Optics

OPTICAE THESAVRVS. ALHAZENI ARABIS libri septem nunc primum editi. EIVSDEM liber DE CREPVSCVLIS et Nubium ascensionibus. ITEM VITELLONIS THVRINGOPOLONI LIBRI X.

Omnes instaurati, figuris illustrati et aucti, adiectis etiam in Alhazenum commentarijs, A FEDERICO RISNERO.

Cum priuilegio Caesareo et Regis Galliae ad sexennium. BASILEAE, PER EPISCOPIOS. M D LXXII.

Triplicis uisus, directi, reflexi et refracti, de quo optica disputat, ar- gumenta.

FEDERICI RISNE- RI IN ALHAZENI ARABIS OPTICAM PRAEFATIO AD ILLVSTRISSIMAM REGINAM CA- tharinam Mediceam, matrem regis Galliae Caroli noni.

PLVRES adorant orientem solem, Regina illu- strissima, quam occidentem, ut uulgo fertur: at contra fieri meo iudicio debuit, cum solis oc- casus ditissimas et opulentissimas orbis partes complexus sit: ut sub aequatore est America, et supra omnes insulas fortunatissimae Moluccae. Et in uita ho minis, si qua aetas pręcipue laudabilis sit, ipsa senectus est, re- liquarum aetatum gubernatrix et magistra. Ideoque hoc mihi a P. Ramo consilium maiestatis tuae colendae succurrit: qui cum tuo nomini liberales artes gallico sermone consecra- rit, multos profecto mortales exemplo suo inuitauit ad ea- dem uota concipiendum atque nuncupandum: tanquam iu- dicarit unam te in Gallia non solum tanto rege matrem di- gnissimam, sed omnium regiarum uirtutum laudumque pa- tronam amantissimam. Itaque tanquam clientem Alhazenum tibi dico, nuncupoque, Arabem opticae scriptorem, ut e no- mine Alhazen arabico, (quod Latine bonum uirum sonat) intelligitur: et inscriptio operis ipsum arabe patre Alhayzen natum indicat. Quatuor autem philosophos arabes hoc no- mine fuisse e peritis Arabicae linguae hominibus didici: quo tamen tempore Alhazenus noster floruerit, nondum neque legendo neque percontando certo cognoscere potui. Equi- dem a praestantibus mathematicis in uetustissimorum Ara- bum numero ipsum haberi animaduerto: quanquam tem- poris, quo uixerit, mentio nulla fiat. Coniectura quaedam est anno Christi millesimo ac circiter centesimo ipsum ui- xisse: aetate nimirum Auicennae, Auerrois, Zoarae, aliorumque excellentium Arabum: quo saeculo apud Arabes et Sarrace- nos, tum omnium ingenuarum artium studia, tum uero ma thematicas disciplinas inprimis floruisse ex historiarum com- mentarijs satis constat. Hunc igitur authorem (cuius editio nem abhinc amplius annis triginta a clarissimis mathema- ticis expectauimus) cum P. Ramus diu multumque per uarias bibliothecas requisitum, uestigijsque omnibus indagatum tan dem in auctione publica prostitutum, et tanquam pro deser- to habitum coemisset: alterum postea etiam exemplar nactus esset: utrunque mihi (quem aliquot ante annos mathematicę exercitationis consortem et adiutorem habuisset) conferen dum tradidit: posteaque, cum e medio renascentium bellorum ardore mathemata quaedam sibi chariora, et hunc Alhaze- num inprimis e bibliotheca sua subduxisset, Basileam me cum his tanquam penatibus secum abduxit, et annum integrum in authore isto restituendo et conformando occupauit. Dili- gentiam sane et doctrinam in arabe homine mirabilem de- prehendi, nec admodum, quod animaduertere potuerim, a ueteribus Graeciae opticis adiutam. Euclideum hic uel Ptolemaium cum nihil fere est. Aliquid fortasse sumpserat ex Archimede, Apollonio et Auenello, a quibus optica quaedam conscri- pta esse monimentis literarum testatum extat: item a Damiano et alijs opticis, quorum libri in manus meas nondum incide- runt. Veterum tamen opticorum lectionem Alhazenus ipse confitetur lib. 6. cap. 4. de errore, qui accidit in speculis sphę ricis conuexis. et lib. 7. cap. 6. quomodo uisus comprehendat uisibilia secundum refractionem. Quamobrem cum luculen tum quidem scriptorem et copiosum opticum, sed ualde con fusum perspexissem: id mihi P. Ramo suasore et authore con silium sumpsi. quod est eiusmodi. Primo quia totum opus in pauca et prolixa capita continuo perpetuoque sermone diui sum fuit: singulos libros et capita in propositiones distinxi: et quae Vitellonis theoremata his responderent, annotaui: ut collatione theorematum utriusque optica materies rudi ac nouitio lectori difficilior atque obscurior lucem aliquam et perspicuitatem acciperet. Deinde demonstrationes omnes emendaui et restitui: earum firmamenta ac robora (quae ple risque locis omnibus deerant) ex Euclide, Theodosio, Apollo nio, Sereno, alijsque geometris addidi: pręcipue uero quintum et sextum libros, quibus catoptrica comprehenduntur, et se- ptimum, qui refractionem interpretatur, propter demonstra- tionum obscuritatem breuitatemque commentariolis quibus- dam illustrare conatus sum. Denique figuras omnium propo sitionum de integro conformaui. Atque hic in rebus sententijsque labor nobis fuit: qui nequaquam par aut similis fuit in uer- bis. In his enim nihil admodum mihi immutandum esse exi stimaui, nisi ut pro ijs, quae obscuritatem rebus et ambigui- tatem allatura uidebantur, alia reponerem: et ut inscriptionem operis (quae authori est de aspectibus) gręco, concinniore et breuiore nomine opticam nominarem. Verum, illustrissima regina, uiderer plerisque urbanis hominibus instituti fortasse mei non immemor, sed certe non satis memor maiestatis tuae, qui praefatione ista apud te tam multa et scholastica, et tam scholastice disputem: nisi tuo nomine scholis omnibus et scholasticis beneficium tam singulare, tamque populare ac re- gale munus afferrem. Etenim cum praestantium regum regi- narumque in populos beneficia muneraque multa queant esse: certe uirtute doctrinaque magnificentius regaliusue dari ni- hil potest. Et quidem si de optices usu declamandi locus rhe tori cuipiam hic esset, marathonius quidam campus ei me- rito uideretur, siue supera illa mundi siue haec infera specten tur. Etenim quaecunque hominibus de corporum coelestium materia, numero, ordine, deque motuum coelestium infinita ua rietate aperta ac patefacta sunt, optica fere aperuit et patefe cit: meteora: miracula in iride una praesertim opticis radijs distincta sunt: falsas opiniones de numero, motu, atque loco elementorum optica solertia deprehendit et conuicit. In uita uero hominum pleraque daemonum praestigijs attributa: ut imagines in aere quocunque mobiles repraesentare: ut longin- quo spatio disiunctum exercitum uelut ante oculos intueri: ut classem hostium incendio consumere, opticae artis ui ac facultate omnia efficiuntur: ut picturam, architecturam, me chanicam interea taceam nihil admodum nisi opticam esse. Quamobrem quod Alhazenus uetustissimus et copiosissi- mus opticae doctrinae scriptor e tenebris tam diuturnis eru- tus, squalore, situ, puluere absterso in publicam lucem pro- deat quod in mathematicas scholas ingrediatur: quod in- uenta sua publicis studijs communicet, Catharinae Mediceae in posteritatem fama gloriaque immortalis esto.

CANDIDO LECTORI

DVo sunt, candide Lector, de quibus te paucis admondendum hic duximus. Primum est, quod ea, quae commentario- rum uice in Alhazeno passim inseruimus, duabus clausulis (ut uocant) sic [ ] inclusimus. Alterum, quod in fir- mamentis demonstrationum e uarijs geometris allegandis γραφικῇ quadam breuitate usi sumus: et Euclidis quidem propositiones omisso nomine hoc modo notauimus: per 29 p 1. 1 ax. 4 p. 1 d 6: id est per 29 propositionem 1 li- bri: 1 axioma. 4 propositionem. 1 definitionem 6 libri elementorum Euclidis, etc. In reliquorum uero geometrarum al- legationibus similiter numeros theorematis et libri literis th (theorema significantibus) inter utrunque intermedijs una cum nomine adiecimus. Alhazeni autem propositiones (in quas a nobis distinctus est) differentiae breuitatisque caussa in citandis Euclidis et Alhazeni propositionibus numeros appelauimus: ijque ita nobis notati sunt: per 19 n 1. 14 n 2. 13 n. id est per 19 numerum 1 libri optices Alhazeni. 14 numerum 2 libri. 13 numerum: eius nimirum libri, in quo fit ista allegatio: id est per 13 numerum primi, secundi, tertij, etc. libri optices Alhazeni, si ille numerus in primo, secundo, tertio, etc. libro optices Alhazeni allegatus fit. Quod ad errata attinet, placuit ea in uestibulo libri adscribere, quo emendare uolenti in promptu essent: ubi primus numerus paginam, secundus lineam indicat. Pagina 4. linea 55 centrum. 7. ult. unaquaque. 16. 35 ultimum. 26. 22 earum. 34. 23 et 24 humiditas. 41. 46 certitudinem. 61. 1 pro 711, 111. 67. 16 formarum. 80. 60 positio. 81. 82. figurarum loca permutata sunt. 83. 56 posi tio. 93. 28 post iterum, adde in. 106. 53 utroque. 111. 10 lucis. 134. 60 angulus a g e. 135. 14 post lineis pone colon, et post reflexionis, comma. 142. 11 uisu et uisibili. 146. 31 concurret. 156. 49 pro 44 post exteriore, repone 45. 159. 26 aequidistans. 181. 36 et 37 pro ibi, ubi. 185. 12 pro t, b. 189. 6 fit. 194. 53 et 54 pro oe, oe d. ibid. 62 pro i post a g, repone et. 197. 15 pro 4, 45. Pag. 201 figura prior 15 numeri, quae ad sinistram est, pertinet ad 14 nume rum praecedentem: neque enim suo quamque loco collocari compositionis, ut uocant, ratio permisit. 205. 1 z q l. 211. 21 post l e tolle comma. 213. 43 speculis. 217. 39 pro 4, 41. 219. 39 pro erit, reflectetur, et pro in, ex. Pagina 221 in figura litera proxime infra r in linea g r propter linearum concursum obscurior, est k. 223. 17 peripheria a z. 226. 28 perueniat ergo. 229. 58 transeunte. 237. 21 post laminae adde, et inter superficiem laminae. Ibid. 35 dele sit. 240. 46 existunt. 250. 55 lineam. 252. 7 post eleuatio, pone comma. Ibid. 19 k b g. Ibid. in figura po- natur litera a e regione e centri mundi ad peripheriam meridiani b g. Ibid. 49 existunt. 255. 57 pro in, a. 258 in secunda figura ad terminum lineae f o continuatae, pone literam q. 266. 48 tolle et. Pag. 273 in prima figu- ra ad terminum lineae d m continuatae pone literam e. Pagina 275 sub numero 45 duae figurae coniunctae sunt, quarum posterior, quae ad dextram est, pertinet ad 46 numerum: ad quem prior quoque figura 47 numeri refer- ri debet. 281. 38 post diuersae dele comma. 285. 23 pro e, ei. 286. 51 restant. 288. 58 pro 48, 40. Denique illud e- tiam in erratis reponere placuit, quod in commentarijs ad quartam et tertiam figuras 64 n 5 praetermissum est: nempe. [Quando imago uidetur in puncto a: et b q, quae parallela ducitur ipsi a l, cadit extra triangulum a t g: tum omissa b q et ostensa aequalitate linearum a g, a t, ut prius, breuius per 3 p 6 propositum concludetur. Erit enim ut b e ad e a, sic b g ad a g, id est per 7 p 5 ad a l: sed ut b g ad a l, sic b t ad t a propter similitudinem triangulorum b g t, a l t. Ergo per 11 p 5 ut b e ad e a, sic b t ad t a. Eodem modo cadente b q intra triangulum a g t: breuior et facilior absque linea a l erit demonstratio.]

ALHAZEN FILII ALHAYZEN OPTICAE LIBER PRIMVS.

PRIMVS Liber in septem capita diuiditur. Primus est quod lux per se et colores illuminati operentur in uisum aliquam operationem. Secun- dum quod lux uehemens occultat quaedam uisibilia, quae lux debilis ma- nifestat, et contra. Tertium quod colores corporum diuersificantur a- pud uisum secundum diuersitatem lucium orientium super ipsos. Quartum est de com positione oculi, forma, et situ. Quintum declarat qualitatem uisionis, et dependen- tia ab illa. Sextum est de officio et utilitate instrumentorum uisus. Septimum de ijs, sine quibus uisio non potest compleri.

QVOD LVX PER SE, ET COLORES ILLVMINATI OPE- rentur in uisum aliquam operationem. Cap. 1.

1. Lux per se, et color illuminatus feriunt oculos. Vitell. in hypothes. 6. 16 p 3.

INuenimus quod uisus, quando inspexerit luces ualde fortes, fortiter dolebit ex eis, et habebit no cumentum: aspiciens enim quando aspexerit corpus solis, non potest bene aspicere ipsum, quo- niam uisus eius dolebit propter ipsius lucem. Et similiter quando inspexerit speculum tersum, super quod ascendebat lux solis, et fuerit uisus eius in loco, ad quem reflectitur lux ab illo specu- lo: dolebit iterum propter lumen reflexum, perueniens ad suum uisum a speculo, et non poterit a- perire oculum ad inspiciendum lumen illud. Et inuenimus iterum quando aspiciens intuetur cor- pus mundum album, super quod ascendebat lux solis, et moretur in aspectu ipsius: deinde conuer- tat uisum suum ab eo ad locum obscurum, debilis lucis: quod fere non poterit comprehendere res uisibiles illius loci comprehensione uera: et inueniet coopertorium quasi inter uisum et ipsas: de- inde paulatim discooperietur, et reuertetur uisus in suam dispositionem. Et iterum, quando inspi- ciens inspexerit ignem fortem: et fuerit intuitus ipsum: et moretur in aspiciendo longo tempore: deinde declinet uisum suum ad locum obscurum, debilis lucis: inueniet iterum idem in uisu suo. Et iterum inuenimus, quando inspiciens inspexerit corpus mundum album, super quod oriebatur lux diei: et fuerit illa lux fortis, quamuis non sit lux solis: et moretur in aspectu diu: deinde conuer- tat uisum suum ad locum obscurum: inueniet formam lucis illius in loco illo, et inueniet cum hoc figuram eius: deinde si clauserit uisum: inueniet in ipso formam illius lucis: deinde auferetur hoc, et reuertetur oculus in suam dispositionem. Et similiter erit dispositus uisus, quando inspexerit cor- pus, super quod oriebatur lux solis. Et similiter quando inspexerit corpus clare album, super quod oriebatur lux ignis, quando lux ignis fuerit fortis, et moretur in aspiciendo ipsum: deinde recesse- rit ad locum obscurum: inueniet iterum in eo idem hoc in suo uisu. Et similiter quando aspiciens fuerit in domo, in qua fuerit foramen amplum discoopertum ad coelum: et aspexerit ex illo loco coelum in luce diei: et moretur in aspiciendo ipsum: deinde reuertatur uisus eius ad locum obscu- rum in domo: inueniet formam lucis, quam comprehendebat ex foramine cum figura foraminis in loco obscuro: et si clauserit oculum suum: inueniet iterum in eo formam illam. Omnia ergo ista significant, quod lux operetur in uisum aliquam operationem. Et inuenimus iterum quod, quando aspi ciens inspexerit uiridarium multae spissitudinis herbarum, super quod oriebatur lux solis: et more- tur in aspiciendo ipsum: deinde conuertat suum uisum ad locum obscurum: inueniet in illo loco obscuro formam coloratam a uirore illarum herbarum: deinde si aspexerit in ista dispositione uisi- bilia alba: et fuerint illa uisibilia in umbra, et loco debilis lucis: inueniet colores istos admixtos cum uirore: et si clauserit oculum suum: iterum inueniet in ipso formam lucis et formam uiroris: deinde discooperietur illud, et auferetur. Et similiter si aspexerit corpus coloratum colore caeruleo uel ru- beo, uel alio colore forti scintillante, super quod oriebatur lux solis: et moretur in aspiciendo ipsum: deinde auferat uisum suum ad uisibilia alba in loco debilis lucis: inueniet colores illos admixtos cum illo colore. Ista ergo significant quod colores illuminati operentur in uisum.

QVOD LVX VEHEMENS OCCVLTAT QVAEDAM VI- sibilia quae lux debilis manifestat: et contra. Cap. 2.

2. Lux uehemens obscurat quaedam uisibilia, quae lux debilis illustrat: et contra. 28. 97. 109. 150. 155. 156 p 4.

ET iterum uidemus stellas in nocte, et non uidemus ipsas in luce diei: et nulla est differentia in- ter tempora, nisi quod aer medius inter uisum nostrum et coelum est in die illuminatus, et in nocte obscurus: cum ergo aer fuerit obscurus, nos uidemus stellas: cum autem illuminatus fue- rit aer medius inter uisum nostrum et stellas, latebunt nos stellae. Et similiter si aspiciens nocte aspexerit in loco luminoso lumine ignis: et fuerit lumen ignis extensum super terram: et fuerint in illo loco uisibilia subtilia, aut uisibilia, in quibus sunt res subtiles: et fuerint in aliqua umbra, sed non forti: et non fuerit ignis medius inter illa uisibilia et uisum: et comprehenderit tunc aspiciens illa ui sibilia, et res subtiles, quae sunt in eis: deinde moueatur a suo loco, donec sit ignis medius inter illa uisibilia et suum uisum: tunc illa uisibilia latebunt ipsum, si fuerint subtilia, uel subtilia, quae in eis sunt, et fere non comprehendet ipsa, cum ignis fuerit medius inter uisum suum et ipsa uisibilia: et si cooperiatur ignis a uisu suo: comprehendet statim uisibilia illa, quae latebant ipsum: et si auferatur coopertorium inter uisum suum et ignem: latebunt ipsum iterum illa uisibilia. Istae ergo dispositio- nes significant, quod luces fortes orientes super uisum et super aerem inter oculum et rem uisam, prohibent uisum a comprehensione quorundam uisibilum, quorum luces sunt debiles. Et iterum, quando aspiciens aspexerit corpus tersum: et fuerint in illo corpore sculpturae subtiles: et non fue- rint illae sculpturae diuersorum colorum a colore corporis: et fuerit aspiciens in loco temperatae lu- cis: deinde oppositum fuerit corpus illud soli aut parieti illuminato lumine forti: reflectetur ab eo aliqua lux ad uisum: et inueniet aspiciens lucem apparentem in superficie corporis, et in loco, a quo reflectitur lux, fortiorem, et magis scintillantem: et in ista dispositione si inspiciens fuerit intuitus illud corpus tersum: non uidebit in eo aliquam sculpturam ex sculpturis, quae sunt in loco lucis for tis, et scintillantis: deinde si inspiciens declinauerit illud corpus ab illo loco, ita ut reflexio fiat ad a- lium locum, extra locum uisus sui, et fuerit praeterea super corpus illud lux temperata: tunc inspiciens comprehendet sculpturas, quae sunt in eo, quas prius non comprehendebat in reflexione lucis a cor- pore ad suum uisum. Et similiter, quando lux reflectetur a pagina tersa, in qua sunt sculpturae subti- les ad uisum: non distinguet uisus illas sculpturas nec uerificabit, donec sit lux reflexa ad uisum ab illa pagina: et si declinetur superficies paginae, ita ut situs eius mutetur, et non reflectatur ab ea lux ad uisum: comprehendet tunc uisus illas sculpturas, et distinguet. Et iterum quando ignis debilis fue rit in lumine debili: apparebit et comprehendetur a uisu: et cum fuerit in lumine solis: apparebit cor- pus, in quo est, densum, coloratum colore scintillante forti: et tum si fuerit prope illud corpus, aliquod corpus album clarae albedinis: et fuerit corpus illud in umbra et luce debili: apparebit super ipsum co lor corporis illius, sicut narrauimus superius: deinde si moueatur illud corpus album, donec sit in lumine solis, latebit iam ille color, qui est in eo: et si reducatur ad umbram: apparebit color ille ful- gens, qui est in ipso: et apparebit color ille super ipsum in luce forti, et apud latitationem coloris, qui est super ipsum, si obumbretur corpore denso: et si maneat in suo loco, donec debilitetur lux, quae est super ipsum: apparebit color, qui est super ipsum: et si auferatur corpus obumbrans, donec uigores- cat lux super corpus album: latebit color, qui est super ipsum. Et similiter quando admouerimus cor- pus diaphanum coloratum colore scintillante, igni uehementer forti: et admouerimus umbrae il- lius corporis pannum album: apparebit color illius corporis diaphani super illum pannum, sicut nar- rauimus prius: deinde si admouerimus illi panno alium ignem; ita ut lux eius oriatur super illum pan num: latebit ille color, qui apparebat super pannum, et non apparebit nisi albedo panni tantum: et si auferamus illum ignem, secundus apparebit color super pannum. Et iterum quaedam animalia marina habent conchas et testas, et cum fuerint in loco obscuro, in quo non est lux, apparebunt illę conchae quasi ignis: et si aspiciens inspexerit illas in luce diei uel ignis, comprehendet eas, et non uidebit in eis lumen uel aliquem ignem. Et similiter, quando animal, quod dicitur noctiluca, uo- lat de nocte, apparet quasi lampas, et cum aspiciens inspexerit illud in luce diei uel in luce ignis, ap parebit animal sine igne. Significant ergo omnes istae dispositiones, quas declarauimus, quod lu- ces fortes uisibilium, aliquando occultant res, quae sunt in quibusdam uisibilibus: et quod luces de- biles aliquando manifestant quasdam res, quae sunt in quibusdam uisibilibus. Et iterum uisum mul toties latent quaedam res, quę sunt inuisibiles ex sculpturis et scripturis subtilibus, quando fuerint in locis obscuris uel in lucibus debilibus: et si extrahantur ad loca luminosa fortis luminis, uel po- nantur in luce solis: apparebunt res, quae sunt in eis, quae latebant in locis et lucibus debilibus. Et similiter sculpturarum subtilium comprehensiones nequit uisus comprehendere in locis obscuris et lucibus debilibus: et cum extrahuntur ad luces fortes, comprehenduntur a uisu. Significatur er- go per hanc disputationem, quod luces fortes manifestant multas res uisibiles, et quod luces debi- les occultant multas res uisibiles.

QVOD COLORES CORPORVM DIVERSIFICENTVR APVD VI- sum secundum diuersitatem lucium orientium super ipsos. Cap. 3.

3. Color uariatur pro lucis qualitate. 1 p 3.

ET iterum inuenimus, quod colores corporum densorum coloratorum coloribus scintillan- tibus, sicut Lazuleis, uinosis et coelestibus quando ipsa fuerint in locis obscuris et lucibus debili bus, apparent turbidi, et cum fuerint in luce forti, apparent colores eorum scintillantes et cla ri: et quanto magis augmentabitur lux super ipsa, tanto magis augmentabitur super ipsa scintil- lantis coloris claritas. Et si fuerit aliquod istorum corporum in loco obscuro: et non fuerit in eo nisi lux parua ualde: apparebit illud corpus obscurum, et non distinguet uisus colorem eius, et uidebi tur quasi niger: et cum extrahitur ad loca luminosa lumine forti: apparebit color eius, et distingue- tur a uisu. Et inuenimus iterum quod colores corporum ferrei coloris, quando lux oritur super ipsa fortis, clarescunt. Et inuenimus etiam quod, quando lux fortis oritur super corpora densa alba, au- gmentantur in albedine et scintillatione apud sensum. Et inuenimus iterum, quod, corpora diapha na colorata coloribus fortibus, sicut uina fortia fortis ruboris, quae sunt in uasis diaphanis, quando fuerint in locis obscuris et lucibus debilibus, apparent nigra et obscura, et quasi non diaphana, et cum fuerint in lucibus fortibus, et orta fuerit super ipsa lux solis, clarescunt colores eorum, et appa- ret in eis diaphanitas. Et similiter colores lapidum diaphanorum coloratorum, quando fuerint in locis obscuris, apparent turbidi et obscuri: et cum super ipsos oritur lux fortis, uel ponuntur in op- positione lucis, ita quod lux per ipsos pertranseat, apparent colores eorum clari, et apparet in eis diaphanitas propter penetrationem lucis. Et iterum quando corpora diaphana colorata ponuntur in oppositione lucis: et fuerit positum ex parte contraria parti lucis, corpus album, sicut diximus superius: et si lux fuerit fortis: apparebit forma illius coloris in umbra eius super corpus album op- positum ei: et si lux oriens super ipsum, fuerit debilis, apparebit super corpus album oppositum ei umbra tantum, et non apparebit color. Et iterum inuenimus quod pennae pauonis, et pannus, qui dicitur amilialmon, id est sericus uiridis mixtus cum fusco roseo, diuersificantur in colore apud ui- sum in diuersis temporibus diei, secundum diuersitatem lucis orientis super ipsa. Significant ergo istae dispositiones apparentes in coloribus, quod colores corporum coloratorum non comprehen- duntur a uisu, nisi secundum luces orientes super ipsa. Et cum luces fortes uisibilium occultent quasdam res, quae sunt in quibusdam uisibilibus aliquando, et aliquando manifestent nobis res quasdam, quae sunt in quibusdam uisibilibus: et luces debiles uisibilium aliquando manifestent quasdam res, quae sunt in quibusdam uisibilibus, et aliquando occultent quasdam res, quae sunt in quibusdam uisibilibus: et corporum coloratorum colores aliquando alterentur secundum diuersi- tatem lucis, quae oritur super ipsa: et luces fortes orientes super ipsum uisum, aliquando prohibeant ipsum uisum a comprehensione quorundam uisibilium: et uisus tamen in omnibus istis nihil com- prehendat ex uisibilibus, nisi sit illuminata forma. Ergo quod comprehendit uisus ex re uisa, non est nisi secundum lucem, quae est in illa re uisa, et secundum luces, quae oriuntur super ipsum uisum in comprehensione illius rei uisibilis, et super aerem medium inter uisum et rem uisam. Quare ue- ro luces fortes prohibeant uisum a comprehensione uisibilium quorundam, declarabitur a nobis in sermone nostro de qualitate uisionis.

DE COMPOSITIONE OCVLI, FORMA ET SI- tu. Caput quartum.

4. Ortus et principium oculi existit e cerebro: et constat e tribus humori- bus et quatuor tunicis. 4 p 3.

OCulus est compositus ex telis et corporibus diuersis: et principium et incrementum eius est ex anteriore parte cerebri: quoniam ex anteriore parte crescunt duo nerui optici consi- miles, et incipiunt oriri ex duobus locis a duabus partibus anterioris cerebri: et dicitur quod uterque illorum habet duas tunicas, et quod crescunt a duabus telis cerebri, et perueniunt ad me- dium exterioris partis cerebri et anterioris cerebri; deinde concurrunt et efficiunt unum neruum opticum: deinde iste neruus diuiditur, et efficiuntur iterum duo nerui optici ęquales et consimiles: deinde extenduntur isti duo nerui, donec perueniant ad duo conuexa duorum oculorum ossium concauorum continentium duos oculos: et in duobus medijs istorum duorum concauorum ossium sunt duo foramina aequaliter perforata: et situs eorum in neruo communi, est situs consimilis illi. Nerui ergo intrant ista duo foramina, et exeunt ad concaua duorum ossium, et illic dilatantur et am- pliantur, et efficitur extremitas utriusque eorum quasi instrumentum ponendi uinum in dolijs: et u- terque oculorum est compositus super istam extremitatem nerui, quae est praedictum instrumentum, et consolidatur cum ipso: et situs utriusque oculorum ex neruo communi est situs consimilis. Et to tus uterque oculus est compositus ex tunicis multis. Prima ergo illarum est pinguedo alba, quae im- plet concauum ossis: et est maxima pars oculi: et dicitur consolidatiua. Et intra istam pinguedinem est sphaera rotunda, concaua, nigra ut plurimum, et uiridis, et glauca in quibusdam oculis: et corpus istius sphaerae est tenue, et insuper densum et non rarum: et manifestum eius est applicatum cum conso- lidatiua: et interius eius est concauum: et in parte concauitatis est quasi quaedam attritio: et quasi con solidatiua continet istam sphaeram, praeterquam suum anterius: quoniam consolidatiua non coope rit anterius istius sphaerae, sed circulatur super anterius eius: et ista tunica dicitur uuea, quia assimi- latur uuae. Et in medio anterioris uueae est foramem rotundum perforatum usque ad eius concauum: et est oppositum extremitati concauitatis nerui, super quem componitur oculus. Et cooperit istud fora- men, et omne anterius uueae, in cuius circuitu circulatur consolidatiua, extrinsecus tunica fortis, al ba, diaphana: et dicitur cornea, quia assimilatur cornu albo et claro. Et intra concauum uueae est sphae ra alba, parua, humida, receptibihis humiditatis formarum uisibilium: et in ea est diaphanitas non in- tensa ualde, sed aliqua spissitudo: et diaphanitas eius assimilatur diaphanitati glaciei: et ideo dici- tur glacialis: et est composita super extremitatem concauitatis nerui: et in anteriori istius sphaerae est con- pressio superficialis parua, et assimilatur compressioni superficiei lenticulae: superficies ergo ante- rioris eius est portio superficiei sphaerae, maioris superficie sphęrica, continente duo eius foramina: et ista compressio est opposita foramini, quod est in anteriori uueae: et situs eius consimilis est cum eo. Et iste humor diuiditur in partes duas diuersae diaphanitatis, et altera illarum sequitur anterius eius, et altera sequitur eius posterius: et diaphanitas partis posterioris eius assimilatur diaphanita ti uitri quasi frustati: et ista pars dicitur humor uitreus. Et continet duas has partes congregatas tela ualde tenuis, et dicitur aranea, quoniam assimilatur texturae araneae. Et in posteriore parte conca- uitatis sphaerae uueae dicitur, quod est foramen rotundum, et est super extremitatem concauitatis nerui: et sphaera glacialis est composita in isto foramine: et rotunditas istius foraminis (et est extre- mitas nerui) continet medium sphaerae glacialis: et consolidatur uuea cum glaciali in circulo conti- nente istud foramen. Et dicitur quod ortus uueae est ex tunica interiore duarum tunicarum duorum neruorum opticorum: et quod ortus corneae est ex tunica exteriore duarum tunicarum istius nerui. Et implet concauitatem uueae humor albus, tenuis, clarus, diaphanus: et dicitur albugineus, quoniam assimilatur albumini oui in tenuitate, et albedine, et diaphanitate eius: et ipse implet concauitatem uueae, et contingit anterius glacialis, et implet foramen, quod est in anteriori uueae, et contingit con- cauum corneae. Et sphaera glacialis est composita super concauitatem nerui: et sequitur concauitatem nerui humor uitreus. Erunt ergo cornea, et humor albugineus, et glacialis, et uitreus se consequen- tes. Et omnes istae tunicae sunt diaphanae: Et foramen, quod est in anteriori uueae, est oppositum fo- ramini concauitatis nerui. Et dicitur, quod spiritus uisibilis emittitur ex anteriori parte cerebri, et implet duas concauitates duorum neruorum primorum coniunctorum cum cerebro, et peruenit ad neruum communem, et implet concauitatem eius, et uenit ad duos neruos secundos opticos, et im- plet ipsos, et peruenit ad glacialem, et dat ei uirtutem uisibilem.

5. In totius oculi seu motu seu quiete, situs partium stabilis permanet. 25 p 3.

ET inter circumferentiam glacialis coniunctam cum uuea, et foramen, quod est in concauo os- sis, ex quo exit neruus, est spatium aliquantulum: et neruus extenditur in isto spatio ex fine fo- raminis usque ad circumferentiam glacialis secundum pyramidalitatem et amplificationem: et quan- to magis elongatur a foramine ossis, tanto magis amplificatur, quousque perueniat ad circumferen- tiam sphaerae glacialis, et consolidetur cum circumferentia eius. Et corpus consolidatiuae continet i- stam partem pyramidalem nerui, et continet sphaeram uueam: et sphaera uueae antecedit medium con- solidatiuae ad partem manifestam oculi. Et corpus consolidatiuae est consolidatum cum sphaera u- uea, et cum extremitate pyramidali, et custodit situm eius. Cum ergo mouetur oculus, mouebitur secundum se totum, et sic declinabit neruus, super quem componitur oculus, apud motum eius, et erit declinatio apud foramen, quod est in concauitate ossis: quoniam concauitas ossis continet to- tum oculum, et oculus mouetur secundum se totum in ista concauitate: et consolidatiua consolidatur cum eo quod est in anteriori oculi ex neruo, et ex tunicis residuis, et custodit semper situm eius. De- clinatio ergo nerui apud motum oculi, non est, nisi a posteriori totius oculi: est ergo apud foramen, quod est in concauitate totius ossis. Similiter quando oculus quieuerit, et neruus declinauerit, non erit declinatio nisi apud foramen, quod est in concauitate ossis. Nam non mutatur situs partium totius oculi inter se, neque apud motum neque apud quietem. Declinatio ergo nerui, super quem componi tur oculus, non est, nisi apud foramen, quod est in concauitate ossis, siue moueatur oculus, siue quiescat.

6. Oculus totus et sphaera uuea centris differunt: et oculi centrum est altius. 8 p 3.

SVperficies autem manifesta corneae est superficies sphaerica, et est continuata cum superficie totius oculi et cum toto oculo: et totus oculus est maior sphaera uuea, quae est quiddam eius: Superficies autem manifesta corneae est cum superficie totius oculi, et est maior superficie sphę- rae uueae: semidiameter ergo eius est maior semidiametro uueae. Et quia superficies intrinseca cor- neae superposita foramini uueae est superficies sphaerica concaua, aequidistans superficiei manifestae ipsius corneae, quoniam tota cornea est aequalis spissitudinis, propterea quod centrum superficiei concauae corneae est idem cum centro manifestae superficiei suae conuexae: sed superficies concaua cor neae secat superficiem sphęrae uueę super circumferentiam foraminis, quod est in anteriori parte u- ueae: centrum ergo eius est remotius in profundo, quam centrum uueae, quoniam hoc est in proprie- tatibus centrorum sphęrarum se intersecantium. Et etiam quia sphęra uuea non est in medio consolidati- uę, sed antecedit ad partem superficiei manifestae oculi, et superficies manifesta oculi est ex sphęra ma iore sphaera uueae, erit centrum superficiei manifestae oculi remotius in profundo centro uueae.

7. Recta connectens centra sphaerarum corneae et uueae, continuata transit per centrum foraminis uueae, et medium caui nerui optici. 9 p 3.

ET recta linea, quae continuat duo centra, scilicet ctrumcentrum superficiei corneae, et centrum uueę, quando extrahitur recte, peruenit ad centrum foraminis quod est in anteriori uueę, et ad duo media duarum superficierum corneae aequidistantium: superficies enim concaua corneę et con uexa uueae sunt superficies sphaericę secantes se: et linea quae continuat centra earum, transit per cen trum circuli sectionis, et est perpendicularis super superficiem eius: quia linea, quę exit a cen- tro circuli sectionis, et est perpendicularis super superficiem eius, transit per centra duarum sphaerarum.

8. Centrum sphaerae uueae est inferius centris reliquarum oculi partium. 8 p 3.

ET quia superficies concaua corneae contingit superficiem humoris albuginei, qui est in ante- riori foramine uueę, et superponitur ipsi. Superficies ergo humoris albuginei conuexa etiam est superficies sphaerica, cuius centrum est centrum superficiei ipsi superpositae. Superficies er- go manifesta corneae, et superficies intrinseca ipsius, et superficies humoris albuginei conuexa, quae contingit concauum corneae, sunt superficies sphaericę aequidistantes. Centrum igitur earum est u- num punctum commune, et est remotius in profundo centro uueae: et linea, quae transit per centrum uueae, et per centrum corneae, et per centrum foraminis, quod est in anteriori uueae, quando extendi- tur recte, transibit per medium concauitatis nerui, super quem componitur oculus: quoniam foramen quod est in anteriori uueae, est oppositum foramini, quod est in posteriore parte uueae, quod est extre mitas concauitatis nerui [per 4 n.]

9. Recta connectens centra sphaerarum crystallinae et uueae, continuata cadit in centrum circuli conglutinantis crystallinam et uitream sphaeras cum uuea: et est ad ipsum perpendicularis. 10 p 3.

ET superficies anterioris glacialis etiam est sphęrica superficies, et ipsa secat sphęram uueę: centrum ergo eius est remotius in profundo centro uueae. Et linea recta, quę continuat centra earum, transit per centrum circuli sectionis, et est perpendicularis super ipsum. Et circulus sectionis inter su- perficiem anterioris glacialis, et superficiem sphęrę uueae, est aut circulus distinguens finem consolidatio- nis inter glacialem et uueam, aut aequidistans ei: quoniam superficies quę est in anteriori glacialis, est op- posita foramini, quod est in anteriori uueę, et situs eius est consimilis cum eo. Finis ergo istius superficiei (et est circulus sectionis inter duas superficies glacialis et uueę) aut est ipse circulus consolidatio- nis, aut ęquidistans ei. Si ergo circulus sectionis inter duas superficies glacialis, fuerit circulus consoli dationis, iste circulus est circulus sectionis inter superficiem anterioris glacialis, et inter superficiem uueę. Et si circulus sectionis inter duas superficies glacialis fuerit ęquidistans circulo consolidationis sphęrę glacialis cum uuea: (quod quidem accidit, si fuerit consolidatio in posteriori parte glacialis) tunc superficies anterioris partis glacialis, quando fuerit mente extensa super illud, super quod est ex sua sphęra, secabit sphęram uueae super circulum aequidistantem isti circulo, scilicet circulo sectionis inter duas superficies glacialis propter similitudinem situs istius circuli ad circumferentiam sphaerae uueę. Et quia iste circulus est aequidistans circulo consolidationis, erit ergo circulus sectionis inter super- ficiem anterioris glacialis, et inter sphaeram uueam, aut ipse circulus consolidationis, aut ęquidistans ei. Si ergo iste circulus fuerit ipse circulus consolidationis, linea recta, quae transit per centrum anterioris gla- cialis, et per centrum uueę, transibit per centrum ipsius circuli: et erit perpendicularis super ipsum: quo niam iste circulus erit circulus sectionis inter duas illas sphęricas superficies. Sed si iste circulus fue- rit ęquidistans circulo consolidationis, et est ęquidistans circulo sectionis inter duas superficies gla- cialis:l. 9 of the Ar. text is missing in the Lat. version est ergo cum circulo sectionis inter duas superficies glacialis: in superficie una sphęrica: quae est superficies anterioris glacialis, et est ęquidistans circulo sectionis. ll. 11(middle)–19 of the Ar. text are missing in the Lat. versionLinea ergo quę transit per centrum uueę, et per centrum superficiei anterioris glacialis, transit per centrum circuli consolidationis secundum omnes dispositiones, et est perpendicularis super ipsum, siue sit circulus consolidationis ipse circulus sectionis inter superficiem anterioris glacialis et inter sphaeram uueę, siue sit ęquidistans isti circulo.

10. Centrum sphaerae crystallinae altius est centro sphaerae uitreae. 11 p 3.

ET iterum superficies anterioris glacialis, et superficies residui glacialis, sunt duę superficies sphę ricae secantes se: centrum ergo superficiei anterioris, est remotius in profundo centro super- ficiei posterioris.

11. Recta connectens centra sphaerarum et uueae, continuata cadit in centrum ui- treae, et medium caui nerui optici. 12 p 3.

ET linea recta, quae continuat ista duo centra, transit per centrum circuli sectionis, et est perpendi- cularis super ipsum: et iam declaratum est [9 n] quod transit per centrum circuli consolidationis, et est perpendicularis super ipsum: hic uero circulus aut est circulus sectionis, aut ęquidistans ei. Linea ergo quę transit per centrum uueae, et per centrum anterioris glacialis, et per centrum circuli consolidationis, et est perpendicularis super istum circulum, transit per centrum residui glacialis. Et cum linea ista transeat per centrum residui glacialis, et per centrum circuli consolidationis, et sit erecta su- per circulum consolidationis secundum angulos rectos: extenditur ergo in medio concauitatis ner ui, super quem componitur oculus: quoniam circulus consolidationis est extremitas concauitatis nerui. Et iam declaratum est [7 n] quod linea transiens per centrum uueae, et per centrum corneę, et per cen- trum foraminis, quod est in exteriori siue anteriori uueę, extenditur in medio concauitatis nerui. Ista ergo linea, quę transit per duo centra superficiei glacialis, et per centrum uueę, est ipsa linea, quę tran sit per centrum corneę, et per centrum foraminis, quod est in anteriori uueę. Ista ergo linea transit per centrum corneę, et per centrum uueę, et per duo centra superficiei glacialis, et per centrum foraminis, quod est in anteriore uueae, et per centrum circuli consolidationis, et transit per duo media tunicarum omnium oppositarum foramini uueę: Et est perpendicularis super superficies omnium tunicarum oppositarum foramini uueę, et est perpendicularis super superficiem foraminis uueę, et est perpendicularis super superfi ciem circuli consolidationis, et extenditur in medio concauitatis nerui, super quem componitur oculus.

12. Centra sphaerarum totius oculi, crystallinae, utriusque superficiei corneae, et con- uexae humoris albuginei, est unum punctum. 7 p 3.

ET cum declaratum sit, [6. 8 n] quod centrum corneę, et centrum superficiei anterioris glacialis, am- bo sint super istam lineam, et ambo sint remotiora in profundo centro uueae, melius est, ut cen- trum superficiei anterioris glacialis sit ipsum centrum corneae, ita ut centra omnium superficierum oppositarum foramini uueae, sint unum punctum commune: et sic erunt omnes lineae exeuntes a centro ad superficiem oculi perpendiculares super omnes superficies oppositas foramini: et hinc posterius decla rabitur, apud nostrum sermonem de qualitate uisionis, quod centrum superficiei corneae et centrum superficiei anterioris glacialis, est unum centrum commune. Superficies ergo tunicarum uisus, opposita- rum foramini uueae, sunt superficies sphaericae, quarum centrum est unum punctum commune.

13. In totius oculi seu motu seu quiete situs partium stabilis permanet. 25 p 3. Idem 9 n.

ET iterum quia istud centrum est centrum superficiei manifestae oculi, continuatę cum superficie con tinente totum oculum, et totus oculus est rotundus, nisi quantum deficit de completione sphęrę pinguedinis consolidatiuae a parte anteriore ipsius oculi, et iste defectus non operatur diuersita tem in motu oculi, quoniam non tangit concauum ossis. Istud ergo centrum erit centrum totius oculi: ergo est intra totum oculum. Centrum ergo superficierum tunicarum uisus, oppositarum foramini uueae, est intra totum oculum. Cum ergo mouetur oculus, non mutabitur punctum oculi, quod est centrum superficierum tunicarum uisus, nec mutabitur situs eius ab istis superficiebus sed custodit situm suum. Nam oculus quando mouetur, non mouetur nisi secundum se totum, et situs partium totius inter se non mu- tatur apud motum: et istud centrum est intra. Situs ergo eius non mutatur apud suum motum. Et simili- ter tunicarum situs non mutatur apud totum oculum, id est apud motum ipsius uisus. Situs ergo istius centri apud superficiem tunicarum uisus non mutatur neque in motu, neque in quiete. Et iam declara- tum est [5 n] quod declinatio nerui apud motum uisus, et apud quietem non est, nisi apud foramen oculi, quod est in concauitate ossis: quoniam non est nisi a posteriori totius oculi. Declinatio ue- ro nerui apud motum uisus et quietem, non est nisi a posteriori centri eius, et non mutatur situs partium totius oculi inter se neque in motu, neque in quiete. Situs ergo centrorum tunicarum o- culi apud totum oculum non mutatur, neque in motu uisus, neque in quiete. Linea ergo transiens per centrum non mutat suum locum uel situm apud totum oculum, neque apud partes eius, scilicet neque in motu, neque in quiete. Et cum situs istius lineae non mutetur apud totum oculum, neque

apud partes eius: Situs ergo istius lineae non mutatur apud superficiem circuli consolida- tionis, neque apud suam circumferentiam: Et iste circulus est extremitas concauitatis ner- ui. Situs ergo superficiei eius a superficie con- cauitatis nerui, est situs consimilis. Et decli- natio partis pyramidalis nerui super superfi- ciem istius circuli, est declinatio consimilis: quo niam, situs glacialis ab isto neruo est situs con- similis, et situs partium oculi non mutatur in- ter se. Superficies ergo concauitatis nerui a loco circumferentiae circuli consolidationis usque ad locum declinationis nerui, qui est pars pyra- midalis, non mutat situm suum apud totum oculum, neque apud circulum consolidationis. Et iam decla ratum est [5 n] quod situs lineae, quę transit per cen tra omnia, non mutatur apud circulum consolidationis, et quod ipsa extenditur in medio concauitatis nerui. Et cum situs istius lineae non mutetur apud circulum consolidationis, neque superficies conca- uitatis nerui, quę est a loco circumferentię circu li consolidationis usque ad locum declinationis, mu- tet suum situm apud circulum consolidationis: ista er- go linea non mutat suum situm apud concauitatem ner ni, quousque perueniat ad locum declinationis. Li nea ergo quae transit per centra tunicarum, transit per centrum consolidationis: et est erecta super ipsum secundum angulos rectos, et extenditur in medio concauitatis nerui pyramidalis, quousque perueniat ad locum declinationis nerui: et erit si- tus suus semper a superficie concauitatis nerui, quę est intra totum oculum, et ab omnibus partibus o- culi, et ab omnibus superficiebus tunicarum uisus, idem situs, et non mutatur neque in motu uisus, neque in motu eius. Isti ergo sunt situs tunicarum uisus, et situs centrorum earum, et situs lineae rectae transeuntis per centra eorum. Oculi autem ambo sunt consimiles in omnibus suis dispositionibus, et in suis tuni- cis, et figuris suarum tunicarum, et in situ cuiuslibet tunicae, respectu totius oculi. Et cum ita sit, si- tus ergo cuiuslibet centrorum, quorum distinctio declarata fuit, apud totum oculum, et apud par- tes eius, est sicut situs centri respondentis illi centro in alio oculo apud totum oculum illum, et a- pud partes eius. Et cum situs centrorum in utroque oculo sit similis situs, erit situs lineae transeun- tis per centrum in uno oculo apud totum oculum, et apud partes eius, et apud suas tunicas, similis situi lineae transeuntis per centrum alterius oculi apud totum oculum, et apud partes eius, et apud suas tunicas. Situs ergo duarum linearum transeuntium per centra tunicarum uisus ab utroque oculo, est situs consimilis in omnibus suis dispositionibus. Et utraque consolidatiuarum consolidatur cum eis: cum ex eis exeant duo lacerti paruuli, quorum unus est in parte lachrymarum oculi, et alius in par te posteriore. Et continent utrunque oculum palpebrę et cilia. Hoc ergo quod declarauimus, est dis- positio compositionis oculi, et forma eius, et forma suarum tunicarum. Et omne, quod diximus de tunicis oculi, et compositione earum, iam declaratum est ab anatomicis in libris anatomiae.

DE QVALITATE VISIONIS, ET AB ILLA DE- pendentibus. Cap. 5.

14. Visio fit radijs a uisibili extrinsecus ad uisum manantibus. 6 p 3.

IAm declaratum est superius [1 n] quod ex corpore quolibet illuminato cum quolibet lumine exit lux ad quamlibet partem oppositam ei. Cum ergo uisus opponitur alicui rei uisae, et fuerit res illa illuminata cum quolibet lumine, ex lumine rei uisae ueniet lumen ad superficiem uisus. Et de- claratum fuit quod ex proprietate lucis est operari in uisum, et quod natura uisus est pati ex luce. Di gnum est ergo, ut non sentiat uisus lumen rei uisae, nisi ex lumine ueniente ex ea ad uisum. Et decla ratum fuit iam, quod forma coloris cuiuslibet corporis colorati et illuminati cum quolibet lumine, asso- ciatur semper lumini uenienti ab illo corpore ad quamlibet partem oppositam illi corpori, et erit lu- men et forma coloris semper simul. Ergo cum lumine ueniente ad uisum ex lumine corporis uisi, e- rit semper forma coloris corporis uisi. Et cum lumen et color ueniant simul ad superficiem uisus, uisus sentit colorem, qui est in re uisa ex lumine ueniente ad se ex re uisa. Dignius ergo est, ut non sit sensus uisus coloris rei uisae, nisi ex forma coloris uenientis ad ipsum uisum cum lumine, et forma coloris semper est admixta cum forma lucis, et non est distincta ab ea. Visus ergo non sentit lumen, nisi admixtum cum colore. Dignius ergo est, ut non sit sensus uisus coloris rei uisae et luminis, quod est in ea, nisi ex for- ma admixta cum lumine et colore ueniente ad ipsum ex superficie rei uisae. Et iterum tunicae uisus quę situantur ad medium anterioris uisus, sunt diaphanae contingentes se, [per 4 n] et prima illarum, scilicet cornea tangit aerem, in quo primo uenit forma. Et ex proprietate lucis est pertransire in quodlibet cor pus diaphanum: et similiter est proprietas formae coloris, quae associatur lumini, pertransire in corpus diaphanum, et ideo extenditur in aere diaphano, sicut extenditur lumen. Et ex natura corporum diaphano rum est, recipere formas lucis et coloris, et reddere ipsas partibus sibi oppositis. Forma ergo ueniens ex re uisa ad superficiem uisus, transibit per diaphanitatem tunicarum uisus, per foramen quod est in anteri ore uueae, perueniet ergo ad humorem glacialem, et pertransibit in eo, secundum diaphanitatem suam. Digni- us ergo est, ut tunicę uisus non sint diaphanae, nisi ut pertranseant in eis formae lucis et colorum, uenien tium ad ipsum. Aggregemus ergo modo quod componitur ex omnibus istis, et dicamus, quod uisus sen- tit lumen et colores, qui sunt in superficie rei uisae, et quod pertranseunt per diaphanitatem tunicarum uisus. Et hoc est illud in quo quiescebat physicorum opinio de qualitate uisionis. Dicemus ergo mo- do, quod qualitas uisionis non asseritur huiusmodi esse tantum, quoniam iste modus destruitur, nisi ad- datur ei aliud. Quoniam enim forma lucis et coloris cuiuslibet colorati et illuminati extenditur in ae- re diaphano, continuato cum eo ad omnes partes oppositas, uisus autem opponitur eodem tempore multis rebus uisis diuersi coloris, et inter quamlibet earum et uisum sunt in aere lineae rectae continuato medio inter eas: et cum formae lucis et coloris, quae sunt in re uisa opposita uisui ueniant ad superficiem uisus: for- mę ergo lucis et coloris cuiuslibet rerum uisibilium, oppositarum uisui, in eodem tempore uenient ad superfi ciem uisus. Et cum formę extendantur ex re uisa ad quamlibet partem oppositam, et non perueniant ad uisum, nisi propter oppositionem: forma, quę peruenit ex re uisa ad uisum, peruenit ad totam superficiem uisus. Et cum ita sit, quando uisus opponitur alicui superficiei rei uisę, et peruenit forma coloris eius et lucis ad su perficiem uisus, et uiderit in illo tempore aspiciens alia uisibilia diuersi coloris opposita uisui: tunc forma lucis et coloris cuiuslibet illorum uisibilium ueniet ad superficiem uisus, et forma omnium illorum uisibilium perueniet ad totam superficiem uisus. Peruenient ergo ad totam superficiem uisus multa lumina diuersa, et multi colores diuersi, et quilibet illorum implet superficiem uisus: perueniet ergo in superficiem uisus forma admixta ex coloribus diuersis, et luminibus diuersis. Si ergo senserit uisus illam formam admixtam, sentiet colorem diuersum a colore cuiuslibet illarum rerum, et non distinguentur ab eo uisibilia. Et si sense rit unam illarum rerum uisibilium, et non senserit residuas: comprehendet unam rem uisibilem, et non alias: sed ipse com- prehendit omnia illa uisibilia in eodem tempore, et comprehendit ipsa distincta. Et si non senserit unam illarum formarum, nihil sentiet ex ipsis, uel ex alijs uisibilibus oppositis illi: sed ipse sentit omnia. Et iterum pos sunt esse in eodem uiso diuersi colores, et a qualibet parte eius exit lumem et color secundum omnes lineas rectas, quae extenduntur in aere continuo. Cum ergo fuerint partes unius rei uisę diuersi coloris: ueniet ad totam superficiem uisus ex unoquoqueunaquaque illarum forma coloris et lucis, et sic permiscebuntur colores illarum partium in superficie uisus. Quare comprehendet uisus ipsos admixtos, aut nihil comprehendet ex eis. Si uero comprehendet eos permixtos, non distinguuntur, nec ordinabuntur ab eo partes siue colores parti- um. Et si nihil comprehendit ex istis formis, nihil comprehendet ex istis partibus: et si nihil comprehendit ex partibus, nihil comprehendet ex re uisa: sed uisus comprehendit rem uisam sibi oppositam illuminatam, et comprehendit partes eius diuersi coloris ordinatas, et distinctas. Et cum ita sit, constat quod aut qualitas uisionis erit alio modo, aut erit iste modus pars propositi modi uidendi.

15. Visis e singulis suae superficiei punctis singula uisibilis puncta uidet. 17. 18 p 3.

DEbemus ergo considerare utrum iste modus possit conuenire conditionibus, per quas distinguan- tur colores rerum uisibilium, et ordinantur partes earum apud uisum, et conueniunt ad eorum esse in corpore. Dicimus ergo quod, quando uisus fuerit oppositus alicui rei uisibili, ueniet ex quo- libet puncto superficiei rei uisae forma et coloris et lucis, quae sunt in ea, ad totam superficiem uisus, et ex quolibet puncto cuiuslibet rerum uisibilium oppositarum uisui in illa dispositione, etiam uenient formę coloris et lucis, quę sunt in illis, ad totam superficiem uisus. Si ergo uisus senserit ex tota eius su- perficie formas coloris et lucis, quae ueniunt ex aliquo puncto superficiei rei uisae, sentiet ex tota e- ius superficie, formam cuiuslibet puncti superficiei rei uisae, et formam cuiuslibet puncti superficierum omnium uisibilium rerum oppositarum illi in illa dispositione: et sic non ordinabuntur ab eo partes uni- us rei uisae, neque distinguentur ab eo. Et si senserit formam uenientem ex uno puncto superficiei rei ui- sae ad totam superficiem uisus, ex uno puncto tantum superficie ipsius uisus, et non senserit formam illius puncti tota eius superficie: ordinabuntur ab eo partes rei uisae, et distinguentur omnia uisibilia op- posita. Quoniam quando comprehenderit colorem puncti unius ex uno puncto tantum superficiei e- ius, comprehendet colorem unius partis rei uisae ex una parte superficiei suae, et comprehendet colorem alterius partis ex alia parte superficiei suae, et comprehendet unamquamque partem uisibilium ex loco su- perficiei suae diuerso et opposito ei, per quem comprehendit aliam rem uisibilem. Quare uisibilia erunt ab eo ordinata et distincta, et similiter partes cuiuslibet illorum.

16. Humor crystallinus est praecipuum organum facultatis optice. 4. 18 p 3.

MOdo ergo consideremus utrum hoc sit conueniens, et possibile adesse. Et dicamus prius, quod uisio no est nisi per glacialem, siue fiat uisio per formas uenientes ex re uisa ad uisum, siue se- cundum alium modum. Visio autem non est per unam aliarum tunicarum antecedentium se, quo- niam illae tunicae non sunt nisi instrumentum glacialis. Quoniam si contigerit humori glaciali laesio cum salute aliarum tunicarum, destruitur uisio, et si acciderit residuis tunicis corruptio, remanente ipsa- rum diaphanitate cum salute glacialis, non corrumpetur uisus: Et etiam si in foramine uueae fuerit oppilatio, et destruatur diaphanitas humoris eius, destruetur uisus cum salute corneae, et si aufera- tur oppilatio, reuertetur uisus. Et similiter si peruenerit intra humorem albugineum pars crassa, non diaphana, et fuerit in facie humoris glacialis, et media inter ipsum et foramen uueae, destruetur ui- sio, et quando auferetur illud crassum, uel declinabitur auersione lineae rectae, quae est inter glacia- lem et foramen uueae ad aliquam partem, reuertetur uisus. Et omnibus istis attestatur medicina. Destru- ctio ergo sensus uisus est apud corruptionem glacialis cum salute tunicarum antecedentium illum. Et illud est argumentum, quod sensus uisus non est, nisi per istum humorem, non per tunicas residuas antecedentes illum. Et destructio sensus apud destructionem diaphanitatis, quae est inter glacialem et superficiem ui sus per corpus densum non translucens, significat quod diaphanitas istarum tunicarum non est, ni- si ut continuetur diaphanitas tunicarum uisus cum diaphanitate aeris, et efficiantur corpora, quae sunt inter glacialem et rem uisam, diaphana continuitate diaphanitatis. Et destructio sensus apud destructionem linearum, quae sunt inter glacialem et superficiem uisus: significat, quod sensus gla- cialis non erit, nisi ex lineis rectis, quae sunt inter ipsum et superficiem uisus. Dicemus ergo si sen- sus uisus est ex colore rei uisae et lucis, quę sunt in eo, et ex forma ueniente ex rebus uisis ad super- ficiem uisus, et sensus non est nisi per glacialem. Ergo non per superficiem uisus sentiet uisus istam formam, sed postquam transierit superficiem uisus, et peruenerit ad glacialem. Et forma quae uenit ex re uisa ad superficiem uisus, pertransit in diaphanitate tunicarum uisus: quoniam ex proprietate diaphanitatis est, ut transeant in ea formae lucis et coloris, et extendantur recte. Et iam declaraui- mus hoc in aere [14 n.] Et cum fuerint experimentata omnia corpora diaphana, inuenietur quod lux extenditur in eis secundum lineas rectas: et nos declarabimus post apud nostrum sermonem de obliquatione, quomodo hoc experiendum sit. Si ergo sensus uisus lucis et coloris, quae sunt in re uisa, est ex forma ueniente ad uisum ex re uisa: apud peruentionem ipsius formae ad glacialem e- rit sensus. Et iam declaratum est antea [15 n] quod non est possibile, ut uisus comprehendat rem uisam secundum suum esse, nisi quando comprehenderit formam unius puncti rei uisae ex uno puncto tantum suae superficiei. Non est ergo possibile, ut glacialis comprehendat rem uisum secun dum suum esse, nisi quando comprehenderit colorem unius puncti rei uisae ex forma ueniente ad ipsum ex uno puncto tantum superficiei uisus: forma autem uenit ex quolibet puncto superficiei rei uisae, et pertransit totam uisus superficiem usque ad interius. Si uero ex eo, quod uenit ex u- no puncto rei uisae ad totam superficiem uisus, et pertransit tunicas uisus, et peruenit ad glacia- lem, non comprehendit glacialis nisi quod uenit ad ipsum ex uno puncto tantum superficiei ui- sus, et sentit colorem illius puncti tantum ex superficie uisus, et peruenit ad unum punctum tantum superficiei eius, et non comprehendit illud punctum rei uise ex residua forma perue- niente ad superficiem eius ex residua superficie uisus: complebitur uisio, et ordinabuntur partes rei uisae, et distinguentur res in se apud uisum, et non complebitur uisio, nisi secundum istum mo- dum. Et hoc non potest esse ita, nisi quando fuerit unum punctorum, quę sunt in superficie uisus, per quam transit forma unius puncti superficiei rei uisae, distinctum a punctis residuis, quae sunt in su- perficie uisus, et fuerit linea, super quam uenit forma ad illud punctum superficiei uisus, distincta a residuis lineis, super quas uenit forma. Et propter hoc potest glacialis comprehendere formam ueni- entem super illam lineam, et ex puncto superficiei uisus, quod est super illam lineam, et non potest com- prehendere ipsam per aliam.

17. Lux perpendicularis penetrat per quaelibet diuerfa media: obliqua refringitur. 42. 43. 44. 45. 47 p 2.

ET cum inducuntur luces, et experimentatur qualitas transitus earum, et extensionis earum in corporibus diaphanis, inuenitur quod lux extenditur per corpus diaphanum secundum li- neas rectas, dum corpus diaphanum fuerit consimilis diaphanitatis: et cum occurrerit corpus ali- ud diuersae diaphanitatis a diaphanitate corporis praecedentis, in quo extendebatur, non pertran- sibit secundum rectitudinem linearum, super quas extendebatur ante, nisi quando illae lineae fuerint perpendiculares super superficiem secundi corporis diaphani: et si illae lineae fuerint obliquatae super superficiem secundi corporis, et non perpendiculares, obliquabitur lux apud superficiem sucundi corpo- ris, et non extendetur recte: et cum obliquatur, extendetur in secundo corpore secundum illas lineas rectas, super quas obliquabatur: et erunt lineae super quas obliquabatur lux in secundo corpore, etiam declinantes super superficiem secundi corporis, et non perpendiculares. Et si fuerint quaeda lineae su- per quas uenit lux in primo corpore, perpendiculares super superficiem secundi corporis, et quaedam declinantes: extendetur lux, quae erat super lineas perpendiculares in secundo corpore secundum rectitudinem, et quę erat super lineas declinantes, obliquabitur apud superficiem secundi corporis se- cundum lineas declinantes, et extendetur in eo secundum rectitudinem illarum linearum declinantium, super quas obliquabatur. Et hoc nos declarabimus in sermone de refractione, et ostendemus uiam, per quam poterit quis experiri istam dispositionem: et apparebit sensui, et cadet super ipsam certitudo.

18. Visio distincta fit rectis lineis a uisibili ad superficiem uisus perpendicularibus. Itaque sin- gula uisibilis puncta eundem obtinent situm in superficie uisus, quem in uisibili. 17 p 3.

ET cum ita sit, ex forma ergo lucis et coloris, quae ueniunt ex quolibet puncto rei uisae ad su- perficiem uisus, quando peruenerit ad superficiem uisus, nihil pertransibit per diaphanitatem tunicarum uisus secundum rectitudinem, nisi illud, quod erit super lineam rectam eleuatam super superfi- ciem uisus secundum angulos rectos, et illud, quod fuerit super aliam, refringetur, et non pertransibit re- cte: quoniam diaphanitas tunicarum uisus non est, sicut diaphanitas aeris contingentis superficiem uisus. Et illud, quod refringitur ex istis formis, refringetur etiam super lineas declinantes, non su- per lineas perpendiculares extensas ex loco refractionis: et una linea recta tantum exit ad punctum superficiei uisus ab uno puncto superficiei rei uisae, ita ut sit perpendicularis ad superficiem uisus: [per 13 p 11] et exeunt ad eam lineae infinitae declinantes super superficiem uisus. Et forma ueniens secun dum rectitudinem perpendicularis, pertransit tunicas uisus secundum rectitudinem perpendicularis: et omnes formae uenientes secundum lineas declinantes ad illud punctum, refringuntur apud illud punctum, et transeunt in tunicis uisus secundum lineas declinantes: et nihil ex eis transit secundum extensionem linearum, super quas uenerunt, neque etiam secundum rectitudinem linearum perpendicula- riter erectarum super illud punctum. Et ad quodlibet punctum superficiei uisus ueniunt in eodem tem- pore formae omnium punctorum, quae sunt in superficiebus omnium uisibilium et illuminatorum opposito- rum illi in illo tempore: quoniam inter ipsum et quodlibet punctum oppositum illi est linea recta: et a quolibet punctorum, quae sunt in superficiebus uisibilium illuminatorum, extenduntur formae su- per quamlibet lineam rectam, quae potest extendi ex illo puncto, et forma unius puncti tantum de numero omnium punctorum oppositorum uisui, quae uenit ad illu punctum superficiei uisus in il- lo tempore, uenit super perpendicularem eleuatam super illud punctum superficiei uisus: et formae omnium punctorum residuorum ueniunt ad illud punctum superficiei uisus super lineas declinantes: et in quolibet puncto superficiei uisus transeunt in eodem tempore formae omnium punctorum, quae sunt in superficiebus omnium uisibilium oppositorum in illo tempore: et forma unius puncti tantum transit recte per diaphanitatem tunicarum uisus: et est punctum, quod est apud extremitatem perpendicularis exeuntis ab illo puncto superficiei uisus: et formae omnium punctorum reliquorum refringuntur apud illud pun ctum superficiei uisus, et transeunt per diaphanitatem tunicarum uisus secundum lineas declinantes ad superfi ciem uisus. Et ex quolibet puncto superficiei glacialis exit una linea tantum perpendicularis super superfi- ciem uisus: et ab eodem exeunt lineę infinitae ad superficiem uisus, et sunt declinantes super ipsam. A pun cto ergo superficiei glacialis, ex quo exit perpendicularis super superficiem uisus, et pertransit foramen uueae, exeunt lineae infinitae, quae transeunt in foramen uueae, et perueniunt ad superficiem uisus, pręter illam perpendicularem: et extremitates omnium linearum exeuntium a puncto aliquo superficiei glacialis, et transeuntium per foramen uueae, et peruenientium ad superficiem uisus, et declinantium super illam, quando fuerint intellectae refringi secundum modum, quem affirmat diuersitas diaphanitatis, quae est inter diapha nitatem corporis corneae et corporis aeris, perueniunt ad diuersa loca, et ad puncta diuersa de nu- mero punctorum, quae sunt in superficiebus uisibilium oppositorum uisui in uno tempore: et nul- ls istarum linearum occurrit puncto, quod est apud extremitatem perpendicularis. Et formae pun- ctorum, quae sunt apud extremitates omnium istarum linearum superficierum uisibilium, extendun tur secundum rectitudinem istarum linearum, et perueniunt ad superficiem uisus, et refringuntur ad idem punctum superficiei glacialis, praeter formam puncti, quod est apud extremitatem perpen dicularis: quoniam ipsa extenditur secundum rectitudinem perpendicularis, et pertransit ad illud punctum glacialis. Si ergo glacialis sentit ex uno puncto omnes formas uenientes ad ipsum ex o- mnibus uerticationibus, sentiet ex omni puncto formas admixtas ex multis formis diuersis, et co- loribus multis uisibilium oppositorum uisui in illo tempore: et sic nihil distinguetur ab eo ex pun- ctis, quae sunt in superficiebus uisibilium, neque ordinabuntur formae punctorum uenientes ad il- lud punctum: at si glacialis senserit ex uno sui puncto illud, quod uenit ad ipsum ex una uerticatio- ne tantum, distinguentur ab eo puncta, quae sunt in superficiebus uisibilium. Et nullum punctorum, quorum formae perueniunt ad glacialem super lineas refractas, est dignius alio ex formis refractis, neque ulla refracta uerticatio est dignior alia: et formae refractę ad unum punctum glacialis in uno tempore, sunt multae non determinatae. Et punctum, cuius forma uenit secundum rectitudinem perpendicularis ad unum punctum glacialis, est unum punctum tantum, et nulla alia forma uenit cum ea secundum rectitudinem perpendicularis: quoniam omnes formae refractae non refringun- tur nisi secundum lineas declinantes. Et cum centrum superficiei uisus sit idem cum centro super- ficiei glacialis [per 12 n] linea, quae est perpendicularis super superficiem uisus, est perpendicula- ris super superficiem glacialis. Forma ergo, quae uenit super perpendicularem, distinguitur ab alijs formis duabus dispositionibus: quarum altera est, quod ipsa extenditur a superficie rei uisę ad pun ctum glacialis super lineam rectam, et residuae ueniunt super lineas refractas: altera autem est, quod ipsa perpendicularis erecta super superficiem uisus, est etiam perpendicularis super superfi- ciem glacialis: et lineae residuae, super quas ueniunt formae residuae refractae, sunt declinantes su- per superficiem uisus. Et operatio lucis uenientis super perpendiculares, est fortior operatione lu cis uenientis super lineas inclinatas. Dignius ergo est, ut glacialis non sentiat ex quolibet puncto, nisi formam uenientem ad ipsum punctum super rectitudinem perpendicularis tantum, et non sentiat ex illo puncto illud, quod uenit ad illud punctum secundum uerticationes refractas. Et ite- rum cum centrum superficiei uisus, et centrum superficiei glacialis, sit idem punctum, omnes per- pendiculares eleuatae super superficiem glacialis et superficiem uisus, concurrent super centrum commune, et erunt diametri in superficiebus tunicarum uisus, perpendiculares super ipsas tunicas uisus: et erit quaelibet perpendicularis occurrens superficiei corneae in uno puncto, et occurrens superficiei glacialis in uno puncto: et non exit ad illud punctum corneae, nisi una perpendicularis, neque exit ad illud punctum glacialis, nisi una perpendicularis tantum Forma ergo, quae exit a quo- libet puncto superficiei rei uisae super perpendicularem, quae extenditur ab eo ad superficiem ui- sus, occurrit superficiei uisus super unum punctum, super quod ei non occurrit aliqua alia forma, non uenientium super perpendiculares.

19. Visio fit per pyramidem, cuius uertex est in uisu, basis in uisibili. 18. 21. 22 p 3.

ET iterum iam determinatum est, [ 14. 18 n] quod ex quolibet puncto cuiuslibet corporis co- lorati et illuminati cum quolibet lumine, exeunt lux et color super quamlibet lineam rectam, quae poterit extendi ab ilo puncto: ergo inter quodlibet punctum uisus, et quodlibet pun- ctum oppositum alicui superficiei, et quodlibet punctum illius superficiei, est linea recta imagina- bilis, et inter illud punctum, et illam superficiem est pyramis imaginabilis, cuius uertex est illud punctum, et cuius basis est illa superficies: et illa pyramis continet omnes lineas rectas intellectas, quae sunt inter illud punctum et omnia puncta illius superficiei. Cum ergo forma lucis et coloris exierint a quolibet puncto superficiei corporis colorati, illuminati, super quamlibet lineam rectam, quę poterit extendi ab illo puncto, ad quodlibet punctum oppositum corpori illuminato et colo- rato: forma lucis et coloris, quae sunt in superficie illius corporis, extendetur a quolibet puncto su perficiei illius corporis, ad illud punctum, oppositum illi super lineam rectam extensam inter ipsum corpus et illud punctum. Forma ergo lucis et coloris cuiuslibet corporis colorati et illuminati cum quolibet lumine, extenditur a sua superficie ad quodlibet punctum oppositum illi superficiei secun dum uerticationem pyramidis, quae formatur inter illud punctum et illam superficiem: et erit for- ma ordinata in illa pyramide per lineas illas concurrentes ad illud punctum, quod est uertex pyra- midis, sicut est ordinatio in partibus coloris, qui est in superficie illius corporis. Cum ergo uisus fue- rit oppositus alicui rei uisibili, formabitur inter punctum, quod est centrum uisus, et superficiem illius rei uisae, pyramis imaginabilis, cuius uertex erit centrum uisus, et basis erit superficies illius rei uisae: et cum aer medius inter illam rem uisam et uisum fuerit continuus, et non fuerit medium inter rem uisam et uisum, corpus densum, et fuerit illa res uisa illuminata cum quolibet lumine: extendetur forma lucis et coloris, quae sunt in superficie illius rei uisae, ad uisum secundum uertica tionem illius pyramidis, et extendetur forma cuiuslibet puncti superficiei illius rei uisae secundum rectitudinem lineae, quę est inter illud punctum, et uerticem illius pyramidis, qui est centrum uisus. Et quia centrum uisus idem est cum centro superficiei glacialis, [per 12 n] erunt omnes istae lineae perpendiculares super superficiem oculi, et superficiem glacialis, et super omnes superficies uisus aequi- distantes: et erit pyramis continua super omnes istas perpendiculares, continens omnes istus per- pendiculares, et aerem, in quo extenditur forma a tota superficie illius rei uisae oppositae uisui, se- cundum uerticationes perpendicularium: et superficies glacialis secabit istam pyramidem: et sic peruenit forma lucis et coloris, quae sunt in superficie illius rei uisae, in partem superficiei, quam com prehendit pyramis. Et ad quodlibet punctum istius superficiei glacialis ueniet forma puncti oppo siti superficiei rei uisae, secundum rectitudinem perpendicularis exeuntis ab isto puncto superfici- ei rei uisae super superficiem tunicarum uisus, et super superficiem glacialis, et pertransibit diapha- nitatem tunicarum uisus secundum rectitudinem illius perpendicularis, et non pertransibit cum illa forma secundum rectitudinem illius perpendicularis alia forma. Et ista forma perueniet ad istam partem glacialis ordinata in ea secundum lineas rectas, super quas peruenit ad ipsam, quae sunt per- pendiculares ad ipsam, et concurrentes apud centrum uisus, sicut ordinatio partium superficiei rei uisae. Praeterea ueniunt in illa dispositione ad quodlibet punctum huius partis superficiei glacialis mul tae formae a multis punctis superficierum uisarum in eodem tempore. Perueniunt ergo in istam par- tem superficiei glacialis, quae distinguebatur a pyramide, multae formae ex multis coloribus diuer- sis. Si ergo glacialis senserit ex parte distincta per pyramidem, formam uenientem ad se ex uertica- tione illius pyramidis tantum, neque senserit ex illa parte suae superficiei aliam formam, nisi formam uenientem super illam uerticationem: sentiet formam illius rei secundum suum esse, et sentiet ordina- tam secundum suam ordinationem. Et poterit etiam sentire in illa dispositione formas aliarum re- rum uisarum, praeter illam rem uisam ex pyramidibus distinguentibus ex sua superficie alias par- tes ab illa parte: et poterit sentire formam cuiuslibet rerum uisarum secundum suum esse, et sentire situs earum inter se secundum suum esse. Et si glacialis senserit formas uenientes ad se ex uerticatio- nibus refractis, sentiet ex eadem parte, quae distinguebatur ex sua superficie per illam pyramidem, formas admixtas ex formis partium illius rei uisae, et ex formis multarum rerum uisarum diuersa- rum, et erunt admixtae ex multis coloribus diurersis, et sentiet ex qualibet parte suae superficiei, praeter illam partem, formam permixtam ex formis multarum rerum diuersarum: et sic non senti- et formam uenientem secundum pyramidis uerticationem secundum suum esse, neque aliquam for mam uenientem super perpendicularem secundum suum esse, neque aliquam formam uenientem ex uerticationibus refractis. Non sentiet ergo formam unius rei uisae secundum suum esse, neque distin- guentur ab ea res uisae oppositae illi in eodem tempore: sed uisus comprehendit res uisas distinctas, et comprehendit partes unius rei uisae ordinatas secundum suum esse in superficie rei uisae, et com prehendit res uisas multas simul in eodem tempore. Et cum uisio sit ex formis uenientibus ex re- bus uisis ad uisum [per 14 n] nihil sentiet glacialis ex formis rerum uisarum ex uerticationibus refractis: et sic nulla formarum peruenientium ad superficiem glacialis ex formis rerum uisarum, ordinabi tur in superficie glacialis secundum suum esse: neque ulla formarum partium unius rei uisae peruenientium ad superficiem glacialis, ordinabitur in superficie glacialis secundum suum esse in superficie rei uisae, nisi formae peruenientes ad eam secundum rectitudinem perpendicularium eleuatarum super su- perficiem uisus tantum. Situs autem formarum refractarum apud superficiem uisus etiam perue- niunt in superficiem glacialis conuersi, et peruenit insuper forma unius puncti in portionem su- perficiei glacialis, non in unum punctum. Et illud est, quod forma puncti dextri apud uisum, quan- do extendetur ad punctum superficiei uisus, et linea, super quam extenditur forma, obliqua super superficiem uisus, refringetur ad partem sinistram a perpendiculari, quae extendetur a centro ui- sus ad illud punctum suae superficiei: et peruenit forma, quae refringitur ab extremitate perpendi- cularis, secundum hunc modum ad punctum sinistrum a puncto glacialis superficiei, super quod abscindit illam illa perpendicularis: Et similiter forma puncti sinistri a uisu, quae extendetur ad illud idem punctum superficiei uisus, et declinat super ipsam, refringetur ad punctum dextrum a perpendicu- lari, et a puncto superficiei glacialis, quod est super illam perpendicularem: quoniam formae refractae non appropinquant post refractionem perpendiculari exeunti a loco refractionis, et non perueniunt per applicationem formae ad perpendicularem, neque post refractionem pertranseunt ipsam, neque pręcedunt: quoniam haec est proprietas formarum refractarum. Et similiter formae duorum punctorum, quae sunt in ea- dem parte a uisu, quae exeunt ad unum punctum superficiei uisus, et declinant super ipsam in eadem parte, perueniunt in supeficiem glacialis conuersae: quoniam duae lineae, super quas extenduntur duae formae punctorum, secant se ad punctum superficiei uisus, super quod concurrunt duae formae, et occurrunt per- pendiculari exeunti ad illud punctum superficiei uisus, super illud punctum. Cum ergo istae duae lineę fue rint declinantes a superficie uisus in eadem parte a perpendiculari exeunte a centro uisus ad illud pun- ctum, refringuntur formae duorum punctorum ad punctum oppositum illi parti. Et etiam quia duae lineae, su- per quas extenduntur duę formę ad unum punctum superficiei uisus, secant se super illud punctum: oportet, quando extenduntur secundum suam rectitudinem post sectionem, ut appareat situs eorum con- uersus in respectu eius, qui est in re uisa, et respectu etiam perpendicularis, et efficitur linea, quae erat dextra ante suam peruentionem ad superficiem uisus ex illis duabus lineis, sinistra post suum pertransitum in superficiem uisus, et sinistra, dextra. Et similiter erit situs duarum linearum, super quas refringentur duę formae ex uno puncto superficiei uisus: quoniam duae formae, quae refringuntur ex uno puncto, ap- propinquant ambo perpendiculari, et extenditur forma, quae erat super lineam remotiorem a perpendi culari, post sectionem super lineam remotiorem etiam a perpendiculari, sed minoris remotionis quam linea, super quam erat: et extenditur forma, quę erat super lineam propinquiorem perpendiculari, etia post sectio nem super lineam propinquiorem etiam perpendiculari, sed maioris propinquitatis, quam linea, super quam erat. Et similiter omnes formae, quae extenduntur ab uno puncto. Et cum fuerit experimentatum experimentatione subtili, inuenietur, secundum quod diximus. Et nos ostendemus uiam, per quam expe rimentabitur hoc experimentatione uera apud nostrum sermonem de refractione, et tunc discoope- rientur omnia dependentia a refractione: et nos non utemur illic in demonstratione rebus, quibus usi fuimus in isto tractatu. Duo ergo puncta declinantia ad unam partem a re uisa, quando formae eorum extenduntur ad unum punctum superficiei uisus, secabunt se super duas lineas, quarum situs erit apud ui- sum in respectu rei uisę contrarius situi duarum linearum primarum, super quas extendebantur duae for- mae ad superficiem uisus. Erit ergo situs duorum punctorum superficiei glacialis, ad quae perueniunt duae formae contrarius situi, duorum punctorum, ex quibus ueniunt duae formae. Omnes ergo formae, quae refringuntur ab uno puncto superficiei uisus, perueniunt in superficiem glacialis conuersae. Et iterum forma cuiuslibet puncti oppositi uisui uenit ad totam superficiem uisus: ergo refringetur a tota superfi- cie uisus: et forma, quae refringitur a tota superficie uisus, refringitur ad partem alicuius quantitatis su perficiei glacialis, non ad unum puctum. Quoniam formę refractionis si concurrerent post refractionem super unum punctum, secarent perpendiculares, apud quarum extremitates refringebantur, aut pertransirent ipsas, aut exiret forma a superficie, in qua refringebatur: sed nulla forma refracta occurrit perpendiculari, apud cuius extremitatem fuerit refracta post refractionem, neque pertransit illam, neque exit a superficie, in qua fuit refracta. Et omnia ista manifestantur per experimentationem. Forma ergo unius puncti rei uisae, quae peruenit in superficiem glacialis, post refractionem non erit in uno puncto, sed in parte alicuius quan- titatis superficiei glacialis, et non erit situs formarum rerum diuersarum uel punctorum diuersorum superficiei rei uisae, quae perueniunt in superficiem glacialis per refractionem inter se, sicut situs earum secundum suum esse in superficiebus rerum uisarum, sed contrarius. Nulla ergo formarum refractarum rerum uisarum peruenientium ad superficiem glacialis est secundum suum esse in superficiebus uisarum rerum. Et iam declaratum est [18 n] quod formae uenientes super perpendiculares, ordinantur in superficie glacialis secundum suum esse, quoniam extenduntur recte a superficiebus rerum uisarum ad superficiem glacialis. Nulla ergo formarum rerum uisarum uenientium ad superficiem glacialis ordinatur in superficie glacialis secundum suum esse, quod habent in superficiebus rerum uisarum, nisi formae extensae super uerticationes perpendicularium tantum. Si ergo sensus uisus rerum uisarum sit ex formis uenientibus ad ipsum ex superficiebus rerum uisarum, nihil compre- hendet uisus ex formis rerum uisarum peruenientibus ad ipsum, nisi ex uerticationibus, quarum extre- mitates concurrunt apud centrum uisus tantum: quoniam uisus nihil comprehendit ex formis rerum uisa- rum, nisi ordinatum secundum suum esse in superficiebus rerum uisarum.

20. Oculus et sphaera crystallina habent idem centrum. 7 p 3. Idem 12 n.

ET iterum si centrum uisus non est centrum superficiei glacialis: lineae rectae, quę exeunt a centro su- perficiei uisus, et extenduntur in foramine uueae, et perueniunt ad res uisas, non erunt perpendicu- lares super superficiem glacialis, sed declinantes super ipsam: neque situs earum super superficiem gla cialis erunt situs consimiles, nisi una linea tantum, scilicet, quae transit per duo centra. Formas ergo uenien tes a superficiebus rerum uisarum ad superficiem glacialis, non potest sentire glacialis, nisi ex uerticationibus istarum linearum tantum, scilicet quę sunt perpendiculares super superficiem uisus, quę est superficies cor- neę: quoniam formę, quę sunt super istas perpendiculares, tantum sunt ordinatę in superficie glacialis se- cundum ordinationem earum in superficiebus rerum uisarum. Si ergo glacialis comprehendit res uisas ex formis uenientibus ad se, et non comprehendit formam, nisi ex uerticationibus istarum linearum, et istę lineę non sunt perpendiculares super superficiem eius: comprehendet tunc formas ex uerticationibus, quarum situs a su perficie sua sunt diuersi situs, et declinantes super suam superficiem, et comprehendet formas ex uerticatio- nibus diuersorum situum declinantibus, et comprehendet omnes formas refractas ex uerticationibus diuersorum situum apud suam superficiem. Et si comprehendit omnes formas refractas ex uerticationibus diuersorum situum, nihil distinguetur ab eo ex rebus uisis, propter hoc, quod declaratum fuit superius. Et cum non sit possi bile, ut comprehendat formas refractas ex uerticationibus diuersorum situum, non est possibile, ut comprehen dat formas rerum uisarum ex uerticationibus linearum, quę sunt perpendiculares super superficiem uisus, nisi quando lineae fuerint perpendiculares super superficiem eius, et fuerint situs eorum in superficie consimi- les: et istę lineę non erunt perpendiculares super superficiem suam, nisi quando centrum suę superficiei, et centrum superficiei uisus fuerint idem punctum. Si ergo sensus uisus rerum uisarum est ex formis uenientibus ad ipsum ex coloribus rerum uisarum, et lucibus earum, et hoc distincte: oportet, ut centrum superficiei uisus et cen trum superficiei glacialis sit unum punctum commune, et nihil comprehendat uisus ex formis rerum uisarum, nisi ex uerticationibus rectarum linearum, quarum extremitates concurrunt apud unum et idem punctum tantum. Et non est impossibile, ut duo centra sint idem: quoniam declaratum est, [6. 8 n] quod duo centra sunt ex poste- riori centro uueę, et super unam lineam rectam transeuntem per omnia centra. Et quoniam non est impossibile, ut duo centra sint idem, et ut lineae rectae, quae exeunt a centris, sint perpendiculares super duas superficies, scilicet superficiem glacialis, et superficiem uisus: non est etiam impossibile, ut sit comprehensio uisus rerum ui- sarum ex formis uenientibus ad ipsum, lucis et coloris, quae sunt in superficie rerum uisarum, cum comprehen- sio formarum istarum sit ex uerticationibus perpendicularium tantum. Et illud est, ut natura uisus re- cipiat ea, quae ueniunt ad se, ex formis rerum uisarum: et etiam ut sit natura uisus insuper appropria- ta, ut non recipiat ea, quae ueniunt ad se ex formis, nisi ex proprijs uerticationibus, non ex omni- bus uerticationibus: et sunt uerticationes linearum rectarum, quarum extremitates concurrunt a- pud centrum uisus tantum. Et istae lineae appropinquantur in centro, quia sunt diametri eius uisus scilicet, et perpendiculares super superficiem uisus sentientis. Et sic erit sensus ex formis uenienti- bus ex rebus uisis, et erunt istae lineae quasi instrumentum uisus, per quod distinguentur a uisu res uisae, et per quod ordinabuntur a uisu partes cuiuslibet rerum uisarum. Et quod esse uisus appropriatur aliquibus uerticationibus tantum, habet similia in rebus naturalibus. Quoniam lux oritur ex cor- poribus luminosis, et extenditur super uerticationes rectas tantum, et non extenditur super lineas arcuales aut tortuosas. Et corpora ponderosa mouentur ad inferius motu naturali super lineas re- ctas: non super lineas curuas, aut arcuales, aut tortuosas: nec tamen mouebuntur super omnes li- neas rectas, quae sunt inter ea et superficiem terrae, sed super lineas rectas proprias, quę sunt perpen diculares super superficiem terrae et diametrum eius. Et corpora coelestia mouentur super lineas sphae- ricas, et non super lineas rectas, neque super lineas diuersi ordinis. Et cum fuerimus intuiti motus na turales, inueniemus, quod quilibet eorum est appropriatus aliquibus uerticationibus tantum. Non est ergo impossibile, ut sit uisus appropriatus in receptione operationum lucis et coloris aliquibus uerticationibus rectis, quae concurrunt apud eius centrum tantum, et sunt perpendiculares super superficiem eius. Comprehensio autem uisus de rebus uisis ex uerticationibus linearum rectarum, quarum extremitates concurrunt apud centrum uisus, est concessa a mathematicis, et nulla diuersi tas est inter eos in hoc: et istae lineae uocantur ab eis lineae radiales. Et cum hoc sit possibile, et for- mae lucis et coloris ueniant ad uisum, et pertranseant per diaphanitatem tunicarum uisus, et uisio non compleatur ex receptione istarum formarum, nisi quando uisus receperit ipsas ex uerticatio- nibus tantum: uisus ergo non comprehendit luces et colores rerum uisarum, nisi ex formis uenien- tibus ad ipsum ex superficiebus rerum uisarum, et non comprehendit istas formas, nisi ex uertica- tionibus linearum rectarum, quarum extremitates concurrunt apud centrum uisus tantum. Aggre gemus ergo modo ea, quae possunt aggregari ex omni, quod diximus, et dicamus: quod uisus sentit lucem et colores, qui sunt in superficie rei uisę, ex forma extensa, et ex luce, et colore, qui sunt in su- perficie rei uisę per corpus diaphanum, quod est medium inter uisum et rem uisam. Et nihil compre- hendit uisus ex formis rerum uisarum, nisi ex uerticationibus linearum extensarum inter rem uisam et centrum uisus tantum. Et declaratum est, quod hoc sit possibile.

