb equalis reliquo
12
angulo adg; et etiam quia reliquus angulus abe est equalis reliquo angu-
13
lo agd, ergo secundum probationem figure antecedentis addite 26 erit
14
latus ad equale lateri ae. Sed iam fuit ostensum quod bd est equalis ge,
15
ergo tota linea ba est equalis toti linee ga; ergo latus ab est equale
16
lateri ag. Et illud est quod demonstrare voluimus.
17
< Pet. 5 > Postulatum quo probatur figura 29, quod sc. est quod
18
omnes due linee que protrahuntur super duos angulos minores duobus
19
rectis, coniunguntur, non est propositio recepta.
20
Dixit Sambelichius supra hoc: quia hec petitio non satis manifesta
21
est, oportuit ut lineis declaretur, ideoque Antatus et Deiudus decla-
22
raverunt eam multis figuris diversis. Ptholomeus quoque supra hanc
23
suam attulit |66|[ed. Curtze] probationem, usus est in probatione eius figura
24
XIII et quinta decima et 16 primi tractatus de elementis, et hoc non est
25
extraneum quoniam Euclides non usus est ea in probatione alicuius nisi
26
in probatione 29 figure istius tractatus. Hec quoque petitio ad sui ipsius
27
declarationem indiget aliqua consideratione, et etiam ut demonstretur
28
quod quemadmodum due linee que protrahuntur super duos rectos angulos,
29
non concurrunt, sed equidistant, ita due linee que protrahuntur super
30
duos angulos minores duobus rectis, coniunguntur.
56
1
Socio vero nostro Aganiz non est visum ut poneret hanc petitionem
2
quoniam eget probatione, sed loco eorum que sunt in elementis, usus est
3
aliis, ita ut probaret figuram 29 absque hac petitione. Deinde vero
4
proba|18/6r|[ms K]vit hanc petitionem secundum sententias et vias geome-
5
tricas, cuius verba sunt hec.
6
Dixit Aganiz: quia promisi me ostensurum huius petitionis declarati-
7
onem que est: quod due linee, cum protrahuntur super duos angulos duo-
8
bus rectis minores, concurrunt, cum probationibus geometricis, eo quod
9
possibile est aliquem reprehendere geometras in hoc et dicere: quare
10
petitis vobis concedi quod non satis manifestum est, et utimini eo in
11
probatione alterius: faciam ergo istud, et fortasse hec intentio est res
12
valde magna nec indiget, ut video, longa sermocinatione. Dico ergo
13
quod nos difinivimus lineas equidistantes dicentes eas esse que cum sint
14
in una superficie, si utrimque in infinitum protrahantur, erit spatium
15
quod est inter eas, semper unum; et spatium quod est inter eas, est
16
minor linea que est inter eas, sicut dictum est in spatiis. Oportet ergo
17
ut iste figure primo tractatui addantur libri elementorum post figuram
18
26 , ad hoc ut hec figura reducatur ad hoc ut sit vicesima septima.
19
< a > Si fuerint due recte linee equidistantes, spatium |67|[ed. Curtze]
20
quod est inter eas, est perpendiculare super unamquamque illarum
21
linearum.
22
Exempli causa: ponam ut sint due linee equidistantes que sint ab, gd,
23
et sit spatium inter eas ez. Dico igitur quod linea ez est perpendicularis
24
super unamquamque duarum linearum ab,
25
gd.
26
Probatio eius: quoniam si non fuerit
27
linea ez perpendicularis super unamquamque
28
duarum linearum ab, gd, duo anguli qui
29
sunt in puncto e, non erunt recti. Sit ergo qui ex eis est acutus,
30
angulus aez. Protraham itaque a puncto z perpendicularem super line-
31
am ab que sit zh, et illud est ut cadat in parte a. Ex probatione igitur
32
figure none decime erit ze longior zh, sed iam fuit positum
33
ut minor linea recta que coniungit inter duas lineas ab et gd, sit
57
1
ez, quod est contrarium et impossibile. Linea ergo ez est perpendi-
2
cularis super unamquamque duarum linearum ab, gd. Et illud est quod
3
demonstrare voluimus.
4
< b > Hanc sequitur ista alia.
5
Si recta linea super duas rectas lineas ceciderit et fiat super
6
unamquamque earum perpendicularis, ille due linee erunt equidistantes et
7
perpendicularis est spatium inter eas.
8
Exempli causa: ponam ut sint due recte linee ab, gd super quas cadat
9
linea ez que cum unaquaque illarum con-
10
tineat duos rectos angulos. Dico igitur
11
quod due linee ab, gd sunt equidistantes.
12
Probatio eius: quoniam si non fuerint
13
equidistantes, faciam ergo transire su-
14
pra punctum z lineam equidistantem li-
15
nee ab que sit - si est possibile - linea zh, et ponam ut linea
16
equidistans linee ab sit zh. Sequitur igitur ut linea ez sit spatium quod
17
est inter lineam ab et lineam zh, quoniam ipsa est brevior |68|[ed. Curtze]
18
lineis que protrahuntur a puncto z ad lineam ab. Ergo angulus hze est
19
rectus, quod ex probatione antecedentis figure sequitur. Sed positum est
20
quod angulus ezd est rectus, quod est contrarium et impossibile. Ergo due
21
linee ab, gd sunt equidistantes et ez est spatium inter eas. Et illud est
22
quod demonstrare voluimus.
23
< c > Alia tertia.
24
Si linea recta protrahitur supra equidistantes lineas, proveniunt duo
25
anguli coalterni equales et fit angulus extrinsecus intrinseco angulo sibi
26
opposito equalis, et fiunt duo anguli intrinseci qui sunt in parte una,
27
equales coniunctioni duorum rectorum angulorum.
28
Exempli causa: super duas rectas lineas equidistantes ab, gd recta
29
linea ez protrahatur. Dico igitur quod
30
anguli qui proveniunt, sunt secundum
31
quod prediximus.
32
Probatio eius: quoniam protraham ab
33
unoquoque duorum punctorum e et z spa-
34
tium quod est inter duas lineas ab, gd,
58
1
que sunt linee et, zk; sunt ergo quatuor anguli qui proveniunt ex eis,
2
recti. Linea igitur et equidistat linee kz, quod sequitur secundum
3
probationem antecedentis figure, et linea ek equidistat linee tz. Sed due
4
linee ek et zt sunt spatium quod est inter eas, ergo ipse sunt equales.
5
Et quia linea tz est equalis linee ek et linea et |20v|[ms M] est equalis
6
linee zk, et linee iste equales continent angulos, ergo duo trianguli sunt
7
equales, et reliqui anguli sunt equales reliquis angulis. Ergo angulus tze
8
est equalis angulo zek, qui sunt coalterni. Sed angulus tze est equalis
9
angulo hzd quoniam ipsi sunt supra sectionem, quod secundum proba-
10
tionem figure 15e sequitur; ergo angulus zek est equalis angulo hzd,
11
extrinsecus |69|[ed. Curtze] sc. intrinseco sibi opposito. Et etiam quia manifes-
12
tum est quod anguli coalterni sunt equales, addam ergo angulum dze
13
communem; ergo duo anguli tze, ezd qui duobus rectis equantur, sunt
14
equales duobus angulis kez, dze; ergo duo anguli intrinseci qui sunt in
15
parte una, sunt equales duobus rectis. Et illud est quod demonstrare
16
voluimus.
17
< d > Alia quarta.
18
Si linea recta super duas rectas lineas protrahatur et fuerint duo
19
anguli coalterni quos ipsa cum duabus lineis comprehendit, equales, aut
20
fuerit angulus extrinsecus angulo intrinseco sibi opposito equalis, aut
21
fuerint duo anguli intrinseci qui sunt in parte una, duobus rectis equales:
22
due linee erunt equidistantes.
23
Exempli causa: sint due linee ab, gd super quas cadat linea ez que
24
cum eis contineat angulos secundum quod numeravimus. Dico igitur
25
quod due linee ab, gd sunt equidistantes.
26
Probatio eius: quoniam si linea ez fuerit perpendicularis, manifestum
27
est quod due linee ab, gd sunt equidi-
28
stantes propter hoc quod precessit in
29
secunda harum figurarum que sunt ad-
30
dite. Quod si linea ez non fuerit per-
31
pendicularis, ergo protraham a puncto e
32
ad lineam gd perpendicularem que sit ek.
33
Si ergo angulus e fuerit rectus, tunc
34
manifestum est etiam quod due linee ab, gd sunt equidistantes propter
59
1
hoc quod precessit in figura tertia harum figurarum que adduntur. Sed
2
si angulus e non fuerit rectus, tunc producam a puncto e perpendicu-
3
larem super ek quemadmodum est manifestum ex undecima figura, sitque
4
linea el. Ergo due linee el, gd sunt equidistantes. Ergo anguli earum
5
coalterni sunt equales, quod equidem constat ex probatione figure
6
harum figurarum tertie. Ergo unusquisque duorum angulorum|70|[ed. Curtze]
7
zeb, zel est equalis angulo gze, quod est impossibile. Ergo
8
due linee ab, gd sunt equidistantes. Et illud est quod demonstrare
9
voluimus.
10
Aganiz vero secundum positionem suam inquit: reducatur figura 1a
11
que sic incipit: Volo protrahere a puncto dato linee date lineam
12
equidistantem, cuius probatio sit secundum probationem Euclidis; et
13
similiter alie figure quas nominabo post istam, ex quibus est figura
14
3a , sic incipiens: Superficierum equidistantium laterum latera opposita
15
et anguli oppositi sunt equales; et 3a: Linee uni linee equidistantes,
16
sunt equidistantes; et 3a: Linee recte que coniungunt spatium quod
17
est inter lineas equales et equidistantes, sunt etiam equales et equidi-
18
stantes; et 3a: Si linea recta super duas rectas lineas ceciderit et
19
fuerint duo anguli intrinseci qui sunt in parte una, minores duobus
20
rectis, due linee cum protrahentur in partem duorum angulorum qui
21
sunt minores duobus rectis, concurrent, quod hoc modo declaratur.
22
Exempli causa: Sint due recte linee ab, gd super quas cadat linea
23
recta ez, et proveniant duo anguli qui sunt in parte una, minores
24
duobus rectis. Dico igitur quod due linee ab, gd concurrent in parte
25
illa.
26
Probatio eius: quoniam supra punctum z faciam transire lineam
27
equidistantem linee ab, quemadmodum posse protrahi ex probatione
28
Euclidis in figura 3a est manifestum, sitque linea zh. Et protraham
29
spatium inter eas secundum figuram undecimam huius partis, que est li-
30
nea ze, et ponam super lineam zd punctum t quocumque modo cadat, a
60
1
quo producam perpendicularem
2
super lineam ze, sicut manifestum
3
est posse protrahi ex figura
4
undecima, sitque linea ti. Et
5
dividam lineam ze in duo media,
6
sicut ostensum est ex probatione
7
figure decime et medietatem eius
8
in duo media, neque cessabo quin
9
hoc semper faciam, donec cadat
10
sectio eius citra punctum i. Cadat
11
ergo sectio eius supra punctum m;
12
manifestum est ergo quod punctum m cadit |71|[ed. Curtze] super partem li-
13
nee ez cum qua ratiocinatur. Ponam itaque ut sectio eius que cadit
14
citra punctum i, sit sectionis secunde, et producam supra punctum m
15
lineam equidistantem duabus lineis zh, ab, que sit linea mn, sicut
16
manifestum est ex probatione figure que secundum ordinem Aganiz est
17
3a. Et protraham lineam zn in infinitum, et ponam ut in zc sit ex
18
multiplicibus zn sicut sunt multiplicia que sunt in ez quantitatis zm. Dico
19
igitur quod due linee ab, gd concurrent supra punctum c.
20
Probatio eius: quoniam secabo ex linea zc lineam equalem linee zn,
21
sicut manifestum est ex probatione figure tertie, que sit linea no; et
22
protraham supra punctum o |19/7r|[ms K] lineam equidistantem linee ze que
23
sit linea so, et producam |72|[ed. Curtze] lineam mn ad punctum q. Sunt ergo
24
duo latera duorum triangulorum zmn, noq equalia, sc. latus zn
25
equale lateri no, et angulus znm est equalis angulo qno, quod sequitur
26
ex probatione figure 15e. Sed secundum probationem figure posite
27
secundum positionem Aganiz erit angulus mzn equalis angulo noq
28
quoniam ipsi sunt coalterni. Secundum probationem igitur figure 26e
29
erunt reliqua latera equalia reliquis lateribus, quodque videlicet suo
30
relativo equale, et reliquus angulus erit equalis reliquo angulo. Ergo
31
latus zm est equale lateri oq, et latus qs est equale lateri zm quo-
61
1
niam ei est oppositum in superficie equidistantium laterum. Ergo linea so
2
est dupla linee zm. Si ergo protrahatur a puncto c linea equidistans
3
duabus lineis ez et os, et producatur supra punctum o linea po
4
secundum rectitudinem, equidistans linee ab, et concurrat linee protracte
5
a puncto c equidistanti linee ez, manifestum est quod ipsa secat ex ea
6
lineam equalem linee zp; protraham ergo ipsam que sit linea ct. Ergo
7
linea fc est equalis linee pz quoniam oc est equalis oz et angulus poz
8
est equalis angulo cof, et angulus fco est equalis angulo pzo quia sunt
9
coalterni. Ergo secundum probationem figure 26e sunt latera fc, zp
10
equalia. Sed zp est equalis pe, ergo linea fc est equalis pe. Ergo li-
11
nea aeb concurrit linee zc in puncto c, quod sequitur secundum quod
12
ordinavit Aganiz in positione figure que est: linee que coniungunt quod
13
est inter extremitates linearum equalium et equidistantium, sunt equales
14
et equidistantes. Iam igitur ostensum est quod si linea recta cadat
15
super duas rectas lineas et fuerint duo anguli intrinseci qui sunt in parte
16
una, minores duobus rectis angulis, tunc due linee cum protrahentur in
17
parte duorum angulorum qui sunt minores duobus rectis angulis, con-
18
current. Et illud est quod demonstrare voluimus.
19
Quecumque dicta sunt in hac figura et in eis que ipsam |73|[ed. Curtze]
20
antecedunt, sunt recepta pro necessariis secundum petitionem huius
21
prime partis libri Euclidis, et secundum figuras quas ordinavit Aganiz,
22
quas ipse addidit figuris Euclidis, et non est in eis omnibus aliquid
23
dignum reprehensione.
24
Dixit Sambelichius: hec sunt verba Aganiz, et fortasse Euclides non
25
posuit hanc intentionem in petitionibus nisi ut via facilior hac via
26
ad hoc pararetur. Et illud est quia si difinitio linearum equidistantium
27
est, sc.: linee equidistantes sunt quarum spatium quod est inter
28
eas, etiam si utrinque in infinitum protrahantur, semper erit
29
equale; ergo cum conversa fuerit, erit eius conversio vera, que
30
est: cum non fuerit spatium quod est inter lineas que sunt in una
31
superficie, equale, non erunt linee equidistantes; ergo si non fuerint
32
equidistantes, concurrent, quod Euclides posuit in figura 2a, ac si
62
1
necessario esset recipiendum: et linee que protrahuntur super duos
2
angulos minores duobus rectis, non semper servant unum spatium, ergo
3
concurrunt. Et manifestum est quod concursus erit ex parte in qua est
4
earum inclinatio, quoniam ab alia parte dilatantur, et augmentatur
5
spatium quod est inter eas. Sed quia locutio hec, id est: cum due
6
linee non fuerint equidistantes, concurrent, indiguit explanatione, et
7
etiam quia sectores piramidum non sunt equidistantes neque concurrunt,
8
ideo Aganiz aborruit hanc pe|21r|[ms M]tionem et aposuit figuras
9
has. Et etiam quia hec intentio est conversa figure que est: cum super
10
duas lineas rectas ceciderit una recta linea et fuerint duo anguli
11
intrinseci qui sunt ab una parte, equales duobus rectis, linee erunt
12
equidistantes, que fuit probanda, ergo hec similiter indiguit
13
probatione. Iam ergo diximus omnia que possunt dici de lineis
14
equidistantibus.
15
< Post I 31 > Huius figure que additur theoremati |74|[ed. Curtze] 3a, locus
16
sequitur figuram decimam, sed quia eius probatio completur post hanc
17
figuram, fuit conveniens ut hanc figuram sequeretur, sc. 3am , quoniam
18
divisio linee in tres equales partes est necessaria in figura 1a partis
19
sexte.
20
Sit ergo linea ab supra cuius duo puncta a et b duas erigam perpen-
21
diculares, quantecumque voluerimus quantitatis, que sint ag, bd, et
22
sint equales, quarum quamque in duo media in punctis e et t dividam, et
23
protraham duas lineas gt, ed, et producam a puncto z lineam equidis-
24
tantem duabus perpendicularibus ag,
25
bd. Et quia ag equidistat bd, sc. ge e-
26
quidistat td et equatur ei. Linee
27
vero que coniungunt quod est inter
28
extremitates linearum equidistantium
29
et equalium, sunt etiam equales et equidistantes; ergo due linee gt, ed
30
sunt equales et equidistantes. Sed linea zk iam fuit producta equidistans
31
linee ge et linea gz equidistat linee ek, ergo linea zk equalis
32
existit linee ge, quoniam omnia duo latera super|75|[ed. Curtze]ficierum
33
equidistantium laterum que sibi opponuntur, sunt equalia. Ergo linea zk
63
1
equalis est ea et equidistat ei. Sed super eas cecidit linea az, ergo duo
2
anguli eah, hzk qui sunt coalterni, sunt equales. Sed angulus eaz est
3
rectus, ergo angulus hzk est rectus. Sed angulus zkh est equalis angulo
4
aeh, quoniam ipsi sunt coalterni. Duo igitur anguli trianguli ahe sunt
5
equales duobus angulis alterius trianguli, unus quisque videlicet suo
6
relativo, et basis ae est equalis basi kz, ergo triangulus aeh est equalis
7
triangulo zkh, et reliqua latera sunt equalia reliquis lateribus; ergo linea
8
ah est equalis linee hz. Et secundum equalitatem huius probationis
9
monstratur quod triangulus zkh est equalis triangulo btz, quoniam basis
10
kz est equalis basi bt et duo anguli hzk, zbt sunt recti, et angulus hkz
11
est equalis angulo kzt. Sed angulus kzt est equalis angulo ztb, ergo
12
angulus hkz est equalis angulo ztb; ergo reliqua latera sunt equalia
13
reliquis lateribus, sc. latus hz est equale lateri zb. Ergo divisiones
14
ah, hz, zb sunt equales. Et illud est quod demonstrare voluimus; et
15
secundum hanc viam dividemus lineam in quot sectiones voluerimus
16
usque in infinitum.