21. Visibile uisui oppositum uidetur. 2 p 3.

NOs uero modo exponemus quęstionem, quare fiat uisio secundum modum hunc, dicendo, quod uisio non potest esse nisi secundum hunc modum. Quoniam uisus quando senserit rem uisam, postquam non sentiebat ipsam, aliquid accidit ei, quod non erat prius: et nihil accidet, postquam non erat prius, nisi per aliquam causam. Et inuenimus, quod uisus quando fuerit opposi- tus rei uisae, sentiet ipsam, et cum auferetur ab eius oppositione, non sentiet ipsam, et cum reuertetur ad opposititionemoppositionem, reuertetur uisus. Et similiter inuenimus, quando uisus senserit rem uisam, dein- de clauserit palpebras, quod sensus destruitur, et cum aperit palpebras, et res uisa fuerit in opposi- tione, reuertitur sensus. Sed caussa est illud, quod quando destruitur caussa, destruitur caussatum, et quando reuertitur caussa, reuertitur caussatum. Caussa ergo, quę facit contingere rem illam in uisu, est res uisa, quando opponitur uisui. Visus ergo non sentit rem uisam, nisi propter illud, quod facit res uisas contingere in uisu, quando scilicet opponuntur uisui.

22. Visibile per medium perspicuum uidetur. 13 p 3.

ET iterum uisus non comprehendit rem uisam, nisi quando corpus, quod est medium inter ea, fuerit diaphanum. Nam comprehensio uisus de re uisa ex posteriori aeris, qui est medius inter eos, non est propter humiditatem aeris, sed propter diaphanitatem eius. Quoniam si medium fuerit inter uisum et rem uisam aliquis lapis, aut aliud corpus diaphanum quodcunque: comprehendet tunc uisus rem uisam, et erit comprehensio secundum diaphanitatem corporis mediantis: et quanto corpus medium fuerit magis diaphanum, tanto erit sensus uisus de re illa manifestior. Et similiter quan do fuerit inter uisum et rem uisam aqua clara diaphana, comprehendet uisus rem uisam a posteriori aquae: et si illa aqua fuerit tincta aliqua tinctura forti, ita ut destruatur diaphanitas, quamuis rema- neat in ea humiditas, tunc uisus non comprehendet illam rem uisam, quae est in aqua. Declarabitur ergo ex istis dispositionibus, quod uisio non completur, nisi per diaphanitatem corporis medij, et non per humiditatem. Illud ergo quod res uisa operatur in uisum apud suam oppositionem contra illum, ex quo est sensus, non completur nisi per diaphanitatem corporis medij inter uisum et rem uisam. Lux ergo et color rei uisae non comprehendetur a uisu, nisi ex aliquo, quod sit ex illa luce et colore in uisu: et illud non accidit ex luce et colore in uisu, nisi quando corpus medium inter uisum et rem uisam fuerit diaphanum. Diaphanitas autem non appropriatur alicui ex eis, quae pendent ex luce et colore, quo diuersificetur a non diaphanitate, nisi quia forma lucis et coloris pertransit per diaphanum, et non pertransit per non diaphanum: et quia corpus diaphanum recipit formam lucis et coloris, et reddit ipsam partibus oppositis luci et colori, corpus autem non diaphanum non habet istam proprietatem. Et quia uisus non sentit lucem et colorem, quae sunt in re uisa, nisi ex aliquo contingente ex luce et colore in uisu, et illud non contingit in uisu, nisi quando corpus medium inter uisum et rem uisam fuerit dia- phanum: et corpus diaphanum nulli appropriatur, quo distinguatur a corpore non diaphano ex eis, quę pendent a luce et colore, nisi per receptionem formarum colorum, et redditionem eorum ad partes oppositas: et declaratum est, [19 n] quod quando uisus fuerit oppositus rei uisę, formę lucis et coloris, quae sunt in re uisa, reddentur uisui, et peruenient in superficiem sentientis: uisus ergo non sentit lu cem et colorem rei uisę, nisi ex forma extensa per corpus diaphanum inter rem uisam et uisum, et ex re, quam facit contingere res uisa in uisu, dum opponitur illi, mediante corpore diaphano.

23. Visio non fit radijs a uisu emissis. 5 p 3.

ET licet nobis dicere, quod corpus diaphanum recipit a uisu aliquid, et reddit ipsum rei uisae, et per continuationem istius rei uisae inter uisum et rem uisam, euenit sensus. Et haec est opinio po nentium radios exire a uisu. Ponatur ergo quod ita sit, quod radij exeant a uisu, et pertranseant per corpus diaphanum peruenientes ad rem uisam, et per istos radios fiat sensus. Et cum ita fiat sen sus, quaero an per istos radios reddatur uisui aliquid, aut non reddatur? Si uero sensus fiat per radios, et non reddant uisui aliquid, uisus non sentiet: sed uisus sentit rem uisam, et non sentit, nisi median- tibus radijs: isti ergo radij, qui sentiunt rem uisam, reddunt uisui aliquid, per quod uisus sentit rem ui sam. Et cum radij reddant uisui aliquid, per quod sentit rem uisam, uisus non sentiet lucem et colo- rem, quae sunt in re uisa, nisi ex aliquo ueniente a luce et colore, quae sunt in re uisa ad uisum, et radij reddunt illa. Secundum ergo omnes dispositiones non erit uisus, nisi per aduentum alicuius rei ui- sae a re uisa, siue exierint radij, siue non. Et iam declaratum est, [22 n] quod uisio non completur, nisi per diaphanitatem corporis medij inter uisum et rem uisam, et non completur, quando fuerit medium inter ea corpus non diaphanum. Et est manifestum, quod corpus diaphanum a non diaphano in nullo distinguitur, nisi secundum modum praedictum. Et cum ita sit, ut diximus, et sit declaratum, quod formae lucis et coloris, quae sunt in re uisa, perueniant ad uisum, quando fuerint oppositae uisui. Illud ergo, quod uenit ex re uisa ad uisum, per quod uisus comprehendit lucem et colores, quae sunt in re uisa secundum omnem dispositionem, non est nisi ista forma, siue exeant radij, siue non. Et iam decla- ratum est [14. 18 n] quod formae lucis et coloris semper generentur in aere, et in omnibus corporibus diaphanis, et semper extendanturAbsatz bis 102a fehlt in aere, et in corporibus diaphanis ad partes oppositas, siue ocu- lus fuerit praesens, siue non. Exitus ergo radiorum est superfluus et otiosus. Visus ergo non sentit lucem et colorem rei uisae, nisi ex forma ueniente a luce et colore, quae sunt in re uisa. Et declaratum est [19 n] quod forma cuiuslibet puncti rei uisae, oppositi uisui, peruenit ad uisum secundum uerticationes mul tas diuersas, et quod uisus non potest apprehendere formam rei uisae secundum suam ordinationem in su perficie rei uisae, nisi quando receptio formarum fuerit ex uerticationibus linearum rectarum, quae sunt perpendiculares super superficiem uisus, et super superficiem membri sentientis, et quod lineae rectae perpendiculares non erunt super istas superficies, nisi quando centrum istarum superficierum fuerit unum punctum. Et cum hoc totum sit, sicut dictum est: oportet, ut centrum superficiei glacialis et centrum superfi ciei uisus sint unum punctum. Visus ergo nihil potest comprehendere ex formis rerum uisarum, nisi ex uer ticationibus linearum rectarum, quarum extremitates concurrunt apud hoc centrum tantum Et hoc est, quod promisimus ante declarare in hoc capitulo in praecedente sermone [12 n] de forma uisus: scili cet quod centrum glacialis et centrum superficiei uisus sunt idem punctum commune. Et cum hoc decla ratum sit, remanet ergo modo considerare opinionem ponentium radios exire a uisu, et declarare quid in ea falsum, et quid uerum. Dicamus ergo, si uisio sit ex re exeunte ex uisu ad rem uisam: ista res aut est corpus, aut non corpus: Si est corpus, quando aspexerimus coelum, et uidęrimus stellas, quę sunt in eo, oportet, quod in illa hora exeat a uisu nostro corpus, et impleat illud, quod est inter coelum et terram, et quod nihil diminuatur a uisu: et hoc est falsum. Visio ergo non est per corpus exiens a uisu ad rem uisam. Et si illud, quod exit a uisu, non est corpus, illud non sentiet rem uisam: sensus enim non est, nisi in corporibus. Nihil ergo exit a uisu ad rem uisam, sentiens rem illam. Et manifestum est, quod uisio est per uisum: et cum hoc sit, et uisus non comprehendat rem uisam, nisi quando exit ab eo ad rem uisam, et illud quod exit, non sentit rem illam uisam. Illud ergo quod exit a uisi ad rem uisam, non reddit ad uisum ali quid, quo uisus comprehendat rem uisam. Et hoc quod exit a uisu, non est sensibile, sed opinabile, et ni hil debet putari nisi per rationem. Ponentes autem radios exire a uisu, opinantur hoc, quod illi inuenerunt: quod uisus comprehendit rem uisam, et inter illa est spatium, et magnum est hominibus, quod sensus non est, nisi per contactum. Quare illi opinati sunt, quod uisio non sit, nisi per aliquid exiens a uisu ad rem ui sam, ita ut illud exiens sentiat rem in suo loco, aut accipiat aliquid a re uisa, et reddat ipsum uisui, et tunc sentiat illud uisus. Et quia non potest exire a uisu corpus sentiens rem uisam, et nihil sentit rem uisam nisi corpus: non remansit opinari, nisi ut illud, quod a uisu exit ad rem uisam, recipiat a uiso ali- quid, et reddat ipsum uisui. Et quia declaratum est [14. 18. 19 n] quod aer, et corpora diaphana recipiunt formam rei uisae, et reddunt ipsam uisui, et omni corpori opposito rei uisae: tunc illud, quod opinantur, quod reddit uisui aliquid ex re uisa, non est, nisi aer et corpora diaphana inter uisum et rem uisam. Et cum aer et corpora diaphana reddunt uisui aliquid ex re uisa, in quolibet tempore reddunt, et secundum omnes dispositiones, quando uisus fuerit oppositus rei uisae, sine indigentia alicuius rei exeuntis a ui su. Ratio ergo quae induxit ponentes radios ad dicendum radios esse, est superflua: quoniam illud, quod induxit eos ad dicendum, quod radij essent, est illorum opinio: quia uisio non potest compleri, nisi per ali- quid extensum inter uisum et rem uisam, quod reddat uisui aliquid ex re uisa. Et cum aer et corpora diaphana faciant hoc sine indigentia alicuius rei exeuntis a uisu, et sint insuper extensa inter uisum et rem uisam sine indigentia: tunc ad ponendum aliam rem reddentem aliquid uisui de re uisa, nulla est opinio. Dicere ergo esse radios, est nihil. Et etiam omnes mathematici dicentes esse radios, non utuntur in demonstrationibus, nisi lineis imaginarijs tantum, et uocant ipsas lineas radiales. Et iam declara uimus nos, quod uisus nihil comprehendit ex rebus uisis, nisi ex uerticationibus istarum linearum tantum. Opinio ergo opinantium, quod lineae radiales sint imaginariae, est opinio uera: et opinio opinantium, quod aliquid exit a uisu, est opinio falsa. Iam ergo declaratum est ex omnibus, quę diximus, quod uisus non sentit lucem et colorem, quę sunt in superficie rei uisae, nisi per formam extensam a superficie rei uisę ad uisum per corpus diaphanum medium inter uisum et rem uisam: et quod uisus nihil comprehendit ex for mis, nisi ex uerticationibus linearum rectarum, quae intelliguntur extensae inter rem uisam et centrum ui- sus tantum, quę sunt perpendiculares super omnes superficies tunicarum uisus. Et hoc est quod uolui mus declarare. Ista est ergo qualitas uisionis generaliter, quod uisus non comprehendit ex re uisa, sensu spoliato, nisi lucem et colorem, quę sunt in re uisa, tantum. Res autem residuę, quas comprehendit uisus ex rebus uisis, sicut figuram, et magnitudinem, et similia, non comprehenduntur a uisu, sensu spoliato, sed per rationem et signa. Et hoc declarabimus nos post in secundo tractatu post declarationem completam apud ser- monem nostrum de distinctione rerum uisibilium, quas comprehendit uisus. Et hoc, quod declara- uimus scilicet qualitatem uisionis, est conueniens opinioni uerificantium mathesin et naturam.

24. Visio uidetur fieri per συναυγείαν, id est receptos sumul et emissos radios.

ET declaratum est ex hoc, quod duae sectae dicant uerum: et quod duae opiniones sint rectae et conue nientes: sed non completur altera earum, nisi per alteram, neque potest esse uisio, nisi per illud, quod aggregatur ex duabus sectis. Sensus ergo non est, nisi ex forma et ex operatione formę in uisum, et ex passione uisus a forma: et uisus est paratus ad patiendum ex ista forma secundum situm proprium, scilicet situm uerticationum perpendicularium super suam superficiem. Natura autem uisus non congruit isti proprietati, nisi quia non distinguuntur uisibilia, neque ordinantur partes cuiuslibet eorum apud ui- sum, nisi quando sensus eius fuerit ex uerticationibus istis tantum. Lineae ergo radiales sunt lineae ima ginabiles, et figuratur per eas qualitas situs, super quam patitur uisus ex forma. Et iam declaratum est [19 n] quod quando uisus oppositus fuerit rei uisae, figurabitur inter rem uisam et centrum uisus pyra mis, cuius uertex erit centrum uisus, et basis eius superficies rei uisae, et erit inter quodlibet punctum su perficiei rei uisae, et inter centrum uisus linea recta, intellecta perpendiculariter super superficies tuni carum uisus: et sic pyramis continebit omnes istas lineas, et superficies glacialis secabit istam pyramidem: quoniam centrum uisus, quod est uertex pyramidis, est a posteriori superficiei glacialis. Et cum aer, qui est inter uisum et rem uisam, fuerit continuus, erit forma extensa ab illa re uisa secundum uerticationem il- lius pyramidis in aere, quam distinguit ipsa pyramis, et in tunicis uisus diaphanis usque ad partem superfi ciei glacialis, quę distinguitur per istam pyramidem: et ista pyramis continebit omnes uerticationes, quę sunt inter uisum et rem uisam, ex quibus comprehendit uisus formam rei uisę: et erit forma ordinata, sicut est ordinata in superficie rei uisae, et in parte ista superficiei glacialis: et iam declaratum est, [16 n] quod sensus non est, nisi per glacialem. Sensus ergo uisus ex luce et colore, quę sunt in superficie rei uisae, non est nisi ex parte glacialis, quam distinguit pyramis figurata inter illam rem uisam et centrum uisus.

25. Visio perficitur, cum forma uisibilis crystallino humore recepta, in neruum opticum peruenerit. 20 p 3.

ET iam declaratum est, [4 n] quod in isto humore est aliquantula diaphanitas, et aliquantula spissi tudo: et propter hoc assimilatur glaciei. Quia ergo in eo est aliquantulum diaphanitatis, recipit formas: et hae pertranseunt in eo, cum eo, quod est ex eo de diaphanitate: et quia in eo est aliquan- tulum spissitudinis, prohibet formas a transitu in eo, cum eo, quod est ex eo de spissitudine: et figuntur formae in eius superficie et corpore, sed debiliter. Et similiter est quodlibet corpus diaphanum, in quo est aliquid spissitudinis, quando super ipsum oritur lux, pertransibit in eo secundum quod est in eo de diaphanitate, et figetur lux in superficie eius secundum id, quod est in eo de spissitudine. Et etiam glacia lis est praeparatus ad recipiendum istas formas, et ad sentiendum ipsas. Formae ergo pertranseunt in eo propter uirtutem sensibilem recipientem. Et cum forma peruenerit in superficiem glacialis, operatur in ea, et glacialis patitur ex ea: quoniam ex proprietate lucis est, ut operetur in uisum, et ex proprieta- te uisus, ut patiatur a luce. Et ista operatio, quam operatur lux in glaciali, pertransit corpus glacialis secundum rectitudinem linearum radialium tantum: quoniam glacialis est praeparatus ad recipiendum formas lucis ex uerticationibus linearum radialium. Et cum lux pertransit in corpus glacialis, color pertransit cum ea: color enim est permixtus luci, et glacialis recipit istam operationem, et istum per- transitum: et ex ista operatione et passione erit sensus glacialis ex formis rerum uisibilium, quae sunt in superficie sua, et pertranseunt per totum suum corpus: et ex ordinatione partium formae in sua su perficie et suo toto corpore, erit sensus eius ex ordinatione partium operantis.

26. Visio est ex eorum numero, quae dolorem faciunt. 16 p 3.

ET ista operatio, quam operatur lux in glacialem, est ex genere doloris, cum quidam dolores sint passibiles, et non laeditur membrum propter eos: et tales dolores non manifestantur sensui, neque iu dicat dolens, quod sit dolor. Et significatio super hoc est, quod lux inducit dolorem: quia luces fortes offendunt uisum, et laedunt manifeste, sicut lux solis, quando aspiciens aspexerit corpus ipsius, et sicut lux solis reflexa a corporibus tersis ad uisum, quoniam istae luces inducunt dolores manifestos in uisum. Et operatio omnis lucis in uisum est ex eodem genere, et non diuersificatur, nisi secundum magis et minus: et cum omnes sint ex uno genere, et operatio fortiorum lucium est ex genere doloris: omnes ergo operationes lucium sunt ex genere doloris: et non diuersificantur, nisi secundum magis et minus: et propter leuitatem operationum lucium debilium temperatarum in uisum, latet sensum eas inducere dolo rem. Sensus ergo glacialis ex operatione lucis est de genere sensibilis dolorosi. Deinde iste sensus, qui cadit in glacialem, extenditur in neruo optico, et uenit ad anterius cerebri, et illic est ultimus sen- sus, et sentiens ultimum, quod est uirtus sensitiua, quę est in anteriore cerebri. Et ista uirtus comprehen dit sensibilia: uisus autem non est, nisi quoddam instrumentum istius uirtutis: quoniam uisus recipit formas rerum uisarum, et reddit eas sentienti ultimo, et sentiens ultimum comprehendit istas formas, et com prehendit ex eis res uisibiles, quę sunt in eis. Et illa forma in superficie glacialis extenditur in corpo re glacialis: deinde in corpus subtile, quod est in concauo nerui, quousque perueniat ad neruum com munem, et apud peruentum formae apud neruum communem completur uisio, et ex forma uenien te in neruum communem, comprehendet ultimum sentiens formas rerum uisarum.

27. Vtroque uisu una uisibilis forma plerunque uidetur. 28 p 3.

ET aspiciens comprehendet res uisas duobus oculis, et sic oportet, ut forma rei uisę perueniat ad utrunque uisum: quare peruenient ad uisum ab una re uisa duae formę, cum aspiciens comprehen dat unam rem uisam. Et hoc est, quia duae formae, quae perueniunt ad duos uisus ex uno uiso, quando perueniunt ad neruum communem, concurrunt, et superponitur una alij, et efficitur una for ma, et ex illa forma adunata ex duabus formis comprehendit ultimum sentiens formam illius uisi. Et significatio super hoc est, quod duae formae, quae perueniunt ad duos oculos ab uno uiso, ordinantur et efficiuntur una forma, antequam comprehendat ipsas ultimum sentiens. Quod autem ultimum sentiens non comprehendat formam, nisi post adunationem duarum formarum: est: quod quando aspiciens mutaue rit situm oculi unius, et alius fuerit immotus, et motus unius oculi mutati secundum situm, fuerit ad an terius, uidebit de re una opposita duas, et si aperuerit unum oculum, et cooperuerit alterum, non uidebit nisi unum. Si ergo sentiens comprehendisset unum, quia unum, deberet ipsum comprehendere semper unum: et si uenissent ad ipsum semper duae formae ab uno uiso, comprehenderet semper unum uisum, duo. Et cum ultimum sentiens non comprehendat uisum, nisi ex forma ueniente ad ipsum, et aliquan do comprehendat unam rem uisam, duas, et aliquando unam: est signum, quod id, quod uenit ad ipsum, quando comprehendit ipsum duo, est forma duplex: et quando comprehendit unam rem uisam, unam, quod uenit ad ipsum, est forma una. Et cum in utraque dispositione perueniunt ab uno uiso ad duos oculos duae formae: et illud, quod redditur ultimo sentienti, aliquando est duplex forma, aliquando una: et forma, quae redditur ultimo sentienti, non redditur nisi a uisu: tunc illud, quod redditur ulti- mo sentienti ex duabus formis, quae perueniunt ad duos oculos ab uno uiso, quando comprehende- rit ipsum unum, est una forma. Et cum ita sit, duae ergo formae praedictae extenduntur a duobus ocu lis, et concurrunt, antequam comprehendat ipsas ultimum sentiens, et post concursum inter se, com- prehendet sentiens ultimamultimum formam adunatam ex eis. Et duae formae, quae perueniunt ad duos oculos ab uno uiso, quando ultimum sentiens comprehendit ipsum duo, extenduntur a duobus oculis, et non concurrunt, et perueniunt ad ultimum sentiens, et sunt duae formae. Et comprehensio unius uisi, quod apparet aliquando unum, aliquando duo, significat quod uisio non est per oculum solummodo: quo- niam si ita esset apud comprehensionem uisi, quod unum apparet, comprehenderent duo oculi ex dua- bus formis peruenientibus ad eos, unam et eandem formam: et si ita esset, comprehenderent semper ex duabus formis unam formam. Et cum unum uisum comprehendatur aliquando unum, aliquando duo, et in utraque dispositione sint in duobus oculis duae formę: significatur, quod illic est aliud sentiens, praeter duos oculos, ad quod perueniunt ab uno uiso, quando comprehenduntur per unum, duę formę unum, et apud quod comprehenduntur duae formae, quando comprehenduntur, duę: et quod sensus non completur, nisi per illud sentiens tantum, non per oculum tantum. Et etiam sensus non extenditur a mem bris ad ultimum sentiens, nisi in neruis continuatis membris et cerebro. Duae ergo formae extendun tur ab oculo in neruo extenso inter oculum et cerebrum, quousque perueniant ad ultimum sentiens. Istae ergo duae formae extenduntur a duobus oculis, et concurrunt in loco concursus duorum neruorum. Et significatio manifesta, quod formae rerum uisarum extenduntur in concauo nerui, et perueniunt ad ul timum sentiens, et post peruentum compleatur uisio: est: quod quando fuerit oppilatio in isto neruo, destruitur uisio, et quando destruitur oppilatio, reuertitur uisio. Et ars medicinalis testatur hoc. Qua re uero aliquando concurrant duae formae, aliquando non: est: quia quando situs duorum oculorum fuerit naturalis, erit situs eorum ab uno uiso situs consimilis: et sic perueniet forma unius uisi in duo loca consimilis situs: et cum fuerit declinans situs unius oculi, diuersabitur situs oculorum ab illo uiso: et sic peruenient duae formae illius uisi diuersi situs. Et iam praedictum est in forma oculi, [4 n] quod situs nerui communis a duobus oculis, est situs consimilis: et sic erit situs duorum locorum consimilis, situs a duobus oculis ab eodem loco nerui communis situs consimilis, et ex duobus neruis concauis fit unus, in quo uniuntur duae formae uisus. Et licet dicere, quod formę uenientes ad oculum, non per- ueniunt ad neruum communem, sed sensus extenditur ab oculo ad neruum communem, sicut extenditur sen sus doloris et tactus, et tunc comprehendit ultimum sentiens illud sensibile[.] Et nos dicemus, quod sensus ipse ueniens ad oculum, peruenit ad neruum communem omnino, tamen sensus, qui peruenit ad ocu lum, non est sensus doloris tantum, sed est sensus operationis de genere doloris, et est sensus lucis et coloris, et sensus ordinationis partium uisi. Sensus autem diuersitatis coloris et ordinationis partium uisi non est in genere doloris. Et nos declarabimus post, quomodo erit sensus uisus ex omnibus rebus istis. Sensus ergo perueniens in neruum communem est sensus lucis, et coloris et ordinationis, et illud a quo comprehendit sentiens ultimum lucem et colorem, est aliqua forma.

28. Corpora perspicua nata atque apta sunt ad recipiendum reddendumque obiectis corporibus lucem et colorem, absque ulla sui mutatione. 4 p 2.

ET remanet modo explicare quaestionem, quae est. Quoniam formę lucis et coloris extenduntur in aere, et in corporibus diaphanis, et perueniunt ad uisum: et aer et corpora diaphana reci- piunt omnes colores: et formae cuiuslibet lucis, quae sunt praesentes in eodem tempore, exten- duntur in eodem tempore, et in eodem aere, et perueniunt ad uisum, et pertranseunt diaphanitatem tuni carum uisus: quare oportet, ut admisceantur isti colores et lux in aere, et in corporibus diaphanis, et perueniant ad uisum mixta omnia. Et sic non distinguuntur a uisu colores rerum uisarum. Et si ita est: Sensus ergo uisus non potest esse ex istis formis. Dicamus ergo quod corpora diaphana non immu tantur a coloribus, neque alterantur ab eis alteratione fixa, sed proprietas coloris et lucis est, ut formae eorum extendantur secundum uerticationes rectas: et ex proprietate est corporis diaphani, ut non prohibeat formas lucis et coloris transire per suam diaphanitatem: et illud non recipit formas, nisi receptione ad reddendum, non receptione ad alterandum. Et declaratum est [14. 18 n] quod formae lucis et coloris non extenduntur in aere, nisi secundum lineas rectas. Formae ergo lucis et coloris, quae sunt in corporibus praesentibus simul in eodem aere, extenduntur secundum lineas rectas, et erunt illae lineae, super quas extenduntur formae diuersae, quaedam aequidistantes, et quaedam secan tes se, et quaedam diuersi situs: et quaelibet uerticatio earum est distincta per corpus, a quo extendi- tur forma super illam uerticationem. Formarum ergo extensarum a corporibus diuersis in eodem aere, quaelibet extenditur super suam uerticationem, et pertransit ad formas oppositas.

29. Lux et color per corpora perspicua distincte penetrant 5 p 2.

ET significatio, quod luces et colores non permisceantur in aere, neque in corporibus diaphanis: est, quod quando in uno loco fuerint multę candelae in locis diuersis et distinctis, et fuerint o- mnes oppositae uni foramini pertranseunti ad locum obscurum, et fuerit in oppositione illius foraminis in obscuro loco paries, aut corpus non diaphanum: luces illarum candelarum apparent super corpus uel super illum parietem, distinctę secundum numerum candelarum illarum: et quaelibet illa- rum apparet opposita uni candelę secundum lineam transeuntem per foramen: et si cooperiatur una can dela, destruetur lux opposita uni candelę tantum: et si auferatur coopertorium, reuertetur lux. Et hoc poterit omni hora probari: quod si luces admiscerentur cum aere, admiscerentur cum aere foraminis, et deberent transire admixtae, et non distinguerentur postea. Et nos non inuenimus ita. Luces ergo non admiscentur in aere, sed quaelibet illarum extenditur super uerticationes rectas: et illę uerticationes sunt aequidistantes, et secantes se, et diuersi situs. Et forma cuiuslibet lucis extenditur super omnes uerticationes, quę possunt extendi in illo aere ab illa hora: neque tamen admiscentur in aere, nec aer tingitur per eas, sed pertranseunt per ipsius diaphanitatem tantum, et aer non amittit suam formam. Et quod diximus de luce, et colore, et aere, intelligendum est de omnibus corporibus diaphanis, et tunicis uisus diaphanis.

30. Humor crystallinus lucem et colorem aliter recipit, quam caetera perspicua corpora. 22 p 3.

MEmbrum uero sentiens, scilicet glacialis, non recipit formam lucis et coloris, sicut recipit aer, et alia diaphana non sentientia, sed secundum modum diuersum ab illo modo: Quoniam istud mem- brum est praeparatum ad recipiendum istam formam: recipit ergo istam, quatenus est sentiens, et quatenus est diaphanum. Et iam declaratum est, [26 n] quod passio eius ex ista forma, est ex genere do loris. Qualitas ergo receptionis eius ab ista forma, est diuersa a qualitate receptionis corporum diapha norum non sentientium: Sed tamen istud membrum cum sua receptione ab ista forma, quatenus est sen- tiens, et cum sua alteratione uel mutatione, non tingitur per istam formam illius tinctura, neque remanent formae coloris et lucis post recessum eius a sua oppositione, uel recessu earum. Et potest contradici huic sermoni dicendo. Quoniam iam praedictum est, [1 n] quod colores fortes scintillantes, super quos oriun tur luces fortes, operantur in oculum, et remanent illarum alterationes in uisu post recessum, et rema- nent formae coloris in oculo tempore aliquanto, et quodcunque comprehenderit uisus post hoc, erit ad- mixtum cum illis coloribus. Et hoc est manifestum, et non dubitatur. Quod cum ita sit: uisus ergo tingi- tur a colore et luce: et sequitur quod corpora diaphana tingantur a lucibus et coloribus. Et nos di- cemus, respondendo ad hoc: quod hoc ipsum significat, quod uisus non tingitur a colore et luce, neque remanent in eo alterationes coloris et lucis: quoniam istae alterationes, quas diximus, non accidunt nisi extranea fortitudine, scilicet fortitudine lucis et coloris. Et manifestum est, quod istę alterationes non remanent in uisu, nisi modico tempore, et post auferuntur, et tunc debiles sunt immutationes, nec re- manet aliquid: Tunc ergo uisus non tingitur ab istis alterationibus alteratione fixa, nec remanent in eo post recessum. Et ex hoc declarabitur, quod luces et colores operantur in uisum, nec remanent eorum alterationes post recessum, nisi paruo tempore. Glacialis ergo alteratur a luce et coloribus tan- tum, ut sentiat, et deinde aufertur immutatio post recessum. Alteratio ergo eius a luce et colore est necessaria, sed natura non fixa. Et etiam uisus est praeparatus ad patiendum colores et luces, et ad sentien dum eos: neque tamen remanet in eo alteratio. Et aer et corpora diaphana, et tunicae uisus diaphanae anterioris glacialis non sunt praeparatae ad patiendum lucem et colorem, et sentiendum ea, sed ad reddendum luces et colores tantum. Iam ergo declaratum est, quod uisus non tingitur ex coloribus et formis lucis tinctura fixa: et declaratum est, quod formę lucis et coloris non admiscentur in aere et corporibus dia- phanis: et quod uisus multi comprehendunt ipsos in aere, et in eodem tempore, et quilibet eorum com prehendit ipsos secundum pyramidem, quae distinguitur inter ipsos et centrum uisus.

31. Colores uisibilium in obiectis corporibus illuminantur, et obscurantur praecipue, pro lucis qualitate et obiectorum corporum coloribus. Vide 3 n.

QVare uero non appareant omnes formę omnium corporum uel colorum super omnia corpora op- posita, sed quaedam appareant, quaedam non: non est: nisi quando color fuerit fortis, et lux, quae est in corpore, fuerit fortis, et lux, quę est in corpore, super quod apparet forma coloris, debi lis: et hoc pertinet ad uisum: quoniam istę formę colorum non oriuntur super corpora opposita illis, nisi il luminentur, sed super corpora illuminata cum quolibet lumine: quoniam formę lucis et coloris eius sem per oriuntur super omnia corpora opposita illis, quorum remotio non est extranea, multa, fortis, longa. In lucibus uero hoc manifestatur. Quoniam, quando fuerit experimentatum omne corpus illuminatum quoli bet lumine, ita quod fuerit lux ualde debilis, et fuerit experimentatum secundum modos, quos declaraui mus, [2 n] scilicet, ut sit positum in sua oppositione corpus album, et illud corpus sit in loco obscuro, et fuerit inter corpus illuminatum, et locum illum obscurum foramen strictum: inuenietur quod super illud cor pus tunc apparebit lux, colores autem non apparebunt, nisi secundum modum prędictum: quoniam declaratum est per inductionem, quod formae colorum semper sunt debiliores ipsis coloribus, et quanto formae fuerint remotiores a suo principio, tanto erunt debiliores. Et declaratum est [2 n] per inductionem, quod fortes colores, quando fuerint in locis obscuris, et fuerint luces, quae sunt super ipsos, ualde debiles: isti co lores apparebunt obscuri, et non distinguentur a uisu: et quando fuerint in locis illuminatis, et fuerit lux, quę est super ipsos, fortis: apparebunt colores, et distinguentur a uisu. Et declaratum est etiam per inductionem, quod, quando lux fortis fuerit super formas colorum apparentes super corpora opposita illis, latebunt uisum, et non apparebunt, nisi quando lux fuerit remota. Et etiam declaratum est, quod, quando lux fuerit fortis, et peruenerit ad uisum, prohibebit ipsum ab apprehensione rerum uisarum non apparentium in se multum, et oppositarum illi tunc. Et etiam declaratum est, [3 n] quod uisus non comprehendit colores, nisi ex forma ueniente ad ipsum ex illo colore, et quod comprehensio ipsius erit secundum uerticationes proprias. Quando ergo inspiciens aspexerit corpus densum, super quod oriebatur forma coloris: non comprehendit illam formam, nisi ex secunda forma ueniente ad ipsum ex illa forma: et ista forma secunda est debilior forma prima, quae est super illud corpus, et prima forma est debilior ipso colore. Et uisus non comprehendit illud corpus densum, super quod apparet forma, nisi quando in eo apparuerit aliqua lux, siue lux ueniens cum forma coloris super ipsum orientis, siue illa lux cum alia. Forma ergo secunda, quae uenit ad uisum ex prima for- ma coloris: uenit ad ipsum cum forma lucis, quae est in illo corpore denso, et color illius corporis densi, super quod est ista forma, comprehendetur a uisu etiam in illa dispositione. Forma ergo co- loris uenit ad uisum cum forma secunda ueniente ad ipsum ex forma coloris, quae est super ipsum: et forma coloris istius corporis, quae uenit ad ipsum uisum in illa dispositione, est prima forma: ui- sus autem non comprehendit illud, quod comprehendit, nisi ex uerticationibus proprijs: et uerti- catio propria, quae est inter ipsum et corpus densum, secundum quod comprehendit formam il- lius corporis densi, est eadem cum uerticatione sua, secundum quam comprehendit formam se- cundam uenientem ex forma coloris orientis super illud corpus: quoniam illa forma est in super- ficie illius corporis. Visus ergo comprehendit ipsam ex uerticationibus, quae sunt inter ipsum et illud corpus: et ipse comprehendit colorem ipsius ex uerticationibus, quę sunt inter ipsum et illud corpus. Et similiter comprehendit uisus lucem, quae est in illo corpore, ex illis eisdem uerticationibus. Tres ergo formae uenientes ex illo corpore ad uisum, comprehenduntur a uisu ex eadem uerticatione: et quidem admixtae. Et formae secundae, quae ueniunt ad uisum ex forma coloris, quae est super cor- pus oppositum illi, comprehenduntur a uisu semper admixtae cum forma coloris illius corporis, et cum forma lucis eius. Visus ergo comprehendit ex congregatione duorum colorum formam diuer sam a forma cuiuslibet eorum. Si ergo corpus, super quod est forma, habuerit fortem colorem, e- rit forma eius, quae uenit ad uisum, fortis: et est prima forma, et est admixta cum secunda forma, quae uenit ad ipsum ex forma coloris uenientis super illud corpus: et ista forma est debilis: quare non apparet uisui. quoniam quando cum colore debili fuerit admixtus color fortis, ipse scilicet color fortis uincet debilem: et similiter inueniuntur semper colores et tincturae, quando admiscentur inter se. Forma uero coloris non latet, quando lux est super ipsam fortis, et cum albedine corporis. Et iam declaratum est, [2 n] quod lux fortis, quando uenit ad uisum, prohibet uisum a compre- hensione formarum debilium. Quando ergo ueniet ad uisum lux fortis cum albedine corporis, su- per quod cadit, prohibet ipsum a comprehensione secundae formae debilis, quae uenit ad ipsum cum ea: et si corpus, super quod est forma coloris, fuerit album, et lux, quae est super ipsum, fuerit debilis, et forma coloris, quae est super ipsum, fuerit debilis: tunc forma lucis, quae est in illo cor- pore, quamuis sit debilis cum albedine corporis, forte uincet formam coloris, quę est ualde debilis, et cum uenerit ad uisum, non distinguetur forma illa a uisu. Et si corpus, super quod est lux, fuerit al bum, et color cum forma, quae oritur super ipsum, fuerit niger, aut obscurus, non obscurabitur illa forma, nisi albedine illius corporis tantum, et erit quasi umbra, et comprehendet uisus illud corpus non ualde album, sicut comprehendit corpus album in umbra. Quare non distinguetur ab eo for- ma. Et omne hoc erit ita, quando lux, quae est in corpore colorato, fuerit fortis, et forma, quae oritur ab eo super corpus oppositum, fuerit albedinis debilis. Si autem lux, quae est in corpore colorato, fuerit debilis: tunc forma, quae exit ab eo super corpus oppositum, erit obscura, et erit apud uisum, sicut colores, quos comprehendit in locis obscuris, in quibus est lux ualde debilis, et quasi colores corporum diaphanorum, super quae oritur lux debilis. Formae ergo colorum, quae sunt in corpori- bus coloratis, quando lux, quae est super ipsa, fuerit debilis, quando oriuntur super corpora opposi- ta sibi, non erunt, nisi umbrae tantum quo ad sensum uisus. Et si corpus oppositum colori fuerit in loco obscuro, nihil apparebit super ipsum propter suam obscuritatem, et obscuritatem formae uenien tis ad ipsum. Et si corpus oppositum illi colori fuerit in illuminato loco, et fuerit super ipsum lux, prae ter lucem illius formae, et fuerit illud corpus illuminatum: apparebit color eius super istam formam, et apparebit uisui color istius corporis, et non apparebit forma: quoniam est sicut umbra, et non di- stinguetur a uisu ista diminutio. Et si istud corpus, super quod est forma, fuerit album, et praeterea fuerit illuminatum cum alio lumine, praeter lumen formae: tunc forma obscurabit albedinem istius corporis, et lucem eius tantum propter suam obscuritatem, sicut faciunt umbrae in corporibus alijs: et formae, quae sunt huiusmodi, tantum comprehenduntur a uisu super corpora opposita coloribus. Visus ergo non comprehendit formam coloris super corpus oppositum colori, nisi quando forma secunda ueniens ad ipsum ex forma coloris, fuerit fortior, et potentior prima forma ueniente ad ipsam cum ea, ex luce et colore, quae sunt in corpore, super quod est forma. Et iste modus est ualde rarus: et propter hoc raro apparet huiusmodi forma, et non apparet ex ea, nisi illud, quod est ex coloribus fortibus scintillantibus. Et similiter quod lux debilis, non apparet super corpus oppositum sibi: est: quia corpus oppositum luci debili, quando fuerit illuminatum ab alio lumine, admiscebuntur duae lu- ces, et sic non distinguetur lux debilis a uisu. Et cum corpus oppositum luci debili fuerit obscurum, non apparebit forma lucis debilis super ipsum: quoniam forma lucis debilior est ipsa luce: et forma secunda ueniens ad oculum ab ista forma, ex qua oportet uisum comprehendere istam formam super corpus oppositum luci, est debilior ista forma. Cum ergo lux fuerit debilis, et corpus oppositum fuerit obscurum: erit forma, quae est super corpus oppositum, ualde debilis, et erit forma secunda, quae uenit ex illa, in fine debilitatis. Visus autem non comprehendit lucem, quae est in fine debilitatis. Formae ergo omnium colorum illuminatorum, et formae omnis lucis oriuntur super corpora opposita, et non appa rent pleraeque illarum propter caussas, quas diximus: et quaedam apparent, quando fuerint secundum mo- dum, quem narrauimus. Iam ergo declarata est caussa, propter quam non comprehendit uisus formas omnium colorum, quae sunt in corporibus coloratis super omnia corpora opposita illi, et comprehen- dit quasdam: et cum hoc comprehendit omnes colores, qui sunt in corporibus coloratis. Et caussa est, quia comprehendit colores, qui sunt in corporibus coloratis ex propria forma ueniente ad ipsum ex eis, quae est fortior forma secunda ueniente ad ipsum ex formis colorum, qui sunt super corpora opposita illi. Et comprehendit etiam formam colorum singularem non admixtam cum alia: et compre- hendit secundam formam uenientem ad ipsum ex formis colorum admixtam cum alia. Et hoc est quod promisimus declarare in fine capitis tertij. Et declaratum est modo, quod colores, quos comprehen- dit uisus ex rebus uisis, non comprehendit, nisi admixtos cum formis lucis, quae sunt in eis, et admix- tos cum omnibus formis orientibus super ipsos ex coloribus corporum oppositorum. Et si in cor- pore diaphano, quod est medium inter ipsos et uisum, fuerit aliqua spissitudo, admiscebitur color eius etiam cum eis, et uisus non comprehendit illum colorem singularem: sed tamen formae, quae oriuntur super corpora colorata, sunt in maiori parte ualde debiles: et formae secumdae, quae ueniunt ex eis ad uisum, sunt in fine debilitatis: et propter hoc erunt colores ipsorum corporum plerumque fortiores formis orientibus super ipsa. Et similiter si in corpore diaphano, quod est inter uisum et rem uisam, fuerit modica spissitudo, non distinguetur a uisu color eius a colore uisi uenientis cum eo, quando color uisi uenientis cum eo, fuerit fortior colore illius.

32. Lux uehemens tribus potissimum de caussis uisibilia quaedam obscurat. Vide 2 n.

QVare uero lux fortis prohibeat uisum a comprehensione quarundam rerum uisarum: est: quia formae, quae ueniunt ad uisum super unam uerticationem, non comprehenduntur a uisu, nisi admixtae. Et cum quaedam formae admixtae fuerint fortis scintillationis, et quaedam debi- lis, superabit forma fortis formam debilem, et sic non comprehendetur forma debilis a uisu. Et cum formae admixtae fuerint propinquae in fortitudine, comprehendentur a uisu, et erit comprehensio cuiuslibet illarum secundum illud, quod permiscebitur cum eis ex formis admixtis cum eis: quo- niam formae admixtae non comprehenduntur a uisu singulariter, sed admixtae. Stellae ergo non comprehenduntur a uisu in luce diei, quia lux, quae peruenit in aerem, est fortior luce stellarum. Cum ergo inspiciens aspexerit coelum in luce diei: erit aer, qui est inter ipsum et coelum, illu- minatus a luce solis, et continuatur cum uisu, et erunt stellae ex posteriori illius lucis. Venient ergo forma stellae, et forma lucis, quae est in aere medio inter uisum et stellam, ad uisum super unam uerticationem: et sic comprehendentur admixtae. Sed forma lucis diei est in ae- re fortior multo forma lucis stellae: quare superabit lux aeris lucem stellae, et sic non distin- guetur forma stellae. Et similiter est lux debilis, quae est in medio lucis fortis, sicut ignis de- bilis in luce solis, et sicut noctiluca in luce diei, et similibus: ista enim uisibilia quando fuerint in luce solis aut diei, uenient formae eorum ad uisum admixtae cum forma lucis fortis orientis super ipsas, et comprehendet uisus formam huiusmodi rerum uisarum admixtam cum forma lucis fortis. Quare superabit forma lucis fortis formam debilem. Et multoties latet lux debilis, et forma rei ui- sae debilis, quando peruenerit in uisum lux fortis, quamuis non sit peruentus duarum formarum ad uisum ex una uerticatione. Et hoc erit, quando peruentus duarum formarum fuerit ex duabus uer- ticationibus uicinantibus. Et hoc apparet nocte, et in luce ignis. Quoniam uisus quando compre- henderit lucem ignis, et fuerit ignis propinquus uisui, et fuerit lux eius fortis, et fuerit in opposi- tione uisus in illa dispositione aliquod uisibile, in quo est lux debilis accidentalis, et fuerit illud ui- sibile remotius a uisu quam ignis, et fuerit super uerticationem uicinantem uerticationi ignis: tunc uisus non comprehendet uisibile illud comprehensione uera. Et si aspiciens cooperuerit ignem a suo uisu, aut remouerit se a uerticatione ignis, ita ut sit uerticatio, a qua comprehendet illud uisibi- le, remota a uerticatione ignis: tunc comprehendet illud uisibile comprehensione manifestiore. Et caussa illius est, quod uisibile, in quo est lux debilis accidentalis, habet formam obscuram, et cum ipsam comprehenderit uisus, non autem comprehenderit cum ea lucem fortem: sentiet lucem de- bilem, in qua est aliquid obscuritatis inter uisum, aut priuationem lucis fortis a parte eius, in quam peruenit lux debilis. Et cum uisus comprehenderit formam lucis debilis, et comprehenderit cum ea lucem fortem: tunc etiam comprehendet lucem fortem in parte contingente partem uisus, qua comprehendebat formam obscuram: non comprehendet autem uisus lucem debilem, quae est in forma obscura propter duo: quorum unum est, quod lux fortis, quando peruenerit ad uisum, illu- minatur totus uisus, et cum totus uisus fuerit illuminatus, non apparebit in eo lux debilis, et maxi- me quando lux debilis fuerit proportionis minimae respectu lucis fortis. Alterum est coniunctio lucis debilis cum luce forti in duabus partibus uisus uicinantibus, et quia lux debilis respectu lucis fortis est fere obscuritas. Et cum lux appropinquabit ad formam obscuram debilem, et forma lucis fortis fuerit in uisu: non comprehendet uisus formam, quae est in luce obscura, neque comprehen- det etiam formam obscuram, nisi obscuritatem tantum: et sic non distinguetur ab eo forma, neque comprehendet eam comprehensione uera. Et occultatio formarum debilis lucis propter uicinita- tem lucis fortis, habet simile in coloribus: quoniam color fuscus si intingatur cum corpore albo pun- ctatim, apparebunt ipsa puncta nigra propter fortitudinem albedinis: et si eadem puncta fuerint po- sita supra corpora ualde nigra, apparebunt fere alba, et non apparebit obscuritas, quae est in eis. Et quando illa tinctura fuerit in corporibus, quae non sunt multum alba, neque multum nigra: appa- rebit color secundum suum esse. Et similiter quando color uiridis segetalis fuerit super corpus ci- trinum, apparebit illa tinctura obscura: et quando fuerit in corpore nigro, apparebit illa tinctura similis colori origani. Et similiter est omnis tinctura media inter duas extremitates. Visibilia ergo uicinantia, quando fuerint remota in fortitudine et debilitate coloris: quod est debilis coloris, la- tebit uisum: quoniam qualitates lucis et coloris non comprehenduntur a uisu, nisi respectu eorum inter se. Et lux fortis non prohibebit uisum a comprehensione uisibilium lucis debilis, nisi pro- pter admixtionem formae lucis debilis cum formis eorum, et propter uictoriam formarum lucis fortis super formas lucis debilis, et debilitatem sensus ad comprehendendum illud, quod est mini- mae proportionis, respectu fortis. Iam ergo compleuimus declarationem omnium rerum depen- dentium ab illo capitulo.

DE OFFICIO ET VTILITATE INSTRVMEN- torum uisus. Caput sextum.

33. Multiplex et uaria est partium uisus utilitas: diuersaque sunt ipsarum inter ipsas officia. 4 p 3.

TVnicae, quas diximus in declaratione formae uisus, sunt instrumenta, per quae completur ui- sio. Tunica uero prima, quae dicitur cornea, est tunica diaphana, et nonnihil fortis, et est super- posita foramini, quod est in anteriori uueae. Et prima utilitas eius est, quod cooperit foramen uueae: quare retinet humorem albugineum, qui est in anteriori uueae: et est diaphana, ut transeant in ea formae lucis et coloris ad interius uisus: quoniam non transeunt, nisi per diaphana. Fortitudo autem eius est, ut non corrumpatur cito: quoniam est exposita aeri, et potest cito corrumpi ex fu- mo, et puluere, et similibus. Humor autem albugineus est diaphanus, et est humidus et fluxibilis. Diaphanus autem est, ut pertranseant in eo formae, et perueniant in eo ad humorem glacialem: humiditas autem eius est, ut semper humefaciat humorem glacialem, ita ut eius natura sit cu- stodita: quoniam tela, quae est super glacialem, est ualde tenuis, et nimia siccitate potest cor- rumpi. Tunica autem nigra continens humorem albugineum, quae est uuea, est nigra, et fortis, spissa, et sphaerica: et in anteriori eius est foramen rotundum, sicut narrauimus. Nigredo ue- ro eius est, ut obscuretur humor albugineus et glacialis, ita ut appareant in eis formae lucis debi- lis: quoniam lux debilis ualde apparet in locis obscuris, et latet in locis luminosis. Et est aliquan- tulum fortis, ut retineat humorem albugineum, et ut non resudet ex eo aliquid foras. Et est spissa, ut sit obscura: quoniam si esset rara, esset diaphana: sed cum fuerit spissa, obscurabitur anterior pars eius. Et est sphaerica, quia magis temperata figurarum est sphaerica, et est magis remota ab offen- sionibus: habens enim angulos, citius alteratur per angulos. Foramen autem, quod est in ante- riori istius tunicae, est, ut pertranseant ipsum formae ad interius uisus: et est rotundum, quia rotundi- tas est simplicissima figurarum, et amplissima isoperimetrarum. Humor autem glacialis habet multas proprietates, per quas completur sensus: quoniam est humidus et subtilis: et est in eo aliquid dia- phanitatis et spissitudinis: et super ipsum est tela ualde rara: et figura superficiei eius est composita ex duabus superficiebus sphaericis diuersis: et anterior illarum est maioris sphaericitatis altera. Est au- tem humidus, ut citius patiatur a luce: et est subtilis, quia talia corpora sunt subtilis sensus: et est ali quantulum diaphanus, ut recipiat formas lucis et coloris, et ut pertranseant per ipsum lux et color: et est aliquantulum spissus, ut remaneant in eo diu formae lucis et coloris, ita ut appareat uirtuti sen- sibili forma lucis et coloris, quae figebantur in eo. Nam si esset diaphanus in fine diaphanitatis, per- transirent formae in eo, et non pateretur a formis passione, quae est ex genere doloris: et sic non com- prehenderet formas. Tela autem quae est super istum humorem, est, ut retineat ipsum, ne fluat: quoniam humores non retinerentur, sed aliquo fluerent, et non remanerent secundum unam figuram. Et ista tela est ualde rara, ut non occultet formas uenientes: et est sphaerica propter caussam, quam diximus. Et superficies anterioris eius est ex sphaera maiori, ut sit aequidistans superficiei anteriori uisus, ita ut centrum illarum sit unum punctum. Neruus autem opticus, super quem componitur oculus totus, est cauus, ut currat per ipsum spiritus uisibilis a cerebro, et perueniat ad glacialem, et det ipsi uirtutem sensibilem successiue, et ut pertranseant etiam formae in corpore subtili currente in suo concauo, quo- usque perueniant ad ultimum sentiens, quod est in anteriori cerebri. Et principia duorum neruorum, super quos componuntur oculi duo, sunt in duabus partibus anterioris cerebri, ut situs duorum ocu- lorum a suis principijs sit situs consimilis: et non fuit principium eorum a medio anterioris cerebri, quia iste locus est proprius sensui ordinatus Quare autem sint duo oculi, est benignitas operatoris, ut si uni illorum accideret interitus, remaneret alter, et ut forma faciei esset pulchrior. Caussa autem, propter quam concurrant isti duo nerui, iam fuit dicta in qualitate uisionis.

34. Superficies tunicarum uisus sunt globosae 3. 4 p 3.

SVperficies uero tunicarum oculi sunt sphaericae et aequidistantes, et centrum illarum est unum punctum: ita ut perpendicularis, quae est super primam illarum, sit perpendicularis etiam super omnes: et sunt sphaericae, ut exeant omnes ab uno puncto, quod est centrum illarum: deinde di- stent apud extremitates secundum remotionem a centro: ita ut pyramis extensa a centro, contineat omnes perpendiculares exeuntes ab illa re uisa, et distinguat ex superficie uisus et membri sentientis partem, licet paruam, continentem tamen totam formam uenientem a re uisa ad uisum. Et si super- ficies tunicarum uisus essent planae, non ueniret forma uisi ad uisum super perpendiculares, nisi esset uisus aequalis uiso. Et nulla figura est, in qua adunantur perpendiculares, et concurrunt in unum pun- ctum, nisi figura sphaerica: et cum ista dispositione possunt exire a centro uisus multae pyramides ad multa uisa in eodem tempore: et quaelibet illarum distinguet partem paruam membri sentientis, con tinentem formam illius uisi. Et omnes tunicae habent idem centrum propter illud, quod diximus: et est, ut perpendiculares exeuntes a re uisa ad unam istarum, sint perpendiculares super omnes, et ut pertranseant etiam formae omnes secundum unam uerticationem. Quare uero nihil comprehendat ui- sus ex rebus uisibilibus, nisi ex uerticationibus istarum perpendicularium tantum: est: quia per istas perpendiculares tantum ordinantur partes rei uisae in superficie membri sentientis. Et hoc fuit iam ma- nifestum antea [18 n] quoniam non potest ordinari forma rei uisae in superficie membri sentientis, nisi sit receptio eius ad formam ex istis uerticationibus tantum. Et propter hoc appropriatur natura uisus ista proprietate, et naturatur, ut non recipiat aliquam formam, nisi secundum situm istarum uerticatio- num tantum. Et appropriatio uisus, habita hac proprietate, est una rerum ex quibus apparet maxima discretio operatoris, et bonitas praeparationis naturae, praeparando instrumeta uisus, et formam, per quam completur sensus, et per quam distinguuntur uisibilia. Consolidatiua autem continet omnes istas tuni- cas: et in ea est aliquid humiditatis, et pręterea habet aliquid retentionis, et est aliquantulum fortis. Et continet istas tunicas, ut congreget et conseruet illas: et est aliquantulum humida, ut praeparentur loca tuni carum ex ea, et ut non accidat siccitas uelociter illis tunicis: et est aliquantulum retentiua et fortis, ut con- seruet situs et figuras tunicarum, ut non alterentur cito: et est alba, ut sit per ipsam forma faciei pulchra.

35. Oculus est globosus. 3 p 3.

ET totus oculus est rotundus, quoniam rotunditas est melior figuris, et maior, et leuioris motus. Oculus autem indiget motu, et uelocitate motus, ita, ut sit oppositus per motum multis uisibili- bus in eodem tempore, et ut sit oppositus propter motum omnibus partibus rei uisae, medium aspi- ciens, ita ut comprehendat ipsum comprehensione uera, et consimili: quoniam sensus per medium mem- bri sentientis est manifestor. Et hoc declarabimus post in loco conueniente. Velocitas autem motus uisus est, ut aspiciat omnes partes rei uisae, et uisibilia sibi opposita in modico tempore. Palpebrae au- tem sunt, ut conseruent oculum in somno, et ut faciant oculum quiescere, quando fatigatur a lumine, quoniam luces fortes nocent oculis: et si continue aperirentur oculi, supra modum debilitarentur: et hoc apparet, quando oculi aspiciunt lucem fortem longo tempore. Et similiter nocet uisui aer, quan- do in eo fuerit fumus, aut puluis. Palpebrae ergo cooperiunt oculum a luce, quando indiget, et conser- uant ipsos ab aere, et abstergunt ab eis multa nocumenta: deinde quando fatigantur, superponuntur palpebrae eis, ita ut cumpleatur in eis sua requies: et sunt uelocis motus, ut citius superponantur oculis, dum appropinquant nocumenta oculis. Cilia autem sunt ad temperandam quandam par- tem lucis, quando dolebit uisus propter fortitudinem lucis: et propter hoc adunat aspiciens ocu- lum, et constringit, ita ut possit aspicere ab angusto, quando lux fortis nocuerit ei. Ista ergo, quae di- ximus, sunt utilitates instrumentorum uisus: ex quibus manifestatur magna discretio operatoris. Sit ergo nomen eius benedictum, et bonitas praeparationis naturae.

DE IIS SINE QVIBVS VISIO NON PO- test compleri. Caput septimum.

36. Ad uisionem perficiendam sex inprimis necessaria sunt.

IAm ergo declaratum est superius, quod uisus nihil comprehendit ex rebus uisis, quae sunt cum eo in eodem aere, ita ut comprehensio earum ab eo non sit secundum refractionem, nisi quando aggregatae fuerint istae res: et sunt, ut sit inter ea aliquid spatij: et sit opposita uisui illa res, ita ut sit inter quodlibet punctum eius superficiei, quam comprehendit uisus, et inter aliud punctum su- perficiei uisus, linea recta imaginabilis: et ut sit in ea lux: et ut sit corpus eius aliquantulum, in respe- ctu uirtutis sensus uisus: et ut sit aer medius diaphanus, continuae diaphanitatis, et non sit in eo aliud corpus non diaphanum: et ut sit res uisa resistens uisui, scilicet ut non sit in ea diaphanitas, aut si sit, sit spissior diaphanitate aeris medij inter ipsam et uisum. Visus autem non comprehendet rem ui- sam, nisi quando aggregabuntur istae sex intentiones: et si res uisa caruerit una istarum intentionum, non comprehendetur a uisu. Indigentia autem uisus ab unaquaque istarum intentionum, non est nisi propter aliquam caussam.

37. Distantia inter uisum et uisibile. 15 p 3.

QVare ergo non comprehendat uisus rem uisam, nisi quando inter ea fuerit distantia aliqua, et non comprehendat ipsam, quando applicatur ei, est propter duas caussas. Quarum una est, quia uisus non comprehendit rem uisam, nisi quando in ea fuerit lux aliqua, [per 3 n] et quando fuerit applicata uisui, et non fuerit illuminata per se, non erit in sua superficie uicinante ui- sui lux: quoniam corpus oculi secundum situm suum tunc prohibetur a uisu. Res autem luminosae per se non possunt applicari superficiei uisus: quoniam res illuminatae per se sunt stellae, et ignis, quae non possunt applicari superficiei uisus. Caussa autem secunda est, quia uisio non fit, nisi ex parte opposita foramini uueae ex medio superficiei uisus [per 4 n] et si res uisa applicetur uisui, non superponetur isti parti uisui. nisi pars aequalis illi tantum ex re uisa: et si uisus comprehenderet rem uisam per ap- plicationem, non comprehenderet, nisi partem applicatam parti oppositae foramini tantum, et non comprehenderet residuum rei uisae. Et si moueatur res uisa super superficiem uisus, quousque contin- gat totam superficiem rei uisae secundum partem mediam uisus, comprehendet partem post partem aliam, et dum comprehendet partem secundam, non comprehendet partem primam: et sic non po terit comprehendere totam rem uisam simul. Et cum ita sit, non figurabitur in eo forma rei uisae: ita ut si aliqua res uisa esset super corpus densum, et esset in illo corpore denso foramen minoris quan- titatis re uisa, et res uisa esset applicata foramini, non comprehenderet ex ea, nisi partem suppositam foramini tantum: deinde si res uisa moueatur super foramen, quousque comprehendatur a uisu pars post aliam, non figuratur in uisu tota forma eius. Si ergo uisio esset per tactum, non comprehenderet uisus totam rem uisam, neque figuram et formam eius, nisi esset res uisa aequalis parti mediae superfi- ciei uisus, per quam erit uisio: neque etiam sic potest comprehendere multas res uisas in eodem tem- pore. Et cum inter uisum et rem uisam fuerit aliquod spatium, poterit rem uisam comprehendere in eodem tempore totam ex parte parua, quamuis sit res uisa magna: et potest comprehendere res ui- sas multas simul in eodem tempore: et cum res uisa fuerit remota a uisu, erit possibile oriri lucem super superficiem uisus oppositam uisui Propter istas igitur duas caussas non comprehendit uisus quicquam ex rebus uisibilibus, nisi sit inter ea aliquod spatium.

38. Collocatio uisibilis ante uisum directa. 2 p 3.

QVare uero non comprehendat uisus rem uisam, quae est cum eo in eodem aere, et in parte opposita illi, nisi sit inter quodlibet punctum eius, et aliquod punctum partis superficiei ui- sus. per quam erit uisio, linea recta: est: quia declaratum est, quod uisio non sit, nisi ex formis uenientibus a re uisa ad uisum, et quod formae non comprehendantur, nisi secundum lineas rectas: [per 14 n] et propter hanc caussam non comprehendit uisus rem, nisi sit inter ea linea recta. Et si se- cuerint corpora densa media omnes lineas, quae sunt inter ea, latebunt res uisae uisum: et si secuerit illud corpus quasdam illarum linearum rectarum, latebit uisum quaedam pars, quae est apud extre- mitatem linearum resectarum per corpus densum.

39. Lux. 1 p 3.

QVare uero uisus non comprehendat rem uisam, nisi sit in ea lux, est propter duas caussas: aut quia for mae uisae non extenduntur in aere, nisi sit lux cum colore, [per 3 n] aut quia forma coloris extenditur in aere, quamuis non sit cum ea lux: sed non operatur in uisum operatione sensibili, nisi per lucem. Et manifestum est, quod forma lucis manifestior est, forma coloris, et quod lux operatur operatione manife stiore: et quod forma coloris, quia est debilis, non potest operari in uisum, sicut operatur lux. Et forma coloris, quae est in corpore illuminato, semper est admixta cum forma lucis, et cum peruenerit ad uisum, semper operatur in ipsum per suam fortitudinem et praeparationem uisus, ut patiatur ex ea: et quia admiscetur cum forma coloris, et non distinguitur ab ea, non sentit uisus formam lucis, nisi admixtam cum forma coloris. Visus ergo non sentit colorem rei uisae, nisi ex colore admixto cum forma lucis ueniente ad ipsum ex re uisa: et propter hoc alterantur colores multarum rerum uisarum apud uisum per alterationem lucis super ipsas. Quia ergo forma coloris non operatur in uisum, nisi admixta sit cum lumine, et non est ex colore forma nisi sit in ea lux: nihil comprehendit uisus ex re- bus uisibilibus, nisi quando in eis fuerit aliqua lux.

40. Magnitudo rei uisibilis. 19 p 3.

QVare uero non comprehendat uisus rem uisam, nisi sit corpus eius in aliqua quantitate: est: quia declaratum est, [19 n] quod forma rei uisae non perueniat ad uisum, nisi ex pyramidibus, quarum caput est centrum uisus, et basis superficies rei uisae, et quod ista pyramis distinguat ex superficie membri sentientis paruam partem, in qua ordinatur forma rei uisae: et si res uisa fuerit ual- de parua, erit pyramis, quae est inter ipsam et centrum uisus, ualde parua. Erit ergo pars distincta ex membro sentiente, quasi punctum, ualde parua: sed sentiens non sentit formam, nisi quando pars suae super- ficiei, ad quam peruenit forma, fuerit quantitatis sensibilis, respectu totius apud totum membrum Et uir tutes sensus etiam sunt finitae. Et cum pars membri sentientis, ad quam peruenit forma, non est quan titatis sensibilis apud totum membrum sentiens, non sentiet passionem, quae illi accidit, propter par- uitatem ipsius. Quare non comprehendit formam. Res ergo uisa, quae potest comprehendi a uisu, est illa, in qua pyramis, quae figuratur inter rem uisam et centrum uisus, distinguet ex superficie glacialis partem quantitatis sensibilis respectu totius superficiei glacialis. Et iste sensus erit secundum tantum, ad quantum peruenit uirtus sensitiua, et non extenditur ad infinitum, et diuersatur secundum diuer- sitatem uirtutis oculi. Et cum pyramis, quae figuratur inter rem uisam et centrum uisus, distinxerit ex superficie glacialis partem quantitatis insensibilis, respectu totius superficiei glacialis, non potest uisus comprehendere illam rem. Et propter hoc non comprehendet uisus rem ualde paruam.

41. Perspicuitas corporis inter uisum et uisibile interiecti. 13 p 3.

QVare uero uisus non comprehendat rem uisam, nisi quando corpus medium inter ipsum uisum et rem uisam fuerit diaphanum: est: quia uisio non est nisi ex forma ueniente ex re ui- sa ad uisum [per 14 n] formae autem non extenduntur nisi in corporibus diaphanis, et ui- sio non completur, quando res uisa fuerit cum uisu in eodem aere, et fuerit comprehensio non se- cundum refractionem, nisi quando aer fuerit continuus inter rem uisam, et non absciderit rectas li- neas, quae sunt inter ea, corpus densum: quoniam forma non extenditur in aere consimilis diapha- nitatis, nisi secundum lineas rectas. Et propter hoc uisus non comprehendit rem uisam, quae est cum eo in eodem aere, et in parte opposita uisui, nisi quando aer medius inter ea fuerit diaphanus, con- similis diaphanitatis.

42. Densitas ac soliditas uisibilis. 14 p 3.

QVare uero uisus non comprehendat uisam rem, nisi quando in ea fuerit densitas, aut aliquid densitatis: est propter duas caussas: quarum altera est, quia quod est densum, est coloratum, et ex colore uenit forma ad uisum, ex qua comprehendit uisus colorem rei uisae: quod autem est in fine diaphanitatis, caret colore: quare non comprehendetur a uisu. Et caussa secunda est, quo- niam uisus non comprehendit rem uisam, nisi sit illuminata, et ueniat ex luce, quae est in ea, forma secunda ad uisum cum forma coloris, et non erit forma secunda ex luce oriente super aliquod cor- pus, nisi figatur lux in illo corpore, super quod oritur: ergo cum lux fuerit fixa in corpore illo, erit ex eo forma secunda: et quando lux orietur super corpus diaphanum ualde, non figetur in eo, sed exten detur in sua diaphanitate. Cum ergo corpus diaphanum fuerit oppositum uisui, et super ipsum oritur lux ex parte, in qua est uisus, in eo extendetur, et non figetur in sua superficie: et sic non erit in super- ficie opposita uisui istius corporis lux, ex qua uenit forma ad uisum. Et si fuerit illud illuminatum, cuius lux oritur super illud corpus diaphanum, oppositum uisui, pertransibit lux eius in corpus dia- phanum, et perueniet ad uisum, et nihil deferet secum ad uisum ex colore corporis diaphani: quoniam corpus diaphanum, quod est in fine diaphanitatis, non habet colorem. Visus ergo comprehendet ex illo loco corpus illuminatum, cuius lux oritur super corpus diaphanum, post corpus diaphanum: et non comprehendet corpus diaphanum propter hoc: quia non comprehendit uisus rem uisam, quae est in fine diaphanitatis. Et cum diaphanitas corporis fuerit similis diaphanitati aeris, erit eius dispo sitio, sicut dispositio aeris, et non comprehendetur a uisu, sicut nec aer. Et corpora diaphana, quorum diaphanitas non est spissior diaphanitate aeris, non comprehendentur a uisu: quoniam nulla forma uenit ex eis ad uisum, quae possit operari in uisum. Et similiter accidit si inter uisum et rem uisam fuerit medium corpus diaphanum praeter aerem, et fuerit diaphanitas rei uisae non spissior diapha- nitate corporis medij. Et cum res uisa fuerit densa, erit colorata, et cum super ipsam oritur lux, fige- tur in sua superficie, et erit ex colore eius, et ex luce, quae oritur super ipsam, forma, quae extendi- tur in aere, et in corporibus diaphanis: et cum ista forma peruenerit ad ipsum uisum, operabitur in eo, et ex ea sentiet uisus rem uisam. Et cum res uisa fuerit diaphana, sed minus quam aer: habe- bit colorem secundum suam spissitudinem: et cum aer super ipsam oritur, lux figetur in ea aliqua fixione, secundum illud, quod est in ea de spissitudine, et pertransibit in ea secundum suam diapha- nitatem, et erit ex ea, forma in aere secundum colorem et lucem, quae sunt in sua superficie: et cum illa forma peruenerit ad uisum, operabitur in uisum, et sentiet uisus illam rem uisam. Et propter istam caussam non comprehendit uisus ex rebus uisibilibus, nisi quando ipsum uisibile fuerit densum, aut fuerit in eo aliquid densitatis. Iam ergo declaratę sunt caussae, propter quas nihil comprehendit ui- sus, nisi quando fuerint aggregatae intentiones praedictae. Et hoc, quod declarauimus, est illud, quod intendimus declarare in isto tractatu.

ALHAZEN FILII ALHAYZEN OPTICAE LIBER SECVNDVS.

DECLARATVM est qualiter fiat uisio: et est qualitas sensus uisus a forma lucis et coloris, quae sunt in re uisa, ordinatorum ita, sicut sunt in superficie rei uisae: Visus autem comprehendit ex rebus uisibilibus multas intentio- nes praeter lucem et colorem. Et etiam declaratum est in primo tractatu [18 n] quod uisio non sit, nisi ex uerticationibus linearum radialium: et lineae radia- les diuersentur in suis dispositionibus: et similiter diuersantur dispositiones formarum uenientium super ipsas ad uisum. Et etiam comprehensio uisus a re uisa non est in omni- bus corporibus, et in omnibus uisibilibus: sed diuersatur qualitas sensus uisus a rebus uisibilibus: et diuersatur qualitas sensus uisus ab una re uisa secundum situm unum, et secundum eandem distantium. Et nos diuidemus istum tractatum in tria capita. In primo declarabimus diuersitatem dispositionum linearum radialium, et distingue- mus proprietates earum. In secundo declarabimus omnes intentiones comprehensas a uisu, et qualiter comprehendat uisus quamlibet illarum. In tertio declarabimus diuer- sitatem comprehensionis uisus ab eis.

DE DIVERSITATE DISPOSITIONVM LINEARVM radialium, et distinctione proprietatum ipsarum. Caput primum.

1. Recta connectens centra partium uisus, est axis pyramidis opticae. 18 p 3.

IAm declaratum est in primo tractatu [18. 2o n] quod lineae radiales, ex quarum uerticationibus comprehendit uisus uisibilia, sunt lineae rectae, quarum extremitates concurrunt apud centrum uisus. Et iam declaratum est in forma uisus [4 n 1] quod membrum sentiens, quod est membrum glacialis, est compositum super extremitatem concauitatis nerui, super quem compositus est ocu- lus totus: et quod iste neruus non gyratur nisi a posteriori centri uisus, et a posteriori totius oculi, et apud foramen, quod est in concauo ossis. Et iam declaratum est [7. 9 n 1] quod linea recta tran- siens per omnia centra tunicarum uisus, extenditur in medio concaui nerui, et transit per medium foraminis, quod est in anteriori uueae. Et iam declaratum est [5. 13 n 1] quod centrum istius lineae non diuersatur respectu totius uisus, neque respectu superficierum tunicarum uisus, neque respectu par- tium uisus. Linea ergo recta transiens per omnia centra tunicarum uisus, semper extenditur recte ad locum gyrationis concaui nerui, super quem componitur oculus, in omnibus dispositionibus, siue sit uisus in motu, siue in quiete. Et quia ista linea transit per centrum uisus, et per centrum fo- raminis, quod est in anteriori uueae, et per centrum uueae extenditur in medio pyramidis, cuius cen- trum est uisus: et continet ipsam circumferentia foraminis, quod est in anteriori uueae: appellemus ergo istam lineam axem pyramidis. Et declaratum est etiam in ipso tractatu primo [19 n] quod py- ramis figurata inter rem uisam et centrum uisus, distinguit ex superficie glacialis partem continen tem totam formam rei uisae, quae est apud basim illius pyramidis: et erit forma ordinata in ista parte superficiei glacialis per uerticationem linearum radialium extensarum inter rem uisam et uisum, secundum ordinationem partium superficiei rei uisae. Cum ergo uisus comprehenderit aliquam rem uisam, et peruenerit eius forma in partem superficiei glacialis, quam distinguit pyramis praedicta: quodlibet punctum formae praedictae est super lineam radialem extensam inter illud punctum, et punctum oppositum illi in superficie rei uisae, super quam uenit forma ad illud punctum in superfi- ciem glacialis recte. Cum ergo forma rei uisae fuerit in medio superficiei glacialis, erit axis praedi- ctus una linearum, super quas ueniunt formae punctorum, quae sunt in superficie rei uisae: et erit punctum superficiei rei uisae, quod est apud extremitatem istius axis, illud, super quod uenit forma eius iuper istum axem. Et declaratum est in primo tractatu [26 n] quod formae, quae comprehendun tur per uisum, extenduntur in corpore glacialis, et in concauo nerui, super quem componitur ocu- lus, et perueniunt ad neruum communem, qui est apud medium interiorisanterioris cerebri, et illic est com- prehensio sentientis ultimo a formis rerum uisibilium: et quod uisio non completur, nisi per aduen tum formae ad neruum communem: et quod extensio formarum a superficie glacialis intra corpus glacialis, est secundum rectitudinem linearum rectarum radialium tantum: quoniam glacialis non recipit istas formas, nisi secundum uerticationem linearum radialium tantum.

2. Crystallinus et uitreus humores perspicuitate differunt. Itaque forma uisibilis refringitur in superficie uitrei humoris. 21 p 3.

ET ultimum sentiens non comprehendit situs partium rei uisae, nisi secundum suum situm in superficie rei uisae Et cum situs partium formae inter se scilicet formae peruenientis ad super- ficiem glacialis, sint situs partium superficiei rei uisae inter se [per 18 n 1] et istae formae exten dantur, sicut praedictum est: et cum omnia ista ita sint: uisio ergo non complebitur, nisi post aduen- tum formae, quae est in superficie glacialis, ad neruum communem, et situs partium eius secundum suum esse in superficiem glacialis sine aliqua admixtione. Forma autem non peruenit a superficie glacialis ad neruum communem, nisi per extensionem eius in concauo nerui, super quem compo- nitur oculus siue humor glacialis. Si ergo forma non perueniat in concauum istius nerui secundum suum esse in glaciali, neque etiam perueniet ad neruum communem secundum suum esse. Forma autem non potest extendi a superficie glacialis ad concauum nerui secundum rectitudinem linearum rectarum, et con seruare situs partium secundum esse suum: quoniam omnes illae lineae concurrunt apud centrum ui- sus, et quando fuerint extensae secundum rectitudinem, post centrum conuertetur situs earum, et quod est dextrum, efficietur sinistrum, et e contrario, et superius inferius, et inferius superius. Si ergo forma fuerit extensa secundum rectitudinem linearum radialium, congregabitur apud centrum ui- sus, et efficietur quasi unum punctum. Et quia centrum uisus est in medio totius oculi, et ante locum gyrationis concaui nerui: si forma fuerit extensa a centro oculi, et ipsius unum punctum super unam lineam: perueniet ad locum gyrationis, et ipsius unum punctum: et sic non perueniet forma tota ad locum gyrationis: quia non nisi unum punctum, scilicet, quod est in extremitate axis pyramidis. Et si fuerit extensa secunduum rectitudinem linearum radialium, et pertransierit per centrum: erit con uersa secundum conuersionem linearum se secantium, super quas extendebatur. Non potest ergo forma peruenire a superficie glacialis ad concauum nerui, ita ut situs partium sit secundum suum esse: non potest ergo forma peruenire a superficie glacialis ad concauum nerui, nisi secundum lineas re- fractas, secantes lineas radiales. Et cum ita sit, uisio ergo non complebitur, nisi postquam refracta fue- rit forma, quae peruenit a superficie glacialis, et extenditur super lineas secantes lineas radiales. Ista ergo refractio debet esse ante peruentum ad centrum: quoniam si fuerint refractae post transitum cen tri, erunt conuersae. Et iam declaratum est [18 n 1] quod ista forma pertranseat in corpore glacialis secundum rectitudinem linearum radialium: et cum non possit peruenire ad concauum nerui, nisi postquam refracta fuerit super lineas secantes lineas radiales: forma ergo non refringitur, nisi per transitum eius in corpore glacialis. Et iam praedictum est [4 n 1] in forma uisus, quod corpus gla- cialis est diuersae diaphanitatis, et quod pars posterior eius, quae dicitur humor uitreus, est diuersae diaphanitatis a parte anteriore: et nullum corpus est in glaciali diuersae formae a forma corporis an terioris, praeter corpus uitreum: et ex proprietate formarum lucis et coloris est, ut refringantur, quan- do occurrerint alij corpori diuersae diaphanitatis a corpore primo. Formae ergo non refringuntur, nisi apud peruentum earum ad humorem uitreum. Et istud corpus non fuit diuersae diaphanitatis a carpore anterioris glacialis, nisi ut refringerentur formae in ipso. Et debet superficies istius corpo ris antecedere centrum, ut refringantur formae apud ipsum, antequam pertranseant centrum: et de- bet ista superficies esse consimilis ordinationis: quoniam si non fuerit consimilis ordinationis, ap- parebit forma monstruosa propter refractionem.

3. Communis sectio crystallinae et uitreae sphaerarum aut est plana: aut est pars sphaerae maioris crystallina sphaera. Et habet centrum diuer- sum ab oculi centro. 23 p 3.

SVperficies autem consimilis ordinationis aut est plana, aut sphaerica. Et non potest ista superficies esse ex sphaera, cuius centrum est centrum uisus: quoniam si ita esset, essent lineae radiales semper perpendiculares super ipsam: et sic extenderetur forma secundum rectitudinem earum, et non re- fringeretur. Neque potest esse ex sphaera parua: quoniam, si fuerit ex sphaera parua, quando forma refrin- getur ab ea, et elongabitur ab ea, fiet monstruosa. Ista ergo superficies aut est plana, aut sphaerica e sphaera alicuius bonae quantitatis: ita quod sphaericitas eius non operabitur in ordinatione formae. Superficies ergo humoris glacialis, quae est differentia communis inter istud corpus uitrei et corpus anterius glacialis, est superficies consimilis ordinationis antecedens centrum uisus Et omnes formae peruenientes in superficiem glacialis, extenduntur in corpore glacialis secundum rectitudinem linearum radialium, quousque perueniant ad istam superficiem, et cum peruenerint ad superficiem istam: refringuntur apud ipsam secundum lineas consimilis ordinationis, secantes lineas radiales. Lineae ergo radiales non iuuant ad ordinationem formarum rerum uisibilium, nisi apud glacialem tantum: quoniam apud membrum istud principium est sensus. Et declaratum est in primo tractatu etiam [15. 16. 18 n] quod impossibile est, ut forma rei uisae sit ordinata in superficie uisus cum imagine rei uisae et paruitate rei sentientis, nisi per istas lineas. Istae ergo lineae non sunt, nisi instrumentum uisus, per quas completur comprehensio rerum uisarum secundum suum esse. Peruentus autem formarum ad ultimum sen- tiens, non indiget extensione secundum rectitudinem istarum linearum.

4. Humor crystallinus lucem et colorem aliter recipit, quam caetera perspicua corpora. 22 p 3. Idem 30 n 1.

ET receptio formarum in membro sentiente non est, sicut receptio formarum in corporibus diaphanis: quoniam membrum sentiens recipit istas formas, et sentit eas, et pertranseunt in eo propter suam diaphanitatem et uirtutem sensibilem, quae est in eo. Recipit ergo istas formas secundum receptionem sensus. Corpora autem diaphana non recipiunt istas formas, nisi receptio- ne, qua recipiunt ad reddendum, et non sentiunt ipsas. Et cum receptio corporis sentientis ab istis formis non sit sicut receptio corporum diaphanorum, non sentientium: extensio formarum in cor- pore sentiente non debet esse secundum uerticationes, quas corpora diaphana exigunt. Visus ergo non est appropriatus receptioni formarum ex uerticationibus linearum radialium tantum: nisi quia proprietas formarum est, ut extendantur in corporibus diaphanis super omnes uerticationes rectas. Et cum istae formae peruenerint ad membrum sentiens ordinatae, et comprehendantur a membro sentiente ordinatae: nihil remanebit post, indigens istarum uerticationibus. Pars ergo anterior tan- tum glacialis est appropriata receptioni formarum ex uerticationibus linearum radialium: poste- rior autem pars, quae est humor uitreus: et uirtus recipiens, quae est in illo corpore, non est appropriata cum suo sensu istarum formarum, nisi ad custodiendum eorumearum ordinationem tantum.

5. Crystallinus et uitreus humores dissimiliter lucem et colorem recipiunt. 22 p 3.

ET cum ita sit, qualitas ergo receptionis uitrei a formis non est sicut receptio corporis siue qua- litas corporis anterioris glacialis: et uirtus recipiens, quae est in uitreo, non est uirtus recipiens, quae est in parte anteriori. Et cum qualitas receptionis uitrei a formis, non sit qualitas partis anterioris glacialis: refractio ergo formarum apud superficiem uitrei, non est nisi propter diuersi- tatem qualitatis receptionis sensus inter ista duo corpora. Formae ergo refringuntur apud uitreum duabus de caussis: quarum altera est diuersitas diaphanitatis duorum corporum: et altera diuersi- tas qualitatis receptionis sensus inter ista duo corpora. Et si diaphanitas ista duorum corporum es- set consimilis: esset forma extensa in corpore uitreo secundum rectitudinem linearum radialium, propter consimilitudinem diaphanitatis: et esset refracta propter diuersitatem qualitatis sensus: et sic esset forma propter refractionem monstruosa, aut duae formae essent propter istam dispositionem. Et cum diuersitas diaphanitatis affirmet refractionem, et diuersitas qualitatis sensus affirmet illam refractionem aut obliquationem: erit forma post refractionem una forma. Et propter hoc diuersa- tur diaphanitas corporis uitrei, et diaphanitas corporis anterioris glacialis. Formę ergo perueniunt ad uitreum ordinatae, secundum ordinationem earum in superficie uisi: et recipit ipsas istud corpus, et sentit ipsas: deinde refringitur forma propter diuersitatem diaphanitatis, et diuersitatem sensus istius corporis, et sic peruenit forma secundum dispositionem suam: deinde extenditur iste sensus, et istae formae per hoc corpus, quousque perueniat iste sensus, et istae formae ad ultimum sentiens: et erit extensio sensus et extensio formae in corpore uitreo, et in corpore sentiente extenso in concauo nerui, ad ultimum sentiens, sicut extensio sensus tactus et sensus doloris ad ultimum sentiens: sen- sus autem tactus et sensus doloris non extenduntur a membris, nisi in filis neruorum, et in spiritu extenso secundum ista fila.

6. Humor uitreus et spiritus uisibilis eadem fere perspicuitate praediti sunt. 22 p 3.

ET formae rerum uisibilium quando peruenerint in corpus humoris uitrei, extendetur sensus ab illo membro in corpus sentiens, extensum in concauo nerui continuati inter uisum et an- terius cerebri: et secundum extensionem sensus, extenduntur formae ordinatae secundum suam dispositionem: quoniam corpus sentiens naturaliter seruat ordinationem istarum formarum. Et ista ordinatio conseruatur in corpore sentiente: quoniam ordinatio partium corporis sentien- tis, recipientium partes formarum, et ordinatio uirtutis recipientis, quae est in partibus corporis recipientis, est in corpore uitrei, et in omni corpore subtili extenso in concauo nerui, ordinatio con- similis. Et cum ita sit, quando forma peruenit ad quodlibet punctum superficiei uitrei, curret in uer- ticatione continua, et non alterabitur eius situs in concauitate nerui, in quo extenditur corpus sen tiens: et erunt omnes uerticationes istae, per quas currunt omnia puncta, quae sunt in forma, consi- milis ordinationis inter se: et erunt omnes istae uerticationes gyrantes apud gyrationem nerui: et erunt apud gyrationem ordinatae secundum suam ordinationem ante gyrationem, et post, propter qualitatem sensus istius corporis: et sic perueniet forma ad neruum communem secundum suam dispositionem. Et non est possibile, ut sit extensio formarum uisibilium usque ad ultimum sentiens, nisi secundum hunc modum: quoniam non est possibile, ut formae perueniant ad neruum commu- nem secundum suum esse, nisi sit extensio earum secundum hunc modum. Et cum formae exten- duntur secundum istam ordinationem, oportet, ut forma perueniens ad quodlibet punctum super ficiei glacialis, semper extendatur super eandem uerticationem ad idem punctum loci nerui com- munis, ad quod peruenit forma: sed tamen forma perueniens ad quodlibet punctum superficiei gla- cialis, peruenit semper ad idem punctum superficiei uitrei. Et sequitur ex hoc, ut ex omnibus duo- bus punctis consimilis situs in respectu duorum oculorum, extendantur duae formae ad idem pun- ctum in neruo communi: et etiam sequitur ex hoc, ut corpus sentiens, quod est in concauo nerui, sit aliquantulum diaphanum, ut appareant in eo formae lucis et coloris. Et etiam sequitur, ut sit eius diaphanitas similis diaphanitati humoris uitrei, ut non refringantur formae apud peruentum earum ad ultimam superficiem uitrei, uicinantem concauo nerui: quoniam quando diaphanitas duorum corporum fuerit consimilis, non refringentur formae. Et non est possibile, ut formae refringantur apud istam superficiem: quoniam ista superficies est sphaerica. Si autem formae refringerentur ab ista superficie, non elongarentur ab ea, nisi modicum, et fierent statim monstruosae. Refractio ergo for- marum non potest esse apud istam superficiem. Et cum diaphanitas corporis sentientis, quod est in concauo nerui, non sit diuersa a diaphanitate humoris uitrei: non faciet contingere ista diuersitas aliquam diuersitatem in forma. Et quamuis forma extendatur cum extensione sensus: diaphanitas tamen corporis sentientis, quod est in concauo nerui, non est diuersa a diaphanitate corporis uitrei. Diaphanitas autem ista istius corporis non est, nisi ut extendantur formae in eo secundum uertica- tiones, quas exigit diaphanitas, et ut recipiat formas lucis et coloris, et ut appareant in eo: quoniam corpus non recipit lucem et colorem, neque pertranseunt in eo formae lucis et coloris, nisi sit dia- phanum, aut fuerit in eo aliquid diaphanitatis. Et non apparet lux et color in corpore diaphano, nisi sit in eius diaphanitate aliquid spissitudinis: et propter hoc non est glacialis in fine diaphanitatis, neque in fine spissitudinis. Corpus ergo sentiens, quod est in concauo nerui, est diaphanum, et in eo est insuper aliquid spissitudinis. Forma autem pertransit in isto corpore cum eo, quod est in eo de diaphanitate: et apparent in eo formae uirtuti sensitiuae cum eo, quod est in eo de spissitudine. Et sen- tiens ultimum non comprehendit formas lucis et coloris, nisi ex formis peruenientibus ad istud corpus, apud peruentum earum ad neruum communem: et comprehendit lucem ex illuminatione istius corporis, et colorem ex coloratione. Secumdum ergo hunc modum erit peruentus formarum ad ultimum sentiens, et comprehensio ultimi sentientis quo ad illas.

7. Axis pyramidis opticae solus ad perpendiculum est communi sectioni crystallinae et uitreae sphaerarum. 24 p 3.

ET postquam declaratum est, quod formae refringantur apud superficiem uitrei: dicamus quod axis pyramidis radialis non potest esse declinans super istam superficiem, neque potest esse alia linea perpendicularis super ipsam. Quoniam si axis fuerit declinans super istam superficiem, quando formae peruenirent ad istam superficiem, diuersificarentur in ordinatione, et mutarentur ipsarum dispositiones. Formae autem non possunt peruenire in superficiem uitrei secundum suum esse, nisi fuerit axis pyramidis super istam superficiem perpendicularis. Quoniam quando uisus fue- rit oppositus alicui rei uisae, et peruenerit axis radialis super istam superficiem istius rei uisae: per- ueniet forma illius rei uisae in superficiem glacialis ordinata secundum ordinationem partium su- perficiei rei uisae, et perueniet forma puncti, quod est apud extremitatem axis superficiei rei uisae, ad punctum, quod est super axem in superficie glacialis [per 18 n 1] et peruenient formae omnium punctorum superficiei rei uisae, quorum remotio a puncto, quod est apud extremitatem axis, est aequa- lis, ad puncta formarum, quae sunt in superficie glacialis, quorum remotio a puncto, quod est super axem, aequalis est: quoniam omnia puncta peruenientia ad superficiem glacialis, sunt super lineas radiales extensas a centro uisus ad superficiem uisus, et axis radialis est perpendicularis super su- perficiem glacialis. Omnes ergo superficies planae exeuntes ab axe, et secantes superficiem glacia- lis, erunt [per 18 p 11] perpendiculares super istam superficiem. Et iam declaratum est [3 n] quod superficies humoris uitrei, aut est plana, aut est sphaerica, et centrum eius non est centrum uisus. Si ergo axis radialis est declinans super istam superficiem, et non est perpendicularis super ipsam: non exibit ab axe superficies plana perpendicularis super istam superficiem, nisi una superficies tantum, et omnes superficies residuae exeuntes ab axe erunt declinantes super ipsam: quoniam haec est pro-

prietas linearum declinantium super superficies planas et sphaericas. Imaginemur igitur superficiem a b c d, exeuntem ab axe a c, et perpendicula- riter super superficiem uitrei f g e extendi: se- cabit ergo superficiem uitrei et superficiem gla- cialis, et signabit in eis duas differentias com- munes: in glaciali quidem b d, in uitreo uero e f: et imaginemur super differentiam commu- nem, quae est communis huic superficiei et su- perficiei giacialis, duo puncta b, d: et sint re- mota a puncto a, quod est super axem, aequali- ter: et imaginemur duas lineas exeuntes a cen tro glacialis, quod est c, usque ad ista duo puncta b, d, et sint c b, c d. Erunt ergo [per 1 p 11] hę duae lineae cum axe a c in superficie communi a b c d perpendiculari super superficiem uitrei e g f: quoniam duo puncta b, d, et punctum centri c sunt in ista superficie: et erunt [per 8 p 1 ductis rectis a b, a d] duo anguli, qui fient ex istis duabus lineis et axe, scilicet anguli a c b, a c d, aequales: et sint istae duę lineae c b, c d secantes differentiam communem, quae est in superficie uitrei, super duobus punctis e, f: et simi- liter axis secet differentiam istam communem super punctum g, interiectum inter illa duo puncta e, f. Si ergo superficies uitrei est plana, erit [per 3 p 11] differentia communis linea recta: Et si axis a c fuerit declinans super superficiem uitrei, et fuerit superficies, quae fecit differentiam communem, perpendi- cularis super istam superficiem: erit etiam axis a c declinans super communem differentiam, super lineam e f: eruntque duo anguli e g c, f g c inaequales: quoniam si axis a c esset perpendicularis super communem differentiam e f, esset perpendicularis super superficiem uitrei [per 4 d 11] et duo anguli e g c, f g c aequa les. Sed cum hi duo praedicti anguli sint inaequales, et duo anguli e c g, f c g, qui sunt apud centrum gla- cialis c, quod est extremitas axis a c, sint aequales: erunt e g et g f duae partes lineae e f, quae est differen tia communis, inaequales [Quia enim trianguli c e f latera c e, c f sunt inaequalia (secus axis a c esset perpendicularis ad f e per 4 p. 10 d 1, contra hypothesim) esto maius c e: factoque ipsi c e aequali c h, du- catur g h recta, quę per constructionem et 4 p 1 erit aequalis ipsi g e: ductaque ex g perpendiculari g i su- per h c: erit per 16 p 1 angulus g f h obtusus: itaque per 19 p 1 latus h g, id est e g, erit maius latere f g] Ergo erunt duo puncta e, f extremitatum ipsius, diuersae distantiae a puncto g existente super axem in illa li- nea. Et ista duo puncta sunt illa, ad quae perueniunt formae duorum punctorum superficiei glacialis, quę sunt aequaliter distantia ab axe a c: quoniam sunt apud duas extremitates duarum linearum radialium transeuntium per ista duo puncta. Et punctum g, quod est super axem a c ex superficie uitrei, est illud, ad quod peruenit forma puncti a, quod est super axem ex superficie glacialis. Et cum axis a c fuerit decli nans super superficiem uitrei, et superficies uitrei fuerit plana: tunc quando duo puncta, (quorum for- mae perueniunt in superficiem glacialis, et quorum distantia a puncto a, quod est super axem, est aequa- lis, et quę sunt in superficie perpendiculari super superficiem uitrei) peruenerint ad superficiem uitrei, erit distantia eorum a puncto g ueniente super axem, distantia inaequalis. Et quando axis fuerit decli- nans super superficiem uitrei, et fuerit superficies uitrei plana: tunc differentia communis, quae fit a qua- libet superficie exeunte ab axe, et secante superficiem uitrei, continebit cum axe duos angulos inaequa- les, praeter unam superficiem tantum: et est illa, quae secat superficiem perpendicularem super uitreum: quoniam differentia communis eius continebit cum axe duos angulos rectos, et erit axis declinans super differentias communes omnium superficierum residuarum. Et cum duo anguli praedicti fuerint inaequales, et fuerint duo anguli, respicientes duas partes differentiae communis, scilicet anguli, qui sunt apud centrum superficiei glacialis, aequales: erunt duae partes differentiae communis, quae est in superficie uitrei, inaequales: et erunt duo puncta quę sunt extremitates istius differentiae communis, diuersae distantiae a puncto quod est super axem: duae autem partes differentiae communis, quae sunt in superficie glacialis, erunt aequales: et erunt duo puncta quae sunt in extremitate istius differentiae com munis, aequalis distantiae a puncto, quod est super axem in superficie glacialis. Et cum ita sit, quando forma peruenerit a superficie glacialis ad superficiem uitrei, erit ordinatio eius non secundum suum esse in superficie glacialis, neque secundum suu esse in superficie rei uisae. Et similiter declarabitur etiam quando superficies uitrei fuerit sphaerica, et fuerit axis declinans super ipsam: quoniam puncta, quae sunt in superficie glacialis, quorum distantia ab axe est aequalis, quando peruenerint ad superficie ui- trei, distabunt inaequaliter a puncto axis. Quoniam quando axis non fuerit perpendicularis super

superficiem uitrei, et superficies uitrea fuerit sphęrica, non pertransibit axis iste per centrum uitrei, et pertransibit per centrum superficiei glacialis. Lineae ergo, quae exeunt a centro gla- cialis ad puncta, quorum distantia a puncto axis in superficie glacialis est aequalis, continent cum axe apud centrum glacialis angulos aequa les. Et cum ita sit, et centrum glacialis non sit centrum uitrei [per 10 n 1] istae lineae distin- guent ex superficie uitrei arcus inaequales: et nullae lineae continentes cum axe angulos re- ctos, et existentes cum axe in eadem superficie, distinguent ex superficie uitrei arcus aequales, nisi duae lineae tantum: et sunt illae, quae sunt in superfi- cie secante superficiem perpendicularem super superficiem uitrei. Cum ergo axis fuerit declinans su- per superficiem uitrei: formae peruenientes in superficiem uitrei, erunt diuersae ordinationis, siue sit ista superficies plana, siue sphaerica: et cum axis fuerit perpendicularis super superficiem uitrei, erit perpendicularis super omnes differentias communes: et quaelibet duae lineae exeuntes a centro gla- cialis, quod est punctum in axe, continebunt angulos rectos, et distinguent ex differentia communi, quae est in superficie uitrei, duas partes aequales: et erit distantia duorum punctorum, quę sunt ex- tremitates duarum partium aequalium a puncto, quod est super axem in superficie uitrei, aequalis, siue sit superficies uitrei plana, siue sphaerica. Secundum ergo dispositiones omnes non peruenit forma ad superficiem uitrei, et situs partium eius secundum esse suum in superficie uisus, nisi axis perpendicularis sit super superficiem uitrei, et sentiens non sentit formam, nisi secundum esse suum apud eius peruentum ad se, et sentiens comprehendit ordinationem partium rei uisae secundum suum esse in superficie rei uisae. Non est ergo possibile, ut formae perueniant in superficiem uitrei, nisi sit ordinatio partium suarum secundum suum esse. Non est ergo possibile, ut axis radialis sit decli- nans super superficiem uitrei: erit ergo perpendicularis. Omnes ergo lineae radiales residuae erunt obliquatae super superficiem istam, siue sit plana, siue sit sphaerica, quoniam secant axem super cen- trum glacialis. Nulla ergo istarum linearum transit per centrum superficiei uitrei, si fuerit sphaerica, nisi axis tantum, quoniam est perpendicularis super ipsam, et quia centrum superficiei glacialis non est centrum superficiei uitrei.

8. Visio per axem pyramidis opticae certissima est: per aliam lineam tanto certior, quanto ipsa axi propinquior fuerit. 43 p 3.

ET quoniam declaratum est [2 n] quod formae peruenientes in superficiem glacialis, non per- ueniunt ad concauum nerui, nisi postquam fuerint refractae, et non est refractio earum, nisi apud superficiem uitrei, et axis est perpendicularis super istam superficiem, et omnes lineae radiales residuae sunt obliquatae super istam superficiem: quando formę peruenerint ad superficiem uitrei, refringentur omnia puncta, quae sunt in ea, pręter punctum axis: quoniam iste punctus exten- ditur secundum rectitudinem axis, quousque perueniat ad locum gyrationis concaui nerui [per 17 n 1] Nulla ergo forma perueniens ad superficiem glacialis extenditur ad concauum nerui secundum rectitudinem, nisi punctum axis tantum, et omnia puncta residua perueniunt ad concauum nerui secundum lineas refractas. Cum ergo uisus comprehendit rem uisam, et illa res uisa fuerit opposi- ta medio uisus, et fuerit axis intra pyramidem radialem continentem illam rem uisam: forma illius rei uisae perueniet ad superficiem glacialis secundum rectitudinem linearum radialium: deinde ex- tenduntur formae ab ista superficie secundum rectitudinem linearum radialium etiam, quousque perueniant ad superficiem uitrei: deinde punctum axis extendetur ab ista superficie secundum recti- tudinem axis, quousque perueniat ad locum gyrationis concaui nerui, et omnia puncta residua refrin- guntur super lineas secantes lineas radiales, et consimilis ordinationis, quousque perueniant ad lo- cum gyrationis concaui nerui. Perueniet ergo forma in illum locum ordinata secundum suum or- dinem in superficie glacialis, et ordinata secundum suam ordinationem in superficie rei uisae. Sed dispositio formarum obliquatarum non est sicut dispositio formarum extensarum recte, quoniam obliquatio alterabit ipsas aliqua alteratione necessario. Sequitur ergo de ista dispositione, ut pun- ctum perueniens ad locum gyrationis concaui nerui, quod extendebatur secundum rectitudinem axis, sit magis uerificatum omnibus punctis formarum.

9. Radius pyramidis opticae obliquus, axi propior ad minores angulos refringitur, remotior ad maiores: et duo aequaliter remoti, ad aequales. 36 p 3.

ET etiam refractio punctorum peruenientium in superficiem refractionis propinquiorum pun- cto axis, est minor, et remotiorum, maior: quoniam refractio non est, nisi secundum angulos, qui fiunt ex lineis, super quas formae ueniunt, et ex perpendicularibus, quae sunt super super- ficiem refractionis: et linearum continentium cum perpendicularibus angulos minores, erit refra- ctio secundum angulos minores: et linearum continentium cum perpendicularibus angulos ma- iores, erit refractio secundum angulos maiores. Et lineae propinquiores axi minus declinant super superficiem refractionis, et sic continent cum perpendicularibus, quę sunt super superficiem refra- ctionis, angulos minores: et illae, quae sunt remotiores ab axe, magis declinant super superficiem re- fractionis, et sic continent cum perpendicularibus angulos maiores. Et formae, quorum refractio est minor, magis manifestantur, et quarum refractio est maior, minus. Punctum ergo, quod est su- per axem, perueniens ad locum gyrationis nerui concaui, est manifestius omnibus alijs punctis re- siduis, et quod est propinquum illi, est manifestius remotiore ab illo. Et istae formę sunt, quę exten- duntur ad neruum communem, et ex illis comprehendit ultimum sentiens formam rei uisae. Et cum ista forma perueniens ad locum gyrationis concaui nerui: sit diuersae dispositionis, scilicet quod pun- ctum axis est manifestius omnibus punctis residuis, et quod est propinquius illi, est remotiore ma- nifestius: forma ergo perueniens in neruo communi, ex qua comprehendit uirtus sensitiua formam rei uisae, erit diuersae dispositionis, et punctum eius respondens puncto axis in superficie rei uisae, erit manifestius omnibus punctis residuis formae, et huic propinquius, manifestius remotiore. Et si inducantur dispositiones rerum uisarum, et distinguatur qualitas comprehensionis uisus a rebus uisis, quas comprehenderit uisus simul, et qualitas comprehensionis uisus a partibus unius rei uisae: inuenientur conuenientes omnino in hoc, quod declarauimus. Quoniam aspiciens quando in eo- dem tempore fuerit oppositus multis rebus uisibilibus, et uisus eius fuerit quietus, et non mouerit ipsum: inueniet rem uisam oppositam medio sui uisus manifestiorem illis, quę sunt a parte laterum illius medij, et quę est propinquior medio, erit manifestior. Et similiter quando inspiciens inspexe- rit rem uisam magnam, et uisus eius fuerit oppositus medio illius rei uisae, et fuerit quietus, compre hendet medium illius rei uisae manifestius istius rei extremitatibus. Et hoc manifestabitur bene, quando fuerint multa uisibilia sibi propinqua, et aspiciens fuerit oppositus uni illorum, quod erit medium inter illa uisibilia quieto uisu: quoniam tunc comprehendet comprehensione manifesta illud medium, et simul etiam comprehendet illa, quae sunt in lateribus illius, sed non manifeste. Et hoc manifestatur magis, quando spatium, super quod sunt illa uisibilia, fuerit longum, quoniam tunc erit inter comprehensionem medij, et comprehensionem extremitatum magna diuersitas. Deinde si hęc species motus mouerit uisum in aspiciente, et fuerit oppositus alij rei uisae, praeter illam rem uisam, quae ante erat opposita: comprehendet istam secundam rem uisam comprehensione mani- festa, primam autem comprehendet comprehensione debili: et si fuerit oppositus extremitati, et intueatur ipsam: comprehendet ipsam comprehensione manifestiore, quam in comprehensione primae dispositionis secundum eius remotionem ab eo, et simul comprehendet medium compre- hensione debili, quamuis sit propinquius: et erit inter comprehensionem medij, dum aspiciens op- ponitur extremitati, et inter comprehensionem medij, dum opponitur medio, diuersitas sensibilis. Manifestabitur ergo ex hac experimentatione, quod uisio per medium uisus, et per axem, quem de- finiuimus, est manifestior uisione per extremitates, et per lineas continentes axem. Declaratum est ergo, quod uisio erit per axem pyramidis radialis manifestior, quam uisio per omnes lineas ra- diales, et quod uisio per propinquiores axi, est manifestior, quam per remotiores.

10. Visibile percipitur aut solo uisu: aut uisu et syllogismo: aut uisu et anticipata notione. In hypothe. 3 lib. inpraefa.in praefa. 4 lib. 59. 60 p 3.

SEnsus autem uisus nihil comprehendit de rebus uisibilibus nisi in corpore: in corpore uero res multae congregantur, et accidunt ei multae res, et uisus comprehendit de corporibus multas res, quae sunt in eis, et quae accidunt illis. Et color est unum eorum, quae accidunt corporibus, et similiter lux, et sensus uisus comprehendit utrunque istorum in corporibus: et comprehendit etiam alias res praeter istas duas, sicut figuram, et situm, et magnitudinem, et motum, et alia, quae nos distinguemus post: et comprehendit etiam similitudinem colorum, et diuersitatem eorum, et similitudinem lucis, et diuersitatem eius: et similiter etiam comprehendit consimilitudinem figu- rarum, et situum, et motuum. Et comprehensio omnium istorum non est secundum unum modum, neque comprehensio cuiuslibet istorum est solo sensu. Quoniam uisus quando comprehendit duo indiuidua in eodem tempore, et fuerint consimilia in forma, comprehendet indiuidua, et compre- hendet similia. Sed similitudo duarum formarum in duobus indiuiduis non sunt ipsae formae am- bae, nec una illarum. Et cum uisus comprehendit indiuidua ex formis peruenientibus ad ipsum ex duobus indiuiduis, ipse comprehendit consimilitudinem duorum indiuiduorum ex similitudine duarum formarum peruenientium a forma ad uisum: et consimilitudo duarum formarum non sunt ipsae formae, neque tertia forma propria consimilitudini: sed consimilitudo duarum formarum est conuenientia illarum in aliquo. Non ergo comprehendetur duarum formarum similitudo, nisi ex comparatione unius ad alteram, et ex comprehensione istius, in quo sunt consimiles. Et quia uisus comprehendit similitudinem, et non est in eo tertia forma, ex qua comprehendit similitudinem: uisus ergo non comprehendit similitudinem duarum formarum, nisi ex comparatione unius ad al- teram. Et cum ita sit, comprehensio ergo sensus uisus a consimilitudine formarum, et diuersitate il- larum, non est per solum sensum, sed per comparationem formarum inter se. Et etiam quando ui- sus comprehendit duos colores unius generis, et fuerit unus illorum fortior altero, sicut uiridem myrti et uiridem leuistici: comprehendet, quod sunt uirides, et comprehendet etiam quod alter il- lorum est fortioris uiriditatis, et distinguet inter duas uiriditates, et comprehendet consimilitudi- nem illorum in uiriditate, et diuersitatem illorum in fortitudine et debilitate: sed distinctio inter duas uiriditates non est ipse sensus uiriditatis, quoniam sensus uiriditatis est ex uiridificatione ui- sus ab utraque uiriditate: et comprehendet, quod sunt unius generis. Comprehensio ergo uisus, quod altera uiriditas est fortior altera, et quod duae sunt unius generis, est distinctio colorationis, quę est in uisu, non ipse sensus coloris. Et similiter, quando duo colores similes in fortitudine fuerint unius generis, uisus comprehendit duos colores, et comprehendit quod unius generis sunt, et quod sunt consimiles in fortitudine. Et similiter est dispositio lucis apud uisum, quoniam uisus comprehen- dit lucem, et distinguit inter lucem fortem et debilem. Comprehensio ergo uisus quo ad consimi- litudinem colorum, et diuersitatem eorum, et consimilitudinem lucis et diuersitatem eius, et con- similitudinem lineationum formarum rerum uisibilium, et figurae, et situs earum, et diuersitates earum, non est, nisi ex comparatione illarum inter se, non solo sensu. Et etiam sensus uisus com- prehendit diaphanitatem corporum diaphanorum, et diaphanitatem corporum, quae sunt in fine diaphanitatis: sed non comprehendit diaphanitatem talem alia ratione, nisi per comparationem: quoniam lapides diaphani, quorum diaphanitas est modica, non comprehenduntur a uisu esse dia- phani, nisi postquam fuerint oppositi luci, et comprehendatur lux a posteriori eorum: et com- prehendentur, quod sunt diaphani. Et similiter diaphanitas cuiuslibet corporis diaphani, non comprehenditur a uisu, nisi postquam comprehensum fuerit corpus aut lux, quae est a posterio- ri eius, et comprehendatur insuper per distinctionem, quod illud, quod appareat a posteriori, est diuersum a corpore diaphano: comprehensio autem eius, quod illud, quod est a posteriori cor- poris diaphani, est diuersum ab illo corpore, non est comprehensio solo sensu, sed est compre- hensio per rationem. Et cum diaphanitas non comprehendatur nisi per signationem, ergo non comprehendetur, nisi distinctione et ratione. Et etiam scriptura non comprehenditur, nisi ex distinctione formarum literarum, et compositione illarum, et comparatione illarum ex sibi simi- libus, quae sunt notae scriptori ante. Et similiter multae res uisibiles, quando considerabitur quali- tas comprehensionis lllarum, non comprehenduntur solo sensu, sed ratione et distinctione. Et cum ita sit, non ergo omne, quod comprehenditur a uisu, comprehenditur solo sensu: sed multae in- tentiones uisibiles comprehenduntur per rationem et distinctionem cum sensu formae uisae. Visus autem non habet uirtutem distinguendi, sed uirtus distinctiua distinguit istas res: attamen distin- ctio uirtutis distinctiuae in istis rebus uisibilibus non est, nisi mediante uisu. Et etiam uisus compre- hendit multas res uisas per cognitionem, et cognoscit hominem esse hominem, et equum equum, et Socratem esse Socratem, quando uiderit illum prius: et cognoscit animalia sibi assueta, et arbo- res, et plantas, et lapides, quando prius uiderit ipsa, et consimilia. Et cognoscit omnes intentiones in rebus uisibilibus sibi assuetas. Et non comprehendit uisus quidditatem alicuius rei, nisi per cognitio nem. Cognitio autem non est comprehensio solo sensu, quoniam uisus non cognoscit omne, quod uidit prius. Et cum uisus comprehenderit aliquod indiuiduum, et postea separabitur ab illo longo tem- pore, et post uiderit ipsum: et non fuerit memor ipsius: non cognoscet ipsum: quoniam non cogno- scit illud, quod cognouit, nisi quando fuerit memor. Si ergo cognitio esset comprehensio solo sensu: oporteret, quando uideret uisus aliquod indiuiduum, quod prius uidit, quod statim cognosceret ipsum in secunda uisione secundum omnes dispositiones: sed non est ita. Et cum cognitio non sit nisi per re memorationem: cognitio ergo non est comprehensio solo sensu.

11. Visio per anticipatam notionem fit quodammodo per syllogismum. 63 p 3.

COmprehensio autem per cognitionem est comprehensio per aliquem modorum ratiocina- tionis, quoniam cognitio est comprehensio consimilitudinis duarum formarum, scilicet for mae quam comprehendit uisus apud cognitionem, et formę illius rei uisae uel sibi similis, quam comprehendebat in prima uice: et propter hoc non erit cognitio nisi per rememorationem. Quoniam si prima forma non fuerit praesens memorię, non comprehendet uisus similitudinem duarum for- marum, et sic non cognoscit rem uisam. Cognitio autem est formae alicuius rei indiuiduae, et formae speciei. Cognitio ergo indiuidui est ex assimilatione formae indiuidui, quam comprehendit uisus a- pud cognitionem indiuidui, alij formae, quam prius comprehendebat. Et cognitio speciei est ex assi milatione formae rei uisae ad alias formas similes indiuiduis suae speciei, quae prius comprehendebat. Et comprehensio similitudinis est comprehensio per rationem, quoniam non est, nisi ex compara- tione unius formę ad alteram. Cognitio ergo non est, nisi modus rationis Sed ista ratio distinguitur ab omnibus rationibus: quoniam cognitio non erit per inductionem omnium intentionum, quae sunt in forma, sed per signa. Cum ergo uisus comprehendit aliquam intentionum, quae sunt in for- ma, et fuerit memor primae formae, statim cognoscet formam, et non est ita omne, quod comprehen dit per rationem: quoniam plura eorum, quę comprehenduntur per rationem, non comprehendun tur, nisi post inductionem omnium intentionum, quae sunt in eis. Quoniam scriptor quando momen to aspexerit formam a b c, statim comprehendet, quod est a b c, ex apprehensione ergo eius, quod a est praecedens, et c est ultimum, comprehendet, quod est a b c. Et similiter si uiderit (D O M I N V S) scriptum, statim comprehendet ipsum per cognitionem et consuetudinem: et similiter omnes dis- positiones sibi assuetas, quando scriptor uiderit ipsas, statim comprehendet sine indigentia distin- ctionis unius ab altera: et non est ita, si scriptor inspexerit dictionem extraneam scriptam, quam ante non uidit, quoniam scriptor non comprehendet istam dictionem, nisi postquam distinxerit e- ius literas, et post comprehendet dictionem. Omnis ergo forma, quam prius non uidit uisus, neque similem illi, quando comprehendetur a uisu, non comprehendet uisus, quod est illa forma, nisi post- quam distinxerit omnes illas intentiones illius formae, aut plures illarum. Forma autem consue- ta comprehendetur a uisu statim comprehensione quarundam intentionum, quae sunt in illa for- ma. Illud ergo quod comprehenditur per cognitionem, comprehendetur per signum: et non o- mne quod comprehenditur per rationem, comprehenditur per signum. Et plures intentiones uisi- bilium non comprehenduntur nisi per cognitionem. Et non comprehendetur quidditas alicuius rei uisae, neque alicuius rei sensibilis alio sensu, nisi per cognitionem. Et uirtus cognitionis est con- iuncta uituti sensus: et non completur comprehensio uisibilium, nisi per cognitionem. Cogni- tio autem non est solo sensu. Intentiones ergo quae comprehenduntur a sensu uisu quaedam com- prehenduntur solo sensu, quaedam per cognitionem, quaedam per rationem et distinctionem.

12. Visio per syllogismum, fit plerunque breui tempore. 69 p 3.

ET plures intentiones uisibilium, quae comprehenduntur per rationem et distinctionem, comprehenduntur in tempore ualde paruo, et non apparet, quod comprehensio earum sit per rationem et distinctionem, propter uelocitatem rationis, per quam comprehenduntur istae intentiones. Quoniam figura, et magnitudo, et diaphanitas corporis, et similia, ex intentioni- bus, quae sunt in rebus uisibilibus, comprehenduntur in maiori parte comprehensione ualde ue- loci, et non comprehenditur tunc, quod comprehensio earum sit per rationem. Et cum comprehensio istarum intentionum est per rationem, non est, nisi per manifestationem positionum illarum, et per consuetudinem uirtutis distinctiuae ad istas intentiones. Apud peruentum ergo illius formae com- prehendit omnes intentiones, quae sunt in ea, et sic distinguentur ab eo apud comprehensio nem. Et similiter in argumentatione et omnibus rationibus, quarum propositiones sunt uniuersales et manifestae, non indiget uirtus distinctiua aliquanto tempore in comprehendendo illarum con- clusiones, sed apud intellectum statim propositionis intelligetur conclusio. Et causa in hoc est, quod uirtus distinctiua non arguit per compositionem et ordinationem propositionis, sicut com- ponitur argumentatio per uocabula. Quoniam argumentum, quod concludit, erit secundum uer- bum, et secundum ordinationem propositionum: argumentum autem uirtutis distinctiuae non est ita, quoniam uirtus distinctiua comprehendit conclusionem sine indigentia in uerbis, et sine in- digentia ordinationis propositionum, et ordinationis uerborum: quoniam ordinatio uerborum argumenti non est, nisi modus qualitatis comprehensionis uirtutis distinctiuae a conclusione: Sed comprehensio uirtutis distinctiuae ad conclusionem non indiget modo qualitatis, nec ordine qua- litatis comprehensionis. Intentiones ergo uisibiles, quae comprehenduntur a ratione, compre- henduntur ut plurimum, ualde uelociter, et non apparet in maiori parte, si comprehensio earum sit in ratione. Et etiam intentiones uisibiles, quae comprehenduntur per rationem et distinctio- nem, quoniam multoties comprehenduntur per rationem, et intelligit uirtus distinctiua intentio- nes earum: si post uiderit ipsas, comprehendet eas per cognitionem sine indigentia distinctionis omnium intentionum, quae sunt in secundis, sed per signa tantum, et distinguet illam conclusio- nem per cognitionem sine indigentia argumentationis alicuius iterandae: et est exemplum in eo scriptore qui primo uidet uerbum extraneum. Et similiter sunt omnes intentiones, quae compre- henduntur per rationem, quando propositiones earum fuerint manifestae, et conclusiones fuerint uerae. Quoniam quando anima intellexerit conclusionem esse ueram, deinde multoties uenerit in animam: erit conclusio quasi propositio manifesta: et sic, quando anima uiderit propositionem, sta- tim intelliget conclusionem sine indigentia argumentationis iterandae. Et plures intentiones, quas non comprehendit uirtus distinctiua, quod sint uerae, nisi per rationem, putantur quod sint propo- sitiones primae, et quod non comprehendantur, nisi per naturam et intellectum, non per rationem: uerbi gratia, quod totum sit maius sua parte, putatur quod natura intellectus iudicet quod sit ue- rum, et quod comprehensio ueritatis ipsius non est per rationem. Sed totum est maius sua parte, non comprehendet prius, nisi per rationem, quoniam distinctio non habet uiam ad comprehenden dum, quod totum sit maius sua parte, nisi postquam intellexerit intentiones totius et partis, et inten- tionem maioritatis et minoritatis: quoniam si non intellexerit intentionem partium, non intelli- get intentionem totius. Intentio autem totius non est nisi communitas, et intentio partis, nisi ali- quiditas, et maioritas est relatio ad alterum, et intentio maioris est illud, quod est aequale alij, et plus. Et probatio quod omne totum est maius sua parte, est quod confertur ei cum quadam aequi- ualentia, et addit super ipsam cum residuo, quod est plus scilicet: et ex conuenientia intentionis maioris cum intentione totius: et argumentatione apparet, quod totum sit maius sua parte. Et cum comprehensio huius propositionis, quod totum sit maius sua parte, non sit nisi per istam uiam: comprehensio ergo eius non est, nisi per rationem, non per naturam intellectus: et illud, quod est in natura intellectus, non est nisi comprehensio conuenientiae intentionis totius, et inten- tionis maioris, et in augmentatione tantum. Et ordinatio istius syllogismi est ita: omne totum ad- dit super partem: et omne addens super aliud, est maius ipso: ergo omne totum est maius sua par- te. Et uelocitas comprehensionis uirtutis distinctiuae circa conclusionem, non est, nisi quia pro- positio uniuersalis est manifesta ex comprehensione uirtutis distinctiuae: sed comprehensio, quod totum est maius parte, est per rationem. Et quia propositio uniuersalis est ei manifesta, compre- hendet conclusionem apud euentum propositionis minoris particularis, et propositio particula- ris est additio intentionis totius super partem. Et quia ueritas conclusionis istius syllogismi est cer- tissima in anima, et praesens in memoria: quando ueniet propositio ad ipsum, recipit ipsam intelle- ctus sine indigentia argumentationis iterandae, sed per cognitionem tantum. Et omne, quod est i- stius generis, uocatur ab hominibus propositio prima: et putatur, quod comprehendatur solo in- tellectu, et quod non indigeatur in comprehensione ueritatis circa ipsum, nisi solo intellectu. Et caussa illius est, quod comprehenditur statim. Syllogismi ergo, quorum propositiones sunt uniuer sales et manifestae, comprehenduntur in tempore insensibili: deinde quando syllogizatur toties, ut ueritas conclusionis certificetur in anima, tunc efficietur conclusio quasi propositio manifesta. Et secundum hunc modum erit comprehensio uirtutis distinctiuae ad plures intentiones, quae com prehenduntur ratione in tempore insensibili, sine indigentia argumentationis iterandae.

13. Visio per anticipatam notionem fit in tempore: et qualitas eius plerunque ignoratur. 64. 69 p 3.

ET etiam multoties non apparet qualitas comprehensionis intentionum uisibilium, quae com prehenduntur ratione et cognitione, quoniam comprehensio earum non fit ualde uelociter, et quia comprehensio qualitatis comprehensionis non est, nisi per secundum argumentum post primum argumentum, per quod fuit uisio. Virtus autem distinctiua non utitur isto secun- do argumento, in tempore, in quo comprehendit aliquam intentionem uisibilem, neque distin- guit qualiter comprehendit illam intentionem, neque potest, propter uelocitatem comprehensionis eius ad intentiones comprehensas per cognitionem et per argumentum, cuius propositiones sunt mani- festae et certae in anima. Et propter hoc non sentitur qualitas comprehensionis ueritatis plurium propositionum uerarum, quae comprehenduntur per cognitionem: Et radix affirmationis ueritatis earum est per rationem apud earum euentum. Quoniam quando istae propositiones eueniunt uirtuti distinctiuae, statim iudicat, quod sint uerae per cognitionem: sed apud cognitionem non in- quirit qualiter affirmata fuerit prius ueritas, neque inquirit, qualiter comprehendit, quod uerae sint apud euentum earum. Et etiam pari modo argumentum, per quod comprehendit uirtus distincti- ua qualitatem comprehensionis eius ad illud, quod comprehendit, non est argumentum in fine ue- locitatis, sed indiget consideratione, quoniam comprehensiones diuersantur, et quaedam sunt per naturam intellectus, et quaedam per cognitionem, et quaedam per considerationem et distinctio- nem. Comprehensio ergo qualitatis comprehensionis, et quae coprehensio eiusmodi comprehensio- nis est, non est, nisi per argumentum et distinctionem non uelocem. Et propter hoc non apparet multoties qualitas comprehensionis rerum uisibillum, quae comprehenduntur ratione apud com- prehensionem. Et etiam est homo natus ad distinguendum sine difficultate, et arguendum sine la- bore, et non percipit, quod arguit, nisi quando arguit cum difficultate, quando uero non utitur dif- ficultate, et cognitione, non percipit, quod arguit. Argumenta ergo assueta, quorum propositiones sunt manifestae, et non indigent difficultate, sunt in homine naturaliter: et propter hoc percipit, quando comprehendit conclusiones eorum, quod comprehendat ipsas per argumentum. Et signi- ficatio est, quod homo natus est ad arguendum, quod ipse arguit, et non percipit quod arguit, quod apparet in pueris in primo incremento: quoniam ipsi comprehendunt plures res, sicut homo per- fectus, et distinguens, et utuntur multis operationibus per distinctionem: uerbi gratia: Puer quan- do ei demonstrantur duo ex eodem genere, sicut duo poma, et fuerit unum pulchrius alio, accipiet pulchrius, et dimittet alterum, sed electio rei pulchrioris non est, nisi per comparationem alterius ad alterum: et comprehensio pulchri, quod sit pulchrum, et foedi, quod sit foedum: et similiter quan do elegerit pulchrius alio pulchro minoris pulchritudinis, significat quod non elegit ipsum, nisi post comparationem unius ad alterum, et comprehensionem formae cuiuslibet eorum, et compre- hensionem argumenti pulchritudinis pulchrioris super minus pulchrum: et electio pulchrioris non est, nisi per propositionem uniuersalem dicentem: Quod pulchrius est, melius est: et quod est melius, dignius est ad eligendum: ergo ipse utitur hac propositione, et non percipit, quod utatur ea. Et cum ita sit: puer ergo arguit et distinguit: et non est dubium, quod puer nescit, quod est argumen tum, neque percipit quando arguit, utrum arguat, aut non: et si quis etiam intenderet ipsum instrue re, quid sit argumentum, uel arguere, non intelligeret. Et quia puer arguit, et nescit, quid sit argu- mentum, anima ergo humana nata est ad arguendum sine difficultate et labore, et non percipit ho- mo apud comprehensionem rei, quod sit huiusmodi, quod sit per argumentum. Sed intentiones, quae comprehenduntur ratione, non sunt, nisi intentiones manifestae, quarum propositiones sunt ualde manifestae: intentiones uero, quarum propositiones non sunt ualde manifestae, et quarum ar- gumenta indigent difficultate, quando comprehenduntur ab homine, forte percipit, quod compre hendit ipsas per rationem, quando fuerint illae uerae distinctionis. Iam ergo declaratum est ex omni quod diximus, quod quaedam intentiones, quae comprehenduntur per uisum, comprehenduntur solo sensu, et quaedam per distinctionem, et quaedam per cognitionem, et argumentum, et rationem et positionem: et quod qualitas comprehensionis intentionum particularium per uisum, non appa ret in maiori parte propter uelocitatem istius, quod comprehenditur per cognitionem, et propter uelocitatem argumenti, per quod comprehenduntur intentiones uisibiles: et quod uirtus distincti ua est nata ad arguendum sine labore et difficultate, sed natura et consuetudine, et non indiget ar- gumentatione iteranda illa uirtus in comprehensione alicuius intentionum particularium, quę mul toties fuerint uisae.

14. E uisibili saepius uiso remanet in animo generalis notio, qua quodlibet uisibile simile per- cipitur et cognoscitur. 61 p 3.

ET comprehenduntur etiam intentiones, quae multoties fuerint uisae, ratione et distinctione, quae sunt in anima, ita quod homo non percipit quietem illarum, neque quies illarum habet principium sensibile, quoniam habet experientia, quod comprehendit uisibilia: et experien- tia est in eo quaedam distinctio, et praecipue distinctio, per quam comprehenduntur intentiones sensibiles: Ipse ergo comprehendit intentiones sensibiles ratione et distinctione, et acquirit inten- tiones sensibilium. Et multoties redduntur ipsae intentiones sensibiles illi successiue, quousque quie- scant in eius anima: ita etiam ut non percipiat quietem earum: et sic quando uenerit ipsa intentio particularis, quae quieuerit in anima eius, comprehendet eam apud eius euentum per cognitionem, neque tamen percipit qualitatem comprehensionis, neque qualitatem cognitionis, neque qualiter quieuerit in ani ma eius, cognitio ipsius intentionis. Omnes ergo intentiones particulares, quę comprehenduntur ratione, et distinctione, et multoties redduntur, iam comprehensae sunt ab homine in praeterito tempore, et quie uerunt in anima, et facta est forma uniuersalis quiescens ex qualibet intentione particularium. Compre henduntur ergo intentiones istae sine argumentatione iteranda, quam primo fecit, et sine ratione, per quam comprehensa est ueritas illius intentionis, et sine comprehensione qualitatis comprehensionis ipsius apud comprehensionem, et sine comprehensione qualitatis cognitionis apud comprehensionem, et ni- hil remanet argumentatione iteranda indigens, nisi considerare intentiones particulares, quae sunt in ipsis indiuiduis particularibus, sicut figura in re indiuidua, scilicet in re uisa signata, aut situs rei uisae indiuiduae, aut magnitudo rei uisae indiuiduae, aut comparatio coloris alicuius rei uisae indiui- duae cum colore alterius rei uisae et illi similis. Et secundum istos modos erit comprehensio omnium intentionum particularium, quae sunt in rebus uisibilibus.

DE OMNIBVS INTENTIONIBVS COMPREHENSIS A VISV: et qualiter comprehendat uisus quamlibet illarum. Cap. II.

15. Species uisibiles principes sunt uiginti duae: ad quas reliquae omnes referuntur. In hypo. 3 lib. in praefa. 4 libr.

ET cum declarata sint omnia ista, incipiemus modo ad declarandum qualitates comprehensio nis cuiuslibet intentionum particularium, quae comprehenduntur per uisum, et qualitates argumentorum, per quae acquirit uirtus distinctiua intentiones comprehensas sensu uisus. Intentiones particulares, quae comprehenduntur sensu uisu, sunt multae, sed generaliter diuiduntur in 22: et sunt lux, color, remotio, situs, corporeitas, figura, magnitudo, continuum, discretio et sepa- ratio, numerus, motus, quies, asperitas, leuitas, diaphanitas, spissitudo, umbra, obscuritas, pulchri- tudo, turpitudo, consimilitudo, et diuersitas in omnibus intentionibus particularibus, et in omni- bus formis compositis ex omnibus intentionibus particularibus. Ista ergo sunt omnia quae com- prehenduntur per sensum uisus: et si aliqua intentio uisibilis est pręter istas, collocabitur sub aliqua istarum, sicut ordinatio, quae collocabitur sub situ, et scriptura, et pictura, quae collocabuntur sub fi- gura et ordine: et sicut rectitudo, et curuitas, et concauitas, et conuexitas, quae collocantur sub figu ra: et multitudo et paucitas, quae collocantur sub numero: et sicut aequalitas et augmentum, quae collocantur sub similitudine et diuersitate: et alacritas, et risus, et tristitia, quę comprehenduntur ex figura formae faciei: collocantur ergo sub figura: et sicut fletus, qui continetur sub figura faciei cum motu lachrymarum, collocatur ergo sub figura et motu: et sicut humilitashumiditas et siccitas, quae collocan- tur sub motu et quiete, quoniam humilitashumiditas comprehenditur sensu uisu, sed non sensu uisu compre- henditur, nisi ex liquiditate corporis humidi, et ex motu unius partis illius ante aliam, et siccitas com prehenditur sensu uisus, sed non comprehenditur, nisi ex retentione partium corporis sicci, et ex pri uatione motus liquiditatis: et similiter quaelibet intentio particularis comprehensa a uisu, colloca- tur sub partibus, quas diximus prius. Et omnes intentiones uisibiles sunt, sicut superius diximus.

16. Visio perficitur, cum forma uisibilis crystallino humore recepta, in neruum opticum per- uenerit. 20 p 3. Idem 25 n 1.

ET eum ita sit, distinctio et argumentatio uirtutis distinctiuae, et cognitio formarum et signo- rum eorum non erunt, nisi ex cognitione uel distinctione uirtutis distinctiuae ex formis per- uenientibus intra concauum nerui communis, apud comprehensionem ultimi sentientis il- las, et ex cognitione signorum formarum istarum. Et ita corpus sentiens extensum a superficie mem bri sentientis usque ad concauum nerui communis, scilicet spiritus uisibilis est sentiens per totum, quoniam uirtus sensitiua est per totum istius corporis. Cum ergo forma extenditur a superficie mem hri sentientis usque ad concauum nerui communis, quaelibet pars corporis sentientis sentiet formam: et cum peruenerit forma in concauum nerui communis, comprehendetur ab ultimo sentiente, et tunc erit distinctio et argumentatio. Virtus autem sensitiua sentit formam rei uisae ex toto corpore sentiente extensam a superficie membri sentientis usque ad concauum nerui communis: et uirtus distinctiua distinguit intentiones, quae sunt in forma apud comprehensionem ultimi sentientis cir- ca formam. Secundum ergo hunc modum erit comprehensio formarum rerum uisibilium a uir- tute sensitiua, et ab ultimo sentiente, et a uirtute distinctiua. Et declarabitur ex ista dispositione, quod uirtus sensitiua sentit locum membri sentientis, in quem peruenit forma, quoniam non sentit formam, nisi ex loco, in quem peruenit forma. Et declaratum est etiam [ 25 n 1] quod a quolibet puncto super- ficiei glacialis extenditur forma secundum unam uerticationem continuam, cum eo, quod est in eadem de obliquatione et incuruatione, quousque perueniat ad unum punctum loci, in quem per- uenit forma in concauo nerui communis. Et cum ita sit, forma ergo perueniens in partem superfi- ciei glacialis, extenditur ab illa parte ad aliam partem concaui nerui communis. Et forma cuiusli- bet uisarum rerum diuersarum, quae comprehenduntur simul in eodem tempore: extenditur ad lo- cum certum in concauo nerui communis: et perueniunt formae omnium illarum rerum uisarum ad concauum nerui communis: et erit ordinatio formarum illarum inter se in concauo nerui commu nis, sicut ordinatio ipsarum rerum inter se uisarum. Cum ergo uisus fuerit oppositus alicui rei uisae, formae lucis et coloris istius rei uisae perueniunt ad superficiem uisus, et perueniunt in superficiem glacialis, et extenduntur secundum uerticationes determinatas, quas diximus secundum suam ordi- nationem, et figuram, et formam, quousque perueniant ad concauum nerui communis, et comprehendentur a uirtute sensitiua apud peruentum earum in corpore glacialis, et apud peruentum earum in toto corpore sentiente, et uirtus distinctiua distinguit omnes intentiones, quae sunt in eis: et forma lucis et forma coloris non perueniunt ad concauum nerui, nisi quia corpus sentiens extensum in concauo nerui, coloratur a forma lucis et coloris, et illuminatur a forma lucis, et peruenit forma ad concauum nerui communis: et erit pars corporis sentientis, quod est in concauo nerui communis, ad quam peruenit forma rei uisae, colorata colore illius rei uisae, et illuminata luce, quae est in illa re uisa: et si res uisa habuerit unum co- lorem, erit illa pars corporis sententis unius coloris, et si partes rei uisae fuerint diuersi coloris, erunt partes illius corporis partis sentientis, quod est in concauo nerui communis, diuersi coloris: et ulti- mum sentiens sentit colorem rei uisae ex coloratione, quam inuenit in illa parte, et comprehendit lu- cem rei uisae ex illuminatione, quam inuenit in illa parte. Et uirtus distinctiua comprehendit: plures intentiones particulares, quae sunt in re uisa, ex distinctione intentionum, quae sunt in illa forma ab ea, scilicet ex ordinatione partium formae, et ex figuratione illius, quod continet formam, et ex figu ratione partium eius, et diuersitate colorum, et situum et ordinationum, quae sunt in partibus illius formae, et ex consimilitudine et diuersitate earum. Et etiam lux ueniens a re uisa, colorata ad uisum, non uenit per se sine colore, et forma coloris ueniens a re uisa, colorata ad uisum, non uenit sine lu- ce, et non uenit forma lucis et coloris, quae sunt in re uisa, nisi admixtae, neque comprehendit eas ulti- mum sentiens, nisi admixta si tamen etiam sentiens comprehendit rem uisam illuminatam, et compre hendit, quod lux apparens in re uisa, est diuersa a colore: et ista comprehensio est distinctio. Distin- ctio autem non est, nisi uirtutis distinctiuae, non sensitiuae: tamen cum comprehensione istius inten tionis a uirtute distinctiua, ista intentio quiescit in anima, et non indiget argumentatione iteranda apud euentum cuiuslibet formę. Sed quod lux, quae est in ea, est diuersa a colore, quae est in ea: et com prehensio uirtutis distinctiuae, quod lux accidentalis, quae est in re uisa colorata, est diuersa a colo- re, qui est in ea: est, quia super unam rem uisam diuersatur lux, et aliquando augmentatur, et aliquan do diminuitur. Et cum hoc est, remanet color eius idem, quamuis diuersetur scintillatio coloris se- cundum diuersitatem lucis, tamen genus coloris non diuersatur. Et etiam lux accidentalis forte per- uenit ad rem uisam ex foramine, et cum fuerit obstructum illud foramen, obscurabitur illa res uisa. Ex comprehensione ergo uirtutis distinctiuae circa diuersitatem lucis super res uisas, et ex compre hensione eius circa illuminationem rei uisae, aliquando etiam priuationem lucis ab ea, comprehen- dit uisus, quod colores, qui sunt in rebus uisis, sunt diuersi a luce, quae accidit in eis. Forma ergo, quam comprehendit sentiens ex re uisa colorata, est forma admixta ex forma lucis et forma colori, quae sunt in re uisa: Et uirtus distinctiua comprehendit, quod color, qui est in eo, est diuersus a luce, quę est in ea. Et ista comprehensio, est comprehensio secundum cognitionem apud euentum formae, quae est in sentiente: quoniam iam quiescit in anima, quod lux cuiuslibet formae admixtae ex luce et colo re, est diuersa a colore, qui est in ea.

17. E speciebus uisibilibus primum percipitur essentia lucis et coloris. 67 p 3.

ET primum, quod comprehendit uirtus distinctiua ex intentionibus, quae appropriantur for- mę, est quidditas coloris: quidditas autem coloris non comprehendetur a uirtute distinctiua, nisi per cognitionem, quando color rei uisę fuerit ex coloribus assuetis: et comprehensio quid- ditatis coloris a uirtute distinctiua secundum cognitionem non est, nisi ex comparatione formae co loris ad formas, quas comprehendebat ante, ex formis scilicet similibus illi colori. Quoniam quan- do uisus comprehendit colorem rubeum, et comprehendit, quod sit rubeus, non comprehendit, quod sit rubeus, nisi quia cognoscit ipsum: et ista cognitio non est, nisi ex assimilatione formae eius ad res, quas comprehendebat prius. Si autem uisus nunquam comprehendisset rubeum colorem, nisi modo, nesciret apud comprehensionem rubei, quod esset rubeus. Cum ergo color fuerit ex coloribus assuetis, cognoscetur a uisu secundum cognitionem, et si fuerit ex coloribus extraneis, ita quod uisus nunquam comprehendit talem ante, non comprehendetur a uisu, ut cognoscat ipsum, sed assimilabit ipsum coloribus propinquis, scilicet quos cognoscebat. Radix ergo comprehensionis coloris est a sensu solo, deinde quando super unum multoties redierit, per cognitionem comprehendetur, scilicet cuiusmodi fuerit coloris. Et quidditas lucis etiam non comprehendetur a uisu, nisi per cognitionem: quoniam uisus cognoscit lumen ignis et lumen solis, et distinguit inter ipsum lumen lunae et ignis: et sic cognoscit lucem lunae et lucem ignis. Comprehensio ergo quidditatis istarum lucium a uisu, non est, nisi per cognitionem. Deinde omne quod comprehenditur per sensum uisum, post lucem et colo- rem, non comprehenditur solo sensu, sed comprehenditur per distinctionem et argumentationem cum sensu, quoniam omne, quod comprehenditur per distinctionem et argumentationem, non comprehen- ditur nisi ex distinctione intentionum, quae sunt in forma sensibili. Et intentiones, quae comprehendun tur per distinctionem, et argumentationem, et cognitionem, non comprehenduntur, nisi cum sensu formae.

18. Lux et color ex sese, solo uisu percipiuntur. 59 p 3.

LVx autem, quae est in corpore illuminato, per se comprehenditur a uisu secundum suum esse, et per se et ex ipso sensu: et lux et color, quae sunt in corpore colorato, illuminato lumine acci- dentali, comprehenduntur a uisu simul et admixta, et solo sensu. Lux ergo essentialis compre- henditur a sentiente ex illuminatione corporis sentientis, et color comprehenditur a sentiente ex alteratione formae corporis sentientis, et ex eius coloratione, et cum huiusmodi comprehensione lucis a corpore sentiente per lumen accidentale admixtum cum illo colore. Sentiens ergo compre- hendit ex corpore apud peruentum formae coloris ad se lucem coloratam, et comprehendit ex eo apud peruentum formae lucis essentialis lucem solam. lsta ergo duo tantum comprehenduntur a uisu solo sensu.

19. Color ex sese, prius percipitur, quam ipsius essentia. Itaque uisibile quodlibet ex sese prius percipitur, quam ipsius essentia. 68 p 3.

ET iterum dicemus, quod comprehensio coloris in eo, quod est color, est ante comprehensio- nem quidditatis coloris, scilicet, quod uisus comprehendit colorem, et sentit, quod est color, antequam sentiat cuiusmodi sit coloris: quoniam apud peruentum formae in uisu, coloratur ui- sus, et cum uisus coloratur, sentit, quod sit coloratus, et sic sentit colorem: deinde ex distinctione co loris, et comparatione ipsius ad colores notos uisui, comprehendit quidditatem coloris. Comprehen sio ergo coloris in eo, quod est color, est ante comprehensionem quidditatis coloris, et erit comprehen- sio quidditatis coloris per cognitionem. Et significatio, quod uisus comprehendit colorem in eo, quod est color, antequam comprehendat cuiusmodi sit ratio coloris: est: quia uisibilia, quorum colores sunt fortes, sicut uiriditas profunda, et fuscitas, et similes, quando fuerint in obscuro ualde loco, non comprehenduntur a uisu in illo loco, nisi quasi colores tantum: tamen sentit quod sint colores, et non distinguit cuiusmodi sint colores in principio comprehensionis. Et quando locus non fuerit ualde obscurus, et uisus multum intueatur, comprehendit uisus, cuiusmodi sint coloris: aut si lux au- gmentetur et intendatur in illo loco. Declarabitur ergo ex ista experimentatione, quod uisus com- prehendit colorem in eo, quod est color, antequam comprehendat cuiusmodi sit coloris: et illud, quod comprehendit uisus ex colore in principio sui peruentus ad uisum, est coloratio, et coloratio est quasi obscuritas aut umbra, quando color fuerit subtilis. Et si res uisa fuerit diuersorum colorum, comprehendet uisus in principio ex forma illius rei uisae obscuritatem partium diuersae qualitatis, secundum fortitudinem et debilitatem, aut quasi umbras diuersas in fortitudine et debilitate. Primum ergo, quod comprehendit uisus ex forma coloris, est mutatio membri sentientis, et coloratio eius, quae est obscuritas aut similitudo obscuritatis: deinde sentiens distinguet illam colorationem: et si res uisa fuerit illuminata, distinguetur ille color a uisu, et comprehendetur eius quidditas, quando fuerit ex coloribus, quos multoties comprehendebat prius: et si fuerit ex coloribus, quos fere sem- per ante comprehendebat, comprehendetur in minore tempore, et in instanti secundo, inter quod et primum, in quo comprehendit colorem, quatenus est color, non est sensibile tempus: si autem fue- rit ex coloribus non manifestis, quos uisus non comprehendit ante, nisi raro, aut fuerit in loco ob- scuro et debilis lucis, non comprehendetur a uisu quidditas eius, nisi in tempore sensibili: et si res ui- sa fuerit obscura, et fuerit in ea, nisi modica lux, sicut illud, quod comprehenditur nocte, et in lucis ualde obscuris, non distinguetur a sentiente, nisi obscuritas tantum. Declaratum est ergo ex com prehensione colorum in locis obscuris, quod comprehensio coloris in eo, quod est color, est ante com prehensionem quidditatis eius. Et etiam significatio quod uisus comprehendit colorem in eo, quod est color, antequam comprehendat cuiusmodi sit coloris: est, quia uisus cum comprehendit colorem extraneum, quem nunquam uidit ante, comprehendit quod est color, et tamen nescit, cuiusmodi sit coloris: et cum fuerit multum circa ipsum, assimilabit ipsum propinquiori colori simili illi. Ex istis ergo experimentationibus declaratur declaratione manifesta, quod comprehensio coloris in eo, quod est color, erit ante comprehensionem quidditatis coloris: et declaratum est etiam ex istis experimen- tationibus, quod comprehensio quidditatis coloris non erit nisi per distinctionem. Illud ergo quod comprehendit uisus solo sensu, non est, nisi color in eo, quod est color, et lux in eo, quod est lux: et praeter ista nihil comprehendit solo sensu, sed per distinctionem, et argumentationem et cognitionem.

20. Essentia coloris percipitur in tempore. Itaque essentia cuiuslibet uisibilis percipi- tur in tempore. 70 p 3.

ET etiam dicamus, quod comprehensio quidditatis coloris non est, nisi in tempore. Quoniam enim comprehensio quidditatis coloris non est, nisi per distinctionem et assimilationem, sed distinctio non est, nisi in tempore: ergo comprehensio quidditatis coloris non est, nisi in tempore. Signi ficationem autem manifestam, quod comprehensio quidditatis coloris non est, nisi in tempore, praebet illud, quod apparet in trocho apud motum eius: quoniam quando in trocho fuerint tincturae diuersę, et illae tincturae fuerint lineae extensae ex medio superficiei eius manifestae, et ex parte colli eius usque ad finem suae circumferentię, et trochus fuerit circumgyratus motu forti, et aspexerit ipsum quis, com prehendet omnes colores eius quasi unum, diuersum ab omnibus coloribus eius, qui sunt in eo, quasi esset color compositus ex omnibus coloribus illarum linearum, et non comprehendet lineationem, nec diuersitatem colorum: et simul comprehendet ipsum quasi quietum, quando motus eius fuerit ual- de fortis, quoniam quodlibet punctum non figitur in eodem loco, tempore sensibili, sed in quantum minimo tempore gyrat circumferentiam totam, super quam reuoluitur. Peruenit ergo forma puncti in uisum super circumferentiam circuli in uisu, et uisus non comprehendit colorem illius puncti in minimo tempore, nisi ex tota circumferentia circuli peruenientis in uisum: comprehendit ergo colo- rem illius puncti in minimo tempore circumgyratum. Et similiter omnia puncta, quae sunt in superfi- cie trochi, significant quod uisus comprehendit colorem cuiuslibet illorum super totam circumfe- rentiam circuli, super quam mouetur illud punctum in minimo tempore. Et omnia puncta, quorum remotio a centro est aequalis, mouentur apud circumgyrationem trochi super eandem circuli unius circumferentiam. Accidit ergo ex hoc, ut appareat color cuiuslibet puncti illorum punctorum, quorum remotio a centro est aequalis, super circumferentiam eiusdem circuli in minimo tempore, quod erit tempus reuolutionis. Quare apparebunt colores omnium punctorum in tota circumferentia illius circuli admixti: et propter hoc comprehenditur color superficiei trochi, quasi color unus admixtus ex omni- bus coloribus, qui sunt in sua superficie. Si ergo uisus comprehendisset quidditatem coloris in uno in- stanti, et non indiguisset ad comprehendendum quidditatem eius, tempore: comprehendisset in uno instanti, et in quolibet instanti temporis, in quo mouetur trochus, quidditates omnium colorum, qui sunt in trocho, distinctae essent apud motum. Quoniam quando indiguerit tempore ad comprehendendum quiddi- tates eornmeorum: comprehendet illos in parte temporis reuolutionis, et in quolibet instanti temporis reuolutionis apud motum eorum, sicut comprehendet quidditatem eorum, apud eorum quietem: Quoniam quidditates omnium colorum uisibilium assuetorum in quiete et in motu, sunt uniusmo- di, non mutatae: In quolibet ergo instanti, in quo mouetur res uisa, non mutatur color eius. Et quia uisus non comprehendit quidditatem colorum, qui sunt in superficie trochi, quando trochus mo- uebitur motu ueloci, et comprehendit ipsam, quando trochus quieuerit uel fuerit in motu tardo: uisus ergo non comprehendit quidditatem coloris, nisi sit color fixus in eodem loco, tempore sen sibili, uel fuerit in motu, tempore sensibili in spatio, cuius quantitas non operatur in situ coloris istius a uisu operatione extranea. Declarabitur ergo ex ista dispositione, quod comprehensio quid- ditatis coloris non erit, nisi in tempore: et declarabitur ex ista dispositione, quod comprehensio quidditatis omnium uisibilium non est, nisi in tempore. Quoniam quando uisus non comprehendit quidditatem coloris, qui comprehenditur solo sensu, nisi in tempore: maxime igitur indiget tem- pore in comprehensione intentionum uisibilium, quae comprehenduntur per distinctionem et argumen tationem. Comprehensio ergo quidditatis uisibilium, et comprehensio, per cognitionem, et comprehensio per distinctionem et argumentationem, non erit, nisi in tempore: sed multoties erit in minimo tempore.

21. Lux et color ex sese, percipiuntur in tempore.

ET dicemus, quod color in eo, quod est color, et lux in eo, quod est lux, non comprehendetur a uisu, nisi in tempore, scilicet, quod instans, apud quod erit comprehensio coloris in eo, quod est color, et comprehensio lucis in eo, quod est lux, est diuersum ab instanti, quod est primum instans, in quo contingit superficiem uisus aer deferens formam. Quoniam color in eo, quod est color, et lux in eo, quod est lux, non comprehenduntur a sentiente, nisi post peruentum formae in corpore sensibili, et non comprehenduntur ab ultimo sentiente, nisi post peruentum formae ad concauum nerui communis, et peruentus formę ad concauum nerui communis, est sicut peruentus lucis a fo raminibus, per quae intrat lux ad corpora opposita illis foraminibus: peruentus igitur lucis a fora mine ad corpus oppositum foramini, non erit, nisi in tempore, quamuis lateat sensum. Quoniam enim pe ruentusperuentus lucis a foramine ad corpus oppositum foramini non potest euadere ab altero duo- rum mo dorummodorum, scilicet, quod aut lux ueniet in partem aeris uicinantis foramini, antequam perue- niat in partem aliam sequentem, deinde perueniet ad aliam partem, deinde ad aliam, quousque per- ueniat ad corpus oppositum foramini: aut quod lux perueniet in totum aerem medium, qui est in- ter foramen et corpus oppositum foramini, et in ipsum corpus oppositum foramini simul. Si ergo aer reciperet lucem successiue, non perueniret lux ad corpus oppositum foramini, nisi per motum: sed non est motus, nisi in tempore: si autem totus aer recipit lucem simul, peruentus lucis etiam in aerem, postquam non erat in eo, non erit, nisi in tempore, quamuis lateat sensum. Quoniam quan- do foramen, per quod intrat lux, fuerit obturatum, et deinde fuerit ablatum obturans: instans, in quo fuerit ablatum obturans a prima parte foraminis, et in quo fuerit discoopertus aer, qui est in foramine ad partem lucis, est diuersum ab instanti, in quo peruenit lux in aerem contingentem il- lam partem, quae est intra foramen, et in aerem continuatum cum illo aere secundum omnes dispo sitiones: quoniam lux non peruenit in aliquam partem aeris, qui est intra foramen, quod est coo- pertum contra lucem, nisi postquam fuerit discooperta aliqua pars foraminis contra lucem, et nul- la pars foraminis discooperitur in minori, uno instanti: sed instans non diuiditur: nihil ergo ex lu- ce peruenit in interius foraminis in illo instanti, in quo fuerit discooperta pars foraminis: quoniam illud, quod est discoopertum ex foramine in uno instanti, non discooperitur successiue, neque il- lud, quod discooperitur ex foramine in uno instanti, est pars alicuius quantitatis, quoniam non discooperitur in uno instanti, nisi punctum carens quantitate, aut linea carens latitudine, quoniam non auferetur cooperiens ab habente longitudinem et latitudinem, nisi successiue. Igitur per mo- tum: sed motus non erit, nisi in tempore: et illud quod discooperitur a foramine in uno instanti, ca ret latitudine: est ergo punctum aut linea: sed punctum carens quantitate, et linea carens latitudi- nne, non est pars aeris: Punctum ergo carens quantitate, et linea carens latitudine, quod est punctum, quod discooperitur ex foramine in instanti, non est, nisi finis alicuius partium aeris, qui est intra fo ramen, non pars aeris. Et punctum carens quantitate, non recipit lucem, neque linea carens latitudi ne, quoniam non recipit lucem, nisi corpus. Et cum ita sit, nihil peruenit ex luce in aerem, qui est intra foramen, in instanti, in quo discooperitur primum, quod discooperitur ex foramine. Instans ergo, quod est punctum uel primum instans, in quo peruenit lux in aerem, qui est intra foramen, aut in partem eius, est diuersum ab instanti, in quo discooperitur primum, quod discooperitur ex fo- ramine: sed inter quaelibet duo instantia est tempus. Lux ergo non peruenit ex aere, qui est extra foramen, ad aerem, qui est intra foramen, nisi in tempore: sed id tempus ualde latet sensum, propter uelocitatem receptionis formarum lucis ab aere. Et similiter accidit in uisu, quando fuerit oppositus rei uisae, postquam non erat ita, et aer deferens formam rei uisae, contigerit superficiem uisus, post- quam non contingebat ipsam prius: non peruenit forma ex aere deferente formam ad interius con- caui nerui communis, nisi in tempore: sed sensus caret uia comprehensionis istius temporis propter paruitatem eius, et errorem eius, et debilitatem eius ad comprehendendum id, quod est in fine paruitatis. Istud ergo tempus respectu sensus est sicut instans. Et etiam membrum sentiens non sentit formas uenien tes ad ipsum, nisi postquam patitur ab illis: non sentit ergo colorem in eo, quod est color, neque lucem in eo, quod est lux, nisi postquam patitur a forma lucis et coloris: sed passio membri sentientis a forma co loris et forma lucis, est aliqua alteratio: sed nulla alteratio est, nisi in tempore: uisus ergo non compre- hendit colorem in eo, quod est color, neque lucem in eo, quod est lux, nisi in tempore. Et in tempore, in quo extenditur forma a superficie membri sentientis ad concauum nerui communis, erit comprehensio coloris in eo, quod est color, et lucis in eo, quod est lux, a uirtute sentiente, quae est in toto corpore sentien te, et apud peruentum formę in concauum nerui communis, erit comprehensio coloris, in eo quod est color, et lucis in eo, quod est lux, ab ultimo sentiente. Comprehensio ergo coloris in eo, quod est color, et lucis in eo, quod est lux, est in tempore sequente tempus, in quo peruenit forma a superfi- cie membri sentientis ad concauum nerui communis. Et etiam instans, quod est primum, in quo per- uenit forma in superficiem uisus, diuersum est ab instanti, quod est primum instans, in quo aer de- ferens formam, contingit primum punctum superficiei uisus, quando uisus fuerit oppositus rei ui- sae, postquam non fuerat ita, et postquam oculus aperuerit palpebras, postquam fuerunt clausae. Quo- niam quando ita fuerit, primum, quod contingit superficiem uisus ex aere deferente formam illi- us rei uisae, est unum punctum, aut linea carens latitudine, deinde pars post aliam, quousque aer de- ferens formam, contingat partem superficiei uisus, in quam peruenit forma: et apud contactum il- lius puncti carentis quantitate, aut lineae carentis latitudine superficiei uisus, ad punctum carens quantitate, aut ad lineam carentem quantitate superficiei aeris deferentis formam, nihil peruenit ex forma lucis et coloris in superficiem uisus: quoniam minimum ex superficie, in quod peruenit lux, aut forma coloris, non erit, nisi superficies. In instanti ergo, in quo contingit punctum superfi- ciei uisus primum punctum aeris deferentis formam, nihil peruenit in superficiem uisus. Instans er go, quod est primum instans, in quo peruenit forma in superficiem uisus, est diuersum ab instanti, quod est primum instans, in quo contingit aer deferens formam, superficiem uisus, quando fuerit uisus oppositus rei uisae, et aperuerit palpebras eius, postquam fuerunt clausae. Et cum ita sit, non peruenit forma lucis aut coloris in aliquam partem membri sentientis, neque in superficiem uisus, nisi in tempore. Non comprehendit ergo sentiens colorem in eo, quod est color, neque lucem in eo, quod est lux, nisi in tempore, scilicet quod instans, in quo cadit sensus coloris in eo, quod est color, et lucis in eo, quod est lux, est diuersum ab instanti, quod est instans primum, in quo contingit aer deferens formam, superficiem uisus. Iam ergo declaratum est ex omnibus, quae diximus, quo- modo comprehendat uisus lucem in eo, quod est lux, et quomodo comprehendat colorem in eo, quod est color, et quomodo comprehendat quidditatem lucis et coloris, et quomodo compre- hendat qualitatem lucis.

22. Perceptio distantiae uisibilis differt a perceptionibus loci uisibilis, et uisibilis in suo lo- co. 14 p 4.

SEd remotio rei uisae a uisu non comprehenditur a uisu solo sensu, neque comprehensio remotio- nis rei uisae, est comprehensio loci rei uisae, neque comprehensio rei uisae in loco suo est ex com- prehensione remotionis eius tantum. Quoniam locus rei uisae fit ex tribus intentionibus, sci- licet, ex remotione, et ex parte uniuersi, et ex quantitate remotionis. Quantitas ergo remotionis est diuersa ab intentione remotionis in eo, quod est remotio, quoniam intentio remotionis inter duo corpora est priuatio contactus, et priuatio contactus est, esse aliquod spatium inter illa duo cor- pora, et quantitas remotionis est quantitas illius spatij. Intentio ergo remotionis in eo, quod est re motio, est ex situ: Non est ergo quantitas remotionis. Comprehensio ergo intentionis remotionis, quae est priuatio contactus, est diuersa a comprehensione quantitatis spatij, quae est mensura remo tionis. Et comprehensio quantitatis remotionis est ex comprehensione magnitudinis: et compre- hensio remotionis rei uisae, et comprehensio partis eius sunt ex comprehensione situs loci. Et qua- litas comprehensionis utriusque istorum, est diuersa a qualitate comprehensionis remotionis alteri- us illorum, quoniam priuatio contactus est diuersa a parte. Comprehensio ergo loci rei uisae, non est comprehensio remotionis rei uisae. Et comprehensio rei uisae in suo loco, consistit in comprehen sione quinque rerum, scilicet in comprehensione lucis, quae est in ea, et comprehensione coloris e- ius, et comprehensione remotionis eius, et comprehensione partis eius, et comprehensione quan- titatis remotionis eius: et nullum istorum comprehenditur per se solum, neque comprehenditur u- num post aliud, sed omnia comprehenduntur simul, quando comprehenduntur per cognitionem, non per argumentationem iterandam.

23. Visio non fit radijs ab oculo emissis. 5 p 3. Vide 23 n 1.

ET ex comprehensione rei uisae in suo loco, opinati sunt ponentes radios: quod uisio esset per radios exeuntes a uisu, et peruenientes ad rem uisam, et quod uisio esset per extremitatem ra dij, et ratiocinati sunt contra physicos, dicentes. Cum uisio fuerit per formam uenientem a re uisa ad uisum, et illa forma peruenit ad interius uisus: quare comprehenditur res uisa in suo loco, qui est extra uisum, et forma eius iam peruenit ad interius uisus? Et non sciuerunt isti, quod uisio non completur solo sensu tantum, et quod uisio non completur, nisi per cognitionem et distinctio- nem antecedentem, et si cognitio et distinctio antecedens non esset, non compleretur in uisu uisio. Et non comprehendit uisus quid est res uisa apud uisionem: quoniam quid est res uisa non com- prehenditur solo sensu, nisi per distinctionem, aut cognitionem, aut argumentationem iterandam apud uisionem. Si ergo uisio esset solo sensu tantum, et omnia, quae comprehenduntur ex intentio nibus, quae sunt in rebus uisibilibus, comprehenderentur solo sensu, non comprehenderetur res ui sa in suo loco, nisi postquam peruenisset aliquid ad ipsam, quod contingeret et sentiret eam. Cum autem uisio non compleatur solo sensu, sed per distinctionem, et argumentationem, et cognitionem: non indiget in comprehensione rei in suo loco, sentiente extenso ad ipsam, et contingente ipsam.

24. Remotio uisibilis percipitur distinctione et anticipata notione. 9 p 4.

REdeamus ergo ad narrandum qualitatem comprehensionis uisionis, et dicamus: Remotio rei uisae non comprehenditur per se, nisi per distinctionem: et ista intentio est ex intentioni- bus, quae quiescunt in anima secundum tempora pertransita, ita quod percepta non recedit ab anima, propter nimiam frequentationem et iterationem eius super uirtutem distinctiuam. Qua- re non opus est in comprehensione eius argumentatione iteranda apud comprehensionem cuiusli- bet rei uisae: neque quaerit etiam uirtus distinctiua apud comprehensionem cuiuslibet rei uisae, quomodo quieuit intentio rei uisae in ea: quoniam non distinguit qualitatem comprehensionis a- pud comprehensionem cuiuslibet rei uisae, et non comprehendit remotionem, nisi cum alijs inten tionibus, quae sunt in re uisa: et comprehendit illam apud comprehensionem rei uisae per cognitio nem antecedentem. Quomodo autem uirtus distinctiua comprehendat remotionem per distin- ctionem, est, secundum quod narrabo. Quando uisus fuerit oppositus rei uisae, postquam non fue- rat oppositus: comprehendit rem uisam, et quando aufertur ab oppositione, destruitur compre- hensio. Et similiter, quando uisus aperuerit palpebras, postquam fuerunt clausę, et fuerit oppositus alicui rei uisae: comprehendet illam rem uisam, et cum clauserit palpebras, destruetur comprehen- sio. Et in natura intellectus est, quod illud, quod accidit in uisis apud aliquem situm, et destruitur a- pud eius ablationem, non est fixum intra uisum, neque faciens ipsum accidere, est intra uisum. Et in natura intellectus est etiam, quod id, quod apparet apud apertionem palpebrarum, et destruitur apud clausionem earum, non est fixum intra uisum, neque faciens ipsum accidere, est intra uisum. Et cum uirtus distinctiua comprehendit, quod id, quod accidit in uisu, ex quo uisus comprehendit rem uisam, neque est res fixa intra uisum, neque operans ipsum est intra uisum: statim comprehen- dit, quod id, quod accidit in uisu, aduenit extrinsecus, et operans ipsum est extra uisum. Et cum ui- sio destruitur apud clausionem palpebrarum, et apud ablationem ab oppositione, et fit apud aper- tionem palpebrarum, et apud oppositionem: uirtus distinctiua comprehendit, quod id, quod ui- detur in uisu, non est applicatum cum uisu. Et cum uirtus distinctiua comprehendit, quod illud, quod uidetur, non est intra uisum, neque est applicatum cum uisu, statim comprehendit, quod inter ipsum et uisum est remotio: quoniam in natura intellectus est, aut in fine manifestationis distincti- onis, quod omne, quod non est in corpore, neque est applicatum cum ipso, sit remotum ab eo. Et haec est qualitas comprehensionis remotionis rei uisae in eo, quod est remotio. Sed uirtus distincti ua non indiget in comprehensione remotionis rei uisae ad diuidendum ea, quae diuisimus, quoniam non fecimus hoc, nisi gratia declarandi. Et uirtus distinctiua comprehendit conclusionem istius distinctionis apud uisionem sine indigentia illius diuisionis. Ex comprehensione ergo rei apud op positionem, et apertionem palpebrarum, et ex destructione eius apud ablationem oppositionis, et apud clausionem palpebrarum comprehendit uirtus distinctiua, quod res uisa est extra uisum, et quod non est applicata cum uisu. Et secundum istum modum comprehendit uirtus distinctiua, quod inter uisum et rem uisam sit remotio: deinde propter frequentationem istius intentionis, et iterationem eius, quieuit in anima, ita quod non percipit quietem eius, neque qualitatem quietis eius, scilicet quod omnia uisibilia sunt extra uisum, et quod inter quamlibet rem uisam et uisum est remotio. Remotio ergo rei uisae a uisu non comprehenditur, nisi per modicam distinctionem, scili- cet quod uirtus distinctiua comprehendit, quod uisio est propter intentionem extrinsecam a uisu: et cum hoc, quando fuerit quiescens in anima, intelliget uirtus distinctiua, quod quaelibet res uisa comprehensa a uisu, est extra uisum, et inter ipsam et uisum est remotio: et etiam sicut diximus su- perius, non comprehenditur remotio nisi cum alijs: et apud nostrum sermonem de qualitate com- prehensionis situs declarabitur, quomodo comprehendatur remotio cum situ, et quomodo com- prehendatur res uisa in loco suo.

25. Magnitudo distantiae percipitur e corporibus communibus inter uisum et uisibile in- teriectis. 10 p 4.

COmprehensio uero quantitatis remotionis a uisu, diuersatur. Quoniam quaedam compre- henduntur per sensum uisus, et certificatur eorum quantitas: et quaedam comprehendun- sut, quorum quantitas non certificatur. Remotio rei uisae a uisu comprehenditur in quali- bet re uisa, et certificatur in qualibet re uisa: quantitas autem remotionis non certificatur uisui in qualibet re uisa: quoniam inter quaedam uisibilia et uisum sunt corpora ordinata continuata: inter quaedam uero et uisum non sunt corpora ordinata continuata, neque remotio eorum respicit cor- pora ordinata continuata. llla ergo, quorum remotio respicit corpora ordinata continuata, quando uisus comprehenderit corpora ordinata, quae respiciunt remotionem eorum uisibilium, quando com prehendet scilicet quantitates illorum corporum, et cum comprehenderit mensuras illorum cor- porum, comprehendet quantitates spatiorum, quae sunt inter extremitates illorum. Et spatium, quod est inter duas extremitates corporis uisi, quod respicit remotionem, quae est inter uisum et rem ui- sam, quarum altera est in parte rei uisę, et altera in parte aspicientis: est remotio rei uisae a uisu, quo- niam respicit spatium, quod est inter uisum et rem uisam. Cum ergo uisus comprehendet mensu- ram istius spatij: comprehendet mensuram remotionis rei uisae. Visus ergo comprehendit quantitatem remotionis rerum uisibilium (quarum remotio respicit corpora ordinata continuata) ex comprehensione mensurarum corporum ordinatorum respicientium remotiones earum. Et remotio quarundam rerum istarum uisibilium est mediocris: et remotio quarundam est extra mediocritatem. Remotio ergo uisibilium, quorum remotio est mediocris: comprehenditur a uisu comprehensione uera certificata: quoniam uisibilia, quorum remotio est mediocris, et inter quae, et uisum sunt corpora ordinata continuata, com- prehenduntur a uisu uera comprehensione: Et cum uisus comprehendit ista uisibilia uera comprehen sione: comprehendit corpora ordinata interiacentia inter ipsum et ipsa uisibilia uera comprehensione: et cum comprehendit ista corpora uera comprehensione: comprehendit spatia interiacentia inter extremi tates eorum uera comprehensione: et cum comprehendit spatia uera comprehensione: comprehen- det mensuras remotionum uisibilium, respicientium ista spatia uera comprehensione et certifica- ta. Visibilium ergo, quorum remotio respicit corpora ordinata continuata, et quorum remotio a uisu est mediocris, mensuras remotionum comprehendit uisus uera comprehensione et certa: et est dicere, certa, in ultimitate, in qua poterit sensus comprehendere. Mensurae uero remotionum ui sibilium, quorum remotio est extra mediocritatem, et quorum remotio respicit corpora ordinata continuata, si comprehenduntur a uisu: non comprehenduntur uera comprehensione et certifica- ta: quoniam uisibilia, quorum remotio est extra mediocritatem, non comprehenduntur a uisu ue- ra comprehensione. Et cum inter uisum et ista uisibilia fuerint corpora ordinata continuata: non comprehenduntur a uisu omnia ista uisibilia uera comprehensione propter extraneitatem remo- tionum extremitatum suarum, et exitus eorum a mediocritate, per quam uisus certificat uisibilia. Et cum uisus non comprehendat ista corpora uera comprehensione: non comprehendet spatia in- teriacentia inter extremitates uera comprehensione. Non comprehendet ergo remotiones, quae sunt interiacentes inter ipsum et uisibilia, quae sunt apud extremitates istorum corporum, uera com- prehensione. Quantitates ergo remotionum uisibilium, quorum remotio est extra mediocritatem, et inter quam et uisum sunt corpora ordinata continuata, non comprehenduntur a uisu uera com prehensione. Similiter remotiones uisibilium, quorum remotio non respicit corpora ordinata con- tinuata, non comprehenduntur a uisu uera comprehensione. Quare uisus, quando comprehende- rit nubes in plano et in locis carentibus montibus: existimabit, quod sint magnae remotionis in re- spectu corporum coelestium, et cum nubes fuerint inter montes, et fuerint continuatae: forte coo- perientur cacumina montium a nubibus: et cum nubes distiterint, una ab altera: forte apparebunt cacumina montium superiora nubibus: et forte comprehendet uisus partes nubium applicatas cum uertice montium, et forte erit hoc in montibus non ualde altis. Ex ista ergo experimentatio- ne apparet, quod remotio nubium non est extranea: et quod plures illarum sunt propinquiores terrę cacuminibus montium: et quod illud, quod existimatur de extraneitate remotionis illarum, error est. Et declarabitur inde, quod uisus non comprehendit mensuram remotionis nubium in plano: et quod mensura remotionis nubium comprehendetur a uisu, quando fuerint inter mon- tes, et apparuerint cacumina montium superiora. Et hoc inuenitur etiam in pluribus uisibilibus, quae sunt super faciem terrae, scilicet, quod mensurae remotionum non respicientes corpora or- dinata continuata, non comprehenduntur a uisu. Ex illis ergo, ex quibus manifestatur hoc, sci- licet quod uisus non comprehendat quantitatem remotionis rei uisae, nisi quando remotio eius respexerit corpora ordinata continuata, et comprehenderit uisus illa corpora interposita, et cer- tificauerit mensuras eorum: est experimentatio sequens. Sit domus, in quam experimentator non intrauerit ante horam experimentationis: et sit in quodam pariete illius domus strictum fo- ramen: et sit post illud foramen uacuitas, quam ante illam horam non uidit: et sint in illa uacui- tate duo parietes, quorum unus sit propinquior foramini quam alius: et sit inter illos duos pari- etes distantia alicuius quantitatis: et sit paries propinquior cooperiens quandam partem parie- tis remotioris: et sit quaedam pars parietis remotioris apparens: et sit foramen eleuatum a ter- ra, ita ut quando aspiciens aspexerit per ipsum, non uideat faciem terrae, quae est post parietem, in quo foramen est. Experimentator igitur quando accesserit ad istum locum: et inspexerit per istud foramen: uidebit duos parietes simul, et non comprehendet remotionem, quae est inter ipsos. Si uero remotio primi parietis fuerit magna, remotio extranea a foramine, comprehendet duos parietes quasi se contingentes, et forte existimabit quod sit unus continuus, quando color eorum fuerit unus. Et si paries primus fuerit remotus a foramine mediocriter, et percipiatur, quod sint duo parietes: existimabitur, quod sint propinqui sibi, aut se contingentes, et non cer- tificabitur remotio, quae est inter ipsos. Et cum comprehenderit primum parietem uisus, quan- do remotio eius fuerit mediocris, quasi esset propinquus alteri: non certificabit remotionem e- ius, et non certificabitur remotio, quae est inter ista duo corpora huiusmodi per sensum uisus: quo- niam ante illam horam non uiderat istum locum, neque illos duos parietes: et forte comprehen- det uisus illa duo corpora quasi se contingentia, quamuis ante sciuerit distantiam, quae est inter ea. Et cum uisus non comprehendat remotionem, quae est inter duo corpora huiusmodi: non comprehendit quantitatem remotionis ultimi corporis: et tamen comprehendit formam eius cor poris. Et cum non comprehendat quantitatem remotionis istius corporis, quamuis comprehen- dat illud corpus: non comprehendet corpora continuata respicientia remotionem eius: et non comprehendet uisus quantitatem remotionis rei uisae certe ex comprehensione formae rei uisae: et non comprehendet uisus quantitatem remotionis rei uisae, nisi per argumentationem. Visus au- tem non arguit super aliquam mensuram, nisi per argumentum comparationis, siue per compa- rationem illius mensurae ad aliam mensuram iam comprehensam a uisu, uel ad mensuram tunc comprehensam cum ea. Et nihil est, per quod uisus potest mensurare remotionem rei uisae, et com parare ad ipsam, ita ut comprehendat mensuram eius uere, nisi per corpora ordinata respicientia remotionem rei uisae: si autem mensurauerit uisus remotionem per alia quam per ista corpora, e- rit mensuratio qualiscunque, non certa. Non igitur comprehenditur quantitas remotionis rei ui- sae a sensu uisus, nisi remotio eius respexerit corpora ordinata continuata: comprehendit enim uisus illa corpora, et mensuras illorum. Et ista experimentatio, quam diximus, habet multa simi- lia in uisibilibus, sicut ex duabus arboribus erectis secundum modum, quem diximus in parietibus, aut in ligno transuersim posito super foramen, secundum modum, quem diximus de pariete primo. Remotiones autem uisibilium distantium abinuicem comprehenduntur a uisu ex com- prehensione diuisionis, quae est inter uisibilia. Dispositiones autem quantitatis remotionis uisi- bilium inter se sunt apud uisum, sicut dispositiones remotionum uisibilium a uisu. Quoniam si in- ter duas res uisas distinctas fuerint corpora ordinata continuata, et comprehenderit uisus illa cor- pora et mensuras eorum: comprehendet quantitatem remotionis, quae est inter res uisas: si au- tem non: non comprehendet quantitatem distantiae, quae est inter illas res, uere. Et similiter, si in- ter istas duas res uisas fuerint corpora ordinata continuata: et fuerint ualde extraneae remotio- nis, ita ut uisus non possit certificare mensuras illorum corporum: non certificabitur mensura, quae est inter illas duas res uisas. Remotiones ergo uisibilium a uisu non comprehenduntur, nisi ex comprehensione uirtutis distinctiuae: quoniam illud, quod accidit in uisu apud uisionem, non accidit, nisi per aliquid extrinsecum. Et nulla quantitas remotionis uisibilium comprehenditur per sensum uisum uera comprehensione, nisi remotiones uisibilium, quorum remotio respicit cor- pora ordinata et continuata, quorum remotio simul est mediocris. Et uisus una etiam compre- hendit corpora ordinata respicientia remotiones eorum, et certificat mensuras illorum corpo- rum, ut se consequuntur. Mensurae autem remotionum, praeter huiusmodi, non certificantur a uisu. Visibilium autem, quorum remotionum mensurae non certificantur a uisu, quaedam remo- tiones respiciunt corpora ordinata continuata, et uisus comprehendit illa corpora cum hoc: et sunt illa corpora, quorum extremitatum remotio est extranea: et quaedam remotiones eorum respiciunt corpora ordinata continuata, sed uisus non comprehendit illa corpora, siue sint remotio- nes eorum extraneae, siue sint mediocres: et quaedam remotiones eorum non respiciunt corpora ordinata continuata, et sunt illa uisibilia, quae sunt ualde eleuata a terra, quae sunt extraneae remo- tionis: et quae non habent prope ipsam remotionem, neque parietem respicientem remotionem eo- rum. Et omnia uisibilia diuiduntur in istas partes. Et quando uisus comprehendit uisibilia, quo- rum remotionum quantitates non certificantur a uisu: uirtus distinctiua statim cognoscit mensu- ras remotionum eorum secundum aestimationem, non secundum rectitudinemcertitudinem, et comparat re- motionem eorum ad remotionem sibi similium ex uisibilibus comprehensis a uisu ante, et susten- tat se in argumentatione super formam rei uisae, et comparat formam rei uisae ad formam uisibili- um similium, quae uisus comprehendit ante, et in quibus quantitates remotionum iam certifican- tur a uirtute distinctiua: et sic comparat remotionem rei uisae, cuius quantitatem remotionis non certificat, ad remotionem uisibilium sibi similium, quae comprehendit uisus ante, et quorum remo tionum mensurae iam certificantur a uirtute distinctiua. Cum ergo uirtus distinctiua non certifi- cauerit lineationes formae rei uisae: comparabit quantitatem totius formae ad mensuras formarum uisibilium, aequalium illis formis in mensura, quarum remotionum quantitates iam certificatę sunt in uirtute distinctiua, et assimilabit remotionem rei uisae, cuius quantitas remotionis non certifi- cabitur ab eo, ad remotionem uisibilium in mensura, quorum remotiones iam sunt certificatae. Et est hoc maximum, super quod potest uirtus distinctiua in comprehendendo mensuras remotionum uisibilium. Forte ergo inueniet per istam argumentationem certitudinem in comprehendendo re motionem illius, quod est huiusmodi: et forte errabit: et in illis, in quibus inueniet certitudinem, non certificatur, utrum inuenit certitudinem, an non. Et ista argumentatio erit argumentatio in fine uelocitatis propter assuetudinem uirtutis distinctiuae, in comprehendendo remotionem uisi- bilium per argumentationem et certificationem. Et forte aestimabit uirtus distinctiua mensuras re motionis rei uisae, si remotio eius respexerit corpora ordinata, et fuerit ex remotionibus mediocri bus, propter assuetudinem suam in aestimando uel arguendo remotiones uisibilium, et propter ue- locitatem cum suae aestimationis argumentatione. Et cum remotio rei uisae fuerit mediocris, non erit inter aestimationem remotionis, et inter ueram remotionem magna diuersitas. Cum ergo ui- sus comprehenderit aliquam rem uisam, statim uirtus distinctiua comprehendet remotionem e- ius, et mensuram remotionis eius, secundum quod poterit comprehendere, scilicet aut per certi- tudinem, aut per aestimationem, et statim remotio eius habebit in anima mensuram conceptam. Mensura ergo remotionis rei uisae comprehensa a uisu, cuius forma est concepta in anima, quan- do illa remotio respexerit corpora ordinata continuata, et simul fuerit mediocris, et comprehen- derit uisus illa corpora ordinata respicientia eius remotionem, et etiam iam uirtus distinctiua co- gnouerit ipsam, et certificauerit mensuras corporum ordinatorum, certificata est. Si autem eius re motio non respexerit corpora ordinata continuata: aut respexerit corpora ordinata continuata, et comprehenderit uisus illa corpora: et simul fuerit remotio extranea, ita ut uisus non possit cer- tificare mensuras illorum corporum: aut respexerit corpora ordinata continuata, et non com- prehenderit uisus illa corpora, neque certificauerit mensuras eorum: aut possit comprehendere illa corpora, sed non aspexerit illa tunc, nec mensurauerit quantitates eorum, siue sint remotio- nes illorum uisibilium extraneae, siue mediocres: erit tunc mensura eius remotionis, quae est con- cepta in anima, neque certificata, neque uerificata. Et remotiones, quae sunt inter uisibilia di- stincta, non comprehenduntur, nisi ex comprehensione diuisionis, quae est inter illa uisibilia: et quaedam quantitates remotionum, quae sunt inter uisibilia distincta, comprehenduntur uera com prehensione, et quaedam comprehenduntur per aestimationem. Mensura ergo remotionis, quae est inter duo uisibilia, inter quae sunt corpora ordinata continuata, quae uisus comprehendit, et quo- rum certificat mensuras: est mensura certificata: mensura autem remotionis, quae est inter duo uisibilia, inter quae non sunt corpora ordinata continuata: aut inter quae sunt corpora ordinata continuata, sed uisus non certificat mensuras illorum corporum: aut non comprehendit illa, est mensura non certificata. Secundum ergo istos modos erit comprehensio remotionum uisibilium per sensum uisus. Et etiam corpora respicientia remotiones uisibilium assuetorum, quae sunt in re- motionibus assuetis, quae assuetae comprehenduntur a uisu, comprehenduntur a uisu, et certifi- cantur mensurae eorum propter frequentationem eorum, ita ut uisus propter hoc comprehendat mensuras remotionum eorum per cognitionem. Quoniam uisus quando comprehendit aliquod uisibile assuetum, et fuerit in remotione assueta: cognoscet ipsum, et cognoscet eius remotionem, et aestimabit quantitatem remotionis eius. Quando ergo aestimabit quantitatem remotionis hu- iusmodi uisibilium: erit aestimatio eorum prope uera, et non erit inter aestimationem eius, et ueri- tatem magna diuersitas. Quantitas ergo remotionum uisibilium assuetorum, quae sunt in remotio- nibus assuetis, comprehenduntur a uisu per cognitionem ex aestimatione quantitatum eorum: et plures remotiones uisibilium comprehenduntur secundum huiusmodi modum.