17
< I 38 > Quod sequitur, addidit Irinus figure 38e.
18
Post huius intentionis probationem declaratur quod omnes duo
19
trianguli quorum duo latera unius equantur duobus lateribus alterius,
20
quodque sc. suo relativo lateri, sed angulus unius fuerit maior angulo
21
alterius, qui sc. ab illis equalibus lateribus continetur, tunc si hii
22
duo anguli qui ab equalibus lateribus continentur, coniuncti fuerint
23
equales duobus |76|[ed. Curtze] rectis, erunt trianguli equales; et si minores
24
duobus rectis fuerint, triangulus cuius angulus est maior, erit maior
25
altero; et si fuerint maiores duobus rectis, triangulus cuius angulus est
26
minor, erit maior altero triangulo.
27
< a > Exempli causa: sint duo anguli bag, edz duorum triangulorum
28
abg, dez qui secundum formam quam nominavimus, sint primum equales
29
duobus rectis, posito tamen quod angulus bag sit maior. Constituam
30
itaque supra punctum d linee de angulum edh equalem angulo bag, si-
31
cut manifestum est ex probatione figure 23e, et faciam transire supra
64
1
punctum z lineam equidistantem linee de
2
que sit zt, sicut manifestum est ex
3
probatione figure 31e, et protraham
4
lineam te. Ergo duo anguli bag, edt sunt
5
equales. Sed nos posuimus duos angu-
6
los bag, edz equales duobus rectis, ergo
7
coniunctio duorum angulorum edt, edz est
8
equalis duobus rectis. Sed coniunctio duorum angulorum edt, dtz est
9
equalis coniunctioni duorum rectorum, quod manifestum est secundum
10
probationem figure 29e, quoniam zt equidistat ed. Si ergo removero
11
angulum communem edt, remanebit angulus edz equalis angulo dtz. Et
12
quia linea zt equidistat linee de, erit angulus dzt equalis angulo edz.
13
Sed que uni rei sunt equalia, sibi invicem sunt equalia, ergo angu-
14
lus dzt est equalis angulo dtz; ergo latus dt est equale lateri dz. Sed
15
linea dz est equalis linee ag, ergo linea dt est equalis linee ag. Sed
16
linea de est equalis linee ab, et |77|[ed. Curtze] angulus bag est equalis
17
angulo edt, ergo basis bg est equalis basi et, et triangulus abg est equalis
18
triangulo det. Et quia duo trianguli det, dez sunt super unam basim que
19
est de, et inter duas lineas equidistantes que sunt de, tz, ergo secundum
20
probationem figure 37e erit triangulus det equalis triangulo dez. Sed iam
21
fuit ostensum quod triangulus det est equalis triangulo abg, ergo triangu-
22
lus abg est equalis triangulo dez. Et illud est quod demonstrare voluimus.
23
< b > Et etiam ponam ut duo anguli bag, edz sint minores duobus
24
rectis et ut angulus bag sit maior angulo edz et latus ab sit equale lateri
25
de et latus ag equale lateri dz; et ostendam sicut prius ostendi quod
26
triangulus abg est maior triangulo dez, et constituam angulum edh
27
equalem angulo bag, et producam lineam zt equidistantem linee ed. Et
28
quia coniunctio duorum angulorum bag, edz est minor duobus rectis,
29
ergo coniunctio duorum angulorum edh,
30
edz est minor duobus rectis. Sed
31
coniunctio duorum angulorum edt, |20/7v|[ms K]
32
dtz est equalis duobus rectis, ergo
33
cum minuero angulum communem edt,
34
remanebit angulus edz minor angulo dtz.
65
1
Sed angulus edz est equalis angulo dzt quia sunt coalterni, ergo
2
angulus dzt est minor angulo dtz; ergo secundum probationem figure
3
none decime erit latus dt minus latere dz. Ponam ergo ut latus dh sit
4
equale lateri dz, et coniungam eh. Ergo linea dh est equalis ag, et
5
linea de est equalis ab, et angulus bag est equalis angulo edh: ergo
6
secundum probationem figure quarte erit triangulus abg equalis
7
triangulo deh. Sed |78|[ed. Curtze] triangulus deh est maior triangulo dez, ergo
8
triangulus abg est maior triangulo dez. Et illud est quod demonstrare
9
voluimus.
10
< c > Secundum tertium quoque modum ponam ut coniunctio duorum
11
angulorum bag, edz sit maior duobus rectis. Dico igitur quod triangulus
12
dze est maior triangulo abg; quod est ideo quoniam angulus edz
13
remanet maior angulo dtz. Sed angulus edz est equalis angulo dzt, ergo
14
secundum probationem figure decime none erit latus dt longius latere dz.
15
Secabo itaque dk equalem dz et
16
coniungam ke, ergo secundum proba-
17
tionem precedentem erit triangulus dek
18
equalis triangulo abg, et secundum
19
probationem figure 37e erit triangu-
20
lus det equalis triangulo dez. Sed
21
triangulus det est maior triangulo dek, qui est equalis triangulo abg, ergo
22
triangulus dez est maior triangulo abg. Et illud est quod demonstrare
23
voluimus.
24
< I 46 > Quod sequitur, addidit Irinus figure 46e, quod est: volo
25
ostendere quod tres linee, sc. due que protrahuntur a duobus angulis
26
duorum quadratorum ad duos angulos trianguli ortogonii, et illa que pro-
27
trahitur ab angulo recto equidistans duobus lateribus quadrati, sese supra
28
|21v|[ms M] unum punctum secant, tribus ergo intentionibus illud explanan-
29
do, quarum |79|[ed. Curtze] prima est:
30
< a > Quod cum protrahitur in triangulo abg linea de equidistans
66
1
basi bg et dividatur bg in duo media
2
cum linea ahz, tunc linea dh etiam est
3
equalis linee he.
4
Protraham ergo supra punctum a
5
lineam equidistantem bg qui sit tk, quod
6
verum esse monstratur ex probatione
7
figure 31e; et similiter faciam transire
8
supra duo puncta d et e duas lineas kem, tdl equidistantes linee az, et
9
protraham dz, ez. Duo igitur trianguli abz, azg sunt equales, quoniam sunt
10
super duas equales bases et eorum altitudo est punctum unum, quod est
11
punctum a; quod quidem sequitur ex probatione figure 38e. Et etiam
12
secundum probationem figure 38e : quoniam duo trianguli bdz, zge sunt
13
super duas equales bases que sunt bz, zg, et inter duas lineas equidistan-
14
tes bg, de, ergo triangulus bdz est equalis triangulo ezg. Cum ergo
15
minuero eos ex triangulis equalibus abz, azg, remanebit triangulus adz
16
equalis triangulo aez. Et quia basis cuiusque horum duorum triangulorum
17
equalium est linea az, et linea az est basis duarum superficierum equidi-
18
stantium laterum al, am, ergo unaqueque duarum superficierum equidi-
19
stantium laterum al, am est dupla sui trianguli, quod consequitur ex
20
probatione figure 41e. Sed que unius rei sunt dupla, sunt equalia; ergo
21
paralellogramum al est equale paralellogramo am. Sed ipsa sunt super
22
duas bases lz, zm et inter duas lineas equidistantes, ergo secundum
23
probationem figure 36e basis lz est equalis basi zm; et secundum pro-
24
bationem figure 34e erit linea dh equalis linee eh. Et illud est quod
25
demonstrare voluimus. |80|[ed. Curtze]
26
< b > Intentio secunda. Si tres linee
27
inter duas lineas ab et gd pertransierint
28
que sunt equidistantes, sese super
29
unum punctum secantes sicut linee ad,
30
bg, ez se supra punctum h secant:
31
ergo si linea gz fuerit equalis linee zd,
32
linea ae erit equalis linee eb; quod
67
1
etiam alia prius afferendo explano: Cum fuerit linea ah maior linea hd,
2
tunc linea bh erit maior linea hg, et si fuerit equalis ei, ergo ipsa erit
3
equalis ei, et si fuerit minor ea, tunc ipsa erit minor ea.
4
Ponam itaque ut ah sit maior hd, dico igitur quod bh est maior hg.
5
Quod si non fuerit maior ea, ergo erit aut equalis ei aut minor ea.
6
Ponam ergo ut sit ei equalis et protraham hd usque ad m, donec sc.
7
sit hm equalis ah. Ergo duo latera ah, hb sunt equalia duobus
8
lateribus mh, hg, et angulus bha est equalis angulo mhg, quod quidem
9
est manifestum ex probatione figure quinte decime. Sed ex probatione
10
figure quarte erit basis mg equalis basi ba, et reliqui anguli erunt
11
equales reliquis angulis, ergo angulus hgm est equalis angulo abh.
12
Secundum probationem ergo 27e figure erit linea ab equidistans
13
linee gm, ergo erit secundum probationem figure 30e linea gm equidis-
14
tans linee gd. Sed ipse coniunguntur, quod est contrarium et impossibile.
15
Ergo linea bh non est equalis linee hg. Ponam autem quod sit minor ea,
16
et secabo hk equalem bh, et protraham km. Monstrabo igitur secundum
17
equalitatem illius quod km equidistat linee ba, quod quidem est
18
contrarium, cum linea ba fuerit equidistans linee dg. Ergo bh non est
19
minor hg; ergo ipsa est maior ea. Et |81|[ed. Curtze] similiter ostendam quod
20
cum fuerit ah equalis hd, erit bh equalis hg, et cum fuerit minor ea,
21
erit minor ea.
22
Et quia hoc iam explanatum est, hic itaque ostendam quod si gz
23
fuerit equalis zd, tunc ea erit equalis eb.
24
Ponam itaque ut ah sit minor hd. Ergo manifestum est ex hoc quod
25
explanavimus, quod bh est minor hg. Secabo itaque ht equalem ha, et hk
26
equalem hb, et producam lineam tlk. Due ergo linee ah, hb sunt equales
27
duabus lineis kh, ht, et angulus ahb est equalis angulo thk, ergo
28
basis ab est equalis basi kt, et reliqui anguli sunt equales reliquis
29
angulis, sc. angulus hkl est equalis angulo ebh. Et angulus ehb est
30
equalis angulo khl, et latus bh est equale lateri hk, ergo secundum
31
probationem figure 26e erit latus kl equale lateri be. Manifestum
32
quoque est secundum hanc probationem quod linea ae est equalis linee tl.
33
Et quia angulus htk est equalis angulo bah, ergo secundum pro-
34
bationem figure 27e erit linea ab equidistans linee kt. Sed linea ab
68
1
equidistat linee gzd, ergo secundum probationem figure 30e erit linea kt
2
equidistans linee gzd. Sed secundum quod ostensum est in intentione
3
prima: cum fuerit gz equalis zd, tunc erit kl equalis lt; ergo linea ea
4
erit equalis linee eb. Et similiter ostendetur quod voluimus ex eo si
5
fuerit ah equalis hg aut maior ea.
6
< c > Intentio tertia. Si in superficie equidistantium laterum ab
7
fuerint duo paralellograma aeh, bzh et fuerit superficies dz equalis
8
superficiei eg, et produxero |82|[ed. Curtze] lineam ah et protraxero lineas ekd
9
et eg et dz et ztg, et protraxero lineam ha secundum rectitudinem usque
10
ad t, et coniunxero t cum b producendo lineam tb: dico igitur quod aht
11
est linea recta, sc. quod linea at est coniuncta linee tb secundum
12
rectitudinem.
13
Probatio eius: quoniam positum est quod superficies dz equalis
14
existit superficie eg, erit triangulus dhz equalis triangulo egh.
15
Assumam autem triangulum hgz communem, ergo erit triangulus dgz
16
equalis triangulo egz. Sed ipsi sunt
17
super unam basim que est gz, et inter
18
duas lineas gz et de; secundum probatio-
19
nem igitur figure 39e linea gz est
20
equidistans linee de. Sed linea ek est
21
equalis linee kd, quod ex hoc manifestum
22
est quoniam triangulus aek est equalis
23
triangulo dkh, quod equidem constat
24
secundum probationem figure 34e cum probatione figure 27e et ex
25
probatione figure 26e. Sed secundum probationem intentionis que harum
26
intentionem est secunda, linea gt est equalis linee tz. Linea quoque bz
27
est equalis gh, quod constat ex probatione figure 34e ; ergo duo li-
28
nee tg, gh sunt equales duabus lineis bz, zt, et angulus bzt est equalis
29
angulo hgt; et hoc secundum probationem figure 29e. Sed secundum pro-
30
bationem figure quarte basis bt est equalis basi th, et angulus btz est
31
equalis angulo gth. Assumam autem angulum htz communem, ergo con-
32
iunctio duorum angulorum gth, htz est equalis coniunctioni duorum angu-
33
lorum btz, zth. Sed coniunctio duorum angulorum gth, htz est equalis
34
coniunctioni duorum rectorum angulorum, ergo coniunctio duorum angulo-
35
rum btz, zth est equalis duobus rectis angulis. Iam ergo protrahuntur
69
1
a puncto < t > |83|[ed. Curtze] linee zt in duas diversas partes due
2
linee que sunt linee at, tb, et fiunt duo anguli qui sunt in
3
duabus partibus, equalis duobus rectis, ergo due linee at, tb
4
secundum rectitudinem coniunguntur, et fiunt linea una. Et illud est
5
quod demonstrare voluimus.
6
< d > Et quia premisi has intentiones, ergo ponam ut angulus a
7
trianguli abg sit rectus, et constituam supra bg quadratum |21/8r|[ms K] gd,
8
et faciam supra ab quadratum abe, et supra ag quadratum agh, et
9
protraham a puncto a lineam akl equidistantem linee bd, et coniungendo
10
producam lineam eg. Ergo secat lineam al supra punctum m, et producam
11
lineam hm. Deinde coniungam punctum m puncto b. Dico igitur quod
12
linea bm est secundum rectitudinem linee hm.
13
Protraham ergo duas lineas |22r|[ms M] eb, hg secundum rectitudinem,
14
donec concurrant supra punctum n. Producam etiam lineas ez, ht, donec
15
concurrant supra punctum s, et faciam transire per punctum m
16
lineam qmi equidistantem linee se, et lineam xmc equidistantem li-
17
nee zg, sicut eius protractio manifesta est ex probatione figure 31e,
18
et coniungendo puncta protraham lineas sa, tz. Linea itaque ta est equalis
19
linee ag, et linee za est equalis linee ab, ergo due linee ba et ag sunt
20
equales duabus lineis za et
21
at. Et angulus bag est e-
22
qualis angulo zat, ergo ba-
23
sis bg est equalis basi tz;
24
et hoc manifestum est se-
25
cundum probationem figure
26
quarte. Et reliqui anguli
27
sunt equales reliquis angu-
28
lis, ergo angulus abg est |84|[ed. Curtze]
29
equalis angulo tza. Sed
30
angulus abg est equalis an-
31
gulo gak quoniam ak est
32
perpendicularis in triangulo
33
ortogonio abg, ergo angu-
34
lus tza est equalis angulo
70
1
gak. Sed angulus tza est equalis angulo saz, quoniam in paralellogra-
2
mo sa sunt protracte due diametri as, zt, se supra punctum d secantes, et
3
sit linea zd equalis linee ad; ergo angulus saz est equalis angulo gak.
4
Assumam autem angulum sag communem, ergo coniunctio duorum angulo-
5
rum saz, sag est equalis coniunctioni duorum angulorum mag, gas. Sed
6
secundum probationem figure tertie decime coniunctio duorum angulo-
7
rum saz, sag est equalis coniunctioni duorum rectorum angulorum, ergo
8
coniunctio duorum angulorum sag, gam est equalis coniunctioni duorum
9
rectorum. Ergo secundum probationem figure quarte decime linea sam est
10
recta et est diametrus paralellogrami sm. Secundum probationem igitur
11
figure 43e suplementum ax equale suplemento aq; assumpta itaque
12
superficie am communi erit superficies mt equalis superficiei mz. Et
13
etiam quia zn est paralellogramum cuius diametrus eg existit, et
14
sunt a duabus partibus illius zm et mn paralellograma que sunt suplemen-
15
ta, ergo suplementum zm est equale suplemento mn. Sed iam fuit
16
ostensum quod superficies zm est equalis suplemento mt, ergo superficies
17
mn est equalis superficiei mt. Ergo secundum quod probavimus in
18
intentione tertia harum trium intentionum huius figure quas explanavi-
19
mus, erit bmh linea recta. Et illud est quod demonstrare voluimus.
20
< I 46 > Quod sequitur, addidit Thebit 46e theoremati: Omnis
21
trianguli ortogonii quadratum factum ex latere subtenso angulo recto
22
equale est coniunctioni duorum quadratorum que fiunt ex duobus lateribus
23
que continent angulum rectum.
24
Exempli causa: sit triangulus abg
25
cuius angulus bag sit rectus: dico igitur
26
quod quadratum factum ex latere bg est
27
equale coniunctioni duorum quadratorum
28
que fiunt |85|[ed. Curtze] ex ab et ag.
29
Probatio eius: quoniam constituam
30
supra lineam ab quadratum ade, et
31
protraham lineam ag usque ad punctum z
32
et ponam ut linea ez sit equalis linee ag, et constituam supra lineam ez
33
quadratum eht, et producam dtk equalem ag. Et quia ag protracta est
71
1
equalis ez, ergo cum minuerimus communem eg, remanebit ae equalis zg.
2
Sed ae est equalis ab, ergo linea ab est equalis linee gz. Et etiam dk
3
protracta fuit equalis ez, et ez equalis et, ergo dk est equalis et.
4
Removebo ergo communem dt et remanebit de equalis tk. Sed linea ed est
5
equalis linee ab, ergo linea tk est equalis linee ab. Sed linea bd
6
etiam est equalis linee ab, ergo quatuor latera quatuor triangulorum
7
sunt equalia, sc. ab, gz, bd, tk. Et similiter ostendam quod quatuor
8
reliqua latera sunt equalia, sc. ag, zh, dk, th, quoniam ag protracta
9
est equalis ez, et linea ez est equalis linee th quoniam eh est
10
quadratum; ergo linea ag est equalis linee th. Sed linea dk protracta
11
est etiam equalis linee ag, et iam fuit ostensum quod linea zh est
12
equalis linee ez, et linea ez protracta est equalis linee ag: iam ergo
13
ostensum est quod linee ag, zh, dk, th etiam sunt equales. Et iam
14
ostensum est quod anguli quatuor triangulorum sunt recti, sc. anguli a
15
et z et t et d, ergo secundum probationem figure quarte prime partis
16
erunt corde que subtenduntur angulis equales, qui sunt recti et
17
equales; ergo corde bg, gh, hk, kb sunt equales. Sed angulus dbk est
18
equalis angulo abg. Posito igitur angulo gbd communi erit totus
19
angulus abd equalis toti angulo gbk. Sed angulus abd est rectus, ergo
20
an|86|[ed. Curtze]gulus gbk est rectus; et similiter ghk est rectus. Sed
21
superficies bh est equidistantium laterum, ergo duorum angulorum bkh,
22
bgh quisque est rectus; ergo superficies bh est equidistantium
23
laterum et rectorum angulorum. Sed iam ostensum est quod quatuor
24
trianguli sunt equales, sc. triangulus abg et triangulus gzh sunt
25
equales duobus triangulis bdk, tkh. Cum ergo posuero trapeziam glt
26
et triangulum bdl communes, erit totum quadratum bh equale coniunctioni
27
duorum quadratorum ad, eh. Sed quadratum ad est factum ex latere ab
28
et quadratum eh est factum ex linea ez, et linea ez est equalis late-
29
ri ag: ergo coniunctio duorum quadratorum ad et eh que sunt facta ex
30
duobus lateribus ab, ag, est equalis quadrato bh quod est factum ex
31
latere bg quod subtenditur angulo recto a. Iam ergo ostensum est quod
32
duo quadrata facta ex duobus lateribus ab, ag sunt equalia quadrato
33
facto ex latere bg. Et illud est quod demonstrare voluimus.
72
1
< I 47 > Probatio secunda huius figure, id est 47e, que est secundum
2
dicta Irini: ostendam quod omnis trianguli cuius duorum quadratorum
3
coniunctio que fiunt ex duobus lateribus, est equalis quadrato quod
4
est ex tertio latere, angulus cui tertium subtenditur latus, est
5
rectus.
6
Dixit Irinus: dico quod linea que protrahitur a puncto b ortogonaliter
7
super lineam bg a parte ab cuius
8
quadratum cum quadrato bg equatur
9
quadrato ag, non est alia |87|[ed. Curtze] nisi
10
linea ab. Quod si est possibile ut sit alia
11
ab ea, non tamen est possibile quin
12
cadat vel ultra eam vel citra eam.
13
Ponam ergo primum ut cadat ultra ipsam, sicut linea bd, et ponam ut
14
sit angulus dbg rectus. Angulus ergo bdg est minor recto, quod constat
15
secundum probationem figure 17e; ergo angulus adb est expansus.
16
Remanet ergo angulus dab acutus, ergo secundum probationem 19e
17
figure latus ab est maius latere bd. Producam ergo bd secundum
18
rectitudinem usque ad punctum e donec sit ab equalis be, et coniungam
19
eg. Duo ergo quadrata que fiunt ex linea be et linea bg, sunt equalia
20
quadrato eg. Sed iam fuerunt equalia quadrato ag, ergo linea ag est
21
equalis linee eg. Et linea ab est equalis linee eb, ergo iam
22
protrahuntur a duabus extremitatibus unius recte linee que est linea bg,
23
due linee quarum extremitates supra punctum unum concurrunt que
24
sunt linee ba, ga, et protrahitur a protractione cuiusque earum linea
25
sibi equalis in parte illa, que supra aliud punctum concurrunt que sunt
26
linee be, eg; quod secundum probationem figure septime contrarium
27
est et impossibile.
28
Et similiter ducitur ad impossibile si fuerit linea cadens citra
29
lineam ab; ergo linea ab est ea que ortogonaliter adiungitur linee bg. Et
30
illud est quod demonstrare voluimus.
73
1
< Liber secundus >
2
< Definitiones >
3
< II def. 1 > |88|[ed. Curtze] Dixit Euclides: Omnis superficies equidis-
4
tantium laterum et rectorum angulorum a duabus lineis continetur que
5
unum angulorum eius rectum continent.
6
Supra hoc expositor dixit Irinus: ideo Euclides superficiei equi-
7
distantium laterum et rectorum angulorum hanc attribuit proprietatem
8
'contineri a duobis lateribus angulum rectum continentibus' et non super-
9
ficiei equidistantium laterum cuius anguli non sunt recti, quoniam super-
10
ficies equidistantium laterum et rectorum angulorum est illud quod
11
congregatur ex multiplicatione unius duorum laterum continentium rectum
12
angulum in aliud, cum ponuntur.
13
< Theoremata >
14
< II 1 > Prime figure |22v|[ms M] exemplum secundum numeros.
15
Sit linea a numerus qui est sex, et linea bg decem et sit linea bd duo
16
et linea de tres et linea ge sit quinque. Manifestum est igitur quod cum
17
multiplicaverimus sex in 10, erit quod inde|89|[ed. Curtze] congregabitur,
18
sexaginta, qui est equalis ei quod congregatur ex multiplicatione sex
19
in 2 et postea in tres et postea in 5; quoniam sex in 2 fiunt 12, et
20
sex in tres fiunt 18, et quinque in 6 fiunt 30. Ergo quod proveniet ex
21
coniunctione trium numerorum, erit 60.
22
Dixit Irinus: non est possibile ut huius figure probatio decla-
23
retur nisi ambe linee signentur. Aliarum vero figurarum probationes
24
possibile est demonstrare unius tantum linee designatione.
25
Est etiam possibile ut ex unius linee positione quam prediximus,
26
duo proveniant probationum modi, quorum unus est modus qui attenditur
27
secundum dissolutionem, alter vero modus qui consideratur secundum
74
1
compositionem. Dissolutio autum est, cum qualibet questione|22/8v|[ms K]
2
proposita dicimus: ponamus illud in ordine rei quesite que est inventa,
3
deinde reducemus ad rem cuius probatio iam precessit. Cum ergo
4
manifestum est, dicimus quod iam inventa est res quesita secundum
5
dissolutionem. Composito vero est ut incipiamus a re nota, deinde
6
componamus donec res quesita inveniatur; ergo tunc res quesita iam erit
7
manifesta secundum compositionem.
8
Et postquam prediximus ista, revertar ad questiones nostras secun-
9
dum quod prediximus et promisimus hic. Ex hoc vero volo ut ostendam
10
quod promisi hic in aliis figuris huius partis que sequuntur.|90|[ed. Curtze]
11
< II 2 > Secundi theorematis exemplum in numeris.
12
Ponam ut linea ab sit numerus qui est x, que iam fuit divisa in duas
13
sectiones in puncto g, et sit ag tres ex numeris, et linea gb sit septem.
14
Manifestum est igitur quod multiplicatio ab que est x, in se ipsam est
15
equalis ei que congregatur ex multiplicatione ab que est x, in unum-
16
quemque duorum numerorum qui sunt tres et 7em; quoniam x in se
17
ipsum est centum, et x in tres est 30, et x in septem est 70; ergo
18
coniunctio eorum est centum. Et illud est quod demonstrare voluimus.
19
Dixit Irinus: secundum modum dissolutionis, exempli causa, ponam
20
lineam rectam lineam ab quam dividam in divisiones quocumque modo
21
fuerint, supra punctum g. Ostendam igitur quod quadratum ab est equa-
22
le superficiei que continetur a duabus lineis
23
ab, bg cum superficie contenta a duabus lineis ab, ag. Oportet ergo
24
ut imaginer lineam ab duas lineas equales quarum una sit divisa et
25
altera indivisa; manifestum est igitur quod due linee sunt equales.
26
Erit ergo superficies que continetur ab his duabus lineis equalibus,
27
equalis quadrato unius earum; sit itaque equalis quadrato ab. Ergo
28
ex eo quod declaratum est ex probatione figure prime, erit coniunctio
29
duarum superficierum que fiunt ex linea indivisa cum divisioni-
30
bus ag, gb, equalis superficiei que continetur a linea indivisa et linea
75
1
ab. Sed|91|[ed. Curtze] quadratum ab est equale illi superficiei quemadmodum
2
ostensum est, et linea indivisa est equalis linee ab quemadmodum
3
posuimus. Ergo due superficies que continetur ab hac linea ab et
4
unaquaque sectionum ag, gb, est equalis quadrato ab. Et illud est quod
5
demonstrare voluimus.
6
< II 3 > Tertie figure exemplum in numeris.
7
Ponam ut linea ab ex numeris sit x, quam supra punctum g in duas
8
sectiones dividam, et ponam ut ag sit ex numeris tres, et sectio gb sit
9
7. Erit ergo multiplicatio ab que est 10, in bg que est 7, ex numeris 70,
10
que est equalis ei quod congregatur ex muliplicatione ag que est tres,
11
in gb que est 7, et ex multiplictione gb que est 7, in se ipsam. Quod
12
ideo est quoniam ag in gb est 21, et linea gb in se ipsam est 49;
13
coniunctio itaque earum est 70. Et illud est quod demonstrare voluimus.
14
Dicit Irinus quod huius figure probatio declaratur ex probatione
15
figure prime. Ponam itaque ut sint due linee date ab, bg quarum una
16
sit indivisa et altera divisa supra punc-
17
tum g, que est ab, et sit superficies que continetur a linea indivisa et
18
linea ab, equalis coniunctioni superficierum que continentur a linea
19
indivisa et sectionibus linee divise, sc. a sectionibus ag, gb. Sed linea
20
indivisa est equalis linee bg, ergo superficies que continetur a linea
21
indivisa |92|[ed. Curtze] et linea ab, est equalis superficiei que continetur
22
ab ag et gb cum quadrato gb. Ergo si quelibet linea in duas sectiones
23
dividatur, tunc superficies que continetur a tota linea et una sectionum
24
eius, est equalis superficiei que continetur a duabus sectionibus cum
25
quadrato prime sectionis. Et illud est quod demonstrare voluimus.
26
< II 4 > Exemplum quarti secundum numeros.
27
Ponam ut linea ab sit ex numeris x quam in puncto g dividam, et sit
28
linea ag septem et sectio gb sit ex numeris tres. Multiplicatio igitur
76
1
ab in se ipsam ex numeris est centum, et est equalis multiplicationi ag
2
que est 7, in se ipsam, que est 49, et multiplicationi gb que est tres, in
3
se ipsam, que est novem, et duplo eius quod congregatur ex multi-
4
plicatione ag que est 7, in gb que est tres - duabus vicibus -, quod est
5
42; ergo est centum ex numeris. Et illud est quod demonstrare voluimus.
6
Probatio autem huius figure secundum formam intentionis Irini est
7
secundum modum dissolutionis. Queritur ergo an quadratum factum ex
8
linea ab resolvatur in coniunctionem duorum quadratorum que fiunt ex ag
9
et gb, cum duplo superficiei que continetur a
10
duabus lineis|93|[ed. Curtze] ag, gb. Et quia linea ab iam resoluta est in duas
11
lineas ag, gb, ergo secundum probationem figure secunde huius partis
12
resolvitur quadratum factum ex linea ab in coniunctione duarum
13
superficierum quarum una continetur a duabus lineis ba, ag et alia a
14
duabus lineis ab, bg, quoniam est eis equale. Sed iste due superficies
15
resolvuntur in probatione figure tertie huius partis; quod inde est
16
quoniam superficies que continetur a duabus lineis ab, ag, est equalis
17
superficiei que continetur a duabus lineis bg, ga, cum quadrato ag. Sed
18
superficies que continetur a duabus lineis ab, bg, est equalis superficiei
19
que continetur a duabus lineis ag, bg, cum quadrato bg. Ergo coniunctio
20
duorum quadratorum que fiunt ex duabus lineis ag, bg, cum duplo super-
21
ficiei que continetur a duabus lineis ag, gb, est equalis coniunctioni
22
duarum superficierum quarum una continetur a duabus lineis ba, ag, et
23
altera a duabus lineis ab, bg. Sed iam ostendimus quod quadratum
24
linee ab est equale istis duabus superficiebus, ergo iam resolutum est
25
quadratum factum ex linea ba in coniunctionem duorum quadratorum
26
que fiunt ex duabus lineis ag, gb, cum duplo superficiei que continetur a
27
duabus lineis ag, gb, et equatur eis. Et illud est quod demonstrare
28
voluimus.
29
Secundum modum autem compositionis consistit etiam hoc. Incipiam
30
itaque componere a loco ad quem perveni cum
31
resolutione. Dico igitur quod secundum probationem figure tertie huius
32
partis superficies que continetur a duabus lineis bg, ga cum quadrato
77
1
ag est equalis superficiei que continetur a duabus lineis ba, ag; et
2
similiter superficies que continetur a duabus lineis ag, gb, cum quadrato
3
bg est equalis superficiei que continetur|94|[ed. Curtze] a duabus lineis ab,
4
bg. Iam ergo composita sunt duo quadrata facta ex duabus lineis |23r|[ms M]
5
ag, gb cum duplo superficiei que continetur a duabus lineis ag, gb,
6
et equantur duabus superficiebus quarum una continetur a duabus
7
lineis ba, ag et alia a duabus lineis ab, bg. Sed iste due superficies
8
componuntur et equantur quadrato facto ex linea ab secundum
9
probationem secunde huius partis, ergo coniunctio duorum quadratorum
10
que fiunt ex duabus lineis ag, gb, cum duplo superficiei que continetur a
11
duabus lineis ag, gb, tota equatur toto quadrato facto ex linea ab. Et
12
illud est quod demonstrare voluimus.
13
< II 5 > Quinte figure exemplum in numeris.
14
Ponam ut linea ab sit ex numeris x et queque duarum
15
sectionum ag, gb sit 5, et sectio ad sit 7. Restat ergo ut db sit tres et
16
sit gd duo. Manifestum et igitur quod illud quod congregatur ex
17
multiplicatione sectionis bg in se ipsam, est 25, qui est equalis ei quod
18
congregatur ex multiplicatione ad que est septem, in db que est tres,
19
quod est 21, et multiplicationi sectionis gd que est duo, in se ipsam, que
20
est 4; totum igitur quod congregatur, est 25. Et illud est quod
21
demonstrare voluimus.|95|[ed. Curtze]
22
Huius autem figure probatio secundum Irini intentionem est secundum
23
resolutionem, propter quod queremus ut sciamus
24
an superficies que continetur a duabus sectionibus ad, db, cum
25
quadrato linea gd sit equalis quadrato linea gb. Assumam ergo duas
26
lineas quarum una sit iam divisa in sectiones, que est linea ad, et altera
27
indivisa, que est db. Ergo secundum probationem figure prime huius
28
partis erit superficies que continetur a duabus lineis ad, db, equalis
29
coniunctioni duarum superficierum que continentur a linea db et
30
sectionibus ag, gd. Et quia ag est equalis gb, ergo coniunctio dua-
78
1
rum superficierum que continentur a duabus lineis gb, bd et gd, db, est
2
equalis superficiei que continetur a duabus lineis ad, db. Remanet autem
3
nobis quadratum gd; ponam ergo ipsum commune. Ergo erit coniunctio
4
duarum superficierum que continentur a duabus lineis gb, bd et duabus
5
lineis gd, db cum quadrato gd equalis superficiei que continetur a
6
duabus lineis ad, db, cum quadrato gd. Sed superficies que continetur a
7
duabus lineis bd, dg, cum quadrato dg est equalis superficiei que
8
continetur a duabus lineis gb, gd; quod quidem constat secundum
9
probationem figure tertie huius partis. Ergo coniunctio duarum super-
10
ficierum quarum unam continent due linee gb, bd et alteram bg, gd,
11
est equalis superficiei que continetur a duabus lineis ad, db, cum
12
quadrato gd. Sed due superficies quarum unam continent due
13
linee gb, bd et alteram gb, gd, sunt equales quadrato gb; et hoc
14
secundum probationem figure secunde huius partis. Ergo quadratum gb
15
est equale superficiei que continetur a duabus lineis ad, db, cum qua-
16
drato gd. Et illud est quod demonstrare voluimus. |96|[ed. Curtze]
17
Iam ergo resolutum est in probatione figure secunde. Incipiam ita-
18
que componere a loco ad quem cum resolutione perveni. Secundum
19
probationem igitur figure secunde huius partis superficies quam continent
20
due linee gb, bd, cum superficie quam conti-
21
nent due linee bg, gd, est equalis quadrato linee gb. Sed secundum pro-
22
bationem figure tertie huius partis superficies que continetur a duabus
23
lineis bg, gd, erit equalis superficiei que continetur|23/9r|[ms K] a
24
duabus lineis gd, db, cum quadrato gd. Ergo quadratum gb est equale
25
duabus superficiebus quarum unam continent due linee gb, bd et
26
alteram due linee gd, db, cum quadrato gd. Et quia linea ag est equalis
27
linee gb, erit superficies que continetur a duabus lineis ag, db, cum
28
superficie quam continent due linee gd, db, cum quadrato gd equalis
29
quadrato gb. Secundum probationem vero figure prime huius partis erit
30
superficies quam due linee continent ag, db, cum superficie quam
31
continent due linee bd, gd < equalis superficiei quam continent due
79
1
linee ad, db; ergo erit superficies quam continent due linee ad, db >,
2
cum quadrato gd equalis quadrato facto ex linea gb. Et illud est quod
3
demonstrare voluimus.
4
< II 6 > Figure sexte probatio secundum lineas, quam Irinus secun-
5
dum duos perfecit modos quorum unus est secundum resolutionem et al-
6
ter secundum compositionem. Modus autem resolutionis est huiusmodi.
7
Sit linea data ab quam supra punctum g in duo secabo media, et ad-
8
iungam ei in longitudine lineam|97|[ed. Curtze] bd, et monstrabo quod figura
9
que continetur a duabus lineis ad, db, cum
10
quadrato gb est equalis quadrato gd. Cum ergo protrahetur ae secundum
11
rectitudinem ga et fuerit ae que protrahitur, equalis bd, manifestum erit
12
quod si posuerimus lineam ab communem, erit tota linea eb equalis
13
linee ad. Sed superficies que continetur a lineis ad, db, est equalis
14
superficiei que continetur a duabus lineis eb, bd. Nobis itaque manifestum
15
est quod superficies quam due linee continent eb, bd, cum quadrato
16
linee gb est equalis quadrato linee gd. Illud quidem patet quoniam li-
17
nea de est divisa in duo media supra punctum g et in duas sectiones
18
inequales supra punctum b. Ergo secundum probationem figure 5e huius
19
partis erit superficies quam due linee continent eb, bd, cum quadrato gb
20
equalis quadrato gd.