26. Situs percipitur e uisibilis siti moderata distantia. 29 p 4.

SItus uero, quem uisus comprehendit ex uisibilibus, diuiditur in tres modos: quorum unus est situs totius rei uisae apud uisum, aut situs cuiusdam partis rei uisae apud uisum: et iste modus est oppositio. Secundus est situs superficiei rei uisae oppositae uisui apud uisum: et situs superfi cierum rei uisae oppositarum uisui apud uisum, quando res uisa fuerit multarum superficierum, et fuerit illud, quod apparet uisui ex eis, multae superficies: et situs terminorum superficierum uisibi- lium apud uisum, et situs linearum, et spatiorum, quae sunt inter quaelibet duo puncta, aut inter quae- libet duo uisibilia, quae simul comprehenduntur a uisu. Modus tertius est situs partium rei uisę in- ter se, et situs terminorum superficiei rei uisae inter se, et situs partium terminorum superficiei rei uisae inter se, et situs partium superficiei terminorum rei uisae inter se: et iste modus est ordinatio: et consimiliter situs uisibilium diuersorum inter se, collocatur sub hoc modo. Omnes ergo situs, qui comprehenduntur a uisu, diuiduntur in istos tres modos. Et situs cuiuslibet habentis situm a- pud aliud, componitur ex remotione illius habentis situm ab illo alio, et ex situ illius habentis situm respectu illius alterius. Oppositio ergo rei uisae ad uisum componitur ex remotione rei uisae a uisu, et ex parte, in qua est res uisa, respectu uisus. Comprehensio autem remotionis rei uisae iam decla- rata est, quod est intentio quiescens in anima.

27. Locus et oppositio uisibilis percipiuntur e situ, quem obinent in superficie uisus. 30 p 4. Vide 22 n.

VErus autem locus rei uisae comprehenditur ex situ rei uisae apud uisionem, quoniam uisus non comprehendit rem uisam, nisi ex oppositione: et loca, quae comprehenduntur a sensu, comprehenduntur a distinctione: et sensus et distinctio distinguunt inter loca, quamuis in eis nihil sit ex uisibilibus: et distinguit distinctio inter locum obiectum uisui, et locum propinquum ei: Et uirtus distinctiua comprehendit omnia loca per imaginationem. Cum ergo uisus fuerit op- positus alicui loco, et comprehenderit aliquod uisibile: et uisus postea fuerit ablatus ab illo loco: et fuerit oppositus alij loco: destruetur uisio illius rei uisae: et cum reuertetur iterum ad oppositio- nem illius loci, reuertetur iterum uisio illius rei uisae. Et cum uisus comprehenderit rem uisam a- pud oppositionem illius in loco, in quo est res uisa: et comprehenderit uirtus distinctiua lo- cum oppositum uisui apud comprehensionem illius rei uisae: et cum uisus fuerit ablatus ab op- positione illius loci: destruitur uisio illius rei uisae: tunc ergo uirtus distinctiua comprehendet, quod res uisa non est, nisi in parte opposita uisui apud uisionem illius rei uisae. Et etiam declara- tum est [18 n 1] quod uisus recipit formas proprie ex uerticationibus linearum radialium, et quod ipse non patitur a formis, nisi ex uerticationibus istarum linearum tantum. Et etiam decla- ratum est, [19 n 1] quod forma extenditur in corpore uisus secundum rectitudinem linearum radialium. Cum ergo forma rei uisae peruenerit in uisum: statim sentiens sentiet formam, et sen- tiet partem uisus, in quam peruenit forma, et sentiet uerticationem, per quam extenditur forma in corpore membri sentientis. Cum ergo comprehenderit uisus locum formae in uisu, et compre- henderit uerticationem, per quam extendebatur illa forma: statim uirtus distinctiua compre- hendet locum, in quem, ex quo, et per quem extendebatur illa uerticatio. Locus autem per quem et ex quo extendetur illa uerticatio, est locus, in quo est illa res uisa. Ex comprehensione ergo partis uisus, in quam peruenit forma rei uisae, et ex comprehensione uerticationis, per quam extendebatur forma, et ex qua patitur uisus a forma, comprehendit uirtus distinctiua uerticatio- nem, per quam extendebatur forma rei uisae secundum ueritatem. Et secundum hunc modum distinguuntur loca uisibilium: quoniam uisibilia distincta non distinguuntur a uisu, nisi ex distin- ctione locorum distinctorum in superficie membri sentientis, ad quę perueniunt formae uisibilium distinctorum. Et comprehensio loci rei uisae secundum hunc modum habet simile in auditu: quo- niam sentiens comprehendit uocem per sensum auditus, et comprehendit locum, a quo uenit uox, et distinguit inter uocem uenientem a dextra, et uocem uenientem a sinistra, et ante, et retro: Imo distinguit etiam inter loca uocum distinctione subtiliori ista: et distinguit inter locum uocis ue- nientis a loco sibi opposito facialiter, et locum uocis uenientis a loco obliquo a uerticatione oppo- sitionis: et non distinguuntur loca, a quibus ueniunt uoces respectu auditus, nisi per uertica- tiones, super quas ueniunt uoces ad auditum. Sensus ergo auditus comprehendit uoces, et comprehendit uerticationes, ex quibus ueniunt uoces: et ex comprehensione uerticationum, super quas ueniunt uoces ad auditum, et super quarum rectitudinem percutit uox auditum, com- prehendit uirtus distinctiua locum, a quo uenit uox. Sicut ergo loca uocum comprehendun- tur a sensu auditus: deinde a uirtute distinctiua mediante auditu: ita loca uisibilium comprehen- duntur a uirtute distinctiua per sensum uisus. Et ex illis, ex quibus declaratur, quod sentiens comprehendit uerticationem, secundum quod patitur uisus a forma rei uisae, est illud, quod com- prehenditur in speculis secundum reflexionem. Quoniam res uisa, quam comprehendit uisus secundum reflexionem, non comprehenditur a uisu, nisi in oppositione, et cum est opposita illi: sed forma eius peruenit ad uisum secundum linearum rectarum uerticationes, quae sunt lineae radiales extensae a uisu in partem oppositionis. Cum ergo uisus senserit formam ex uertica- tionibus linearum radialium: aestimabit rem uisam esse apud extremitates illarum linearum: quoniam nihil comprehendit ex uisibilibus assuetis, quae semper comprehendit, nisi apud ex- tremitates linearum imaginatarum inter uisum et rem uisam, quae sunt lineae radiales. Ex com- prehensione ergo rei uisae a uisu secundum reflexionem uisus ad oppositionem, et secundum rectitudinem uerticationum, super quas formae reflexae perueniunt ad uisum, uidebitur quod sentiens sentit uerticationem, per quam uenit forma, et ex qua patitur uisus a forma. Et cum sentiens sentit uerticationem uisus, ex qua patitur uisus a forma, comprehendit uirtus distin- ctiua locum, in quo extenditur illa uerticatio, et comprehendet locum rei uisae. Locus ergo rei uisae comprehendetur a sentiente, comprehensione larga, et ex comprehensione situs apud uisionem: et comprehendetur a uirtute distinctiua, comprehensione larga, ex comprehensione situs rei uisae apud uisionem: et comprehendetur uera comprehensione, et certificata, ex com- prehensione uerticationis, ex qua patitur uisus a forma rei uisae. Remotio autem rei uisue est intentio, quae iam quieuit in anima. Igitur apud peruentum rei uisae ad uisum, comprehendit uirtus distinctiua locum rei uisae cum quiete intentionis remotionis apud ipsam: et adiunctio remotionis et loci est oppositio. Cum ergo uirtus distinctiua comprehenderit locum rei ui- sae, et suam remotionem, simul comprehendet eius oppositionem. Comprehensio ergo oppo- sitionis est ex comprehensione loci rei uisae, et ex comprehensione remotionis rei uisae in si- mul. Et comprehensio loci erit secundum muodum, quem diximus. Cum ergo forma rei ui- sae peruenerit in uisum, sentiet sentiens locum membri sentientis, in quem peruenit forma, et comprehendet uirtus distinctiua locum rei uisae ex uerticatione, per quam extenditur forma: et intentio remotionis iam quieta est apud ipsam. Ipsa ergo comprehendet locum, et remotio- nem simul apud comprehensionem formae a sentiente. Igitur apud comprehensionem formae a sentiente comprehendet uirtus distinctiua oppositionem. Secundum ergo hunc modum dictum, erit comprehensio oppositionis. Et iam declaratum est, [ 10 n] quo modo uisus comprehendat formam rei uisae solo sensu. Apud peruentum ergo formae rei uisae in uisum comprehendet sentiens colorem rei uisae, et lucem eius, et locum uisus, qui colorabatur et illuminabatur ab illa forma: et comprehendet uirtus distinctiua locum eius, et remotionem apud comprehensionem lucis et co- loris eius a sentiente. Et sic comprehenduntur lux et color, locus et remotio simul in minimo tem- pore. Sed locus et remotio sunt opposita, et lux et color sunt forma rei uisae, et ex comprehensione formae et comprehensione oppositionis sustentatur comprehensio rei uisę n oppositione uisus. Ergo comprehensio rei uise in oppositione uisus non est, nisi quia forma et oppositio comprehenduntur simul: deinde propter frequentationem istius intentionis, et multitudinem iterationis eius est facta forma signum sensuui, et uirtuti distinctiuę. Apud peruentum ergo formae in uisum comprehenditur a sentiente, et comprehendit uirtus distinctiua oppositionem, et efficitur ex hoc ab ipso sentiente comprehensio> rei uisae in suo loco: et similiter de qualibet parte rei uisae. Secundum ergo hunc modum erit comprehensio rei uisae in loco suo: et similiter de qualibet parte rei uisae. Cum ergo re- motio rei uisae fuerit ex remotionibus mediocribus certificatae quantitatis: erit locus rei uisae, in quo comprehenditur a uisu, locus uerus: et si remotio rei uisae non fuerit ex remotionibus certifi- catae mensurae: erit comprehensio rei uisae in oppositione certificata secundum oppositiones: quo- niam oppositio componitur ex ubitate et remotione in eo, quod est remotio. Sed locus rei uisae, in quo comprehenditur a uisu, est aestimatus, non certificatus: quoniam locus certificatus non com- prehenditur, nisi ex certificatione quantitatis remotionis.

28. Situs directus et obliquus lineae, superficiei, et spatij percipitur ex aequabili et inaequa- bili terminorum distantia. 31 p 4.

SItus uero superficierum uisibilium apud uisum diuiditur in duo, scilicet in directam opposi- tionem, et obliquationem. Superficies autem directa opposita uisui est illa, cuius axis ra- dialis, (quando superficies comprehenditur a uisu apud rectam oppositionem) occurrit ali- cui puncto ex ea, et est simul eleuatus super superficiem eleuatione aequali. Et superficies obli- quata est illa, cuius axis radialis, (quando ipsa comprehenditur a uisu apud obliquationem) oc- currit alicui puncto ex ea, et est obliquatus super superficiem, non eleuatus super ipsam eleuatio- ne aequali secundum omnes diuersitates modorum obliquationis. Termini uero superficierum uisibilium, et lineae, quae sunt in rebus, et spatia quae sunt inter uisibilia, et inter partes uisibilium, diuiduntur in duo: quorum alterum sunt lineae, et spatia secantia lineas radiales: et alterum sunt li- neae et spatia aequidistantia lineis radialibus, et respicientia ipsas. Et lineae et spatia secantia lineas radiales diuiduntur secundum situm in duo: in obliquationem et directionem, secundum diuisio- nem situum et superficierum in ista duo. Linea autem directa est illa, ad cuius aliquod punctum perueniet axis radialis: et erit perpendicularis super ipsam: et linea obliquata est illa, cuius axis ra dialis, quando peruenerit ad aliquod punctum eius, erit obliquatus super ipsam, non perpendicu- laris. Visus autem comprehendit directionem et obliquationem superficierum, et linearum, et di- stinctionem earum ex comprehensione diuersitatis remotionum extremitatum superficierum et linearum, et aequalitatis earum. Quoniam quando uisus comprehenderit superficiem rei uisae: et comprehenderit remotiones extremitatum eius: et senserit aequalitatem remotionum termino- rum superficiei ab eo, aut aequalitatem duorum locorum oppositorum aequalis remotionis a loco superficiei, ad quam intuetur quis: comprehendet superficiem esse directe oppositam, et iudica- bit uirtus distinctiua, quod sit directa. Et cum uisus comprehenderit superficiem rei uisae, et com- prehenderit remotionem extremitatum eius et diuersitatem, et non inuenerit in superficie duo lo- ca aequalis remotionis a loco superficiei, ad quam intuetur, quorum remotio ab eo fuerit aequalis: comprehendet superficiem obliquatam in respectu sui, et iudicabit uirtus distinctiua, quod sit ob- liquata. Et similiter de sitibus linearum, et spatiorum directorum et obliquorum: scilicet, quod uisus comprehendat directionem lineae et spatij, quando senserit, quod duae remotiones duarum extremitatum lineae aut spatij sunt aequales ab eo: aut quod duae remotiones duorum punctorum lineae aut spatij, quorum remotio a puncto, ad quod intuetur quis, puncto scilicet lineae, aut spa- tij est aequalis: et comprehendit uisus obliquationem lineae aut spatij, quando senserit, quod duae remotiones duarum extremitatum lineae aut spatij ab eo sunt inaequales: aut quod duae remotio- nes duorum punctorum, et aequalis remotionis a puncto, ad quod intuetur quis, lineae aut spa- tij, sunt diuersae. Et ista aequalitas et diuersitas multoties comprehenduntur a sentiente per ae- stimationem et signa. Secundum ergo hunc modum erit obliquationis comprehensio, et dire- ctionis a uisu. Et cum superficies tota, aut linea tota fuerit directa uisui, non erit quaelibet pars eius per se directe opposita uisui: imo nulla pars eius est directe opposita uisui per se, nisi pars, supra quam est axis apud directam oppositionem. Cum ergo mouetur axis radialis super superfi - ciem directam, aut super lineam directam, erit obliquatus super quamlibet ipsius partem, su- pra quam transit, praeter primam partem, in qua est punctum, super quod fuerit perpendicularis: et sic erit quaelibet pars superficiei directe oppositae, et lineae directe oppositae, quando fuerit sum- pta per se, obliquata, praeter partem praedictam: et quando accipietur tota linea, aut superficies, erit directa. Et cum punctum, apud quod erit axis perpendicularis super superficiem aut li- neam, fuerit in medio superficiei aut lineae: erit superficies aut linea in fine directae oppositionis ad uisum. Si autem punctum non fuerit in medio: erit superficies aut linea directa, sed non in fi- ne directionis: et quanto fuerit punctum, apud quod axis fuerit perpendicularis super superfi- ciem aut lineam, medio superficiei aut lineae propinquius, tanto erit superficies aut linea directio- ris oppositionis. Situs autem linearum et spatiorum aequidistantium lineis radialibus, compre- henduntur a uisu ex comprehensione oppositionis. Quoniam, quando uisus comprehende- rit extremitates linearum aut spatiorum, quae sequuntur uisibilia opposita uisui illi, et extre- mitates eorum propinquas, quae sequuntur eundem uisum, comprehendet situs eorum, et com- prehendet extensionem eorum in uerticatione oppositionis. Secundum ergo istos modos erit comprehensio situum, superficierum, linearum, et spatiorum a uisu, respectu illius. Quaedam au- tem superficies, et lineae, et spatia secantia lineas radiales sunt obliquationis ualde magnae super radiales lineas, et quaedam sunt modicae, et quaedam sunt perpendiculares super lineas radiales: et sunt superficies, et lineae, et spatia directe opposita uisui. Extremitas autem remotior cuiusli- bet superficiei, et lineae, et spatij sequitur partem remotam a uisu, scilicet partem sequentem ex- tremitates linearum radialium, et extremitas propinquior sequitur partem propinquam uisui, sci- licet partem sequentem uisum. Et quando uisus comprehenderit aliquam lineam, uel aliquod spatium, statim comprehendet duas ubitates sequentes extremitates lineae illius, aut illius spatij: et similiter quando uisus comprehenderit aliquam superficiem: comprehendet ubitates sequentes extremitates illius superficiei ex comprehensione extensionis illius superficiei, in longitudine, et latitudine. Cum ergo uisus comprehenderit superficiem obliquam super lineas radiales, et fue- rit illa superficies maximae declinationis: comprehendet uisus ubitatem sequentem extremitatem remotiorem apud comprehensionem superficiei, et comprehendet ipsam esse sequentem extre- mitates linearum radialium, et comprehendet ubitatem sequentem extremitatem propinquio- rem, et comprehendet ipsam esse sequentem illud, quod est prope uisum. Et similiter de linea, et spatio maximae obliquationis. Et cum uisus perceperit, quod una duarum extremitatum super- ficiei, aut lineae, aut spatij sequantur ubitatem remotam a uisu, et quod altera extremitas sequatur ubitatem propinquam uisui: statim percipiet remotionem unius duarum extremitatum, aut lineę, aut spatij, aut superficiei, et appropinquationem alterius. Et cum perceperit remotionem unius duarum extremitatum, aut lineae, aut spatij, aut superficiei, et appropinquationem alterius: statim percipiet obliquationem situs illius superficiei, aut lineae, aut spatij. Obliquatio ergo superficie- rum, et linearum, et spatiorum obliquatorum super lineas radiales extraneae obliquationis, com- prehenditur a uisu ex comprehensione duarum ubitatum extremitatum eorum.

29. Situs uisibilis obliquus ex immoderata distantia uidetur directus. 34 p 4.

DEclinatio autem et directa oppositio linearum, et superficierum, et spatiorum modicae obli- quationis, et directionis, non comprehenduntur a uisu uera comprehensione certificata, nisi remotio eorum sit mediocris, et respiciat corpora ordinata comprehensa a uisu, et com- prehenderit ex mensuris eorum corporum mensuras remotionum extremitarum illarum super- ficierum, et linearum, et spatiorum, et comprehenderit aequalitatem duarum remotionum duarum extremitatum superficiei, aut lineae, aut spatij: aut inaequalitatem earum: quoniam nul- la ubitatum sequentium extremitates superficierum, et linearum, et spatiorum directe opposi- torum, aut declinantium modica declinatione, sequitur uisum: Sed extremitates eorum oppo- sitae sequuntur ubitates dextras, aut sinistras, aut superiores, aut inferiores. Si ergo uisus non comprehenderit mensuras remotionum eorum, quae sunt huiusmodi a uisu, non comprehendet aequalitatem remotionum extremitatum eorum, aut inaequalitatem: et si haec non comprehen- derit, non comprehendet obliquationem eorum, neque directionem. Cum ergo superficies, et lineae, et spatia fuerint maximae remotionis, et fuerit obliquatio eorum modica: non poterit ui- sus comprehendere obliquationem eorum, neque potest distinguere inter obliquum, et re- ctum: quoniam quantitates remotionum superficierum, et linearum, et spatiorum, quorum re- motio est magna, non certificantur a uisu, sed aestimantur. Et cum remotio eorum fuerit magna, et fuerint ipsa modicae obliquationis: erit differentia, quae est inter remotas extremitates eorum oppositorum, ualde modica, fere carens quantitate respectu quantitatum remotionum eorum. Et cum uisus non certificauerit quantitates remotionum extremitatum eorum, non comprehen- det diuersitatem remotionum, quae est inter extremitates eorum. Et cum non comprehende- rit diuersitatem, quae est inter remotiones extremitatum superficiei, lineae, et spatij, aestima- bit remotiones illas esse aequales, et non comprehendet obliquationem illius superficiei, aut li- neae, aut spatij: et cum non comprehenderit obliquationem illius superficiei, aut lineae, aut spa- tij, aestimabit ipsum esse directum. Et obliquatio modica superficierum, et linearum, et spatio- rum, quorum remotio est maxima, non comprehenditur a uisu. Visus ergo comprehendit o- mnes superficies, et lineas, et spatia, quae sunt maximae remotionis, et minimae obliquationis, quasi directe opposita, et non certificat situs eorum, neque distinguit inter obliquum, et directe oppositum, sed comprehendit obliquum, et rectum secundum unum modum. Et similiter situs superficierum, et linearum, et spatiorum, quorum remotio est mediocris, quando non respexe- rint corpora ordinata, aut uisus non comprehenderit corpora respicientia remotiones eorum, et non certificauerit quantitates remotionum eorum, non certificatur a uisu, nec distinguit ui- sus inter obliquum eorum et directum, sed accipit situm eorum aestimatione: et fortasse aestimabit illud, quod est huiusmodi, esse directum, quamuis sit obliquum. Et cum superficies, et lineae, et spa tia fuerint in remotione mediocri, et remotiones eorum respexerint corpora ordinata, et compre- henderit uisus illa corpora ordinata, et quantitates eorum, comprehendet quantitates remo- tionum extremitatum superficierum illarum, et linearum, et spatiorum, et comprehendet aequa- litatem remotionum extremitatum eorum oppositorum, si fuerint extremitates illae aequales, et inaequalitatem eorum, si fuerint inaequales. Et cum comprehenderit aequalitatem remotionum extremitatum superficierum, aut linearum, aut spatiorum, aut inaequalitatem eorum: comprehen- det directionem illius superficiei, aut lineae, aut spatij, aut eorum obliquationem certificata com- prehensione. Et similiter obliquatio linearum, aut superficierum, aut spatiorum, quae sunt maximę obliquationis, non comprehenditur a uisu, nisi ipsa sint in remotione mediocri, respectu magnitu- dinis eorum. Nam uisus non comprehendit ubitates sequentes extremitates superficiei, aut lineę, aut spatij: nisi quando comprehenderit quantitatem extensionis illius superficiei, aut lineę, aut spa tij: sed uisus non comprehendit quantitatem extensionis superficiei, aut lineae, aut spatij, nisi quan- do fuerit in remotione mediocri respectu quantitatis illius superficiei, aut lineae, aut spatij. Decli- natio ergo superficiei, aut lineae, aut spatij secantium lineas radiales, quando fuerit maxima, com- prehendetur a uisu comprehensione ubitatum extremitatum eius: et si fuerit modicae obliquatio- nis, aut directae oppositionis: comprehendetur a uisu esse obliquum, aut esse directum uisibile ex comprehensione quantitatum remotionum extremitatum eorum. Et uisus non certificat quali- tatem situum superficierum, et linearum, et spatiorum, quae sunt maximae obliquationis, nisi quan- do certificauerit qualitatem extensionis eorum. Et non certificat situm superficierum, et linea- rum, et spatiorum, quae sunt modicae obliquationis, aut directae oppositionis, nisi quando certifi- cauerit quantitates remotionum extremitatum eorum, et comprehenderit inaequalitatem remo- tionum extremitatum eorum oppositorum, aut aequalitatem. Sed uisus raro certificat situs uisi- bilium, et plura, quae comprehendit uisus ex sitibus uisibilium, non comprehendit, nisi per aesti- mationem. Sustentatio ergo uisus in comprehensione situum uisibilium non est, nisi per aestimatio nem. Cum ergo aspiciens aspexerit, et uoluerit certificare situm alicuius superficiei, aut situm a- licuius lineae, quae sunt in uisibilibus, aut situm alicuius spatij, in superficiebus uisibilium: intue- bitur formam illius rei uisae, et qualitatem extensionis illius superficiei, aut lineae, aut spatij. Si er- go forma illius rei uisae, in qua est illa superficies, aut linea, aut spatium, fuerit manifesta, et certifi- cata, et fuerit obliquatio istius superficiei, aut lineae, aut spatij maxima: comprehendet uisus obli- quationem eius uere ex comprehensione qualitatis extensionis eius, et ex comprehensione dua- rum ubitatum extremitatum eius. Et si forma illius rei uisae fuerit manifesta, et non fuerit maxi- mae obliquationis, et remotio eius respexerit corpora ordinata: uidebit corpora respicientia re- motiones extremitatum eius, et considerabit quantitatem eorum: et comprehendet remotionem illius superficiei, aut lineae, aut spatij, et quantitatem obliquationis eius, aut directionem eius ex comprehensione quantitatum remotionum extremitatum eius. Et si forma rei uisae non fuerit manifesta, aut fuerit manifesta, sed obliquatio fuerit maxima, et remotio non respexerit corpo- ra ordinata: non comprehendet uisus certitudinem situs huiusmodi superficiei, aut lineae, aut spatij. Et quando uisus comprehenderit formam non manifestam, et inuenerit remotiones eius respicere corpora ordinata: statim percipiet, quod situs illius superficiei, aut lineae, aut spatij non certificatur. Secundum ergo istos modos comprehendit uisus situs superficierum uisibilium, et situs linearum, et spatiorum, quae sunt in superficiebus uisibilium, scilicet quae omnes secant li- neas radiales. Quod uero est ex spatijs, quae sunt inter uisibilia distincta in rebus remotioribus maximis, scilicet, quando fuerit remotio utriusque uisibilium, quae sunt apud duas extremitates spatij, maxima remotio, comprehenditur a uisu tunc quasi directe oppositum, quamuis sit obli- quum: quoniam non comprehendit diuersitatem, quae est inter remotiones extremitatum eius. Et si alterum duorum uisibilium, quae sunt apud duas extremitates spatij, fuerit propinquius al- tero, et senserit uisus appropinquationem eius: comprehendet spatium, quod est inter ea, esse obliquum, secundum quod comprehendit ex appropinquatione propinquioris illorum duorum uisibilium, et ex remotione remotioris illorum. Et si alterum duorum uisibilium fuerit propin- quius, sed uisus non comprehenderit appropinquationem eius: non sentiet obliquationem spa- tij, quod est inter ea. Situs ergo superficierum, et linearum, et spatiorum secantium lineas radia- les, non certificatur a uisu, nisi sit remotio eorum mediocris: et simul non certificat uisus aequali- tatem aut inęqualitatem remotionum extremitatum eorum. Si autem uisus non certificauerit aequalita tem remotionis extremitatum eorum, aut inaequalitatem, non poterit certificare situm illorum. Et plura illorum, quae comprehenduntur a uisu ex sitibus uisibilium, non comprehenduntur nisi per aesti- mationem. Si ergo ipsa fuerint in remotione mediocri, non erit magna diuersitas inter situm com- prehensum a uisu per aestimationem, et uerum situm: et si fuerint in remotione maxima, non di- stinguet inter obliquum et directum. Quoniam uisus quando non comprehenderit inaequalita- tem duarum remotionum duarum extremitatum rei uisae: comprehendet ipsas esse aequales, et sic iudicabit ipsam rem uisam esse directam. Secundum ergo istos modos erit comprehensio situum superficierum, et linearum, et spatiorum per sensum uisus.

30. Situs partium et terminorum rei uisibilis, et situs uisibilium distinctorum per- cipiuntur ex aequabili et inaequabili distantia, ordinemque formarum ad uisum manantium. 32 p 4.

SItus uero partium rei uisae inter se, et situs terminorum superficiei rei uisae, aut superficiei eius inter se, et situs uisibilium distinctorum inter se, quae collocantur sub ordinatione, comprehen- duntur a uisu ex comprehensione locorum uisus, ad quae perueniunt formae partium, et ex compre hensione ordinationis partium formę peruenientis ad uisum, per uirtutem distinctiuam. Quoniam enim forma cuiuslibet partium superficiei rei uisae peruenit in aliquam partem superficiei membri sentientis, in quam peruenit forma totius: unde cum superficies rei uisae fuerit diuersorum colo- rum, et fuerint inter partes eius differentiae, per quas distinguantur partes inter se: erit forma per- ueniens ad uisum diuersorum colorum, et erunt partes eius distinctae secundum partium distin- ctionem superficiei rei uisae. Et sentiens sentit formam, et sentit quamlibet partium formae ex sen- su colorum illarum partium, et lucis quae est in eis: et sentit loca formarum partium in uisu ex sen- su colorum partium illarum, et lucis illarum. Et uirtus distinctiua comprehendit ordinem illorum locorum ex comprehensione diuersitatis colorum partium formae, et ex comprehensione differen tiarum partium. Et sic comprehendit dextrum et sinistrum, superius et inferius ex comparatione illorum inter se: et sic comprehendit etiam contiguum et separatum. Situs uero partium rei uisae, inter se secundum accessionem et remotionem, scilicet secundum pręeminentiam et profundatio- nem, comprehenduntnr a uisu, ex comprehensione quantitatis remotionum partium a uisu, et comprehensione diuersitatis remotionum partium secundum magis et minus. Situs uero partium rei uisae quando fuerint in remotione mediocri inter se, secundum accessionem et remotionem comprehenduntur a uisu: et hoc, cum uisus comprehenderit quantitatem illius remotionis, et com- prehenderit inaequalitatem, quae est inter remotiones partium a uisu et aequalitatem. Si autem ui- sus non certificauerit quantitates remotionis eius, et quantitates remotionum partium eius: non comprehendet uisus ordinationem partium eius secundum accessionem et remotionem apud ui- sionem. Si autem fuerit aliquid ex uisibilibus assuetis, quae cognoscuntur a uisu, comprehendet ordinationem partium eius secundum praeeminentiam et profunditatem, et figuram superficiei e- ius per cognitionem, non sola uisione: et si fuerit ex uisibilibus extraneis, quae uisus non cognoscit: comprehendet superficiem eius quasi planam, quando non certificauerit quantitates remotio- num partium eius. Et ista intentio apparet, quando uisus inspexerit aliquod corpus conuexum, aut concauum, et fuerit in remotione maxima: quoniam uisus tunc non comprehendet conuexi- tatem aut concauitatem, sed comprehendet ipsum quasi planum. Et situs partium superficiei rei uisae inter se in diuersitate ubitatum, et in separatione, et in continuatione non comprehendun- tur a uisu, nisi ex comprehensione partium formae peruenientis in uisum, et comprehensione di- uersitatis colorum et differentiarum, per quas distinguuntur partes, et ex comprehensione ordi- nationis partium formae per uirtutem distinctiuam. Et situs partium superficiei rei uisae inter se in accessione, et etiam secundum remotionem respectu uisus, non comprehenduntur a uisu, nisi ex comprehensione quantitatis remotionis partium, et ex comprehensione aequalitatis et inaequali- tatis quantitatum remotionum earum. Ordinatio ergo partium rei uisae secundum accessionem et remotionem illius, cuius quantitates remotionum partium certificantur a uisu, comprehendi- tur a uisu: ordinatio uero partium illius remotionum partium, cuius quantitates non certifican- tur a uisu, non comprehenditur a uisu. Ordinatio autem partium rei uisae distinctarum com- prehenditur a uisu ex comprehensione locorum uisus, in quae perueniunt formae illarum par- tium, et ex comprehensione distinctionis in uisu per uirtutem distinctiuam. Et similiter est de ui- sibilibus distinctis. Termini autem superficiei rei uisae, aut superficierum eius, et ordinatio eo- rum comprehenduntur a uisu ex comprehensione partis superficiei eius, in quam peruenit color illius superficiei, et lux eius a uisu, et ex comprehensione terminorum illius partis, et ordinatio- nis circumferentiae illius partis per uirtutem distinctiuam. Secundum ergo istos modos compre- hendit uisus situs partium uisibilium, et situs partium superficierum uisibilium inter se, et situs ter- minorum superficierum, et situs partium distinctarum uisibilium inter se, et situs uisibilium di- stinctorum inter se.

31. Soliditas quorundam corporum solo uisu percipitur: quorundam uisu et syllo- gismo simul. 63 p 4.

COrporeitas uero, quae est extensio secundum trinam dimensionem, comprehenditur a uisu in quibusdam corporibus, et in quibusdam non. Tamen apud hominem distinguentem iam quietum est principium, quod non comprehenditur sensu uisu, nisi corpus: et sic quando ipse comprehendet uisibile: sciet statim quod est corpus, quamuis non comprehendat extensio- nem secundum trinam dimensionem. Et uisus comprehendit in corporibus extensionem eorum secundum longitudinem et latitudinem ex comprehensione superficierum corporum opposito- rum illi. Cum ergo comprehenderit superficiem corporis, sciendo quod illud uisibile est corpus: comprehendet statim extensionem illius corporis secundum longitudinem et latitudinem, et non remanet nisi dimensio tertia. Et quaedam corpora continentur a superficiebus planis secantibus se oblique: et quaedam continentur a superficiebus concauis, aut conuexis: et quaedam continentur a superficiebus diuersarum figurarum secantibus se oblique: et quaedam continentur ab una superfi- cie rotunda. Corpus autem, quod continetur a superficiebus secantibus se, cuius una superficies est plana, quando comprehenditur a uisu, et fuerit superficies eius plana opposita uisui et directa, et su perficies residuę secuerint superficiem directe oppositam, aut perpendiculares super superficiem directe oppositam, aut obliquae super ipsam ad partem strictam ex parte posteriori superficiei directe op- positae: non apparebit uisui ex eo, nisi superficies directe opposita tantum. Ergo ex huiusmodi cor- poribus non comprehendit uisus, nisi longitudinem et latitudinem tantum: ergo non sentit corpo- reitatem huiusmodi. Corpus autem, quod continetur a superficiebus secantibus se, quando super- ficies eius fuerit opposita uisui, sed non secundum directam oppositionem, et fuerit sectio istius su- perficiei cum alia superficie illius corporis, comprehensa a uisu, ita ut possit comprehendere duas superficies simul: comprehendetur a uisu tunc eius corporeitas: quoniam comprehendet obliqua- tionem superficiei corporis ad eius profunditatem: quare comprehendet extensionem corporis se- cundum profunditatem, cum comprehenderit ex superficie obliqua extensionem in longum et la- tum. Et sic comprehendet corporeitatem huiusmodi corporum. Et similiter erit, quando una su- perficierum corporis directe fuerit opposita uisui, et fuerint superficies secantes illam superficiem, aut una illarum obliqua super superficiem directe oppositam ad partem amplam ex parte posterio- ri superficiei directe oppositae: quoniam uisus comprehendet in tali corpore superficiem directe op positam, et superficiem oblique secantem superficiem directe oppositam, et comprehendet etiam sectionem istarum superficierum: et sic, sicut diximus, comprehendet corporeitatem illius corpo- ris. Et generaliter dico, quod omne corpus, in quo potest uisus comprehendere duas superficies secantes se, comprehendetur in sua corporeitate a uisu. Corporum autem, in quibus est superficies conuexa comprehensa a uisu, et illud, quod continet ipsa, est aut una superficies, aut multae superfi- cies, corporeitatem uisus comprehendere poterit ex comprehensione ueritatis eius. Quoniam si superficies conuexa fuerit opposita uisui: erunt remotiones partium eius a uisu inaequales, et erit medium eius propinquius extremitatibus uisus: et cum uisus comprehenderit conuexitatem eius, comprehendet quod medium eius est sibi propinquius extremitatibus: et cum senserit quod me- dium eius est propinquius illi, et quod extremitates eius sunt remotiores: sentiet statim, quod su- perficies exit ad ipsum ab ultimis tendentibus ad posterius: et sic sentiet extensionem corporis in profunditate, respectu superficiei directe oppositae. Et ipse comprehendet extensionem corporis illius secundum longitudinem et latitudinem, ex comprehensione extensionis superficiei conuexę secundum longitudinem et latitudinem. Et similiter si alia superficies corporis praeter superficiem directe oppositam, fuerit conuexa: et comprehenderit uisus conuexitatem eius: comprehendet e- tiam extensionem eius secundum trinam dimensionem. Si uero corporis, in quo est superficies con caua comprehensa a uisu, aliam superficiem senserit uisus, et senserit sectionem eius cum superficie concaua: tunc sentiet obliquationem superficiei corporis illius, et cum senserit obliquationem il- lius superficiei, statim sentiet corporeitatem eius. Si autem superficies fuerit concaua, comprehen sa a uisu, et non apparuerit uisui alia superficierum residuarum: non comprehendet uisus corporei- tatem illius corporis: neque uisus comprehendet ex huiusmodi corporibus, nisi extensiones eius secundum duas dimensiones tantum, et non sentiet corporeitatem huiusmodi corporum, nisi per scientiam praecedentem tantum, non per sensum trium dimensionum illius corporis. Et superfi- cies concaua etiam extenditur in profunditate propter propinquitatem extremitatum eius ad ui- sum et remotionem medij: Sed non comprehenditur ex extensione profunditatis, nisi extensio ua- cuitatis, non extensio corporis uisi, cuius superficies est illa superficies concaua. Comprehensio ergo corporeitatis a uisu, non est, nisi ex comprehensione obliquationis superficierum corporum: et obliquitates superficierum corporum, per quas significatur uisui, quod corpora sint corpora, non comprehenduntur a uisu, nisi in corporibus, quorum remotio est mediocris. In corporibus au- tem maximę remotionis, quorum remotio non certificatur a uisu, non comprehendit uisus obli- quationes superficierum: et sic non comprehendit corporeitatem eius per sensum uisus. Quoniam in talibus corporibus non comprehendit uisus situs partium superficierum eorum inter se, neque comprehendit ipsas nisi planas, et sic non comprehendit obliquationes superficierum, et sic deni- que non comprehendit corporeitatem. Visus ergo non comprehendit corporeitatem corporis ma- ximae remotionis, cuius remotio non certificatur illi. Et ipse comprehendit corporeitatem cor- porum ex comprehensione obliquationum superficierum corporum: et obliquationes superficie- rum corporum non comprehenduntur a uisu, nisi in uisibilibus mediocris remotionis, quorum si- tus partium superficierum inter se comprehenduntur a uisu. Et praeter istorum uisibilium corpo- reitatem, non comprehendit corporeitatem uisus, nisi per scientiam antecedentem tantum.

32. Circulus percipitur e situ, quem obtinet in superficie uisus. 45 p 4.

FIgura autem rei uisae diuiditur in duo: quorum alterum est figura circumferentiae superficiei rei uisae, aut circumferentiae alicuius partis rei uisae: secundum autem est figura corporeita- tis rei uisae, aut figura corporeitatis alicuius partis rei uisae. Et iste modus est forma superfi- ciei rei uisae, cuius corporeitas comprehenditur per sensum uisus, aut forma partis superficiei rei uisae, cuius corporeitas comprehenditur. Et omne, quod uisus comprehendit ex figuris uisi- bilium, diuiditur in istos modos. Figura uero circumferentiae superficiei rei uisae comprehendi- tur a sentiente, ex comprehensione circumferentiae formae, quae peruenit in concauum nerui com- munis, et ex comprehensione circumferentiae partis superficiei membri sentientis, in quam per- uenit forma rei uisae: quoniam in utroque istorum locorum figuratur circumferentia superficiei rei uisae. Quemcunque ergo istorum locorum animaduerterit sentiens, poterit comprehendere in eo figuram circumferentiae rei uisae. Et similiter figura circumferentiae cuiuslibet partium superficiei rei uisae comprehenditur a sentiente ex sensu ordinationis partium terminorum partis formae. Et cum sentiens uoluerit certificare figuram circumferentiae superficiei rei uisae, aut figuram circum- ferentiae partis rei uisae, mouebit axem radialem super circumferentiam rei uisae: et sic per motum certificabit situm partium terminorum formae superficiei, quae est in superficie membri sentientis, et in concauo nerui communis. Quare comprehendet ex certificatione situum terminorum for- mae, figuram circumferentiae superficiei rei uisae. Secundum ergo hunc modum erit comprehen- sio figurae circumferentiae rei uisae, et figurae circumferentiae cuiuslibet partis superficiei rei uisae per sensum uisus.

33. Superficies globosa percipitur e propinquitate partium mediarum, et aequabi- li longinquitate extremarum. 48 p 4.

FOrma autem superficiei rei uisae non comprehenditur a uisu, nisi ex comprehensione situum partium superficiei rei uisae, et ex consimilitudine et dissimilitudine eorundem situum. Et certificatur forma superficiei ex comprehensione diuersitatis inaequalitatis remotionum par- tium superficiei rei uisę, et aequalitatis earum, aut inaequalitatis eleuationum partium superficiei et aequalitatis earum. Quoniam conuexitas superficiei non coprehenditur a uisu, nisi aut ex comprehensione propinquitatis partium mediarum in superficie, et remotionis partium in termi- nis: aut ex inęqualitate eleuationum partium eius, quando superficies superior corporis fuerit con- uexa. Et similiter conuexitas termini superficiei non comprehenditur a uisu, nisi aut ex compre- hensione propinquitatis medij, et remotionis extremitatum, quando conuexitas eius opponitur uisui: aut ex inęqualitate eleuationum partium eius, quando gibbositas eius fuerit deorsum, aut sur- sum: aut ex inęqualitate partium eius, quod in eo dextrum est, aut sinistrum, quando gibbositas e- ius fuerit dextra aut sinistra.

34. Superficies caua percipitur e longinquitate partium mediarum, et aequabili pro- pinquitate extremarum. 49 p 4.

COncauitas autem superficiei, quando opponitur uisui, comprehenditur a uisu ex compre- hensione remotionis partium mediarum, et appropinquatione extremitatum terminorum. Similiter est de concauitate terminorum superficiei, quando opponitur uisui: et uisus non comprehendit concauitatem superficiei, quando concauitas fuerit opposita sursum, aut deorsum, aut ad latus, nisi quando superficies concaua fuerit in parte abscissa, et apparuerit arcualitas termi- ni eius, quę est uersus uisum.

35. Planities in distantia moderata directe opposita uisui: percipitur ex aequabili partium longinquitate, et similitudine collocationis atque ordinis ipsarum inter i- psas. 47 p 4.

PLanities autem superficierum comprehenditur a uisu ex comprehensione aequalitatis remo- tionum partium et consimilitudinis ordinationis earum. Et similiter comprehenditur recti- tudo termini superficiei, quando terminus opponetur uisui. Rectitudo enim termini super- ficiei, et arcualitas, aut curuitas eius, quando superficies fuerit opposita uisui, et termini continue- rint ipsam, comprehenditur a uisu ex ordinatione partium eius inter se. Conuexitas ergo superfi- ciei rei uisae, quae opponitur uisui, et concauitas eius, et planities comprehenduntur a uisu ex com prehensione diuersitatis remotionis partium superficiei, aut eleuationum earum, aut latitudinum earum, et ex quantitatibus excessus remotionis partium, aut eleuationum, aut latitudinum ea- rum inter se. Et similiter conuexitas, et concauitas, et planities cuiuslibet partis rei uisae compre- henditur a uisu ex comprehensione excessus remotionum partium illius partis, aut excessus eleua- tionum, aut latitudinum earum, aut aequalitatis earum. Et propter istam caussam non comprehen dit uisus concauitatem et conuexitatem, nisi in uisibilibus, quorum remotio est mediocris. Vi- sus autem comprehendit propinquitatem quarundam partium superficiei, et remotionem qua- rundam per quaedam corpora interuenientia inter ipsum, et superficiem, et per corpora respicien- tia remotiones partium, quarum appropinquatio et remotio certificatur a uisu. Et cum quaedam partes superficiei fuerint prominentes, et quaedam profundae: comprehendet uisus prominen- tiam et profunditatem illarum per obliquationem superficierum partium, et sectiones partium, et curuitates earum in locis profunditatis, et per situs superficierum partium inter se. Et hoc erit, quando uisus non comprehenderit illam superficiem ante, neque aliquam huius generis. Si autem illa res uisa fuerit ex uisibilibus assuetis, comprehendet uisus formam eius, et formam superficiei per cognitionem antecedentem. Forma autem rei uisae, quae continetur ex superficiebus secanti- bus se, et diuersorum situum, comprehenditur a uisu ex comprehensione sectionis superficiei e- ius, et ex comprehensione situs cuiuslibet superficierum eius, et ex comprehensione superficie- rum earum inter se. Formae igitur figurarum rerum uisarum, quarum corporeitas comprehendi- tur a uisu, comprehenduntur ex comprehensione formarum superficierum earum, et ex compre- hensione situum superficierum earum inter se. Et formae superficierum uisibilium, quarum par- tes sunt diuersi situs: comprehenduntur a uisu ex comprehensione conuexitatis et concauitatis, et planitiei partium superficierum in uisibilibus, et prominentiae, et profunditatis partium superfi- ciei. Secundum ergo hunc modum erit comprehensio superficierum formarum uisibilium, et fi- gurarum earum. Et cum sentiens uoluerit certificare formam superficiei rei uisae, aut formam ali- cuius partis rei uisae, mouebit uisum in oppositionem eius, et faciet transire axem radialem super omnes partes eius, donec sentiat remotiones partium eius, et situs cuiuslibet illarum apud uisum, et situm earum inter se. Et cum sentiens comprehenderit remotionem partium superficierum, et situs earum, et comprehenderit prominentiam et profunditatem: comprehendet formam illius superficiei rei uisae, et certificabit figuram eius. Et multoties errat uisus in eo, quod comprehen- dit ex formis superficierum uisibilium, et formis figurarum uisibilium, et non percipit errorem. Quoniam conuexitas parua et concauitas parua, et prominentia, et profunditas parua non com- prehenduntur secundum accessum ad uisum, quamuis earum remotio sit mediocris, nisi sit propin- qua ualde uisui. Visibilia ergo, quorum formae comprehenduntur a uisu, sunt illa, quorum quan- titates partium superficierum comprehenduntur a uisu, et quorum excessus et aequalitates remo- tionum partium comprehenduntur a uisu. Et uisibilia, quorum formae certificantur a uisu, sunt il- la, quorum quantitates remotionum partium, et quorum quantitates excessus remotionis par- tium certificantur a uisu. Et similiter figurae circumferentiarum superficierum uisibilium, et figu- rae circumferentiarum partium superficierum uisibilium non certificantur a uisu, nisi sint in re- motionibus mediocribus, et certificauerit uisus ordinationem terminorum earum, et situm par- tium terminorum earum inter se, et certificauerit angulos earum. Et in quibus situs terminorum non certificantur a uisu, neque anguli, si habuerint angulos: in ijs non certificabit uisus figuras. O- mnes ergo figurae uisibilium comprehendantur a uisu, secundum modos, quos declarauimus.

36. Magnitudo nec ex angulo pyramidis opticae tantum: nec ex anguli et distantiae compa- ratione percipitur. 27 p 4.

MAgnitudo uero et quantitas rei uisae comprehenduntur a uisu: sed qualitas comprehensio- nis eius est ex intentionibus dubitabilibus. Et plures opinantur, quod quantitas magni- tudinis rei uisae non comprehenditur a uisu, nisi ex quantitate anguli, qui fit apud centrum uisus, quem continet superficies pyramidis radialis, cuius basis continet rem uisam: et quod uisus comparat quantitates rerum uisarum ad quantitates angulorum, qui fiunt a radijs, qui continent res uisas apud centrum uisus, et non sustentatur in comprehensione magnitudinis, nisi super an- gulos tantum. Et quidam illorum opinantur, quod comprehensio magnitudinis non completur in comparatione ad angulos tantum, sed per considerationem remotionis rei uisae, et situs eius cum comparatione ad angulos. Et ueritas est, quod non est possibile, ut sit comprehensio quanti- tatum rerum uisarum a uisu ex comparatione ad angulos, quos res uisae respiciunt apud centrum uisus tantum. Quoniam eadem res uisa non diuersatur in quantitate apud uisum, quamuis remo- tiones eius diuersentur diuersitate non magna. Quoniam quando res fuerit prope uisum, et ipse com- prehenderit quantitatem eius: et postea fuerit elongata a uisu non multum: non diminuetur eius quantitas apud uisum, quando eius remotio fuerit mediocris. Et nunquam diuersatur quantitas alicuius rei uisae assuetae apud uisum, quando remotiones eius diuersantur, et fuerint ex remotioni bus mediocribus. Et similiter corpora aequalia diuersarum remotionum, quando remotio illo-

rum fuerit mediocris, con- prehenduntur a uisu ae-

qualia: Sed anguli, quos respicit una et eadem res uisa in remotionibus di- uersis mediocribus, diuer santur diuersitate alicu- ius quantitatis, [ut patet per 21 p 1] Quoniam quando res uisa fuerit re- mota a uisu per unum cu- bitum, deinde si elonge- tur a uisu, donec fuerit e- ius remotio per duos cu- bitos: erit inter duos an- gulos, qui fiunt apud ui- sum ab illa re uisa, ma- gnus excessus: et tamen non comprehendit uisus rem uisam in remotione duorum cubitorum, mi- norem, quam in remotione unius cubiti. Et similiter si elongetur a uisu per tres cubitos aut qua- tuor, non uidebitur minor, quamuis anguli, qui fiunt apud uisum, diuersentur diuersitate extra- nea. Et etiam si in superficie alicuius corporis signetur figura quadrata ęqualium laterum, et recto- rum angulorum: et eleuetur illud corpus, donec superficies eius, in qua est quadratio, sit prope aequidistantiam uisus, et ita ut uisus comprehendat figuram quadratam: comprehendet uisus fi- guram quadrilateram aequalium laterum: et tamen anguli, quos respiciunt latera quadrati apud centrum uisus, quando centrum uisus fuerit prope superficiem, in qua est quadratio, erunt diuer- si: cum nihilominus uisus comprehendat latera quadrati ęqualia. Et similiter quando in circulo ex- trahuntur diametri diuersorum situum, deinde eleuatur superficies, in qua est circulus, donec sit prope ęquidistantiam uisus: erunt anguli, quos respiciunt diametri circuli apud centrum uisus, di- uersi diuersitate magna secundum diuersitatem situs diametrorum: et tamen uisus non compre- hendit diametros circuli, nisi aequales, quando remotio circulorum fuerit mediocris. Si ergo com- prehensio rerum uisarum esset ex comparatione ad angulos tantum, qui fiunt ex uisibilibus a- pud centrum uisus: non comprehenderentur quadrati latera aequalia, neque comprehenderen- tur diametri circuli aequales, neque comprehenderetur circulus rotundus, neque comprehende- retur una res uisa in rebus diuersis unius quantitatis. Experimentatione igitur istarum intentio- num patet, quod comprehensio quantitatum rerum uisarum non est ex comparatione ad angu- los tantum.

37. Magnitudo rei uisibilis percipitur e magnitudine partis superficiei uisus (in quam per- uenit forma) et angulo pyramidis opticae. 17 p 4.

ET quia hoc declaratum est, quomodo certificemus qualitatem comprehensionis magnitu- dinis: et iam declaratum est, quod sustentatio in comprehensione plurium sensibilium non est, nisi per argumentationem et distinctionem: magnitudo autem est una intentionum, quę comprehenduntur ratione et argumentatione: et radix, super quam sustentatur uirtus distincti- ua in distinctione quantitatis magnitudinis rei uisae, est quantitas partis uisus, in quam peruenit forma rei uisae: et pars, in quam peruenit forma rei uisae, determinatur, et mensuratur per angulum, qui est apud centrum uisus, quem continet pyramis radialis, continens rem uisam, et partem ui- sus, in quam peruenit forma rei uisae. Pars ergo uisus, in quam peruenit forma rei uisae, et angulus, quem continet pyramis radialis, continens illam partem, sunt radix, quam non potest sensus et distinctio uitare in comprehensione magnitudinis rei uisae. Sed tamen non sufficit uirtuti distin- ctiuae in comprehensione magnitudinis consideratio anguli tantum, aut consideratio partis uisus respicientis angulum tantum. Quoniam una res uisa quando comprehenditur a uisu, et est prope i- psum: comprehendet sentiens locum uisus, in quem peruenit forma rei uisae, et comprehendet quan- titatem illius loci: deinde quando illa res uisa elongabitur a uisu: comprehendetur etiam a uisu, et comprehendet sentiens locum uisus, in quem peruenit forma eius secundo, et comprehendet quantitatem loci. Et manifestum est, quod locus uisus, in quem peruenit forma eius primo, et lo- cus uisus, in quem peruenit forma eius secundo, diuersantur secundum quantitatem: quoniam lo- cus formę in uisu erit secundum quantitatem anguli, quem respicit illa res uisa apud centrum uisus. Et quanto magis elongabitur res uisa, tanto magis angustabitur pyramis continens ipsam, et eius an- gulus, et locus uisus, in quem peruenit forma.

38. Magnitudo uera uisibilis percipitur e comparatione basis anguli, et longitu- dine pyramidis opticae. 27 p 4.

ET cum sentiens comprehenderit locum, in quem peruenit forma rei uisae, et comprehende- rit quantitatem loci: comprehendet diminutionem loci apud remotionem rei uisae a uisu. Et ista intentio saepe reuertitur ad uisum: scilicet quod uisibilia saepe elongantur a uisu, et uisus ab eis, et appropinquant uisui, et uisus illis: et uisus comprehendit ipsa, et comprehendit diminu- tionem locorum formarum illarum in uisu apud remotionem, et comprehendit augmentationem locorum formarum illarum in uisu apud appropinquationem. Quare ad comprehensionem quan- titatis rei uisae adiungit uirtus distinctiua remotionem rei uisae ad angulum pyramidis radialis, qui est in centro oculi. Ex frequentia ergo istius intentionis quieuit in anima apud uirtutem distincti- uam, quod quanto magis elongatur res uisa a uisu, tanto magis diminuitur locus formae eius in ui- su, et angulus, quem respicit res uisa apud centrum uisus. Et cum hoc est: est quietum in anima, quod locus, in quem peruenit forma rei uisae, et angulus, quem respicit res uisa apud entrum ui- sus, non erit nisi secundum remotionem rei uisae a uisu. Et cum hoc quietum est in anima, quando uirtus distinctiua distinguet quantitatem rei uisae, non considerabit angulum tantum, sed consi- derabit angulum et remotionem simul: quoniam quietum est apud ipsam, quod angulus non erit, nisi secundum remotionem. Quantitates ergo uisibilium non comprehenduntur, nisi per distin- ctionem et comparationem. Comparatio autem, per quam comprehenditur quantitas rei uisae, est comparatio basis pyramidis radialis, quae est superficies rei uisae, ad angulum pyramidis, et ad quantitatem longitudinis pyramidis, quae est remotio rei uisae a uisu. Et consideratio uirturis di- stinctiuae non est, nisi in parte superficiei membri sentientis, in quam peruenit forma rei uisae, cum consideratione remotionis rei uisae a superficie uisus. Quoniam quantitas partis, in quam perue- nit forma, nunquam erit nisi secundum quantitatem anguli, quem respicit illa pars apud centrum uisus. Et non est inter remotionem rei uisae a superficie uisus, et remotionem eius a centro uisus in maiori parte diuersitas operans in remotionem. Et etiam iam declaratum est, [18 n 1. et 24. 25 n] quod sentiens comprehendit uerticationes, quae sunt inter centrum uisus et rem uisam, quae sunt uerticationes linearum radialium, et comprehendit uerticationum ordinationem, et ordina- tionem uisibilium, et ordinationem partium rei uisae. Et cum sentiens comprehendit haec: uirtus distinctiua comprehendit, quod istae uerticationes quanto magis elongantur a uisu, tanto magis ampliantur spatia, quae sunt inter earum extremitates. Et ista intentio iam etiam quieta est in ani- ma: et praeterea, quietum est etiam in anima, quod lineae radiales quanto magis elongabuntur a uisu, tanto erit res uisa apud earum extremitates minor. Cum ergo uisus comprehenderit ali- quam rem uisam, et comprehenderit terminos eius: comprehendet uerticationes, ex quibus com- prehendet terminos rei uisae: et uerticationes, ex quibus comprehendet terminos rei uisae, sunt lineae continentes angulum, qui est apud centrum uisus, quem respicit illa res uisa, et sunt lineae continentes locum uisus, in quem peruenit forma rei uisae. Cum ergo uisus comprehenderit uer- ticationes: imaginabitur uirtus distinctiua extensionem istarum linearum a centro uisus usque ad terminos rei uisae: et quando simul comprehenderit quantitatem remotionis rei uisae: imagina- bitur quantitatem longitudinum istarum linearum, et quantitatem spatij, quod est inter extremi- tates earum: et spatia, quae sunt inter extremitates istarum linearum, sunt diametri rei uisae. Et quando uirtus distinctiua imaginabitur quantitatem anguli, et quantitatem longitudinum linea- rum radialium, et quantitatem spatiorum, quae sunt inter extremitates earum: comprehendet quantitatem rei uisae secundum suum esse. Verticationes autem, quae extenduntur inter centrum uisus et terminos cuiuslibet rei uisae comprehensae a uisu, comprehenduntur a sentiente, et a uir- tute distinctiua: et sentiens et uirtus distinctiua comprehendunt quantitatem partis uisus, in quam peruenit forma illius rei uisae. Et cum uirtus distinctiua comprehenderit uerticationes li- nearum radialium: comprehendet situs earum inter se, et comprehendet appropinquationem ea- rum inter se, et comprehendet qualitatem extensionis earum: et nihil remanet, quo completur comprehensio magnitudinis rei uisae, nisi quantitas remotionis rei uisae. Et iam declaratum est in qualitate comprehensionis remotionis rei uisae, [24 n] quod cuiuslibet rei uisae remotio com- prehenditur a uisu, aut certe, aut aestimatione. Et cum uirtus distinctiua comprehenderit situs li- nearum radialium continentium terminos rei uisae, et quantitatem partis, quae est inter ipsas li- neas radiales, et superficiem membri sentientis, quae est quantitas anguli, et imaginata fuerit si- mul quantitatem remotionis rei uisae: statim imaginabitur quantitatem anguli, et remotionis si- mul. Et cum imaginata fuerit quantitatem anguli et remotionis simul, comprehendet quantita- tem rei uisae secundum quantitatem anguli, et secundum quantitatem remotionis simul. Et uir- tus distinctiua imaginatur quantitatem remotionis cuiuslibet rei uisae comprehensae a uisu, et i- maginatur uerticationes continentes terminos illius, et per imaginationem istum perueniet ad i- psam forma pyramidis continentis rem uisam, et quantitas basis eius, quae est res uisa: et sic per- ueniet ad illam quantitas rei uisae. Et significatio, quod comprehensio magnitudinis rei uisae sit per comparationem magnitudinis ad remotionem rei uisae, est: Quia uisus quando comprehen- derit duo uisibilia diuersae remotionis, et respicientia eundem angulum apud centrum uisus: sci- licet, ut radij transeuntes per extrema primi illorum, perueniant ad extrema secundi, et primum illorum non cooperuerit totum secundum, et comprehenderit uisus remotionem cuiuslibet illo- rum comprehensione certificata: semper uisibile remotius comprehendetur a uisu uisibili pro- pinquiore maius. Et quanto remotius uisibile magis elongabitur, et uisus certificauerit quanti- tatem remotionis eius, tanto comprehendetur maius. Verbi gratia: quando aliquis aspexerit pa- rietem remotum a uisu remotione mediocri: et certificauerit uisus remotionem illius parietis, et quantitatem eius: et certificauerit quantitatem latitudinis eius: deinde apposuerit manum u- ni uisui inter uisum et parietem: et clauserit alterum oculum: inueniet tunc, quod manus eius co- operiet portionem magnam illius parietis, et comprehendet quantitatem manus eius in ista dis- positione, et comprehendet quod quantitas cooperta a manu ex pariete, est multo maior quan- titate manus eius: et uisus simul comprehendet uerticationes linearum radialium, et compre- hendet angulum, quem continent lineae radiales. Tunc ergo uisus comprehendet, quod angu- lus, quem respiciunt manus et paries, est idem angulus: et tunc etiam comprehendet, quod pars parietis cooperta manu eius, est multo maior manu. Et cum ita sit: uirtus distinctiua in illa comprehensione comprehendit, quod remotius duorum uisibilium diuersae remotionis, respici- entium unum angulum, est maioris quantitatis. Deinde quando quis in illa dispositione uisum suum auerterit: et aspexerit alium parietem remotiorem illo pariete: et apposuerit manum su- am inter uisum et illum parietem: inueniet, quod illud, quod cooperitur ex secundo pariete, est maius illo, quod cooperitur ex primo. Et si tunc aspexerit coelum: inueniet quod manus eius cooperiet medium illius, quod apparet de coelo, aut magnam portionem eius: tamen aspiciens non dubitabit, quin manus eius nihil sit respectu illius, quod cooperuerit de coelo secundum sen- sum. Determinabitur ergo ex ista experimentatione, quod uisus non comprehendit quantita- tem magnitudinis rei uisae, nisi ex comparatione magnitudinis rei uisae ad quantitatem remotionis eius cum comparatione ad angulum, non ex comparatione ad angulum tantum. Et si comprehen- sio quantitatis magnitudinis esset secundum angulum tantum: oporteret ut duo uisibilia diuersae remotionis, respicientia unum angulum apud centrum uisus, uiderentur aequalia. Et non est ita. Quantitas ergo magnitudinis rei uisae non comprehenditur per distinctionem, nisi ex imaginatio- ne pyramidis continentis rem uisam a uirtute distinctiua, et ex imaginatione quantitatis anguli py ramidis, et ex comparatione basis pyramidis ad quantitatem anguli eius, et ad quantitatem lon- gitudinis eius simul. Et haec est qualitas comprehensionis magnitudinis. Et propter multitudi- nem consuetudinis uisus in distinctione remotionum uisibilium, quando senserit formam et remo tionem rei uisae: statim imaginabitur quantitatem loci formae, et quantitatem remotionis, et com- prehendet ex congregatione istarum duarum intentionum magnitudinem rei uisae: Sed tamen quantitates remotionum uisibilium sunt collocatae sub magnitudinibus, quae comprehenduntur a uisu. Et iam praedictum est, [24. 25 n] quod quaedam quantitates remotionum uisibilium com- prehenduntur certe, et quaedam aestimatiue. Et quod illae, quae comprehenduntur aestimatiue, com prehenduntur a similitudine remotionis rei uisae ad remotiones sibi similium ex uisibilibus certifi- catae remotionis: et quod remotiones certificatae quantitatis sunt illae, quae respiciunt corpora or- dinata et continuata. Et ex comprehensione corporum ordinatorum continuatorum respicien- tium ipsas a uisu, et ex certificatione quantitatum illorum corporum, erit certificatio quantitatum remotionum uisibilium, quae sunt apud extremitates eorum.

39. Magnitudo distantiae percipitur e corporibus communibus, inter uisum et ui- sibile interiectis. 10 p 4. Idem 25 n.

REmanet ergo declarandum, quomodo uisus comprehendat quantitates remotionum uisibi- lium respicientium corpora ordinata continuata, et quomodo certificet quantitates corpo- rum ordinatorum continuatorum respicientium remotiones uisibilium. Corpora ergo ordi- nata continuata respicientia remotiones uisibilium, sunt in maiori parte partes terrae, et uisibilia assueta, quae semper comprehenduntur a uisu, et frequentius sunt superficies terrae, et corpus ter- rae interiacet inter ipsa, et corpus hominis aspicientis. Et quantitates partium terrae interiacen- tium inter aspicientem et uisibilia, quae sunt super faciem terrae respicientes remotionem istorum uisibilium a uisu, semper comprehenduntur a uisu. Et comprehensio quantitatum partium terrae interiacentium inter aspicientem, et uisibilia, quae sunt super faciem terrae, non est nisi ex mensu- ratione illarum inter se a uisu, et ex mensuratione partium terrae remotarum ab eo, ad partes ter- rae propinquas illi, quarum quantitates sunt certificatae. Deinde ex frequentatione comprehen- sionis partium terrae a uisu, et ex frequentatione mensurationis illarum a uisu, comprehendet ui- sus quantitatem partium terrae, quae sunt apud pedes per cognitionem et assimilationem illarum per similes iam prius comprehensas. Visus ergo quando aspexerit partem terrae interiacentem in- ter ipsum et rem uisam: cognoscet quantitatem eius propter frequentationem comprehensionis similium illi parti terrae. Et ista intentio est ex illis intentionibus, quas sentiens acquirit a prin- cipio quiescentiae. Et sic peruenient quantitates remotionum uisibilium assuetorum figuratae in i- maginationem et quietem in anima, ita ut homo non percipiat qualitatem quiescentiae earum. Vn de uero sit principium comprehensionis partium terrae interiacentium inter uisum et uisibilia, est, secundum quod narrabo. Principium eius, cuius quantitas certificatur a uisu, est illud, quod est a- pud pedes: quoniam quantitas illius, quod est apud pedes, comprehenditur a uisu et a uirtute di- stinctiua, et uisus certificat ipsam per mensuram corporis hominis. Quoniam illud, quod est ex ter ra apud pedes, semper mensuratur ab homine sine intentione per pedes eius, quando ambulat su- per ipsum, et per brachium eius, quando extendit manus ad ipsum. Et omne, quod est prope ho- minem ex terra, semper mensuratur per corpus hominis sine intentione, et uisus comprehendit il lam mensuram, et sentit ipsam: et uirtus distinctiua comprehendit istam mensuram, et intelligit i- psam, et certificat ex ea quantitates partium terrae continuatarum cum corpore hominis. Quanti- tates ergo partium terrae propinquarum homini iam sunt intellectae apud sentientem, et apud uir- tutem distinctiuam. Et iam formae earum sunt conceptae apud uirtutem distinctiuam, et quietae in anima: et uisus comprehendit istas partes terrae semper, et sentiens sentit uerticationes, quę ex- enduntur a uisu ad extremitates istarum partium apud comprehensionem illarum a uisu, et apud considerationem corporis terrae a uisu, et comprehendit partes superficiei membri sentientis, in quas perueniunt formae istarum partium terrae, et comprehendit quantitates partium, et quantita- tes angulorum, quos respiciunt istae partes uisus. Anguli uero, quos respiciunt partes terrae pro- pinquae homini intelliguntur apud membrum sentiens secundum transitum temporis, et formae eorum sunt conceptae in anima. Et quantitates longitudinum linearum radialium, quae extendun tur a centro uisus ad extremitates partium terrae propinquarum homini, comprehenduntur a sen- tiente, et a uirtute distinctiua, et certificantur ab ea. Quoniam uero longitudines istarum uertica- tionum semper mensurantur per corpus hominis sine intentione: si ergo homo fuerit erectus, et aspexerit terram apud pedes cius, erunt longitudines linearum radialium secundum quantitatem erectionis hominis: et uirtus distinctiua intelliget certe, quod remotio interiacens inter uisum et partem terrae, est quantitas erectionis hominis: et longitudines locorum terrae continuatorum cum corpore hominis, sunt intellectae et perceptae quantitates apud uirtutem distinctiuam, et for- mae eorum sunt quietae in anima. Cum ergo uisus aspexerit partem, quae est apud pedes: statim sen tiens comprehendet uerticationes peruenientes ad extremitates illius partis: et imaginabitur uir- tus distinctiua quantitates longitudinum uerticationum peruenientium ad extremitates earum, et quantitates angulorum, quos continent illae uerticationes. Et cum uirtus distinctiua imaginata fuerit quantitates longitudinum uerticationnmuerticationum, et quantitates angulorum, quos continent uerti- cationes: comprehendet quantitatem spatij, quae est inter extremitates illarum uerticationum, cer ta comprehensione. Secundum ergo hunc modum certificantur quantitates partium terrae per sen sum uisus. Deinde quantitates partium sequentium istas partes in remotione, comprehenduntur a uisu ex comparatione quantitatum partium linearum radialium, quae extenduntur ad extremita- tes earum, ad quantitates radialium, quae extenduntur ad primas partes, quae sequuntur homi- nem: et sic comparat uirtus distinctiua lineas radiales tertio loco uenientes ad radios secundo ue- nientes, communes primae parti et secundae, et percipit quantitatem augmentationis tertij radij su- pra secundum, et cum senserit, sentiet quantitatem tertij radij: et ipse comprehendet quantitatem secundi radij certa comprehensione. Erunt ergo duo radij continentes secundam partem terrae no tae quantitatis apud uirtutem distinctiuam: et similiter erit situs eorum notus apud ipsam. Et cum comprehenderit longitudinem duorum radiorum, et situm eorum: comprehendet spatium, quod est inter extremitates eorum certa comprehensione. Secundum ergo hunc modum comprehen- det uirtus distinctiua etiam quantitates partium terrae, sequentium partes continentes pedes. Et etiam partes sequentes partes continentes pedes, semper mensurantur pęr corpus hominis: quo- niam quando homo ambulauerit super terram: mensurabitur terra, super quam ambulat, per pedes eius et passus, et comprehendet uirtus distinctiua quantitatem eius. Et cum homo pertransierit lo cum, in quo fuerit, et partes continuatas cum pedibus eius: et peruenerit ad illas partes sequen- tes: mensurabuntur etiam illae partes sequentes, sicut mensurabantur etiam priores, et compre- hendet etiam sequentes, sicut comprehendebat priores. Et ista comprehensio erit certificata sine dubio: et sic certificabitur ab eo per comprehensionem istam secundam prima comprehensio. Si er go quantitas eius non fuerit certificata primo, certificabitur secundo. Et ista commensuratio com- prehenditur a sentiente semper, et utitur ipsa sine intentione solicita. Sed aspecta aliqua partium ter- rae a uisu: comprehendit sentiens et uirtus distinctiua istam mensurationem per uiam accidentalem sine intentione: deinde propter frequentationem istius intentionis sunt iam certificatae quantita- tes partium terrae sequentium pedes, et quantitates earum, quae sequuntur ipsas. Secundum ergo hunc modum acquirit sentiens et uirtus distinctiua quantitates partium terrae continentium homi nem, interiacentium inter uisum et uisibilia. Et ista acquisitio est in principio quiescentiae hominis: deinde acquiescunt quantitates remotionum uisibilium assuetorum, quae sunt super faciem terrae apud sentientem et apud uirtutem distinctiuam. Erit ergo comprehensio remotionum uisibilium assuetorum, quae sunt super faciem terrae, per cognitionem et assimilationem eorum adinuicem: et est dicere, comprehensionem quantitatum remotionum uisibilium esse per acquisitionem a sentien- te, et a uirtute distinctiua: non quod per ista comprehendat aspiciens quot cubiti sint in qualibet re motione, sed acquirit ex qualibet remotione, et ex qualibet parte terrae quantitatem determinatam, et ad illas quantitates determinatas comparat quantitates remotionum uisibilium, quas compre- hendit post. Et similiter acquirit ex cubito et palmo, et a qualibet quantitate mensurata quantita- tem determinatam. Quando ergo aspiciens comprehenderit aliquod spatium, et uoluerit scire, quot cubiti fuerint in eo: comparabit formam acquisitam ex imaginatione ex illo spatio, ad formam acquisitam in imaginatione ex cubito, et comprehendet per istam comparationem spatij quantita- tem respectu cubiti. Et etiam ex assuetudine hominis est, quod quando uoluerit certificare aliquam intentionem: iterabit aspectum suum: et distinguet intentiones eius: et considerabit tempus: et per illud comprehendet illam intentionem secundum ueritatem. Aspiciens ergo quando comprehen- derit aliquam rem uisam super faciem terrae, et uoluerit certificare remotionem eius: intuebitur partem terrae continuatam, interiacentem inter ipsum et rem uisam, et mouebitur uisus in longitu- dine ipsius, et sic mouebitur axis radialis super illam partem, et mensurabit ipsam, et comprehen- det ipsam secundum singulas partes, et sentiet partes eius paruas, quando remotio illius ultimi spa tij fuerit mediocris. Et quando uisus comprehenderit partes terrae, et comprehenderit partes par- uas: comprehendet uirtus distinctiua quantitatem totius spatij: quoniam per motum axis ra- dialis super spatium, certificabit uirtus distinctiua quantitatem partis uisus, in quam peruenit for- ma illius spatij, et quantitatem anguli, quem respicit illud spatium, et quantitatem longitudi- nis radij, qui extenditur ad ultimum spatij: et cum istae duae intentiones certificabuntur a uirtu- te distinctiua, certificabitur quantitas partis terrae uisae. Et similiter quantitates longitudinum corporum eleuatorum a terra extensorum in parte remota (sicut parietum et montium) com- prehenduntur a uisu, sicut comprehenduntur quantitates partium terrae, et comprehendun- tur remotiones uisibilium respicientium ipsas, ex comprehensione quantitatum longitudinum earum. Secundum ergo hunc modum certificat uisus quantitates remotionum uisibilium, quan- do fuerint ex remotionibus mediocribus, et fuerint respicientia corpora ordinata continua- ta. Qaedam autem uisibilia, quae sunt super faciem terrae, habent remotionem mediocrem, et quantitates partium terrae interiacentium inter uisum et ipsa, sunt quantitates mediocres: et quaedam sunt, quorum remotio est maxima et extra mediocritatem, et quantitates partium terrae interiacentium inter uisum et ipsa, sunt extraneae magnitudinis. Et quantitates partium terrę com prehenduntur a uisu secundum modos, quos narrauimus. Illud ergo, quod est propinquum et me- diocris quantitatis, comprehenditur, et certificatur a uisu, et quantitas eius, quod est extraneae re- motionis, non certificatur a uisu: quoniam uisus quando comprehenderit spatia: comprehen- det quantitates eorundem, dum senserit augmentationem longitudinis radij: et dum senserit an- gulos, quos respiciunt partes paruae partium spatij apud motum axis super spatium: et certifica- bit quantitatem spatij, dum senserit paruam augmentationem in longitudine radij, et augmen- tationem paruam in angulo, quem respicit spatium. Et cum remotio fuerit maxima, non sentiet augmentationem paruam in longitudine radij, nec sentiet motum radij propter paruam partem spatij, cuius remotio est maxima, nec sentiet angulum, quem respicit parua pars remotionis ma- ximae, nec certificabit longitudinem radij peruenientis ad extremum spatij, nec certificabit quan- titatem anguli, quem respicit spatium illud. Et cum non certificauerit longitudinem radij perue- nientis ad extremum spatij, et non certificauerit quantitatem anguli, quem respicit spatium: non certificabit quantitatem spatij. Et etiam, quando remotio fuerit maxima, partes paruae spatij, quae sunt in ultimo spatij, non comprehenduntur a uisu, nec distinguuntur ab eo: quoniam parua quantitas in remotione maxima latet uisum. Cum ergo axis radialis mouebitur super spatium re- motum maxime, et perueniet ad remotionem maximam, transibit partem paruam spatij, et non sentiet sentiens motum eius: quoniam parua pars in remotione maxima non facit angulum sensibilem apud centrum uisus. Cum ergo axis radialis mouebitur super spatium remotum, et sen- serit uisus, quod ipse iam transierit aliquam partem spatij: quantitas illius partis spatij, quam tran- siuit, non erit quantitas, quam comprehendit per sensum, sed erit maior: et quanto magis augmen- tabitur remotio spatij, tanto magis partes latebunt uisum apud ultimum spatij, et super quas la- tet motus radij uisus, erunt maiores. Quantitates ergo remotionum maximarum, quae sunt su- per faciem terrae, non certificantur a uisu: quoniam non certificat quantitatem longitudinis radij peruenientis ad ultimum earum, nec quantitatem anguli, quem respicit illud spatium.

40. Visibile propinquum uisui accuratius uidetur. 15 p 4.

ET etiam sentiens sentit certificationem quantitatis spatij: quoniam uisibile propinquum uisui est certioris uisionis: scilicet quia formae uisibilium propinquorum sunt manifestio- res, et comprehenduntur a uisu manifestiore comprehensione, et color et lux eorum sunt manifestiores, et situs superficierum eorum apud uisum, et situs partium eorum, et forma parti- um eorum, et partium superficierum sunt manifestiores uisui: et si in eis fuerit lineatio, aut pictura, aut partes paruae, apparebunt uisui manifestius: et non est ita de uisibilibus remotionis maximae: quoniam formam rei uisę, quę fuerit in remotione maxima, non certificabit uisus secundum suum esse, et dubitabit in colore, luce, et forma superficierum eius, et nihil apparebit in ea ex subtilibus in- tentionibus et ex partibus paruis. Et ista intentio manifesta est sensui. Cum ergo uisus compre- henderit aliquod spatium super faciem terrae, statim sentiet, priusquam uiderit ultimum eius, et quaedam uisibilia in ultimo eius, quod illud spatium est ex spatijs mediocribus, aut ex spatijs ma- ximae remotionis. Si uero certificauerit formam ultimi eius, aut formam rei uisae, quae est apud ul- timum eius, manifeste, et distinxerit etiam quantitatem illius spatij secundum modum praedictum: tunc uirtus distinctiua etiam comprehendet, quod quantitas illius spatij est certificata ex compre- hensione manifestationis formae ultimi eius, aut formae rei uisae, quae est apud ultimum eius. Si au- tem non certificauerit formam ultimi eius, aut formam rei uisae, quae est apud ultimum eius, non certificabit quantitatem illius spatij. Et uirtus distinctiua apud considerationem istius spatij simul comprehendet, quod istud spatium non est certificatae quantitatis, propter latentiam formae ulti- mi eius, aut formae rei uisae, quae est apud ultimum eius. Quantitates ergo remotionum uisibili- um distinguuntur a uisu, et qualitas comprehensionis quantitatum earum certificatur apud intui- tionem. Et quando aspiciens uoluerit certificare quantitatem rei uisae, et certificare quantitatem remotionis rei uisae: intuebitur remotionem, et distinguet ipsam, et sic distinguetur ab eo remotio certificata a remotione non certificata. Nihil ergo est ex intentionibus uisibilium, cuius quantitas sit certificata, nisi remotiones respicientes corpora ordinata continuata, et cuius etiam remotio- nes sunt mediocres. Quantitates ergo huiusmodi remotionum comprehenduntur a uisu secun- dum modum, quem declarauimus. Et praeter ista non certificantur a uisu, sed aestimantur et assi- milantur: scilicet quod uisus assimilat remotionem rei uisae remotioni sibi similium ex uisibilibus assuetis, quorum quantitas remotionis est certificata iam ab eo. Et cum uisus senserit iam laten- tiam formae rei uisae propter remotionem, dubitabit de quantitate remotionis eius. Et remotio mediocris, cuius quantitas certificatur a uisu, est remotio, apud cuius ultimum non latet uisum pars, habens proportionem sensibilem ad totam remotionem: et remotio mediocris respectu rei uisae, in qua uisus comprehendit ueram quantitatem rei uisae, est remotio mediocris, apud cu- ius ultimum non latet pars illius rei uisae, habens proportionem sensibilem ad quantitatem rei uisae, quando uisus intuebitur illam partem per se. Omne ergo spatium, in quo cuiuslibet partis longitudo habet proportionem sensibilem ad quantitatem longitudinis spatij, comprehenditur a uisu, et non latet uisum ex partibus spatij, quae sunt apud ultimum eius, nisi illud, quod caret pro- portione sensibili ad longitudinem illius spatij: et omne tale spatium est ex remotionibus medio- cribus. Remotio autem, quae est extra mediocritatem in longitudine, est illa, apud cuius ultimum latet quantitas habens proportionem sensibilem ad totam illam remotionem: et remotio, quae est extra mediocritatem respectu uisus, est illa, in qua latet quantitas aliqua ex illa re uisa, habens proportionem sensibilem ad totam illam rem uisam: aut latet aliqua intentio illius rei uisae, cuius latentia operatur in latentiam quidditatis illius rei uisae. Et etiam sentiens comprehendit quanti- tatem remotionis rei uisae ex quantitate anguli, quem respicit illa res uisa. Quoniam quando ui- sus comprehendit uisibilia assueta, quae sunt in remotionibus assuetis, statim apud comprehen- sionem cognoscet ipsa uisus: et quando uisus cognouerit ipsa: cognoscet ipsas quantitates magni- tudinum eorum: quoniam quantitates magnitudinum eorum iam fuerunt certificatae propter frequentationem cuiuslibet comprehensionis uisibilium assuetorum, et iam sunt quietae in ima- ginatione. Et uisus, cum comprehenderit rem uisam assuetam, statim comprehendit partem uisus, in quam peruenit forma illius rei uisae, quam respicit illa pars. Et cum sentiens comprehenderit quantitatem magnitudinis rei uisae per cognitionem, et comprehenderit angulum, quem tunc re- spicit illa res uisa: comprehendet quantitatem remotionis illius rei uisae in illa dispositione: quo- niam angulus, quem respicit illa res uisa, non erit, nisi secundum quantitatem remotionis. Et si- cut sentiens recipit significationem super quantitatem magnitudinis ex remotione cum illo angu- lo: ita accipit significationem super quantitatem remotionis ex quantitate magnitudinis cognitae apud ipsam cum illo angulo: quoniam illa magnitudo non respicit illum angulum, nisi ex illa ea- dem remotione, aut ex remotione aequali illi, non ex omnibus remotionibus. Et cum sentiens comprehenderit quantitatem remotionis illius rei uisae assuetae multoties et frequenter in horis, in quibus illa res uisa respicit apud centrum uisus similem illi angulo, et multoties acceperit signi- ficationem super quantitatem magnitudinis illius rei uisae ex quantitate remotionis illius rei uisae cum quantitate anguli, qui est aequalis illi angulo: uirtus distinctiua intelliget quantitatem remo- tionis, in qua comprehendit magnitudinem illius rei uisae, respectu illius anguli. Et cum uirtus di- stinctiua intellexerit quantitatem illius rei uisae, respectu illius anguli, et comprehenderit in ista re- motione magnitudinem rei uisae, respectu illius eiusdem anguli, et cognouerit illam rem uisam, et cognouerit quantitatem magnitudinis eius, quam ante comprehendit, et comprehenderit quan- titatem illius anguli, quem tunc respicit illa res uisa: cognoscet quantitatem remotionis, secun- dum quam illa remotio respicit illum angulum. Sentiens ergo comprehendit quantitatem remo- tionum uisibilium assuetorum ex comparatione anguli ad magnitudinem rei uisae: deinde pro- pter frequentationem comprehendit sentiens remotionem rei uisae assuetae per cognitionem. Et erit quantitas anguli, quem respicit res uisa assueta apud comprehensionem anguli eius, cum co- gnitione illius rei uisae, signum super quantitatem remotionis illius rei uisae. Et plures remotio- nes uisibilium assuetorum comprehenduntur secundum hunc modum. Et ista comprehensio non est in fine certitudinis: Tamen inter remotionem istam et remotionem certificatam non est maxi- ma diuersitas. Et ex ista comprehensione opinati sunt mathematici, quod magnitudo rei compre- hendatur per angulum. Quando ergo uisus comprehenderit uisibilia assueta, quae sunt in remo- tionibus assuetis, et cognouerit quantitates remotionum illorum secundum istam uiam: inueniet ueritatem in maiori parte in quantitatibus remotionum ipsorum, aut non erit inter illud, quod comprehendit ex quantitatibus remotionum eorum, et inter remotiones ueras magna diuersi- tas. In illo autem, quod uisus comprehendit ex quantitatibus remotionum uisibilium extraneo- rum, quae non frequenter comprehendit uisus, errat in maiori parte: et cum hoc forte inueniet a- liquid in eo, quod comprehendit ex quantitatibus eorum secundum hunc modum. Secundum ergo istos modos, quos declarauimus, comprehenduntur quantitates remotionum uisibilium per sensum uisus.

41. Magnitudines uisibiles sunt superficies, earum partes, termini, et spatia, quae inter di- stincta uisibilia interijciuntur. 18 p 4.

ET postquam declarata est qualitas comprehensionis quantitatum remotionum uisibilium, et distinctae sunt remotiones uisibilium: distinguemus modo magnitudines uisibilium, quae comprehenduntur a uisu, et distinguemus comprehensionem illarum a uisu. Dicamus ergo, quod magnitudines, quas comprehendit uisus apud oppositionem, sunt quantitates superficie- rum uisibilium, et quantitates partium superficierum uisibilium, et quantitates terminorum su- perficierum uisibilium, et quantitates spatiorum, quae sunt inter terminos partium superficierum uisibilium, et quantitates spatiorum, quae sunt inter uisibilia distincta. Et isti sunt omnes modi quantitatum, quas comprehendit uisus apud oppositionem rei uisae. Quantitas autem corporis rei uisae non comprehenditur a uisu apud oppositionem: quoniam uisus non comprehendit totam superficiem corporis apud oppositionem, et non comprehendit nisi illud, quod sibi opponitur ex superfi cie corporis, aut ex superficiebus eius, quamuis corpus sit paruum. Et si uisus comprehenderit corporeita tem corporis, non comprehendet quantitatem corporis eius, sed figuram corporeitatis tantum. Si ergo corpus fuerit motum, aut uisus moueatur, ita ut comprehendat uisus totam superficiem corporis per sen- sum, aut per significationem: tunc uirtus distinctiua comprehendet quantitates corporeitatis e- ius per secundam argumentationem, praeter argumentationem, qua usa est apud uisionem. Et si militer si uirtus distinctiua comprehendet quantitatem corporeitatis cuiuslibet partium corpo- ris, non comprehendet ipsam, nisi per argumentationem secundam, praeter argumentationem, quae est apud uisionem. Quantitates ergo, quas uisus comprehendit apud oppositionem, non sunt nisi quantitates superficierum, et linearum quas determinauimus tantum. Et iam declaratum est, [38 n] quod comprehensio magnitudinis non est, nisi ex comparatione basis pyramidis radialis continentis magnitudinem, ad angulum pyramidis, qui est apud centrum uisus, et longitudinem pyramidis, quae est remotio magnitudinis rei uisae: et iam declaratum est, [24. 25 n] quod quae- dam remotiones uisibilium sunt certificatae, et quaedam aestimatae: magnitudines autem uisibili- um, quorum remotio est certificata, comprehenduntur a uisu ex comparatione magnitudinum earum ad angulos, quos respiciunt illae magnitudines apud centrum uisus, et ad remotiones eo- rum certificatas. Comprehensio ergo quantitatum remotionum huiusmodi uisibilium erit com- prehensio certificata. Quantitates autem remotionum uisibilium, quorum remotio est aestimata, et non certificata: comprehenduntur a uisu ex comparatione magnitudinis eorum ad angulos, quos respiciunt illae magnitudines apud centrum uisus: et ad remotiones earum aestimatas et non certificatas. Comprehensio ergo quantitatum remotionum uisibilium huiusmodi, erit compre- hensio non certificata. Cum ergo sentiens uoluerit certificare quantitatem magnitudinis alicuius rei uisae, mouebit uisum super illius diametros, et sic mouebitur axis radialis super omnes partes rei uisae. Si ergo remotio rei uisae fuerit ex remotionibus maximis: statim apparebit sensui laten- tia formae eius, et manifestabitur sentienti, quod quantitas eius non est certificata: si uero re- motio rei uisae fuerit ex remotionibus mediocribus: statim apparebit sensui uerificatio uisionis e- ius. Si ergo axis radialis moueatur super illud, quod est in huiusmodi uisibilibus: mensurabit ipsum uera mensuratione, et comprehendet partes eius, et certificabit quantitates partium eius, et per motum certificabit quantitatem partium superficiei membri sentientis, in quam peruenit forma illius rei uisae, et quantitatem anguli pyramidis, quem respicit illa pars. Et cum sentiens uo- luerit certificare remotionem super corpus respiciens remotionem eius, per motum certificabit quantitatem corporis respicientis remotionem eius, quae est aequalis secundum sensum longitu- dinibus linearum radialium. Et cum sentiens certificauerit quantitatem remotionis rei uisae, et quantitatem anguli, quem continet pyramis, continens rem uisam: certificabit quantitatem il- lius rei uisae.

42. Axis opticae pyramidis, oculo moto immutabilis permanet. 53 p 3.

MOtus autem axis super partes rei uisae non erit per gyrationem axis a loco centri, et per motum eius per se super partes rei uisae: quoniam iam declaratum est, [11 n 1 et 7 n] quod ista linea semper est extensa recte usque ad locum gyrationis nerui, super quem componi- tur oculus, et quod situs eius a uisu non mutatur, et totus oculus mouetur in oppositione rei ui- sae, et medium loci, qui est locus sensus uisus, opponitur cuilibet parti partium rei uisae. Ergo cum totus uisus mouebitur in oppositione rei uisae: axis transibit per quamlibet partium rei uisae: et tunc forma cuiuslibet partium rei uisae extendetur ad uisum apud peruentum axis ad ipsam super rectitudinem axis: et erit axis fixus in suo loco, et non mutabitur a suo loco respectu omnium par- tium totius oculi: et erit gyratio eius in sua dispositione apud motum totius uisus in loco nerui, qui est apud concauum ossis tantum. Et cum uisus uoluerit intueri rem uisam, et incoeperit intue- ri in extremitatem rei uisae: erit tunc extremum axis super partem extremam rei uisae. Erit ergo in ista dispositione maior pars totius rei uisae in parte superficiei uisus declinante, aut obliqua ab axe ad aliquam partem, praeter partem, super quam est axis: quoniam forma eius erit in medio eius et in loco axis in uisu, et erit residuum formae obliquum aut declinans ad aliam partem ab axe. De- inde quando uisus mouebitur post illam dispositionem super aliam diametrum rei uisae: transfe- retur axis ad partem sequentem illam partem, et forma primae partis declinabit super alteram u- bitatem oppositam ubitati, ad quam mouetur axis: iam deinde non cessabit forma declinare, dum axis mouetur super illam diametrum, quousque axis perueniat ad ultimum illius diametri rei ui- sae, et ad partem extremam rei uisae oppositam primae parti. Erit ergo forma totius rei uisae in ista dispositione obliqua ad ubitatem oppositam ubitati, ad quam prius fuit obliqua, praeterquam ul- tima pars, quae erat super axem, et in medio uisus. Et axis in toto isto motu erit fixus in suo situ, et erit iste motus ualde uelox, et in maiori parte est insensibilis propter uelocitatem.

43. Axis opticus in suo motu nunquam fit basis anguli a superficie uisibilis subtensi: nec sem- per secat angulum ab aliqua uisibilis diametro subtensum. 54 p 3.

AXis autem non supponitur in suo motu terminus anguli, quem respicit illa res uisa apud cen- trum uisus, neque secat latitudinem anguli, quem respicit aliqua diametrorum rei uisę: quo- niam hoc non erit, nisi quando axis fuerit motus per se, et totus oculus quieuerit, quod est impossibile: totus enim oculus mouetur apud intuitionem, et axis mouetur per motum eius.

44. Visus percipit magnitudinem anguli optici e parte superficiei uisus, in qua formatur rei uisibilis forma. 73 p 3.

SEntiens autem non comprehendit quantitatem anguli, quem respicit res uisa apud centrum uisus, nisi ex comprehensione quantitatis partis superficiei uisus, in qua figuratur forma rei uisae, et ex imaginatione anguli, quem respicit illa pars apud centrum uisus. Nam sensus uisus comprehendit naturaliter quantitates partium uisus, in quibus figurantur formae, et naturaliter i- maginatur angulos, quos respiciunt istae partes. Sentiens autem non certificat formam rei uisae, et quantitatem magnitudinis rei uisae per motum uisus, nisi quia per istum motum comprehendit quamlibet partium rei uisae per eius medium et per locum axis in uisu: et per istum motum moue- tur forma rei uisae super superficiem uisus, et sic mutabitur pars superficiei uisus, in qua fuit forma: quoniam forma rei uisae apud motum, erit in parte post aliam partem in superficie uisus. Et quo- ties comprehenderit sentiens partem rei uisae, quae est apud extremum axis: comprehendet simul totam rem uisam, et comprehendet totam partem superficiei uisus, in quam peruenit forma toti- us rei uisae, et comprehendet quantitatem illius partis, et comprehendet quantitatem anguli, quem respicit illa pars, apud centrum uisus. Et sic multoties comprehendet sentiens quantita- tem anguli, quem respicit illa res uisa. Quare erit ab eo certificata: quare etiam uirtus distinctiua intelliget quantitatem anguli, et quantitatem remotionis, ex quibus comprehendet quantitatem magnitudinis rei uisae secundum ueritatem. Secundum ergo hunc modum erit intuitio uisibilium a uisu, et certificatio quantitatis magnitudinum rerum uisarum per intuitionem.

45. Situs directus et obliquus lineae, superficiei, et spatij percipitur ex aequabili et inaequa- bili terminorum distantia. 12 p 4. Idem 28 n.

ET etiam quando uisus comprehendet quantitates longitudinum linearum radialium, quae sunt inter uisum et terminos rei uisae, aut partes superficiei rei uisae, sentiet aequalitatem et inaequalitatem earum quantitatum. Si superficies rei uisae, quam uisus comprehendit, fuerit obliqua: sentiet obliquationem eius ex sensu inaequalitatis quantitatum remotionum extremo- rum eius. Et si superficies fuerit directe opposita, sentiet directionem ex sensu aequalitatis remo- tionum: et sic non latebit quantitas magnitudinis eius uirtutem distinctiuam: quoniam uirtus di- stinctiua comprehendit ex inaequalitate remotionum diametrorum extremorum spatij obliqui, obliquationem pyramidis continentis ipsum. Quare sentiet excessum magnitudinis eius basis pro- pter obliquationem. Et non admiscetur secundum assimilationem quantitas magnitudinis obli- quae magnitudini directe oppositae, nisi quando comparatio fuerit ad angulum tantum: si autem comparatio fuerit ad angulum et ad longitudines linearum radialium interiacentium inter uisum et extrema rei uisae: non dubitabit uirtus distinctiua in quantitate magnitudinis. Quantitates er- go magnitudinum, linearum et spatiorum comprehenduntur a uisu ex comprehensione quanti- tatum remotionum extremorum in illis, et ex comprehensione inęqualitatis et ęqualitatis eorum. Sed remotio remotissima remotionum mediocrium, respectu rei uisae, quando res uisa fuerit obli qua, est minor remotissima remotionum mediocriumr, espectumediocrium, respectu illius eiusdem rei uisae, quando res uisa fuerit directe opposita: quoniam remotio mediocris respectu rei uisae est, in qua non latet ui- sum pars rei uisae habens proportionem sensibilem ad totam rem uisam. Et cum res uisa fuerit ob- liqua, angulus, quem continent duo radij exeuntes a uisu ad aliquam partem rei uisae obliquae, e- rit minor angulo, quem continent duo radij exeuntes a uisu ad il-

lam eandem partem et ad illam eandem remotionem, quando res uisa fuerit directe opposita uisui. Et pars habens sensibilem pro portionem ad totam rem uisam, quando res uisa fuerit obliqua: la- tet in remotione minori quam est remotio, in qua latet eadem illa pars, quando illa res uisa fuerit directe opposita. Remotissima er- go remotionum mediocrium respectu rei uisae obliquae, est minor remotissima remotionum mediocrium respectu illius eiusdem rei uisae, quando illa res uisa fuerit directe opposita: et tota res uisa ob- liqua latet in remotione minori quam est remotio, in qua latet illa res uisa, quando fuerit directe opposita: et diminuitur quantitas eius in remotione minore remotione, in qua diminuitur quanti- tas eius, quando fuerit directe opposita. Magnitudines ergo re- rum uisarum, quarum quantitates certificantur a uisu, sunt illae, quarum remotio est mediocris, et quarum remotio respicit corpo- ra ordinata continuata: et comprehenduntur a uisu ex comparati one illarum ad angulos pyramidum radialium continentium ipsas, et ad longitudines linearum radialium. Remotiones autem me- diocres respectu rei uisae sunt secundum situm illius rei uisae in ob- liquatione, aut in directa oppositione. Et anguli non certificantur, nisi per motum uisus respicientis super diametros superficiei rei uisae, aut super spatium, cuius magnitudinem uoluerit scire. Et certificatur remotio per motum uisus super cor- pus respiciens remotiones extremorum illius superficiei, aut illius spatij. Et generaliter forma rei uisę, et forma remotionis rei uisae, cuius remotio est mediocris, et respicit corpora ordinata continuata, perueniunt communiter in imaginationem simul apud intuitionem rei uisae: quoniam uisus compre- hendit corpus respiciens remotionem rei uisae apud comprehensionem rei uisae: et sic uirtus distin ctiua comprehendet magnitudinem rei uisae secundum quantitatem formae remotionis eius cer- tificatae, et coniunctę cum forma eius. Quantitates ergo huiusmodi uisibilium tantum comprehen duntur a uisu uera comprehensione. Secundum ergo hunc modum, quem declarauimus, compre- henduntur magnitudines rerum uisarum per sensum uisus. Quare uero res uisa comprehendatur in maxima remotione minoris quantitatis sua uera quantitate: et quare comprehendatur quan- titas rei uisae in propinquissima remotione maior quantitate sua uera, declarabimus in nostro ser- mone de erroribus uisus.

46. Distinctio uisibilium percipitur e distinctione formarum, quae in diuersis superficiei ui- sus partibus sunt impressae. 99 p 4.

DIstinctio uero, quae est inter uisibilia, comprehenditur a uisu ex distinctione formarum duo- rum corporum siue duorum uisibilium distinctorum peruenientium in uisum. Sed in distin ctione, quae est inter quaelibet duo corpora distincta, aut est lux: aut est corpus coloratum il luminatum: aut est obscuritas. Cum ergo uisus comprehenderit duo corpora distincta: forma lucis, aut forma coloris corporis, aut forma obscuritatis, quae est in loco distinctionis, peruenit in partem uisus interiacentem inter duas formas duorum corporum distinctorum peruenientium in uisum. Lux uero, aut color, aut obscuritas aliquando erit in corpore medio interiacente inter duo corpo- ra continuata cum utroque corporum. Si ergo uisus non senserit, quod lux, color, aut obscuritas, quae est in loco distinctionis, non est in corpore continuato cum utroque corporum, quę sunt in eius lateribus, non sentiet distinctionem duorum corporum. Et etiam superficies cuiuslibet illorum duo rum corporum est obliqua ad locum remotionis. ln loco ergo distinctionis forte erit obliquatio duarum superficierum duorum corporum, aut superficiei alterius duorum corporum manifesta ui sui, et forte non. Cum ergo obliquatio duarum superficierum duorum corporum, aut superficiei alterius duorum corporum fuerit manifesta uisuij: tunc sentiet uisus distinctionem duorum corpo rum. Visus ergo comprehendit distinctionem corporum ex comprehensione intentionum, quas diximus, aut ex comprehensione lucis in loco distinctionis, sentiendo, quod illa lux est ex poste- riori duarum superficierum duorum corporum distinctorum: aut ex comprehensione corporis co lorati in loco distinctionis, sentiendo, quod illud corpus est diuersum ab utroque corporum distin ctorum: aut ex comprehensione obscurationis loci distinctionis, comprehendendo, quod istud est obscuritas, et non est corpus continuatum cum duobus corporibus: aut ex comprehensione obli- quationis utriusque superficiei duorum corporum in loco distinctionis, aut obliquationis super- ficiei alterius duorum corporum. Omne ergo, quod uisus comprehendit ex distinctione corpo- rum: non comprehendit, nisi secundum aliquam istarum intentionum. Distinctio autem forte erit inter duo corpora distincta: et forte inter duo corpora non diuersa, scilicet quod duo corpora sunt continuata secundum quasdam partes, et diuersa secundum quasdam inter se, ut digiti, et mem- bra animalis, et rami arborum: et secundum utramlibet dispositionum uisus non comprehendit di stinctionem, nisi secundum modos, quos declarauimus. Et forte comprehenditur distinctio corpo rum per cognitionem et per scientiam antecedentem: sed illa comprehensio non est per sensum ui- sus. Et quaedam distinctio corporum est ampla, et quaedam stricta. Distinctio uero ampla non latet uisum in maiori parte, propter apparentiam corporis respicientis distantiam distinctam, et pro- pter hoc, quod illud corpus apparet diuersum ab utroque corporum distinctorum, et propter com prehensionem lucis et uacuitatis illuminati respicientis distantiam. Distinctio autem modica et stricta non comprehenditur a uisu, nisi in remotione, in qua non latet uisum corpus, cuius quanti- tas est aequalis quantitati amplitudinis distantię. Si autem distantia inter duo corpora fuerit stricta et occulta: et fuerit remotio illius a uisu similis illi, in qua lateant corpora, quorum quantitas est, sicut quantitas amplitudinis distantiae: non comprehendet uisus illam distantiam. Et si remotio duo- rum corporum a uisu sit ex remotionibus mediocribus, et uisus comprehenderit duo corpora ue- ra comprehensione: (mediocris autem remotio est illa, in qua non latet omnino quantitas sensibi- lis respectu quantitatis totius remotionis: et uera comprehensio est illa, inter quam et ueritatem rei uisae non est diuersitas sensibilis omnino respectu totius rei uisae) amplitudo autem distantiae for- te sit quantitatis carentis proportione sensibili ad remotionem rei uisae, et carentis quantitate sen- sibili respectu duorum corporum distinctorum: (quoniam distinctio forte erit in quantitate unius capilli:) tum illud diminutum non aufert distantiam sensibilem in uisu. Distantia igitur inter uisibi lia comprehenditur a uisu secundum modos, quos declarauimus.

47. Continuatio uisibilis percipitur e distantiae priuatione. 100 p 4.

COntinuatio autem comprehenditur a uisu ex priuatione distantiae. Cum ergo uisus non senserit in ali- quo corpore distantiam: comprehendet ipsum esse continuum. Et si in corpore fuerit distantia occul- ta, non comprehensa a uisu: comprehendet uisus illud corpus esse continuum, quamuis in eo sit discretio. Et uisus comprehendit continuationem, et discernit inter continuationem et contiguationem ex compre- hensione aggregationis duorum terminorum duorum corporum. Et uisus non iudicat contigua- tionem, nisi postquam sciuerit, quod utrumque duorum corporum contiguorum est diuersum ab altero: quoniam differentia, quae est inter duo contigua, forte inuenitur in duobus corporibus con- tinuis. Si ergo sentiens non senserit, quod utrumque duorum corporum contiguorum est diuersum ab altero, et distinctum ab eo: non sentiet contiguationem, et iudicabit continuationem.

48. Numerus percipitur e uisibilium distinctione. 101 p 4.

N Vmerus uero comprehenditur a uisu, et numeri medietas. Quoniam uisus comprehendit in una hora multa uisibilia simul: et cum uisus comprehenderit distinctionem illorum, com- prehendet quodlibet illorum esse diuersum ab alio: et sic comprehendit multitudinem. Et uir- tus distinctiua comprehendit numerum ex multitudine. Numerus ergo comprehenditur per sen- sum uisus ex comprehensione multorum uisibilium distinctorum, quando uisus comprehendit ipsa simul: et comprehenderit distinctionem illorum: et comprehenderit quod quodlibet illorum est diuer- sum ab alio. Secundum ergo istum modum comprehenditur numerus per sensum uisus.

49. Motus uisibilis percipitur e mutatione situs eius in sensili tempore. 110 p 4.

M Otus autem comprehenditur a uisu ex comparatione rei motae ad aliud uisibile. Quoniam quando uisus comprehenderit uisibile motum, et cum ipso comprehenderit aliud uisibi- le, comprehendet situm eius respectu illius uisibilis moti. Et cum illud uisibile fuerit motum, et illud aliud uisibile fuerit non motum: per motum illius uisibilis moti, situs illius uisibilis moti di uersabitur respectu illius uisibilis non moti. Et cum uisus comprehenderit ipsum, et cum eo com- prehenderit aliud uisibile: comprehendet situm eius respectu illius uisibilis, et comprehendet mo tum eius. Motus ergo comprehenditur a uisu ex comprehensione diuersitatis situs rei uisae motae respectu alterius. Et motus comprehenditur a uisu secundum aliquem trium modorum: aut ex respectu rei uisae motae ad multa uisibilia: aut ex respectu rei uisae motae ad unum uisibile: aut ex respectu rei uisae motae ad ipsum uisum. Primum autem quando uisus comprehenderit rem uisam et eius motum, et comprehenderit ipsam respicientem aliquod uisibile: deinde comprehenderit ipsam respicientem a- liquod aliud uisibile diuersum a primo, existente uisu in suo loco: sentiet motum illius rei uisae. Respe ctus autem rei uisae motae ad unum solum uisibile est, quando uisus comprehenderit rem uisam motam, et comprehenderit situm eius respectu alterius uisibilis: deinde comprehenderit situm eius, qui muta- tus est respectu illius alterius uisibilis: aut quod est remotius: aut quod propinquius: aut quod est in parte altera, uisu existente in suo loco: aut per mutationem situs alicuius partis rei uisae motae, respectu illius uisibilis immoti: aut per mutationem situs partium eius respectu uisibilis illius: et se- cundum istum ultimum modum comprehendit uisus motum uisibilis moti circulariter, quando ho- mo comparauerit ipsum ad aliud uisibile. Cum ergo uisus comprehenderit situm rei uisae motae, aut situm partium eius, aut situm alicuius partis eius: comprehendet motum rei uisę motae. Respectus autem rei uisae motae ad ipsum uisum est, quando uisus comprehendit rem uisam motam, comprehendet ubi- tatem eius et remotionem eius a uisu: et cum uisus fuerit quietus, et res uisa fuerit mota: tunc muta- bitur situs rei uisae motae respectu uisus. Si ergo motus rei uisae fuerit secundum spatium latum: mu- tabitur ubitas eius, et sentiet uisus mutationem ubitatis. Et cum uisus senserit mutationem ubita- tis eius, uisu quiescente, sentiet motum eius. Et si motus rei uisae fuerit in longitudine extensa inter ipsum et uisum: tunc res uisa aut elongabitur a uisu per motum, aut appropinquabit. Et cum uisus sen- serit elongationem aut appropinquationem eius, uisu existente in suo loco: uisus sentiet motum e- ius. Et si motus rei uisae fuerit circularis, necessario mutabitur pars rei uisae eius, quę opponitur ui- sui: et cum illa pars rei uisae fuerit mutata, et senserit uisus mutationem eius, uisu existente in suo lo co: sentiet motum rei uisae. Secundum ergo istos modos comprehendit uisus motum, quando ui- sus fuerit fixus in suo loco. Et uisus comprehendet etiam motum secundum quemlibet istorum mo- dorum, quamuis uisus etiam moueatur. Et hoc erit quando uisus senserit diuersitatem situs rei ui- sae motae, sentiendo, quod illa diuersitas non est propter motum eius, et distinguendo inter diuersi tatem situs, quae accidit illi rei propter motum illius rei uisae, et inter diuersitatem situs, quę accidit ei propter motum uisus. Cum ergo uisus senserit diuersitatem situs rei uisae, et senserit, quod diuer- sitas eius situs non est propter motum uisus: sentiet motum rei uisae. Et forma rei uisae motae moue tur etiam in uisu propter motum eius: sed uisus non comprehendit motum rei uisae ex motu suae for- mae in uisu tantum: imo uisus non comprehendit motum rei uisae, nisi ex comparatione rei uisae ad aliam secundum modos, quos declarauimus: quoniam forma rei uisae quiescentis aliquando moue- tur in uisu cum quiete rei uisae, et inde uisus non comprehendit ipsam motam. Quoniam uisus quan- do mouebitur super oppositionem rerum uisarum: mouebitur forma cuiuslibet rei uisae oppositae uisui in superficie uisus apud motum eius, siue quiescat, siue moueatur. Et quia uisus iam assuefactus est ad motum formarum rerum uisarum in superficie eius cum quiete illarum rerum uisarum: non iudicabit motum rei uisae propter motum formae eius, nisi quando in uisum peruenerit forma ali- cuius rei uisae, et comprehenderit uisus diuersitatem situs formae rei uisae motae, respectu alterius for- mae rei uisae: aut ex mutatione formarum in eodem loco uisus, qui erit in loco circulari. Motus er- go non comprehenditur a uisu, nisi secundum modos, quos distinximus.

50. Qualitas motus percipitur e spatio, per quod uisibile mouetur. 711111 p 4.

COmprehensio autem qualitatis motus est ex comprehensione spatij, super quod mouetur res ui- sa, quando res uisa mouebitur secundum se totam. Et uisus certificat qualitatem motus, quan- do certificauerit figuram spatij, super quod mouetur res uisa mota. Et cum res uisa mouebi- tur circulariter: uisus comprehendet motum eius esse circularem ex comprehensione mutationis partium eius sequentium uisum apud aliquam rem uisam: aut ex respicientia alicuius partis illius ad diuersa uisibilia, unum post alterum: aut ad partes unius rei uisae unam partem post aliam, cum quiete totalitatis rei uisae in suo loco. Et si motus rei uisae fuerit compositus ex motu circulari et lo cali, uisus comprehendet illum esse compositum ex comprehensione mutationis partium rei uisae motae respectu uisus, aut respectu alterius rei uisae cum comprehensione motus totalitatis rei uisae a suo loco. Secundum ergo istos modos uisus comprehendit qualitates motus uisibilium.

51. Motus uisibilis percipitur in tempore sensili.

ET uisus non comprehendit motum, nisi in tempore: quoniam motus non est, nisi in tempore: et omnis pars motus non est, nisi in tempore. Et uisus non comprehendit motum rei uisae, ni- si ex comprehensione rei uisae in duobus locis diuersis, aut secundum duos situs. Locus au- tem et situs rei uisae non diuersantur, nisi in temporibus. Cum ergo uisus comprehenderit rem ui- sam in duobus locis diuersis, aut in duobus sitibus diuersis, non est, nisi in duabus horis diuersis. Sed inter quaslibet horas duas diuersas est tempus medium. Visus ergo non comprehendit motum, nisi in tempore. Et etiam dicemus quod tempus, in quo uisus comprehendit motum, non erit, nisi sensibile: quoniam uisus non comprehendit motum, nisi ex comprehensione rei uisae in duobus locis diuersis in uno loco post alium: aut secundum duos situs diuersos unum situm post alium. Cum ergo uisus comprehen- derit rem uisam motam in suo loco secundo, et non comprehenderit tunc ipsam in primo loco, in quo comprehendit ante ipsam: statim sentiet sentiens, quod hora, in qua comprehendit ipsam in secundo lo co, est diuersa ab hora, in qua comprehendit ipsam in primo loco. Quare sentiet diuersitatem duarum horarum. Et similiter quando comprehenderit motum ex diuersitate situs rei uisae. Quoniam si com- prehenderit rem uisam motam secundum situm, et non comprehenderit ipsam tunc secundum pri- mum situm, secundum quem comprehendit ipsam ante: statim sentiet diuersitatem duarum hora- rum. Quare sentiet tempus quod est inter ipsas. Tempus ergo, in quo uisus comprehendit motum, est sensibile necessario. Et cum omnes istae intentiones sint declaratę, narremus modo quod coacer uatur ex eis. Dicemus ergo: quod uisus comprehendit motum ex comprehensione rei uisę motę se- cundum duos situs diuersos, in duabus horis diuersis, inter quas est tempus sensibile: et haec est quali tas comprehensionis motus a uisu. Et uisus comprehendit diuersitatem motuum secundum ueloci- tatem et tarditatem, et aequalitatem motuum ex comprehensione spatiorum, super quae mouentur uisibilia mota. Cum ergo uisus comprehenderit duo uisibilia mota, et comprehenderit spatia, super quae mouentur illa duo uisibilia, et senserit quod alterum duorum spatiorum, quae a duobus uisibili bus motis pertranseuntur in eodem tempore, est maius altero, sentiet uelocitatem rei uisae motae transeuntis super maius spatium. Et cum duo spatia, super quae mouentur uisibilia, sunt pertransita in duobus temporibus aequalibus, et senserit uisus aequalitatem illorum spatiorum, sentiet aequali- tatem duarum rerum motarum. Et similiter, si uisus senserit aequalitatem duorum spatiorum cum inae- qualitate duorum temporum duorum motuum: sentiet uelocitatem motus rei motae transeuntis per spatium in minore tempore. Et similiter quando duo mota transierint in duobus temporibus aequa libus per duo spatia aequalia, et senserit uisus aequalitatem temporis et aqualitatem spatiorum: sentiet aequalitatem duorum motuum. Iam diximus, qualiter uisus comprehendat motum, et distinguat mo- tum, et qualitatem eius, et aequalitatem et inaequalitatem eius.

52. Quies percipitur e uisibili, eundem situm locumque tempore sensili occupante. 112 p 4.

QVies autem comprehenditur a uisu ex comprehensione rei uisę in tempore sensibili in eo- dem loco et in eodem situ. Cum ergo uisus comprehenderit uisum in eodem loco, et secundum eundem situm in duabus horis diuersis, inter quas est tempus sensibile: comprehendet rem uisam in illo tempore quiescentem. Et uisus comprehendit situm rei uisae quiescentis respectu alterius rei uisę, et respectu ipsius uisus. Secundum ergo hunc modum erit comprehensio quietis uisibilium a uisu.

53. Asperitas percipitur e luce asperam superficiem illuminante. 139 p 4.

ASperitas uero comprehenditur a uisu in maiori parte ex forma lucis apparentis in superficie corporis asperi: quoniam asperitas est diuersitas situs partium superficiei corporis. Quare lux quando oritur super superficiem illius corporis, partes prominentes facient umbram in maio- ri parte. Et cum lux peruenerit in partes profundas, erunt cum eo etiam umbrę, et partes prominen tes erunt manifestae luce, et discoopertae luce Et cum in partes profundas ueniunt umbrae, et super prominentes non fuerit aliqua umbra: diuersabitur forma lucis in superficie illius corporis. In su- perficie autem plana non est ita: quoniam superficiei planae partes sunt consimilis situs: et cum lux orietur super ipsas, erit forma lucis in tota superficie consimilis. Forma ergo lucis in superficie cor- poris asperi est diuersa a forma lucis iu superficie plana. Et uisus cognoscit formam lucis, quae est in superficiebus asperis, et formam lucis, quae est in superficiebus planis propter frequentationem ui- sionis superficierum asperarum et planarum. Cum ergo uisus senserit lucem, quae est in superficiebus corporis secundum modum, quem assueuit in superficiebus asperis: iudicabit asperitatem illius corpo- ris: et cum senserit lucem in superficie corporis secundum modum, quem assueuit in superficiebus planis: iudicabit planitiem in superficiebus illius corporis. Et cum asperitas fuerit extranea: erunt partes prominentes alicuius quantitatis: et sic uisus comprehendet prominentiam illarum partium: et comprehendet situm superficiei corporis ex comprehensione distantiae, quae est inter partes. Et cum uisus comprehenderit diuersitatem situum partium superficiei corporis: comprehendet asperi- tatem eius sine indigentia ad considerandum lucem. Et etiam quando asperitas corporis fuerit ex- tranea, et oritur super ipsam lux: erit forma lucis in superficie eius diuersa maxima diuersitate. Vi- debitur ergo ex diuersitate lucis distantia partium et diuersitas situs earum: et ex hoc apparebit a- speritas corporis. Si ergo lux oriens super corpus asperum, fuerit ex parte opposita superficiei aspe- rae, et fuerit lux fortis: non comprehendet uisus asperitatem huius corporis, nisi quando compre- henderit prominentiam quarundam partium et profunditatem quarundam. Si ergo asperitas hu- ius corporis fuerit extranea, id est, maxima: comprehendet uisus distantiam partium et diuersita- tem situs earum, et comprehendet asperitatem corporis in maiori parte. Si autem asperitas fuerit modica, et partes fuerint profundae, et pori illius corporis in ultimitate paruitatis: latebit uisum in maiori parte, et nunquam uisus comprehendet asperitatem huius corporis, nisi in magna appropin quatione cum intuitu partium superficiei corporis. Cum ergo uisus distinxerit distantiam partium huiusmodi corporis, et prominentiam et profunditatem illarum: comprehendet asperitatem eius. Si autem uisus non distinxerit distantiam partium eius, nec prominentiam et profunditatem par- tium eius: non comprehendet asperitatem eius. Asperitas ergo comprehenditur a uisu ex compre- hensione diuersitatis situum partium superficiei corporis, aut ex forma lucis, quam uisus assueuit ui- dere in superficiebus corporum asperorum. Et uisus cognoscit etiam asperitatem ex praenotione consimilitudinis. Cum ergo uisus nihil senserit in corpore, ex consimilitudine, iudicabit eius aspe- ritatem. Sed multoties errat uisus in asperitate, quando uoluerit cognoscere ipsam per istam inten- tionem: quoniam erit superficies tersa, et non apparet eius tersitudo: quoniam tersitudo non appa- ret, nisi in situ proprio.

54. Lenitas percipitur e luce lenem superficiem illuminante. 140 p 4.

PLanities autem et aequalitas superficiei corporis comprehenditur a uisu in maiori parte ex forma lucis apparentis in superficie corporis plani, quam assueuit uidere in superficiebus pla- nis. Et cum lux, quae est in superficiebus corporis, fuerit consimilis formae: cognoscet per i- psam planitiem superficiei. Et uisus comprehendit aliquando planitiem per intuitum etiam. Cum ergo uisus intuebitur superficiem corporis plani, comprehendet aequalitatem partium eius: et sic comprehendet planitiem. Tersitudo autem (et est fortis planities) comprehenditur a uisu ex scin- tillatione lucis in superficie corporis sui. Planities ergo comprehenditur a uisu ex comprehensio- ne aequalitatis superficiei. Aequalitas autem superficiei comprehenditur a uisu in maiori parte ex similitudine formae lucis in superficie corporis. Et tersitudo comprehenditur a uisu ex scintilla- tione lucis in superficie corporis, et ex situ, secundum quem reflectitur lux. Et forte simul aggre- gatur asperitas et planities in eadem superficie, scilicet quod sint in superficie alicuius corporis par tes diuersi situs, profundae et prominentes, et sint partes cuiuslibet partium diuersi situs prominen tium et profundarum ad quasdam partes, uel ad partes quarundam consimilis situs, ita ut tota su- perficies sit aspera, et partes eius, aut quaedam sint planae. Et asperitas huiusmodi superficiei com- prehenditur a uisu ex comprehensione diuersitatis situs partium prominentium et profundarum. Et planities partium comprehenditur a uisu in superficiebus partium. Et aliquando uisus compre- hendit planitiem huiusmodi partium per intuitionem, et ex comprehensione consimilitudinis su- perficiei cuiuslibet illarum. Et secundum istos modos comprehendit uisus planitiem et tersitudi- nem et asperitatem.

55. Perspicuitas percipitur e perceptione corporis densi ultra corpus perspicuum positi. 142 p 4.

DIaphanitas autem comprehenditur a uisu per argumentationem ex comprehensione illius, quod est ultra corpus diaphanum. Et diaphanitas corporis diaphani non comprehenditur a uisu, nisi quando fuerit in eo spissitudo quaedam, et fuerit diaphanitas eius spissior, dia- phanitate aeris interiacentis inter uisum et ipsum. Si autem fuerit in fine diaphanitatis, non com- prehendet uisus diaphanitatem eius, et non comprehendet, nisi illud, quod est ultra ipsum tantum. Et cum in eo fuerit quaedam diaphanitas: comprehendetur a uisu propter illud, quod est de spissi- tudine in eo, et diaphanitas eius comprehendetur ex comprehensione illius, quod est ultra ipsum. Quoniam quando ultra corpus diaphanum fuerit lux aut corpus coloratum illuminatum, uidebi- tur ultra corpus diaphanum. Et uisus non sentit diaphanitatem corporis, quando senserit illud, quod est ultra ipsum, nisi cum senserit quod color et lux, quae comprehenduntur ultra corpus dia- phanum, est lux et color ultra corpus diaphanum, et non est color et lux ipsius corporis: si autem non: non sentiet diaphanitatem corporis diaphani. Si ergo ultra corpus diaphanum non fuerit lux, nec corpus illuminatum, nec in circuitu eius, et non apparuerit ultra ipsum, neque in aliqua alia par- te lux aut color: diaphanitas illius corporis non comprehenditur. Et hoc erit quando corpus dia- phanum fuerit applicatum cum aliquo corpore spisso, et illud corpus spissum continuerit ipsum, aut respexerit ipsum, et fuerit quoque corpus diaphanum obscuri coloris: quoniam tunc uisus non sentiet diaphanitatem huius corporis. Et similiter quando ultra corpus diaphanum fuerit locus ob- scurus, et non apparuerit ultra ipsum aliqua lux: non comprehendetur diaphanitas eius. Cum ergo uisus senserit, quod color, qui comprehenditur ultra corpus diaphanum, est color corporis ultra cor- pus diaphanum, sentiet diaphanitatem corporis diaphani. Et similiter quando corpus diaphanum fuerit debilis diaphanitatis, et fuerit corpus, quod est ultra ipsum, et corpora quae sunt in circuiu e- ius, debilis lucis: tunc diaphanitas eius non comprehenditur a uisu, nisi apponatur forti luci. Cum autem cognoscet lucem ultra ipsum: comprehendet diaphanitatem. Secundum ergo istos modos comprehendet uisus diaphanitatem corporum diaphanorum.

56. Densitas percipitur e perspicuitatis priuatione. 14 3 p 4.

SPissitudo comprehenditur a uisu ex priuatione diaphanitatis. Cum ergo uisus comprehenderit corpus, et non senserit in ipso aliquam diaphanitatem, arguet eius spissitudinem.

57. Vmbra percipitur e lucis unius absentia, alterius praesentia. 145 p 4.

VMbra uero comprehenditur a uisu respectu lucis illuminantis, aut partis lucis illuminantis. Quoniam enim umbra est priuatio quarundam lucium cum illuminatione loci umbrę ab ex- tranea luce priuata a loco umbrae: Itaque cum senserit uisus illud, quod est uicinum ipsi, et fue- rit super illud corpus uicinum lux fortior luce, quae est in loco umbrae, sentiet umbrationem illius loci, et priuationem a luce oriente super corpus uicinum illi. Quoniam quando uisus senserit aliquam lucem in aliquo loco: et caruerit ille locus luce solis, aut aliqua luce forti: sentiet obumbrationem illius loci et priuationem a luce solis, aut ab alia luce forti. Et forte uisus sentiet corpus faciens umbram, et forte non distinguetur ab eo statim corpus obumbrans, sed tandem, quando uisus comprehenderit lo- cum, in quo est lux debilis, et comprehenderit ultima corpora in loco lucis debilis esse fortioris lucis il- la luce debili: sentiet statim umbram illius loci. Secundum ergo hunc modum uisus comprehendit umbram.

58. Obscuritas percipitur e lucis priuatione et absentia. 146 p 4.

OBscuritas uero comprehenditur a uisu per argumentationem ex priuatione lucis. Cum er- go uisus comprehenderit aliquem locum, et non comprehenderit in eo aliquam lucem, sen- tiet obscuritatem eius.

59. Pulchritudo percipitur tum e singulis uisibilibus speciebus, tum e pluribus simul coniun ctis, symmetris inter se. 148 p 4.

PVlchritudo autem comprehenditur a uisu ex comprehensione intentionum particularium, quarum comprehensionis qualitas est declarata ante. Nam unaquaeque intentionum particu- larium praedictarum faciet per se aliquem modum pulchritudinis, et coniugationes illarum faciunt etiam alios modos pulchritudinis. Et uisus non comprehendit pulchritudinem, nisi in for- mis uisibilium, quae comprehenduntur per sensum uisus. Et formae uisibilium sunt compositae ex inten tionibus particularibus, quarum distinctio iam est declarata. Et uisus comprehendit formas ex com- prehensione istarum intentionum. Ipse ergo comprehendit pulchritudinem ex comprehensione istarum intentionum. Modi autem pulchritudinis, qui comprehenduntur a uisu in formis uisibi- lium, sunt multi. Quaedam ergo uisibilia habent unam caussam ex intentionibus particularibus, quę sunt in forma: et caussa quorundam non est, nisi intentionum inter se coniunctio, non ipsae inten- tiones: et caussa quorundam est composita ex intentionibus et ex compositione illarum. Et uisus comprehendit quamlibet intentionum, quae sunt in qualibet forma per se: et comprehendit ipsas compositas: et comprehendit compositionem et coniugationem illarum. Visus ergo comprehen- dit pulchritudinem secundum diuersos modos. Et omnes modi, ex quibus uisus comprehendit pulchritudinem, reuertuntur ad comprehensionem intentionum particularium. Si uero istae in- tentiones particulares faciunt pulchritudinem: etiam compositae similiter. Et est dicere: facere pul chritudinem, est inducere dispositionem in anima, qua uidebitur ei, quod sit res pulchra, quae ui- detur. Et hoc apparebit per modicam inspectionem: quoniam lux facit pulchritudinem: et pro- pter hoc apparebunt pulchra sol, luna et stellae: et non est in sole, luna et stellis causa, propter qaim apparebunt decora, nisi lux earum. Lux ergo per se facit pulchritudinem. Et color etiam facit pulchritudinem. Quoniam quilibet color scintillans sicut uiridis et roseus, et his similes ap- parebunt pulchri uisui, et delectatur uisus eis. Et propter hoc apparebunt pulchri panni tincti, et flores, et uiridia. Color ergo per se facit pulchritudinem. Et remotio etiam aliquando facit pulchri- tudinem accidentaliter. Quoniam in quibusdam formis pulchris sunt maculę et rugae, quae faciunt turpitudinem in formis: et cum elongabuntur a uisu, latent illae intentiones subtiles, quae faciunt turpitudinem in illis formis, et apud latentiam illarum intentionum apparebit pulchritudo illius formae. Et similiter etiam in multis formis pulchris sunt intentiones subtiles, per quas forma est pulchra, sicut lineatio et ordinatio, et multae istarum intentionum latent uisum in multis remotio- nibus mediocribus: et quando sunt prope uisum, apparebunt illę intentiones subtiles uisui, et appa rebit pulchritudo formae. Remotio ergo et appropinquatio faciunt pulchritudinem. Et situs aliquan- do facit pulchritudinem: et plures intentiones pulchrae non apparent pulchrae, nisi propter ordi- nem et situm tantum. Quoniam omnes distinctiones ordinatae quasi punctatae non apparent pul- chrae, nisi propter ordinem. Et scriptura non apparet pulchra, nisi propter ordinationem: quoniam pulchritudo non est, nisi ex directione figurarum literarum, et ex compositione earum inter se. Si autem compositio literarum et ordinatio non fuerit secundum unam proportionem, scilicet, ut u- na magna, alia parua: tunc non erit pulchra scriptura, quamuis figurae literarum per se sint bene po sitae. Et aliquando apparet scriptura pulchra, quando compositio eius fuerit proportionalis, quam- uis literae non sint in fine bonae dispositionis. Et similiter plures formae uisibilium non apparent pulchrae, nisi propter dispositionem et ordinationem partium inter se. Et corporeitas etiam facit pulchritudinem: et propter hoc apparent pulchra corpora hominum et multorum animalium. Et figura facit pulchritudinem: et propter hoc luna, et formae pulchrae hominum et multorum anima- lium, et arborum, et plantarum non apparent pulchrae, nisi propter formas eorum, aut propter fi- guras partium eorum, aut propter eorum figuras, aut propter figuras partium formae. Et magnitu- do facit pulchritudinem: et propter hoc apparet luna pulchrior stellis, et stellae magnae pulchrio- res stellis paruis. Et diuisio facit pulchritudinem: et propter hoc stellae separatae sunt pulchriores stellis extensis, et pulchriores stellis galaxiae: et propter hoc candelae distinctae sunt pulchriores i- gne. Et continuatio etiam facit pulchritudinem: et propter hoc uiridale continuum, et plantae con- tinuae et spissae sunt pulchriores distinctis. Et numerus facit pulchritudinem: et propter hoc loca coeli multarum stellarum sunt pulchriora locis paucarum stellarum: et propter hoc candelae multae in eodem loco faciunt pulchritudinem. Et etiam motus hominis in sermone facit pulchritudinem. Et quies eius facit pulchritudinem: et propter hoc apparet pulchra grauitas et taciturnitas. Et aspe- ritas facit pulchritudinem: et propter hoc apparet uillositas pulchra, ut uillositas in multis pannis. Et planities facit pulchritudinem: et propter hoc apparet pulchrum in pannis. Et diaphanitas facit pulchritudinem: et propter hoc apparent de nocte micantes diaphani. Et spissitudo facit pulchri- tudinem: quoniam color et lux, et figura, et lineatio, et omnes intentiones pulchrae apparentes in formis uisibilium non comprehenduntur similiter a uisu, nisi propter spissitudinem et umbram. Et umbra facit apparere pulchritudinem: quoniam in multis formis uisibilium sunt maculae, et pori subtiles reddentes eas turpes: et cum fuerint in luce solis, apparebunt maculae in eis: quare la- tebit pulchritudo earum: et cum fuerint in umbra aut luce debili, latebunt illae maculae et rugae: quare comprehendetur pulchritudo earum. Et etiam tortuositates, quae apparent in plumis a- uium, et in panno, qui dicitur amilialmon, in umbra non apparent et in luce debili. Et obscuritas facit pulchritudinem apparere: quoniam stellae non apparent, nisi in obscuro: et similiter non ap- paret pulchritudo earum, nisi in nigredine noctis, et in locis obscuris, et latet in luce diei: et stellae in noctibus obscuris sunt pulchriores, quam in noctibus lunae. Et consimilitudo facit pulchritudi- nem: quoniam membra animalis eiusdem speciei, ut oculus oculo, non apparent pulchra, nisi quan do fuerint consimilia: quoniam oculi, quando fuerint diuersae figurae, scilicet quod unus sit rotun- dus, et alter longus, erunt in fine turpitudinis: et etiam si unus fuerit niger et alter uiridis, erunt etiam tur pes: et similiter si unus fuerit maior altero. Et similiter si una gena fuerit profunda, et altera pro- minens, erunt in fine turpitudinis. Et similiter quando unum superciliorum fuerit grossum, et al- terum subtile, aut unum illorum longum, et alterum breue, erunt turpia. Omnia ergo membra ani- malium uniusmodi non erunt pulchra, nisi cum fuerint consimilia. Et similiter literae et picturae non apparent pulchrae, nisi quando literae fuerint, quae sunt uniusmodi: et partes illarum, quae sunt uniusmodi, consimiles. Et diuersitas facit pulchritudinem: quoniam figurae membrorum anima- lis sunt diuersarum partium, et non sunt pulchrae, nisi propter illam diuersitatem. Quoniam si na- sus totus esset eiusdem grossitudinis, esset in fine turpitudinis: et pulchritudo eius non est, nisi pro- pter diuersitatem duorum extremorum eius, et eius pyramidalitatem. Et similiter pulchritudo su- perciliorum non est, nisi quando extrema eorum fuerint subtiliora residuis anterioribus. Et simi- liter omnia membra animalium quando aspiciuntur: inuenitur quod pulchritudo eorum non est, nisi ex diuersitate figurarum partium eorum. Et similiter scripturae: quoniam si partes scriptu- rae essent aequalis grossitudinis, non apparerent pulchrae: quoniam extrema literarum non appa- rent pulchra, nisi quando fuerint subtiliora residuo. Quoniam si extrema literarum et media ea- rum, et continuatio earum essent unius spissitudinis: esset scriptura in fine turpitudinis. Diuersi- tas ergo facit pulchritudinem in multis formis uisibilium. Iam ergo declaratum est ex eo, quod di- ximus, quod unaquaeque intentionum particularium, quando comprehenditur per sensum uisus, aliquando facit pulchritudinem per se. Et cum sermo fuerit factus de multis corporibus inductiue per se: cum inducentur omnia corpora: inuenietur, quod quaelibet istarum intentionum facit pul- chritudinem in multis locis. Et non diximus, ea quae diximus, nisi gratia exempli, et ut possent acquiri alia exempla per ista. Sed tamen istae intentiones non faciunt pulchritudinem in omnibus locis, neque una istarum intentionum facit pulchritudinem in qualibet forma, in quam peruenit illa intentio, sed in quibusdam formis, et in quibusdam non. Verbi gratia: non quaelibet magni- tudo facit pulchritudinem in quolibet corpore alicuius magnitudinis: et similiter non quili- bet color facit pulchritudinem: neque uiridis color facit pulchritudinem in quolibet corpore, in quod peruenit ille color: et similiter non quaelibet figura facit pulchritudinem. Et quaelibet illa- rum intentionum, quas diximus, facit pulchritudinem per se, sed in quibusdam locis, et in quibus- dam non, et secundum quosdam modos, et secundum alios non. Et etiam istae intentiones faciunt pulchritudinem per coniunctionem illarum inter se: quoniam scriptura pulchra est illa, cum figu- rae literarum sunt pulchrae, et compositio illarum inter se est compositio pulchra: quoniam scri- ptura, in qua adunantur istae duae intentiones, est pulchrior scriptura, in qua est una istarum dua- rum intentionum tantum. Finis ergo pulchritudinis scripturae non est, nisi ex coniugatione figu- rae et situs. Et similiter quando colores scintillantes et picturae fuerint ordinatae ordinatione con- simili, sunt pulchriores coloribus et picturis carentibus ordinatione consimili. Et similiter pul- chritudo apparet in forma hominum et animalium ex coniugatione intentionum particularium, quae sunt in eis. Quoniam magnitudo oculorum mediocris cum figura eius amygdalata est pul- chrior oculo, qui non habet, nisi magnitudinem tantum aut figuram amygdalatam tantum. Et si- militer rotunditas faciei cum tenuitate et subtilitate cutis et coloris, est pulchrior quam unum si- ne altero. Et similiter paruitas oris cum subtilitate labiorum et mediocritate, est pulchrior paruita- te oris cum grossitudine labiorum: et pulchrior gracilitate labiorum cum amplitudine oris. Et ista inten- tio est multae diuersitatis, et multorum modorum. Et cum feceris inductionem in formis pulchris omnium modorum uisibilium: inuenies quod coniunctio intentionum particularium, quae sunt in formis, facit in eis modos pulchritudinis, quos non facit una intentionum per se. Et pulchritudo in maiori parte non fit, nisi ex coniunctione istarum intentionum inter se. Quoniam intentiones particulares, quas diximus, faciunt pulchritudinem per se, et faciunt pulchritudinem per coniunctionem earum inter se. Et etiam pulchritu- do fit ex alia intentione praeter istas duas intentiones, quas praediximus: et est proportionalitas et consonoritas. Quoniam formae compositae ex membris diuersis, et partibus diuersis, habent fi- guras diuersas, et magnitudines diuersas, et situs diuersos, et continuationem et coniunctionem, et perueniunt in quamlibet illarum multae intentiones particulares, tamen omnes non sunt pro- portionales. Quoniam non quaelibet figura est pulchra cum qualibet figura: nec quaelibet magni- tudo est pulchra cum qualibet magnitudine: neque quilibet situs est pulcher cum quolibet situ: neque quaelibet figura cum qualibet magnitudine: neque quaelibet magnitudo cum quolibet si- tu. Sed quaelibet intentionum particularium habet proportionem cum quibusdam intentionibus, et est asymmetra quibusdam. Verbi gratia: Simitas nasi cum profunditate oculorum non est pul- chra: et similiter magnitudo nasi cum magnitudine oculorum non est pulchra: et similiter pro- minentia frontis cum profunditate oculorum non est pulchra: et similiter frontis planities cum prominentia oculorum non est pulchra. Quodlibet ergo membrorum habet figuram, quae facit formam eius pulchram: et etiam quaelibet figura cuiuslibet membri non habet proportionem, ni- si cum quibusdam figuris residuorum membrorum, et cum alijs non. Et forma fit pulchra per con- gregationem figurarum proportionalium: et similiter magnitudines et situs, et ordinatio eorum. Quoniam magnitudo oculorum cum pulchritudine figurae eorum, et cum mediocritate simita- tis nasi, et cum magnitudine proportionali ad magnitudinem oculorum, est pulchra. Et simili- ter amygdalitas oculorum, et dulcedo, et tenuitas figurae eius: et si fuerint parui cum subtilitate nasi et mediocritate figurae quantitatis eius, erunt pulchri. Et similiter gracilitas labiorum cum subtilitate oris est pulchra, quando gracilitas oris fuerit proportionalis ad gracilitatem labiorum: scilicet quod labia non sint in fine gracilitatis, et os non in fine paruitatis, sed erit paruitas oris me- diocris, et labia gracilia, et praeterea proportionalia ad quantitatem oris. Et similiter amplitudo faciei, quando fuerit proportionalis ad quantitates membrorum faciei, erit pulchra: scilicet, quod facies non sit in fine amplitudinis, et membra faciei sint proportionalia ad quantitatem to- tius faciei. Quoniam quando facies fuerit ampla maximae amplitudinis, et membra, quae sunt in ea, sunt parua, non proportionalia ad quantitatem eius: non erit facies pulchra, quamuis quan- titates membrorum sint proportionales, et figurae eorum sint pulchrae. Et similiter quando fue- rit parua facies, et stricta, et membra eius fuerint magna, membra dico faciei: erit facies turpis: et cum membra fuerint proportionalia inter se, et proportionalia ad quantitatem amplitudinis faciei: erit facies pulchra, quamuis membra per se non sint pulchra: sed proportionalitas tantum- modo facit pulchritudinem. Cum ergo in forma congregabitur pulchritudo figurae cuiuslibet partis eius, erit pulchritudo quantitatis et compositionis, et proportionalitas membrorum secundum fi- guras, et magnitudines, et situs: et fuerint praeterea proportionalia ad totam figuram faciei et quantitatem eius, erit in fine pulchritudinis. Et similiter scriptura non erit pulchra, nisi quando fuerint literae eius proportionales in figura, et quantitate, et situ, et ordine. Et similiter est cum o- mnibus modis uisibilium, cum quibus congregantur partes diuersae. Et cum consideraueris for- mas pulchras de omnibus modis uisibilium: inuenies quod proportionalitas facit pulchritudi- nem magis, quam aliqua alia intentio, uel etiam aliquae coniunctae per se. Et cum considerabun- tur intentiones pulchrae, quas faciunt intentiones particulares per coniunctionem earum inter se: inuenietur, quod pulchritudo, quae apparet ex coniunctione illarum inter se, non apparet, nisi propter proportionalitatem illarum intentionum coniunctarum inter se. Quoniam non, quan- docunque adunabuntur illae intentiones, fit pulchritudo, sed in quibusdam formis fit, et in alijs non. Et hoc est propter proportionalitatem, quae contingit inter illas intentiones. Pulchritudo ergo non est, nisi ex intentionibus particularibus, et perfectio eius non est, nisi ex proportiona litate et consonantia, quae fit inter intentiones particulares. Iam ergo declaratum est ex omni, quod diximus, quod formae pulchrae comprehensae a uisu non sunt pulchrae, nisi ex intentionibus particularibus, quae comprehenduntur per sensum uisus, et ex coniunctione earum inter se, et ex proportionalitate earum inter se. Et uisus comprehendit intentiones particulares praedictas sim- plices et compositas. Cum ergo uisus comprehenderit aliquam rem uisam, et fuerit aliqua inten- tio in illa re uisa particularis, faciens pulchritudinem per se aliquam: et intueatur uisus illam in- tentionem per se: perueniet forma illius intentionis post intuitum apud membrum sentiens, et comprehendet uirtus distinctiua pulchritudinem rei uisae, in qua est illa intentio. Quoniam ue- ro forma cuiuslibet rei uisę est composita ex multis intentionibus earum intentionum, quarum di- uisionem praediximus: cum ergo uisus comprehenderit rem uisam, et non distinxerit intentio- nes, quae sunt in ea: non comprehendet pulchritudinem eius: et cum distinxerit intentiones, quae sunt in ea, et fuerit aliqua intentio earum, quae sunt in ea, secundum modum facientem pulchri- tudinem in anima: statim uisus apud intuitionem illius intentionis comprehendet illam intentio- nem per se. Et cum comprehenderit illam intentionem per se: perueniet illa comprehensio apud membrum sentiens: et sic uirtus distinctiua comprehendet pulchritudinem, quae est in ea: et per istam comprehensionem comprehendet pulchritudinem illius rei uisae. Cum ergo uisus compre- henderit aliquam rem uisam, et in illa re uisa fuerit pulchritudo composita ex intentionibus coniun ctis: et fuerit uisus intuitus illam rem uisam: et distinxerit intentiones, quae sunt in ea: et compre- henderit intentiones, quae faciunt pulchritudinem per coniunctionem earum inter se, aut propor- tionalitatem earum inter se: et peruenerit illa comprehensio apud membrum sentiens: et compa- rauerit uirtus distinctiua illas intentiones inter se: comprehendet pulchritudinem illius rei uisae compositam ex coniunctione intentionum, quae sunt in ea. Visus ergo comprehendet pulchritu- dinem, quae est in uisibilibus ex compositione illarum intentionum inter se secundum modum, quem declarauimus.

60. Deformitas percipitur tum e singulis uisibilibus speciebus, tum e pluribus simul coniun- ctis, asymmetris inter se. 149 p 4.

TVrpitudo uero est forma carens intentione qualibet pulchra. Quoniam enim iam praedictum est, quod intentiones particulares faciunt pulchritudinem, sed non in omnibus locis, nec in omnibus formis, sed in alijs, et in alijs non: et similiter proportionalitas non est in omni- bus formis, sed in quibusdam formis, et in quibusdam non. Formae ergo, in quibus non faciunt in- tentiones particulares pulchritudinem aliquam per se, nec per suam coniunctionem, et in quibus non est aliqua proportionalitas inter partes earum, carent omni pulchritudine: et sic sunt turpes: quoniam turpitudo formarum est priuatio pulchritudinis in eis. Et forte aggregantur in eadem forma intentiones pulchrae et turpes: sed uisus comprehendit pulchritudinem ex pulchro, et tur- pitudinem ex turpi, quando distinxerit, et fuerit intuitus intentiones quae sunt in ea. Turpitudo er- go comprehenditur a uisu in formis carentibus omnibus pulchritudinibus, ex priuatione pulchri- tudinis apud comprehensionem.

61. Similitudo percipitur e uisibilium inter se conuenientia. 151 p 4.

COnsimilitudo autem est aequalitas duarum formarum aut duarum intentionum in re, in qua sunt consimiles. Cum ergo uisus comprehenderit duas formas, aut duas intentiones consi- miles: simul comprehendet consimilitudinem ex illarum comprehensione cuiuslibet dua- rum formarum, uel intentionum, et ex compcrationecomparatione alterius illarum ad alteram. Visus ergo com- prehendit consimilitudinem in formis, uel intentionibus consimilibus ex comprehensione cuiusli bet formarum uel intentionum secundum suum esse, et ex comparatione illarum inter se.

62. Dissimilitudo percipitur e priuatione similitudinis et conuenientiae uisibilium inter se. 152 p 4.

DIuersitas autem comprehenditur a uisu in formis diuersis ex comprehensione cuiuslibet for marum diuersarum, et ex comparatione alterius illarum ad alteram, et ex comprehensione pri uationis aequalitatis, id est consimilitudinis in eis. Diuersitas ergo comprehenditur per sen- sum uisus ex comprehensione cuiuslibet formarum et intentionum per se, et ex comparatione ea rum inter se, et ex sensu priuationis aequalitatis a sentiente. Iam ergo compleuimus, et declarauimus declarationem qualitatis comprehensionis cuiuslibet intentionum particularium, quae comprehenduntur per sensum uisus. Et declaratum est ex omnibus his, quod quaedam intentiones particulares comprehen- duntur solo sensu: et quaedam comprehenduntur per cognitionem: et quaedam per argmentationem et 67 significationem secundum uias, quarum declarationem praediximus. Et istae sunt intentiones, qua- rum declarationem intendimus in hoc opere.

DE DIVERSITATE COMPREHENSIONIS VISVS AB intentionibus particularibus. Cap. III.

63. Visus plures uisibiles species simul percipit. 2 p 4.

IAm declaratum est, quomodo uisus comprehendat quamlibet intentionum particularium, quae comprehenduntur per sensum uisus. Et uisus non comprehendit nisi formas uisibilium, quae sunt corpora: sed formae uisibilium sunt compositae ex intentionibus particularibus praedictis, sicut, figura, et magnitudine, et colore, et situ, et ordine, et similibus. Visus ergo non comprehendit quamlibet intentionum, nisi ex comprehensione formarum uisibilium compositarum ex intentio- nibus particularibus: et uisus comprehendit quamlibet formarum uisibilium secundum intentio- nes particulares, quae sunt in formis uisibilibus: et nihil comprehendit uisus ex intentionibus par- ticularibus per se: quoniam nulla intentionum praedictarum est sola per se. Nam omnes istae parti- culares intentiones non inueniuntur, nisi in corporibus, et nullum corpus est, in quo est aliqua ista- rum intentionum sola sine alia. Visus ergo non comprehendit nisi formas uisibilium: sed quaelibet formaformarum uisibilium est composita ex multis intentionibus particularibus. Ergo uisus comprehendit in qualibet formarum uisibilium multas intentiones particulares, quae distinguuntur in imagina- tione. Vsus ergo comprehendit quamlibet intentionum particularium apud uisionem rei uisae, con- iunctam cum intentione aliqua particulari: deinde ex distinctione eius inter intentiones, quae sunt in forma, comprehendit quamlibet intentionum per se.

64. Visio fit aspectu, aut obtutu. 51 p 3.

ET iam declaratum est, et determinatum, qualiter uisus comprehendat formas uisibilium, quae componuntur ex intentionibus particularibus. Et quędam intentiones particulares, ex qui- bus componuntur formae uisibilium, apparent apud aspectum rei uisae: et quaedam non ap- parent, nisi post intuitionem et considerationem subtilem: sicut scriptura subtilis, et lineatio subti- lis, et diuersitas colorum consimilium fere. Et generaliter omnes intentiones subtiles non appa- rent uisui apud aspectum rei uisae, sed post intuitionem et considerationem. Et forma rei uisae com- prehensa per sensum uisus, est illa quae componitur ex omnibus intentionibus particularibus, quae sunt ex forma rei uisae, quas possibile est uisum comprehendere. Et uisus non comprehendit ue- ram formam rei uisae, nisi per comprehensionem omnium intentionum particularium, quae sunt in forma rei uisae. Et cum ita sit, forma ergo uera rei uisae, in qua sunt intentiones subtiles, non com- prehenditur a uisu, nisi post intuitionem. Et cum uisus non comprehendat subtiles intentiones, nisi per intuitionem, et non appareant intentiones subtiles uisui apud aspectum rei uisae: quando igi- tur uisus comprehenderit aliquam rem uisam, et comprehenderit formam eius, et fuerint in illa re uisa subtiles intentiones, non apparent illae per aspectum, sed per intuitionem. Cum ergo uisus com- prehenderit aliquam rem uisann, et non fuerit in ea aliqua intentio subtilis: comprehendet ueram eius formam: quamuis non certificabit, quod illa forma est uera, nisi postquam habuerit fortem in- tuitionem super quamlibet partem illius rei uisae, et certificauerit, quod nulla intentio subtilis est in ea, et tunc certificabit quod forma, quam comprehendit, est uera forma. Secundum ergo omnes dispositiones non certificat uisus formam rei uisae, nisi per considerationem omnium partium rei uisae, et per intuitionem omnium partium, quae possunt apparere in re uisa. Et quia hoc est decla- ratum, dicamus quod comprehansio uisibilium erit secundum duos modos, qui sunt comprehen- sio superficialis, et comprehensio per intuitionem, quae profundum aspicit. Quoniam quando ui- sus aspicit rem uisam, comprehendit intentiones manifestas, quae sunt in ea apud aspectum: dein- de si praeter illud inspexerit ipsam, et considerauerit omnes partes eius, certificabit formam eius: si autem non intuetur partes eius, non comprehendet formam certificatam. Et illa forma, quae est in uisu, aut erit uera eius forma, sed uisus non certificat, quod sit uera eius forma: aut non erit forma eius uera Et cum ita sit, comprehensio ergo uisibilium erit secundum duos modos: et est compre- hensio superficialis, quae est in primo aspectu, et comprehensio, quae est per intuitionem. Compre- hensio autem per primum aspectum, est comprehensio non certificata: et comprehensio per intui- tionem, est comprehensio, per quam certificantur formae uisibilium.

65. Visio per aspectum, fit per quemlibet pyramidis opticae radium: per obtutum uero fit per solum axem. 52 p 3.

ET cum hoc declaratum sit, dicamus quod intuitio, per quam comprehenduntur uerae formae uisibilium, erit per ipsum uisum, et erit per distinctionem. Quoniam iam declaratum est in distin- ctione linearum radialium [8 n] quod formae, quae a uisu comprehenduntur ex axe radiali, et ex illo, qui est prope axem, sunt manifestiores, et maioris certificationis, formis, quae compre- henduntur ex residuis uerticationibus. Cum ergo uisus fuerit oppositus alicui rei uisae: et illa res uisa non fuerit in fine paruitatis, sed alicuius quantitatis: et uisus fuerit fixus in oppositione eius apud aspectum: illud, quod opponitur medio uisus ex illa re uisa, et fuerit super axem aut prope axem: erit manifestius partibus residuis rei uisae: et uisus percipit istam dispositionem. Quoniam quando comprehenderit rem uisam totam: inueniet locum oppositum medio eius, cuius forma peruenit in medium uisus, esse manifestiorem partibus residuis. Et superius declaratum est, quod ista intentio apparet sensui, quando res uisa fuerit magnae quantitatis. Cum ergo uisus comprehen derit totam rem uisam: inueniet, quod forma partis oppositae medio eius, est manifestior omni- bus partibus residuis. Et cum uoluerit certificare formam rei uisae, mouebitur, ita ut medium eius sit oppositum cuilibet parti partium rei uisae: et sic comprehendet formam cuiuslibet partis par- tium rei uisae, comprehensione manifesta et certificata, sicut comprehendit partem oppositam me- dio eius apud aspectum rei uisae. Cum igitur sentiens uoluerit certificare rem uisam: mouebitur ui sus ita, ut sit medium eius oppositum cuilibet parti partium rei uisae. Et per istum modum compre- hendet formam cuiuslibet partium rei uisae ualde manifeste: et uirtus distinctiua distinguet omnes formas uenientes ad ipsam, et distinguet colores partium, et diuersitatem colorum, et ordinatio- nem partium inter se. Et generaliter distinguet omnes intentiones rei uisae, quae apparent per in- tuitum, et formam totius rei uisae compositam ex illis intentionibus. Secundum ergo hunc mo- dum erit certificatio cuiuslibet partium rei uisae secundum suum esse, et certificatio omnium in- tentionum rei uisae. Et non certificatur forma cuiuslibet partium rei uisae, nisi post motum uisus super omnes partes. Et praeterea natus est uisus ad motum intuitionis, et ad faciendum axem ra- dialem transire super omnes partes rei uisae. Cum ergo uirtus distinctiua quaesierit intueri rem ui- sam: mouebitur axis radialis super omnes partes rei uisae. Et cum intentiones subtiles, quae sunt in illa re uisa, non appareant, nisi per motum uisus, et per transitum axis, aut linearum radialium, quae sunt prope ipsum super quamlibet partium rei uisae: non perueniet forma rei uisae certifica- ta ad sentientem, quando corpus eius fuerit alicuius quantitatis, nisi per motum uisus, et per op- positionem cuiuslibet partium rei uisae, medio uisus. Et etiam quando res uisa fuerit in fine par uitatis, et non fuerit opposita medio uisus: etiam non complebitur intuitio eius, nisi postquam mo- tus fuerit uisus, donec axis transeat in illam rem uisam, et perueniat forma illius rei uisae in medium uisus, et appareat forma rei uisae. Et cum ita sit, intuitio, per quam uisus comprehendit ueras for- mas uisibilium, forte erit per ipsum uisum et forte per distinctionem simul. Comprehensio ergo for- mae uerae rei uisae non erit, nisi per intuitionem: et intuitio, per quam certificabitur forma rei uisae, non complebitur, nisi per motum uisus. Et cum corpus rei uisae fuerit alicuius quantitatis, non complebitur intuitio eius, nisi per motum axis radialis in omnes diametros rei uisae. Et istam in- tentionem uoluit dicere ille, qui opinabatur, quod uisio non fieret nisi per motum: et quod nulla res uisa uideretur tota simul. Quoniam ipse intendebat dicere uisionem certificatam, quae non po- test esse, nisi per intuitionem, et per motum uisus, et per motum axis radialis super omnes diame- tros rei uisae. Quomodo uero sentiens certificet per intuitionem et per motum, formam rei uisae, est: quia quando uisus fuerit oppositus rei uisae, sentiens comprehendet totam formam apud op- positionem comprehensione qualicunque, et comprehendet partem, quae est apud extremum axis uera comprehensione in fine ueritatis: et etiam tunc quamlibet partem residuarum partium for- mae aliqua comprehensione. Deinde quando uisus mouebitur, et mutabitur axis a parte, in qua erat, ad aliam partem:: comprehendet sentiens in ista dispositione formam totius rei uisae secunda comprehensione, et comprehendet partem, quae est apud extremum axis secunda comprehensio- ne etiam. Et erit comprehensio istius partis, quae est apud extremum axis, in secunda dispositio- ne, manifestior comprehensione eius in prima dispositione. Et in ista dispositione etiam sentiens comprehendet partes residuas aliqua comprehensione. Et similiter, quando axis mutabitur per motum ad tertiam partem, comprehendet sentiens in tertia dispositione totam rem uisam tertia comprehensione, et comprehendet partem, quae est apud extremitatem axis tertia comprehensio- ne etiam. Et erit comprehensio istius partis ab eo in ista dispositione manifestior comprehensio- ne in duabus primis dispositionibus: et tunc sentiens comprehendet in ista dispositione etiam quamlibet partium residuarum aliqua comprehensione. Per motum ergo uisus super partes rei ui- sae acquirit sentiens duas dispositiones: quarum altera est frequentatio comprehensionis totius rei uisae, et secunda est, quae comprehendit quamlibet partium rei uisae per axem radialem, aut per illud, quod est prope axem radialem, manifesta comprehensione. Apparet ergo sensui omne, quod est possibile apparere ex illis partibus. Et cum sentiens saepe comprehenderit rem uisam totam, et quamlibet partium rei uisae: comprehendet per istam dispositionem omne, quod est possibile com prehendi ab illa re uisa. Et cum hac comprehensione multoties iterata in duplicationibus et itera- tionibus comprehensionis totius rei uisae, distinguit uirtus distinctiua illud, quod apparet ex colo- ribus partium, et luce, et magnitudine, et remotione, et figura, et situ earum, et aequalitate illarum, quae sunt consimiles in istis distinctionibus, et diuersitate earum, quae sunt diuersae in omnibus istis intentionibus aut in quibusdam, et ex ordine partium inter se: et comprehendit ex distinctione omnium istarum intentionum ad ea, quae cognoscuntur ex similibus earum, formam compositam ex omnibus: et sic signatur in imaginatione forma composita ex omnibus istis intentionibus: et sic certificatur forma rei uisae, per quam appropriatur illa res uisa apud sentientem. Secundum ergo hunc modum certificat sentiens per intuitionem formas uisibilium.

66. Obtutus iteratio altius imprimit formas uisibiles animo, certioresque efficit. 58 p 3.

ET etiam dicamus, quod quando uisus comprehenderit aliquam rem uisam, et fuerit certifi- cata forma eius apud sentientem: forma illius rei uisae remanet in anima: et figuratur in ima- ginatione, et iteratur comprehensio rei uisae, et erit forma eius magis fixa in anima, quam for- ma rei uisae, quam uisus non comprehendit, nisi semel aut raro. Et quod uisus quando comprehen- derit aliquod indiuiduum: deinde comprehenderit alia indiuidua eiusmodi indiuidui, et iterata fue- rit comprehensio indiuiduorum frequenter: quiescet forma illiusmodi in anima, et perueniet for- ma uniuersaliter figurata in imaginatione. Et significatio super hoc, quod formae uisibilium rema- neant in anima et in imaginatione, est: Quia homo, quando meminerit de aliquo homine, quem co- gnouit ante, et certificauerit formam eius, et meminerit tempus, in quo uidit illum hominem, et lo- cum uera memoratione: statim imaginabitur formam illius hominis, et figuram faciei eius, et situm illius, in quo erat in illo tempore, et imaginabitur locum, in quo uidit ipsum: et forte imaginabitur alia uisibilia, quae fuerunt praesentia in illo loco, quando uidit ipsum. Et haec est significatio manife- sta, quod forma illius hominis et forma illius loci sunt fixae in anima, et remanent in imaginatione. Et propter hoc, quando homo meminerit de aliqua ciuitate, quam uidit, imaginabitur formam il- lius ciuitatis, et formam locorum, in quibus fuit in illa ciuitate, et formas indiuiduorum, quae co- gnouit in illa ciuitate. Et similiter omnium, quae uidit ex uisibilibus, quando ei occurrunt ad me- moriam: imaginabitur formas secundum modum et esse, ut percepit ea antea. Imaginatio ergo for- marum uisibilium, quas homo ante uidit, et modo sciuerit, cum sunt absentes: est significatio, quod formae uisibilium, quas comprehendit, perueniunt in animam, et figurantur in imaginatione. Quod uero forma rei, cuius comprehensio iterabitur a uisu, sit magis fixa in anima et in imaginatione, quam forma rei uisae, cuius comprehensio non iterabitur, estiquia, quando ad animam peruenit ali- qua intentio, statim perueniet forma illius intentionis in animam. Et cum tempus pertransierit, et intra multum tempus non redierit iterum ad animam: forte tradetur illa intentio obliuioni, aut ali- qua intentionum, quae sunt in illa intentione: et si redierit ad animam ante obliuionem, renouatur forma illius in anima, et rememorabit anima per formam secundam, formam primam. Et cum mul- toties iterabitur euentus illius intentionis super animam, anima magis meminerit de illa intentio- ne: et sic erit illa intentio magis fixa in anima. Et etiam prima uice, in qua intentio uenit ad animam, aut in qua forma rei uisae uenit ad animam, forte anima non comprehendet omnes intentiones, quae sunt in illa forma, neque certificabit ipsas, sed comprehendet tantum quasdam intentiones, quae sunt in ea. Et cum forma redierit secundo, comprehendet anima ex ea aliquid, quod in prima uice non comprehendit: et quanto magis iterabitur forma super animam, tanto magis manifestabitur ex ea, quod prius non apparebat. Et cum anima comprehenderit ex forma intentiones subtiles eius, et certificauerit formam eius: erit magis fixa in anima, et in imaginatione, quam forma, ex qua non uere comprehendit mens omnes intentiones, quae sunt in ea. Et cum anima comprehenderit ex forma omnes intentiones, quae sunt in ea prima uice: deinde iterabitur peruentus formae super ipsam, et comprehenderit in ea secundo intentiones: plus certificabit: quod illud quod in prima ui- ce comprehendit, est uera forma illius. Forma autem, uera uerificata et certificata est magis fixa in anima et in imaginatione, quam forma non certificata. Forma ergo rei uisae, quando multoties iterabitur comprehensio eius, erit magis certificata apud animam, et in imaginatione, et per fixio- nem formae in anima, et per fixionem formae in imaginatione erit memoratio illarum ab anima. Et significatio super hoc manifesta, quod intentiones et formae quando iterabuntur in anima, erunt magis fixae, quam intentiones et formae non iteratae, est: Quia quando homo uoluerit corde tene- re aliquem sermonem, uel uersum aliquem, iterabit sermonem illius intentionis multoties: et sic figetur in sua anima. Et quanto magis iterabit lectionem eius, tanto magis erit fixa in anima, et re- motioris obliuionis: et si semel legerit ipsam uel ipsum uersum, non remanebit uersus ille fixus in anima: et similiter, si bis legerit ipsum, forte non figetur in anima eius: et si figatur, statim tradetur obliuioni Experimentatione ergo istius intentionis patet, quod formae uenientes ad animam, quan- to magis iterabuntur, tanto magis erunt fixae in anima et in imaginatione.

67. E uisibili saepius uiso remanet in animo generalis notio: qua quodlibet uisibile simile per- cipitur et cognoscitur. 61 p 3. Idem 14 n.

PEruentus autem formarum uniuersalium modorum uisibilium in anima, et figuratio eorum in imaginatione, est. Quia quodlibet indiuiduorum uisibilium habet formam et figuram, in quibus aequabuntur omnia indiuidua illiusmodi: et illa indiuidua diuersantur tantum inten- tionibus particularibus comprehensis per sensum uisus: et forte erit color in omnibus indiuiduis illiusmodi unus. Et forma, et figura, et color, et omnes intentiones, ex quibus componitur forma cu- iuslibet indiuidui speciei, est forma uniuersalis illiusmodi: et uisus comprehendit illam formam et uni- uersalem illam figuram, et comprehendit omnem intentionem, in qua aequabuntur omnia indiuidua speciei in omnibus indiuiduis, quae comprehenduntur ex indiuiduis omnibus illius speciei: et comprehenduntur etiam in- tentiones particulares, per quas diuersantur illa indiuidua. Per intuitionem ergo comprehensionis indiui- duorum omnium uniusmodi a uisu, iteratur forma uniuersalis, quae est in illa specie, cum diuersita te formarum particularium illorum indiuiduorum. Et cum forma uniuersalis iterabitur in anima, figetur in anima, et quiescet: et ex diuersitate formarum particularium uenientium ad uisum cum formis uniuersalibus apud intuitionem, comprehendet anima, quod forma, in qua aequabuntur o- mnia indiuidua illiusmodi, est forma uniuersalis illiusmodi. Secundum ergo huc modum erit per- uentus formarum uniuersalium, quas uisus comprehendit ex modis uisibilium in anima et in ima- ginatione. Formae ergo indiuiduorum uisibilium, quas uisus comprehendit, remanent in anima, et figurantur in imaginatione: et quanto magis iterabitur comprehensio eorum a uisu, tanto magis erunt fixae in anima et in imaginatione.

68. Essentia uisibilis percipitur e speciebus uisibilibus, beneficio formae in animo residen- tis. 66 p 3.

ET sustentatio sentientis in comprehensione quidditatis uisibilium non est, nisi super formas peruenientes in animam: quoniam comprehensio quidditatis uisibilium non erit, nisi per co- gnitionem: et cognitio non est, nisi ex comprehensione formae, quam uisus comprehendit mo- do ad formam secundam, quae est in imaginatione ex formis uisibilium, quas uisus comprehendit ante: et ex comprehensione considerationis formae comprehensae modo ad aliam formarum per- uenientium in imaginationem. Comprehensio ergo quidditatis rei uisae non est, nisi ex comprehen- sione assimilationis formae rei uisae alicuius formarum quiescentium in anima, fixarum in imaginatio- ne. Sustentatio ergo sentientis in comprehensione quidditatis uisibilium non est, nisi super formam uniuersalem peruenientem in animam: et sustentatio eius in cognitione indiuiduorum uisibilium non est, nisi super formas indiuiduorum peruenientes in animam cuiuslibet indiuiduorum, quae ui- sus comprehendit ante, et quorum formae sunt conceptae imaginatione ante et intellectae. Et uirtus distinctiua naturaliter assimilat formas uisibilium apud uisionem, formis uisis fixis in imaginatione, quas anima acquirit ex formis uisibilium. Cum ergo uisus comprehenderit aliquam rem uisam, sta- tim uirtus distinctiua quaerit eius simile in formis existentibus in imaginatione: et cum inuenerit in imaginatione aliquam similem formae illius rei uisae: cognoscet illam rem uisam, et comprehendet quidditatem eius: et si non inuenerit ex formis existentibus in imaginatione formam similem for- mae illius rei uisae: non cognoscet illam rem uisam, neque comprehendet quidditatem eius. Et propter uelocitatem assimilationis formae rei uisae apud uisionem a uirtute distinctiua, forte accidet ei er- ror, ita quod assimilabit rem uisam alij rei uisae, quando in re uisa fuerit aliqua intentio, quae est in illa alia re: deinde si considerauerit cum iteratione illam rem uisam post istam dispositionem, et cer tificauerit formam eius: assimilabit ipsam formae simili ei in rei ueritate, et manifestabitur illi se- cundo, quod errauerat in prima assimilatione. Secundum ergo hunc modum comprehenduntur quidditates uisibilium per sensum uisus.

69. Distincta uisio fit aut obtutu solo: aut obtutu et anticipata notione simul. 62 p 3.

ET cum omnes istae intentiones sint declaratae, dicamus modo: quod comprehensio uisibi- lium per intuitionem erit duobus modis: comprehensio sola intuitione: et comprehensio per intuitionem cum scientia praecedente. Comprehensio uero, quae est sola intuitione, est comprehensio uisibilium extraneorum, quae uisus non uidit ante: aut uisibilium, quae uisus com- prehendit ante, sed non meminit uisionis illorum. Quoniam uisus quando comprehenderit ali- quam rem uisam, quam ante non percepit uidendo, nec rem uisam huius speciei, et uoluerit aspi- ciens certificare formam huius rei uisae: intuebitur ipsam, et considerabit per intuitionem omnes intentiones, quae sunt in ea, et comprehendet per intuitionem formam eius ueram. Et cum ante non perceperit illam rem uisam, neque aliquam rem huius speciei: non cognoscet formam eius apud eius comprehensionem: et in talibus indiget uisus intuitione ad formam propriam. Erit ergo cer- tificatio formae huiusmodi uisibilium non nisi per solam intuitionem tantum. Et similiter quando uisus comprehenderit aliquam rem uisam, quam ante percepit, et non meminit ipsius: non cogno- scet formam eius nisi per intuitionem. Erit ergo comprehensio huiusmodi uisibilium per solam in- tuitionem. Comprehensio uero, quae est per intuitionem cum scientia pręcedente, est comprehen- sio omnium uisibilium, quae uisus comprehendit ante, aut de quorum specie aliquid comprehen- dit uisus ante, et peruenerunt formae specierum eorum et indiuiduorum eorum in animam. Cum ergo uisus comprehendit aliquam rem uisam, quam ante comprehendit, aut cuius speciei aliquam rem ante comprehendit: statim apud aspectum illius rei uisae comprehendet totam formam eius: deinde modica intuitione comprehendet totam formam eius, quae est uniuersalis forma speciei. Cum ergo ante comprehendit uisibilia illiusmodi rei uisae, et peruenerit forma speciei illius rei ui- sae in suam animam, et fuerit memor ex forma uniuersali illiusmodi rei uisae: cognoscet formam uniuersalem, quam comprehendit in illa re uisa apud comprehensionem eius, et apud cognitio- nem formae uniuersalis, quam comprehendit in illa re uisa, statim cognoscet illam rem uisam spe- cialiter: deinde quando intuitus fuerit intentiones residuas, quae sunt in illa re uisa, certifica- bit formam eius particularem. Si autem non percepit ante illam rem uisam, aut forte percepit il- lam, sed non meminit de perceptione illius: non cognoscet formam particularem: et cum non cognouerit formam particularem, non cognoscet illam rem uisam: et sic erit cognitio illius rei uisae ab eo secundum speciem tantum, et acquiret ex intuitione et certificatione formae eius, formam eius particularem, quae appropriatur suo indiuiduo. Et si ante perceperit illam rem uisam, et non perce- perit alia indiuidua huiusmodi speciei, et fuerit memor illius formae, quam ante comprehendit ex illa re uisa: quando comprehenderit formam eius particularem, cognoscet per cognitionem formam particularem, et apud cognitionem formae particularis comprehendet rem uisam: et sic per com- prehensionem formae eius particularis certificabit formam rei uisae, et simul cognoscet ipsam rem uisam: et erit cognitio rei uisae ab eo specialiter et secundum indiuiduum simul. Et si ante percepe- rit illam rem uisam, sed non perceperit ex modo illius rei uisae, nisi illud indiuiduum tantum, et non distinguatur ab eo forma uniuersalis illius modi rei uisae: quando comprehenderit illam rem uisam, et comprehenderit intentiones uniuersales, quae sunt in illa re uisa, et in omnibus rebus il- lius speciei, non cognoscet illam rem uisam, neque comprehendet quidditatem eius ex comprehen- sione formae uniuersalis. Cum ergo comprehenderit intentiones residuas, quae sunt in illa re uisa, et comprehenderit formam particularem eius, et fuerit memor formae particularis, quam compre- hendit in illa re uisa: cognoscet formam particularem apud comprehensionem eius: et cum cogno- uerit formam particularem, cognoscet eandem rem uisam: et erit cognitio illius rei uisae ab eo in- diuidualiter. Et nulla res uisa comprehendetur per intuitionem, nisi secundum aliquem istorum mo- dorum. Comprehensio ergo omnium uisibilium secundum intuitionem erit duobus modis: sola in- tuitione, et comprehensione per intuitionem cum scientia praecedente. Cognitio autem talis et scien- tia quandoque erit secundum speciem tantum, quandoque secundum speciem et indiuiduum simul.

70. Obtutus fit in tempore. 56 p 3.

ET etiam comprehensio per intuitionem non erit, nisi in tempore: quoniam intuitio non erit nisi per distinctionem et motum uisus: sed distinctio et motus non erunt nisi in tempore. In- tuitio ergo non erit nisi in tempore. Et superius declaratum est [12. 13 n] quod comprehensio per cognitionem et comprehensio per distinctionem non est nisi in tempore.

71. Visibile obtutu et antegressa cognitione simul, minore tempore percipitur, quam solo ob- tutu. 64 p 3.

ET quia declaratum est [69 n] quod comprehensio uisibilium per intuitionem, erit quandoque sola intuitione et quandoque per intuitionem cum cognitione praecedente: et quod illud, quod comprehenditur per intuitionem et quod comprehenditur per cognitionem, non compre- henditur, nisi in tempore: dicemus quod comprehensio, quae erit per intuitionem cum cognitione uel scientia praecedente, erit in maiori parte in minori tempore, quam sit tempus, in quo erit com- prehensio per solam intuitionem. Quoniam enim formae existentes in anima et pręsentes memoriae, non indigent, ut cognoscantur omnes intentiones, quae sunt in eis, ex quibus componuntur in rei ueritate: sed sufficit in comprehensione earum comprehensio alicuius intentionis proprię illis. Cum ergo uirtus distinctiua comprehenderit in forma ueniente ad ipsam, aliquam intentionem propriam illi formę, et fuerit memor primę formae: cognoscet omnes formas uenientes ad ipsam: quoniam o- mnis intentio, quę appropriatur alicui formae, est signum signans super illas formas. Verbi gratia: Quia quando uisus comprehenderit indiuiduum hominis, et comprehenderit lineationem suae ma- nus tantum: statim comprehendet, quod sit homo antequam comprehendat lineationem faciei suae, et antequam comprehendat lineationem partium residuarum eius. Et similiter si comprehenderit lineationem faciei suae, antequam comprehendat partes residuas eius. Ex comprehensione ergo qua- rundam intentionum, quę appropriantur formae hominis, comprehendit, quod illud uisibile sit homo sine indigentia comprehensionis partium residuarum: quoniam comprehendet partes residuas per cognitionem praecedentem ex formis residentibus in anima, formis dico hominum. Et similiter quan- do uisus comprehenderit aliquas intentiones, quae appropriantur formae particulari alicuius indi- uidui, quod ante uisus percepit, sicut simitatem in naso, aut uiriditatem in oculo, aut arcualitatem in supercilijs: comprehendet comprehensione totius suae formę illud indiuiduum, et cognoscet ipsum. Et similiter cognoscet equum per aliquam maculam in fronte eius, aut per diuersitatem coloris. Et simi- liter scriptor quando comprehenderit formam alicuius dictionis, superficialiter cognoscet eam, antequam consideret literas particulares. Et similiter omnes partes, quas scriptor frequenter et continue uidet, cognoscentur ab eo ex comprehensione quarundam literarum. Visibilia ergo, quae uisus ante compre- henderit, et modo cognoscit formas illorum, et est memor illorum: comprehenduntur a uisu per signa. Visibilia autem extranea, quae uisus ante non percepit, aut uisibilia, quę ante percepit, sed non est me- mor illorum, non sunt ita. Quoniam quando uisus comprehenderit aliquam rem uisam, quam ante non uidit, et comprehenderit lineationem quarundam partium: non comprehendet ex eo quidditatcm illius rei uisae: quoniam apud ipsum non quiescit forma partium residuarum. Visus ergo non comprehendit certitudinem rei uisae, quam ante non uidit, nisi per considerationem omnium suarum partium, et omnium intentionum, quę sunt in ea. Et similiter forma rei uisae, quam uisus ante percepit, sed non me- minit eius: non certificatur ab eo, nisi post considerationem omnium intentionum, quę sunt in ea. Sed comprehensio quarundam intentionum, quę sunt in forma, erit in minori tempore illo, in quo compre- hendit omnes intentiones, quae sunt in forma. Visio ergo, quae est per intuitionem cum cognitione praecedente, erit in maiori parte in breuiore tempore, illo tempore, in quo erit uisio sola intuitione. Et propter hoc uisus comprehendit uisibilia consueta comprehensione ualde ueloci in tempore la- tente sensum: et non erit inter oppositionem uisus et rem uisam, et inter comprehensionem quid- ditatis rei uisae assuetae tempus sensibile in maiori parte. Quoniam homo ex pueritia et ex principio incrementi comprehendit uisibilia, et iterantur super eius aspectum indiuidua uisibilium, et formae uniuersales uisibilium. Et etiam declaratum est [14. 67 n] quod formae uisibilium, quas uisus com- prehendit, perueniunt in animam, et figurantur in imaginatione: et quod formae, quae iterantur ui- sui, figurantur in anima: et quas uisus comprehendit, perueniunt in animam, et quiescit figuratio ea- rum in imaginatione. Omnia ergo uisibilia assueta, et omnes modi assueti existunt in anima, et quie- scunt figurati in imaginatione et praesentes memoriae. Cum ergo uisus comprehenderit aliquam rem uisam assuetam, et comprehenderit totam formam suam, et post illud comprehenderit aliquod signum proprium illius rei uisae: comprehendet quidditatem rei uisae apud comprehensionem illius signi: et erit comprehensio rei uisae ab eo per cognitionem praecedentem et modicam intuitionem. Visibilia ergo assueta comprehenduntur a uisu per signa et per cognitionem praecedentem. Quare erit comprehensio quidditatum eorum in maiori parte in tempore sensibili.