21
Secundum compositionem vero sic probatur. Cum ergo composueri-
22
mus, erit superficies quam continent due linee eb, bd, cum quadrato
23
linee gb quadrato gd equalis. Sed iam fuit
24
ostensum quod superficies quam continent due linee eb, bd, est equalis
25
superficiei quam continent due linee ad, bd. Ergo superficies que
26
continetur a duabus lineis ad, db, cum quadrato gb est equalis quadra-
27
to gd. Et illud est quod demonstrare voluimus.|98|[ed. Curtze]
80
1
< II 7 > Probatio figure 7e absque figura secundum Irini intenti-
2
onem est secundum modum resolutionis ita. Queram igitur an coniunctio
3
duorum quadratorum que fiunt ex duabus
4
lineis ab, bg, resolvatur in duplum superficiei que continetur a duabus
5
lineis ab, bg, cum quadrato facto ex linea ag et equantur. Dico igitur
6
quod quadratum ab resolvitur in probationem figure quarte quod inde est
7
quoniam quadratum factum ex linea ab est equale coniunctioni duorum
8
quadratorum que fiunt ex duabus lineis ag, gb, et duplo superficiei que
9
continetur a duabus lineis ag, gb. Ergo coniuncto duorum quadratorum
10
que fiunt ex duabus lineis ab, bg, iam resolvitur et equatur duplo su-
11
perficiei que continetur a duabus lineis ag, gb, cum duplo quadrati
12
facti ex linea gb et cum quadrato facto ex linea ag. Sed secundum
13
probationem figure tertie huius partis erit duplum superficiei que
14
continetur a duabus lineis ag, gb, cum duplo quadrati facti ex linea gb
15
equale < duplo > superficiei que continetur a duabus lineis ab, bg. Iam
16
ergo remanet duplum superficiei que continetur a duabus lineis ab, bg,
17
cum quadrato facto ex linea ag equale duplo superficiei que continetur a
18
duabus lineis ag, gb cum duplo quadrati facti ex linea gb et quadrato
19
facto ex linea ag. Coniunctio igitur duorum quadratorum que fiunt ex
20
duabus lineis ab, bg, iam resoluta est in figuram tertiam, et equatur
21
duplo superficiei que continetur a duabus lineis ab,|99|[ed. Curtze] bg, cum
22
quadrato facto ex linea ag. Et illud est quod demonstrare voluimus.
23
Secundum compositionem vero probatur sic. Incipiam ergo hic compo-
24
nere. Dico ergo quoniam coniunctio duorum quadratorum ab, bg resoluta
25
est in probatione figure tertie et equatur duplo superficiei que con-
26
tinetur a duabus lineis ab, bg, cum quadrato
27
facto ex linea ag. Ergo secundum probationem figure tertie huius par-
81
1
tis erit duplum superficiei que continetur a duabus lineis ab, bg < e-
2
quale duplo superficiei que continetur a duabus lineis ag, gb >, cum
3
duplo quadrati facti ex linea gb; et duplum superficiei que continetur a
4
duabus lineis ab, bg, cum quadrato linee ag est equale duplo superficiei
5
que continetur a duabus lineis ag, gb, cum duplo quadrati facti ex linea
6
gb et cum quadrato linee ag. Sed secundum probationem figure quarte
7
huius partis erit coniunctio duorum quadratorum que fiunt ex lineis ag,
8
gb,|23v|[ms M] < cum duplo superficiei que continetur a duabus lineis ag,
9
gb >, equalis quadrato facto ex linea ab. Remanet ergo quadratum
10
linee bg quod addam super quadratum factum ex linea ab. Fit ergo
11
coniunctio duorum quadratorum que fiunt ex duabus lineis ab, bg, e-
12
qualis duplo superficiei que continetur a duabus lineis ab, bg, cum
13
quadrato facto ex linea ag. Iam ergo compositum est ex probatione fi-
14
gure tertie et perventum est ad probationem figure quarte, sicut reso-
15
lutum est ex probatione figure quarte in figuram tertiam. Et illud est
16
quod demonstrare voluimus.|100|[ed. Curtze]
17
< II 8 > Modus autem quo Irinus ordinavit probationem figure octave
18
cum signatione unius linee tantum et ipsius constitutione secundum
19
probationem resolutionis et compositionis, est iste.
20
Ponam lineam ab quam supra punctum g dividam qualitercumque
21
contingat divisio, et adiungam ei lineam bd equalem linee bg. Cum ergo
22
resolverimus quadratum linee ad, resolvetur
23
in probationem figure quarte huius partis. Quod ideo erit quoniam qua-
24
dratum factum ex linea ad est equale duplo superficiei quam continent
25
due linee ab, bd, cum duobus quadratis factis ex duabus lineis ab, bd.
26
Et quia bd posita est equalis sectioni bg, ergo duplum superficiei que
27
continetur a duabus lineis ab, bg, cum duobus quadratis factis ex duabus
28
lineis ab, bg est equale quadrato facto ex linea ad. Secundum pro-
82
1
bationem vero figure septime huius partis erunt duo quadrata facta ex
2
duabus lineis ab, bg equalia duplo superficiei que continetur a duabus
3
lineis ab, bg, cum quadrato ag. Cum ergo illud coniungetur, erit qua-
4
druplum superficiei que continetur a duabus lineis ab, bg, cum quadrato
5
ag equale duplo superficiei que continetur a duabus lineis ab, bg, cum
6
duobus quadratis factis ex lineis ab, bd. Sed iam ostendimus quod ista
7
sunt equalia quadrato facto ex linea ad, ergo quadruplum superficiei que
8
continetur a duabus lineis ab, bg, cum quadrato ag est equale quadra-
9
to ad. Ergo iam resolutum est hoc in figuram quartam prius, post in
10
figuram septimam. Et illud est quod demonstrare voluimus.|101|[ed. Curtze]
11
Secundum compositionem vero incipiam a loco ad quem cum resoluti-
12
one perveni. Et quia quadruplum superficiei que continetur a duabus
13
lineis ab, bg, cum quadrato linee ag equatur
14
duplo superficiei que continetur a duabus lineis ab, bg, cum duobus
15
quadratis factis ex duabus lineis ab, bd: ergo cum assumpserimus loco
16
dupli superficiei que continetur a duabus lineis ab, bg, cum quadrato
17
linee ag coniunctionem duorum quadratorum que fiunt ex duabus li-
18
neis ab, bg et addiderimus eam supra duplum superficiei que continetur a
19
duabus lineis ab, bg, erit tunc duplum superficiei que continetur a duabus
20
lineis ab, bg, cum duobus quadratis factis ex duabus lineis ab, bg equale
21
quadruplo superficiei que continetur a duabus lineis ab, bg, cum quadrato
22
facto ex linea ag; quod equidem est manifestum ex probatione figure 7e
23
huius partis. Sed linea gb est equalis linee bd, ergo duplum superficiei
24
que continetur a duabus lineis ab, bg, est equale duplo superficiei
25
que continetur a duabus lineis ab, bd. Ergo quadruplum superficiei que
26
continetur a duabus lineis ab, bg, cum quadrato linee ag est equale
27
duplo superficiei que continetur a duabus lineis ab, bd, cum
28
coniunctione duorum quadratorum que fiunt ex duabus lineis ab, bd. Sed
29
secundum probationem figure quarte huius partis erit duplum superficiei
30
que continetur a duabus lineis ab, bd, cum coniunctione duorum
31
quadratorum que fiunt ex duabus lineis ab, bd, equale quadrato
83
1
facto ex linea ad. Ergo quadruplum superficiei que continetur a duabus
2
lineis ab, bd, cum quadrato facto ex linea ag est equale |102|[ed. Curtze] qua-
3
drato ex linea ad. Et illud quod demonstrare voluimus.
4
< II 9 > Probatio none figure absque figura secundum Irini intenti-
5
onem est hoc modo. Quero ut ostendatur quod coniunctio duorum
6
quadratorum que fiunt ex duabus lineis ad, db, sit equalis duplo duorum
7
quadratorum que fiunt ex duabus lineis
8
ag, gd. Iam ergo scivimus ex probatione figure quarte huius partis quod
9
quadratum factum ex linea ad est equale duplo superficiei que continetur
10
a duabus lineis ag, gd, cum duobus quadratis que fiunt ex duabus li-
11
neis ag, gd. Coniunctio ergo duorum quadratorum que fiunt ex duabus li-
12
neis ad, db, iam resoluta est in hoc ut sit equalis duplo superficiei que
13
continetur a duabus lineis ag, gd, cum duobus quadratis factis ex duabus
14
lineis ag, gd cum quadrato bd. Oportet itaque ut ostendam quod duplum
15
duorum quadratorum que fiunt ex duabus lineis ag, gd, sit equalis duplo
16
superficiei|24/9v|[ms K] que continetur a duabus lineis ag, gd, et
17
coniunctioni duorum quadratorum que fiunt ex duabus lineis ag, gd, et
18
quadrato bd. Cum ergo minuerimus duo quadrata communia que fiunt
19
ex ag, gd, remanebit duplum superficiei que continetur a duabus li-
20
neis ag, gb, cum quadrato linee bd equale coniunctioni duorum
21
quadratorum que fiunt a duabus ag, gd. Sed linea ag est equalis linee
22
g b, coniunctio ergo|103|[ed. Curtze] quadratorum duarum linearum bg, gd est
23
equalis duplo superficiei que continetur a duabus lineis bg, gd, cum
24
quadrato facto ex linea bd; quod quidem ex probatione figure 7e constat
25
huius partis. Sed secundum probationem figure septime huius partis erit
26
coniunctio duorum quadratorum que fiunt ex duabus lineis bg, gd, equa-
27
lis duplo superficiei que continetur a duabus lineis bg, gd, cum quadrato
28
linee bd. Iam ergo resolutum est in probatione figure huius partis 7e et
29
ostensum quod coniunctio duorum quadratorum que fiunt ex dua-
84
1
bus lineis ad, db, est equalis duplo duorum quadratorum que fiunt ex
2
duabus lineis ag, gd. Et illud est quod demonstrare voluimus.
3
Secundum compositionem vero sic. Hic itaque componere incipiam. Et
4
quia cum probatione ad hunc devenimus finem ut coniunctio duorum qua-
5
dratorum que fiunt ex duabus lineis bg, gd, sit
6
equalis duplo superficiei que continetur a duabus lineis bg, gd, cum
7
quadrato facto ex linea bd, et linea ag est equalis linee gb, ergo
8
coniunctio duorum quadratorum que fiunt ex duabus lineis ag, gd, est e-
9
qualis duplo superficiei que continetur a duabus lineis ag, gd cum qua-
10
drato facto ex linea db. Adiungam autem coniunctionem duorum quadrato-
11
rum ag et gd et accipiam ea communia. Fit ergo duplum duorum
12
quadratorum que fiunt ex duabus lineis ag, gd, equale duplo superficiei
13
que continetur a lineis ag, gd, et duobus quadratis factis ex duabus
14
lineis ag, gd cum quadrato facto ex linea db. Sed secundum probationem
15
figure quarte huius partis erit quadratum factum ex linea ad equale duplo
16
superficiei que continetur a duabus lineis ag, gd, cum duobus quadratis
17
factis ex duabus lineis ag, gd. Ergo coniunctio duorum quadratorum que
18
fiunt ex duabus|104|[ed. Curtze] lineis ad, db, est equalis < duplo >
19
coniunctionis duorum quadratorum que fiunt ex duabus lineis ag, gd. Et
20
illud est quod demonstrare voluimus.
21
< II 10 > Probatio Xe figure absque figura secundum intentionem
22
Irini est secundum resolutionem sic. Et quia iam invenimus quod
23
coniunctio duorum quadratorum que fiunt ex duabus lineis ad, db, est
24
equalis coniunctioni dupli duorum quadratorum ag, gd: dico igitur
25
quod ex probatione figure quarte erit quadratum factum ex linea ad
26
equale coniunctioni duorum quadratorum que fiunt ex duabus lineis ag,
27
gd, et duplo superficiei que continetur a duabus lineis ag et gd.
85
1
Ergo coniunctio duorum quadratorum que fiunt ex duabus lineis ag, gd,
2
cum duplo superficiei que continetur a|24r|[ms M] duabus lineis ag, gd,
3
et cum quadrato facto ex linea db est equalis duplo duorum quadratorum
4
que fiunt ex duabus lineis ag, gd. Cum ergo
5
abstulero duo quadrata communia ag et gd ex toto, remanebit duplum
6
superficiei que continetur a duabus lineis ag, gd, cum quadrato facto ex
7
linea bd equale duobus quadratis factis ex duabus lineis ag et gd. Sed ag
8
est equalis gb, ergo duplum superficiei que continetur a duabus li-
9
neis ag, gd, est equale duplo superficiei que continetur a duabus lineis
10
dg, gb, et coniunctio duorum quadratorum que|105|[ed. Curtze] fiunt ex duabus
11
lineis ag, gd, est equalis coniunctioni duorum quadratorum que fiunt ex
12
duabus lineis dg, gb. Ergo duplum superficiei que continetur a duabus
13
lineis dg et gb, cum quadrato facto ex linea db est equale coniunctioni
14
duorum quadratorum que fiunt ex duabus lineis dg et gb. Iam ergo
15
resolutum est hoc in probatione figure 7e, et ostensum quod coniunctio
16
duorum quadratorum que fiunt ex duabus lineis ad et db, est equalis
17
duplo duorum quadratorum que fiunt ex duabus lineis ag et gd. Et illud
18
est quod demonstrare voluimus.
19
Secundum compositionis vero modum incipiam componere a loco ad
20
quem cum resolutione perveni. Dico ergo quia duo quadrata duarum
21
linearum dg, gb sunt equalia duplo
22
superficiei que continetur a duabus lineis dg, gb, cum quadrato facto ex
23
linea db. Sed linea ag est equalis linee gb, ergo coniunctio duorum
24
quadratorum que fiunt ex duabus lineis ag, gd, est equalis duplo
25
superficiei que continetur a duabus lineis ag et gd, cum quadrato db. Cum
26
ergo addidero coniunctionem duorum quadratorum que fiunt ex duabus li-
27
neis ag et gd, duobus aliis quadratis, sicut ostensum est, ex duabus
28
lineis ag et gd, et addiderimus illud idem supra duplum superficiei que
29
continetur a duabus lineis ag et gd, cum quadrato facto ex linea db, erit
30
duplum duorum quadratorum que fiunt ex duabus lineis ag et gd, equale
31
duplo superficiei que continetur a duabus|106|[ed. Curtze] lineis ag et gd, cum
32
quadrato facto ex linea bd et coniunctioni duorum quadratorum duarum
33
linearum ag et gd. Sed secundum probationem figure quarte huius partis
86
1
erit duplum superficiei que continetur a duabus lineis ag, gd, cum duobus
2
quadratis que fiunt ex duabus lineis ag et gd, equale quadrato ex linea
3
ad. Iam ergo ostensum est quod coniunctio duorum quadratorum que fiunt
4
ex lineis ad et db, est equalis coniunctioni dupli duorum quadratorum que
5
fiunt ex duabus lineis ag et gd. Et illud est quod demonstrare voluimus.
6
< II 11 > Dixit Irinus: undecimum theorema non est possibile
7
probari absque figura, quod ideo est quia quedam questiones sint in
8
quibus necessarium est scire opus quo compleantur. In inquisitione vero
9
probationis est differentia. Nos tamen ostendimus in figuris que
10
precesserunt quod non fuit eis opus, (id est dispositio,) necessarium,
11
sed sola indiguerunt probatione et attulimus probationes sine figuris in
12
his que precesserunt. Sed quia hoc quesitum indiguit operatione, non fuit
13
possibile quod absque figura probaretur, et quia hoc sic est, non sit
14
nobis grave aliam ponere probationem decentem et optime investigatam.
15
Ponam itaque ut linea data sit linea ab, et ostendam qualiter linea ab
16
dividatur in sectiones ut sit superficies que continetur a tota linea et
17
ab una sectione eius, equalis quadrato alterius sectionis. A puncto
18
itaque a protraham perpendicularem ag equalem medietati linee ab sicut
19
manifestum est ex probatione figure
20
adiuncte XIe figure prime partis, et pro-
21
ducam lineam gb et secabo gd equalem ga
22
sicut patet ex pro|107|[ed. Curtze]batione figure
23
tertie prime partis. Et quia quadratum
24
factum ex linea gb est equale coniunctioni duorum quadratorum que fiunt
25
ex lateribus ag, ab, et linea gd est equalis linee ga, ergo latus ab est
26
maius latere bd. Dividam itaque ex linea ab quod sit equale linee bd,
27
sitque linea be, sicut manifestum est ex probatione figure tertie prime
28
partis. Dico igitur quod iam divisimus lineam ab supra punctum e in
29
sectiones tales quod superficies que continetur a duabus lineis ba, ae, est
30
equalis quadrato facto ex linea be.
31
Probatio eius: quoniam quadratum factum ex linea gb est equale con-
87
1
iunctioni duorum quadratorum que fiunt ex duabus sectionibus gd, db,
2
cum duplo superficiei que continetur a duabus lineis gd, db; quod
3
constat ex probatione figure quarte huius partis. Verum secundum pro-
4
bationem figure 46e prime partis quadratum factum ex linea gb est
5
equale coniunctioni duorum quadratorum que fiunt ex duabus lineis ag,
6
ab. Sed iam divisimus gd equalem ag et divisimus be equalem bd, ergo
7
coniunctio duorum quadratorum que fiunt ex duabus lineis ga, be, cum
8
duplo superficiei que continetur a lineis ag, be, est equalis coniunctioni
9
duorum quadratorum que fiunt ex lineis ga, ab. Cum ergo removerimus
10
ga communem, remanebit duplum superficiei que continetur a lineis ag,
11
eb, cum quadrato facto ex eb equale quadrato facto ex linea ab, et quia
12
linea ab est dupla linee ga, erit duplum superficiei que continetur a
13
lineis ga, eb, equale superficiei que continetur a lineis ab, be ; et hoc
14
secundum probationem figure prime huius partis. Ergo superficies que
15
continetur a lineis ab, eb, cum quadrato facto ex linea be est equalis
16
quadrato facto ex linea ab. Sed secundum probationem figure
17
secunde|108|[ed. Curtze] huius partis erit coniunctio duarum superficierum
18
quarum unam continent linee ba, ae, et alteram continent due li-
19
nee ab, be, equalis quadrato facto ex linea ab. Ergo superficies que
20
continetur a lineis ab, be, cum quadrato facto ex linea be est equalis
21
duabus superficiebus quarum unam continent linee ab, be, et alteram
22
linee ab, ae. Cum ergo removero superficiem que continetur a li-
23
neis ab, be, communem a toto, remanebit tunc superficies que continetur
24
a lineis ba, ae, equalis quadrato facto ex linea be. Et illud est quod
25
demonstrare voluimus.
26
< II 12 > Irinus autem in figura 1a nichil addidit, sed dixit esse
27
probandam eo modo quo eam probavit Euclides. Euclides autem dixit in
28
prima parte et probavit quod omnis trianguli orthogonii quadratum li-
29
nee subtense recto angulo est equale coniun|25/10v|[ms K]ctioni duorum
88
1
quadratorum que fiunt ex duobus lateribus continentibus angulum rectum.
2
Et postea dixit quod Euclides addidit aliam figuram post istam in qua
3
ostendit illius conversionem, sc. quod omnis trianguli cuius unius
4
laterum quadratum est equale coniunctioni duorum quadratorum que fiunt
5
ex reliquis duobus lateribus, angulus ab eis contentus est rectus.|109|[ed. Curtze]
6
Inquit Irinus: nos vero in hac figura faciemus quod Euclides in
7
prima parte fecit, et ostendemus illud in hac figura et in figura que
8
sequitur eam.
9
Dicit ergo Euclides quod omnis trianguli ambligonii quadratum factum
10
ex latere quod subtenditur angulo expanso, est maius coniunctione
11
duorum quadratorum que fiunt ex reliquis duobus lateribus continentibus
12
angulum expansum.
13
Nos itaque ostendemus quod omnis trianguli cuius unius laterum qua-
14
dratum est maius coniunctione quadratorum que fiunt ex reliquis duobus
15
lateribus, angulus ab illis duobus lateribus contentus est expansus. Sit
16
ergo triangulus datus triangulus abg, et sit quadratum bg maius|24v|[ms M]
17
coniunctione duorum quadratorum ba, ag; dico
18
igitur quod angulus bag est expansus.
19
Probatio eius: quoniam protraham a puncto a
20
linee ag perpendicularem ad equalem lateri ab
21
sicut ostensum est ex probatione figure 11e, et
22
producam lineam dg. Et quia quadratum ab est equale quadrato ad, cum
23
ergo accepero quadratum ag commune, erit ergo coniunctio duorum
24
quadratorum que fiunt ex duabus lineis ab, ag, equalis coniunctioni du-
25
orum quadratorum da, ag. Sed nos posuimus quadratum factum ex late-
26
re bg maius coniunctione duorum quadratorum que fiunt ex duobus
27
lateribus ab, ag, et secundum probationem figure 46e prime partis erit
28
coniunctio duorum quadratorum da, ag equalis quadrato facto ex late-
29
re gd. Ergo quadratum factum ex latere bg est maius quadrato facto ex
30
latere gd, ergo latus bg est maius latere gd. Et quia posuimus latus da
31
equale lateri ab, ergo cum acceperimus latus ag commune,|110|[ed. Curtze] erunt
32
duo latera ba, ag equalia duobus lateribus da, ag. Sed basis bg est maior
33
basi gd; secundum probationem igitur figure 25e prime partis erit an-
89
1
gulus bag maior angulo dag. Angulus autem dag est rectus, ergo angulus
2
bag est expansus. Et illud est quod demonstrare voluimus.
3
< II 13 > Dixit Irinus: ostendam conversionem figure 13e secundum
4
equalitatem eius, cum quo declaravi figuram que hanc precedit. Dico
5
igitur quod omnis trianguli cuius quadratum unius laterum est minus
6
duobus quadratis reliquorum laterum, angulus qui ab illis lateribus
7
continetur, est acutus.
8
Exempli causa: ponam ut quadratum unius laterum trianguli abg, quod
9
sit bg, sit minus coniunctione duorum qua-
10
dratorum que fiunt ex duobus lateribus ab,
11
ag. Dico igitur quod angulus bag est acutus.
12
Probatio eius: quoniam constituam supra
13
punctum a linee ag perpendicularem ad
14
equalem lateri ab, sicut manifestum est ex
15
probatione figure XIe prime partis, et coniungam duo puncta d et g cum
16
linea dg. Cum ergo attulerimus testimonium figure 46e et 25e prime
17
partis, sicut testificati sumus in figura adiuncta que est ante istam, sc.
18
in angulo expanso, ostendetur quod angulus bag est acutus. Et illud est
19
quod demonstrare voluimus.
20
< II 14 > Irinus non invenitur addidisse aliquid figure 14e, sed dixit
21
quod oportet ut eius probatio sit secundum hoc quod Euclides
22
demonstravit.
90
1
< Liber tertius >
2
|111|[ed. Curtze]Expositio secundum Anarizum prologi tertie partis Euclidis.
3
< Definitiones >
4
< III def. 1 > Dixit Euclides: Circuli equales sunt quorum diametri
5
sunt equales.
6
et a quorum centris linee ad circumferentias eorum pro-
7
tracte sunt equales.
8
Supra hoc Irinus: quod dicitur, manifestum est, quoniam cum fue-
9
rint diametri equales, tunc linee a centris ad circumferentias protracte
10
erunt equales, quia unaqueque earum erit medietas diametri. Manifestum
11
quoque est nobis quod cum linee recte a centris ad circumferentias
12
protracte fuerint equales, circuli erunt equales, quoniam descriptiones
13
circulorum non sunt nisi secundum spatia que sunt inter centra et
14
circumferentias que sunt diametrorum medietates.
15
< III def. 2 > Dixit Euclides: Linee recta circulum contingens est que
16
cum circulum contingat et protrahatur in ambas partes, non secat
17
circulum.
18
< III def. 3 > Circuli se adinvicem contingentes sunt qui cum se
19
vicissim tangant, non se secant.
20
< III def. 4 > Linee recte equalis spatii a centro sunt quarum
21
perpendiculares que a centris ad eas protrahuntur, sunt equales.
22
< III def. 5 > Maioris autem spacii a centro sunt quarum perpendi-
23
culares que ad eas protrahuntur, sunt maiores.
24
Supra hoc Irinus : voluit Euclides demonstrare spatium quod est
91
1
inter centra et lineas rectas continuas; ideoque dixit: perpendiculares.
2
Quod ideo fecit quoniam possibile est ut ab unoquoque puncto ad unum-
3
quodque|112|[ed. Curtze] punctum plures linee producantur, set spatium quod est
4
inter punctum et lineam, est perpendicularis protracta a puncto ad illam
5
lineam rectam. Et propter hoc Dixit Euclides quod linee equalis spatii a
6
centro sunt quarum perpendiculares a centris ad eas protracte sunt equa-
7
les, et maioris spatii sunt quarum perpendiculares ad eas protracte sunt
8
maiores.
9
< III def. 6 > Euclides dixit: Portio circuli est figura que continetur
10
a linea recta et portione arcus circumferentie circuli.
11
< III def. 7 > Angulus portionis est qui fit cum signetur quodlibet
12
punctum supra arcum portionis et protrahuntur ab eo ad fines basis
13
portionis due recte linee ipsum continentes.
14
< III def. 8 > Et cum due linee angulum continentes fuerint con-
15
tinentes arcum, tunc ille angulus dicetur compositus supra lineam arcus.
16
< III def. 9 > Sector circuli est figura que continetur a duabus
17
rectis lineis continentibus cum arcu angulum qui supra ipsum compositus
18
est, sc. cum arcus subtenditur angulo.
19
Sectoris vero species due sunt quarum una est eius cuius angulus
20
supra circumferentiam existit, alia cuius angulus consistit supra centrum.
21
Sed cuius angulus non consitit supra centrum neque supra circumferenti-
22
as, non est sector; equatur tamen sectori.
23
< III def. 10 > Euclides: Portiones circulorum similes sunt quarum
24
anguli sunt equales; et quarum anguli qui in eis cadunt, sunt equales,
92
1
ipse sunt similes.|113|[ed. Curtze]
2
Irinus: Oportet ut sciamus quod cum portiones circulorum fuerint
3
similes, anguli in eis signati erunt equales, et eius conversam, sc. quod
4
cum fuerint anguli qui cadunt in portionibus circulorum, equales, tunc
5
ille portiones erunt similes.
6
Figurarum autem species sunt iste: circulus, portio circuli gibbosa,
7
lunaris. Circulus vero est figura quam inter figuras rectarum linearum
8
difinivi. Sed portio circuli est figura que continetur a linea recta et
9
arcu circumferentie circuli, et cum duo circuli se secant, tunc portio eis
10
communis nominatur gibbosa; reliquarum autem portionum figura dicitur
11
lunaris.
12
Expleta est expositio prologi.
13
< Theoremata >
14
< III 1 > Irinus nichil invenit in prima figura, sed dixit: hec figura
15
manifesta est secundum quod Dixit Euclides.
16
< III 2 > Dixit Irinus de secunda figura: hec figura probatur se-
17
cundum declarationem Euclidis.
18
< III 3 > De tercia quoque dixit: hec figura secundum Euclidis dicta
19
declaratur.
20
< III 4 > De quarta similiter dixit quod secundum Euclidis dicta de-
21
monstratur.
22
< III 5 > De quinta quoque dixit quod ipsa est secundum hoc quod
23
Dixit Euclides.|114|[ed. Curtze]
24
< III 6 > In fine vero sexte dixit: omnes figure iste declarantur et
25
constant secundum dicta Euclidis.
93
1
< III 7 > Dixit Irinus in septima figura: ostendit Euclides quod linee
2
centro propinquiores sunt maiores eis que ab eo sunt remotiores. Quod
3
declaravit ubi posuit duas lineas ab una parte centri et ostendit quod ea
4
que est propinquior centro, est maior ea que ab eo est magis remota.
5
Quod si nobis proposite fuerint due linee a duabus partibus centri
6
quarum una sit altera propinquior centro: ostendemus quod illa que est
7
ei propinquior, est maior ea que magis est ab eo remota, cum hac
8
dispositione.
9
Ponam circulum abg cuius diametrus sit bg et centrum nota d,et
10
ponam supra lineam bg punctum e a quo protraham ad circumferentiam
11
duas lineas ea et ez, et ponam ut linea ea sit
12
centro propinquior linea ez. Dico igitur quod
13
linea ea est maior linea ez.
14
Probatio eis: quoniam protraham a
15
puncto d quod est centrum, duas
16
perpendiculares dh et dt et protraham etiam
17
ab|25r|[ms M] eo duas lineas da et dz. Et quia linea ae est propinquior|115|[ed. Curtze]
18
centro linea ze, ergo secundum id quod est premissum in hoc
19
tractatu, erit perpendicularis dt maior perpendiculari dh; ergo quadratum
20
linee dt est maius quadrato linee dh. Propter hoc igitur quod unusquisque
21
duorum angulorum dte, dhe est rectus, erit secundum probationem figure
22
46e prime partis quadratum dt cum quadrato te equale quadrato de. Et
23
similiter quod quadratum dh cum quadrato he est equale quadrato de,
24
ergo quadratum dt cum quadrato te est equale quadrato dh cum quadra-
25
to he. Sed iam fuit ostensum quod quadratum dt est maius quadrato dh.
26
Remanet ergo quadratum eh maius quadrato et, ergo linea|26/10v|[ms K] eh
27
est maior linea et. Et etiam quia duorum angulorum ahd, ztd quisque
28
est rectus, ergo secundum probationem figure 46e prime partis erit
29
quadratum zt cum quadrato dt equale quadrato dz, et quadratum ah
30
cum quadrato hd equale quadrato ad. Sed linea ad est equalis linee dz
94
1
quoniam sunt protracte a centro ad circumferentiam, ergo quadratum ah
2
cum quadrato dh est equale quadrato zt cum quadrato td. Sed iam fuit
3
ostensum quod quadratum td est maius quadrato dh. Cum ergo removeri-
4
mus ea, remanebit quadratum ah maius quadrato zt; ergo linea ah est
5
maior linea zt. Sed iam fuit ostensum quod linea eh est maior linea et,
6
ergo linea ea est maior linea ez. Et illud est quod demonstrare voluimus.
7
Dicit etiam Irinus: si ergo linea que a puncto d protrahitur per-
8
pendicularis supra lineam ez, non cadat supra lineam ez sed supra li-
9
neam que ei iungitur secundum rectitudinem sicut perpendicularis dh.
10
Igitur propter hoc quod linea dz est equalis
11
|116|[ed. Curtze] linee da quoniam ipse sunt pro-
12
tracte a centro ad circumferentiam, et
13
quadratum dt cum quadrato ta est equale
14
quadrato ad et quadrata dh et hz et hz sunt
15
equalia quadrato dz, erunt duo quadrata dh
16
et hz equalia duobus quadratis dt et ta. Sed
17
quadratum dh est maius quadrato dt; cum ergo removerimus ea, remanebit
18
quadratum at maius quadrato hz; ergo linea at est maior linea hz. Cum
19
ergo removerimus lineam eh et addiderimus lineam et, manifestum est
20
quod tota linea ea erit multo maior linea ez. Et illud est quod demon-
21
strare voluimus.
22
< III 8 > Dixit Irinus: etiam in octava figura ostendit Euclides
23
quod linee que sunt propinquiores centro, sunt maiores lineis ab eo
24
remotioribus. Sed propter hoc quod probatio huius non est in libro de
25
elementis nisi ubi ipse posuit lineas ab una parte, ergo relinquitur ut a e
26
z probentur alia probatione sicut fecimus in figura que precessit.
27
Dico igitur quod cum a duabus partibus diametri due recte linee po-
28
site fuerint quarum una sit centro propinquior et altera ab eo ma-
95
1
gis remota: que erit magis propinqua, erit maior ea que erit remotior.
2
Exempli causa: ponam circulum abg et protraham|117|[ed. Curtze] diametrum
3
eius bg quam secundum rectitudinem producam extra centrum que sit
4
sicut linea gd, supra quam ponam notam
5
qualitercumque contingat; sitque nota d a
6
qua ad circulum abg protraham duas rectas
7
lineas a duabus partibus diametri que sint
8
linee da, de; sitque linea da propinquior
9
centro linea de. Dico igitur quod linea ad est maior linea de.
10
Probatio eius: quoniam inveniam centrum circuli quemadmodum
11
ostensum est debere inveniri ex probatione figure prime huius partis, et
12
ponam ut sit punctum z a quo ad duas lineas ad et de protraham duas
13
perpendiculares zh et zt, sicut manifestum est posse protrahi ex
14
probatione figure secunde xe prime partis. Et quia linea ad est
15
propinquior puncto z, quod est centrum, linea de, ergo perpendicularis
16
zh est minor perpendiculari zt. Et etiam quia quadratum linee dh cum
17
quadrato linee hz est equale quadrato linee dz, quod equidem constat
18
secundum probationem figure 46e prime partis; et similiter quadratum
19
factum ex linea dt cum quadrato facto ex linea tz est equale quadrato
20
facto ex linea dz: ergo coniunctio duorum quadratorum dh et hz est
21
equalis coniunctioni duorum quadratorum dt et tz. Sed quadratum linee zh
22
est minus quadrato linee tz; cum ergo removerimus ea, remanebit
23
quadratum linee dh maius quadrato linee dt; ergo linea dh est maior
24
linea dt. Et etiam quia linea za est equalis linee ze quoniam a centro ad
25
circumferentiam sunt protracte; sed coniunctio quadratorum duorum que
26
fiunt ex lineis zh et ha, est equalis quadrato facto ex linea az, et
27
coniunctio quadratorum que fiunt ex duabus lineis zt et te, est equalis
28
quadrato facto ex linea ze: ergo coniunctio duorum quadratorum que fi-
29
unt ex duabus lineis zt et te, est equalis coniunctioni duorum
30
quadratorum que fiunt ex duabus lineis zh et ha. Sed quadratum tz est
31
maius quadrato zh; remanet ergo quadratum factum ex linea ah|118|[ed. Curtze]
32
maius quadrato facto ex linea te; ergo linea ah est maior linea te. Sed
33
iam ostendimus quod linea dh est maior linea dt, ergo tota linea
96
1
da est maior linea de. Et illud est quod demonstrare voluimus.
2
Ostendam etiam quod linearum que concurrunt circumferentie circuli:
3
que magis propinqua fuerit linee que est inter notam et diametrum, erit
4
minor ea que ab ea fuerit magis remota. Et faciam hoc etiam in duabus
5
rectis lineis existentibus a duabus partibus linee que est inter notam et
6
inter diametrum.
7
Ponam itaque ut circulus sit circulus abg, cuius diametrus sit linea bg.
8
Producam itaque lineam bg ad exteriora circuli secundum rectitudinem
9
et ponam supra eam punctum d a quo protraham ad circumferentiam
10
circuli duas lineas de et dz, et ponam
11
lineam de propinquiorem linee gd linea dz.
12
Dico igitur quod linea de est minor linea dz.
13
Probatio eius: quoniam protraham duas
14
lineas de et dz ad interiora circuli et
15
producam eas usque ad duo puncta a et h, et inveniam centrum circuli,
16
quod sit punctum t, et protraham duas perpendiculares tk et tl, et
17
coniungam duo puncta t, e et t, z cum duabus lineis te et tz. Et quia
18
angulus det est extrinsecus trianguli ekt et angulus ekt est rectus, ergo
19
secundum probationem figure 16e prime partis erit angulus det maior
20
angulo ekt; ergo angulus det est expansus. Et similiter ostendam quod
21
angulus dzt est expansus, ergo duo trianguli det et dzt sunt ambligonii.
22
Sed omne quadratum lateris quod subtenditur obtuso angulo, est equale
23
coniunctioni duorum quadratorum que fiunt ex|119|[ed. Curtze] duobus lateribus
24
continentibus obtusum angulum, cum duplo superficiei que continetur ab
25
una duarum linearum continentium obtusum angulum super cuius rectitu-
26
dinem cadit perpendicularis, et linea que est inter perpendicularem et
27
extremitatem anguli obtusi; quod equidem constat secundum probationem
28
figure 12e secunde partis. Duo igitur quadrata que fiunt ex duobus la-
29
teribus de et et, cum duplo superficiei que continetur a duabus lineis de
30
et ek, sunt equalia quadrato facto ex linea dt. Et similiter con-
31
iunctio duorum quadratorum que fiunt ex duabus lineis dz et zt,
32
cum duplo superficiei que continetur a duabus lineis dz et zl, est
33
equalis quadrato facto ex linea dt. Ergo coniunctio duorum
34
quadratorum que fiunt ex duabus lineis dz et zt, cum duplo super-
97
1
ficiei que continetur a duabus lineis dz et zl, est equalis coniunctioni
2
duorum quadratorum que fiunt ex duabus lineis de et et, cum duplo
3
superficiei que continetur a duabus lineis de et ek. Et quia ek est
4
equalis linee ka et linea zl est equalis linee ln, ergo secundum pro-
5
bationem figure prime partis secunde erit duplum superficiei que con-
6
tinetur a duabus lineis de et ek, equale superficiei contente a lineis de
7
et ea; et similiter duplum superficiei que continetur a duabus lineis dz
8
et zl, erit equale superficiei contente a duabus lineis dz et zh. Ergo
9
superficies que continetur|25v|[ms M] a duabus lineis ae et ed, cum quadrato
10
facto ex linea de est equalis superficiei que continetur a duabus lineis {h/
11
z} et zd, cum quadrato dz. Sed secundum probationem figure tertie
12
secunde partis superficies que continetur a duabus lineis ae et ed, cum
13
quadrato facto ex linea de est equalis superficiei que continetur a duabus
14
lineis ad et de; et similiter superficies que continetur a duabus lineis hz
15
et zd, cum quadrato facto ex linea dz est equalis superficiei que
16
continetur a duabus lineis hd et dz. Ergo superficies que continetur a
17
duabus lineis ad et de, est equalis superficiei que continetur a duabus|120|[ed. Curtze]
18
lineis hd et dz. Sed iam fuit ostensum quod linea ad est maior
19
linea hd quoniam est centro propinquior, ergo linea de est minor li-
20
nea dz. Et illud est quod demonstrare voluimus.