72. Generales uisibilis species citius percipiuntur singularibus. 71 p 3.

ET etiam comprehensio speciei rei uisae est in maiori parte in minore tempore, quam compre- hendatur indiuiduitas rei uisae. Et est: quoniam quando uisus comprehenderit aliquod indi- uiduum hominis, primo comprehendet ipsum esse hominem, antequam comprehendat for- mam eius particularem: et forte comprehendet ipsum esse hominem, quamuis non comprehendat lineationem faciei, sed ex erectione sui corporis, et ordinatione membrorum corporis eius com- prehendet ipsum esse hominem, quamuis non uiderit faciem eius. Et similiter uisus forte compre- hendet quandoque specialitatem modorum alicuius uisibilium assuetorum per quaedam signa, quae appropriantur illi speciei. Et non est sic comprehensio indiuiduitatis rei uisae. Indiuidualitas enim rei uisae non comprehenditur, nisi ex comprehensione intentionum particularium, quae approprian- tur illi indiuiduo, aut ex comprehensione quarundam: sed comprehensio quarundam intentionum particularium, quae appropriantur indiuiduo, non comprehenduntur, nisi post comprehensionem intentionum uniuersalium, quę sunt in illo indiuiduo, aut post comprehensionem quarundam: aut generaliter, intentiones, quae sunt in formis uniuersalibus illiusmodi indiuidui, sunt ante intentio- nes, quae sunt in forma eius indiuiduali: sed comprehensio partis est in minori tempore, quam tem- pus, in quo comprehenditur totum. Comprehensio ergo specialitatis rei uisae a uisu est in minori tempore, quam tempus, in quo comprehenditur indiuidualitas illius rei uisae.

73. E uisibilibus communibus alia alijs citius percipiuntur. 72 p 3.

ET etiam tempus comprehensionis specialitatis uisibilium scilicet assuetorum diuersatur. Quo niam quaedam specierum uisibilium assuetorum assimilantur alijs speciebus: et quaedam non, ut species hominis et species equi: quoniam forma speciei hominis non assimilatur alij spe- ciei animalium: et non est ita in equis. Quoniam equus aliquis assimilatur multis animalibus in to- ta forma. Tempus ergo, in quo uisus comprehendit speciem indiuidui hominis, et comprehendit ipsum esse hominem, non est sicut tempus, in quo comprehendit speciem equi, et comprehendit ipsum esse equum: et maxime quando comprehendit utrumque in remotione alicuius quantitatis. Quoniam quando uisus comprehenderit indiuiduum hominis alicuius motum localiter: statim comprehendet ipsum esse animal ex motu, et ex erectione corporis comprehendet ipsum esse ho- minem: et non est ita, quando comprehenderit equum. Quoniam quando uisus comprehenderit indiuiduum equi mouens se, et comprehenderit simul motum eius, et numerum pedum, non com prehendet ex hoc ipsum esse equum: quoniam illae intentiones sunt in pluribus quadrupedibus, quę assimilantur equo in pluribus intentionibus, et maxime in mulo: quoniam mulus assimilatur equo in multis dispositionibus: quoniam mulus non distinguitur ab equo, nisi per intentiones fere non manifestas, sicut lineationem faciei, et extensionem colli, et uelocitatem motus, et amplitudinem passuum. Si autem uisus non comprehenderit aliquam intentionum istarum, per quas comprehen ditur equus cum comprehensione totius suae formae, non comprehendet ipsum esse equum. Et tem- pus, in quo uisus comprehendit erectionem corporis hominis, non est sicut tempus, in quo com- prehendit formam equi cum intentionibus particularibus, per quas distinguitur equus ab alio. Comprehensio ergo speciei hominis est in minore tempore, quam tempus, in quo comprehendi- tur species equi:: quamuis duo tempora sint parua: tamen unum eorum secundum omnes disposi- tiones est maius altero. Et similiter quando uisus comprehenderit colorem roseum in floribus cu- iusdam horti: statim comprehendet quod substantiae illorum colorum sunt rosae propter colorem proprium rosarum: et cum hoc, quod ille color est in rebus existentibus in horto: comprehenditur ante comprehensionem rotunditatis, et ante rotunditatem foliorum eius, et applicationum folio- rum eius, unius super alterum, et ante comprehensionem omnium intentionum eius, ex quibus componitur forma rosae: et non est ita, quando comprehenderit uiriditatem myrti in horto: quo- niam quando uisus comprehenderit tantum uiriditatem myrti in horto: non comprehendet ipsam esse myrtum ex comprehensione uiriditatis tantum: quoniam plures plantae sunt uirides, et plures plantae assimilantur myrto in uiriditate et figura. Si ergo non comprehenderit figuram foliorum eius, et spissitudinem eorum, et intentionem propriam myrti: non comprehendet ipsam esse myr- tum. Et tempus, in quo comprehendit figuram foliorum myrti et intentiones, secundum quas ap- propriatur myrtus cum comprehensione uiriditatis, non est sicut tempus, in quo comprehendit co- lorem rosaceum tantum. Et similiter quidditates omnium specierum, quae possunt assimilari alijs, non comprehenduntur a uisu, nisi per magnam intuitionem: quidditas autem paucae assimilatio- nis ad alia, comprehenditur a uisu pauca intuitione. Et similiter de indiuiduis: quoniam indiuiduum, quod uisu non assimilatur alij indiuiduo, comprehenditur a uisu per modicam intuitionem, et per signa: et indiuiduum, quod uisus cognoscit, et quod assimilatur alij indiuiduo, quamuis cognoscit, tamen comprehenditur a uisu per magnam intuitionem. Species ergo et indiuiduum omnium ui- sibilium assuetorum comprehenditur a uisu per modicam intuitionem cum cognitione praecedente. Et erit comprehensio eorum in maiori parte in tempore sensibili: tamen diuersatur tempus com- prehensionis eorum secundum diuersitatem specierum et indiuiduorum eorum: et erit compre- hensio speciei uelocior comprehensione indiuidui: et erit comprehensio speciei paucae assimila- tionis ad alia, uelocior comprehensione speciei multae assimilationis. Et similiter comprehensio indiuidui paucae assimilationis, erit uelocior comprehensione indiuidui multae assimilationis.

74. Tempus obtutus pro specierum uisibilium uarietate uariat. 56 p 3.

ET tempus intuitionis diuersatur secundum intentiones, quas quisque intuetur in uisibili- bus. Verbi gratia. Quia quando uisus comprehenderit animal multipes paruorum pedum, ec illud animal fuerit in motu: per modicam intuitionem comprehendet motum eius, et cum comprehenderit motum eius, comprehendet ipsum esse animal: deinde per modicam intuitionem in pedibus comprehendet ipsum esse multipes ex comprehensione distantiae inter pedes: et sic non cognoscet statim numerum pedum: et si uoluerit cognoscere numerum pedum, indigebit lon- giore intuitione, et maiore tempore. Comprehensio ergo animalitatis eius erit in tempore paruo: deinde comprehensio multitudinis pedum erit in tempore paruo: sed numerus pedum non com- prehendetur, nisi postquam fuerit uisus intuitus quemlibet pedem, et numerauerit ipsos, quod non potest esse, nisi in tempore alicuius quantitatis: et erit quantitas temporis secundum multitudinem pedum et paucitatem eorum. Et similiter quando uisus comprehenderit figuram rotundam, intra quam est figura multorum laterum, et fuerint latera illius figurae parua, et cum hoc fuerit diuerso- rum laterum non maxima diuersitas: apud comprehensionem totalis figurae comprehendet ipsam esse rotundam, et non comprehendet statim, quod intra ipsam sit laterata figura: quoniam latera tius fuerunt in fine paruitatis. Et cum intuitus fuerit figuram rotundam profundiore intuitione, apparebit figura laterata, quae est intra rotundam. Erit ergo comprehensio rotunditatis figurae ue- locior comprehensione figurae lateratae, quae est intra: deinde apud comprehensionem istius non apparebit diuersitas laterum istius figurae, nec distinguetur a uisu an sint aequalia, an non: et non apparebit inaequalitas laterum figurae lateratae, nisi post magnam intuitionem et in tempore ali- cuius quantitatis. Et etiam sentiens quando uoluerit intueri figuram totius rei uisae, sufficit ei, ut transeat uisus super superficiem rei uisae tantum. Et similiter quando uoluerit intueri colorem rei uisae, sufficit ei transire uisum super ipsum tantum. Et similiter quando uoluerit intueri asperitatem superficiei rei uisae, aut planitiem, aut diaphanitatem, aut spissitudinem: et non sunt ita intentiones occultae subtiles, quae sunt in uisibilibus, sicut figurae, quae sunt in quibuslibet partibus uisibilium: et consimilitudo figurarum et quantitatis partium, et diuersitas quantitatum, et colorum, et con- similitudo eorum, et ordinatio partium paruarum inter se: quoniam istae intentiones non compre- henduntur per intuitionem, nisi postquam fuerit uisus fixus super quamlibet partium, et conside- rauerit figuras illarum partium, et comparauerit unam ad alteram: et hoc non complebitur in tem- pore paruo, et per motum uelocem, sed in tempore alicuius quantitatis. Tempus ergo intuitionis intentionum uisibilium diuersatur secundum diuersitatem intentionum intuitarum.

75. Visio per anticipatam notionem et breuem obutum, est incerta. 65 p 3.

ET cum hoc sit declaratum, dicamus: quod uisio, quae est per cognitionem praecedentem, et per signa et per modicam intuitionem, non est comprehensio certificata. Quoniam compre- hensio rei uisae per cognitionem praecedentem et per signa non est, nisi circa totalitatem et uniuersalitatem rei uisae in grosso: et uirtus distinctiua comprehendit intentiones particulares, quae sunt in illa re uisa, secundum modum, quo cognouit illas res uisas ex prima forma illius rei uisę exi- stente in anima: sed istae intentiones particulares, quae sunt in uisibilibus, mutantur secundum tran situm temporis: et sic uisus non comprehendit intentiones, quae sunt mutatae in illa re uisa per co- gnitionem praecedentem. Et cum mutatio fuerit occulta et non bene manifesta, non comprehen- ditur a uisu primo aspectu, et non cmprehenditur, quando non fuerit ualde manifesta, nisi per in- tuitionem Verbi gratia: quando uisus cognoscit aliquem hominem, et fuerit facies illius hominis munda, et certificauerit uisus formam eius: deinde recesserit ille homo a uisu longo tempore: et contingat in facie eius macula: et fuerit occulta illa macula: et comprehenderit ipsum post istam dispositionem: cognoscet ipsum apud comprehensionem: sed tamen non propter comprehensio- nem et cognitionem illius hominis, comprehendet maculam in facie eius, nisi sit manifesta: et si non fuerit intuitus ipsam, non comprehendet ipsam secundum suum esse: et si intuitus fuerit ipsam pu- riore intuitione: apparebit ei macula, quae est in facie eius: et tunc comprehendet formam eius se- cundum suum esse. Et similiter quando uisus comprehenderit aliquam arborem, et intuitus fuerit ipsam, et certificauerit formam eius: deinde recesserit ab eadem diu, dum creuerit illa arbor, et aucta fuerit: et mutata figura eius: et facta sit in ea aliqua mutatio: et illa mutatio, quae fuerit in arbore, fuerit modica: deinde si reuertatur uisus ad illam arborem, et cognoscat eam: non comprehendet apud comprehensionem per cognitionem illam modicam, mutationem, quae contigit in ea: si au- tem intuitus fuerit ipsam secundo, et simul fuerit memor uerae formae eius, quam habebat prima uice: comprehendet mutationem, quae contigit in ea, et certificabit formam eius secundo: et si non fuerit intuitus ipsam, non erit illa forma, quam comprehendit ex illa arbore per cognitionem ante- cedentem, ipsa forma uera, quam habet secunda comprehensione. Et similiter, quando uisus com- prehenderit parietem in quibusdam locis: et ille paries fuerit planus: et fuerint in eo picturae et scul- pturae: et intuitus fuerit uisus illum parietem: et certificauerit formam eius: deinde recesserit ab illo loco diu: et contingat post mutatio in illo pariete ex asperitate superficiei, aut ex intentione qua- rundam picturarum: et non fuerit illa mutatio ualde manifesta: deinde si reuertatur uisus ad illum locum: et aspexerit illum parietem: et fuerit memor formae primae: comprehendet ipsam apud pri- mam uisionem: sed apud comprehensionem per cognitionem non comprehendet mutationem oc- cultam, quae in eo contigit: et ipse cognoscet formam eius sine aliqua mutatione. Si ergo in eo con- tigit aliqua asperitas, aestimabit ipsam esse laeuem, sicut consueuit esse: et si picturae primo fuerint certificatae uere, et fuerint mutatae, aestimabit eas esse quasi certificatas. Et omnia uisibilia, quę sunt apud nos, sunt recipientia mutationem secundum colorem, et figuram, et magnitudinem, et situm, et asperitatem, et laeuitatem, et ordinationem partium, et secundum multas intentiones particula res: quoniam naturae earum sunt mutabiles et praeparatae passioni ab eo, quod accidit eis extrinse- cus. Et quia mutatio est possibilis in eis, possibile est ipsam comprehendi a uisu in omnibus illis. Et quamuis sit in eis aliqua mutatio, quae non potest apparere uisui: nihil est tamen ex eis, in quo non accidat extrinsecus mutatio, quae possit apparere uisui. Et cum omnia uisibilia sint praeparata mutationi, quae possit comprehendi a uisu: nullum ergo uisibile, quod uisus comprehendit modo, et erat prius comprehensum: certificatum est apud comprehensionem secundam a uisu, scilicet, quod uisus sit securus secundo, quod non fuerit mutatum, cum mutatio sit possibilis in omnibus uisibilibus. Cum ergo uisus comprehenderat aliquam rem uisam, quam ante comprehendit: et in- tuitus fuerit ipsam: et certificauerit formam eius: et fuerit memor suae formae apud comprehensio- nem, cognoscet ipsam. Et si in illa re uisa contigit mutatio manifesta, comprehendet illam mutatio nem apud uisionem: si autem non fuerit manifesta: cognoscet illam rem, et aestimabit illam esse apud cognitionem secundum modum primum: et sic, si non iterauerit intuitionem, non erit securus, quod forma, quam ante cognoscebat, remaneat secundum suum esse, cum sit possibile, quod in ea conti- gerit mutatio occulta, quae non potest apparere, nisi per intuitionem. Si ergo iterauerit intuitio- riem, certificabit formam eius: et si non iterauerit intuitionem, non erit comprehensio illius rei ui- sae certificata. Comprehensio ergo uisibilium per cognitionem praecedentem, et per signa, et per nodicam intuitionem, non est uera comprehensio.

76. Vera uisibilis forma percipitur obtutu: accurata consideratione: et diligenti omnium uisibilium specierum distinctione. 57 p 3.

ET uisus non comprehendit rem uisam uera comprehensione, nisi per intuitionem rei uisae apud comprehensionem eius, et per considerationem omnium intentionum, quę sunt in illa re uisa, et per distinctionem omnium apud comprehensionem illius rei uisae. Visio ergo erit secundum duos modos: uisio in primo aspectu, et uisio quae est per intuitionem. Et per uisionem, quae est in primo aspectu, comprehendet uisus intentiones rei uisae manifestas tantum, et non cer- tificatur per huiusmodi aspectum forma rei uisae. Et uisio, quae est in primo aspectu: quandoque est solum phantastica: et quandoque cum cognitione praecedente: et uisio talis, quae est secundum phan tasiam, est uisio uisibilium, quae uisus non cognouit apud aspectum: et cum hoc intuetur ipsa. Et ui- sio, quae est secundum phantasiam cum cognitione praecedente, est uisio uisibilium, quae uisus co gnouit ante: et cum hoc non intuetur intentiones eorum. Et secundum dispositionem utriusque earum non comprehendit uisus per phantasiam ueritatem rei uisae, siue praecognouerit illam rem, siue non. Et uisio per intuitionem erit secundum duos modos, scilicet uisio sola intuitione, et uisio per intuitionem cum praecedente cognitione. Visio autem, quae est sola intuitione, est uisibilium, quae uisus ante non comprehendit, aut non est memor comprehensionis eorum, quando intuetur modo ipsa. Et uisio per intuitionem cum scientia praecedente, est uisio omnium uisibilium, quae ui- sus comprehendit: et est memor comprehensionis eorum, quando intuitus fuerit eorum intentio- nes, et consyderauerit intentiones omnes, quae sunt in eis. Et ista uisio diuiditur in duos modos: quorum unus, est uisio assueta uisibilium assuetorum: et ista pars erit per signa, quae comprehen- duntur modica intuitione, et per consyderationem quarundam intentionum, quae sunt in illa re ui- sa cum cognitione praecedente. Et illa uisio est in maiore parte in tempore insensibili: et compre- hensio illius, quod comprehenditur secundum hunc modum, non est comprehensio in fine certi- tudinis. Pars autem secunda est per finem intuitionis, et per consyderationem omnium intentio- num, quae sunt in re uisa apud comprehensionem illius rei uisae, et cum cognitione praecedente: et erit in maiori parte in tempore sensibili: et diuersatur tempus secundum intentiones, quae sunt in re uisa. Et uisio, quae est secundum hunc modum, per quem uisibilia assueta comprehenduntur com- prehensione in fine certitudinis, non est nisi per intuitionem omnium intentionum, quae sunt in re uisa, et per consyderationem omnium partium rei uisae, et per distinctionem omnium intentionum, quae sunt in re uisa apud comprehensionem rei uisae, siue praecognouerit illam rem, siue non. Et ista certificatio, quae est respectu sensus, est intentio certificata: et est dicere finem certificationis in istis locis, finem illius, quod potest comprehendi a sensu. Et cum omnibus istis comprehensio uisibilium a uisu est secundum fortitudinem uisus: quoniam sensus uisus oculorum diuersatur secundum ui- gorem et debilitatem. Secundum ergo istos modos erit comprehensio uisibilium a uisu, et isti sunt omnes modi uisibilium. Et hoc est illud, quod intendebamus declarare in isto capitulo. Et iam com- pleuimus diuisionem omnium uisibilium, et diuisionem omnium intentionum uisibilium, et de- clarauimus omnes intentiones, per quas uenit uisus ad comprehensionem uisibilium et intentio- num uisibilium, et distinximus omnes partes, in quas diuiduntur omnes modi uisionum. Et istae sunt intentiones, quas intendebamus declarare in isto tractatu.

ALHAZEN FILII ALHAYZEN OPTICAE LIBER TERTIVS.

TERTIVS tractatus est ex septem capitulis. Primum capitulum est prooe- mium. Secundum de ijs, quae debent praeponi sermoni in deceptionibus ui- sus. Tertium de caussis, quibus deceptio accidit uisui. Quartum in distin- guendo deceptiones uisus. Quintum de qualitatibus deceptionum uisus, quae fiunt solo sensu. Sextum de qualitatibus deceptionum uisus, quae fiunt in cognitio- ne. Septimum de qualitatibus deceptionum uisus, quae fiunt in ratione.

PROOEMIVM LIBRI. CAP. I.

1. Visus in perceptione uisibilium aliquando allucinatur. 1 p 4.

DEclaratum est in primo tractatu et secundo, quomodo uisus comprehendat uisibilia secun- dum quod sunt, si comprehensio eius fuerit recte: et quomodo certificet formam uisi: et quo modo comprehendat unamquamque intentionum particularium, secundum quod est: et quomodo certificet illam. Sed non omne comprehensibile a uisu, comprehenditur ab eo secundum quod est, neque omne, quod uidetur ab aspiciente comprehendi in rei ueritate, est recte comprehen- sum. Sed multoties decipitur uisus in multis eorum, quae comprehendit ex uisibilibus, et compre- hendit illa alio modo ab eo, quo sunt: et forte percipit suam deceptionem etiam cum decipitur, et forte non, sed reputat se bene comprehendere. Cum enim uisus comprehenderit aliquod uisum per spatium remotum: tunc mensura eius uidebitur minor, quam uera mensura: et quando illud uisum fuerit forte propinquum uisui: comprehendet mensuram eius maiorem uera. Et amplius, quando uisus comprehenderit quadratum, aut polygonum a remoto: comprehendet illud rotun- dum, si fuerit aequalium diametrorum: aut longum, si fuerit inaequalium diametrorum. Et si com- prehenderit sphaeram a remotissimo, comprehendet eam planam. Et talia sunt multa et multimo- da: et omnia quae sunt comprehensa a uisu tali modo, sunt fallibilia. Amplius, quando uisus inspe- xerit aliquam stellam, comprehendet eam quiescentem, licet stella tunc moueatur: et cum inspiciens reuertetur ad scientiam: sciet illam stellam moueri apud aspectum: et cum inspiciens distinxerit il- lud: statim comprehendet se decipi in hoc, quod comprehenderit de quiete stellae. Et cum aliquis inspexerit aliquod indiuiduum super faciem terrae a remotissimo interuallo, et illud indiuiduum fuerit motum motu tardissimo, et non diu durauerit aspectus: tunc in tali statu aspiciens compre- hendet ipsum quiescens: et si aspiciens non perceperit ante motum illius indiuidui, et non diu dura- uerit in eius oppositione: tunc non percipiet se esse deceptum in hoc, quod comprehendit de quiete illius indiuidui: et in comprehensione huius erit deceptus, et tamen non percipiet se decipi. Acci- dit igitur uisui deceptio in multis eorum, quae comprehendit: et forte percipitur ab eo, et forte non. Et cum in duobus libris pręcedentibus sit declaratum, quomodo uisus comprehendat uisibilia, se- cundum quod sunt: ln hoc autem capitulo declaratum est ex eis, quae diximus, quod multoties ac- cidit uisui deceptio in multis eorum, quae comprehendit: remanet declarandum, quare deceptio ac- cidat uisui, et quando, et quomodo. Nos autem in hoc tractatu contenti sumus de deceptionibus uisus in eis, quae comprehendit recte: et declarabimus caussam in hoc, et diuersitates deceptionum, et quomodo accidat unaquaeque deceptio.

DE IIS QVAE DEBENT PRAEPONI SERMONI in deceptionibus uisus. Cap. II.

2. Axes pyramidum opticarum utriusque uisus per centrum foraminis uueae transeuntes, in uno uisibilis puncto semper concurrunt: et sunt perpendiculares superficiei uisus. 32. 35 p 3.

DEclaratum est in primo tractatu [18 n] quod uisus nihil comprehendat ex uisibilibus, nisi secundum uerticationes refractas linearum radialium: et quod ordo uisibilium et partium eorum non comprehenditur, nisi ex ordinatione linearum radialium. Et dictum est etiam [27 n 1] quod unum uisum, quod comprehenditur duobus oculis simul, non comprehenditur unum, nisi quando positio eius in respectu duorum oculorum fuerit positio consimilis: et quod si positio fuerit diuersa: tunc comprehendetur unum duo. Sed unumquodque uisibilium assuetorum, quae semper comprehenduntur a duobus uisibus, semper comprehendetur unum. Vnde oportet nos declarare, quomodo unum uisum comprehendatur a duobus uisibus unum in maiore parte temporis et in pluribus positionibus: et quomodo positio unius uisi ab ambobus oculis in maiore

parte temporis, et in pluribus erit consimilis. Et declarabimus etiam quomodo positio unius uisi ab ambobus uisibus erit positio diuer- sa, et quomodo accidat hoc. Et iam diximus hoc in primo tractatu [27 n] et declarauimus ipsum uniuersaliter, non determinate. Dica mus ergo quod cum inspiciens inspexerit aliquod uisum, tunc uterque uisus erit in oppositione illius uisi: et cum inspiciens direxerit pu- pillam ad illud uisum: tunc uterque uisus diriget pupillam ad illud ui- sum directione aequali. Et cum uisus fuerit motus super rem uisam: tunc uterque uisus mouebitur super illud. Et cum uisus direxerit pu- pillam ad rem uisam: tunc axes duorum uisuum congregabuntur in illa re uisa, et coniungentur in aliquo puncto illius superficiei. Et si inspiciens mouerit uisum per illam rem uisam: tunc illi duo axes mo- uebuntur simul super superficiem illius uisi, et per omnes partes eius. Et uniuersaliter duo oculi sunt aequales in omnibus suis dispositio- nibus: et uirtus sensibilis, quae est in eis, est eadem, et actio et passio eorum semper est aequalis et omnino consimilis. Et si alter uisus fue- rit motus ad uidendum, statim reliquus mouebitur ad illud uisum illo eodem motu: et si alter uisus quieuerit, reliquus quiescit. Et im- possibile est, ut alter uisus moueatur ad uidendum, et reliquus quie- scat, nisi impediatur. Et declaratum est in praeteritis [19 n 1] quod in- ter quodlibet uisum et centrum uisus est pyramis imaginabilis apud uisionem, cuius uertex est centrum uisus, et basis superficies uisi, quod uisus comprehendit: et ista pyramis continet omnes uertica- tiones, ex quibus comprehendit illam rem uisam. Cum ergo duo axes amborum uisuum fuerint coniuncti in aliquo puncto superficiei uisi: tunc superficies uisi erit basis communis ambabus pyramidibus ra- dialibus, figuratis inter duo centra amborum uisuum et illud uisum: et tunc positio puncti, in quo axes sunt coniuncti apud ambos uisus, est positio consimilis: quia est oppositum duobus medijs amborum ui- suum, et duo axes, qui sunt inter illud et duos uisus, sunt perpendi- culares super superficiem duorum uisuum.

3. Situs uisibilis erga utrunque uisum est plerunque situs similis. Itaque axes pyramidum optica- rum et lineae ab utroque uisu ductae ad concursum duorum axium, factum in recta linea ad utrunque axem perpendiculari, sunt aequales. 40. 42 p 3.

QVod autem remanet de superficie uisi, inter quodlibet punctum eius, et inter duo centra ambo- rum uisuum, sunt duae lineae, quarum positio in respectu duorum axium, erit positio consimilis in par te scilicet: quoniam omnes duae lineae imaginabiles inter duo centra duorum uisuum et punctum superficiei uisae, in quo coniunguntur duo axes duorum uisuum: erunt declinabiles a duobus axibus ad unam partem. Nam omne punctum superficiei uisi, in quo duo axes coniunguntur, declinabit a puncto con- iunctionis ad eandem partem: punctum uero coniunctionis est super utrumque axem. Remotiones autem istarum linearum a duobus axibus sunt aequales: quoniam omnes duae lineae exeuntes a duobus centris duorum uisuum ad quodlibet punctum punctorum ualde propinquorum puncto coniunctionis, aequali- ter distant a duobus axibus, quantum ad sansum. Duo enim axes exeuntes ad punctum coniunctionis, erunt aequales, aut non erit inter eos diuersitas sensibilis, quando res uisa non fuerit ualde propinqua ui- sui, et distantia eius a uisu fuerit mediocris. Et similiter est dispositio cuiuslibet puncti multum propin- qui puncto coniunctionis, scilicet, quod omnes duae lineae exeuntes a duobus centris duorum uisuum ad quodlibet punctum eorum, fere non differunt in longitudine quantum ad sensum, sed fere erunt aequales.

4. Duae rectae lineae ab utroque uisu ductae ad concursum duorum axium, factum in recta linea ad utrunque axem obliqua, sunt fere inaequales. 41 p 3.

QVando uero lineae duae declinantes, fuerint coniunctae in superficie, in qua sunt duo axes, erunt inaequales. Nam linea, quae exit ex puncto, in quo duo axes coniunguntur, ad punctum declinans ab illo, continet cum duobus axibus angulos inaequales, et duo axes sunt aequales, et linea copulans duo puncta, est communis. Quapropter duae lineae declinantes erunt inaequales: sed ista inaequalitas non operatur in sensum, si punctum declinans fuerit propinquum puncto coniunctio-

nis. Si autem duae lineae declinantes fuerint sub axi- bus, aut super illos, possunt esse aequales. Duo enim anguli, quos continent duo axes cum linea continuante duo puncta, possunt esse aequales, si punctum fuerit sub axibus, aut super eos. Et in positionibus, quę sunt in ter has duas positiones, erit diuersitas, quae est inter duas declinantes, minor quam diuersitas, quae est in- ter duas lineas primas declinantes: et sic non erit inter eas differentia operans in sensum. Ergo duae lineae ex- euntes a duobus centris duorum uisuum ad puncta pro pinqua puncto, in quo coniunguntur duo axes; non differunt fere in longitudine, quantum ad sensum: et axes sunt aequales: et linea quae copulat punctum c on iunctionisconiunctionis cum puncto declinante, ad quod exeunt duae lineae a duobus centris, est communis duobus trian- gulis factis ex istis lineis. Ergo duo anguli, qui sunt apud duo centra duorum uisuum, quibus subtenditur apud superficiem uisi linea communis; erunt aequales: aut fere inter eos non est diuersitas sensibilis: et isti duo anguli semper erunt minimi, quando punctum fuerit ualde propinquum coniunctioni duorum axium. Et cum duae lineae, quae exeunt ad quodlibet pun- ctum propinquum puncto coniunctionis, continent cum duobus axibus angulos aequales: tunc remotio quarumlibet duarum linearum, exeuntium ad idem punctum punctorum propinquorum puncto coniun- ctionis a duobus axibus duorum uisuum, erit remotio aequalis. Ergo positio cuiuslibet puncti super- ficiei uisi, in quo coniunguntur duo axes uisuum, si fuerit propinquum puncto coniunctionis, in re- spectu duorum uisuum, est positio consimilis in parte et in remotione a duobus axibus. Dispositio autem in punctis remotis a puncto coniunctionis, declinantibus ad unam partem ab ambobus axibus, est talis. Anguli, qui sunt inter duas lineas exeuntes ad aliquod punctum eorum et inter duos axes, fortasse dif- ferunt diuersitate aliquantula: et positio omnium huiusmodi punctorum remotorum a puncto coniun- ctionis in respectu duorum uisuum, est positio consimilis in parte tantum: sed non in remotione a duo- bus axibus. Positio igitur cuiuslibet puncti uisi comprehensi ambobus uisibus, cum fuerit alicuius quan titatis et propinquarum diametrorum, apud duos uisus est positio consimilis in parte, et in remotio- ne Quapropter forma eius statuetur in duobus locis consimilis positionis a duobus uisibus: et cum uisum comprehensum ambobus uisibus, fuerit maximarum diametrorum: tunc positio eius puncti, in quo coniungutur duo axes, erit positio consimilis apud duos uisus. Et quanto magis appropinquauerint illi duo puncta, quae sunt in superficie illius uisi, tanto magis positio illorum apud duos uisus erit consi- milis in parte et in remotione simul. Puncta autem, quae sunt in superficie illius uisi, remota a puncto coniunctionis, et declinantia ab ambobus axibus ad unam partem, habent positionem consimilem in parte apud duos uisus, et in remotione forte consimilem, et forte non. Forma igitur partis, quę est apud pun- ctum coniunctionis huius uisi, et eius, quod continet punctum coniunctionis, et eius, quod est illi pro- pinquum, instituitur in duobus locis duorum uisuum consimilis positionis in omnibus dispositionibus. Et instituentur formae partium residuarum remotarum a puncto coniunctionis circundantium partem con- similis positionis continuae cum forma partis consimilis positionis: et sic uniuersum duarum formarum in- stituitur in duobus locis duorum uisuum, inter quae non est maxima differentia in positione: et si fuerit, erit extrema tantum, et erit modica propter cotinuationem duorum extremorum cum duobus medijs, quae sunt consimilis positionis. Et hoc erit, cum duo uisus fixi fuerint in oppositione uisi, et duo axes fuerint fixi in uno puncto eius. Cum autem duo uisus fuerint moti super rem uisam: et duo axes fuerint trans- lati ab illo puncto: et fuerint moti simul per superficiem uisi: tunc positio cuiuslibet puncti illius uisi, et positio punctorum propinquorum illi, in respectu duorum uisuum apud coniunctionem duorum axium in ipso, erit positio consimilis ualde. Et forma cuiuslibet partis uisi apud motum duorum axium per su- perficiem, erit in duobus locis positionis consimilis apud duos uisus: et sic forma omnium partium uisi apud motum et intuitionem erit consimilis dispositionis apud ambos uisus.

5. E pluribus uisibilibus ordinatim intra opticos axes dispositis: remotiora incerte uidentur. 50 p 3.

ET similiter etiam quando uisus comprehenderit uisibilia separata in eadem hora simul: et duo axes fuerint coniuncti in aliquo eorum: et illud uisum, in quo sunt coniuncti duo axes, fuerit pro- pinquarum diametrorum: tunc forma illius uisi instituetur in duobus locis duorum uisuum con- similis positionis. Et etiam forma eius, quod propinquum est illi uiso, si fuerit paruae quantitatis: insti- tuetur in duobus locis duorum uisuum, inter quorum positiones non erit differentia sensibilis.

Forma autem uisi remoti a uiso, in quo duo axes coniungun- tur, quando ambo uisus comprehendunt illud uisum, dum duo axes sunt fixi in illo uiso: instituetur in duobus locis duorum ui- suum consimilis positionis in parte tantum, et non inremotio- ne: aut non omnes partes eorum erunt consimilis positionis in remotione a duobus axibus: nec forma erit certificata. Dein- de si duo uisus fuerint moti, et duo axes: et fuerint coniuncti in unoquoque uisibilium comprehensorum simul: tunc forma utriusque eorum instituetur in duobus locis consimilis positionis in respe- ctu duorum uisuum in parte et in remotione: et tunc certificabi- tur forma uniuscuiusque illorum uisibilium. Et multoties coniun- guntur duo axes amborum uisuum in aliquo uiso: et cum hoc duo uisus comprehendent aliam rem uisam, cuius positio in respectu amborum uisuum erit diuersa in parte. Et hoc erit, quando illud aliud uisum fuerit propinquius ambobus uisibus uiso, in quo di stinguuntur duo axes: et fuerit simul inter duos axes: aut fuerit remotius ab ambobus uisibus uiso, in quo coniunguntur duo axes, et fuerit etiam inter duos axes, cum fuerimus imaginati eos ex tensos post coniunctionem: et uisum, in quo coniunguntur duo axes, non cooperiet uisum, quod est remotius ipso, aut cooperiet quiddam illius. His ergo modis fit comprehensio uisibilium ambobus uisibus.

6. Si duae rectae lineae a medio nerui communis sint contermi- nae rectae connectenti centra foraminum gyri neruorum cauo- rum: constituent triangulum aequicrurum. 30 p 3.

ET etiam declaratum est in secundo tractatu [1. 42 n] quod axis radialis in utroque uisu est eadem linea, quę non transmu- tatur: et quod pertransit centra omnium tunicarum uisus, et extenditur recte per centra omnium tunicarum ad medium loci in- curuationis ex concauo nerui, super quem componitur oculus, qui est apud foramen, quod est in con- cauo ossis: et quod est inseparabilis ab omnibus centris: et quod positio eius apud omnes partes ui-

sus, est positio semper eadem, non transmutabilis apud motum uisus, nec apud quietem eius: et quod positio duorum axium apud duos uisus est positio consimilis in respectu amborum uisuum, apud concauitatem ner- ui communis, ex quo ultimum sentiens comprehendit formas uisibilium. Imaginemur ergo lineam rectam copulantem duo centra duorum foraminum, quae sunt in duabus concauitatibus duorum ossium continen- tium duos oculos: et imaginemur duas lineas exeun- tes a duobus centris duorum foraminum, extensas in duobus medijs duarum concauitatum neruorum Hae ergo lineae coniunguntur in medio concauitatis ner- ui communis: quia positio duorum neruorum in re- spectu communis nerui, est positio consimilis [per 4 n 1] et positio duarum harum linearum apud lineam copulantem duo centra duorum foraminum, erit po- sitio consimilis: quia duorum neruorum positiones, in respectu duorum foraminum, est positio consimi- lis [per 4 n 1] et sic duo anguli, qui sunt inter has duas lineas et lineam copulantem duo centra duo- rum foraminum, erunt aequales [secus dissimilis esset positio neruorum.]

7. Si recta linea sit a medio nerui communis ad medium rectae lineae connectentis centra fo- raminum gyri neruorum cauorum: erit ad ipsam perpendicularis. 33 p 3.

ET imaginemur etiam lineam copulantem duo centra duorum foraminum, diuisam in duo aequalia: et imaginemur lineam exeuntem a puncto, quod est in medio concauitatis nerui communis, in quo duae lineae extensae in concauitatibus duorum neruorum sunt coniunctae, extensam ad punctum diuidens li- neam copulantem duo centra duorum foraminamfaraminum in duo aequalia. Hęc igitur linea erit perpendicularis super lineam copulantem duo centra duorum foraminum [Nam recta connectens centra duorum foraminum, fit basis tri- anguli aequicruri, cuius latera, sunt rectae a medio nerui communis: itaque si recta sit a uertice in medium basis, erit perpendicularis ad basim, per 8 p. 10 d 1.] Et imaginemur istam perpendicularem extensam recte in par- tem oppositam uisui: et sic ista linea erit fixa in eodem statu, et positio eius non transmutabitur: quia punctum, quod est in medio concauitatis nerui communis, in quo duę lineae extensae in duobus medijs concauitatum duo- rum neruorum sunt coniunctae, est unum non transmutabile: et punctum etiam, quod diuidit lineam copulantem duo centra duorum foraminum, est unum non transmutabile. Quapropter positio lineae transeuntis per illa, est una positio, non transmutabilis. Haec igitur linea uocetur axis communis.

8. Si axes, communis et duo optici, in uno uisibilis puncto concurrant: erunt in eodem plano cum rectis, connectente centra foraminum gyri neruorum cauorum, et duabus a medio nerui communis connectenti conterminis. 34 p 3.

ET imaginemur apud punctum aliquod istius lineę, in parte opposita uisui aliquod uisum, et ima ginemur duos uisus inspicere illud uisum, et duos axes simul coniungi in puncto superficiei ui si, in quo axis communis occurrerit superficiei illius uisi: et hoc quidem possibile est in omni uiso, cuius situs ex duobus uisibus est situs consimilis. Cum ergo duo axes fuerint coniuncti in aliquo puncto axis communis, tunc duo axes et axis communis, et linea, quae copulat duo centra foraminum duorum ossium, et duę lineae extensę in concauitatibus duorum neruorum, omnia erunt in una superfi cie. Duo enim axes transeunt per centra duorum foraminum: transeunt enim per duo media concaui tatum duorum neruorum, in loco pyramidationis duorum neruorum. Cum igitur duo axes fuerint con- iuncti in axe communi, erunt omnes in superficie, in qua est axis communis, [per 2 p 11] et similiter linea secans ipsam, quę copulat centra foraminum duorum ossium, et duae lineę extensę in concauitatibus duorum neruorum: et duo axes de loco centrorum duorum foraminum, usque ad punctum coniunctionis, quod est in axe communi, erunt aequales: et positio eorum apud axem communem, erit positio consimilis: et duae par tes duorum axium, quę sunt de centris duorum uisuum usque ad punctum coniunctionis, erunt aequales: et remotio duorum centrorum uisuum a foraminibus duorum ossium, et a centris duorum foraminum, est remotio aequalis: et etiam duae partes duorum axium, quae sunt de superficiebus duorum uisuum usque ad punctum coniunctionis, erunt aequales: nam duae medietates diametrorum sphaerarum duo- rum uisuum sunt aequales.

9. Vtroque uisu uisibile unum plerunque uidetur. 28 p 3. Idem 27 n 1.

ET quia ita est: positio puncti superficiei uisi, in quo coniuncti sunt duo axes, apud duo puncta, per quae transeunt duo axes, erit positio consimilis: et remotio eius ab eis erit aequalis. Et haec duo puncta superficierum uisuum sunt illa, in quibus infigitur forma puncti, in quo coniuncti sunt duo axes. Et etiam positio utriusque duorum punctorum, quae sunt in duobus axibus superficierum duorum uisuum, apud concauitatem nerui communis, erit positio consimilis. Et positio istorum duorum punctorum apud quodlibet punctum in axe communi, est positio consimilis. Ergo positio duorum punctorum, quę sunt in duobus axibus superficierum duorum uisuum, apud punctum axis communis, qui est in medio concauitatis nerui communis, in quo sunt coniunctae duae lineae exeuntes a centris duorum foraminum, est positio ualde consimilis et aequalis. Et ambae formae, quae instituuntur in duo- bus punctis superficierum duorum uisuum, quae sunt in duobus axibus, cum peruenerint ad conca uitatem communis nerui, infigentur in puncto, quod est in axe communi, quod est in medio conca uitatis communis nerui, in quo lineae sunt coniunctae, et efficietur una forma. Et cum duae formae, quae sunt in duobus punctis, quae sunt in duobus axibus superficierum duorum uisuum, figuntur in puncto, quod est in axe communi, quod est in medio concauitatis nerui communis: formae, quae sunt in punctis circundantibus utrunque duorum punctorum, quae sunt in duobus axibus superficierum duorum uisuum, infiguntur in concauitate communis nerui, in punctis circundantibus punctum, quod est in axe communi. Et positio quorumlibet duorum punctorum superficierum duorum uisuum, quorum positio apud duo puncta, in medio in duobus axibus duorum uisuum est positio consimilis in parte et in remotione: apud idem punctum concauitatis nerui communis est positio consimilis. Et puncta, quorum positio apud ipsum est positio consimilis, declinabunt a puncto, quod est in axe communi, quod est in loco coniun- ctionis linearum ex concauitate nerui communis in partem, ad quam ambo puncta, quae sunt in superfi ciebus duorum uisuum, declinant: et remotio eorum ab ipso erit secundum remotiones eorum a duobus axi- bus: et duae formae, quę infiguntur in duobus punctis, quę sunt consimilis positionis apud superficies duorum uisuum, peruenient ad illud idem punctum concauitatis communis ipsius nerui, et superponen tur illi apud illud punctum, et efficietur una forma. Et positio uniuscuiusque punctorum superficiei uisi, quae sunt in circuitu puncti, quod est in axe communi, apud duos axes duorum uisuum est positio con- similis. Ergo forma cuiuslibet puncti eorum infigetur in duobus uisibus in duobus locis consimilis po sitionis, in respectu duorum punctorum, quae sunt in duobus axibus superficierum duorum uisuum. Duae er- go formę uisi, in quo coniuncti sunt tres axes, infiguntur in duobus medijs duarum superficierum duorum uisuum. Et duę formę puncti, in quo sunt coniuncti tres axes, infigentur in duobus punctis, quę sunt in duobus axibus superficierum duorum uisuum. Et quodlibet punctum duarum formarum infigetur in duo- bus locis consimilis positionis de duobus uisibus: deinde duae formae uisae peruenient ad concauitatem nerui communis: et peruenient duae formae, quę sunt in puncto, quod est in duobus axibus, ad punctum, quod est in communi axe, et efficietur una forma. Et quaelibet duę formę, quę sunt in duobus punctis consimilis positionis a duobus uisibus, peruenient ad idem punctum punctorum circundantium punctum, quod est in axe communi: et sic duę formę totius uisi superponentur sibi, et efficietur una forma, et sic unum comprehendetur unum. Secundum ergo hunc modum duę formę, quę infigentur duobus uisibus ab uno uiso, cuius positio in respectu duorum uisuum est consimilis: efficiuntur una forma: et sic sentiens compre- hendit unum uisum, licet duae formę infigantur ab eo in duobus uisibus. Et cum duae formę, quę sunt in duobus punctis, quę sunt in duobus medijs superficierum duorum uisuum, quę sunt in duobus axibus, peruene rint ad punctum, quod est in axe communi: tunc quaelibet duae formae infixae in duabus superficiebus duorum uisuum in duobus punctis, quae sunt in duobus axibus, peruenient semper ad illud idem punctum concauitatis nerui communis, quod est in communi axe. Nam duo puncta, per quae transeunt duo axes duorum uisuum non mutantur: quoniam positio duorum axium apud duos uisus semper est eadem positio, non transmutabilis. Ergo punctum concauitatis communis nerui, ad quod perueniunt duae formę, quę infiguntur in duobus punctis, quę sunt in duobus axibus superficierum duorum uisuum, semper est idem punctum: et est punctum, quod est in communi axe, in quo concurrunt duae lineę exeuntes a duobus cen- tris foraminum duorum ossium extensorum in duobus medijs concauitatum duorum neruorum. Istud igi tur punctum, quod est in concauitate communis nerui, quod est in communi axe, uocetur centrum.

10. Concursus axium opticorum in axe communi facit uisionem certissimam: extra, tanto certiorem, quanto axi propinquior fuerit. 44 p 3.

HOc igitur declarato, declaratum est, quod forma cuiuslibet comprehensi, quod comprehenditur ambobus uisibus, in cuius superficiei puncto concurrunt axes duorum uisuum, infigitur in duo- bus locis superficierum duorum uisuum, quae sunt duo media superficierum duorum uisuum: dein de istae duae formae perueniunt a duobus uisibus ad concauitatem communis nerui ad eundem locum, et superponuntur sibi, et efficitur una forma. Et duae formae puncti, in quo concurrunt duo axes ex uiso, infigentur in duobus punctis, quae sunt in duobus axibus superficierum duorum uisuum, et ibunt ab istis duobus punctis ad punctum centri concauitatis communis nerui, et indifferenter, siue punctum, in quo concurrunt duo axes, fuerit in axe communi, siue extra. Sed tamen cum uisum fuerit in axe com muni, et duo axes concurrerint in puncto ipsius, quod est in axe communi, tunc duae formae istius pun cti erunt magis consimiles. Remotiones enim istius puncti a duobus punctis, in quibus figuntur duę formę istius puncti superficierum duorum uisuum (et sunt illa, quae sunt super axes) erunt aequales: quo- niam duo axes in hac dispositione erunt aequales in longitudine. Et similiter formae cuiuslibet pun- cti propinqui isti puncto, cuius remotiones a duobus punctis, in quibus infiguntur formae suae, sunt aequales, quantum ad sensum, erunt magis consimiles, quam duae formae uisi, quod est extra commu- nem axem. Quapropter forma uisi, quod est in communi axe, cum fuerit infixa in concauitate commu- nis nerui, erit magis certificata. Sed cum uisum fuerit extra communem axem, et remotio non fuerit maxima: tunc suae duę formae, quę infiguntur in duobus uisibus, non maxime different. Quapropter formae eius, quae infiguntur in concauitate nerui communis, non erunt duae. Cum uero uisum fuerit extra communem axem, et maxime fuerit remotum ab ipso: et axes duorum uisuum concurrerint in aliquo puncto ipsius: tunc forma eius infigetur in concauitate communis nerui una forma: et forma puncti eius, in quo duo axes concurrunt, infigetur in puncto communis centri: sed tamen forma eius non erit ue- rificata, sed dubitabilis. Forma igitur puncti uisi, in quo duo axes concurrunt, infigetur in omnibus dispositionibus, in puncto centri concauitatis communis nerui, siue punctum concursus fuerit in com- muni axe, siue extra illum: quod autem remanet de forma uisi, infigetur in circuitu puncti centri. Si autem uisum fuerit minimi corporis, et propinquarum diametrorum, et fuerit in communi axe, uel prope: tunc forma eius infigetur in concauitate communis nerui una forma, et uerificata: et positio cuiuslibet pun cti eius apud duos uisus, est positio consimilis, ut prius declarauimus. Si uero uisum fuerit magni cor poris et remotarum diametrorum, et etiam fuerit in communi axe: tunc forma illius partis, quae est a- pudiocum coniunctionis duorum axium, quae circundat punctum coniunctionis, infigetur in com muni neruo una forma et uerificata, et forma residuarum partium infigetur continua cum forma i- stius partis. Quapropter forma totius uisi infigetur una in omnibus dispositionibus: sed tamen for ma extremorum, et illorum, quae remota sunt a puncto concursus, erit non certificata. Quoniam o- mnis puncti remoti a puncto concursus, figentur duae formae in duobus punctis consimilis positio- nis, in respectu amborum uisuum in fine consimilitudinis: sed forma cuiuslibet puncti remoti a pun cto concursus, figetur in duobus punctis amborum uisuum, quorum positio apud duos uisus est po sitio consimilis in parte, et forte consimilis in remotione a duobus axibus, et forte non consimilis in remotione a duobus axibus. Formę autem eorum, quorum remotio non est consimilis, figentur in conca uitate communis nerui, in duobus punctis obliquis a centro in una parte: et erunt duae. Et si uisum fuerit unius coloris, tunc istud fere nihil operabitur in ipsum, propter consimilitudinem coloris et identitatem formae: Si autem uisum habuerit diuersos colores, aut fuerit in eo lineatio, aut pictura, aut subtiles intentiones: tunc istud operatur in ipsum. Qua propter extremorum forma erit dubitabilis, non certificata. Et cum uisum fuerit magni corporis et remotarum diametrorum, et axes amborum ui- suum fuerint fixi in aliquo puncto eius, et immobiles: tunc forma eius apparet una, et locus concur sus eius, et illud, quod ei propinquum est, erunt certificata et indubitabilia: extrema autem, et illa, quae uicina sunt eis, erunt non certificata propter duas caussas: quarum una est, quod extre- ma comprehendantur per radios remotos ab axe: quapropter non bene erunt manifesta. Secun- da est, quia non forma cuiuslibet puncti eius instituitur in concauitate communis nerui in uno puncto, sed quaedam sunt, quorum forma instituitur in duobus punctis, non in uno. Cum ergo duo axes fuerint moti super omnes partes huius uisi: tunc certificabitur forma eius. Si autem uisum fuerit extra axem communem, et remotum ab ipso: tunc forma eius non erit certificata. Porsi tioPositio enim cuiuslibet puncti illius apud ambos uisus, non est positio consimilis propter inaequa- litatem remotionum puncti huius uisi a duobus punctis superficierum duorum uisuum, in qui- bus instituuntur duae formae eius, et a duobus axibus. Cum igitur ambo uisus obliquabun- tur ad huiusmodi uisum, adeo ut axis communis ueniat ad istud uisum, aut prope, tunc certificabi- tur forma eius.

11. Visibile intra axes opticos situm: uel uni uisui recte, reliquo oblique oppositum: uidetur geminum. 104. 103 p 4.

ET similiter cum ambo uisus comprehenderint multa uisa simul: et axes amborum uisuum si- mul concurrerint in aliquod unum uisorum illorum: et fuerint fixi in illo: residua autem uisa fuerint extra duos axes: et uisum, in quo concurrunt duo axes, fuerit minimi corporis: tunc forma uisi, in quo concurrunt duo axes, in concauitate nerui communis, erit una forma et certifica ta. Et si uisum fuerit super axem communem: tunc forma eius erit magis certificata, quam forma ui- si, quae est extra axem communem, et si in ipso concurrunt duo axes. Visorum autem, quae compre- henduntur a uisu in illo statu, quae sunt propinqua uiso, in quo duo axes concurrunt, si etiam fue- rint ipsa minimi corporis: forma instituitur in concauitate communis nerui una, in qua non erit du bitatio maxima: nam forma eius erit propinqua centro. Ex illis autem uisibilibus, quae compre- henduntur a uisu in isto statu, quod fuerit remotum a uiso, in quo concurrunt duo axes: eius forma instituetur in concauitate istius nerui, dubitabilis: et tunc aut erunt duae formae se mutuo pene- trantes, quia sunt in una parte: quapropter inaequalitas, quae est inter suas positiones in remotione, non erit maxima: unde duae formae se mutuo penetrabunt: aut forma quarundam partium erit du- plex, et forma quarundam erit una: et sic forma huiusmodi uisibilium erit dubitabilis in omnibus dispositionibus, propter diuersitatem positionis radiorum exeuntium ad illa, et quia radij exeun- tes ad illa, erunt remoti a duobus axibus. Forma autem obliqui uisi a duobus axibus, remoti a loco concursus duorum axium, erit non certificata, dum fuerit remota a concursu duorum axium. Cum autem duo axes fuerint remoti, et concurrerint in ipso: tunc uerificabitur forma eius. Cum autem duo axes duorum uisuum concurrerint in aliquo uiso, et hi duo uisus comprehenderint aliud ui- sum propinquius duobus uisibus, uiso, in quo concurrunt duo axes: aut remotius: et fuerit etiam inter duos axes: tunc positio eius apud duos uisus erit diuersa in parte. Nam cum fuerit inter duos axes, erit dextrum unius axis, sinistrum alterius, et radij exeuntes ad ipsum ab altero uiso, erunt de- xtri ab axe, et qui exeunt ad ipsum a reliquo uiso, erunt sinistri: et sic positio eius apud duos uisus erit diuersa in parte. Et forma huiusmodi uisorum instituitur in duobus uisibus, in duobus locis diuersae positionis: et duae formae, quae instituuntur in duobus uisibus, peruenient ad duo loca diuersa conca uitatum communis nerui, et erunt a duobus lateribus centri. Quapropter erunt duae formę, et non superponentur sibi. Et similiter cum fuerit uisum in altero axe, et extra reliquum, forma eius insti- tuetur in concauitate communis nerui, in duobus locis, una scilicet in centro, et alia obliqua a cen- tro, et non superponentur sibi. Secundum ergo hos modos instituetur forma uisibilium in duobus uisibus, et in concauitate communis nerui.

12. Visibile alias unum: alias geminum uideri organo ostenditur. 108 p 4.

OMnia autem, quę diximus, sic possunt experimentari experimento: cum quo ueniet certifica- tio. Accipiatur tabula leuis ligni: cuius longitudo sit unius cubiti: et cuius latitudo sit qua-

tuor digitorum: et sit bene plana et aequalisThis figure and the figure on the following page need to be exchanged, see Errata p. a3v, l. 2: “81, 82 figurarum loca permutata sunt”. et laeuis: et sint fines suae longitudinis aequidistan- tes, et suae latitudines aequidistantes: et sint in ipsa duae diametri se secantes: a quarum loco sectionis extrahatur linea recta aequidistans duobus fini- bus longitudinis [per 31 p 1] Et extrahatur etiam e loco sectionis linea recta perpendicularis super lineam primam positam in medio: [per 11 p 1] et intingantur istae lineae tincturis lucidis diuerso- rum colorum, ut bene appareant: sed tamen duae diametri sint unius coloris. Et fiat cauatura in me dio latitudinis tabulae, apud extremum lineae re- ctae positę in medio, et inter duas diametros con- cauitate rotunda, et quasi pyramidaliter, sic ut pos- sit intrare cornu nasi, quando tabula superpone- tur ei, quousque tangant duo anguli tabulę fere duo media superficierum duorum uisuum, quamuis non tangent. Sit igitur tabula in figura a b c d: et diametri a d, b c: et punctus sectionis sit q: et linea extensa in medio longitudinis sit h q z: et linea se- cans hanc lineam secundum angulos rectos sit k q t: et concauitas, quae est in medio latitudinis ta- bulae, sit illa, quae continetur a linea m h n. Hac igitur tabula facta hoc modo: accipiatur cera al- ba, ex qua fiant tria indiuidua parua columna- ta: et intingantur diuersis coloribus, et erigatur unum indiuiduorum in medio tabulae in puncto q, et applicetur tabulae adeo, ut non possit auferri a suo loco: et sit stans super tabulam statu aequali: duo autem indiuidua reliqua erigantur super extrema lineae latę in duobus punctis k, t: et sic tria indi- uidua erunt in una uerticatione. Et hoc quidem facto: eleuet experimentator hanc tabulam, et su- perponat concauitatem, quae est in medio longitudinis, cornu nasi, et inter oculos adeo, ut cornu nasi intret concauitatem, et applicetur cum tabula, et fient duo anguli tabulę apud duo media superficierum duorum uisuum, et propinqui, ut tangant ipsa fere. Deinde experimentator debet inspicere indiui- duum positum in medio tabulę, et pupillam super ipsum tenere fortiter. Cum igitur experimentator inspexerit indiuiduum positum in medio hoc modo: axes duorum uisuum concurrent in hoc indi- uiduo, et superponentur duabus diametris, aut erunt aequidistantes illis: et erit axis communis, quem prius determinauimus, superpositus lineae extensę in medio longitudinis tabulę, quę est linea h z. De- inde experimentator in hac dispositione debet intueri omnia, quę sunt in superficie tabulę: tunc autem inueniet unumquodque trium indiuiduorum, quę sunt in punctis k, q, t unum: et inueniet lineam k q t etiam unam: linea autem h z extensa in longitudine tabulę, inuenientur duę, se secantes apud indiuiduum posi tum in medio. Et similiter duae diametri etiam, cum experimentator intuetur eas in hoc statu, appare bunt quatuor: utraque earum scilicet duplex. Deinde experimentator debet ponere pupillam circa alte- rum indiuiduorum, quae sunt in duobus punctis k, t, ut duo axes concurrant in indiuiduo posito in ex- tremo: deinde intueatur etiam in hac dispositione: et inueniet trium indiuiduorum unumquodque unum: et lineam positam in latitudine etiam unam: et inueniet lineam mediam extensam in longitudine tabulae duas: et utramque diametrorum duas. Cum igitur experimentator comprehenderit has lineas et indiuidua posita super tabulam: auferat duo indiuidua, quę sunt in duobus punctis k, t: et ponat ea super lineam h z, extensam in longitudine, unum scilicet in puncto l, quod sequitur uisum, et reliquum in puncto s, quod est ultra indiuiduum positum in medio: deinde uertat tabulam ad suam primam positionem, et dirigat pu pillam ad indiuiduum positum in medio: tunc autem inueniet duo indiuidua, quatuor, et obliqua a medio, duo scilicet in dextro, et duo in sinistro: et inueniet ea super duas lineas, quae in rei ueritate sunt una linea in medio, sed apparent duę: et inueniet quaelibet duo horum quatuor super alteram duarum linearum. Et similiter si abstulerit duo indiuidua ab hac linea, et posuerit ea super alteram diametrorum duarum, u- num in parte uisus, et reliquum ultra indiuiduum positum in medio: inueniet illa quatuor: nam utraque dia metrorum apparebit duplex. Quaproter apparebunt super utramque linearum, quae sunt unius diametri, in rei ueritate duo indiuidua, unum in parte uisus, et aliud ultra indiuiduum positum in medio. Et simi- liter si posuerit duo indiuidua super ambas diametros, utrumque super alteram diametrum, et posuerit in ea parte uisus: inueniet illa quatuor: duo propinqua, et duo remota. Deinde experimentator de- bet auferre duo indiuidua a tabula, et ponere alterum eorum super marginem tabulae, ultra punctum k, et prope ipsum ualde, ut super punctum r, et reuertatur tabula ad suam primam positionem, et di- rigat pupillam ad indiuiduum positum in medio: tunc inueniet indiuiduum positum in puncto r, unum. Deinde auferat indiuiduum a puncto r, et ponat ipsum in margine tabulae etiam ultra punctum k, su- per punctum remotum a puncto k, ut super punctum f, et dirigat pupillam ad indiuiduum positum in medio: quoniam tunc inueniet indiuiduum positum in puncto f, duo. Experimentator autem inueniet omnia, quae diximus, cum direxerit pupillam ad indiuiduum positum in medio, aut ad indiuiduum positum

in linea recta in latitudine, aut ad punctum unius li- neę, quodcunque sit, et dum duo axes concurrunt in indiuiduo posito in medio, aut in aliquo puncto li neae positae in latitudine. Si ergo experimentator direxerit pupillam in illo situ ad indiuiduum, positum extra lineam positam in latitudine, aut ad pun- ctum positum extra lineam illam, et concurrerint duo axes in aliquo puncto extra lineam positam in latitudine: tunc indiuiduum positum in medio uidebitur duo: et si reliqua indiuidua fuerint in duobus punctis k, t: tunc utrumque eorum etiam uide bitur duo. Deinde cum experimentator direxerit pu pillam ad medium indiuiduum, aut ad aliquem locum lineae positae in latitudine: statim dispositio reuer- tetur ut in prima figura. Igitur a puncto b extra- hantur lineae b k, b r, b f, linea igitur k b est maior linea b t, [per thesin et 19 p 1] et linea k q est ae- qualis q t [ex thesi.] Sic igitur angulus t b q, est ma ior angulo q b k [per 4 p geometriae Iordani. In triangulo enim b t k ab angulo t b k, inaequalibus lateribus b t, b k comprehenso, recta b q est in me- dium basis t k: itaque angulus q b k ab ipsa b q et ma- iore latere b k comprehensus, minor est angulo t b q, ab eadem b q et minore latere b t comprehenso] et angulus t b q est aequalis angulo k a q [per 8 p 1] ergo angulus k a q est maior angulo k b q. Ergo remotio lineę a k ab axe a q, est maior quam remotio lineae b k ab axe b q: sed differentia inter has duas remotiones est modica: differentia enim inter duos angulos k a q, k b q est parua, et indiuiduum, quod est apud punctum k, uidetur ambobus uisibus u- num, quando axes concurrerint in indiuiduo, quod est apud punctum q. Et duae lineae a k, b k, sunt aequidistantes duobus radijs exeuntibus ad indiuiduum, quod est apud punctum k, cum duo axes con- currerint in indiuiduo, quod est apud q. Similiter dispositio indiuidui, quod est apud punctum r, sci- tur: quoniam radij exeuntes ad ipsum, erunt in uerticatione duarum linearum a r, b r, et uidebitur u- num: et duo anguli r a q, r b q non maxime differunt: et angulus k b r non habet sensibilem quantita tem, quando punctum r fuerit ualde propinquum puncto k. Declarabitur igitur ex hac dispositione: quod uisum, cuius dispositio apud duos axes est una positio in parte, et remotio radiorum exeun- tium ad ipsum a duobus uisibus, non est maxime differens: illud uisum uidebitur duobus uisibus unum. Anguli autem f a q, f b q sunt diuersi diuersitate maxima: et indiuiduum, quod est apud pun- ctum f, uidebitur duo: quoniam duo axes concurrent in indiuiduo, quod est apud punctum q. Decla- rabitur igitur ex hac dispositione, quod uisum, ad quod positio radiorum exeuntium a duobus uisi- bus est diuersa in remotione a duobus axibus maxima diuersitate, uidetur duo: licet positio eius in respectu duorum axium eadem est positio in parte. Positio autem lineae h q z in respectu axium duorum uisuum, est positio diuersa in parte: radij etenim exeuntes ad partem h q a dextro uisu, sunt sinistri ab axe a q: radij autem exeuntes ad hanc partem a sinistro uisu, sunt dextri ab axe b q: radij uero exeuntes ad partem q z a dextro uisu, sunt dextri ab axe a q: et radij exeuntes ad ipsam a sinistro uisu, sunt sinistri ab axe b q: et radij qui exeunt ad ipsum, sunt diuersae positionis in parte: et remotio duorum radiorum exeuntium ad quodlibet punctum illius lineae a duobus uisibus, a duo- bus axibus est aequalis: et ista linea, et omnia posita super ipsam, pręter indiuiduum positum in me- dio, semper uidentur duo, cum duo axes concurrerint in indiuiduo posito in medio. Declaratum igitur est ex hac dispositione, quod uisum, cuius positio in respectu duorum axium est diuersa in parte, semper uidetur duo: quamuis remotiones radiorum exeuntium ad ipsum a duobus uisibus, a duobus axibus sint aequales. Remotiones enim quorumlibet duorum radiorum exeuntium a duobus uisibus ad aliquod punctum eius, erunt in duabus partibus diuersis. Quapropter duae for- mae cuiuslibet puncti eius instituentur in duobus punctis concauitatis communis nerui a duobus lateribus centri. Et similiter etiam est dispositio utriusque diametrorum. Quoniam radij exeuntes ad utramlibet earum a uisu sequente ipsam, erunt a medio uisus, et propinqui axi, et sub axe, et su- pra axem: et radij exeuntes ad ipsam a reliquo uisu, erunt declinantes a reliquo axe: qui uero a de- xtro uisu ad sinistram diametrum, erunt sinistri ab axe: qui autem exeunt a sinistro uisu ad dextram, erunt dextri ab axe. Et formae diametrorum istarum, et omnia puncta, et omnia posita super i- psas, uidentur duo, praeter indiuiduum positum in medio, quando duo axes concurrerint in me- dio indiuiduo.

13. Visibile medio unius uisus recte, reliquo oblique oppositum, uidetur geminum. 103 p 4. Idem 11 n.

DEclarabitur igitur ex hoc, quod uisum, quod in respectu alterius uisus est oppositum medio eius, in respectu autem reliqui est obliquum a medio, uidetur duo. Nam formae puncti, quae instituitur in medio alterius uisi, ueniet ad centrum: forma uero puncti obliqui a medio re- liqui uisus, ueniet ad punctum aliud a centro, et obliquum a centro, secundum obliquationem pun cti superficiei uisus.

14. Visibile, in quo concurrunt axes optici, aut radij his propinqui: uidetur unum. 46 p 3.

EX hac igitur experimentatione et expositione declaratur bene, quod uisum, in quo concur- runt duo axes, semper uidetur unum: et quod unumquodque uisorum, etiam in quibus con- currunt radij, qui sunt consimilis positionis in parte, inter quos non est maxima diuersitas in remotione a duobus axibus, uidetur etiam unum: et quod uisum, in quo concurrunt radij consimi- lis positionis in parte, et diuersae positionis in remotione a duobus axibus maxima diuersitate, uide tur duo: et quod uisum, quod comprehenditur per radios diuersae positionis in parte, uidetur duo: quamuis remotiones radiorum exeuntium ad ipsum a duobus axibus, sunt ęquales: et quod omnia ista erunt sic: dum duo axes concurrent in uno uiso. Et omnia uisa assueta sunt opposita ambo- bus uisibus, et ambo uisus inspiciunt ad quodlibet eorum. Ergo duo axes duorum uisuum sem- per concurrunt in eis, et positio radiorum residuorum, qui concurrunt in communi puncto eorum, est positio consimilis in parte, et non differt in remotione a duobus axibus maxima differentia. Et ideo quodlibet uisibilium assuetorum uidetur ambobus uisibus unum: et nullum uisibilium uide- tur duo, nisi raro. Nullum enim uisibilium uidetur duo, nisi cum compositiopositio eius in respectu amborum ui suum fuerit diuersa maxima diuersitate, aut in parte aut in remotione, aut in utroque. Et positio unius uisi apud duos uisus non diuersatur quidem maxima diuersitate, nisi raro. Caussa igitur propter quam unumquodque uisorum assuetorum uidetur unum ambobus uisibus, declarata est ratione et experientia. Et e- tiam cum experimentator abstulerit indiuiduum, quod est in medio tabulę, et inspexerit medium sectionis, quę est in medio tabulę: et intuitus fuerit tunc lineas scriptas in tabula: inueniet duas diametros qua tuor: et inueniet simul duas illarum quatuor propinquas sibi, et duas a se remotas: et etiam omnes se secantes super punctum medium, quod est punctum sectionis duarum diametrorum, quod est super axem communem: et inueniet utramque illarum remotarum, magis remotam a medio, quam sit in rei ueritate. Deinde cum ex- perimentator cooperuerit alterum uisum: uidebit duas diametros, et uidebit spatium inter eas ma- ius, quam in rei ueritate secundum suam pyramidationem: quod autem est magis amplum de ipso, est latitudo tabulae: et apparebit, quod diameter remota a medio, est diameter, quae sequitur uisum coopertum. Ex quo declaratur, quod duae diametri, quae uidentur propinquae, cum uisio fuerit in utroque uisu: sunt illae, quarum utraque uidetur uisu sequente: et quod duae diametri remotae sunt illae, quarum utraque uidetur uisu obliquo. Propinquitas autem duarum e quatuor est: quia cum duo axes concurrerint in indiuiduo posito in medio: tunc utraque diametrorum comprehende- tur a uisu sequente per radios ualde propinquos axi. Quapropter formae eorum propter hoc e- runt in concauitate communis nerui ualde propinquae centro, et erit punctus sectionis eorum in ipso centro: unde uidentur propinquae sibi, et medio. Remotio autem duarum e quatuor est: quia utraque diametrorum comprehenditur etiam alio uisu obliquo ab ipso. Quapropter comprehen- ditur per radios remotos ab axe: et altera comprehenditur per radios dextros ab axe, et reliqua per radios sinistros ab axe alio. Quapropter formae earum instituentur in concauitate communis nerui remotae. Infigentur enim in duabus partibus contrarijs in respectu centri, et etiam remotis a cen- tro: unde duę diametri habent duas formas propinquas sibi, et duas formas remotas a se. Quare ue ro comprehendatur remotio utriusque remotarum a medio, maior quam sit sua remotio uera: est: quia remotio, quę est inter duas diametros, comprehenditur ab utroque uisu maior, quam sit in rei ueritate: et hoc apparet, quando experimentator cooperuerit alterum uisum, et inspexerit per reliquum. Quare uero, quando experimentator cooperuerit alterum uisum, et inspexerit per reliquum tantum: inue niat spatium inter duas diametros magis amplum, quam in rei ueritate: est: quia spatium, quod est inter duas diametros, comprehenditur ab utroque uisu ualde propinquum uisui: et omne, quod est ual de propinquum uisui, uidetur maius, quam sit in rei ueritate. Et causa huius declarabitur post, cum loquemur de deceptionibus uisus. Ex consideratione igitur dispositionum diametrorum, quae sunt in tabula, et indiuiduorum positorum super eas, non in medio: apparet, quod omne uisum positum super axem communem, et comprehensum a uisu per axem radialem, comprehenditur in suo loco, siue comprehendatur uno uisu, et per unum axem axium duorum uisuum, siue comprehendatur per duos uisus et ambos axes. Et declaratur, quod omne uisum comprehensum per unum uisum et per axem radialem, quod uisum non est super axem communem, comprehenditur in loco propinquiore commu- muni axi quam suo loco uero: et hoc etiam sequitur in eis, quae comprehenduntur per residuos radios, praeter axem. Quoniam cum uisus comprehenderit rem uisam secundum quod est: et instituta fuerit for- ma in concauitate communis nerui in uno loco: et continua sibi inuicem secundum continuationem rei uisae: et punctum uisi, quod est super axem radialem, cum non fuerit super axem communem, uideatur in loco propinquiore communi axi, quam suo loco uero: tunc puncta sua residua etiam uidentur in loco propinquiore communi axi, suo loco uero, quia sunt continuata cum parte, quae est apud extremum axis. Et si axes duorum uisuum concurrerent in aliquo uiso extra axem communem, sequeretur etiam ista dispositio: scilicet quod uideretur in loco propinquiore communi axi, quam suo loco uero. Sed ista po sitio raro accidit. Cum enim illi axes duorum uisuum concurrerint in aliquo uiso: tunc in pluribus dis- positionibus axis communis transibit per illud uisum, et nunquam axes duorum uisuum concurrent in aliquo uiso extra axem communem, nisi per laborem aut per impedimentum cogens uisum ad hoc. Et haec dispositio non apparet in uisis assuetis. Nam cum acciderit hoc in aliquo uiso assueto: continget in omnibus uisis continuis cum illo uiso: unde positio uisorum inter se inuicem non transmutabitur propter hoc. Et cum positio illius uisi in respectu uisorum uicinantium non fuerit transmutata: tunc non apparebit transmutatio sui loci, cum acciderit in uisis assuetis. Quando igitur consideratur haec uia praedicta: declarabitur ex illa experientia, quod hoc sequitur in omnibus uisis, in quibus concur- runt axes duorum uisuum, quae sunt extra axem communem. Et etiam oportet experimentatorem acci- pere tres schedulas pergameni, paruas, aequales: et scribat in una uerbum aliquod scriptura mani- festa: et in residuis scribat illam eandem partem: et in illa quantitate et in illa figura: et ponat indiui- duum unum in medio tabulae, ut prius: et ponat etiam alterum indiuiduum super punctum k. Dein de applicet unam schedulam cum indiuiduo, quod est in medio tabulae, et aliam in puncto k: et obser uet, ut positio eius sit, sicut positio primae schedulae: et ponat tabulam, ut prius fecit: et dirigat pupil lam ad schedulam, quę est in medio indiuiduo: et intueatur illam: tunc comprehendet partem scriptam super illam certa comprehensione: et comprehendet simul in illa dispositione aliam schedulam, et par tem scriptam in ea, sed non bene declaratam, sicut est pars similis illi, quae est scripta in media schedula, licet sint consimiles in figura, forma et quantitate. Deinde in hac dispositione oportet experimentatorem accipere tertiam schedulam manu sequente punctum k: et ponat illam in uerticatione duarum sche dularum, quę sunt in tabula, et in rectitudine extensionis lineae, quę est in latitudine tabulae, quae est in superficie tabulae, quantum ad sensum: sed tamen sit remota a tabula: Et huius uerticatio uocetur uerticatio facialis. Et obseruet experimentator, ut positio tertiae schedulae, et positio partis, quae est in illa, quando ponit schedula, sit similis positioni duarum schedularum, quae sunt in tabula: et tunc figat ambos uisus in schedulam positam in medio, et dirigat pupillam ad ipsam: et tunc quidem comprehendet tertiam schedulam, si non fuerit multum remota a tabula: sed comprehendet formam partis, quae est in ea, dubitabilem, non intelligibilem, et non inueniet eam, sicut inuenit formam partis similis illi, quae est in me- dio tabulę: nec sicut inuenit formam partis, quę est apud punctum k, dum ambo uisus direxerint pupillam ad schedulam, quae est in medio. Deinde auferat experimentator indiuiduum, quod est apud puctum k, et schedulam, quae est in illo: et appropinquet schedulam, quam tenet in manu, quousque applicet eam ad latus schedulae, applicatae cum indiuiduo posito in medio: et praeseruet se, ut schedula sit per- pendicularis super lineam positam in latitudine: et dirigat pupillam, sicut prius, ad schedulam po- sitam in medio: tunc quidem in medio comprehendet ambas partes, quae sunt in duabus schedu- lis comprehensione manifesta et certificata, et non erit inter duas formas duarum partium in de- claratione et certificatione differentia sensibilis. Deinde experimentator moueat schedulam, quam tenet in manu motu subtili super lineam positam in latitudine: et praeseruet se, ut situs eius sit, sicut erat prius: et intendat certificare schedulam, quae est in medio, et intueatur bene duas schedulas in hoc statu: tunc quidem uidebit, quod quanto magis schedula mota remouetur a medio, tanto ma- gis diminuitur declaratio partis, quae est in ea. Cum igitur uenerit apud punctum k: tunc inueniet formam partis intelligibilem, sed non tantum, quantum, cum esset apud suam applicationem cum schedula, quae est in medio. Deinde experimentator moueat schedulam etiam: et extrahat illam a ta bula: et remoueat illam paulatim et paulatim in uerticatione lineae positae in latitudine: et intueatur considerans optime: et dirigat pupillam ad schedulam positam in medio: quoniam tunc inueniet, quod schedula mota, quanto magis remouetur a medio, tanto minus apparebit pars scripta in ea, adeo quod erit non intelligibilis omnino. Deinde cum mouerit illam post hoc: uidebit, quod quanto ma- gis illa remouetur a medio, tanto magis latebit forma illius partis scriptae in ea. Et etiam cooperiat experimentator uisum, qui sequitur punctum t: et figat tabulam in eadem dispositione: et dirigat pu- pillam unius uisus, qui sequitur punctum k, ad schedulam positam in medio: et applicet aliam sche- dulam ad latus schedulae positae in medio, sicut fecit prius: tunc quidem inueniet partem, quae est in alia schedula, manifestam, inter quam et schedulam positam in medio, non est differentia sensibilis. Deinde moueat secundam schedulam, ut primo fecit: et intendat schedulam positam in medio: et dirigat pupillam ad ipsam: tunc quidem inueniet partem, quae est in secunda schedula apud motum latere. Et cum peruenerit ad punctum k: tunc erit inter suam certificationem in hoc statu, et suam certificationem apud applicationem suam cum ea, quae est in medio: differentia sensibilis. Deinde moueat hanc schedulam, et extrahat illam a tabula, ut primo fecit: et intueatur schedulam in medio positam: tunc quidem inueniet, quod schedula mota, quanto minus remouetur a medio, tanto mi- nus diminuitur declaratio, quae est in ea: adeo quod forma eius omnino erit intelligibilis: et quan- to magis remouetur a medio, tanto magis latebit.

15. Visibile in axium opticorum concursu certissime uidetur: extra tanto certius, quanto concursui fuerit propinquius. 45 p 3.

APparet ergo ex hac consideratione, quod manifestissimum uisibilium facialium uisui, quae comprehenduntur ambobus uisibus: est illud, quod est apud concursum duorum axium: et quod est propinquius concursui duorum axium, est manifestius remotiore: et quod forma remoti uisi ad concursum duorum axium est non certificata, licet comprehendatur utroque uisu. Amplius apparet ex hac consideratione, quod manifestissimum uisibilium facialium, quę compre- henduntur uno uisu: est illud, quod uidetur per axem radialem: et illud, quod est propinquius illi, est manifestius, quam illud, quod est remotius: et quod remotum uisum a radiali axe habet formam dubitabilem, non certificatam.

16. Visibile magnum simul totum aequabiliter non uidetur. 48 p 3.

AMplius apparet, quod uisus non comprehendit rem uisam, quae est remotarum diametrorum, uera comprehensione, nisi moueat radialem axem super omnes eius diametros, et super o- mnes eius partes, siue comprehensio sit ambobus uisibus, siue uno. Visus enim cum fuerit fixus in oppositione uisi, quod est maximarum diametrorum, non comprehendet totum uera com prehensione: sed solum illud, quod est super axem et prope, certificata scilicet comprehensione: resi- duae uero partes eius, et illud, quod remotum est ab axe scilicet, comprehendetur, sed non certe, li- cet uisum sit faciale, et indifferenter, siue comprehensio sit utroque uisu, siue uno tantum. Postea o- portet experimentatorem accipere pergamenum quatuor digitorum in omni diuisione, in quo scri- hat lineas scriptura subtili, tamen manifesta et intelligibili. Deinde auferat indiuiduum positum super tabulam: et superponat tabulam prope uisum, ut prius fecit: et erigat pergamenum super li- neam positam in latitudine, quae est in medio tabulae: et dirigat pupillam utroqe uisu ad medium pergameni, et intueatur ipsum: quoniam tunc inueniet scripturam, quae est in pergameno, apertam et intelligibilem: Sed tamen scriptura, quae est in medio pergameni, est manifestior, quam quae est in extremis: quando uisus direxerit pupillam ad medium pergameni, et non fuerit motus super o- mnes eius diametros. Deinde obliquet pergamenum adeo, ut secet lineam positam in latitudine, in puncto posito in medio tabulae, quod est punctum sectionis (obliquatio autem pergameni su- per lineam positam in latitudine sit parua) et inspiciat ambobus uisibus medium pergameni: quo- niam tunc inueniet scripturam legibilem, sed non tantum, quantum cum pergamenum erat facia- le. Deinde experimentator debet obliquare pergamenum obliquatione maiore prima, ita ut me- dium eius sit super punctum sectionis: et dirigat pupillam utroque uisu ad medium eius: tunc quidem uidebit scripturam latentiorem prima. Deinde etiam obliquet pergamenum paulatim, ita ut me- dium eius semper sit in puncto sectionis, et intueatur successiue: et tunc inueniet scripturam late- re apud obliquationes pergameni: et quanto magis pergamenum fuerit obliquum, tanto magis latebit scriptura, adeo ut pergamenum appropinquet lineae extensae in medio longitudinis tabulę: et tunc scriptura, quae est in pergameno: uidebitur multum dubitabilis, et fere non intelligibilis, et non certificata. Deinde oportet experimentatorem uertere pergamenum ad primam positio- nem: et erigere ipsum super lineam positam in latitudine: et cooperire alterum uisum: et inspicere pergamenum reliquo uisu: et tunc inueniet scripturam manifestam, et legibilem. Deinde obliquet pergamenum, ut prius fecit: et inspiciat ipsum uno uisu: et tunc inueniet scripturam latentiorem, quam cum erat apud oppositionem facialem. Deinde obliquet pergamenum plus paulatim et pau latim: et intueatur ipsum multoties: et tunc inueniet, quod quanto magis obliquatur, tanto ma- gis latet pars scripta, adeo ut pergamenum appropinquet diametro, quae sequitur uisum apertum. Declarabitur ergo ex hac consideratione, quod manifestissimum uisibilium, quae sunt super axem radialem: est illud, quod est faciale uisui: et quod illud, cuius positio est magis facialis, est manife stius illo, cuius positio est minus facialis: et quod illud, quod est obliquum ab axe radiali obliqua- tione maxima, est dubitabile, non intelligibile, siue uisio sit utroque uisu, siue uno. Deinde oportet experimentatorem uertere indiuiduum, quod erat super tabulam: et ponere ipsum in medio tabu- lae: et applicare ipsum ad punctum sectionis, ut in prima consideratione. Deinde erigat pergame- num super alteram partem lineae positae in latitudine super uerticationem facialem: et dirigat pu- pillam utroque uisu ad indiuiduum positum in medio: In hac quidem dispositione comprehendet pergamenum, et scripturam, quae est in ipso: sed illud, quod propinquum est indiuiduo posito in medio: erit manifestum, et quod remotum est ab illo, est dubitabile et latens: et quanto magis re mouetur ab indiuiduo, tanto magis latet. Et iterum oportet experimentatorem obliquare perga- menum in hoc statu, ita ut secet lineam positam in latitudine super aliquod punctum alterius eius partis: et sit parua obliquatio: et dirigat pupillam ad indiuiduum positum in medio: tunc quidem uidebit scripturam, quae est in pergameno latentiorem, quam cum erat facialis. Deinde obliquet plus pergamenum: et dirigat pupillam ad indiuiduum positum in medio: tunc quidem uidebit scripturam dubitabilem, non manifestam, nec legibilem. Deinde oportet experimentatorem coo- perire alterum uisum, et inspicere uno uisu: et uertat pergamenum in sua prima positione: et erigat ipsum super partem lineae positae in latitudine, quae sequitur uisum inspicientem et dirigat pupil- lam unius uisus ad indiuiduum positum in medio: tunc quidem comprehendet etiam scripturam, quae est in pergameno, et uidebit illam, quae est prope indiuiduum, manifestiorem remota, et uide- bit illam, quae est remotissima ab indiuiduo, dubitabilem, et non legibilem. Deinde obliquet per- gamenum ita, ut secet lineam positam in latitudine super punctum partis, super quam erat erectum, et inspiciat indiuiduum positum in medio, illo eodem uisu: tunc quidem uidebit scripturam, quae est in pergameno, dubitabilem, et illegibilem magis, quam cum pergamenum erat faciale. Dein- de obliquet pergamenum magis paulatim ac paulatim, et uidebit, quod quanto magis obliquatur pergamenum, tanto magis latebit scriptura. Apparet ergo ex hac consideratione, quod uisum, quod est faciale, est manifestius uiso obliquo: quamuis uisum non fuerit super axem radialem, sed extra ipsum. Visum enim quando multum est obliquum, latet multum, licet non sit super axem ra- dialem, siue uisio sit utroque uisu, siue uno tantum. Et iterum oportet experimentatorem auferre indiuiduum a tabula: et erigere pergamenum super extremum tabulae: et superponere finem eius fini latitudinis tabulae, qui est c d: et dirigat pupillam utroque uisu ad medium pergameni: quoniam tunc inueniet scripturam manifestam et legibilem. Deinde obliquet pergamenum ita, ut secet la- titudinem tabulę super punctum z, quod est in medio latitudinis tabulę, et dirigat pupillam utro- que uisu ad medium pergameni: tunc quidem uidebit scripturam latentiorem, quam prius. Dein- de addat in obliquatione pergameni paulatim et paulatim: et uidebit scripturam latere paulatim et paulatim, adeo, ut si obliquatio pergameni fuerit maxima: uideat scripturam ualde latentem in eadem dispositione, in qua erat, quando considerabatur in medio tabulae. Et similiter si considera- uerit ipsum in hoc loco uno uisu. Deinde oportet experimentatorem ponere indiuiduum super punctum z, et erigere pergamenum super alteram partem latitudinis, apud extremum tabulae, si- cut fecit in medio tabulae: et dirigat pupillam ad indiuiduum positum in medio, et intueatur per- gamenum, et consideret scripturam: tunc enim uidebit dispositionem, sicut uidebat eam, quan- do erat in medio tabulae, siue consideretur utroque uisu, siue uno. Deinde oportet experimenta- torem etiam experiri schedulas paruas, quas praediximus, apud extremum tabulae, et uidebit dis- positionem in eis, sicut cum erant in medio, scilicet, quod pars, quae est in media schedula, est manifestior parte, quae est in schedula remota a medio: et quanto schedula magis est remota a me- dio, tanto magis latebit pars. Sed tamen uidebit, quod remotio a medio, apud quam latet pars po sita in extremo, quando consideratio fuerit apud extremum tabulae, est proportionalis ad remo- tionem a medio, apud quam latet pars posita in extremo, quando consideratio fuerit in medio ta- bulae: est enim secundum remotionem radiorum exeuntium ad extremum ab axe. Proportio igi- tur remotionis, apud quam latet forma posita in extremo, a forma posita in medio, ad remotionem formae positae in medio, est eadem proportio in consideratione apud medium tabulae, et in considera- tione apud extremum eius. Et similiter etiam si experimentator abstulerit tabulam: et posuerit pergamenum, in quo est scriptura in maiore distantia, quam longitudo tabulae sit, et ubi possit legere scripturam: et fuerit faciale uisui: et intueatur ipsum: deinde obliquauerit ipsum in suo loco: inueniet scriptu- ram latere: et si magis obliquauerit, magis latebit, ita quod si multum obliquauerit ipsum, adeo ut positio eius sit propinqua positioni radiorum exeuntium ad medium eius: tunc uidebit scripturam in pergameno latentem ualde, adeo, ut non possit legi: et hoc uidebit, siue consideretur utroque uisu, siue uno tantum. Et similiter cum fixerit aliquam schedularum paruarum in loco opposito ui sui remotiore, quam sit longitudo tabulae: et posuerit ipsam facialem uisui: et direxerit pupillam ad ipsam utroque uisu: et posuerit aliam schedulam obliquam super illam, aut dextrorsum aut sini- strorsum: et erexerit eam ita, ut sit facialis: inueniet eam latentiorem. Deinde si aliquis mouerit secundam schedulam, et remouerit eam paulatim et paulatim a schedula, ad quam dirigit pupil- lam: inueniet, quod forma partis, quae est in schedula, quae est in extremo, quanto magis illa re- motior est a secunda schedula, tanto magis latet, adeo ut fiat illegibilis omnino. Et similiter si con- siderauerit has duas schedulas, uno uisu: inueniet talem dispositionem.