21
< III 9 > Dixit Irinus quod nona figura consistit secundum hoc quod
22
Dixit Euclides.
23
< III 10 > De decima vero dixit: hanc figuram declarabo per nonam.
24
Dico igitur, si est possibile, ut unus cir-
25
culus alium in pluribus quam in duobus
26
secet locis: secet ergo circulus abg cir-
27
culum bhg in notis pluribus duabus, sc.
28
in notis b,g,e,z. Inveniam itaque centrum
29
circuli abg sicut manifestum est ex pro-
30
batione figure prime huius partis, et
98
1
ponam ut ipsum sit nota t, et protraham lineas tb et tg et te. Et quia
2
punctum t est centrum circuli abg, ergo linee tb et tg et te sunt
3
equales. Et quia a puncto t quod est intra circulum bhg, protrahuntur
4
ad circumferentiam linee tb et|27/11r|[ms K] tg et te plures duabus que sunt
5
equales, ergo secundum probationem figure none huius partis punctum t
6
est centrum circuli bhg et ipsum etiam est centrum circuli abg.
7
Duorum ergo circulorum sese secantium unum est centrum, quod est con-
8
trarium et impossibile, quoniam iam est manifestum|121|[ed. Curtze] ex proba-
9
tione figure quinte huius partis hoc esse inpossibile. Et illud est quod
10
demonstrare voluimus.
11
< III 11 > Dixit Irinus: Euclides in figura undecima posuit duos
12
circulos sese intrinsecus contingentes et descripsit figuram supra hoc, et
13
probavit quod querebatur in ea. Ego vero ostendam qualiter sit pro-
14
bandum si contactus exterius fuerit.
15
Ponam itaque duos circulos ab et gd se supra punctum g contingen-
16
tes, et sit centrum circuli ab punctum z, et punctum h sit centrum gd.
17
Dico igitur quod linea recta que transit per duo puncta z et h, transit
18
per punctum g.
19
Probatio eius: quoniam non est possibile aliter esse. Quod si est
20
possibile: sit linea que
21
transit per duo puncta z et
22
h non transiens supra punc-
23
tum g, sed sit locus tran-
24
situs ipsius alius, et sit si-
25
cut linea ztk. Protraham i-
26
taque duas lineas gz et gh,
27
ergo provenit triangulus gzh.
28
Secundum probationem igitur figure 20e prime partis erunt duo latera zg
29
et gh coniuncta maius latere zh. Sed linea gh est equalis linee hk, et li-
30
nea zt|122|[ed. Curtze] est equalis linee zg; ergo coniunctio duarum linearum zt
31
et kh est maior linea hz, minor sc. maior maiore; quod est contrarium
99
1
et inpossibile. Linea igitur recta que transit per duo puncta z et h,
2
transit per punctum g. Et illud est quod demonstrare voluimus.
3
< III 12 > Dixit Irinus: quoddam propositum premittam quo in figura
4
1a indigemus: Linea recta non secat circulum in pluribus notis quam in
5
duabus.
6
Quod si fuerit possibile, secet ipsum supra tres notas, sintque no-
7
te g,b,a. Inveniam itaque centrum circuli,
8
sicut ostensum est ex probatione figure
9
prime huius partis, quod sit punctum e, et
10
producam lineas ea, eb, eg. Et quia li-
11
nea bga est una linea recta, et angulus eba
12
est extrinsecus trianguli ebg, ergo secundum
13
probationem figure 16e prime partis angulus eba est maior angulo egb.
14
Sed angulus eba est equalis angulo eab, et hoc secundum probationem
15
figure 5e prime partis; ergo angulus eab est|123|[ed. Curtze] maior angulo egb.
16
Sed latus ea est equale lateri eg, ergo secundum probationem figure 5e
17
partis prime erit angulus eab equalis angulo egb. Sed iam fuit maior eo;
18
quod est contrarium et inpossibile. Linea, ergo recta non secat
19
circumferentiam circuli supra notas plures duabus. Et illud est quod
20
demonstrare voluimus.
21
Si vero aliquis dixerit: possibile est ut centrum circuli sit supra
22
lineam ab, dicam ergo tunc quia possibile est; sit itaque supra
23
notam z. Et quia nota z est centrum
24
circuli abg, ergo linea az est equalis li-
25
nee zb. Et etiam quia linea za est
26
equalis linee zbg, ergo linea zbg est
27
equalis linee zb; ergo linea gbz que est
28
maior, est equalis minori linee zb; quod est
29
inconveniens et inpossibile. Linea ergo recta non secat circulum in
30
notis pluribus duabus. Et illud est quod demonstrare voluimus.
100
1
Dixit Irinus etiam in figura 1a: dico in hac figure quod si est
2
possibile ut duo circuli in notis pluribus una se contingant, tunc duo
3
circuli ag, bd, contingant se intrinsecus in pluribus notis quam una.
4
Ponam itaque ut contingant se supra
5
duas notas a et g, et inveniam centrum
6
circulorum ag, bd, sicut ostensum est ex
7
probatione figure prime huius partis, et
8
ponam ut sint intra circulum ag. Quod si
9
quis dixerit, faciam centrum circuli ag
10
notam |124|[ed. Curtze] et centrum circuli bd notam t. Dicam ergo tunc quod
11
centrum non cadit extra circulum ag.
12
Si tamen fuerit possibile ut cadat sicut dixit, ergo coniungam duo
13
puncta h et t que sunt centra, cum linea ht. Manifestum est itaque
14
secundum probationem figure XIe huius partis quod linea ht cum protra-
15
hetur in utrasque partes usque in infinitum, cadet supra duo puncta
16
contactus que sunt puncta a et g. Protraham itaque eam, ergo fit huius
17
linee locus sicut est locus linee aht; ergo linea aht secat circulum ag
18
supra notas plures duabus. Sed iam manifestum est illud esse inpossibile,
19
non ergo cadit centrum circuli abg extra circulum ag.
20
Et secundum huius similitudinem ostendam quod non cadit supra arcum
21
azg. Si ergo possibile est, sit simile puncto z; ergo linea ahz est linea
22
una recta et secat circumferentiam circuli aeg supra notas plures
23
duabus, sc. supra notas a et z et g. Sed illud est inpossibile, ergo
24
inpossibile est ut cadat centrum circuli abg supra circumferentiam
25
circuli aez. Et iam ostendimus etiam quod non cadit extra ipsum, ergo
26
cadit intra ipsum sicut Dixit Euclides. Et illud est quod demonstrare
27
voluimus.
28
< III 13 > Irinus autem figure 13e addidit et ostendit|125|[ed. Curtze] quod
29
centrum circuli cadit inter duas lineas ez et gd; et descripsit ei
30
formam circuli abg, et protraxit in eo duas lineas ab et gd que
101
1
sunt equales. Dicit ergo quod centrum circuli cadit inter duas lineas
2
ab et gd, neque est possibile aliter esse.
3
Quod si est possibile, cadat primum supra duas lineas ab et gd. Ponam
4
ergo ut cadat supra lineam gd in puncto e,
5
et protraham duas lineas ea et eb. Et quia
6
punctum e est centrum, ergo linea ea <est
7
equalis linee eg, et linea eb > est equalis
8
linee de. Sed secundum probationem figure
9
20e partis prime erit coniunctio ae et eb
10
maior linea ab, ergo linea gd est maior linea ab. Sed nos posuimus eas
11
equales, ergo linea gd linee ab est equalis et maior ea simul in una hora,
12
quod est contrarium et inpossibile.
13
Secundum huius quoque similitudinem ostendam quod non est possibile
14
ut cadat supra lineam ab, et dico etiam quod neque extrinsecus ab una
15
duarum linearum ab, gd. Quod si possibile est, cadat ab extrinseca parte
16
linee gd, et ponam ut sit punctum z, et protraham lineas zd, zg, za, zb.
17
Et quia punctum z est centrum circuli, sequitur ut sint due linee dz, zg
18
equales duabus lineis za, zb. Sed et basis ab est equalis basi gd, ergo
19
secundum probationem figure 8e prime partis erit angulus azb equalis
20
angulo dzg, minor sc. equalis maiori; quod est contrarium et inpossibile.
21
Secundum huius quoque probationis similitudinem ostendam|26r|[ms M] quod
22
non est possibile ut cadat ab extrinseca parte linee ab. Et illud est
23
quod demonstrare voluimus.
24
Et ostendit etiam Irinus quod centrum circuli abg cadit inter duas
25
lineas equales ab et gd absque contrario. Dico igitur quod non potest
26
esse quin due linee ab|126|[ed. Curtze] et gd sint equidistantes aut non
27
sint equidistantes.
28
Ponam itaque primum ut ipse sint equi-
29
distantes, et coniungam inter duas lineas ag
30
et db. Anguli igitur coalterni sunt equales,
31
ergo angulus a est equalis angulo g, et an-
32
gulus d est equalis angulo b. Sed basis ab
33
est equalis basi dg ergo secundum probationem figure 26e prime partis
102
1
latus ae est equale lateri eg, et latus eb est equale lateri ed; ergo due
2
recte linee ag et bd secant se in circulo supra coniunctionem earum.
3
Secundum probationem igitur figure quarte huius partis sequitur ut
4
centrum circuli sit punctum e. Et illud est quod demonstrare voluimus.
5
Ponam etiam ut ipse non sint equidistantes, sc. linee ab et gd. Pro-
6
traham itaque eas donec supra punctum e concurrant, et protraham duas
7
lineas ag et bd sese supra punctum z secantes, et producam lineam ezh.
8
Dico igitur quod centrum circuli est supra lineam eh.
9
Probatio eius: quoniam angulus bag est equalis angulo bdg eo quod
10
sint in una portione circuli. (Ab huiusmodi enim figuris inducuntur
11
probationes, licet posterius sint|127|[ed. Curtze] descripte, quoniam in ea
12
non sunt antecedentia figurarum sequentium hanc figuram, neque etiam
13
hec figura est de elementis illius figure, sed illius figure principia
14
sumuntur ex prima parte et ex figura prima huius partis. Sed quia
15
Irinus indigebat ea ad hanc dubitationem solvendam, posuit figuram
16
20am huius partis principium huius figure). Et quia angulus bag est
17
equalis angulo bdg quoniam sunt in portione una et eorum corda est
18
arcus unus quia est arcus ad, et latus ab
19
equale est lateri gd, ergo secundum
20
probationem figure 26e prime partis erit
21
linea az equalis linee zd. Et etiam quia
22
angulus ezg est equalis angulo ezb et
23
angulus egz est equalis angulo ebz, ergo
24
secundum probationem figure 32e prime partis erit angulus gez reliquus
25
equalis reliquo angulo bez. Et quia duo anguli aez, eaz trianguli aez
26
sunt equales duobus angulis dez et|28/11v|[ms K] edz trianguli dez, ergo
27
latere ez posito communi erit secundum probationem figure 26e
28
prime partis latus ea equale lateri ed. Ergo linea eb est equalis
29
linee eg et angulus bet secundum quod ostensum fuit, est
30
equalis angulo get. Sumpta itaque linea et communi erunt duo latera ge
31
et et equalia duobus lateribus be et et, et angulus get est equalis
32
angulo bet. Ergo basis bt est equalis basi tg, ergo angulus
103
1
etb est equalis angulo etg, ergo ipsi sunt recti. Ergo supra lineam bg
2
que cadit in circulo abg, iam transivit eth que ipsam in duo media
3
orthogonaliter divisit. Ergo secundum probationem figure tertie huius
4
partis supra lineam etz existit centrum circuli. Et illud est quod
5
demonstrare voluimus.
6
Dixit Irinus: si quis dixerit quod due linee equales secant se intra
7
circulum abg supra notam e, sicut linea ag secat lineam bd, tunc dicam
8
quod non est possibile quin centrum sit aut supra sectionem communem
9
duabus lineis ag et bd, sc. supra notam e, aut preter eam.
10
Quod si ceciderit supra notam e, ergo ipsum erit|128|[ed. Curtze] inter duas
11
lineas ag et bd, et iam erit solutum quod querebatur. Et iam fuit
12
ostensum quod non est possibile ut cadat supra unam duarum linearum ab
13
et gd.
14
Quod si protervi dixerint, nos ponemus duas lineas ab et ad non sese
15
intra circulum abg secantes, sed supra eius circumferentiam concur-
16
rentes, tunc ostendam quod centrum circuli abg existit inter duas li-
17
neas ab et ad.
18
Protraham ergo lineam bd, quam in duo media supra notam e divi-
19
dam, et protraham ae quam producam usque ad g. Dico igitur quod
20
centrum circuli est supra lineam ag.
21
Probatio eius: quoniam be est equalis ed, ergo ea assumpta communi
22
erunt due linee be et ea equales duabus lineis de et ea. Sed et basis ba
23
est equalis basi ad, ergo secundum probationem figure 8e prime partis
24
erit angulus bea equalis angulo dea. Sed cum linea recta super rectam
25
erigitur lineam et fuerint duo anguli qui sunt ab utraque parte
26
equales, tunc unusquisque eorum est rectus. Ergo linea ae secat li-
27
neam bd in duo media et orthogonaliter, ergo linea ag transit supra
28
centrum circuli; quod quidem secundum probationem figure tertie huius
29
partis sic constat esse. Et illud est quod demonstrare voluimus.
30
< III 14 > De quarta decima figura dixit Irinus quod ipsa declara-
104
1
tur secundum hoc quod Dixit Euclides.|129|[ed. Curtze]
2
< III 15 > In quinta decima figura voluit Euclides quod angulus ex-
3
trinsecus qui continetur ab arcu gad et a perpendiculari dz, esset
4
minor omni acuto angulo quoniam non dividitur. Si ergo foret divisibilis,
5
caderet inter arcum gad et lineam dz linea recta, quoniam angulorum
6
divisio non est nisi cum lineis rectis que ipsos dividunt. Quia ergo
7
angulus kdz non dividitur, non fuit angulus acutus, quoniam omnes
8
anguli acuti dividuntur. Ipsum tamen a nomine denominavit quod ei
9
necessarium fuit propter alterum angulum intrinsecum, et hoc est:
10
quia angulus edz fuit rectus, cecidit inter lineam gd et perpendicula-
11
rem dz arcus gad et separavit angulum kdz cui non est quantitas, et
12
remansit angulus intrinsecus qui continetur a diametro gd et arcu gad,
13
maior omni acuto angulo, quoniam acutus est qui separatur ab angulo
14
recto cum alio aliquo acuto angulo. Quia ergo iste angulus intrinsecus
15
non minuitur a recto angulo qui est edz, cum angulo cui sit quantitas,
16
posuit Euclides quod angulus intrinsecus est maior omni acuto angulo. Et
17
quia non est possibile ut exterior angulus cum linea recta dividatur,
18
posuit ipsum minorem omni acuto angulo; quoniam omnis linea cuius esse
19
est ut esse huius, est contingens circulum.|130|[ed. Curtze]
20
Dicit Irinus: hec figura existit secundum quod Dixit Euclides.
21
< III 16 > In figura 1a dixit Irinus: si punctum datum fuerit intra
22
circulum, non erit possibile ut ab eo protrahatur linea contingens
23
circulum, quoniam ipsa secabit circulum. Quod si supra circum-
24
ferentiam fuerit, possibile erit ut ab eo protrahatur diametrus circuli,
25
et ut supra illud punctum ducatur perpendicularis que contingat
105
1
circulum.
2
Et si voluerimus a puncto a ad circumferentiam circuli gz duas lineas
3
ipsum contingentes ducere, protrahemus li-
4
neam hz secundum rectitudinem usque ad k, et
5
coniungemus puncta d, k, protrahendo line-
6
am dk, que secabit circulum supra punctum l,
7
et producam lineam al. Manifestum est igitur
8
secundum quod ostendit Euclides quod li-
9
nea al contingit circulum et est equalis li-
10
nee at. Iam ergo manifestum est etiam quod
11
due linee que protrahuntur a quolibet puncto dato circulum datum con-
12
tingentes, sunt equales. Et illud est quod demonstrare voluimus.
13
< III 19 > In figure nona xa dixit Irinus: cum fuerit angulus positus
14
supra circumferentiam equalis angulo gab et linea ad fuerit coniuncta
15
linee db secundum rectitudinem, manifestum|131|[ed. Curtze]
16
est quod angulus gdb erit duplus
17
anguli gab. Sed si fuerit positio anguli qui est
18
supra circumferentiam, similis positioni angu-
19
li geb, ita quod linea dg secet lineam eb,
20
protraham tunc lineam dez. Et quia linea ed
21
est equalis linee db, ergo angulus bed est equalis angulo ebd . Ergo
22
angulus bdz qui est extrinsecus trianguli ebd, est duplus anguli deb. Et
23
etiam quia linea ed est equalis linee dg, ergo angulus deg est equalis
24
angulo egd; ergo angulus zdg est duplus anguli deg. Sed angulus zdb ut
25
ostensum est, est duplus anguli bed; cum ergo removerimus eum,
26
remanebit angulus bdg duplus anguli beg. Et illud est quod demonstrare
27
voluimus.|26v|[ms M]
28
Dicit preterea Irinus: hec figura iam est declarata secundum
29
omnem positionem, et secundum omnem constitutionem probata. Nobis
30
tamen est relictum ut ponamus propositionem dictam et probemus eam
31
probatione communi; quoniam si non fuerit probata secundum quod eam
106
1
probaverimus, non erit nobis possibile ut probemus figuram que est post
2
eam secundum omnem positionem nisi secundum hoc tantum quod posuit
3
Euclides. Sed illud est possibile quoniam necessario convenit quod
4
propositio fiat communis et quod probetur secundum omnem positionem,
5
et ut paciatur protervorum contradictionem ne in geometria sit aliquid
6
non probatum. Cum ergo posuerimus hanc propositionem et de-
7
monstraverimus figuram, erit totum quod est in figura, manifestum et
8
clarum, et neque remanebit protervis locus contra dicendi in ea, sc. in
9
figura que est post hanc, que est figura 2a. Oportet|132|[ed. Curtze] itaque
10
ut propositionem premittamus et figuram. ei ponamus. Ipsa autem est
11
huiusmodi:
12
Angulus qui est supra centrum omnis circuli, est duplus anguli qui est
13
supra circumferentiam ipsius, cum fuerit basis eorum arcus unus, et
14
reliqui anguli qui sunt supra centrum et sunt complentes quatuor angulos
15
rectos, sunt duplum anguli qui est supra circumferentiam arcus qui
16
subtenditur angulo qui est supra centrum.
17
Sit itaque angulus qui est supra centrum, angulus geb et ille qui est
18
supra circumferentiam, sit angulus gab. Pro-
19
traham autem duas lineas ge et be secundum
20
rectitudinem usque ad duo puncta circum-
21
ferentie z et h, et producam duas li-
22
neas gt, tb. Dico igitur quod omnes anguli
23
qui cadunt in arcu gab, ubicumque sit
24
eorum casus, sunt medietates anguli geb, cum unus arcus fuerit eorum
25
basis, et quod coniunctio angulorum bez et zeh et heg est dupla angu-
26
li btg et dupla omnis anguli qui cadit in arcu btg.
27
Probatio eius: quoniam punctum e est centrum circuli, ergo linea eb
28
est equalis linee et. Ergo angulus ebt est equalis angulo etb, ergo
29
angulus het cum sit extrinsecus, est duplus anguli etb. Et etiam quia
30
linea et est equalis linee eg, ergo angulus zet est duplus anguli etg; ergo
31
coniunctio duorum angulorem het et zet est dupla anguli btg. Set
32
angulus beg est equalis angulo hez, ergo anguli geh, hez, zeb sunt du-
33
plum anguli gtb. Manifestum quoque est quod anguli geh, hez, zeb omnes
107
1
tres sunt duplum anguli btg ubicumque posuerimus eum in arcu btg; ergo
2
omnes|133|[ed. Curtze] anguli qui cadunt in arcu btg, sunt equales. Et etiam
3
quia iam ostensum est quod angulus qui est supra centrum - qui est
4
angulus beg -, est duplus anguli bag ubicumque cadat eius constitutio:
5
ergo omnes anguli qui sunt in una portione,|29/12r|[ms K] sc. descripti in
6
arcu bag, sunt equales, quoniam iam ostensum est quod angulus beg est
7
duplus cuiusque eorum. Et etiam quia iam declaratum est quod tres
8
anguli bez, zeh, heg sunt duplum anguli btg ubicumque sit in portio-
9
ne btg, ergo omnes anguli qui describuntur in portione btg, sunt equales,
10
quoniam quisque eorum est medietas angulorum dictorum cum
11
coniunguntur. Iam ergo manifestum est quod omnes anguli qui cadunt in
12
portione una, sunt equales. Et hoc est illud quod voluimus ostendere
13
universaliter.
14
Et propter hoc posuimus hanc figuram ut quod Euclides dixit, univer-
15
sali demonstratione claresceret.
16
Et quia hoc iam est manifestum, ergo figura que post hanc sequitur,
17
probatur per eam, et hoc est quod dicam quoniam anguli bez, zeh
18
et heg, cum coniunguntur, sunt equales duplo anguli btg, et angulus beg
19
est duplus anguli bag: ergo coniunctio quatuor angulorum, sc.
20
angulorum beg et bez et zeh et heg, sunt equales duplo duorum angu-
21
lorum btg et bag. Sed quatuor anguli predicti sunt equales quatuor rectis
22
angulis quod est manifestum secundum probationem figure 15e prime
23
partis, ergo coniunctio duorum angulorum btg et bag est equalis duobus
24
rectis angulis. Ergo omnes duo anguli superficierum habentium 4 latera
25
que sunt in quolibet circulo sibi oppositi, sunt equales duobus rectis.
26
|134|[ed. Curtze]
27
Hec probatio et ea que est ante ipsam, sunt trium figurarum, sc.
28
figure 19e et 20e et 21e. Et illud est quod demonstrare voluimus.
29
< III 20 > De figura 2a dixit Irinus: hec figura est secundum quod
30
posuit, et probatur cum figura que eam precedit.
108
1
< III 22 > In figura 2a nichil invenitur de his que Irinus
2
dixit.
3
Quod si quis dixerit quod possibile est ut erigatur in duabus partibus
4
diversis, ergo erit portio adb maior ex alia parte linee ab. Ergo cum
5
erigetur in parte portionis agb, portio equalis portioni adb superfluet
6
supra portionem agb, et fiet positio eius positio hec que est supra eam,
7
et perveniet probatio ad probationem Euclidis.
8
<III 23 > In figura 2a nichil dixit Irinus.
9
< III 24 > Figuram 2am post posuit Irinus et posuit eam 3am.
10
< III 25 > Non invenitur Irinus dixisse aliquid in figura 2a.
11
<III 26 > In figura 2a nichil dixit Irinus|135|[ed. Curtze]
12
< III 27 > In 2a figura nichil invenitur dixisse Irinus.
13
< III 28 > De 2a figura non videtur mihi quod aliquid dicam in ea
14
propter eius facilitatem.
15
< III 29 > In 2a figura nichil invenitur dixisse Irinus.
16
< III 30 > In figura 3a: Si ergo linea bz fuerit diametrus circuli,
17
manifestum est quod unusquisque duorum angulorum qui sunt ab
18
utraque parte, est rectus et equalis unicuique duorum angulorum qui
19
cadunt in portione circuli. Irinus in hac figura nichil invenitur
20
dixisse.
109
1
< III 24 > Conveniens fuit Irino ut figuram 2am poneret sequentem
2
post 2am, sed ipsa sequitur post figuram 3am, et posuit eam in loco
3
31e.
4
Figura autem Irini hec est in qua dicit: cum fuerit portio circuli data
5
et voluero ostendere qualiter compleatur circulus cuius est portio illa,
6
ponam ut portio data sit illa supra quam
7
sunt a, b, g, et dividam arcum abg in duo
8
media supra punctum b, et protraham a|136|[ed. Curtze]
9
puncto b ad cordam ag
10
perpendicularem bd, et producam cordam bg,
11
et constituam supra punctum g linee bg
12
angulum equalem angulo dgb.
13
Si ergo angulus factus equalis angulo dbg ceciderit sicut
14
angulus bgd, tunc manifestum est quod centrum circuli est supra
15
punctum d et quod portio abg est semicirculus. Sed si angulus factus
16
supra punctum g equalis angulo dbg ceciderit extra portionem abg sicut
17
angulus bge, ergo centrum circuli extra portionem cadet, sicut punctum e,
18
et erit portio minor semicirculo. Quod si angulus supra punctum g
19
constitutus linee bg equalis angulo dbg ceciderit intra portionem sicut
20
angulus bgz, tunc centrum circuli cadet intra portionem abg supra
21
punctum z, et manifestum erit nobis quod portio circuli data erit maior
22
semicirculo. Et quia manifestum est iam qualiter portio data compleatur,
23
sive centrum cadat supra lineam ag sive intra sive extra, ergo est illud
24
quod manifestare voluimus.
25
Arcus autem abg non dividitur in duo media nisi ut declaretur quod
26
corda arcus ab est equalis corde arcus bg. Quoniam si linea ag divide-
27
retur in duo media, redeundum esset ad figuram 2am que dividit
28
arcum datum in duo media; neque tamen foret manifestum quod corda
29
arcus ab esset equalis corde arcus gd nisi post divisionem arcus abg in
30
duo media: ergo necessario posuit hanc figuram post illam.
31
Et neque voluit nisi ut ostenderetur quod angulus qui est apud a,
32
esset|137|[ed. Curtze] equalis angulo qui est apud g, cum fuerit angulus da-
110
1
tus supra punctum g cadens sicut angulus bgd, ut demonstraretur quod
2
linee db et dg et da sunt equales ut punctum d sit centrum circuli; et
3
etiam ut demonstraretur quod linea ad est equalis linee dg, ut sit
4
manifestum quod centrum circuli consistit supra lineam bd aut supra
5
eam que est|27r|[ms M] secundum eius rectitudinem.
6
< III 32 > Irinus in figura tricesima secunda nichil dixit propter
7
eius debilitatem.
8
<III 33 > Similiter in 33 nichil dixit.
111
1
< Liber quartus >
2
< Definitiones >
3
< IV def. 1 > |138|[ed. Curtze] Dixit Euclides: Figura intra figuram scribi
4
dicit cum fuerint omnes anguli figure in intrinsece contingentes omnia
5
latera figure extrinsece.
6
< IV def. 2 > Circa vero figuram dicitur figura describi cum fuerint
7
omnia latera figure extrinsece contingentia omnes angulos figure
8
intrinsece.
9
Dixit Irinus: quidam oposuerunt huic loco et dixerunt: quare Euclides
10
preposuit hec elementa huic parti cum ipse non posuerit in ea nisi fi-
11
guras descriptas intra circulos aut figuras descriptas circa circulos,
12
quibus hec elementa in nullis sunt necessaria. Dico autem quod ipse non
13
ob aliud apposuit nisi ut doctrina foret sufficiens.
14
Anarizus: ideo Euclides apposuit hec elementa quia voluit ut prin-
15
cipia a quibus sumuntur probationes figurarum que scribuntur intra alias
16
figuras vel circa alias figuras, non sumantur nisi ex figuris que con-
17
tinentur in hoc libro. Superficiales vero earum quas in hoc posuit libro,
18
sunt figure ille quas in hac parte descripsit; et attulit ex eis duo
19
genera que comprehendunt omnes superficiales, sc. circulum et figuram
20
superficialem rectilineam, et ostendit qualiter una intra aliam et alia
21
circa aliam describatur. Et pretermisit apponere probationem supra alias
22
species superficiales habentium recta latera quarum alie fiunt intra alias,
23
quoniam secundum hoc quod dixit in his que apposuit in hac parte,
24
innuit quid in aliis sit faciendum; ideoque apposuit omnia elementa que
25
sunt necessaria omnibus que queruntur in geometria, in hoc libro. Et
26
etiam alie figure superficiales indigent ad sui proba|139|[ed. Curtze]tionem
27
auxilio quinte partis et sexte cum quibus perficietur modus perficiendi
28
unam intra aliam et aliam circa aliam. Ideoque Euclides posuit hic hec
29
elementa communiter,
112
1
et ideo dixit Irinus quod Euclides non attulit ea nisi ut doctrina
2
compleretur, secundum quod in dictis Irini invenitur.
3
< IV def. 3 > Dixit Euclides: Figura dicitur describi intra circulum
4
cum fuerint omnes anguli figure intrinsece contingentes circumferentiam
5
ciruli;
6
< IV def. 4 > Et figura dicitur circa circulum describi cum fuerint
7
latera figure descripte circa circulum omnia contingentia exterius circuli
8
circumferentiam.
9
Dixit Irinus: ergo non est tota doctrina sicut ex nostro sermone est
10
premissum, dicere figuram descriptam intra circulum et figuram de-
11
scriptam circa circulum et circulum descriptum intra figuram et circulum
12
descriptum circa figuram, sed ad doctrine declarationem sciendum est
13
quod commune quod est inter figuram et circulum, est ut circuli
14
circumferentia contingat angulum figure aut ipsius latus; circulus enim
15
neque angulum habet neque latera.
16
< Theoremata >
17
< IV 1 > De prima figura dixit Irinus quod ipsa est secundum quod
18
Euclides dixit.
19
Verumtamen si quis posuerit punctum supra circuli circumferentiam, et
20
voluerimus ostendere qualiter ab eo in circulo
21
protrahatur linea equalis alicui date linee que
22
non sit maior diametro circuli: ponemus ut
23
punctum datum sit punctum b quod est in
24
circumferentia circuli abg, et linea data sit
25
|140|[ed. Curtze] linea d. Secabo itaque lineam be et
26
ponam ipsam equalem linee d. Deinde supra
27
centrum b secundum spatium be describam cir-
28
culum aez et protraham lineam ba. Iam
29
ergo a puncto b dato protraximus li-
113
1
neam ab equalem linee d. Et illud est quod demonstrare voluimus.
2
< IV 2 > Secunde figure secundum Irini intentionem taliter invenitur
3
opponi. Et hoc est quia nos fecimus angulum hab equalem angulo dez,
4
ergo iam scimus quod portio agb recipit angulum equalem angulo dez.
5
Ergo si fecerimus supra punctum a linee ht angulum equalem angulo dze
6
et linea que perfecerit angulum,|30/12v|[ms K] cooperuit lineam ab et non
7
pervenerit in circulo triangulus: dico ergo quod angulus factus est
8
angulus tab, ergo duo anguli hab, bat sunt equales duobus angulis dez,
9
dze. Sed coniunctio duorum angulorum hab, tab est equalis coniunctioni
10
duorum rectorum angulorum, et ipsi sunt equales coniunctioni duorum
11
angulorum dez, dze; ergo duo anguli trianguli dez sunt equales duobus
12
rectis quod est contrarium et inpossibile, quoniam iam est ostensum ex
13
probatione figure 17e prime partis quod omnes duo anguli cuiuslibet
14
trianguli sunt minores duobus rectis.
15
Quod si linea ag|141|[ed. Curtze] que perfecit angulum tag equalem angulo
16
dze, ceciderit extra lineam ab a parte qua sequitur lineam ah, sicut in
17
figura apparet, erit tunc coniunctio duorum angulorum hab, tag maior
18
duobus rectis angulis. Erit ergo tunc doctrina magis inpossibilis, quod
19
ideo erit quoniam duo anguli trianguli dez erunt maiores duobus rectis
20
angulis. Et illud est quod demonstrare voluimus.
21
< IV 3 > Quod autem apposuit Irinus ex oppositionibus in figura
22
tertia, est res debilis; ipsum tamen dicam.
23
Si quis dixerit: cum protraxero duas lineas ah, bh usque ad duo
24
puncta s et q, et postea fecero angulum bhg equalem angulo dzk, cadet
25
tunc linea hg inter duo puncta b, s: dicam igitur quod linea as
26
est recta cum sit diametrus circuli, ergo duo anguli ahg et ghs
27
sunt equales duobus rectis. Sed angulus ahg est equalis duobus angulis
114
1
det, dzk et duo anguli det et dzk sunt
2
maiores duobus rectis, ergo angulus ahg est
3
maior rectis angulis. Sed ipse est minor
4
coniunctione duorum angu|142|[ed. Curtze]lorum a
5
h g, ghs qui sunt < sicut duo > recti. Hoc
6
vero est inconveniens, ergo linea hg non
7
producitur supra lineam hs a parte puncti b.
8
Quod si dixerit quod ipsa cooperit
9
lineam hs: dicam igitur quod erunt tunc
10
duo anguli det, dzk equales duobus angu-
11
lis ahb, bhs. Sed duo anguli ahb, bhs sunt
12
equales duobus rectis, ergo duo angu-
13
li det, dzk sunt < sicut duo > recti. Hoc autem est inconveniens
14
quoniam ipsi sunt maiores duobus rectis. Linea ergo hg non cooperit
15
lineam hs neque producitur supra eam a parte puncti b.
16
Si vero dixerit quod linea hg cooperit lineam hq coniunctam secundum
17
rectitudinem linee bh: dicam ergo quia angulus ahb est factus equalis
18
angulo det, ergo remanet angulus dzk equalis duobus angulis bhs, shq,
19
rectis duobus equalibus; quod valde est inconveniens.
20
Adhuc vero magis inconveniens erit si dixerit quod supra li-
21
neam hq a parte puncti a ducitur linea hg, ergo protractio linee gh
22
semper erit inter duo puncta q, s.
23
Postquam igitur hoc declaratum est si aliarum figurarum exempla
24
ponantur secundum quod Euclides posuit, non invenietur locus contra
25
dicendi. Et illud est quod demonstrare voluimus.
26
< IV 4 > De quarta figura dixit Irinus quod ipsa est secundum quod
27
Dixit Euclides.
28
< IV 5 > De quinta figura Anarizus: ostendam hic quod linea le
29
equidistat linee ag. Ponam itaque triangulum abg ut supra positus
115
1
est, et protraham lineam lg. Manifestum est igitur quod duo triangu-
2
li ale, ble sunt|143|[ed. Curtze] supra duas equales bases et sunt unius alti-
3
tudinis, ergo triangulus ael est equalis triangulo ble. Et etiam quia |27v|[ms M]
4
duo trianguli ble et elg sunt supra duas
5
equales bases que sunt be et eg, et eorum
6
altitudo est una que est punctum l, ergo
7
triangulus ble est equalis triangulo gle; ergo
8
triangulus gle est equalis triangulo ale. Sed
9
ipsi sunt supra unam basim que est le, ergo
10
ipsi sunt inter duas lineas equidistantes que
11
sunt linee le et ag; quod equidem constat secundum probationem figure
12
quadragesime prime partis. Et illud est quod demonstrare voluimus.
13
Hic quoque declarabo modum quo Euclides pervenit ad hoc ut
14
componeret probationem harum trium figuram taliter et inciperet et
15
divideret unumquodque trium laterum trianguli in duo media, et protrahe-
16
ret a medietate duorum laterum continentium datum angulum lineas
17
orthogonaliter. Ponam itaque aliquem triangulum, illum sc. supra quem
18
sunt a, b, g, et ponam ut angulus datus sit angulus bag. Dico igitur
19
quod non est possibile quin centrum sit aut supra lineam bg aut
20
intra lineam bg aut extra lineam bg.
21
Ponam itaque primum ut ipsum consistat
22
supra lineam bg. Ergo linea bg est diametrus
23
circuli et centrum est in medio linee bg supra
24
punctum z. Et quia circumferentia circuli
25
continet triangulum abg et transit per punc-
26
ta a, b, g, ergo linea que coniungit quod
27
est inter duo puncta a et z, est equalis
28
unicuique duarum linearum bz et zg. Et quia diametrus dividit cir-
29
culum in duo media, ergo triangulus abg est in semicirculo. Manifestum
30
est igitur ex probatione|144|[ed. Curtze] figure 30e quod angulus bag est
116
1
rectus. Cum ergo diviserimus unamquamque duarum linearum ab, ag in
2
duo media supra duo puncta d et e, et protraxerimus duas lineas dz, ez,
3
manifestum erit quod duo linee bd et dz sunt equales duabus lineis ad
4
et dz. Sed et basis bz est equalis basi az, ergo angulis bdz est equalis
5
angulo zda. Ergo linea dz orthogonaliter est erecta supra lineam ab, et
6
similiter linea ze est perpendicularis supra lineam ag. Propter hoc igitur
7
posuit Euclides angulum rectum et divisit lineam ab in duo media supra
8
notam d, et produxit lineam dz ad medium linee bg. Deinde ostendit
9
quod linea dz equidistat linee ag ut demonstraret quod non protraxit
10
eam nisi ut esset perpendicularis. Sed etiam licet non afferet
11
testimonium figure 30e partis tercie, secundum hunc tamen modum
12
foret manifestum quod necessarium est ut linee az, zb, zg sunt
13
equales. Quia igitur linea az est equalis linee bz, erit angulus abz
14
equalis angulo baz. Et etiam quia zg est equalis za, ergo angulus zag
15
est equalis angulo zga; ergo coniunctio duorum angulorum abg, agb
16
est equalis angulo bag. Sed tres anguli bag, gba, agb sunt equales duobus
17
rectis augulis, ergo angulus bag est rectus.