17. Visibile uisui directum, certissime uidetur: obliquum tanto minus, quanto obliquius. 33 p 4.

DEclaratur ergo ex istis considerationibus omnibus, quod manifestissimum uisibilium in o- mnibus remotionibus est illud, quod est super axem radialem: et quod illud, quod est pro- pinquius axi, est manifestius remotiore ab ipso: et quod uisum remotum ab axe maxima re motione, est dubitabilis formę, non certificabilis, et indifferenter, siue uisio sit uno uisu, siue utroque. Amplius etiam quod uisum faciale est in omnibus remotionibus manifestius uiso obliquo: et quod quanto magis positio uisi appropinquat positioni faciali, tanto erit manifestius: et quod ui- sum obliquum super lineas radiales obliquatione maxima, habet formam multum dubitabilem, et non certificatam a uisu, siue uisio sit uno uisu, siue utroque, et siue uisum sit super axem, siue extra axem. Quare uero uisum multum obliquum sit dubitabilis formę, licet remotio eius sit mediocris, et licet magnitudo sit comprehensa, secundum quod est: et quare uisum faciale sit manifestius obliquo, haec est: quia forma uisi multum obliqui instituitur in superficie uisus congregata propter suam ob- liquationem. Quoniam cum uisus fuerit multum obliquus, tunc angulus, quem subtendit uisum super centrum uisus, erit paruus, et pars uisus, in qua instituitur forma illius uisi, erit minor multo parte, in qua instituitur forma illius, si fuerit faciale uisui, et partes eius paruae sustentantur apud ui sum angulis insensibilibus, propter maximam obliquationem. Pars enim parua cum multum fuerit obliqua: tunc duae lineae exeuntes a centro uisus ad extrema illius partis, fient quasi una linea. Quapropter sentiens non comprehendit angulum contentum inter eas, neque partem, quam di- stinguit ex superficie uisus. Et uisum multum obliquum erit dubitabile, quia forma eius, quae infi- gitur in uisu, erit congregata maxima congregatione, et partes eius paruae erunt insensibiles, et i- deo forma eius erit dubitabilis. Et ideo si in huiusmodi uiso fuerint subtiles intentiones, non com prehendentur a uisu propter latentiam suarum partium paruarum, et propter congregationem formae. Visum autem faciale est e contrario. Nam forma eius, quae instituitur in uisu, erit ordinata secundum quod est in superficie uisi, et partes eius paruae, quae possunt comprehendi a uisu, erunt manifestae et ordinatae in superficie uisus secundum suam ordinationem in superficie uisi: et tunc forma erit manifesta, et non dubitabilis. Et uniuersaliter intentiones subtiles, et partes subtiles, et ordinatio partium uisi non comprehenduntur a uisu uera comprehensione, nisi cum forma impri- mitur in superficie membri sentientis, et instituitur quaelibet pars eius in parte sensibili superficiei membri sentientis. Et cum uisum fuerit multum obliquum: tunc forma eius non imprimetur in uisu, neque formae aliquarum partium paruarum infigentur in parte sensibili uisus. Hoc enim non fit, nisi quando uisum fuerit faciale, aut quando obliquatio eius fuerit parua, et fuerit remotio eius simul ex remotionibus mediocribus, in respectu remotionum, quae sunt in illo uiso. Comprehen- sio uero magnitudinis uisi obliqui multum, secundum quod est, cum fuerit in remotione medio- cri, licet obliquatio eius sit maxima: non est ex ipsa forma uisi, quae instituitur in uisu, tantum, sed ex ratione extra formam, scilicet ex hoc, quod comprehendens comprehendit diuersitatem dua- rum remotionum extremorum eius, cum hoc, quod comprehendit mensuram formae. Et cum ui- sus comprehenderit diuersitatem remotionis duorum extremorum uisi multum obliqui, et com- prehenderit differentiam maximam inter eas: statim uirtus distinctiua imaginabitur positionem il lius uisi, et comprehendet mensuram eius secundum diuersitatem remotionum duorum extremo- rum eius: et secundum mensuram partis, in qua instituitur forma: et secundum mensuram anguli, quem subtendit illa pars apud centrum uisus, non solummodo ex ipsa forma. Et cum uirtus distinctiua comprehenderit diuersitatem duorum extremorum uisi multum obliqui, et comprehenderit obliquationem eius: statim percipiet congregationem formę. Comprehendit ergo mensuram eius, cum senserit quantitatem obli quationis eius non secundum mensuram formae, sed secundum positionem eius. Et partes paruae et sub- tiles intentiones, quae sunt in uiso, non possunt comprehendi ratione, si uisus non senserit illas par tes, aut illas intentiones. Latentia igitur formae uisi accidit ex congregatione formae eius in uisu, et ex latentia partium eius paruarum. Et apparentia formae uisi cum fuerit in remotione mediocri, est propter impressionem formę in uisu, secundum quod est, et propter hoc, quod sentit uisus partes eius paruas. Qua- re igitur forma uisi maxime obliqui sit dubitabilis, forma autem uisi facialis sit manifesta, declaratum est. His autem declaratis, incipiendum est a sermone de deceptione uisus, et declarandę caussę et species earum.

DE CAVSSIS, QVIBVS VISVI ACCIDIT DE- ceptio. Cap. III.

18. Ad uisionem perficiendam octo necessaria sunt: quorum quodlibet ad uitandum allu- cinationes, uisibili symmetrum esse oportet. 1. 2. 13. 14. 15. 16. 19. 56 p 3. 1 p 4. Vide 36 n 1.

DEclaratum est in libro primo [36 n] quod ad hoc, ut formas corporis uisi directe uisus com prehendat, necessaria est quorundam aggregatio, quae sunt Longitudo: Oppositio: Lux non multum debilis: Soliditas corporis: Magnitudo eiusdem: Raritas intermedij aeris: si enim adfuerit alicuius horum defectus, non erit uisus. Planum est etiam ex libro secundo [12. 13. 20 n] quod nihil potest uisus comprehendere ex corporibus, nisi in tempore. Tempus igitur est unum eo- rum, quae necessaria sunt ad hoc, ut fiat uisus. Similiter infirmitas oculi impedit uisum: quare sani- tas erit unum necessariorum. Amplius iam explanatum est in parte praecedente [15. 17 n] quod corpus multum elongatum ab axe, occultatur uisui: et si multum tunc fuerit declinatum, non ple- ne comprehendetur. Necessarius ergo est situs ad complementum uisus, cum non plena fiat com- prehensio, nisi in situ determinato. Sunt ergo octo necessaria ad operationem uisus, Longitudo: Situs: Lux: Magnitudo corporis: Soliditas: Raritas aeris: Tempus: Sanitas uisus. Et quodlibet isto- rum latitudinem habet proportionatam ad rem uisam. Verbi gratia, corpus aliquod ab aliqua di- stantia plene comprehenditur, ab alia non plene: et inter illas distantias est latitudo magna, in qua fit plena comprehensio illius corporis, quae est latitudo longitudinis, respectu tanti corporis, et se- cundum quod maius fuerit corpus, maior erit latitudo distantiae eius. Pari modo cum magna fue- rit corporis alicuius declinatio: non comprehendentur notae, uel particulae, quae sunt in eo: si autem in eadem declinatione uideatur corpus, in quo maioris quantitatis notae, uel partes minus minutę fuerint: comprehendentur: in minore autem declinatione corporis primi, uidebuntur eius minu- tiae: et est inter has declinationes latitudo. Similiter corpus paruum circa axem situm uidetur: mul tum elongatum, occultatur: et in eadem elongatione corpus maius uidebitur. Palam ergo, quod situs habet latitudinem proportionatam ad corporis magnitudinem et minutias eius. Lucem pla- num est habere latitudinem: fortitudo enim lucis cum magna fuerit, obfuscat apparentiam corpo- ris: et similiter etiam eiusdem debilitas: sed erit corporum apparentia in lucibus intermedijs. Prae- terea in luce aliqua quaedam partes corporis comprehenduntur, et in eadem luce aliae minutissimae ab- sconduntur, quae in luce maiore uiderentur. Est ergo latitudo lucis proportionata ad magnitudinem corporis. Magnitudo corporis habet latitudinem: Si enim partes rei uisae non fuerint proportionales totali: occultabuntur uisui: si uero fuerint proportionales, et corpus totale fuerit modicum, adhuc ab- scondentur. Vnde in auibus et animalibus minutis particulas aliquas non percipimus, licet sint pro- portionales eis: Si autem magnum fuerit corpus uisum, et partes eius proportionales: non latebunt usque- adeo. Est igitur latitudo magnitudinis rei uisae proportionata ad totale corpus, cuius pars fuerit. Soliditas autem habet latitudinem proportionatam ad rem uisam. Si enim in corpore aliquo color acutus fuerit: licet paucae soliditatis: uideri poterit, quod eadem soliditate manente non accideret, si color esset obtusus. Raritas aeris habet latitudinem. Si enim uisui et scripturae interponatur aer parum solidus, ut flamma uel fumus, scriptura non discernetur, pergamenum tamem uidebitur: et sic in huiusmodi alijs. Est ergo proportionata haec latitudo secundum uisa. Tempus habet latitudinem. Si quis enim per foramen inspiciat corpus, quod statim transeat, non percipietur. Similiter motus trochi (quia uelocissi- mus) in tempore multum paruo non attenditur. Similiter accidit in motu multum paruo. Sani- tas habet latitudinem. In quadam enim infirmitate minutiae corporis uisi absconduntur, in mino- re percipiuntur. Et generaliter quilibet situs, in quo non uerificatur forma rei uisae, sicut est in ueri- tate, est situs egressus a temperantia ad rem uisam illam proportionata. Egreditur autem situs rei uisae a temperamento in longitudine: uel propter maximum longitudinis excrementum: uel maxi mam eius diminutionem. In situ fit egressio a temperantia per maximam ab axe elongationem: per situs corporis respectu duorum uisuum diuersitatem: per maximam eius declinationem. In lu- ce egressum a temperantia efficit fortitudo maxima eius, uel debilitas nimia. In magnitudine di- minutio quantitatis rei uisae. In soliditate raritatis intensio. In aere nimia eius spissitudo. In tempo- re minima eius duratio. In sanitate debilitas uisus maxima, uel eius immutatio secundum aegritu- dinem. Habet autem temperamentum latitudinem, quae sic patebit. Viso aliquo corpore, et pau- lulum a uisu elongato uel adducto: dum uidetur distans a ueritate insensibili proportione, adhuc est de temperamento: et ita donec proportionalis sit, et sensibilis apparentiae mutatio. Mensura- tur etiam temperamenti latitudo in quolibet istorum secundum proportionem eius ad alia septem: et secundum colorem et partium corporis paruitatem. Igitur latitudo temperamenti longitudinis attenditur, et secundum colorem et secundum minutias, quae in corpore fuerint, et secundun lu- cem, et sex alia, quae dicta sunt. Secundum coloris uarietatem: quoniam corpus fortis et acuti co- loris, a maiore longitudine percipitur, quam obscuri et debilis. Vnde latitudo temperamenti longitudinis maior, est proportionata magis ad colorem fortem, quam ad debilem. Similiter si fuerint in corpore uiso notae notabiles, a maiore longitudine comprehendentur, quam si multum paruae. Vnde maior longitudinis temperantia, respectu partium corporis notabilium, quam respe ctu minutarum. Pari modo maius est temperamentum longitudinis ad rectam corporis oppositio- nem proportionatum, quam ad eius declinationem. Similiter erit maius secundum propinquita- tem corporis ab axe, quam elongationem. Eodem modo maior est temperamenti longitudinis la- titudo in forti luce, quam in debili. Et maior, si corpus uisum fuerit magnum, quam si paruum. Similiter corpus multum solidum a maiore longitudine percipitur, quam minus solidum. Vnde soliditati corporis proportionatur longitudinis temperamentum. Ad qualitatem aeris propor- tionatur temperamentum longitudinis: quoniam spissitudo aeris ab aliqua longitudine corpora uisui abscondit, quae ab eadem, uel a maiore longitudine, claritas exponit. Temporis quantita- ti proportionatur temperamentum longitudinis. Quoniam in tempore aliquo motus corporis percipitur ab aliqua longitudine, et a maiore percipietur in maiore tempore. Pari modo in aliquo statu sanitatis uisus, in maiore longitudine uidebitur corpus, quam in minore. Similiter mensura- tur temperamentum situs, secundum proportionem factam ad longitudinem, ad colorem, ad mi- nutias corporis, ad lucem, et ad alia, quae enumerauimus. Et tu considera, et singulis adapta, et ui- dere poteris facile: et eodem modo proportionabis temperamentum cuiuslibet istorum ad omnia alia, et uidebis, quod dictum est per singula. Quando ergo singula eorum, quae enumerata sunt, fuerint in latitudine temperamenti sui: apparebit ueritas formae rei uisae, sicut est in re: quando au- tem non apparet forma, sicut est in ueritate, egressum est uel aliquod praedictorum a temperamen- to, aut plura eorum. Igitur caussa, quare erret uisus in comprehensione formarum, non est, nisi egres- sus alicuius praedictorum a temperamento, aut plurium. Et haec dicenda in hac erant parte.

DE DISTINGVENDIS ERRORIBVS VI- sus. Cap. IIII.

19. In uisione erratur aut solo uisu: aut anticipata notione: aut syllogismo.

PLanum est ex libro secundo [10 n] quod comprehensio rerum fit per sensum, scientiam, syl- logismum. Cum autem accidit error in his, quorum fit comprehensio per solum sensum: sci- mus quod est error sensus tantum. Cum uero in ijs, quae per scientiam comprehendit, quis errauerit: in scientia tantum erit error. Si uero in his, quae per syllogismum comprehenduntur, er ret quis: erit error in syllogismo tantum. Sensus acquirit lucem et colorem tantum, sicut dictum est [17 n 2.] Scientia uero praetendit ea, quae prius sunt uisa et in uisu habita, ut lux solis cogno- scitur, quod plurimum uisa sit, et inter lucem solis et lunae discernitur: et licet, fiat comprehensio lucis per sensum tantum: tamen per scientiam accidit distinctio lucis. Similiter accidit per scien- tiam notitia figurarum, ut trianguli, quadrati, circuli, et aliarum similium. Similiter notitia asperi- tatis, laeuitatis, umbrae, decoris, et similium. Per syllogismum fit comprehensio eorum, quae su- pra explanauimus, licet ea non plurimum nouerit sensus. Omnis autem comprehensio rerum con tinetur sub aliquo horum trium modorum: et cum error accidit in comprehensione formarum, non accidit, nisi in aliquo istorum. Accidit error sensui, si corpus, in quo sit multa colorum parti- cularium diuersitas, occurrat uisui sub luce multum debili, ut uestis aliqua diuersis coloribus et mi nutis picturata, apparebit unius coloris. Et erit error in sensu propter lucem a temperamento suo egressam, caeteris a temperantia non egressis. In scientia error accidit, cum in magna longitudine uidetur aliquando homo notus, aestimatur esse alius, similiter cognitus: unde ab aliqua longitu- dine uidens fratrem, putat se uidere patrem, uel aliquem in hunc modum. Et est error in scientia, propter egressum solius longitudinis a temperamento. In syllogismo accidit error, ut quando mo- tis nubibus, aestimatur esse lunae motus. Et accidit error iste ex intemperata longitudine. Quo- niam quando uisi longitudinis est temperatntia, non euenit ita: ut baculum fundo aquae infixum, et aquam supereminentem, in motu etiam immotum uidemus, et motum transeuntis aquae per- cipimus. Accidit autem error praedictus in motu lunae, cum nubes fuerint multae et continuae. Et caussa eius est: quoniam sicut patuit superius [49 n 2] non comprehenditur motus, nisi per ac- cessum alicuius ad aliquid, uel recessum consideratum. Cum ergo paucitas fuerit nubium: possu- mus discernere motus earum propter uniuscuiusque ad stellam aliquam accessum apparentem, aut recessum: cum uero coelum nubibus fuerit coopertum, propter continuitatem earum non discer- nimus motum, ueruntamen lunam modo in una parte uidemus, modo in alia: unde ipsam mo- tu celerrimo moueri concludimus. Eodem modo erit error per situm a temperamento egressum, et per unumquodque octo supra dictorum in comprehensione per sensum, per scientiam, et per syllogismum.

DE QVALITATIBVS DECEPTIONVM VISVS, QVAE fiunt solo senus. Cap. V.

20. Erratur solo uisu in luce et colore, propter singulorum uisionem perficientium asymme- triam. 156 p 4.

EX praedictis palam, quod non sit comprehensio per sensum, nisi lucis et coloris tantum. Non ergo error accidit sensui, nisi in luce et colore tantum. Nec accidit per lucem aut colorem, ni- si propter intemperatam debilitatem eius aut fortitudinem: uel propter colorum minutorum et debilium diuersitatem. Et haec colorum diuersitas in luce debili uenit ad oculum, tanquam aliquid obscurum aut tenebrosum: et etiam in luce forti, quando substantia colorum fuerit ualde parua. Longitudo inducit errorem sensus, cum temperata fuerit elongatio corporis a uisu, et fuerint in corpore partes minutę in coloribus diuersę, ad quas proportionata partium elongatio sit intempera ta: apparebit enim corpus illud unius coloris tantum: quoniam extra temperantiam est longitu- do, respectu particularium, licet omnia alia conueniant in temperantia. Et est error iste sensualis, cum sensus sit comprehensiuus coloris. Situs sensum errare facit, cum maxima fuerit corporis ui- si declinatio: occultabuntur uisui minutae eius particulae. Et si in partibus minutis fuerit colorum diuersitas: apparebit in totali corpore colorum unitas. Et accidit error propter situm tantum. Quia opposito corpore uisui, in situ recto, alijs (sicut sunt) immotis, percipientur etiam partes corpo- ris et coloris, cum solus situs egressus sit a temperamento. Idem error accidit ex situs intemperan- tia, cum elongatio partium minutarum ab axe fuerit magna. Lux multum debilis errorem facit, ab- scondit enim uisui particulas corporis, et praetendit unitatem tenebrosi coloris: et si lux ad temperan- tiam reduceretur: diuersitas colorum aut diminutio partium non occultaretur: quoniam lux sola extra temperantiam est sita. Magnitudo errorem inuehit. Cum enim partes corporis minutissimae dissimiles fuerint in totali colore: latebunt uisum partes illae propter suam paruitatem, et similiter eorum colores: et apparebit color unicus in corpore, magnitudine sola extra temperantiam sita: quod non appareret, si paruitas partium extra temperamentum non exiret. Soliditas caussa est erroris sen sualis, si remissa fuerit soliditas, ut in crystallo: unde cum ei supponitur corpus coloratum, uidetur crystallus colore illo affecta, propter soliditatis paruitatem a temperamento egressam: quod non accideret, si crystallus magis solida esset. Ex raritate aeris procedit error sensualis: cum intercidit inter uisum et corpus oppositum, flamma, licet fortis coloris sit corpus uisum: uidebitur tenebro- sum. Et sola raritas aeris egressa est temperamentum. Tempus est caussa erroris: quoniam si subito super corpus diuersorum colorum fiat uisus directio: apparebit color singularis, donec prolonge- tur inspectionis duratio: luce dico, sub qua comprehenditur corpus, non forti. In luce enim debi- li non statim immutatur uisus secundum quemlibet colorum particularium: quod accideret in lu- ce forti. Visus aliquando errorem praetendit: Luce enim forti in uisum cadente: laeditur uisus, et statim ad colorem alicuius corporis conuersus, ipsum tenebrosum recipit, donec paululum stete- rit, et laesio recesserit. Pari modo cum aderit oculi infirmitas: occultabitur uisui colorum ueritas. Vnde error est ex sola uisus qualitate a temperamento recedente. Patet ergo, quod accidant erro- res uisui secundum quodlibet praedictorum considerati. Et accidunt in sensu tantum: cum ex solo sensu fiat comprehensio colorum.

DE QVALITATIBVS DECEPTIONVM VISVS, QVAE fiunt in scientia et cognitione. Cap. VI.

21. Erratur anticipata notione: cum forma anticipata, obiecto uisibili perperam assimila- tur, propter singulorum uisionem perficientium asymmetriam. 155 p 4.

DIctum est in secundo libro, [14. 67 n ] quod non nisi per scientiam fit definitionis rei acqui- sitio. Peruenit enim definitio ex similitudine uel dissimilitudine alicuius rei cum alia, in com- muni forma. Et proprium est scientiae communicare rem uisui praesentem cum re prius ui- sa in forma recepta: et ex hac communicatione acquiritur definitio rei cuiuscunque. Diuersifica- tur autem scientia in scientiam ideae uniuersalis, aut singularis, aut utriusque. Et omnis error sci- entiae erit error in aliquo istorum, aut in utroque. Cum ergo res aliqua, aut alia, aut alterius spe- ciei apparet, quam sit in rei ueritate: erit error in definitionis assignatione. Nec accidit error iste, nisi aliquod praedictorum fuerit extra temperamentum. Error scientiae in longitudine erit: si a lon gitudine magna uideatur homo notus: apparebit forsitan esse alius uidenti notus. Vnde aliquan- do uidens Petrum, uisum dicit esse Martinum, cum constet utrumque ei esse notum. In forma com- muni erit error: si quis ab aliqua longitudine uideat equum; et putet se uidere asinum. In utraque formarum, scilicer singularis et communis, est error: ut si quis a longitudine maxima uideat equum sibi notum, et aestimet se uidere asinum sibi cognitum. Pari modo accidit error in arboribus tri- plex: in indiuiduis: in communibus formis: in utrisque. Vnde aliquando una amygdalus aestima- tur alia: aliquando a longitudine magna pyrus aestimatur amygdalus: aliquando pyrus Petri, cre- ditur amygdalus Martini. Eadem triplicitas erroris ex longitudine accidit plurimum in uestibus, lapidibus, et alijs. Aliquando uidetur res ignota, et contingit error in scientia: sicut si aliquis ui- derit ignem longe remotum in aere, aestimat forsitan se stellam uidere. Planum autem, quemlibet errorem praedictum cadere in scientiam, cum in eo fiat assignatio definitionis rei uisae, quae non est in ea, in ueritate. Palam etiam, quod accidit error praefatus ex longitudine extra temperamen- tum exeunte. Ea enim ad temperamentum reducta, alijs erroris caussis (sicut sunt,) manenti- bus, non accidit error in scientia praedictus. Situs errorem infert scientiae, cum corpus aliquod multum fuerit elongatum ab axe: non erit certa formae comprehensio: Vnde aliquando in hoc situ Pe- trus aestimabitur Martinus, aliquando equus aestimabitur esse asinus. Et in hac incertitudine forsan eligetur ueritas, forsan falsitas. Cum enim in hoc statu incertum sit iudicium: casualis electio erit. Ac- cidit autem error ex intemperamento situs: quoniam ipso ad temperantiam reducto, non errabit iu- dicium ex scientia sumptum. Pari modo in magna corporis declinatione non uerificantur particu- lae minutae. Vnde accidit in hoc situ error figurae, coloris, magnitudinis. Forsan enim quadratum ui- detur circulare: et ita error in quantitate et colore. Egressio lucis a temperamento errorem inducit sci entiae. Debilitas enim lucis nimia errorem infert formę. Vnde accidit error in crepusculis, in anima libus, uestibus arboribus, scilicet triplex, uel in indiuiduo, uel in specie, uel in utroque: quod non acci- deret in temperata luce. Amplius si fuerit egressio lucis a temperamento proportionato uiso, oppo sito uisui: accidet error praedictus, licet non sit intemperata in se lux: sicut euenit in quadam aue ara bice aluerach dicta: non enim uideri potest, nisi de nocte: egreditur enim lux a temperamento, respe ctu illius: percipitur autem de nocte, sicut ignis: de die uero cum non plene discernatur, forsan papilio (cui est similis) putabitur. Et accidit error in definitione rei ex intemperata luce. Quantitas extra tem- perantiam sita errare facit scientiam. Vnde aliquando formica prae sui paruitate aestimatur musca tritico innata: et aliquando eadem de caussa sinapis granum reputatur nasturtium. Soliditas a tempera mento egressa errorem efficit, ut cum crystallo continuatur corpus rubeum, alia crystalli facie uisui oppo sita: aestimabit uidens colorem crystalli, esse rubedinem: unde error est scientiae, quia in coloris defini- tione. Raritas aeris nimis diminuta, erroris est caussa: unde in eius spissitudine fit error in rei defini tione. Similiter si oculo et corpori uiso interponatur corpus, cuius raritas extra temperantiam est, respectu aeris temperatae raritatis, sicut est uitrum: aestimabitur color corporis oppositi mixtus ex co lore proprio et colore uitri. Et ita est error in coloris definitione. Pari modo si anteponatur oculo pan nus multum rarus, et post illum uideatur corpus: apparebit color corporis mixtus. Sed oritur quaestio, quomodo post panni oppositionem appareat coloris corporis mixtura, cum partiales corporis colores accedant ad oculum non nisi per panni foramina: et ex panno non accedat ad oculum color, nisi ex filis eius, per quę non transeunt colores corporis. Et huius rei ueritas est. Quod licet partiales corporis colo res sigillatim ueniant, et in sua loca cadant, nec commisceantur filorum coloribus, sed filorum colo- res sint ab eis separati intra uisum et extra, nec sit ibi aliqua confusio: tamen quia ualde propinqua sunt puncta, in quae incidunt color corporis superficialis et color fili (cum non sit distantia sensibilis in- ter ea) uidentur quasi punctum: unde colores ibi apparent unus ex eis mixtus. Si uero magna fue- rint panni foramina, discernetur et panni et coloris corporis ueritas sine mixtura. Et quanto com- pressior fuerit foraminum strictura, tanto uerior apparebit mixtura. Vnde uiso corpore post pan- num lanae, uidebitur mixtura colorum plurimum consonans colori filorum. Foramina enim panni lanei in se sunt stricta, et quoniam pilis teguntur, efficiuntur strictiora. Similiter cum aliquis iocula- tor facit imagines ligneas moueri, umbrae earum inspicienti per pannum, (sicut solet fieri) lineum subtilem, apparebunt aues, aut animalia formis imaginum consona. Nec accidit error iste in defini- tionis assignatione, nisi ex raritatis aeris diminutione. Temporis distantia extra temperamentum erroris scientiae est caussa. Si quis enim per foramen inspiciat corpus transiens ueloci motu, non plene acquirit formam corporis. Vnde accidit error in indiuiduo, in specie, in utroque, ut in equis, hominibus et arboribus. Similiter etiam accidit sine foramine, ut si quis subito aliquid uideat, quod statim a uisu recedat, errabit in comprehensione illius formae: unde forsan erit error in specie, in indiuiduo, uel in utroque. Et erit error iste ex solo tempore. Visus solus errorem facit: si lux solis fortiter descendat super colorem uiridem fortem, uel intensam rubedinem, adhibito uisu laedetur: et cum aliquid deinde inspexerit: aliud ei, quam sit in ueritate, apparebit, aut alterius coloris pro- pter praesentiam laesionis. Et modo simili accidunt errores plurimi. Pari modo in oculorum aegri- tudine aliquando equus apparet asinus. Et accidit error triplex praedictus et in pluribus. Et planum est, errorem esse in scientia, ex sola immoderatione uisus. Plani ergo sunt errores, qui in uisu scientię accidunt secundum singulas erroris uisus caussas.

DE QVALITATIBVS DECEPTIONVM VISVS, QVAE AC- cidunt in syllogismo et ratione. Cap. VII.

22. Erratur syllogismo propter singulorum uisionem perficientium asymmetriam.

PLurima eorum, quorum in uisu fit comprehensio, acquiruntur ex syllogismo, sicut patuit ex praecedente libro: et praecessit explanatio eorum, quorum per syllogismum fit comprehen- sio: et quod ex eis occurrat sensui compositio in singulis formis. Cum ergo acciderit error in aliquo illorum: erit error in comprehensione facta per syllogismum. Bipertita est autem partitio erroris in syllogismo: aut enim erit in propositionibus: aut in earum congregatione. In propositio- nibus triplex: aut enim falsa loco uerae sumitur: aut particularis loco uniuersalis: aut in compara- tione propositionum erratur. Verbi gratia. Si fuerint in re uisa partes, quae appareant, et partes, quae lateant, quae tamen comprehensibiles sint uisui: Si in illam figatur uisus intentio, cum uiden- tem partes illae praecedant: ex eis tantum, quae in re uisa acquirit, concludit. Cum etiam con- clusiones aliquas, quas rei illi accidentes considerat: aestimat eas accidere ei ex partibus eius ap- parentibus: quoniam non nisi eas computat. Cum uero intuitus diligentiam in re uisa figit, par- tes prius latentes percipit, et errorem cognoscit. Enumerabo igitur errores eorum, quae compre- hendit uisus per syllogismum, quae numero sunt uiginti duo, ut sic pateant errores in syllogismo. Et haec erit enumeratio secundum unamquamque octo caussarum prius dictarum, et primo secun- dum longitudinem.

23. Distantia immoderata creat errores in singulis uisibilibus speciebus. In remotione. 16 p 4.

DIco ergo, quod longitudo egressa a temperamento errare facit uidentem in longitudine: si- cut accidit, cum quis arbores ualde remotas inspexerit, licet plurimum distent inter se, uide- buntur tamen quasi coniunctae, aut saltem aestimabuntur sibi propinquae. Ob eandem caus- sam euenit, ut stellae aliquando reputentur quasi coniunctae, licet plurimum distent in ueritate. Ob hoc stellae erraticae aestimantur ab hominibus in eadem superficie cum fixis, licet plurimum elongatę sint ab eis. Est ergo error in longitudine propter egressum longitudinis a temperantia. Et est error iste in syllogismo, cum longitudinis tantum per syllogismum fiat comprehensio.

24. In situ. 44. 59. 61. 62. 97 p 4.

LOngitudo extra temperantiam, situs errorem inducit: quoniam a tali longitudine corpus de- clinatum apparebit rectum: et ob hoc corpus quadratum in hac longitudine declinatum, uidebitur oblongum. Eodem modo oblonga apparebit circularis forma in hac longitudine declinata. Nec accidit error iste, nisi ex declinationis occultatione, quę latet in tanta longitudine. Si enim appareret declinatio, non esset assignare, quare occultaretur ueritas corporalis formę. Est igitur error in solo si- tu ex longitudinis immoderatione. Et quare ignoretur situs, est hęc ratio. Excessus unius radiorum in latus quadrati cadentium super longitudinem alterius, non est proportionalis, respectu totalis remo tionis corporis a uisu: proportione dico sensibili: unde propter insensibilitatem excessus non ęstimatur maior aliquo aliquis radius. Reputatur uero oblonga quadrati forma, quando unum eius latus non declina- tum, respectu uisus, cadit in partem oculi, et in minorem incidit forma lateris declinati, quoniam sub mi nore angulo. Et erit huiusmodi minoritatis perceptio, secundum quod fuerit quadrati declinatio. Et quoniam non attenditur declinatio, aestimabitur unum latus maius alio: quoniam sub maiore angulo. Proinde forma apparebit oblonga. Pari ratione in circulari forma, una diameter maior apparet alia: unde reputatur oblonga. Et est error iste ex intemperantia longitudinis: quod non accideret, si temperata esset. Si uero longitudo, licet intemperata, non fuerit multum magna, sed ualida sit illius corporis declina tio: perpendet fortasse uidens declinationem, sed non declinationis ueritatem: imo minorem aestima bit quam sit, et conferet declinationem lateris cum angulo, sub quo comprehenditur: unde minor appa rebit quantitas talis quam sit: unde et sic reputabitur quadrati forma oblonga, sed minus quam prius.

25. In soliditate et figura. 98. 97. 95. 50. 65 p 4.

SVperfluitas longitudinis errorem generat corporeitatis. Corporeitas autem est ex dispositione speciei, et comprehenditur notitia corporeitatis ex notitia huiusmodi dispositionis. Cum ergo error accidit in corporeitate, erit in speciei uel specierum dispositione: uelut si species corporis incuruata ex aliqua longitudine uideatur plana, aut plana aestimetur curua. Et hęc apparentia erit in figura. Est igitur figura specierum corporis dispositio. Recipit etiam situm specierum dispositio: unde corpo reitas includitur sub figura et situ: unde errorem corporeitatis gerit in se error situs et figurae. Acci- dit autem error figurae absque situs errore ex longitudinis immoderatione. Verbi gratia, figura multo rum laterum ęqualium, directe opposita uisui in longitudine intemperata, circularis apparet: non ob aliud quidem, nisi quia anguli figurae sunt imperceptibiles uisui. Longitudo enim illa abscondit uisui etiam proportionalia toti, quamuis non totum. Eodem erroris tenore ab hac longitudine linea cur- ua aestimatur recta. Non enim perceptibilis est maioritas accessus unius lineae partis incuruatae ad uisum, super partis eiusdem remotioris accessum: quia occultatur incuruatio partium, licet error non accidit in situ lineę illius. Similiter uisa sphaera ab hac longitudine aestimabitur species plana. Quo- niam propinquitas tumoris eius imperceptibiliter propinquitatem extremitatum ab hac longitudine excedit: unde ęstimatur aequalis partium propinquitas: unde speciei planitudo. Inde est, quod sol et luna superficiales uidentibus reputantur: quę erronea excluderetur figurae reputatio, si temperata esset longitudo.

26. In magnitudine. 28 p 4.

IN magnitudine corporis erit error ex intemperata longitudine: quoniam uidebitur multo minus, quam sit in ueritate. Et huius rei ratio est. Quoniam, ut diximus, longitudo intemperata est, quae par tes proportionales toti proportione etiam sensibili abscondit uisui. Et cum fuerit occultatio par tium sensui perceptibilium: anguli, in quos cadunt, non sentientur, licet totali angulo proportiona- les sint. Vnde cum discurrit axis rem uisam, absconduntur ei lineae multę ex ea, et partes multae. Vn de minor efficitur totalis apparentia. Amplius magnitudo partis alicuius corporis non considera- tur, nisi secundum magnitudinem anguli, in quem cadit: et magnitudo anguli attenditur secundum par tem in uisu sectam: et partis sectę quantitas aestimatur secundum duo puncta illius partis terminalia: et puncta illa sensibilia sunt, et parti sectae proportionalia. Quoniam a longitudine tanta aestimatur res uisa secundum fines toti uiso proportionales: aliter enim non essent fines illi sensibiles: et fines partis sectę directe opponuntur finibus partis uisę proportionalibus Puncta ergo illa partis sectae terminalia abscondunt ex re uisa partes sensibiles. Cum ergo incedit axis super singulas rei partes: ex singulis partibus absconduntur partes sensibiles: et ita minor apparet tota rei quantitas. Cum autem uidetur cor pus a temperata longitudine, puncta terminalia partis sectę ualde sunt parua, et quasi insensibilia ad ipsam collata. Fines enim rebus uisis insensibiles eligit in longitudine temperata existimatio uiden- tis: unde non absconduntur partes toti proportionales. Quare corpus non apparet minus, quam ha- beat ueritas eius. Amplius, sicut dictum est in superioribus, [38 n 2] magnitudo non acquiritur in cor pore, nisi ex longitudinis et anguli collatione: et iam dictum est, quod ex immoderata longitudine apparet minor angulus: quia minor est in ueritate. Sed remotionis non fit discretio. Iam enim supra patuit [39 n 2] quod remotio moderata comprehenditur per corpora interposita: immoderata uero minime. Cum ergo remotio rei uisae sit ignota: fiet fortassis collatio ipsius ad longitudinem notam, et aestimabit eam mi norem. Quare putabitur minor et in angulo minoritas, et in longitudine, quam sit in ueritate: unde er ror in corporis quantitate. Et quanto augmentabitur longitudo, tanto inualescet error. Et adeo poterit augmentari longitudo, ut aestimetur quantitas corporis quasi punctualis. Et si ultra creuerit longitudo, occultabitur uisui corpus illud. Simili modo accidit corporis occultatio in longitudine temperata, non ex ipsa remotione, sed ex coloris corporis debilitate. Et patet occultationem fieri ex debili colore. Quoniam si loco huius corporis in eadem longitudine statuatur corpus eiusdem quantitatis, in quo sit fortitudo coloris, non latebit uisum, sicut corpus, in quo fuerat coloris debilitas. Quare aliquando oc- cultat corpus uisui, non elongatio, non diminuta quantitas, sed sola coloris debilitas. Amplius, aliquan- do euenit corporis occultatio ex coloris eius similitudine, cum interpositorum ipsi et uisui corporum colore: et hoc in temperata longitudine. Vnde corpus album a longe positum, effusa niue super superficiem interiacentis terrę, non discernitur: niue uero remota percipitur. Et palam, quod erat occultatio ex hac colorum identitate. Quoniam si loco illius corporis opponatur uisui ab eadem remotione corpus ęqua le alterius coloris, non occultabitur. Cum igitur aliqua res opposita uisui non percipitur, poterit esse cau sa absconsionis superfluitas elongationis, ad partem uisus insensibilem formam dirigentis, uel quasi pun ctualem. Quod si in partem uisus sensibilem forma inciderit: poterit iterum pręterire uisum, uel propter co- loris remissionem, uel colorum rei uisę et corporum interiacentium conformitatem. Amplius accidit error in rei uisę quantitate, etiam in longitudine temperata. Quoniam corpore aliquo secundum moderationem elon gato et uiso: occultabuntur uisui partes eius minutę: quę quidem in minore elongatione apparent, li- cet fortassis non plene: et paululum amplius elongatae iterum, minus plene. Et minuetur comprehensio nis plenitudo, inualescente remotionis augmento: donec occurrat partium occultatio: licet non egre- diatur temperantiam illa elongatio. Iterum immoderataIterum in immoderata remotione pars aliqua plene comprehenditur, aliqua minimarum eius partium occultatur. Quoniam elongatio rei egressa est a temperamento pro- portionato ad partes illas, licet non respectu totius corporis, aut comprehensę partis. Et licet nota sit homini hęc longitudo: tamen accidit error in comprehensione quantitatis partium: et hoc propter angulum, sub quo pars comprehenditur, cuius capacitas minor aestimatur, quam habeat ueritas. Et caussa apparen- tiae minoritatis eius, est ex punctis terminalibus sectę partis, in uisu partem occultantibus et anguli capa- citatem constringentibus Igitur cum immoderata fuerit rei uisae ab aliquo distantia: proueniet error in eius quartitate dupliciter: et ex anguli minoritate: et ex longitudinis incertitudine. ln moderata ue- ro longitudine erit error in quantitate minutarum partium ex errore anguli tantum. Et hae sunt caus- sae, quare corpus aestimetur minus, quam sit in longitudine temperata. Immoderatio longitudinis aliquando errorem inducit maioritatis. Vnde in longitudine immoderata, minima scilicet, quando cor- pus uisum fuerit multum uicinum uisui, uidebitur corpus maioris quantitatis, quam in longitudi- ne temperata, uel quam sit reuera: et hoc duplici de caussa. Quoniam, ut dictum est [38 n 2] intellectus longitudinem et angulum considerat, et inde quantitatem corporis syllogizat. Et in hac elongatio- ne angulus pyramidis est ualde magnus: et elongatio corporis non aestimatur, nisi a uisus superficie ad superficiem corporis. Non enim potest cadere in uisus aestimationem longitudo, ad interiora uisus penetrans a corpore uiso: cum pars eius interior radijs non subiaceat, nec mensurari a uisu queat. Syl logizat igitur uisus ex anguli capacitate et tota longitudine. Vera autem remotio corporis attenditur secundum lineam a centro oculi ad corpus procedentem: cum respectu centri iat consideratio an- guli. Et in temperata corporis distantia semidiameter oculi, qua uera corporis elongatio excedit apparentem, insensibilis est, respectu totalis distantiae corporis. Vnde non facit errorem in longitu dinis aestimatione: sed corpore circa oculum existente, erit magnitudo semidiametri proportiona- lis distantiae corporis proportione sensibili. Erit enim aliquando maior, aliquando ęqualis, aliquan do minor, sed proportione modica, uelut subdupla, uel huiusmodi. Vnde in propinquitate rei uisae excrementum anguli pyramidalis, et sensibilis minoritas longitudinis aestimatae, respectu uerae, in- ducunt apparentiam maioritatis in corpore.

27. In diuisione, et continuatione et numero. 109 p 4.

IMmoderata extensio remotionis errorem inuehit distinctionis. Pariete enim aliquo a longe uiso, si in parte eius fuerit color tenebrosus: fiet uidenti fides, colorem illum esse distinctionem partium: un- de continuum ex hoc errore reputabitur discretum. Similiter si prope parietem illum crescat al titudo herbarum, uidebitur forsan distinctio partium, inter quas fuerit pars occulta ab omni oppo sitione herbarum: Vnde non reputabitur paries aliquid continuum. Pari modo luce solis in parie- tem descendente non multum forti: si corpus aliquod umbram iaciat, quae umbra in parietem ca- dat: accidet error idem in partium, sine intermedio, separatione. Palam ergo, quod error distinctio nis in syllogismo est ex immoderatione remotionis. Longitudo a moderatione egressa erroris con tinuitatis est caussa. Corpora enim a longe uisa in colore similia sibi, propinqua creduntur continua. Hinc accidit quod tabulę parietis uel scamni apparent aliquando continuae: licet abinuicem sint diuisae, modica, dico, distinctione. Et accidet hoc etiam in intemperata remotione rei uisae, scilicet immodera- ta, quantum ad comprehensionem remotionis distinctionis tam paruae. Et ita ex hoc remotionis errore discretum creditur continuum. Et quoniam secundum considerationem continuitatis et discretio- nis attenditur numeri comprehensio: accidit error in numero, cum in rebus discretis apparebit u- nitas, aut in re una praetendetur pluralitas.

28. In motu et quiete. 138 p 4.

EGressus remotionis a moderamine errorem efficit motus. Si quis ad partem, in qua lunam, aut solem, aut stellam aliquam uiderit, moueatur, cum plurimum motus, lunam ante se uiderit e- longatam, non minus, quam in principio motus: concludit ipsam in eandem partem moueri, et ab eo recedere: et ob hoc elongationes durare. Et accidit hoc, luna etiam ad partem contrariam prope- rante. Et huius erroris ratio est: Quia notum est uidenti, quod in his inferioribus naturis, statutis duo bus corporibus quorum unum moueatur in partem aliquam, si permanserit identitas situs unius respectu alterius: necesse est aliud moueri in eandem partem, et motu aequali. Verum hoc non oportet existimare in luna et stellis. Cum enim in his non percipiatur situs motus mouentis ad stellam motam: occulte ex propositionibus iam dudum animo notis infertur syllogistice motio, et occultatur immutatio situs mouentis ad stellam. Quoniam uia, quam quis peragit motu suo, non est proportionalis ipsius stellę ma- gnitudini: multo magis igitur excessus postremę propinquitatis eius ad stellam super primam propin quitatem, non est sensibilis respectu totalis remotionis. Idem error accidit in motu nubium: creditur e- nim uelocissimus esse lunę motus, licet non sit, ut nos supra [19 n] explanauimus. Euagatio remo- tionis a temperamento, errorem infert quietis. Si quis a longe uisus motu non ueloci moueatur: putabi tur quiescere: unde stellas errantes credimus immotas: licet insit eis motus uelocitas. Et est hęc quie- tis stellarum aestimatio. Quoniam uiae, quas incedunt etiam in tempore magno, non sunt perceptibiles ui- sui a tanta remotione. Vnde durante situ earum, respectu uidentis, identitate aestimantur quiescere. Pa ri modo si corpus aliquod a longitudine moueatur super radios uisus: et accedat ad ipsum uisum, uel recedat ab eo: putabitur immotum, nisi motus eius fuerit ualde fortis. Et accidit iste error, quoniam, ut supra [49 n 2] patuit, motus non comprehenditur in corpore, nisi quia modo uidetur cum aliquo cor- pore, modo cum alio. Hic autem excluditur haec perceptio: quoniam uia, quam incedit mouens su- per radios, imperceptibilis est a tanta longitudine.

29. In asperitate et lenitate. 141 p 4.

SVperflua longitudo errorem ingerit asperitatis. Vnde in capillis alicuius pictę imaginis a longitu dine intemperata aestimatur asperitas, cum expressa fuerit pictura. Quia enim notum est asperita- tem esse in ueris capillis: concludit eam animus illis similiter inesse propter expressionem formae. Idem error accidit in uestibus depictis, et animalium pilis expresse depictorum. In his autem omnibus non est asperitas, sed immensa laeuitas. Et licet a corporibus laeuibus fiat reflexio lucis, non ab asperis: tamen in pictura aliquando uidetur reflexio lucis, nec ob hoc excluditur opinio asperitatis. Quoniam opinan ti est certum aliquando in eodem corpore asperitatis et reflexionis fieri concursum, sicut accidit in ca- pillis hominis nigerrimis et bene lotis: reflectitur enim lux in eis, licet asperis. Vnde ex hac similitu dine accidit error in aestimatione asperitatis picturae per immoderatam remotionem, ad corpus pictum proportionatum. Non enim poterit comprehendi lęuitas in pictura, nisi cum multum fuerit certa. Vn de distantia respectu aliarum rerum extra temperantiam, est ad acquisitionem laeuitatis comparata. Ex eua- gata remotione accidit error in leuitate. Si enim a magna longitudine opponatur uisui corpus, in quo modica est asperitas, putabitur laeue. Asperitas enim non acquiritur in corpore, nisi ex diuersita- te situs partium inter se, uel luce eminentium, uel umbra depressarum, sicut explanatum est superius [53 n 2:] et a tali longitudine non percipitur diuersitas situs partium eminentium super depressas, aut proie- ctio umbrae. Vnde iudicatur in eo laeuitas.

30. In raritate et densitate. 144 p 4.

EX immoderatione elongationis oritur error raritatis. Cum enim circa oculum erigitur acus, aut aliquid subtile multum: licet appareat uisui maius, quam sit: tamen nihil occultat ei de opposi- to pariete, aut alio opposito corpore. Vnde cum fiat raritatis comprehensio in corpore, ex eo, quod post ipsum possumus aliquid uidere: in acu erecta, aut in aliquo consimili, raritas aestimabitur, cum post ipsam totus paries uideatur. Quare autem acus prope uisum sita maior appareat, patet ex su- perioribus. Quare autem in tanta propinquitate nihil abscondat uisui ex pariete opposito: est: quia remotio tam modica, respectu occultationis acus, immoderata est. Si enim paululum elongetur ab o- culo acus illa: occultabitur pars parietis maior acu ipsa. Et huius rei caussa plenius explanabitur. Ex superabundantia longitudinis accidit error soliditatis. Si quis enim a longe intueatur corpus ra- rum, et statuatur post ipsum corpus coloratum, aut quid tenebrosum: non reputabitur corpus il- lud rarum, sed solidum. Et est error: quoniam post corpus illud non percipit aliud, cum natura rari sit, ut post ipsum possit uideri solidum: concludetur corpus illud non esse rarum, sed solidum.

31. In umbra et tenebris. 147 p 4.

EX superfluitate remotionis oritur error in umbra. Si enim a tali longitudine opponatur uisui cor pus album, in quo sit pars tenebrosa, luce solis super corpus illud descendente: apparebit umbra in parte corporis tenebrosa: et si circa corpus illud uideatur aliud: fiet conclusio, quod umbra apparens proijciatur ab illo alio. Et palam, quod accidit error iste ex nimia remotione. Propter distantiae ex- cessum se ingerit error tenebrarum. Si enim procul uideatur corpus album, in quo pars nigra mul- tum sit: aestimabuntur fortassis in parte illa tenebrae: unde fiet conclusio, quod in directo illius par- tis sit foramen corporis, per quod appareat tenebrarum egressio post corpus illud existentium.

32. In pulchritudine et deformitate. 150 p 4.

REmotio excedens modum caussa est erroris pulchritudinis et deformitatis. Cum enim procul inspicitur res aliqua, si fuerint in ea maculae paruę, eam deformantes, quia occultantur ex longi- tudine, indicatur formosa: quoniam ex solis apparentibus fit conclusio, et latent maculae, appa rent uero partes formosę. Similiter si a tanta longitudine uideatur res, in qua sunt picturę, sed minu- tae, rei totali decorem conferentes: cum lateant uisum caussae decoris: iudicabitur res illa deformis, cum ex apparentibus tantum sumat iudex iudicium.

33. In similitudine et dissimilitudine. 153 p 4.

EX superflua elongatione accidit error in similitudine corporum et disimilitudine. Si enim di- rigantur uisus in corpora longe remota in colore similia, et si fuerint in eis notae uel protractio nes minutae sibi dissimiles et diuersę, quę cum uisus praetereant: iudicabuntur corpora ex toto similia. E contrario si diuersitas fuerit in totalibus corporum coloribus, sed in eis sint notae minutę, inter quas sit similitudo: iudicabuntur dissimilia ex toto. Et accidet error: quoniam ex solum appa- rentibus fiet conclusio.

34. Situs immoderatus creat errores in singulis uisibilibus speciebus. In distantia. 16 p 4.

SItus egreditur a temperamento, et errorem inducit in quolibet eorum, quorum fit comprehen- sio per syllogismum. In longitudine, ut si uideantur duo corpora, quorum unum sit post aliud dire cte, ita ut unum cooperiat partem alterius, et pars posterioris emineat: et hoc in longitudine tempera ta, non tamen multum certa, nec inter ea fuerint alia corpora: non plene aestimabitur longitudinis unius ad aliud mensura. Et forsitam iudicabit uidens ea ualde sibi esse propinqua. Et est error in syllogismo, cum per syllogismum tantum comprehendatur longitudo: per situm uero, quoniam, si unum non occul- taret alterius partem, sed utrunque totum exponeretur uisui, ut uia inter ipsa in diuersos, non in eun- dem incideret radios: discerneretur distantia unius ab alio. Et est error ex sola situs intemperantia: quo niam situ ad temperantiam reducto (caeteris partibus non mutatis) non accidit error talis.

35. In situ. 44 p 4.

SItus extra temperantiam, in situ errorem inuehit: cadente enim axe uisuali in corpus a tempe rata longitudine oppositum uisui, sumpto alio corpore multum elongato ab axe, et declinato mo dicum super lineam intellectualem, super quam cadit axis perpendiculariter: non comprehendet uidens corporis illius declinationem propter situm a temperamento egressum: quoniam non plena fit compre- hensio corporum ab axe longe positorum [per 15 n.] Et in hoc errore declinatum iudicabit uisus rectum.

36. In figura. 97. 96. 61. 62 p 4.

IN figura autem error est per situm. Si enim corpus circulare, ut schyphus uel scutella ab axe elon- getur, et modicum super lineam intellectualem, quam diximus, declinetur: occultabitur eius declina- tio, et una eius diameter sub maiore angulo comprehendetur, quam alia. Quae enim apparet re- cta, maiorem respicit angulum, quam declinata. Et quia notabilis est unius anguli ad alium excessus: iudica tur diameter recta maior declinata: unde circularis figura corporis, iudicabitur oblonga. Pari erro- re figura quadrangula aestimabitur oblonga, cum latus eius directe oppositum oculo, maius appareat la- tere declinato. Et est error in syllogismo. Pręmittit enim proposiionespropositiones, in quibus est falsitas, scilicet: neutrum laterum esse declinatum: et uisa ab eadem longitudine sub eodem et inaequalibus angulis, esse inaequalia: et oblongam esse formam, cuius unum latus est inaequale alij. Inde concluditur er- ror, non ueritas figurae.

37. In magnitudine. 28 p 4.

EX eadem caussa palam, errorem esse in quantitate, cum diameter circularis corporis maior uide tur alia eiusdem diametro, cui est aequalis. Amplius alio modo accidit error in magnitudine, ex situ intemperato et solo: cum aliquis in alto positus intuetur sub altitudine illa incedentes et in- ter se aequales, eis in ordine uno post alium dispositis, radius cadens super primum absque dubio demis- sior erit radio cadente super secundum: et secundum, quod augmentabitur elongatio alicuius eorum a primo, secundum illud maior erit radij super ipsum cadentis altitudo. Vnde altior erit radius cadens in postremum, quam in aliquem alium. Iudicabitur ergo a uidente postremus maior omnibus. Ita dico, si ter rae spatium inter quoslibet duos situm lateat uisum, ne in collatione ad terram apparentem facta, con- prehendi possit altitudinis hominum mensura: erit error in syllogismo: quoniam errat in antecedentibus quorum unum est: Quaecunque apparent altiora, sunt maiora: et hoc non inuenitur in omnibus, sed in pluribus. Et est error ex situs immoderatione, respectu comprehensionis magnitudinis rei sic dispo- sitae. Si enim radius cadens in primum sit aequidistans terrae, et idem radius cadat in quemlibet alium processu suo: non habebit locum error iste.

38. In diuisione, continuatione, et numero. 109 p 4.

IN distinctione prouenit error ex excessu situs: si enim magna fuerit corporis alicuius super radi os declinatio, et fuerint in eo puncta sensibilia nigra, uel ualde tenebrosa: putabuntur forsitam esse foramina: et ita inter partes huic tenebricositati affines iudicabitur diuisio, licet ibi sit continuita tis unio. Si uero in hoc corpore fuerint lineae sensibiles tenebrosae: iudicabuntur conterminales di- uisę, cum sint continuę. Et ita error accidit ex corporis declinatione. In continuitate erit error ex situ: si opponatur uisui plurium parietum dispositio, quorum unus sit ordinatim post alium, modicum distans ab eo, et omnes cadant super eundem radium: occultabitur forsitam uidenti spatium, quod inter eos fuerit: unde putabuntur continui, cum sint diuisi: quod non accidet, situ parietum immutato, ut non com prehendantur sub eodem radio. Error inducitur in numero ex situ immoderato, quando corpus ali quod uidetur duo: et hoc accidit, cum respectu duorum uisuum, corporis diuersus fuerit situs. Pari modo et in corpore uno iudicatur pluralitas, cum inter duos axes corpus uisum ceciderit, sicut supra patuit [11n.] Et est error in syllogismo: praemittit enim uidens esse diuersa corpora exterius uisa, cum forma interius in diuersa uisus ceciderit loca: Inde diuersitatem, ubi identitas est, concludit.

39. In motu et quiete. 138 p 4

IN motu oritur error ex situ, ut nauim currentem in lumine, aliquo inspiciente, si fuerint in littore fluminis arbores ab axe multum elongatę, putabuntur moueri: et si fiat directio axium super eas, uidebuntur immotae. In quiete error ex situ se ingerit: uisa re aliqua, ut rota, quae motu citissimo uoluatur ab axe elongata: apparebit immota. Et planum est per situm esse errorem: quoniam situ mu- tato percipietur eius motio: unde error est ex situ solo intemperato.

40. In asperitate et lenitate. 141 p 4.

IN asperitate situs errorem facit. Si enim a capillis expresse depictis, fiat reflexio lucis, nec fuerit uisus in loco reflexionis: fiet in eis comprehensio asperitatis, cum sola sit in eis laeuitas. Et ex situ solo est error: quoniam uisu sub luce reflexa fixo, non comprehenditur asperitas in corpore uiso. In laeuitate erit error ex situ: cum aliquid fuerit elongatum ab axe, et modica fuerit in eo asperitas: appa- rebit lęue: cuius quidem asperitatem (situ ad temperantiam reducto) posset uidens comprehendere.

41. In raritate et densitate. 144 p 4.

IN raritate et soliditate fiet error ex situs immoderamine. Si enim descenderit lux declinata in ui trum uino plenum, et lateat uisum transitus lucis per uitrum, et magna sit declinatio illius lucis a ra- dijs incidentibus, et uidentem lateat uinum esse in uase uitreo: aestimabitur a uidente uinum so- lidum corpus unum cum uase. Et non accidit error iste transitu luci per uas uitreum patente. Vn- de error in situ ex raritate et soliditate.

42. In umbra et tenebris. 147 p 4.

IN umbra et tenebris. Corpore enim aliquo ab axe elongato, si fuerit in eo pars tenebrosa: putabi tur fortassis umbra: et corpore aliquo circumposito: ęstimabitur procedere ab illo. Si autem in cor- pore illo fuerit pars multum nigra: aestimabitur forsitan in loco nigredinis perforatio, per quam egrediantur tenebrę. Quod non accideret in corpore statuto in situs temperantia.

43. In pulchritudine et deformitate. 150 p 4.

IN specie et deformitate autem error accidit ex situ: cum corpus aliquod remotum fuerit ab axe, et fuerint in eo multae minutae maculae, ipsum deturpantes: occultabuntur, et iudicabitur in corpo re species. Vnde facies lentiginosa in hoc situ uidetur speciosa. Similiter in hoc situ obliquo latent uidentem lunę adhęrentes maculae: unde adscribitur decor lunae sic inspectae. Si autem in corpore uiso fuerint picturę, ei speciem reddentes, nec sit corpus decorum, nisi ex praetentu earum, cum ipsae in hoc statu lateant uisum: iudicabitur corpus deforme. Et est error in syllogismo: quia per apparen- tiam tantum fiet deformitatis uel decoris conclusio.

44. In similitudine et dissimilitudine. 153 p 4.

IN similitudine et dissimilitudine ex situ error oritur. Si enim longe ab axe statuantur duo concor- dantia in figura, specie et colore, sed in eis sint modicae et dissimiles notę: iudicabitur in eis simi litudo omnimoda: cum notae illae uidenti sint ignotę. Si autem fuerit diuersitas inter ea, in specie, fi- gura et colore, sed in eis sint notę similes: putabuntur ex toto dissimilia, cum aliqua dissimilitudo sit inter ea. Et ita est error in similitudine et dissimilitudine, propter conclusionem ex apparentibus tantum factam. Et in omnibus praedictis procreatur error ex solo situ intemperato: quoniam eo intra tempera- mentum sito, alijs (sicut sunt) manentibus, non accidit erronea aestimatio.

45. Lux immoderata creat errores in singulis uisibilibus speciebus. In distantia. 16 p 4.

LVx a temperantiae finibus egreditur, et ob hoc solum in omnibus quorum fit acquisitio per syl- logismum, error procreatur in longitudine ex lucis paruitate. Si enim in longitudine tempera- ta non multum certa, fiat hominum dispositio, ut sit unus post alium, et uisu huic dispositioni de no- cte adhibito: uidebuntur sibi cohęrere, et incomprehensa inter eos distantia, propter debilitatem lucis, quae pateret, si lux esset fortis: qui homines, si in eandem partem moueantur, aequali motu simul sem per moueri putabuntur.

46. In situ. 44 p 4.

IN situ. Vt si in nocte non obscura aliquid modice a uisu declinatum, opponatur uisui: ęstimabitur in eo situs rectitudo, propter debilitatem lucis egressae a temperamento.

47. In figura et magnitudine. 97. 28 p 4.

SImiliter figura multorum laterum aequalium, circularis apparebit de nocte aspecta: quoniam oc- cultat angulos lux nimium debilis. Pari modo sphaera sic uisa reputatur superficies plana: quia occultatur uisui partium eminentia. In magnitudine. Vt nocte inspecto homine et uiso nemo- re, aut remoto ab eo, pariete, uidebitur propinquitas hominis ad nemus uel parietem, cum lateat ui sum distantia eorum, licet sit plurima. Et forsan exibit idem radius super caput hominis et altitudi- nem nemoris, secundum quantitatem distantiae a nemore: et in hoc situ uidebuntur esse eiusdem al titudinis: aut forsitan homo uidebitur esse maioris: quod non accideret, si lux in temperamento es- set: quoniam distantia hominis ad nemus discerneretur, et altitudo uniuscuiusque secundum ter- ram apparentem mensuraretur.

48. In diuisione, continuatione et numero. 109 p 4.

IN distinctione, numero, continuitate erit error ex lucis debilitate. Vt si de nocte uideatur tabu- la, in qua sit linearum obscurarum protractio: putabit forsan uidens diuisiones esse uel fissuras. Et ita error est in distinctione, quia continuum apparet diuisum. Et in numero, quia pluralitas in uno. Similiter existente uisu in lucis fortis reflexione: si adhibeantur corpora modicum distantia: appare- bunt continua. Et ita error est in continuitate, propter lucem nimium aut fortem aut debilem.

49. In moto et quiete. 138 p 4.

IN motu et quiete accidit error ex luce. Si enim nocte comprehenderit uisis hominem, et remotum ab eo nemus: occultabitur distantia hominis ad nemus: et si moueatur uidens ad hominem illum, quanto magis ad illum accesserit, tanto distantiam illam certius uidebit. Vnde cum prius simul cum nemore appareret ei homo uisus, quando ad eum accedit, plus uidetur a nemore remotus: et cum certum sit ei, nemus immotum manere: syllogizabit hominem uisum a parte nemoris incede- re, licet ueritas habeat ipsum immotum esse: qui error non accideret in temperata luce. In quiete. Vt homo de nocte uisus non plene comprehenditur: unde si modicum uideatur, non discernitur, et mo- tus putabitur quiescere.

50. In asperitate et lenitate: raritate et densitate: umbra et tenebris. 141. 144 p 4.

IN asperitate et laeuitate erit errror. De nocte enim uisa asperitas iudicatur forsan laeuitas: aut e con trario, secundum quod fuerit rei uisae qualitas. In raritate et densitate. De nocte enim remissa iu- dicabitur in corpore multum raro raritas: quia cum post ipsum non plena fiat comprehensio solidi: aestimabitur remissio raritatis eius uiam negare uisui: Corpus uero modice rarum uidebitur solidum. In umbra et tenebris. Si enim in pariete albo fuerint partes obscurę, et cadat super parietem illum lux candelae: iudicabit forsitan uidens obscuritatem illam esse umbram: et uidebitur ei forsitan, quod proce dat apparens umbra a uicino pariete: et ita error est in umbrę aestimatione. Similiter si fuerit in par- te parietis nigredo multum: aestimabitur forsitan uacuitas foraminis iter prębens egredientibus tene bris. Et si tota parietis superficies afficiatur intensa nigredine: totus forsitan putabitur tenebrę, ut accidit in pariete cooperto ignis fuligine, et uiso in debili luce.

51. In pulchritudine et deformitate: similitudine et dissimilitudine. 150. 153 p 4.

IN specie et deformitate. Palam enim, quod de nocte uidetur facies formosa, licet in ea sint macu- lae, sicut in lentiginosa. Et si fuerint in re uisa picturę subtiles, totalis speciei caussae, cum in nocte uisum lateant: uidebitur res deformis. In similitudine et dissimilitudine. ln corporibus enim eius- dem speciei, coloris, et figurę, in quibus est partialis diuersitas per latentes notas: in debili luce omni moda similitudo iudicabitur. Et si diuersa fuerint corpora, in specie, colore, et figura, sed ex aliquibus notis conformitas est partialis: propter occultationem notarum ex remissione lucis, iudicabitur o- mnimoda diuersitas corporum. Et palam, in omnibus praedictis errorem accidere ex sola debilita- te lucis, cum ipsa intra terminos temperantiae sita, error non accidat, alijs immotis.

52. Magnitudo immoderata creat errores in singulis uisibilibus speciebus. In distantia. 16 p 4.

QVantitas egreditur a temperantia, et ille egressus caussa est erroris in omnibus, quibus fidem facit syllogismus. Error erit in longitudine ex caussa praedicta: ut si uideantur duo homines a longitudine temperata, et in suo genere maxima, et unus paululum: fuerit ante alium: non discernetur uia inter eos sita: unde unus eorum apparebit circa alium. Et accidit error: quoniam di stantia eorum cum multum sit parua, non est proportionalis totali eorum a uisu elongationi, licet elon gatio sit temperata. Est autem error in longitudine, quoniam homines illi iudicabuntur ab oculo ęque remoti: et ita quantitas unius longitudinis maior, quam sit in ueritate. Vnde error in longitudine.

53. In situ. 44 p 4.

IN situ propter quantitatis paruitatem est error. Quoniam granum sinapis si fuerit ab oculo de- clinatum, tamen uidetur rectum: quoniam pro paruitate nimia non potest deprehendi declina- tio huius grani super lineam intellectualem, in quam axis communis cadit orthogonaliter: quo- niam non plene discernitur longitudo inter hanc lineam et extremitates grani, cum sit minima. Et secundum hanc longitudinem consideratur declinatio eius super lineam illam. Et secundum hanc lineam consideratur semper declinatio rei uisae, respectu uisus utriusque. Et ita error est in situ, ex quantitate immoderata.

54. In figura et magnitudine. 97. 28 p 4.

IN figura. Cum enim res uisa fuerit multum parua, et fuerint in ea anguli: anguli occultabuntur uisui: unde fortasse eius forma, cum non sit, aestimabitur rotunda aut longa: et si fuerit in ea incur uatio modica, latebit uisum, et aestimabitur superficies eius plana: unde palam, quod error est in figura. In quantitate. Quantitas intemperata errorem inuehit: Propositis enim uisui duobus corpo- ribus, quorum unum modice excedat aliud in longitudine sola, aut in latitudine: forsitam iudicabun- tur aequalia omni dimensione. Et est error iste: quoniam excrementum unius dimensionis super a- liam, euasit fines temperantiae, respectu uisus, cum sit ei insensibile prae nimia sua diminutione: Ob hoc necessariae sunt mensurae, ut uerificentur quantitates corporum: cum non acquiratur certitu- do per uisum.

55. In diuisione, continuatione, et numero: moto et quiete. 109. 138 p 4.

IN diuisione error accidit. Capillo enim adhęrente uitro: apparebit diuisio esse in uitro et sissura, cum ibi sit continuitas uera: et prouenit hoc ex capilli tenuitate, quoniam si adhęserit uitro quan titas corpulenta: non ęstimabitur in eo fissura. In continuitate. Si enim praetendantur uisui folia pergameni tenuia, aequalis latitudinis bene compressa, et ignoret uidens esse folia: iudicabit ipsa esse continua, et unum corpus efficere. Et est erroris caussa quantitas uię interiacentis inter folia, quę prae sua paruitate non percipitur a uidente. Et eadem erit caussa erroris numeri, quae continuitatis. In motu. Si enim moueantur duo, quorum unum moueatur paulo uelocius alio: putabit uidens aequalem esse mo tum eorum: quia insensibile est unius super aliud excrementum uidenti. Similiter quantitas exces- sus uiae, quam incedit unus super eam, quam incedit alius, imperceptibilis est uisui. Vnde iudicatur ęqua- litas uiarum et motuum. In quiete. Cum enim offertur uisui aliquid multum paruum, forsitan mouebitur pars eius aliqua, et ipsum iudicabitur immotum, cum motus partis lateat uisum.

56. In asperitate et lenitate: raritate et densitate: umbra et tenebris. 141. 144. 147 p 4.

IN asperitate et laeuitate. Cum enim occurrerit uisui res multum parua: iudicabitur forsan lęuitas, ubi fuerit asperitas, et e contrario. Quoniam, ut dictum est, [53 n 2] asperitas non comprehenditur in corpore, nisi ex umbra quarundam partium super alias, uel eminentia earum, et depressione aliarum: quod to tum occultabitur iudicio uidentis, prae nimia paruitate corporis. In raritate et soliditate. Si quis e- nim intueatur corpus ualde paruum politum, ut ab eo lux possit reflecti, sicut est margaritae simile: ra rum esse iudicabitur, cum non sit. Similiter uiso corpore raro multum paruo, quod post ipsum non sit corporis solidi comprehensio: existimatur esse solidum. In umbra et tenebris. Si enim in pariete al- bo uisui opposito fuerit punctorum ualde nigrorum distinctio, adhibita solis luce, sed directe in pa- rietem cadente uel prope: aestimabuntur a uidente singula puncta singula esse foramina, post quę e- rumpant tenebrae, unde error cum tenebrarum aestimatione ex sola punctorum paruitate: qui non accideret, si nigredo quantumcunque intensa magnam partem parietis inficeret. Si autem fuerit in pun ctis illis nigredo non adeo intensa: reputabuntur quidem puncta illa, foramina, in quibus sit umbra: cum lux non penetret ea, sicut solet accidere luce super multorum foraminum speciem cadente. Vn de error umbrae ex sola punctorum diminutione.

57. In pulchritudine et deformitate: similitudine et dissimilitudine. 150. 153 p 4.

IN specie et deforimitate: Cum prae sua paruitate occultantur uisui deturpantes corpus uisum ma culę, accidit erroneum de specie iudicium: quia sumitur ex apparentibus tantum: Sicut est error in deformitate, cum propter paruitatem lateant picturae decorem ingerentes rei uisae. In similitu dine et dissimilitudine. Cum enim notae minurissimae inter aliqua corpora, similitudinis aut dissi- militudinis fuerint caussae: quia praetereunt uisum prae paruitate sua, iudicabitur similitudo aut dis- similitudo omnimoda: et sumetur iudicium ex apparentibus tantum. In omnibus prędictis est error in syllogismo ex paruitate corporis: cum ea existente temperata non accidat error, alijs immotis.

58. Soliditas immoderata creat errores in singulis uisibilibus speciebus. In distantia et situ. 16. 44 p 4.

SOliditas aliquando egreditur temperamentum, et errorem inducit in quolibet eorum, quae com prehenduntur per syllogismum. In longitudine. Si enim minima fuerit corporis soliditas: et est: ut sit ualde rarum, sicut est crystallus pura, et sit post ipsam corpus lucidum luce forti: non compre- hendetur crystallus, sed quasi nullum esset intermedium, comprehendetur corpus per ipsam: unde, cum quasi non sit, fiat rari acquisitio: non plena erit longitudinis eius ab eo comprehensio. Vnde error in longitudine. Quare si corporis rari situs fuerit declinatus, occultabitur uidenti declinatio, et iudica- bitur forsitan rectitudo. Vnde error in situ, et etiam error in longitudine: quoniam una eius extre- mitas eiusdem longitudinis reputabitur cum alia, cum sint diuersae.

59. In magnitudine et figura: diuisione, continuatione et numero. 28. 97. 109 p 4.

DEinde quoniam quantitas corporis comprehenditur ex longitudine, et anguli, sub quo ui- detur, capacitate: ignorata longitudine: accidit error in quantitate. Modo consimili erit error in figura. Si enim in corpore fuerint anguli: occultabuntur uidenti: unde sexangula forma pu- tabitur sphaerica. Si uero modica fuerit incuruatio in corpore, latebit, et iudicabitur corpus planum esse. In distinctione erit error. Si enim fuerit per corpus magnae raritatis linea nigra, apparebit cor- pus diuisum in loco, in quem cadit linea. Si uero fuerint duo corpora talia modicum a se distantia: repu- tabuntur continua. Vnde error in continuitate. Et palam, quod ex his erit error in numeri compre- hensione: cum uel unum plura, uel plura unum apparebunt.

60. In motu et quiete. 138 p 4.

IN motu erit error ex immoderatione raritatis: si opponatur foramini corpus ualde rarum, ut cry stallus: et huius corporis extremitates lateant uisum: et post corpus hoc moueatur aliud: puta- bit uidens corpus rarum moueri, cum sit immotum: quod non accideret ipso temperate solido. ln quiete accidit error ex eadem intemperantia. Si enim corpus ualde rarum includatur in manu, coniunctum manui, et ab ea recedat, et moueatur intra manum reuolutionis motu, immota manu: ita tamen, ut appareat diuisio aliqua inter ipsum et manum: iudicabitur corpus illud immotum: quo- niam non potest in eo comprehendi motus, nisi mutatione situs partium partis alicuius, respectu manus, uel partis eius. Et quia omnimoda est similitudo in partibus, uel praetenditur: propter raritatem non potest discerni alicuius partium situs: quare nec motus.

61. In asperitate et lenitate: raritate et densitate 141. 144 p 4.

IN asperitate et lęuitate. Si enim in corpore multum raro fuerit asperitas non magna, putabitur forsitan laeue. Si uero fuerit laeue, et statuatur post ipsum corpus asperum, aut corpus diuersorum colorum, aestimabitur hoc corpus rarum et lęue, asperum. Vnde error in laeuitate. In raritate. Si e- nim post corpus ualde rarum sit aliud corpus rarum non multum, et colore forti coloratum: apparebit pri- mum non multum rarum, sed aestimabitur eius raritas secundum raritatem postpositi. Vnde uitrum alij uitro superpositum non apparet ita rarum, sicut appareret eo solo uisui adhibito. Vnde error in raritate. Si autem post postpost primum rarum statuatur corpus solidum: iudicabitur primum solidum: unde er- ror in soliditate. Pari modo si uas ualde rarum contineat uinum, cum post illud non percipiatur lux aut corpus aliud: iudicabitur forsan totum cum uino uitrum esse unum corpus solidum.

62. In umbra et tenebris. 147 p 4. 67 p 10.

IN umbra erit error ex raritate. Luce enim solis in domum aliquam per foramen aliquod descenden te, et super fenestram uitream cadente, cum domus illa sit umbrosa: apparebit super fenestram il lam umbra, licet in ueritate lux in ipsam incidat: quae quidem lux comprehenderetur, si solidum esset fenestrae corpus: quoniam non transiret, et ita super solidum appareret. Vnde error in umbra. In tenebris. Luce enim solis in aquam fluminis non descendente, aut in mare, sicut accidit hora ma- tutina et uespertina: et si fuerit claritas in aqua: apparebit tenebrosa: et quanto fuerit clarior, tanto putabitur tenebrosior. Et accidit hoc: quoniam pars aquae superior umbram iacit super proximam par tem inferiorem, et illa proxima super aliam inferiorem propinquam: et ita per singulas usque ad fun- dum. Et licet singularum partium umbra in se sit modica: tamen coniunctae unam efficiunt maxi- mam, sicut palam est in colore uini accidere: In modica enim quantitate uini color est debilis: et in multa, licet eiusdem modi, fortis. Caussa autem quare in mari umbram iaciente uideantur esse tene brae in maris claritate, est: quoniam intensa claritas intensam reddit raritatem: unde uisui maiorem reddit penetrationem: Vnde fit acquisitio plurium maris partium umbram facientium: quoniam um brarum aggregatarum perceptio inducit fidem tenebrarum. Si uero mare fuęrit turbulentum, pro- pter diminutam raritatem penetrabit uisus paululum, et comprehendet modicam aquae partem: et licet faciat umbram, cum ipsa sit remissa, color illius partis uincit umbram. In turbida enim aqua co- lor apparet, in clara nullus: unde et propter turbidae aquae colorem et propter umbrae partis appa- rentis remissionem non comprehenduntur in aqua tenebrę: unde ipsa turbida, apparebit colora- ta, et clara tenebrosa. Solis autem radio cadente super faciem maris, cum ei per raritatem ipsius pa- teat transitus: abijcietur omnis tenebrarum et umbrae apparentia.

63. In pulchritudine et deformitate: similitudine et dissimilitudine. 150. 153 p 4.

IN decore et deformitate. Si enim in uase multum raro sint particulae uel incisurae ipsi decorem afferentes: et imponatur uasi illi uinum turbidum et turpe: occultabuntur decoris caussae: et iu- dicabitur uas deforme, ut aliquando accidit in uitreo uase. Econtrario si uas tale deforment e- ius aliquae particulae, et imponatur ei uinum clarum lucidum, et in colore formosum: occultabuntur deformitatis caussae, et reputabitur uas speciosum, cum sit deforme. In similitudine et dissimilitudi ne. Si duo uasa multum rara conueniant in forma, specie, raritate: sed discrepent in aliquarum partium dispositione, et uino eiusdem coloris, eiusdem claritatis impleantur: latebunt caussę diuersitatis, et re putabuntur omnino similia. Si uero inter ea fuerit diuersitas in specie et forma: sed in aliquibus par tialibus conuenientia, et uino simili impleantur: putabuntur omnino dissimilia. Vnde error in simi litudine et dissimilitudine: quia sumitur iudicium ex apparentibus tantum. Et in omnibus praedictis ac- cidit error ex sola soliditatis intemperantia: quoniam alijs in suo esse manentibus, non accidit error, ea ad temperantiam reuocata.

64. Perspicuitas medij immoderata creat errores in singulis uisibilibius speciebus. In distantia: situ: figura: magnitudine: diuisione: continuatione et numero. 16. 44. 97. 28. 109 p 4.

RAritas aeris inter uisum et rem uisam intercidentis egreditur temperamenti proprij motas, et errorem generat in omnibus, quorum fidem uisus efficit per syllogismum. In longitudine. Si enim fuerit aer pruinosus et obscurus, sicut in horis matutinis solet accidere: turri aliqua ui- sui opposita in longitudine temperata: aestimabitur plus a uisu elongata, quam habeat ueritas. Vn- de error in longitudine est. Et caussa est: quoniam non comprehenditur longitudo inferioris terrae, su- per quam elongationis turris sumitur mensura: et occultatur terra ex raritate aeris diminuta. Vnde raritas est caussa erroris. Si autem in hoc aere declinetur modice corpus uisum: occultabitur declina- tio, quae pateret in aere claro. Vnde error in situ. Et si fuerit in corpore gibbositas modica: appare- bit planum in tali aere: et si fuerint in corpore anguli, latebunt. Vnde erroneum erit figurae iudicium. In quantitate erit error ex tali aere: quoniam uisum maius apparebit, quam in temperato aere: Sicut ac- cidit in corporibus post aquę raritatem comprehensis. Et si fuerit in corpore quasi linea nigra: putabi- tur esse partium diuisio. Vnde error in diuisione. Et si fuerint duo corpora modicum a se disiuncta: ap parebunt in hoc aere continua. Vnde error in continuitate. Et ex his palam, quod error est in numero.

65. In motu: quiete: asperitate: lenitate: raritate: densitate: umbra: tenebris: pulchritudine: deformitate: similitudine et dissimilitudine. 138. 141. 144. 147. 150. 153 p 4.

IN motu. Si enim in aere duo uideantur, quorum unum alio paulo uelocius moueatur: iudicabun tur fortasse aequales esse eorum motus: cum in temperato aere discerni posset unius ad alium ex- cessus. Et est error propter latens excrementum uię unius super uiam alterius. In quiete. Si quis enim per talem aerem a longitudine temperata non tamen parua uideat aquam fluentem: aut iudicabit eam im- motam: aut si fuerit fortis eius fluxus: minus, quam moueatur, motam. In asperitate et laeuitate. Quia in hoc aere uidebitur asperum laeue, propter latentes asperitatis caussas. Et uisa re polita, cum non discer natur in ea reflexio: aestimabitur aspera. In umbra. Si enim post hunc aerem uideatur corpus album, in quo sint particulae rotundae nigrae, luce ignis in corpus illud cadente, ita tamen, ut sit interpositio hu- ius aeris: apparebit in locis illis umbra, aut forsitan reputabuntur foramina uiam tenebris erumpentibus pręstantia. Vnde error in umbra et tenebris. Quare post hunc aerem corpus rarum apparebit minus rarum: et forsan putabitur solidum. Et ita error in soliditate et raritate. In specie et deformitate, propter caussas particulares corpus decorantes, uel deformantes, in hoc aere latentes. In similitudine et dis similitudine propter particulares diuersitatis, aut conuenientiae caussas, inter duo corpora non ap- parentes. Et in his omnibus prouenit error ex raritate aeris sola immoderata, cum alijs immotis, in aere temperato non accideret.

66. Tempus immoderatum creat errores in singulis uisibilibus speciebus. In distantia: situ: figura: magnitudine. 16. 44. 97. 28 p 4.

TEmpus extra temperamenti sui fines locatum caussa est erroris per singula, quorum fides in uisu sumitur ex syllogismo. In longitudine. Si enim subito intueatur quis aliquod remotum a turri, quod statim uisui surripiatur: non poterit plene discernere longitudinem inter illud et turrim: et iu dicabitur forsan aut minus remotum a turri, quam sit in ueritate, aut magis. Et est caussa: quoniam in illa tem- poris instantia non percipitur a uidente terra intermedia inter turrim et rem uisam, secundum quam su- mitur distantiae mensura: aut quoniam in breui tempore, non poterit axis uiam intermediam discernere. Vn- de nec plene comprehendere. Et ita error in longitudine. In situ. Cum aliquid subito occurrit uisui, et sta tim recedit: reputabitur forsitan rectum, declinatum, aut econtrario. In figura. Si fuerit modica gib- bositas in re subito uisa: latebit, et putabitur res plana, aut latebunt anguli, si fuerint in ea. In quanti- tate. Si quis enim titionem ardentem moueat motu citissimo, et intra uiam modicam, ut saepe ua dat et reuertatur per eam: apparebit uia motus ignea: quoniam motus titionis ab uno uiae termino ad alium fit quasi in instanti, Vnde propter breuitatem temporis non potest discerni uel quantitas uel motus titionis. Vnde et hic error in motu.

67. In diuisione: continuatione: numero: quiete et motu. 109. 138 p 4.

IN diuisione. Si quid enim subito uisum a uisu diuertatur, et fuerit in eo linea nigra: putabitur es- se diuisio partium, illa nigredo. Et si corpora contigua uel ualde propinqua subito uideantur: ęsti- mabuntur continua: sicut accidit in scamnorum tabulis subito inspectis. Vnde error in continui- tate. In motu. Cum duorum unum paulo uelocius alio mouetur: motus in tempore modico comprehensi aequales iudicabuntur, cum non tam subito comprehensibilis sit excessus. In quiete. Si enim aliquid modice moueatur: subito uisum moueri non uidebitur: quoniam uia, quam percurrit in tempore suę perce ptionis, imperceptibilis est uisui prae sui paruitate. Superius autem explanatum est, [51 n 2] quod non com prehenditur motus in corpore, nisi in tempore sensibili. Similis error accidit in rota modica: cum citissime uoluitur, apparet immota: cum non possit fieri comprehensio reuolutionis eius in tempo re tam paruo, quam paruum est, in quo fit una eius reuolutio. Idem error accidit in trocho. Vnde er ror in quiete: quoniam non potest discerni mutatio situs partium trochi: quare nec motus eius. Et si unius coloris fuerit trochus: palam, quod non comprehenditur motus. Si uero plurium et diuerso- rum colorum: nec sic etiam apparebit motus: cum lateat colorum diuersitas, et praetendatur ex ni- mia festinatione, confusa quaedam colorum unitas.

68. In asperitate: lenitate: raritate: densitate: umbra: tenebris: pulchritudine: deformitate: similitudine: dissimilitudine. 141. 144. 147. 150. 153 p 4.

IN asperitate. Cum enim subito uidetur asperum: putabitur forsitan laeue: et si hoc modo uidea- tur, non poterit in eo discerni laeuitas aut asperitas. Vnde dubitatio et error. In raritate. Luce e- nim declinata super corpus remisse rarum descendente, subito uisum, cum non percipiatur declina- tio lucis: putabitur forsitan, quod in fine raritatis sit apparens raritas corporis. Quod si in tempore pau lo maiore adhibeatur uisus: percipietur declinatio caussa apparentiae raritatis remissę. In soliditate. Si quis enim instanter uideat corpus rarum, et post ipsum non discernat lucis transitum, putabit illud es- se solidum. In umbra. Si in albo pariete sint partes subnigrę, descendente super ipsum ignis luce, subito uisae putabuntur esse umbrae. Si uero nigredo earum uisa fuerit intensa: aestimabuntur foramina te- nebris plena. In specie et deformitate. Quia in tam paruo tempore non sunt comprehensibiles minutę de- coris et deformitatis caussae: sicut accidit cum aliquis inspiciens per foramen intuetur faciem, iudicat aliquando foedam: formosam: uel econtrario. Et idem error accidit mota re uisa, oculo immoto. In si- militudine et dissimilitudine: Quoniam latent particulares similitudinis et dissimilitudinis caussę. Et in his omnibus ex solo tempore non moderato accidit error: cum in praedictis nullus accideret, eo ad temperantiam reducto.

69. Imbecillitas uisus creat errores in singulis uisibilibus speciebus. In distantia: situ: magni- tudine: figura: diuisione: continuatione: numero. 16. 44. 28. 97. 109 p 4.

VIsus debilitas et immoderatio errorem inuehit singulis per syllogismum in uisu comprehensis. In longitudine. Si enim opponantur uisui duo corpora, quorum unum sit coloris fortis, et remotius: aliud coloris debilis, et oculo propinquius: cum non fiat comprehensio longitudinis, nisi facta col latione ad aliqua corpora interiecta: [per 25. 39 n 2] faciet incertam collationem debilitas uisus. Et quia certum est homini, quod ex locis propinquioribus certior fit fides uisui. quam ex remotioribus concludit il- lud, quod apparet ei certius ex his corporibus esse propinquius. Et planum, quod uisui debili certior fit fides coloris fortis, quam debilis: licet paulo plus elongati. Idem error accidit etiam in temperantia uisus: quoniam a longitudine magna propinquius iudicatur corpus, cuius color fortis, quam cuius co- lor debilis: licet non sit multo remotius. In situ errat uisus debilitas. Si enim ab aliquanta longitudine, licet temperata declinetur corpus, et sit modica declinatio: ignorabitur, cum plene comprehenditur longitudo. Et incertitudo longitudinis quantitatis, errorem etiam situs ingerit. In figura. Quia gibbus mo dicus, et multiplex angulus latent debilitatem uisus. Et si in corpore linea nigra fuerit: aestimabitur di uisio uel fissura: et aestimabuntur corpora contigua, unum continuum. Vnde error in diuisione: conti- nuitate: numero. Eadem erroris caussa strabo unum iudicat duo: si fuerit deformitas in uno tantum oculo. Quoniam habet res uisa diuersitatem situs, respectu duorum oculorum eius. Si autem in duo- bus oculis eius sit deformatio: cum accidit eos moueri: forsitan accidet eis diuersitas situs, respectu rei uisae: et ita in uno pluralitas.

70. In motu et quiete. 138 p 4.

IN motu. Si quis enim saepius in circuitum uoluitur, cum quiescit: putat, quod parietes moueantur. Et est, quoniam moto uidente, mouetur intrinsecus uis uisibilis: et licet uidens steterit, non statim uis uisibilis stabit: sed motus eius in uidentis quiete durabit: et ob hoc motus uisarum rerum aestima- tio insurgit. Et huius motus exemplum in trocho uidemus: quoniam diu post manus mouentis quie tem uoluitur trochus. Est etiam infirmitas, in qua uidentur patienti omnia uolui. In quiete. Quan- do corpus similium partium, ut sunt quaedam rotae horologiorum, reuoluitur reuolutione pauca: ui- sus debilis non percipit eius motum, quem quidem perciperet uisus temperatus. Si autem multa sit reuo lutio, non percipitur etiam a temperato. Si uero sit dissimilium partium corpus motum, ut in rota mo- letrinae: tunc uisus debilis comprehendet motum: Si autem festina fuerit rotae reuolutio: occultabi tur uisui debili motus. Quoniam partes rotae multum dissimiles sunt: non plene comprehendetur dissi militudo in festinatione: et per dissimilitudinem partium fit comprehensio motus earum.

71. In asperitate: lenitate: raritate: densitate: umbra: tenebris: pulchritudine: deformitate: similitudine: dissimilitudine. 141. 144. 147. 150. 153 p 4.

IN asperitate et laeuitate. Quia forsan reputabit modice lęue, asperum: uel econtrario, si inter formas asperi et lęuis fuerit dissimilitudo. In raritate. Cum fuerit in corpore raro soliditas pauca: aestimabi tur a uisu debili maior uera. In soliditate. Si fuerit in corpore raro color fortis, aut post ipsum, et raritas non maxima: putabit illud esse solidum. In umbra. Notae parietis subnigrae, descendente super ipsum luce, apparent huic uisui umbrę: et si fuerint multum nigrę: apparebunt foramina, in quibus tenebrę. In deformitate et decore: similitudine et dissimilitudine propter particulares decoris uel foeditatis, simi litudinis et disaimilitudinis caussas uisum latentes. Et est error in praedictis omnibus ex sola debilitate uisus.

72. In uisione errores creantur alias quidem a singulis uisionem perficientibus: alias uero a plu- ribus simul, quorum nullum per se errorem crearet. 154 p 4.

IAm diximus, quomodo accidat error in syllogismo, secundum unamquamque caussarum erroris ui sus in qualibet partium, quae acquiruntur per syllogismum, et incessimus super quemlibet erro- ris modum, et cuiuslibet supposuimus exemplum. Et licet in erroribus uisus sit copiosa multitu- do: tamen omnium ad modos dictos fiet reductio, et ad exempla ordinatim proposita: assignauimus quoque errores, secundum quod singuli eorum accidunt ab unica tantum caussa. Et aliquando error infertur non ab una tantum, sed a duabus caussis uel pluribus. Verbi gratia. Si moueatur aliquid a longitudi- ne magna motu lento: subito uisum uidebitur immotum: et percipi posset motus ille in distantia tem perata etiam celeri uisu, uel etiam in illa longitudine intemperata non occultaretur motus: si tempera- tum esset inspectionis tempus. Prouenit igitur error ex duabus intemperantijs, quarum neutra per se sufficit: trium aggregatio errorem efficit. Si a magna longitudine, sub debili luce, in modico tempore, op- ponatur uisui corporis diuersorum colorum reuolutio non cita: aestimabitur corpus stare: Et si ab ea- dem longitudine, sub eadem luce, tempore temperato, adhibeatur intuitus: comprehendetur mo- tus: qui similiter non latebit in temperata longitudine, sub eadem luce et modico tempore: et etiam perci pi poterit in eadem longitudine sub forti luce. Et generaliter ex omnibus erroribus uisui accidentibus nec unus nec plures congregati euadunt caussas, quas diximus. Quaelibet autem forma rei uisae, ex ijs, quae enumerauimus, est composita. Et cum uisus non acquirat ex rebus uisis, nisi aliquas istarum: non acci- dit error in uisu, nisi in aliqua istarum. Et omnis error, qui accidit in scientia, est, quoniam intellectus similia efficit, quae percipit, cum ijs, quę percepit in modo aliquo, aut dissimilia. Et omnis error in par tialibus erit, aut in sensu, aut in scientia, aut in syllogismo: et non potest esse, quin sit in aliquo istorum, aut duobus, aut ipsis tribus. Et quicunque error accidit in huiusmodi tribus, non erit, nisi per erro- rem uisus in partibus. Et iam patuit, quod error uisus in partialibus non erit, nisi propter caussas, quas assignauimus, aut ex una earum tantum, aut ex pluribus.