18
Postea ponam ut centrum circuli sit extra lineam bg; ponam itaque ut
19
ipsum sit nota k. Et quia centrum circuli
20
cadit extra, ergo sequitur ut sit portio
21
circuli que continet triangulum abg, minor
22
semicirculo. Sed iam fuit ostensum ex
23
probatione figure 30e tercie partis quod an-
24
gulus qui cadit in portione minore
25
semicirculo, est expansus; ergo angulo bag est expansus.
26
Hoc quoque secundum alium modum declaratur. Quoniam protraham
27
duas lineas kd, ke; et iam scivimus ex probatione figure 3e partis ter-
28
cie quod linee que producuntur a centro ad medium cor|145|[ed. Curtze] da-
29
rum, sunt perpendiculares, et cum perpendiculares protrahentur a
30
centro, ipse dividunt cordas in duo media. Et quia linea ae est equalis
31
linee eg, ergo linea eh posita communi et basi ah equali basi hg,
32
ergo angulus egh est equalis angulo gah; et similiter angulus dat
117
1
est equalis angulo dbt. Ergo coniunctio duorum angulorum abg, agb est
2
equalis coniunctioni duorum angulorum bat, gah; ergo totus angulus bag
3
est maior duobus angulis abg, agb. Set anguli trianguli sunt equales
4
duobus rectis, ergo angulus bag est maior medietate duorum rectorum;
5
ergo est expansus.
6
Si ergo linea bg in duo media dividatur supra punctum z et pro-
7
trahantur due linee dz, ze, manifestum erit ex figura que adiuncta est
8
figure que hanc precedit, quod linea dz equidistat linee ag; ergo
9
angulus bdz extrinsecus maior est angulo adz. Euclides ergo ab hoc
10
loco incepit et componit ut foret manifestum quod due linee erecte supra
11
duo puncta d et e concurrunt extra lineam bg; fit ergo locus
12
concursus earum centrum. Et illud est quod demonstrare voluimus.
13
< IV 6 > De sexta figura dixit Irinus quod ipsa est secundum quod
14
Dixit Euclides.
15
Hec tamen figura solvitur sic. Ponam itaque ut quadratum sit
16
factum. Propter hoc igitur quod querimus ut linea ad sit equalis linee
17
ab|146|[ed. Curtze] et angulus a sit rectus, manifestum est quod convenit ut
18
linea bd sit diametrus circuli. Et similiter etiam cum querimus ut sit
19
linea ab equalis linee bg et angulus < b > rectus, sequitur ut sit li-
20
nea ag diametrus circuli. Erit ergo tunc punctum e centrum, |31/13r|[ms K]
21
ergo angulus eab est equalis angulo eba. Remanet ergo tunc
22
angulus aeb rectus. Sed ipse est equalis angulo beg, ergo quatuor anguli
23
qui sunt apud centrum, sunt equales et eorum quisque est rectus; due
24
itaque diametri se orthogonaliter secant. Euclides igitur ab hoc loco
25
incepit et invenit centrum et fecit super ipsum transire duas
26
diametros sese orthogonaliter secantes; ergo invenit quod querebat.
118
1
< IV 7 > In septima figura nichil dixit Irinus.
2
Eius tamen solutio sic est. Ponam itaque ut quadratum sit factum
3
circa circulum. Propter hoc igitur quod linea zh contingit circulum supra
4
punctum a, est linea que a puncto a
5
orthogonaliter protrahitur, transiens per
6
centrum; et similiter linee a punctis b et d
7
orthogonaliter protracte perveniunt ad cen-
8
trum. Protraham ergo eas et concurrent
9
supra punctum e quod est centrum. Et quia
10
unusquisque|147|[ed. Curtze] duorum angulorum a
11
et b est rectus et angulus z positus est rectus, ergo reliquus angulus aeb
12
est rectus. Et similiter ostendam quod angulus aed est rectus. Iam ergo
13
protrahuntur a puncto e linee ae due linee in duas diversas partes, que
14
sunt linee eb, ed, et fiunt duo anguli qui sunt a duabus partibus
15
linee ae, equales duobus rectis. Ergo due linee be, ed secundum
16
rectitudinem coniunguntur et fiunt una linea recta. Linea igitur bd est
17
diametrus circuli abg; et similiter ostendam quod linea ag est
18
diametrus, et ipse iam se secant supra punctum e. Euclides itaque incepit
19
et composuit ab hoc loco ubi invenit centrum, et fecit supra ipsum
20
transire duas diametros ag, bd secantes se orthogonaliter, et fecit
21
transire supra extremitates diametrorum lineas circulum contingentes.
22
Deinde complevit reliquam probationem.
23
< IV 8 > De octava figura nichil dixit Irinus.
24
Sed eius solutio est talis. Quia ke est equalis kz et linea ab
25
contingit circulum supra punctum e, et similiter linea ad contingit
26
circulum supra punctum z, ergo quisque duorum angulorum qui sunt
27
apud z et e, est rectus. Sed etiam angulus a est rectus, relinqui-
28
tur ergo ut angulus k sit rectus; et similiter ostendam quod angu-
29
lus ekt est rectus, ergo linea zt est coniuncta secundum rectitudinem.
119
1
Secundum huius quoque probationis equalitatem demonstratur quod linea
2
eh est linea una recta. Queritur ergo ut linea ae sit equalis linee eb,
3
et quod linea az sit equalis linee zd; et similiter |148|[ed. Curtze] ostendam
4
ex probatione figure septime huius partis quod circulus ezh continetur
5
a quadrato abg. Secundum hoc igitur quod in figura septima demonstra-
6
tum est, ostenditur quod linea ae sit equalis linee eb et az sit
7
equalis zd, et quod unaqueque duarum linearum eh, zt sit linea recta.
8
Euclides ergo ab hoc loco incepit cum compositione et composuit ubi
9
divisit unamquamque duarum linearum ad, ab in duo media, et protraxit
10
duas. lineas eh, zt orthogonaliter. Deinde ordinavit probationem
11
secundum ordinem quem premisimus. Irinus vero in hac figura nichil
12
dixit.
13
14
< IV 9 > Figura vero nona secundum modum solutionis est sic.
15
Ponam itaque ut circulus sit descriptus circa figuram quadratam.|28r|[ms M]
16
Dico igitur quod due linee de, eb iam sunt coniuncte secundum rectitu-
17
dinem, et similiter linee ae, eg. Et quia linee que a centro ad cir-
18
cumferentiam protrahuntur, sunt equales, ergo linee ea, eb, eg, ed sunt
19
equales; ergo duo latera ae, eb sunt equalia duobus lateribus ae, ed. Sed
20
et basis ad est equalis basi ab, ergo angulus aeb est equalis angu-
21
lo aed. Iam ergo protrahuntur a puncto e linee ae due linee eb, ed
22
secundum rectitudinem et fiunt linea una recta. Ergo linea db est recta,
23
et similiter linea ag. Euclides igitur hic incepit, et protraxit duas lineas
24
ag, bd. Deinde complevit probationem.
25
< IV 10 > In figura Xa nichil dixit Irinus.
26
Verum|149|[ed. Curtze]tamen possibile est ut circa triangulum agd describatur
27
circulus, postquam factus fuerit angulus agd rectus aut expansus.
28
Dico igitur quia linea bd contingit circulum gd et angulus bda
120
1
est acutus, ergo linea que est perpendi-
2
cularis supra punctum d linee bd, est
3
diametrus circuli agd, et est casus eius
4
a linea da sicut casus linee dz. Portio
5
igitur dga est minor semicirculo, ergo
6
angulus agd est expansus. Ponam autem
7
ut centrum circuli agd sit nota h, et
8
protraham lineam ah. Manifestum est itaque quod linea at est equalis
9
linee ad quoniam ipse sunt producte a centro. Sed linea ht est minor
10
medietate diametri circuli agd. Protraham itaque ipsam usque ad k et erit
11
equalis medietati diametri. Ergo manifestum est quod circulus agd secat
12
circulum ebd. Et illud est quod demonstrare voluimus.
13
Secundum solutionis vero modum est ita. Ponam ut triangulus abd
14
sit constitutus et quod quisque duorum angulorum abd, adb sit duplus
15
anguli bad. Dividam ergo angulum adb in duo media cum linea dg, ergo
16
unaqueque duarum sectionum est equalis angulo gad. Quero igitur ut su-
17
perficies rectorum angulorum que continetur a duabus lineis ab et bg,
18
sit equalis quadrato ag. Ergo quia angulus bad est equalis angulo adg,
19
erit linea ag equalis linee gd, et quia angulus bgd est equalis duobus
20
angulis gad, adg, qui sunt equales, ergo angulus bgd est duplus angu-
21
li gad. Angulus igitur bgd est equalis umcuique duorum angulorum abd,
22
adb, ergo linea gd est equalis linee bd. Sed linea gd iam fuit|150|[ed. Curtze] e-
23
qualis linee ag, ergo linea ag est equalis bd. Set angulus agd est maior
24
angulo bgd, ergo ipse est obliquus. Erigam itaque supra punctum d li-
25
nee bd perpendicularem que sit dz. Cum ergo constituerimus circa
26
triangulum agd circulum agd, erit linea dz diametrus circuli et linea bd
27
contingens circulum et punctum b erit extra ipsum. Sed ab ipso
28
protracta est linea ba secans eum et linea bd contingens ipsum, ergo
29
rectangulum quod continetur ab ab et bg, est equale quadrato bd.
30
Sed bd est equalis ag, ergo rectangulum quod continetur ab ab et bg,
31
est equale quadrato ag. Ab hoc itaque loco incepit Euclides et posuit
32
quandam lineam sicut lineam ab. Deinde divisit eam supra punctum g,
33
et postquam sic divisit eam, ordinavit probationem sicut diximus. Et
34
illud est quod demonstrare voluimus.
121
1
< IV 11 > Undecima figura secundum solutionis modum sic declara-
2
tur. Ponam itaque ut pentagonus adg sit in circulo descriptus, et
3
queram ut angulus age sit equalis angulo bge, quod manifestum est ex
4
hoc quod arcus be est equalis arcui ea. Et similiter ostendam quod
5
anguli abd, bag et dbg sunt. equales, et ostendam quod quisque
6
duorum angulorum abg, agb est duplus anguli bag. Euclides igitur ab hoc
7
loco incepit et ordinavit probationem. Et illud est quod demonstrare
8
voluimus.|151|[ed. Curtze]
9
< IV 15 > De figura quinta Xa dixit Irinus quod ipsa est sicut dixit
10
Euclides.
11
Quidam tamen querunt quare Euclides aposuit figuram exagoni et non
12
apposuit figuram decagoni. Sed si quis dixerit quod exagonus est neces-
13
sarius figuris superficialibus que sunt elementa figurarum corporearum,
14
nos dicemus quod decagonus non minus est necessarius eis quam exago-
15
nus; et etiam si dixerint quod descriptio exagoni et decagoni est ma-
16
nifesta, sc. quod cum descripserint in circulo dato triangulum equi-
17
laterum et diviserint quemque arcum laterum in duo media et coniunxe-
18
rint notas cum lineis, fiet in circulo dato exagonus equilaterus et
19
equalium angulorum. Et similiter etiam faciemus in decagono, id est ut
20
faciamus in circulo pentagonum, ergo quia iste tres figure fuerunt sicut
21
di|31/13v|[ms K]ximus, dimisit decagonum et apposuit exagonum.
22
Nos vero dicimus quod Euclides non ideo apposuit exagonum quod
23
est manifesta eius descriptio, sed ideo quod probatur in ipso quod cum
24
fuerit in circulo exagonus equalium laterum et angulorum, erit latus
25
exagoni equale medietati diametri circuli, et cum fuerit in circulo
26
figura equalium laterum et fuerit medietas diametri equalis uni late-
122
1
rum ipsius, erit latus illud latus exagoni. Hoc enim in figuris
2
corporeis est necessarium.
3
Preterea dixit Irinus: Licet hoc ita sit, tamen addam hoc, sc. quod
4
Euclides cum hoc quod fecit in exagono, innuit quid in aliis, que sunt
5
hoc modo, sit faciendum, sicut est decagonus et alie huiusmodi.
6
< IV 16 > In figura 16 dixit Irinus quod ipsa|152|[ed. Curtze] est sicut
7
Dixit Euclides; que quidem est necessaria superioribus speris. In his enim
8
speris necessarium est ut sit in arcu qui est inter circulum equinoctia-
9
lem et inter unumquemque duorum circulorum solstitialium, figura
10
habens 12 bases. Quod astrologi dixerunt, sc. quod arcus qui est
11
inter circulum equinoctii et inter unum duorum circulorum solstitialium,
12
qui sc. est arcus unius circulorum qui transeunt per polos spere, sc.
13
polos totius, recipit figuram 12 basium equalium; et ideo Euclides
14
apposuit hanc figuram ut nichil pretermitteret non probatum.
15
Et postquam iam manifesta sunt ea que diximus, et figure omnes sunt
16
demonstrate, ergo non pretermittam quin faciam figuram cum qua potest
17
describi circulus circa figuram equalium laterum et plurium angulorum aut
18
intra eam. Et ad hoc declarandum premittam propositionem.
19
Dicam ergo: Intra omnem figuram equalium laterum et angulorum quam
20
recte continent linee, est punctum a quo omnes linee recte ad angulos
21
figure protracte, sunt equales; et
22
dico quod omnes perpendiculares
23
a puncto illo ad latera figure
24
protracte, sunt equales; et hoc
25
punctum figure plurium angulorum
26
est centrum, et centrum circuli
27
descripti circa eum et descripti
28
intra ipsum.
29
Exempli causa, ponam figuram abg
123
1
et ponam ut eius latera sint equalia et anguli equales. Dico igitur quod
2
intra figuram abg est punctum a quo omnes linee ad angulos figure
3
producte, sunt equales, et omnes perpendiculares ab eo ad latera figure
4
protracte, sunt equales. Probatio eius, quoniam dividam duos angulos|153|[ed. Curtze]
5
figure in duo media qui sunt continue se sequentes, et ponam ut
6
ipsi sint duo anguli abg, bgd, cum duabus lineis bh, gh que intra figu-
7
ram abg supra punctum h concurrant. Dico igitur quod punctum h est
8
centrum figure quam recte continent linee, et circuli descripti intra
9
ipsam et descripti extra ipsam.
10
Probatio eius: quoniam angulos gbh est equalis angulo bgh, ergo li-
11
nea bh est equalis linee gh, et etiam quia ab est equalis linee bg et
12
linea bh est equalis linee gh, ergo due linee ab, bh sunt equales duabus
13
lineis bg, gh. Sed etiam angulus abh est equalis angulo bgh, ergo basis ah
14
est equalis basi bh, ergo tres linee ah, bh, gh sunt equales et angu-
15
lus bah est equalis angulo gbh. Sed angulus gbh est medietas anguli abg,
16
ergo angulus bah est medietas anguli baz quoniam totus angulus baz est
17
equalis toti angulo abg. Angulus itaque baz iam est in duo media
18
partitus cum linea ah. Secundum huius quoque probationis equalitatem
19
ostenditur quod relique linee a puncto h ad angulos figure protracte,
20
sunt equales. Supra igitur h cum spatio unius harum linearum ad angulos
21
protractarum describam circulum continentem figuram abg; et dico
22
etiam quod hoc idem punctum est centrum circuli descripti intra
23
figuram abg, et quod eius circumferentia transit per puncta ad que
24
perpendiculares a puncto h ad latera figure protracte perveniunt.
25
Protraham ergo perpendiculares ht, hk, hi, hm, hn, hs, et quia angulus
26
htb est equalis angulo hsb et angulus abh est equalis angulo gbh, ergo
27
latere|28v|[ms M] bh communi erit per|154|[ed. Curtze]pendicularis sh equalis
28
perpendiculari th; et secundum huius probationis similitudinem
29
ostendam quod relique perpendiculares sunt equales. Cum ergo
30
posuerimus punctum h centrum et circumduxerimus circulum secundum
31
spatium unius harum perpendicularium, transibit per reliqua
32
puncta t, k, l, m, n, s, et linee protracte a puncto h ad hec puncta erunt
33
perpendiculares. Manifestum igitur est ex probatione figure 15e partis
34
tertie quod latera figure contingunt circulum descriptum intra ipsam. Et
35
illud est quod demonstrare voluimus.
124
1
Dicit preterea Irinus: ponam ut due
2
recte linee que dividunt duos angu-
3
los abg, bgd in duo media, concurrant
4
intra figuram.
5
Ponam itaque figuram equalium
6
laterum et angulorum supra quam
7
sunt a, b, g, d, e, z, et coniungam zd
8
et zb et zg et bd, et dividam angu-
9
lum abg in duo media cum linea bh. Et quia due linee ba, az sunt equales
10
duabus lineis gb, gd et angulus g est equalis angulo a, ergo basis bz est
11
equalis basi bd et angulus zba est equalis angulo dbg. Sed nos iam
12
divisimus angulum abg in duo media cum linea bh, ergo angulus zbh est
13
equalis angulo dbh. Et etiam quia linea zb est equalis linee db, ergo
14
linea bh communi erunt due linee zb, bh equales duabus lineis db, bh, et
15
angulus zbh est equalis angulo dbh: ergo basis zh est equalis basi hd et
16
angulus bhz est equalis angulo bhd; ergo angulus bhz est rectus. Et
17
etiam quia zh est equalis hd, ergo he posita communi erunt due li-
18
nee zh, he equales duabus lineis dh, he. Sed basis ze est equalis basi ed
19
ergo angulus zhe est equalis angulo dhe et angulus zeh est equalis
20
angulo deh; angulus igitur e iam est divisus in duo media. Sed angu-
21
lus zhe est rectus, et iam fuit ostensum quod etiam angulus zhb est
22
rectus, ergo linea bh iuncta est linee he secundum rectitudinem.
23
Linea igitur dividens angulum abg pervenit ad|155|[ed. Curtze] angulum e et
24
dividit ipsum in duo media, et similiter linea dividens angulum g pervenit
25
ad angulum z et dividit ipsum in duo media et secat lineam be supra
26
punctum t. Et illud est quod demonstrare voluimus.
27
Figurarum autem quarum numerus laterum fuit impar, linee due
28
que dividunt duos angulos, perpendiculariter cadunt super latera figure,
29
et etiam est manifestum quod intra figuram concurrunt. Et illud est
30
quod demonstrare voluimus.