ALHAZEN FILII ALHAZEN OPTICAE LIBER QVARTVS.

LIBER iste diuiditur in quique partes. Pars prima est proemium libri. Se- cunda est in declaratione, quod luci accidat reflexio a politis corporibus. Tertia est in modo reflexionis formae. Quarta in ostensione, quod comprehensio for mae ex corporibus politis non est, nisi ex reflexione. Quinta est in modo comprehensio- nis formarum per reflexionem.

PROOEMIVM LIBRI. CAP. I.

1. Visio fit trifariam: recte: reflexe: et refracte. In praef. 1. 3. 10 Libr.

IAm explanauimus in libris tribus modum comprehensionis formarum in uisu, cum fuerit directus: et enumerauimus singula, quae in rebus uisis comprehendit uisus. Sed diuersificatur acquisitio ui- sus tripliciter: Aut enim directe, sicut diximus: aut per reflexionem in politis corporibus: aut per penetrationem, ut in raris, quorum non est raritas, sicut raritas aeris. Et non potest diuersificari ui- sus, nisi in his modis tribus. Et his duobus modis posterioribus comprehendit uisus in rebus uisis, quae supra exposuimus, et quorum acquisitionem in uisu directo patefecimus. Et forsitan uisus in his incurrit in errorem, aut consequitur ueritatem. Et nos assignabimus in hoc libro, quando per refle- xionem fiat formarum acquisitio: et quomodo erit reflexio: et quis linearum reflexarum situs: Et prae ponemus quaedam accidentia praeponenda.

QVOD LVCI ACCIDAT REFLEXIO A POLITIS corporibus. Cap. II.

2. Lux et color reflectuntur a quolibet politae superficiei puncto, lineis rectis. 1 p 5.

PLanum est ex libro primo [1. 2. 3. 14. 18. 19 n] quod lux a corpore lucido luce propria uel acciden- tali dirigatur in omne corpus ei oppositum: et eodem modo color, cum in eo lux fuerit, mittitur. Itaque corpore polito opposito corpori lucido, mittitur ad ipsum lux mixtim cum colore, et refle- ctitur lux cum colore, siue fuerit fortis, siue debilis, siue prima, siue secundaria. Et quod fiat in luce for ti reflexio, potest patere: opposito luci forti speculo ferreo, si oppositus fuerit paries speculo, et de- scenderit super ipsum lux declinata, non recta: uidebitur in pariete lux fortis reflexa: quę quidem non uidebi- tur super eundem locum, si speculum auferatur uel moueatur: imo secundum motum speculi mutabi- tur locus lucis reflexae in pariete. Quare palam, reflexionem fieri in luce forti. In luce debili patere potest facile. Si intra domum aliquam, per foramen unicum a terra elongatum, sed non multum, descendat lux diei, non solis, super aliquod corpus: et circa corpus statuatur speculum ferreum: et circa speculum corpus aliquod album: apparebit in secundo corpore albo lux maior quam sine speculo: et augmen- tum illius non est, nisi ex speculi reflexione, quoniam ablato speculo sola lux secundaria debilis appare- bit in corpore albo. Amplius: si diligens figatur intuitus in lineis, per quas a corpore primo lux in speculum mittitur: perpendetur quidem linearum illarum declinatio super speculum, et super idem linearum punctum, reflexionis declinatio eadem. Et est proprium reflexionis, ut sit eadem declinatio, et idem angulus linearum uenientium et reflexarum. Quod si moueatur corpus album a loco reflexionis in alium locum: tamen circa speculum: non uidebitur in eo lucis augmentum: nec uideri poterit, nisi in illo situ tantum. Quare planum est proprium esse refiexionis hunc situm. Hoc idem poterit uideri in secundaria luce: si praedictum speculum sit argenteum, et corpus tertium album sit ex alia parte speculi: apparebit quidem super corpus tertium lux secundaria, et super corpus secundum lux maior illa: Et palam, huius maioritatis caussam solam esse reflexionem. Patebit autem in omni loco lucis reflexio: ubi super corpus descendit per foramen aliquod lux fortis, adhibito luci speculo, et ei corpore albo opposito, modo supra dicto. Verum lo- cum reflexionis et linearum situm explanabimus. Iam patuit in libro primo, [1. 2. 3. 14. 18. 19 n] quod lux re- flexa sequitur rectitudinem linearum: quare ex corporibus politis fit reflexio secundum processum rectitudinis in situ proprio.

3. Lux et color a quolibet superficiei coloratae puncto ad quodlibet superficiei politae oppositae punctum permixti confluunt. 2 p 5.

AMplius: Planum est ex superioribus, quod lux secunda a corpore illuminato, accidentali lu- ce procedens, secum fert colorem corporis. Ab omni igitur corpore illuminato seu lucido color mixtim cum luce ad corpora opposita polita mittitur, et mixtim in partem debitam reflectitur. Et huic rei fides poterit fieri, si intra domum unius foraminis tantum, descendat lux super corpus forti et specioso colore: et statuatur circa ipsum speculum ferreum, et circa speculum corpus concauum ad scyphi modum, intra quod sit corpus album, et aptetur hoc uas in loco reflexionis, ut lux reflexa incidat in cor pus album: apparebit quidem super faciem albi corporis color illius, in quod fit primo descensus lucis: quod quidem non accidet, si extra proprium situm reflexionis statuatur corpus album. Et secundum diuersas colorum species hoc probatum inuenies, uelut in colore coelesti rubore, uiriditate, et huiusmodi. Quare planum, colorem mixtum cum luce remitti, et certiorem esse coloris reflexi apparentiam, si speculum fuerit argenteum.

4. Reflexio debilitat lucem et colorem: et omnino totam uisibilis speciem. 3 p 5.

QVare autem non appareat haec probatio, scilicet, quod comprehendatur color reflexus, cuicunque corpori opponatur speculum, sed ei adhibeatur album, haec est ratio sicut supra dictum est colo- res debiles (licet simul cum luce mittantur) non sentiuntur. Formae enim, quae reflectuntur, de- biliores sunt formis, a quibus reflexio oritur. Et hoc in hac luce potest patere. Quoniam luce forti in speculum cadente, et reflexa in pariete: debilior uidebitur lux parietis, quam speculi, et notabilis est inter eas proportio. Idem patebit in luce debili pari modo, ut in domo in prima dispositione: si corpus tersum tertium album ponamus loco speculi ferrei, uel circa ipsum: maior apparebit lux super hoc cor- pus, quam super secundum: quod non accideret, nisi reflexio lucem debilitaret. Sed dicet aliquis, caussam huius rei esse nigredinem speculi ferrei, quae admixta luci, in speculum cadenti, ipsam obumbrat, et re- flexa in corpus secundum debilis et fusca apparet: sed in corpus tertium loco speculi positum non descendit lux, nisi a corpore primo nulli admixta nigredini. Verum quod hoc non sit in caussa, palam ex eo est: quod loco speculi ferrei, argenteo posito, eadem accidit probatio. Pari modo reflexus color debilior erit colore, a quo fit reflexio: quod in domo et uase, ut antea, patere potest: si corpus album loco spe- culi ponatur, uel circa: fortior apparebit in ipso color, quam in corpore albo intra uas posito. Et idem patebit, si loco ferrei speculi argenteum ponatur speculum. Igitur reflexio debilitat et luces et colores: sed colores amplius, quam luces, secundum utrumque speculum. Et est: quoniam colores accedunt debiliores, quam luces: unde facile efficiuntur in reflexione debiliores. Amplius: color debilis cum peruenerit ad speculum, miscetur colori eius: quare reflexus apparebit debilis et tenebrosus. Et for- mae debiliores sunt reflexae, quam in loco reflexionis: et reflexio causa est debilitatis.

5. Lux et color reflexi sunt debiliores luce et colore primis: fortiores autem secundis, cum guibus ab eodem ortu aequabiliter distant. 4 p 5.

POterit aliquis dicere, non esse debilitatem formarum in reflexione, nisi ex elongatione earum a sua origine. Sed explanabitur, quod licet ab ortu aequaliter elongentur lux directa et lux reflexa: tamen debilior erit reflexa. Intret radius solis in domum aliquam per foramen: et opponatur fo ramiri in aere speculum ferreum minus foramine: et lux foraminis residua cadat in terram super corpus album: et lux a speculo reflexa cadat in corpus album eleuatum: hoc obseruato: ut eadem sit eleuati et ia- centis a foramine longitudo: uidebitur quidem super eleuatum lux minor, quam super iacens. Et hu ius minoritatis non potest assignari caussa, nisi reflexio sola. Idem accidit, si speculum sit argenteum. Idem in colore potest patere: lux enim solis in domum aliquam per foramen descendat super corpus coloris for tis, cui adhibeatur speculum, et aliud corpus concauum: intra quod sit corpus album, in quod cadit refle xio: et statuatur in domo aliud corpus album eiusdem modi, cum eo, quod est in concauo: et sit elongatio huius albi a corpore colorato, in quod cadit lux foraminis, eadem cum elongatione albi, quod est in concauo ab eodem, et cum elongatione speculi ab eodem: tunc comprehendetur color debilior in albo, quod est intra concauum, quam in eo, quod est extra: licet aequidistent ab ortu suo, id est a corpore colorato. Et in caussa est reflexio colorem debilitans. Amplius: lux reflexa fortior est lu- ce secundaria: licet eiusdem sint elongationis ab origine sua. Luce enim reflexa cadente in cor- pus aliquod: si aliud eiusmodi corpus ponatur extra locum reflexionis: et sit cum eo eiusdem e- longationis a speculo: uidebitur super ipsum lux minor, quam in illo. Idem etiam planum erit in domo: si deponatur in terram, in directo foraminis speculum, quod accipiat totam foraminis lu- cem: erit lux fortior super corpus in loco reflexionis positum, quam super aliud eiusdem modi extra hunc locum, tantundem elongatum a speculo. Eodem modo si excedat lux foraminis quan- titatem speculi: et cadat circa speculum lux in terram, aut corpus album, a quo aliud corpus tan- tum elongatur, quantum corpus reflexionis a speculo: debilior apparebit in eo lux, quam super reflexionis corpus. Similiter accidit in colore, si corpus aliquod tantum distet a speculo extra si- tum reflexionis, quantum aliud ei simile, quod est in situ reflexionis: apparebit quidem super cor- pus, quod est in situ reflexionis, color reflexus: super aliud forsitan nullus. Si enim ferreum fuerit speculum: aut modicus uidebitur, aut omnino nullus. Si uero argenteum fuerit speculum: appa- rebit super ipsum color aliquis, sed ualde debilis, et longe debilior, quam in corpore, quod est in situ reflexionis. Et iam igitur planum, quod formae lucium et colorum ex corporibus politis reflectuntur, et in reflexione debilitantur: et erit forma directa fortior reflexa, cum eadem fuerit earum origo, et aequa lis ab ea origine elongatio: et reflexa fortior secundaria, cum est idem uel aequalis ortus, et par elongatio.

DE MODO REFLEXIONIS FORMARVM A POLI- tis corporibus. Cap. III.

6. Lenitatis: politae superficiei: et perpendicularis incidentiae definitiones. In def. 5 libr.

POlitum est laeue multum in superficie: Et laeuitas est, ut sint partes superficiei continuae, sine pororum multitudine. Laeuitas intensa est, ubi est multa partium superficiei continuitas, et pororum paruitas et paucitas: et finis laeuitatis est priuatio pororum, et priuatio diuisionis par tium. Itaque politio est politiua continuitas partium superficiei, cum poris raris et exiguis: et finis po- litionis est uera continuitas partium, et priuatio pororum. In omnibus politis superficiebus, licet diuersis subiaceant figuris, accidet reflexio: et idem reflexionis modus et eadem proprietas est. Et est, quod ab omni positi superficie et quolibet eius puncto fit reflexio. Et sumpto quocunque puncto in superficie, a qua fit reflexio: linea accessus formae ad illud punctum, et linea reflexionis in eadem superficie erunt cum linea perpendiculari super illud punctum erecta: et tenebunt hę lineae eundem situm respectu perpendicularis, et aequalitatem angulorum. Et uolo dicere perpendicularem: quae sit perpendicularis super superficiem, tangentem corpus politum in illo puncto. Et duę lineę cum per- pendiculari sunt in eadem superficie orthogonaliter cadente super superficiem, corpus politum in puncto, a quo fit reflexio, tangentem. Si autem linea, per quam accedit ad speculum forma, cadat per- pendiculariter super illud: fiet reflexio formae per ipsam, non per aliam. Et hoc est proprium in omni reflexione, in omni polito corpore. Si igitur corpus politum fuerit planum: superficies tangens pun ctum reflexionis, erit una et eadem cum superficie corporis. Si uero fuerit columnare speculum interius aut exterius politum: erunt contactus superficiei speculi et superficiei contingentis linea tantum, se- cundum longitudinem speculi intellecta. Idem in speculo pyramidali intus uel extra polito. In sphae- rico siue interius siue exterius polito, contingens superficies tangit in solo puncto.

7. Fabricatio et usus organi reflexionis. 9 p 5.

QVomodo autem etiam ad oculum pateat hic modus reflexionis in speculis omnibus, expla nabimus. Accipe tabulam aeneam spissam, ut firmior sit: eius longitudo sit non minor duo- decim digitis: sitq latitudo sex digitorum, et fiat linea aequidistans extremitati longitudi-

nis: et circa illam extremitatem, et super punctum huius lineae medium ponatur pes circini, et fiat semicirculus, cuius semidiameter sit latitudo tabulae: et [per 11 p 1] extrahatur a puncto, quod est centrum, linea orthogonaliter super diametrum iam factam: et erit linea illa semidiame- ter diuidens semicirculum per aequalia [per 33 p 6.] Et in hac semidiametro sumatur men sura unius digiti, et posito pede circini super centrum, fiat semicirculus secundum quantitatem partis residuae semidiametri, secundum semi- diametrum quinque digitorum. Et diuidiantur se- micirculi primi medietates, in quot libuerit, partes, ita ut sibi respondeant in aequalitate, prima scili cet primae, secunda secundae, et sic de alijs: et protrahantur lineę a centro ad puncta diuisionum. De- inceps in semidiametro mensura digiti signetur: et ex parte centri et super punctum signatum pro- trahatur linea, aequidistans diametro semicirculi, siue tabulae extremitati [per 31 p 1:] et secetur e tabula, quod interiacet hanc lineam et semidiametrum, usque ad centrum et lineas primas, ad diuisio- nes semicirculi protractas, id est ad lineas tales semidiametro propinquiores. Post secetur tabula circa semicirculum maiorem, ut solum remaneat semicirculus: et secetur tabula sub centro, ut cen- tri locus acuatur quasi punctum: hoc tamen modo, ut in eadem superficie remaneat cum semicir- culo et alijs lineis. Post sumatur tabula lignea plana excedens aeneam in longitudine duobus diui- tis: et sit quadrata: et eius altitudo siue spissitudo septem digitorum. Signetur ergo in hac tabula punctum medium: et super ipsum fiat circulus excedens maiorem circulum tabulę aeneae, quanti- tatc digiti magni: et fiat super idem centrum circulus, aequalis circulo minori tabulę aeneę: et diui- datur circulus maior in partes, in aequalitate respondentes partibus semicirculi tabulae aeneę: ut scilicet prima respondeat primae, secunda secundae, et sic de alijs: et circumquaque secetur ta- bula lignea, ut solum remaneat maior circulus: et fiet haec sectio usitato secandi modo. Secetur e- tiam pars tabulae minore circulo contenta: et modus sectionis erit: ut huic tabulae associetur alia tabula, ita ut linea a centro huius ad centrum illius transiens, sit perpendicularis super illam: et ad- hibito tornatili instrumento centris earum, fiat sectio partis circularis iam dictae: (est autem alte- rius tabulae associatio, ut fixa stet in sectione) igitur restabit tabula quasi annulus circularis, cuius latitudo erit duorum digitorum: longitudo quatuordecim: altitudo septem. Et sit haec altitudo

optime circula- ta ad modum co- lumnę: remanent autem in latitudi- ne huius annuli lineę diuidentes circulum eius se cundum diuisio nem semicirculi ta bulae aeneę. A ca pitibus autem li nearum harum pro- ducantur lineae in superficie al titudinis exteri oris, perpendicu lares super su- perficiem latitu dinis: et poterit hoc modo fieri. Quaeratur regu- la bene acuta, cui ius capiti lineae adhibeantur, et regula mouea- tur, donec tran- seat superficiem al titudinis, in qua libet parte acu- minis: Signa e- ius capita, et fac lineam, quoniam illa erit perpendicularis, quam quaeris. Aliter poterit hoc idem fieri. Ponatur pes circini super terminum lineae diuidentis circulum, et fiat semicirculus secundum altitudinem annuli, qui di uidatur per aequalia, et protrahatur a puncto in punctum linea, et ita de singulis. Pari modo a termi- nis illarum diuidentium protrahantur perpendiculares ex parte interioris altitudinis. Amplius: su matur in altitudine interiori ex parte faciei non diuisę, altitudo duorum digitorum: et in perpen- dicularibus fiat signum, et in signis illis fiat circulus, aequidistans faciei annuli hoc modo. Tabula aliqua plana fiat circularis, aequalis circulo minori tabulę aeneę: et secetur ex ea pars aliqua usque ad centrum, quasi triangulum ex duabus semidiametris et arcu circuli, secundum quod libuerit, ut possis tabulam cum manu imponere, et locis assignatis aptare. Apta ergo locis illis, ut sit aequi- distans faciei annuli, et fac circulum secundum ipsam. Sumatur etiam infra hunc circulum altitu- do medietatis grani hordei, et fiant signa, et in punctis assignatis fiat circulus per aptationem ta- bulę. Et in hoc postremo circulo fiat circularis concauitas, et sit unius digiti eius profunditas, et altitudo tanquam altitudo tabulę aeneę: et sit hęc altitudo intra altitudinem duorum digitorum, ut eadem sit postremi circuli et concauitatis species. Aptetur autem huic concauitati tabula ęnea, quę quidem intret concauitatem usque ad circulum minorem. Et cum distantia minoris a maiori sit uni- us digiti, et concauitas similiter: igitur circulo postremo et tabulę ęneę communis erit superficies: et lineae perpendiculares in altitudine annuli, tangent lineas diuisionis tabulae aeneae, et cadent perpendiculariter super tabulam ęneam. Sit autem superficies tabulę ęneę diuisa ex parte faciei annuli diuisae. Amplius: in exteriore planitudine annuli signetur punctus, a longitudine duorum digitorum: et posito pede circini super punctum signatum, fiat circulus, secundum quantitatem u- nius grani hordei, et instrumento ferreo, cuius similiter latitudo sit quantitas unius grani hordei, perforetur foramine columnari: et baculus ligneus foramini aptetur: qui quidem cum transierit ad interiorem concauitatem, tanget tabulae aeneę superficiem. Pari modo super singulas exterioris al- titudinis perpendiculares similia et aequalia efficiantur foramina, in quantitate et altitudine. De- inde sumatur tabula lignea quadrata, cuius latus sit aequale diametro annuli, et protrahatur in eius superficie linea diuidens per medium quadratum, aequidistans lateribus. Et ab una parte sumatur longitudo duorum digitorum, et fiat signum: et post sumatur longitudo semidiametri minoris cir- culi tabulae aeneae, et posito pede circini, fiat circulus transiens per signum: qui quidem circulus e- rit aequalis minori circulo tabulae aeneae et concauitati annuli. Deinde supra centrum huius circu- li sumatur longitudo duorum digitorum, et infra centrum similiter: et signentur puncta ab utro- que in utranque partem: et protrahatur linea aequidistans lateribus quadrati: et in utraque harum linearum signetur longitudo duorum digitorum, ex utraque parte puncti signati: et a punctis unius lineae signatis protrahantur lineę aequidistantes ad puncta alterius lineę signata: et fiat quadratum quatuor digitorum. Cauetur postea hoc quadratum, secundum altitudinem unius digiti, et conca- uationis latera efficiantur plana, et orthogonalia, et fundus similiter planus. Deinde aptetur haec tabula faciei annuli, ita ut circulus minor applicetur foramini eius, et extremitas eius extremitati: et firmetur haec applicatio cum clauis, ut immota maneat tabula. Notandum uero, quod in omni- bus praedictis, dictorum digitorum mensura certa debet esse et determinata: et ob hoc in linea ali- qua fiat immutabili, ne ex mutatione mensurę error accidat. Amplius: fiat columna ferrea conca- ua, plana, aliquantulum spissa, ut statim intret, nec immutari queat: et sit quantitas diametri circuli eius unius grani hordei: et ponatur columna in foraminibus: quę quidem cum ad interiora annuli peruenerit: continget lineas in tabula aenea factas. Et erit operis eius complementum, si linea ta- bulę aeneę contingat circulum columnę in puncto lineae altitudinis annuli, perpendicularis super tabulam aeneam, et transeuntis per centrum circuli columnę. Fiat autem in capite columnae annu- lus aut repagulum, quod non permittat columnam intrare, nisi ad locum determinatum. Sit autem huius longitudinis columna, ut procedens super tabulam aeneam, attingat lineam aequidistantem diametro tabulae, intra quam facta est sectio. Et haec est linea illa aequidistans basi trianguli ta- bulae aeneae.

8. Fabricatio septem speculorum regularium. 8 p 5.

AMplius: fabricentur septem specula ferrea, quorum unum planum: duo sphaerica, unum con cauum intra politum, aliud extra: duo pyramidalia, unum politum in facie, aliud in conca- uitate: duo columnaria, unum concauum, aliud in superficie politum. Speculum autem pla num sit circulare: et sit eius diameter trium digitorum. Speculum columnare politum in superficie sit lucidum, et perfecte politum: et sit diameter circuli longitudinis sex digitorum, qui circulus est basis eius. Longitudo autem columnę sit trium digitorum. In basi columnę sumatur chorda longi- tudinis trium digitorum: similiter in basi eiusdem columnę opposita sumatur huic aequalis chor-

da, et ei opposita, ut lineę a capitibus unius chordę ad capita alteri- us productę, sint rectę. Et secetur haec columna secundum harum li- nearum prrocessum, ut restet nobis pars columnę, cuius capita sint portiones chordarum: altitudo autem axis remanentis portionis minor, quam altitudo dimidij digiti. Axem autem dico lineam a me- dio puncto arcus, ad medium chordę punctum productam. Columnę autem concauę longitudo sit trium digitorum, et diameter basis eius sex digito- rum: et in ea sumatur chorda trium digitorum, et fiat sectio, sicut in prima: et erit altitudo axis partis remanentis minor, quam altitudo dimidij digiti. Sit autem in his omnibus politura exquisita, et aequa- litas omnimoda. In speculo pyramidali quęratur diameter basis: cu- ius quantitas sit sex digitorum, et chorda trium: et longitudo quatuor digitorum et dimidij: et fiat sectio secundum lineas rectas: et axis por- tionis altitudo sit minor quam altitudo dimidij digiti. Et haec in utraqueutroque pyramidali intellige. Speculum sphęricum sit portio sphę- rę, cuius diameter sit sex digitorum, et diameter basis huius specu- li trium digitorum: et erit axis altitudo minor quam altitudo dimi- dij digiti. Idem operare in speculo sphęrico concauo. Deinde fa- cias septem regulas ligneas planas, quarum latera sint aequidistan- tia et orthogonalia, super capita aequidistantia in fine possibilita- tis: et sit longitudo regularum sex digitorum, latitudo quatuor. Postea quadrato adaptetur ali- qua regularum, ita ut orthogonaliter cadat super inferiorem concaui quadrati superficiem, et ui- de, ut facile intret quadratum: ne compressa immutetur. Cadat igitur super faciem lateris re- gulę acumen tabulę ęneę, et ubi continuabitur ei, fiat signum: et a puncto assignato produca- tur in extremitates regulę, linea aequidistans lateribus regulae, ut sit linea illa, linea longitudinis regulae. Deinceps in longiore parte illius lineae circa punctum sumptum, sumatur altitudo me- dij grani hordei, et fiat punctum. Dico quod illud est punctum medium regulae, quod etiam cen- tris foraminum opponitur recte. Quoniam enim centra foraminum elongantur super superfi- ciem tabulae aeneae, in medij grani quantitate, et distant a superficie annuli per duos digitos: Igi- tur punctum illud distat ab eadem per duos digitos, et in quadrato concauo per digitum unum. Quare ab extremitatibus regulae ad punctum sunt tres digiti. Quare punctum illud erit medium. Super hoc medium punctum producatur in utramque partem linea, secundum latitudinem aequidistans extremitati- bus: et medietates lineae longitudinis (super quam est haec perpendicularis) diuidantur per aequa- lia, per lineas latitudinis perpendiculares extremitatibus aequidistantes. Et ita diuisa erit regula in quatuor aequales partes. Similis fiat in alijs regulis operatio.

9. Situs et collocatio speculorum regularium in reflexionis organo. 10. 12. 13. 14. 15. 16. 17 p 5.

HIs completis, adaptetur speculum planum uni regularum: et est: ut sit regula cauata secundum altitudinem speculi, ita ut superficies speculi sit in eadem superficie cum superficie regulae: et ita, ut medium superficiei speculi punctum, directe supponatur medio superficiei regulae pun cto: et ita, ut linea diuidens superficiem regulę in duo aequalia: diuidat etiam superficiem speculi per ę- qualia, et ut continuentur partes speculi cum linea diuidente: et hoc obseruetur in possibilitatis fine. Deinde speculum columnare politum in facie applicetur alicui regulae ita, ut medium punctum eius ca- dat super medium regulae punctum, et ita, ut linea in longitudine speculi sumpta, diuidens ipsum per aequalia, continuetur cum partibus lineae longitudinis superficiei regulae aeque diuidenti, et ut media longitudinis speculi linea sit in superficie regulę. Et hoc sic fieri poterit. Vtriusque basis speculi arcus per aequalia diuidantur, et a puncto diuisionis signato ad oppositum signatum punctum linea produca tur, et lineę mediae longitudinis aptetur et continuetur. Speculum columnare concauum aptetur regu- lae, ut media longitudinis eius linea secundum aequalem basium arcuum diuisionem sumpta, aequidistans sit lineae mediae longitudinis regulae: et etiam ut utriusque arcus chordę cum lineae longitudinis extremis sint in superficie regulae. Pyramidale speculum extra politum applicetur regulae, ut acumen eius sit in termino lineae mediae longitudinis regulae, et linea diuidens portionem pyramidalis per aequa, quę sci licet a uertice ad medium arcus basis punctum producitur, sit in superficie continuata cum parte re- stante lineę mediae, longitudinis regulae. Speculum pyramidale concauum applicetur regulę ita, ut acumen eius sit in directo mediae lineae longitudinis regulae, chorda uero arcus basis sit in superfi- cie regulae, et linea a uertice ad medium arcus basis punctum ducta, sit aequidistans mediae lineae longitudinis regulae. Cum autem longitudo pyramidis sit quatuor digitorum et dimidij: restabumt ex longitudine regulae digitus et dimidius. Ad aptandum regulae speculum sphaericum extra poli- tum: fiat in regula circulus secundum quantitatem trium digitorum: eius centrum sit medium re- gulae punctum: et aptetur speculum, ut medium superficiei eius punctum sit in superficie regulae, et in medio puncto mediae lineae longitudinis regulae: quod quidem sciri poterit per applicationem alterius regulae acutae, aequalis huic in longitudine, et diuisae per aequalitatem, et applicatę mediae lineae longitudinis regulae, ita ut medium huius regulae acutae punctum, tangat medium speculi sphaerici punctum. Sphęricum concauum aptatur: facto in regula circulo secundum quantitatem trium digitorum, cuius centrum medium regulae punctum: Cauato circulo imponatur ita, ut circu lus basis speculi sit in superficie regulae, et punctum medium concauitatis speculi, sit directe oppo- situm medio regulae puncto, et diameter basis speculi continuetur mediae lineae regulę: Quae ita per- pendetur. In regula acuta punctum signetur: et ab illo puncto longitudo semidiametri basis speculi no tetur ex utraque parte, et ita haec acuta regula mediae lineae regulae applicetur, ut punctum signatum in ea, directe opponatur medio concauitatis speculi puncto, et diameter in ea facta simul sit cum ba- sis diametro. His peractis in semidiametro tabulae aeneae triangulum per aequalia diuidente: signe- tur ab acumine eius longitudo, aequalis axi huius speculi concaui, et fiat punctum. Axis autem sic dignoscitur. Regula acuta superficiei speculi applicetur, ut acuitas directe sit super mediam longi- tudinis lineam, puncto eius super medium concaui speculi punctum directe statuto: deinde acus recta et subtilis super illud regulae acutae punctum perpendiculariter cadat in speculum: descen- det quidem super medium concaui punctum: signetur autem in acu punctum, quod post suum descensum tangat concauitas regulae: et sit modicum declinata regula, ut certius possit fieri in acu signum. Postea secundum longitudinem acus a puncto signato in ea, metire ab acumine tabulae e- neae in linea triangulum diuidente, et fac punctum. Deinceps hanc regulam facias intrare quadra- tum concauum, ita ut acumen tabulae aeneae descendat supra speculum, et adhibeatur regula acu- ta, ut signetur punctum in linea diuidente triangulum, quod tetigerit ex ea regula acuta, cum a- cumen trianguli descenderit usque ad superficiem concaui: Signa igitur punctum: hoc uero se- cundum punctum minus distabit ab acumine quam primum. Superficies enim tabulae aeneae di- stat a superficie annuli siue tabulae, in qua est quadratum concauum, per duos digitos minus me- dietate grani hordei: punctum autem medium regulae directe est oppositum medio speculi conca- ui puncto: quod quidem distat ab eadem superficie tabulae per duos digitos. Cum ergo acumen ta- bulę orthogonaliter descendat: non cadet super medium concaui punctum, quod est terminus axis, sed in punctum altius. Quare patet propositum. Signetur uero in speculo concauo punctum, in quod incidit acumen tabulae aeneae, et extracto in puncto illo foramine, orthogonaliter descendente et modico, ad hanc quidem mensuram, ut in eo descendat acumen: donec acuitas lineae adhibitae, contingat punctum lineae diui- dentis triangulum primo signatum: quod cum fuerit: erit quidem acumen tabulae aeneae in eadem su perficie cum termino axis speculi: quae superficies est aequidistans superficiei regulę: et erit linea a ter- mino axis ad acumen ducta, perpendicularis super superficiem tabulae aeneae. Axis autem speculi in ea- dem erit superficie cum centris foraminum: quoniam distantia eorum a superficie annuli duorum est di- gitorum, et terminus axis similiter. His cum diligentia praeparatis, poterit uideri, quod promisimus.

10. Radius speculo plano obliquus, in oppositam partem reflectitur: et aquas angulos inci- dentiae et reflexionis. 10 p 5.

IMmittatur annulo regula, super quam est speculum planum, donec acumen tabulae aeneae cadat su- per speculum, et sit infixa regula quadrato concauo: et in eo subtus regulam aliquid apponatur, quod ei conferat firmitatem, ne uacillet: deinde opponatur pergamenum foraminibus, et cum digito fiat im pressio, ut obturentur, et impressionem percipere possis, et signum foraminis fiat in pergameno cum incausto uel aliquo alio: Vnum autem foraminum relinquatur apertum, declinatum non super me- diam regulam, et adhibeatur radio solis foramen apertum: certior autem erit huius rei comprehen sio, si adhibeatur radio solis per foramen domus intranti. Cum igitur radius foramen intrans ad spe culum peruenerit, uidebis ipsum reflecti ad foramen illud, respiciens super lineam tabulae aeneę ae- qualem angulum continentem cum linea triangulum per aequa diuidente, ei angulo, quem tenet li nea a foramine discooperto cum eadem tabulae semidiametro. Si uero foramen, in quod fit reflexio, discoopertum opponas radio, priore cooperto: uidebis radium reflecti in coopertum. Si uero fora mini imponatur columna ferrea concaua, quam ad quantitatem foraminum fieri pręcepimus: quę ut firmius stet, modicum cerae circa eam apponatur: descendet lux per columnae concauitatem, si- cut descendit per foramen, et reflectetur in foramen sibi respondens, et super lineas tabulae aeneae erit descensus et reflexio pari modo, ut prius. Et si ad secundum foramen columnam transtulerimus: in primum lucem reflexam uidebimus. Erit autem debilior lux per columnam descendens, quam sine columna per foramen. Erit autem uidere eundem reflectendi modum in debiliore luce. Obtu retur foramen cum cera, ut modicum circa centrum ei restet uacuum: et uidebitur lucis reflexio in foramine simili circa centrum. Pari modo, si concauitatem columnae cum cera obturaueris, ut re- maneat quasi terminus solius axis: descendet lux super axem columnae, et reflectetur ad centrum foraminis similis. Eodem modo altera columna imposita, cum descenderit lux super axem unius fo- raminis: reflectetur super axem similis. Centrum enim foraminis directe axi opponitur: et cum lucis reflexio cadat in centrum, nec moueatur, nisi per lineam rectam, oportet, ut procedat secundum axem.

11. Radius speculo perpendicularis, reflectitur in seipsum. 11. 12 p 5.

OBturatis autem foraminibus singulis, praeter medium, quod directe super tabulam aeneam incidit: fiat baculus columnaris ad quantitatem foraminis, et extremitas eius acuatur, ut re- maneat solus terminus axis eius, et descendat per foramen ad speculum, et signetur punctum, in quod ceciderit: deinde descendat radius solis per foramen illud: cadet quidem super punctum signa tum, et circa ipsum efficiet circulum. Signetur igitur in fine huius lucis circularis punctum, et secun- dum quantitatem lineae interiacentis puncta signata, fiat circulus: erit quidem circulus iste maior circu lo foraminis: quoniam processus lucis per foramen ingredientis, est per modum pyramidis. Vnde palam, quod lux descendens per axem, reflectitur super eundem. Veruntamen apparebit lux circu laris circa basim interiorem foraminis, maioris quidem capacitatis luce incidente uel radio, et ma- ioris etiam lucis, interioris lucis circulo: et palam est, hanc lucem esse per reflexionem: uerum non per reflexi onem lucis super axem descendentis: quod ex hoc poterit patere. Obturata utraque foraminis basi, ut quasi sola remaneat axis uia, et radio solis per uiam axis descendente: non apparebit lux illa circu laris, circa interiorem basim foraminis. Quare non procedebat ex reflexa lucis axe. Amplius: ut supra quidem supposuimus, ut regula orthogonaliter caderet in quadratum concauum: si aliquantulum inde au feratur, ut regula declinetur, ita, ut extremitas a quadrato remotior, sit demissior radio descen- dente super foramen medium: non cadet perpendiculariter super speculum: et apparebit lux reflexa a foramine medio remota: et quanto maior erit declinatio, tanto maior erit lucis reflexae a foramine remotio. Si uero ad rectitudinem regula reducatur, lux reflexa circa interiorem foraminis basim, ut pri us, uidebitur. Palam igitur, quod luce super speculum perpendiculariter cadente, regreditur ad foramen, per quod ingressa est. Cum uero lux axis declinata ceciderit, non reflectetur ad foramen, per quod in- gressa est, sed tamen apparebit centrum lucis semper super lineam superficiei concauae annuli, per- pendicularem super tabulam aeneam, et descendentem per centrum foraminis medij. Quaecum- que autem dicta sunt in duobus foraminibus primis declinatis: intellige in singulis: et quod dictum est in speculo plano, de luce per foramen seu declinatum seu medium descendente: regula seu recta seu declanatadeclinata: in alijs speculis intellige.

12. In speculis, conuexis, cauis: sphaerico, conico cylindraceo, anguli incidentiae et reflexio- nis aequantur. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 20 p 5.

SI autem regula, in qua fuerit speculum columnare extra politum, declinetur in quadrato, ita ut non orthogonaliter cadat super quadratum, sed declinetur super partem dextram uel sinistram: apparebit tamen lux reflecti super foramen, simile eius descensui, et medium lucis super medium foraminis, sicut uisum est in regula non declinata. Regulam, in qua situm est columnare concauum, impones, ut descendat acumen tabulae aeneae, donec tangat superficiem speculi: et declinabis hoc speculum secundum latus suum, sicut declinasti extra politum. Idem in speculis pyramidalibus con cauis operaberis. Sphaericum concauum aptetur, donec descendat acumen tabulae aeneae in foramen speculi, factum secundum acuminis descensum. Sphaericum extra politum sic imponatur, ut acu- men tabulae aeneae sit in superficie regulae, et in eadem superficie cum medio speculi puncto: quod sic fieri poterit. Adhibeatur regula acuta regulę, et puncto speculi medio, et descendat acumen tabu lae aeneae, quousque sit in directo acuitatis regulae: et tunc cogatur sistere. In speculis columnaribus ui debis reflexionem hoc modo. Aptetur speculum, sicut dictum est: et per foramen medium descen- dat baculus columnaris, sicut factum est in speculis planis: Cadet quidem baculus super mediam lon gitudinis speculi lineam, et erit eius terminus in superficie regulę. Super mediam igitur lineam signe- tur punctum, in quod cadit: et ab hoc puncto in superficie regulae sumatur longitudo semidiametri circuli facti in regula, ad discernendum circularem lucis casum: et ex alia parte puncti sumatur lon- gitudo eadem, et habebitur linea aequalis diametro praedicti circuli. Videbitur autem lux cadens, extendi super praedictam lineam tantum, et reflectetur ad foramen medium: et circa eius basim in- teriorem uidebitur lux circularis maior circulo interiori, sicut in speculis planis uisum est. Idem in speculis pyramidalibus uidere poteris. Pari modo in speculis sphaericis, luce per foramen medium descendente: fiat circulus in superficie regulae ad quantitatem circuli iam dicti: et uidebitur lux ex- tendi super hunc circulum, et reflecti ad foramen medium modo iam dicto. Et apparebit in his o- mnibus rectis reflexionibus, linea perpendicularis in interiore superficie annuli secare lucem circu- larem reflexam, et diuidere circulum eius per medium. Quod autem dictum est de luce naturali: ui- deri poterit in luce accidentali. Domus unici foraminis opponatur parieti, in quem descendit ra- dius solis, et applicetur instrumentum foramini. Cum ergo intrauerit lux accidentalis per foramen non medium, uidebitur reflecti per eius oppositum: et si aptetur instrumentum, ut intret per duo foramina, reflectetur per duo similia. Verum ut possis perpendere lucem, cum intrauerit directe: appone superius pergamenum album, et inclina instrumentum, donec uideas lucem cadentem su- per pergamenum: in speculis enim non plene comprehenditur lucis accidentalis casus, propter de- bilitatem eius. Idem autem in hac luce patebit, quod in naturali patuit: non enim est diuersitas in ea- rum natura, nisi quod una fortis est, et alia debilis. Palam ergo, quod luces per diuersas lineas ad spe cula accedentes, per diuersas reflectuntur lineas: et quod secundum rectam perpendicularem in- cidentes, secundum eandem regrediuntur: et quod declinatio linearum reflexionis, est aequalis decli nationi linearum accessus.

13. Superficies reflexionis est perpendicularis plano speculum in reflexionis puncto tan- genti. 25 p 5.

ET planum, quod lineae lucis reflexae et aduenientis, sunt in eadem superficie orthogonali super superficiem politi, aut superficiem contingentem punctum politi, a quo fit reflexio: et si lux su per perpendicularem uenerit, reflectitur super perpendicularem: et in quodcunque punctum ceciderit, reflectitur in superficie perpendiculari, super superficiem tangentem illud punctum: et semper linea reflexa cum perpendiculari super illud punctum, aequalem tenet angulum, angulo, quem includit linea ueniens cum eadem perpendiculari. Et huius rei probatio est. Quia palam [per 10. 11. 12. n] quod si descendat lux quaecunque per foramen aliquod: reflectitur per aliud ipsum respi- ciens: et si constringatur foramen, ut restet quasi solus axis: reflectitur per axem respicientis: et si fiat alteratio descensus lucis: reflectitur per lineas, per quas prius descenderat. Et palam [ex instru- menti reflexionis constructione] quod foramina se respicientia eundem habent situm, respectu me- dij. Et cum non procedat lux, nisi per rectas lineas: palam, quod reflectitur per lineas eiusdem situs, respectu medij foraminis, cum lineis descensus: Vnde cum accedit per orthogonalem, per eam reflecti- tur solam. Quare semper lineae reflexionis eundem seruant situm cum lineis descensus, respectu su- perficiei contingentis punctum reflexionis. Et hoc uerum est siue in substantiali siue in accidenta- li luce, siue forti siue debili: et generaliter in omni. Et nos ostendemus identitatem situs. Iam scimus, quod superficies regulae cadit super tabulam, in qua quadratum fecimus, orthogonaliter. Igitur li- nea media tabulae quadrati orthogonalis est super lineam communem sectioni ipsius et regulae, et super lineam latitudinis regulae: Et tabula quadrati aequidistat aeneae tabulae, et linea eius, id est, ta- bulae quadratae concauae media, aequidistat lineae mediae tabulae aeneae, quę est linea a centro tabu- lae aeneae producta, et diuidens semicirculum per aequalia. Linea autem communis superficiei tabulę aeneae et superficiei regulae, in qua est linea latitudinis, est aequidistans lineae communi concauę tabu lae et regulae [per 28 p 1: linea enim longitudinis regulae recte secat latitudinis lineas.] Quare linea media tabulae aeneae cadet perpendiculariter super lineam communem regulae et tabulę aeneae. Et re- gula perpendicularis est super superficiem quadrati, et superficies quadrati aequidistans superficiei tabulae aeneę. Quare superficies tabulę aeneę orthogonalis est super superficiem regulę: et linea me- dia latitudinis regulę, est perpendicularis super mediam longitudinis regulae lineam: et similiter li- nea media tabulę aeneę, est perpendicularis super eandem. Et ita media linea tabulę aeneae est perpen dicularis super superficiem regulae, es super mediam longitudinis eius lineam: Est ergo perpendicu laris super superficiem speculi plani, et super mediam longitudinis eius lineam. Amplius: superficies tabu lae aeneę est aequidistans superficiei descendenti per centra foraminum. Nam longitudo centrorum a su perficie tabulę aeneę est eadem, id est medietatis unius grani hordei, et diameter foraminis est unius grani hordei: similiter latitudo superficiei columnae est unius grani: et superficies descendens per centra foraminum, secat columnam per medium: et ita axis columnae est in superficie illa. Et columna descensu suo tangit lineam in tabula aenea, cui quidem aequidistat axis: quoniam axis est aequidistans cuili bet lineę superficiei columnae. Et axis columnae cadit in punctum superficiei regulae, a quo puncto linea ducta ad centrum tabulę aeneę, est perpendicularis super tabulam aeneam: quoniam per quodcunque foramen descendat columna: axis eius cadit super mediam longitudinis regulae lineam: et linea pro- tracta a puncto regulae, in quod cadit axis per centra foraminum, est aequidistans lineę protractae a centro tabulę aeneę ad terminum diametri foraminis: [per 33 p 1] quoniam linea inter punctum il- lud et centrum est orthogonalis super superficiem tabulę aeneę, cum sit pars lineę medię longitudi- nis regulę: et huic lineę interiacenti centrum tabulę aeneę et punctum, est aequidistans linea annuli, transiens per centra foraminum, et perpendiculariter cadens super superficiem tabulę aeneę [per 6 p11: Vtraque enim linea ad perpendiculum est tabulę aeneę.] Quare aequidistantes erunt lineę cadentes a puncto regulę ad centra foraminum, lineis a tabulae aeneę centro, ad terminos diametrorum eorundem foraminum in superficie tabulę ductis. Pari modo in singulis foraminibus. Quare lineę a puncto regu lae, in quod cadit axis, productę ad centrum duorum foraminum se respicientium, aequidistantes duabus lineis, a centro tabulę aeneę ad extremitates diametrorum eorundem foraminum protractis, aequalem cum his lineis tenent angulum [per 10 p 11.] Et si a termino axis erigatur linea ad centrum foraminis: erit in superficie per centrum descendente, et erit aequidistans medię lineę tabulę aeneę: [per 6 p 11] quoniam linea inferior interiacens capita earum, est perpendicularis super tabulam aeneam, et aequalis superiori eadem capita interiacenti, et super tabulam aeneam perpendiculari: et est aequidistans ei. Et simi liter linea a centro foraminis medij ad terminum axis columnę, est aequidistans medię lineę tabulę aeneę: et est illa perpendicularis super regulam: quare et ista [per 8 p 11.] Igitur hęc linea et altera angulum conti nentes, aequidistant medię lineę tabulę aeneę, et alteri lineae in tabula aenea reliquum angulum continen- ti. Quare anguli partiales sibi oppositi sunt aequales [per 10 p 11.] Igitur linea tabulae aeneę media di- uidit angulum suum per aequalia. Quare linea a centro foraminis medij, diuidit angulum suum per aequalia. Et cum certum sit, quod lux foramen declinatum intrans per illas lineas angulum continen- tes moueatur: planum, quod lux omnis reflectitur per lineas, quę cum lineis descensus sunt in super ficie orthogonali super superficiem reflexionis, et angulum aequalem facientes cum linea perpen- diculari, angulo, quem continet perpendicularis cum lineis descensus: et quod lux perpendiculariter descendens: reflectitur per perpendicularem. Et hoc generale est in omni luce. Si autem declinetur re gula, non in latus suum, sed in caput, ut axis foraminis medij non sit perpendicularis super regulam: re- flectetur lux, et uidebitur super lineam altitudinis annuli perpendicularem, et per centrum foraminis transeuntem: et quanto maior fuerit declinatio, tanto maior erit lucis reflexae a foramine uel axe elon gatio: et si diminuatur declinatio, diminuetur elongatio: et ita, donec situs regulae ad rectitudinem re- grediatur, et super perpendicularem illam reflectatur lux. Quod autem in hac declinatione axis foraminis medij et linea reflexionis, sint in eadem superficie orthogonali super superficiem reflexionis, planum per hoc. Quoniam enim axis foraminis medij est perpendicularis super latitudinem regulae, id est super lineam communem superficiei regulę, et superficiei per centra foraminum descendentis, et media linea ta bulę, scilicet annuli, est aequidistans huic axi, et aequidistans medię lineae tabulae aeneę, et media linea tabulę aeneę est perpendicularis super latitudinem regulę, et super lineam communem superficiei regulę, et superficiei tabulę aeneę. Quare superficies, in qua sunt, media linea tabulę aeneę, et axis foraminis medij, etiam orthogonalis est super superficiem regulę: et in hac superficie est linea perpendicularis in altitudine annuli: [per 7 p 11] quoniam transit per terminos aequidistantium, scilicet medię tabulę aeneę et axis foraminis medij. Palam igitur, quod lux reflexa, quę apparet in perpendiculari altitudi nis annuli, reflectitur per lineam, quę cum axe, per quem fit descensus, est in superficie orthogonali super superficiem regulę. Luce ergo descendente in speculum planum, fit reflexio secundum lineas, quarum eadem declinatio super superficiem speculi: et ipsę sunt cum perpendiculari in superficie or- thogonali super speculi superficiem. In speculo columnari exteriori eadem penitus probatio, quę est in plano: scilicet quod acumen tabulę aeneę cadat super lineam longitudinis speculi orthogonaliter: et similiter columna descendens super eandem: et pars illius lineę inter hos casus est orthogonalis super tabulam aeneam. Et semper, siue per foramen medium, siue per declinatum descenderit lux: reflexio eius cum descensu erit in eadem superficie, orthogonali super superficiem contingentem lineam longitudinis speculi. ln pyramidali uero exteriori, cum superficies regulae sit in eadem superficie cum linea longi tudinis pyramidis, sicut in columnari: erit idem situs linearum superficiei, et idem reflexionis modus, sicut in plano speculo, et eadem penitus probatio. In speculo columnari concauo descendit acumen tabulae aeneę usque ad lineam longitudinis eius mediam, et super eandem cadit axis cuiusque foraminis: et pars illius lineę inter hos casus est orthogonalis super superficiem tabulę aeneę: et axis foraminis, et media linea tabulę aeneae, sunt orthogonales super superficiem, tangentem speculum illud in linea longitudinis (quę est locus reflexionis) et aequidistantem superficiei regulę. Et ita idem modus proban di, qui prius: quod scilicet reflexio et descensus sint in eadem superficie, orthogonali super superficiem loci reflexionis: et quod eiusdem sint declinationis: et quod descensus per medium, efficit reflexionem per ipsum: et declinato capite regulae: erit reflexio super perpendicularem annuli, sicut dictum est in pla no. In speculo pyramidali concauo eadem in omnibus probatio. In speculo sphęrico exteriori palam, quod medium eius punctum est in superficie regulae, et axis cadit in punctum illud: et erit in eo idem situs li nearum et aliorum penitus, qui in plano: et eadem demonstratio. In speculo sphaerico concauo iam de- claratum est, [9 n] quod axis foraminis descendat ad punctum eius medium, et acumen tabulae aeneę transeat per foramen in speculo iam factum, usque dum sit in eadem superficie cum puncto illo medio: et linea a puncto illo ad acumen protracta, est aequidistans mediae lineę longitudinis regulae. Et ita de- scensus et reflexio sunt in eadem superficie, orthogonali super superficiem contingentem speculum in illo puncto medio, et aequidistantem superficiei regulę. Et eadem probatio penitus, quę in alijs. Planum er- go, quod omnis luxlucis, in quodcunque horum speculorum ceciderit, reflexio et descensus sunt in eadem su- perficie orthogonali. Hic autem modus reflexionis non accidit ex proprietate axis uel puncti, in quod cadit: uel foraminis, per quod intrat: uel proprietate speculi. Accidit enim in quolibet foramine, quae- cunque sit lux, et per quamcunque lineam descendat, et in quodcunque speculi punctum cadat. Quoniam quo- cunque puncto speculi sumpto, si lux in ipsum descendat, cum idem sit ei situs, respectu longitudinis spe culi et cuicunque alij: erunt similiter ijdem respectu linearum ab eo protractarum, quae eiusdem sunt decli nationis cum lineis a puncto priore intellectis, sicut puncto priori uel cuicunque alij. Et generaliter idem est situs cuilibet puncto, in quod cadit lux, qui et in priore sumpto, et respectu axis et respectu acu- minis tabulae aeneę: et eadem in omnibus probatio, et similis demonstratio. Vnde est certum, non esse hoc ex proprietate lucis uel figura alicuius speculi, sed ex proprietate quadam communi rei politae et cuilibet luci. Si autem per diuersa in quodcunque punctum descenderit lux foramina, uidebitur re flexio diuersa, et angulorum diuersitas suo descensui consona: et sic in omnibus.

14. Inter uisibile et speculum innumerabiles pyramides fiunt alternis basibus et uerticibus. 22 p 5.

MAnifestum autem ex superioribus [2. 3 n] quod si corpus politum opponatur corpori luminoso: cadet in quodlibet punctum eius lux a quolibet puncto luminosi: unde super quodlibet politi punctum cadit pyramis, cuius acumen in eo, et superficies luminosi est basis: et a quolibet pun cto luminosi procedit pyramis, cuius acumen in eo, et basis superficies politi. Si autem inter luminosum et politum intelligatur punctum aliquod: ueniet quidem ad illud punctum lux luminosi, in modum pyrami dis, cuius acumen in puncto, et latera huius pyramidis procedentia, usque dum cadant in superficiem politi, pyramidem efficiunt. Vnde in puncto intellecto erunt acumina duarum pyramidum, quarum bases sunt superficies luminosi et politi. Et si ad punctum quodcunque intermedium intelligatur pyramis, cuius basis superficies politi, et procedant huius pyramidis lineę: illud, quod occupabunt ex superficie lu minosi, hoc est, a quo procedebat lux ad politum: erit secundum duas pyramides, quarum acumina sunt in puncto intellecto: et quicquid procedit lucis in his duabus pyramidibus, procedit et includitur in duabus primis pyramidibus. Et a luminoso secundum lineas aequidistantes procedit lux ad speculum: sed hae lineę includuntur in duabus primis pyramidibus: et per quascunque lineas mouetur lux ad spe culum: obseruant lineę reflexionis eundem penitus situm, quem habebant lineae motus lucis. Vnde si mo ueatur lux per aequidistantes, reflectitur per aequidistantes: et lux cadens in politum, ad modum pyrami- dis reflectitur, obseruans modum eiusdem pyramidis. Et cum descendit lux a corpore luminoso per fora men aliquod ad corpus politum: si in superficie foraminis ex parte luminosi intelligatur punctum, a quo puncto intelligantur duę pyramides, basis unius in luminoso, alterius in polito: a sola basi pyramidis, cuius luminosum basis: uenit lux ad politum super illud punctum. Similiter si in superficie foraminis ex parte politi intelligatur punctum, in quo acumina duarum pyramidum, unius ad speculum, alterius ad luminosum: a sola basi pyramidis, quę basis est in luminoso, accedit lux ad speculum super hoc pun- ctum: et a parte luminosi his duabus pyramidibus communis, accedit lux ad partem speculi communem duabus pyramidibus. Venit etiam lux a luminoso ad speculum per lineas ęquidistantes: sed per quascunque accedat: fit reflexio modo praedicto: et quaelibet lineę reflexionis obseruant situm linearum descen sus lucis eas respicientium: et in omni reflexione obseruatur identitas formę lucis, quę fuerit in po- lito corpore: et haec deinceps explanabimus explanatione euidenti.

15. Lux a superficie polita longinquiore reflexa, trifariam debilitatur.

AMplius: Patuit [4. 5 n] quod lux quanto plus ab ortu suo elongatur, tanto plus debilitatur: patuit etiam, quod lux continua fortior est disgregata. Cum igitur ab aliquo puncto luminosi pro- cedit lux ad superficiem speculi in modum pyramidis, quanto magis elongatur ab illo puncto: tan to maior erit eius debilitas duplici de caussa: et propter elongationem ab ortu suo, et propter disgre- gationem. Cum autem ab aliquo speculi puncto reflectitur lux ista, fit debilior tripliciter: et propter refle xionem, quae debilitat, et propter elongationem a loco reflexionis, et propter disgregationem. Si uero lux reflexa a speculo aggregetur in punctum aliquod: fiet quidem fortior propter aggregationem, sed debilita bitur propter reflexionem et elongationem. Si igitur aggregatio lucis tantum reddit ei fortitudinis, quan tum subtrahunt reflexio et elongatio: erit lux reflexa aggregata eiusdem fortitudinis, cuius est in su- perficie speculi: si uero aggregatio minus addat fortitudinis, quam diminuunt illa duo: erit debilior: et si plus addat, erit fortior. Similiter si a superficie luminosi procedat pyramis ad aliquod punctum speculi: erit lux procedens secundum hanc pyramidalitatem debilior propter elongationem, sed fortior propter aggregationem. Si autem aggregatio potest super elongationem: erit lux in puncto speculi aggrega ta fortior luce unica a luminoso ueniente per lineam unam: unica dico: quia ad quodliber punctum lineae ex illis sumptae uenit etiam pyramis a luminoso, quae quidem pyramis cum similibus excluditur in hac consideratione. Si uero elongatio ponderet super aggregationem: erit lux puncti politi minor luce sola unius lineae sumpta: et si aggregatio plus ponderet elongatione: erit fortior. Luces autem, quę a lu minoso ad speculum accedunt super lineas aequidistantes: erunt debiliores, quam modo alio acceden tes: quoniam debilitatę propter elongationem non aggregantur in speculum, sed in reflexione per lineas aequidistantes mouentur: unde per reflexionem et elongationem debilitantur. Et si aggregentur in re- flexione: conferetur eis fortitndo comparata ad fortitudinem, quam habuerunt in speculo, secun- dum posse aggregans super reflexionem et elongationem.

16. Lux et color reflectuntur per lineas physicas, latitudine quadam praeditas. 3 p 2. 6 p 5.

AMplius Omnis linea, per quam mouetur lux a corpore luminoso ad corpus oppositum, est linea sensualis, non sine latitudine. Lux enim non procedit, nisi a corpore, quoniam non est, nisi in cor pore: sed in minore luce, quae sumi potest, est latitudo, et in linea processus eius est latitudo: et in medio illius lineae sensualis, est linea intellectualis, et aliae eius lineae sunt aequidistantes illi. Et si diuidatur minor ex lucibus: neutra eius pars erit lux, sed utraque extinguetur, nec apparebit. Si autem lux minima duplicetur, aut amplius multiplicetur, et compacta per aequalia diuidatur: erit lux utraque pars eius: Si uero per inaequalia fiat diuisio: erit altera pars eius lux, altera minime. Lux autem minima procedit in minimam corporis partem, quam lux occupare possit, et processus eius est secundum lineam intellectualem, lineae sensualis mediam, et extremitates ei aequidistantes. Et cadit lux minima non in punctum corporis intelligibile, sed sensibile, et reflectitur per lineam sensibilem, cuius latitudo est aequalis latitudini lineę sensibilis uenientis. Et si intelligatur in linea sinsibili, linea reflexa intelectua lis media: eundem habebit situm super reflexionis locum, quem habet linea intelligibilis media, lineę sensibi- lis uenientis. Et quęlibet linea intellectualis in linea reflexa sensibili eundem penitus obseruat situm cum li nea intelligibili alterius lineę sensibilis, ipsam respiciente. Obseruatur ergo in omni luce ratio linearum et punctorum intellectorum, licet ab eis aut per ipsas non procedat lux: et in hunc modum erit reflexio lucis.

17. Reflexio lucis et coloris a superficie aspera facta, plerunque fugit uisum. 1 p 5.

AMplius: quare ex politis corporibus, non ex asperis fiat reflexio: est: Quoniam lux, ut diximus, non accedit ad corpus, nisi per motum citissimum, et cum peruenerit ad politum: eijcit eam po- litum a se: corpus uero asperum non potest eam eijcere: quoniam in corpore aspero sunt pori, quos lux subintrat: in politis autem non inuenit poros, nec accidit eiectio haec, propter corporis forti- tudinem uel duriciem, quia uidemus in aqua reflexionem: sed est haec repulsio propria politurę: sicut de natura accidit, quod aliquid porosum cadens ab alto super lapidem durum, reuertitur in altum: et quan to minor fuerit duricies lapidis, in quem ceciderit, tanto regressio cadentis debilior erit: et semper re greditur cadens uersus partem, a qua processit: Verum in arena propter eius mollitiem non fit regressio, quae accidit in corpore duro. Si autem in poris asperi corporis sit politio: tamen lux intrans poros non reflectitur: et si eam reflecti acciderit, dispergitur, et propter dispersionem a uisu non percipitur. Pari modo si in aspero corpore partes elatiores fuerint politae: fiet reflexa dispersio: et ob hoc occultabi- tur uisui. Si uero eminentia partium adeo sit modica, ut eius quasi sit idem situs cum depressis: compre- hendetur eius reflexio tanquam in polito, non aspero, licet minus perfecte.

18. Radij incidentiae et reflexionis, situs similitudine conueniunt. Itaque anguli incidentiae et reflexionis aequantur. 20 p 5.

QVare autem fiat reflexio lucis secundum lineam eiusdem situs cum linea, per quam accedit ad spe culum ipsa lux: est: Quoniam lux motu citissimo mouetur: et quando cadit in speculum, non recipi tur: sed ei fixio in corpore illo negatur: et cum in ea perseueret adhuc prioris motus uis et na- tura, reflectitur ad partem, a qua processit, et secundum lineas eundem situm cum prioribus habentes Huius autem rei simile in naturalibus motibus uidere possumus, et etiam in accidentalibus. Si corpus sphaericum ponderosum ab aliqua altitudine descendere permittamus perpendiculariter super politum corpus: uidebimus ipsum super perpendicularem reflecti, per quam descenderat. In accidentali motu. Si eleue- tur aliquod speculum secundum aliquam altitudinem hominis, et firmiter in pariete figatur: et in acu- mine sagittae consolidetur corpus sphaericum: et proijciatur sagitta per arcum in speculum, hoc modo, ut eleuatio sagittę sit aequalis eleuationi speculi, et sit sagitta aequidistans horionti: planum, quod super perpendicularem accedit sagitta ad speculum, et uidebitur super eandem perpendicularem eius regressus. Si uero motus sagittae fuerit super lineam declinatam in ipsum, uidebitur reflecti non per lineam, per quam uenerat, sed per lineam aequidistantem horizonti, sicut et alia erat, et eiusdem situs, respectu spe- culi cum ea, et respectu perpendicularis in speculo. Quod autem ex prohibitione corporis politi acci- dat luci motus reflexionis, palam: quia cum fortior fuerit repulsio uel prohibitio, fortior erit lucis re flexio. Quare autem accidat idem motus reflexionis et eius accessus, haec est ratio. Cum descendit cor pus ponderosum super perpendicularem: repulsio corporis politi, et motus descendentis ponderosi directe sibi sunt oppositi, nec est ibi motus, nisi perpendicularis: et prohibitio fit per perpendicula- rem: quare repellitur corpus secundum perpendicularem. Vnde perpendiculariter regreditur. Cum uero descenderit corpus super lineam declinatam: cadit quidem linea descensus inter perpendicula- rem superficiei politi, per ipsum politum transeuntem, et lineam superficiei eius orthogonalem super hanc perpendicularem: et si penetraret motus ultra punctum, in quod cadit, ut liberum inueniret transi tum: caderet quidem haec linea inter perpendicularem, transeuntem per politum, et lineam superfi- ciei orthogonalem super perpendicularem, et obseruaret mensuram situs, respectu perpendicularis transeuntis, et respectu lineae alterius, quae orthogonalis est super perpendicularem illam. Compa- cta est enim mensura situs huius motus ex situ ad perpendicularem et situ ad orthogonalem. Re- pulsio uero per perpendicularem incedens, cum no possit repellere motum secundum mensuram, quam habet ad perpendicularem transeuntem per politum: quia nec modicum intrat: repellit ergo secundum mensuram situs ad perpendicularem, quam habet ad orthogonalem. Et quando motus regressio eadem fuerit mensura situs ad orthogonalem, quae fuit prius ad eandem ex alia parte: erit similiter ei eadem mensura situs ad perpendicularem transeuntem, quę fuit prius. Sed ponderosum corpus in regressu, cum finitur repulsionis motus, ex natura sua descendit, et ad centrum tendit. Lux autem eandem habens reflectendi naturam, cum ei naturale non sit ascendere aut descendere, mo- uetur in reflexione secundum lineam incoeptam usque ad obstaculum, quod sistere faciat motum. Et haec est caussa reflexionis.

19. Colorem luci permistum reflecti, reflexionis organo ostenditur. 3 p 5.

PAtet etiam ex superioribus, quod colores simul mouentur cum lucibus: unde erit reflexio co- loris, sicut et lucis. Et si probationem eius uidere uolueris secundum modum in parte secunda assignatum, poteris: Verum per instrumentum ad hanc denotandam reflexionem factum, non plene uidebis propter debilitatem coloris. Debilitatur enim color per elongationem: per reflexionem: per fora men, per quod intrat. Quod autem foramen debilitet, planum per hoc: Quia lux apparet maior post fora men magnum, quam post paruum. Pari modo cum foramina stricta sunt: color post reflexionem aut nullus apparebit, aut ualde modicus. Tamen si in praedicto instrumento uidere uolueris: facias speculum ar- genteum: in ferreo enim speculo color apparet debilior: quoniam in reflexione miscetur cum luce re- flexa, mixta ex luce descendente et luce speculi ferrei modica, et color ferreus colori reflexo mixtus debilitat ipsum. Verum in domo unici foraminis tantum, habeatur instrumentum praedictum, cui do mui paries opponatur albus, et instrumentum foramini domus aptetur: cuius foraminis latitudo sit, ut duo instrumenti foramina occupare possit, per quorum alterum inspiciatur paries albus, domui op- positus, et parti comprehensae parietis apponatur corpus coloris fortis, et per aliud instrumenti fo- ramen uideatur pars parietis. Cum ergo lux intrauerit per foramina instrumenti: uidebitur color re- flecti per foramen illud respiciens, quod oppositum est colorato corpori, per aliud minime: et ita ac- cidet quocunque opposito corpori foramine. Et quae dicta sunt in reflexione lucis, considerari po- terunt in reflexione coloris. Occupauit autem latitudo foraminis parietis duo instrumenti fora- mina ei adhibita, ut maior descendat in speculum lux, et melius appareat color reflexus. Et quoniam color debilitatur per foramen directus, et similiter reflexus, cum in corpus ceciderit uisui oppositum, percipietur secundus: unde si post reflexionem cadat in corpus album foramini colorationis adhi- bitum: forsan propter debilitatem non comprehendet eum uisus: adhibito autem secundo uisu fo- ramini colorationis, forsan comprehendetur: quoniam primus, non secundus uidebitur.

QVOD COMPREHENSIO FORMARVM E CORPORIBVS politis fiat reflexione. Cap. IIII.

20. Falsa est utraque opinio: et radios a uisu ad speculum missos, indeque ad uisibile reflexos, ima- ginem percipere: et imaginem in speculo iam ante impressam inde ad uisum manare. 23. 24 p 5.

SVper modum comprehensionis formae in politis corporibus dissentiunt plurimi. Vnde quidam eorum radios a uisu exire ad speculum, et a speculo redire, et formam rei in reditu comprehendere existimant: alij affirmant formam corporis speculo ei opposito imprimi: et proinde in eo uideri, sicut in corporibus fit comprehensio formarum naturalium eius. Verum quod aliter sit, palam per hoc. Quoniam si quis se uiderit in aliqua speculi parte, motus in partem aliam, non uidebit se in parte prima, sed in secunda: quod non accideret, si in parte prima infixa esset eius forma: pari modo si ad tertiam mutetur partem, mutabitur locus apparentiae formae, nec apparebit in prima uel in secunda parte. Amplius: uiso corpore aliquo, et uidente ab eo situ remoto: poterit accidere, ut non uideat corpus illud in speculo illo, licet uideat totam speculi superficiem: quod quidem non esset, si imprimeretur forma in speculo, cum uideatur speculum, et non mutet locum, et corpus similiter sit immotum, et forma eius inficiat speculum, sicut et prius. Et ut plane appareat, non accidere hoc ex comprehen- sione formae: obturetur medietas foraminum instrumenti, et in aliquo obturatorum sit scriptura aliqua, si inspiciatur speculum regulae per foramen scripturam respiciens: comprehendetur in specu- lo scriptura: per quodcunque aliud minime: quod si scripturae forma speculo esset impressa, per quod- cunque foramen instrumenti posset percipi. Simili modo in speculis columnaribus per foramen, respi- ciens tantum foramen obturatum, in quo est scriptura, comprehendetur scripturę situs. Verum in specu- lis pyramidalibus et sphaericis situs et magnitudo scripturae mutabitur. Amplius: speculo columna ri extracto, regula super bases suas directe sita apparebit facies hominis in eo directa. Si uero eriga- tur regula, aut multum inclinetur, uidebitur distorta. Palam ergo, quod non accidit comprehen- sio ex forma fixa in speculo, cum non comprehendatur res uisa in speculis, nisi fuerit uisus in situ re- flexionis. Palam etiam, quod distortio faciei apparentis non est ex forma rei, sed dispositione speculi. Amplius: uiso corpore in speculo, et post elongato: comprehendetur corpus magis intra speculum, quam prius: quod non esset, si forma corporis in superficie speculi esset, et ibi comprehenderetur. Comprehensionem igitur formae in speculo efficit reflexio.

DE MODO COMPREHENSIONIS FORMARVM E COR- poribus politis. Cap V.

21. Imago uisibilis percipitur e reflexione formae uisibilis a speculo ad uisum facta. 24 p 5.

IAm patuit in parte superiori, [3 n] quod si opponatur speculo corpus coloratum lucidum: a quo- libet eius puncto procedit lux cum colore ad totam speculi superficiem, et reflectitur per lineas reflexionis proprias. Igitur a puncto sumpto in corpore, opposito speculo procedit lux cum co- lore ad speculum, in modum pyramidis continuae, cuius basis est superficies speculi. Et forma illa re flectitur per lineas eiusdem situs cum lineis accessus, et erit post reflexionem continuitas, sicut in accessu. Et si lineis reflexis occurrat superficies corporis, propter continuitatem earum tota occu- pabitur, ut nihil intersit uacuum. Si ergo forma illius corporis moueatur ad speculum per lineas il- las reflexas, et ad basim pyramidis peruenerit: quoniam lineę pyramidis eiusdem sunt situs cum lineis re- flexis: reflectetur forma per lineas pyramidis, et aggregabitur tota in puncto sumpto. Quoties ergo forma alicuius corporis ad speculum uenerit per aliquas lineas: si lineae istae eiusdem sint situs cum lineis pyramidis, a puncto sumpto ad speculum (intellige tamen) eas respicientibus: mouebitur forma per pyramidem illam ad punctum sumptum: et si in puncto sumpto fuerit uisus: uidebit corpus, cuius est forma illa. Et superius declaratum est [2. 17. 18 n] quod in situ determinato fiat acquisitio formae in speculo. Situs igitur proprius et naturalis acquisitionis uisus per reflexionem hic est: ut lineę ac- cessus formae ad speculum, eundem habeant situm cum lineis pyramidis a centro uisus ad capita il- larum linearum, scilicet unaquaeque cum sua respiciente: nec accidit formę reflexę comprehensio, ni- si in isto situ. Palam ergo, quod secundum hanc dispositionem linearum tantum fiat comprehensio formarum. Et palam, quod ex corpore colorato luminoso procedat lux cum colore ad speculum, et reflectatur, nec procedat aliquid ex corpore, praeter lucem et colorem. Patet ergo, quod ex luce et co- lore tantum huiusmodi forma comprehenditur. Et cum moueatur forma ex colore et luce compa- cta secundum praedictam situs obseruationem: superfluum est dicere, quod ab oculo exeant radij ad speculum, et reflectantur secundum situm praedictum, sicut a pluribus dictum est. Hic est igitur reflexionis modus geometrarum doctrinae non aduersus, sed consonus: cum in eo geometrice ra- diorum exeuntium opinione obseruetur situs. Et hic modus mihi soli usque nunc patuit. Verum cum a corpore luminoso procedat forma ad speculum secundum uarietatem situum, propter lineas a quoli- bet puncto corporis ad totam speculi superficiem intellectas: erit formae eiusdem reflexio per diuer sas pyramides, quarum capita sunt diuersa puncta, et bases speculi superficies, situm linearum motus formae obseruantes. Ob hoc accidit, ut eadem hora fixo speculo, eadem percipiatur corporis forma a diuersis, super quorum intuitus cadunt capita pyramidum reflexarum. Similiter si idem uisus mouea- tur super illa pyramidum capita: apparebit ei, speculo immoto, a locis diuersis eadem forma. Sed di- uersis in speculo eandem formam comprehendentibus, in diuersa speculi loca cadunt eorum intuitus. Quoniam ab eodem speculi puncto diuersorum punctorum formas comprehendere easdem non possunt. Et iam dictum est [3 n] quod a quolibet puncto corporis procedit lux ad quodlibet punctum speculi. Vnde super quodlibet corporis punctum est acumen pyramidis, cuius superfices speculi est basis: et quodlibet superficiei speculi punctum, est acumen pyramidis, cuius basis superficies corporis tota. Er- go forma corporis erit in quolibet puncto speculi, per lineas procedentes in partes diuersas, nec con currere possibiles. Et forma a corpore ad quodcunque speculi punctum accedens per pyramidem: reflectetur per pyramidem.

22. Si uisibile et speculum figurae situsque similitudine conueniant: uera et distincta imago uidetur. 35 p 5.

ET licet in speculi superficie super numerum multiplicetur eadem iteratio formae, cum concurrat for ma totalis cum qualibet parte et in quolibet puncto, et non sit in formis illis discretio, sed conti- nuitas inseparabilis in reflexione: tamen, quia forma totalis non cadit in diuersas speculi partes, secundum identitatem situs dirigitur ad loca diuersa, in quibus eam comprehendit uisus. Cum igitur similis fuerit forma speculi formę corporis: erit in speculo complementum formę corporis et figurę: quoniam in speculo eiusdem figurę cum corpore, forma primi puncti dirigitur ad primum punctum speculi, secundi ad secundum, et sic in omnibus se respicientibus: et ita erit in speculi superficie figura totalis figurę quod non accidit in speculo alterius figurę. Similiter sumpta quacunque speculi parte, cui eadem cum cor- pore figura, erit complementum figurę corporis in ea. Et cum infinitę sint tales speculi partes, infinitae erunt formę corporis reflexionis, sed ad puncta diuersa procedentes, a quibus formam comprehendit ui sus. Cum igitur secundum hanc linearum dispositionem fiat formae comprehensio, non erit formę proceden- tis a corpore in speculi superficie fixio. Et in hunc modum accidit in omnibus speculis, sed in planis cer tius: in alijs autem accidit quaedam diuersitas ex errore uisus, secundum modum praedictum. Et quilibet ui- sus secundum modum prędictum ab uno speculi puncto non percipit, nisi unum corporis punctum: nec a uisibus duobus percipitur in eodem speculi puncto idem corporis punctum.

23. Superficies reflexionis quatuor habet puncta: uisibilis: reflexionis: uisus: et terminum per- pendicularis ductae a puncto reflexionis super planum in eodem puncto speculum tangens. Itaque perpendicularis haec communis est omnibus reflexionis superficiebus. 27 p 5. 6 p 6. 24 p 7. 3 p 8. 3 p 9.

AMplius: si opponatur speculum uisui: et intelligatur a centro uisus ad superficiem speculi py- ramis et basis illius pyramidis: et sumatur punctum: et intelligatur linea pyramidis a centro uisus ad illud punctum: cum a puncto illo infinitae possint produci lineae: si aliqua earum cum latere pyramidis eundem habeat situm, et aequalem cum perpendiculari teneat angulum, et ita ac- cidat quolibet puncto speculi sumpto: planum, quod a quolibet puncto speculi potest fieri reflexio. Dico igitur, quod inter lineas a puncto sumpto productas, est linea, quae eundem habet situm cum la- tere pyramidis, et aequalem tenet angulum cum perpendiculari super illud punctum: et illa linea est latus pyramidis intellectae a puncto illo superficiei rei occurrentis: et quod super terminum illius li- neae ceciderit, cum per eam ad punctum sumptum uenerit: reflectetur ad uisum, per latus pyramidis iam dictum. Et huius pyramidis latus cum linea a puncto illo producta erit in eadem superficie, ortho- gonali super superficiem tangentem speculum in illo puncto. Et hoc dico, cum lateris pyramidis super punctum sumptum fuerit declinatio. Si enim orthogonaliter cadat super superficiem tangentem speculum in puncto sumpto, latus pyramidis productum a centro uisus reflectetur in se, et redibit in uisum ad originem sui motus [per 11 n.] In speculo plano planum est: quod diximus. Quo niam in quodcunque punctum superficiei planae ceciderit radius: a puncto

illo potest erigi linea orthogonalis super superficiem illam: et a centro ui- sus potest intelligi linea perpendiculariter cadens in superficiem planam praedictae continuam, aut in eandem: et [per 35 d 1] hae duae perpendi- culares erunt in eadem superficie: quoniam sunt aequidistantes [per 6 p 11] et linea a termino unius usque ad terminum alterius protracta in super- ficie plana tenebit angulum cum utraque: et erit in eadem superficie cum utraque [per 2 p 11] et radius, qui a linea illa eleuatur: tenebit acutum angulum cum perpendiculari speculi, et similiter cum perpendiculari uisus [angulus enim d c e acutus est: quia pars recti d c a: et huic ae- quatur a e c per 29 p 1: quia a e, d c sunt parallelae.] Et si intelligatur in partem alteram produci linea superficiei planae, transiens ortho- gonaliter super terminos perpendicularium: tenebit ex parte alte- ra cum perpendiculari speculi angulum rectum [per 29 p 1:] unde ex illo recto poterit abscindi angulus acutus, aequalis angulo acu- to, quem cum eadem perpendiculari tenet radius. Et hi duo anguli sunt in eadem superficie. Quare radius exiens et reflexus in eadem sunt superficie, et in superficie perpendicularium dictarum. Inspe- cto autem alio puncto, idem situs accidet radiorum cum perpendi- cularibus: quarum una a centro uisus: alia a puncto uiso. In omni ergo superficie reflexionis accidit quatuor punctorum concursus, quae sunt: centrum uisus: et punctum apprehensum: et terminus perpen- dicularis a centro uisus ductae: et punctum reflexionis. Et omnes reflexionis superficies secant se in perpendicu- lari, a puncto reflexionis intellecta: et est ipsa communis omnibus superficiebus reflexionis. Et cum idem ac- cidat, quolibet puncto superficiei planae inspecto: erit ex omnibus punctis similis reflexio et eodem modo.

24. Si uisus sit extra superficiem speculi sphaerici conuexi, uel ipsi continuam: communis se-

ctio basis pyramidis opticae et superficiei speculi, erit peripheria minimi in sphaera circuli. 3 p 6.

IN speculis autem sphęricis palam erit, quod diximus: opposito uisui speculo sphaerico: (et est oppositio, ut uisus non sit in super- ficie illius speculi: aut in superficie ei continua) et inspecto hoc speculo: pars eius a uisu comprehensa, erit pars sphaerae circulo mi- nore inclusa, quem efficit motu suo radius, tangens superficiem sphae- rae, si per gyrum moueatur contingendo sphaeram, donec redeat ad punctum primum, a quo sumpsit motus principium: quia si intelli- gantur superficies se secantes super diametrum sphaerae, a polo cir- culi praedicti intellectam: quilibet arcuum superficiei sphęrae, et his superficiebus communium, a polo circuli ad ipsum circulum intel- lectorum, erit minor quarta circuli magni Quoniam linea a centro sphaerae ad terminum radij, sphaeram contingentis protracta (quae est ad circulum praedictum) tenet cum radio angulum rectum ra- tione contingentiae [per 18 p 3.] Tenet ergo angulum acutum cum semidiametro a polo circuli producta [per 17 p 1] et hunc angulum respicit arcus interiacens polum circuli et circulum [Quare per 33 p 6 peripheria c s minor est quadrante peripheriae maximi in sphae- ra circuli. Itaque cum per 16 th. 1 sphęr. Theodosij peripheria maximi circuli distet a suo polo quadrante peripheriae maximi circuli: erit peripheria, conuersione radij ab uno uisu sphaeram tangentis, in sphaerica superficie descripta, minor maximi circuli peripheria.]

25. Si duarum rectarum linearum a uisu, altera speculum sphaericum conuexum tangat, re- liqua per centrum secet: tangens circa secantem fixam conuersa, definiet segmentum superficiei speculi: a cuius puncto quolibet potest ad uisum fieri reflexio. Et centra uisus et speculi, puncta reflexionis et uisibilis sunt in reflexionis superficie. 2. 5. 6 p 6.

DIco igitur, quod a quolibet puncto huius portionis poterit fieri reflexio. Quoniam sumpto ali quo eius puncto: diameter sphaerae ab illo puncto intellecta, erit perpendicularis super super- ficiem planam tangentem sphaeram in puncto illo [per 4 th. 1 sphae.] Et huius rei probatio est. Intellectis duabus superficiebus sphaeram super diametrum a puncto sumptam, intellectam se- cantibus: lineae communes superficiei sphaerae et his superficiebus sunt circuli sphaerae transeuntes per punctum sumptum [per 1 th. 1 sphae:] et intellectis duabus lineis, tangentibus hos circulos in puncto sumpto: erit diameter perpendicularis super utramque lineam [per 18 p 3.] Quare super su- perficiem, in qua sunt illae lineae [per 4 p 11.] Et cum descenderit radius super punctum sumptum: erit in eadem superficie cum diametro sphaerae, cuius terrminus punctum est sumptum [per 2 p 11] et linea a centro uisus ad centrum sphaerae intellecta: quae quidem transit per polum circuli [et est radius orthogonaliter cadens super superficiem sphęrae] [quia per 4 th. 1 sphaer. est perpendicularis plano sphaeram in puncto d tangenti] est similiter in eadem superficie [per 2p11:] et ex his tribus lineis

erit triangulum: et radius super punctum sumptum incidens, tenet acutum angulum cum diametro sphaerae ab exteriori par te: quoniam cum elatior sit iste radius radio sphaeram contin- gente: secabit sphęram cum producta intelligitur: et super- ficies tangens sphaeram in puncto sumpto demissior erit hoc radio: et secabit inter sphaeram et uisum, uisam diametrum, id est lineam a centro uisus ad centrum sphaerae intellectam, per polum circuli transeuntem: unde cum diameter sphęrae sit orthogonalis in superficie punctum tangente: tenebit an- gulum recto maiorem ex parte interiori cum radio in punctum descendente: unde [per 13 p 1] in exteriori parte tenebit cum eo angulum minorem recto: et producta, orthogonalis erit super superficiem contingentem exterius [per 4 th. 1 sphae.] Quare ex angulo recto, quem tenebit cum superficie ex alia radij parte, poterit abscindi acutus aequalis ei, quem inclu- dit radius cum illa diametro: et erunt lineę tres hos angulos duos includentes in eadem superficie [per 6 13 n.] Quare a puncto portionis sumpto potest produci linea in eadem superficie cum radio, in punctum illud cadente, et linea or- thogonali in superficie punctum contingente, et ad parita- tem angulorum cum perpendiculari illa: et illi lineae occur- ret forma puncti mota ad superficiem speculi per radium illum. Igitur eiusdem est situs cum linea, quae poterit re- flecti [per 12 uel 18 n.] Et erit superficies, in qua sunt hae lineae, orthogonalis super superficiem, sphaeram in puncto contingentem [per 13 n.] Et ita in quolibet portionis pun- cto intelligendum. Ergo in omni superficie reflexionis erunt centrum uisus: centrum sphaerae: punctum reflexionis: et punctum reflexum. Et omnes hae superficies secabunt se super lineam a centro uisus ad centrum sphęrae protractam: et cuilibet reflexionis superficiei et superficiei sphaerae, communis linea erit circulus sphęrae [per 1 th. 1 sphae:] et omnes circuli secabunt se super punctum sphęrae, in quod cadit diameter uisus: et est super circuli portionis polum. Cum autem radius ceciderit in speculum orthogona- liter super superficiem, in puncto, in quod radius cadit, sphaeram tangentem (et est radius ille, diameter uisus per po- lum circuli portionis ad centrum sphęrae) fiet reflexio ad uisum per eumdem radium ad motus radij ortum [per 11 n.]

26. Si duo plana a centro uisus, ducantur per latera conspicuam speculi cylindracei conuexi superficiem terminantia: tangent speculum: et facient in uisu communem sectionem parallelam axi speculi. 2. 3 p 7.

IN speculis autem columnaribus patebit, quod diximus. Opponatur speculum columnare exterius politum oculo: (et est oppositio, ut non sit uisus in superficie columnae, aut superficie ei conti- nua) et intelligamus superficiem a centro uisus ad columnae superficiem, secantem columnam super circulum aequidistantem basibus columnae: et in hac superficie sumantur duae lineae, tangentes circulum sectionis in duobus punctis oppositis: ab utroque illorum punctorum producatur linea secun- dum longitudinem columnae: et intelligantur duae superficies, in quibus sint hae duae lineae longitu- dinis, et duae lineae a centro uisus ductae, contingentes circulum sectionis. Dico, quod hae superficies tangent columnam. Si enim dicatur, quod altera secat illam: planum est, quod sectio est super lineam longi- tudinis columnae, in quam superficies cadit: [per 21 def. 11] et similiter erit sectio super lineam longitudinis columnae huic oppositam: et circulus sectionis transit per has duas lineas longitudinis: et linea con- tingens circulum sectionis: cum sit in superficie aliqua: secat columnam super aliquas longitudinis

lineas, sibi inuicem aequidistantes: et si transit per unam earum, tran- sibit per alteram, et ad paritatem angulorum. Cum ergo transeat per punctum, in quo circulus sectionis secat primam longitudinis lineam: transibit etiam per punctum, in quo alia longitudinis linea tangit hunc circulum: et ita secat circulum. Quare non contingit, quod est contra hypothesin. Palam ergo, quod duae illae superficies contingunt specu- lum, et quod inter illas cadit ex superficie speculi, est, quod apparet uisui. Cum autem duarum illarum superficierum sit concursus in cen tro uisus, secabunt se, et linea sectionis communis transibit per cen- trum uisus: et erit aequidistans axi columnae. Quoniam enim axis co- lumnae orthogonalis est super circulum sectionis [per conuersam 14 p 11] et lineae longitudinis columnae orthogonales super eundem cir- culum [per 8 p 11: latera enim cylindri parallela sunt axi, perpendicu- lari ad circulum sectionis per 21 d 11] etiam superficies tangentes co- lumnam secundum lineas has: orthogonales erunt super circulum eun- dem [per 18 p 11:] ergo et super superficiem secantem columnam in illo circulo. Quare linea communis harum superficierum est orthogon lis super eandem superficiem [per 19 p 11] quare aequidistans axi co- lumnae [per 6 p11.]

27. Si linea recta a centro uisus, ducta ad punctum conspicuae super- ficiei speculi cylindracei conuexi, continuetur: secabit speculum. 4 .5 p 7.

DIco ergo, quod quocunque puncto in sectione speculi apparen- te sumpto: linea a centro uisus ad punctum producta, secabit speculum. Quoniam intellecta linea longitudinis columnae a puncto sumpto, transibit per circulum sectionis, et tanget ipsum in puncto: ad quod punctum si ducatur linea a centro uisus: secabit spe- culum: quia cadit inter lineas contingentes hunc circulum: ergo et su- perficies a centro uisus procedens, in qua fuerit haec linea, secabit spe culum. Cum ergo in eadem superficie sit linea a centro uisus, ad pun- ctum sumptum ducta: secabit linea illa speculum: et ita quaelibet linea a centro uisus, ad portionem speculi intellecta, secat speculum. Eodem modo quaelibet linea a linea communi, per centrum uisus in- tellecta, ad hanc portionem ducta, secat speculum. Vnde quaelibet superficies tangens speculum in aliqua portionis apparentis linea, secat superficies, quę contingunt portionis extremitates: et nulla omnium superficierum portionem tangentium, peruenit ad uisus centrum, sed inter uisum extenditur et speculum.

28. In speculo cylindraceo conuexo, a quolibet conspicuae superficiei puncto potest ad uisum reflexio fieri. 25 p 7.

DIco ergo, quod a quolibet puncto portionis huius potest fieri reflexio lucis. Dato enim pun- cto, fiat super ipsum circulus aequidistans columnae basibus: si ergo superficies a centro uisus procedens, et columnę superficiem aequidistanter basi secans, secet eam super hunc circulum: et linea a centro uisus ad circuli centrum ducta, transeat per punctum datum: fiet reflexio formae illius puncti per eandem lineam ad lineae ortum [per 11 n] quia linea illa est axis uisus super axem colu- mnae perpendicularis [per 21 d 11, 29 p 1.] Sumpto autem puncto quocunque, per quod transeat axis, perpendicularis super axem columnae: fiet reflexio illius puncti per eundem axem [per 11 n.] Si uero praetereat axem punctum sumptum, quaecunque sit linea a centro circuli, aequidistantis basibus per ipsum punctum ducti, ad superficiem in linea longitudinis columnae per punctum illud transeuntis, contingentem: erit super axem orthogonalis [per 21 d 11, et conuersam 14 p 11.] Quare super lineam longitudinis per punctum illud transeuntem [per 29 p 1.] Et quoniam uisus est altior superficie pun- ctum contingente: linea a centro uisus ad punctum sumptum ducta, tenebit acutum angulum cum perpen- diculari illa, a puncto ad centrum circuli ducta: et hic est ex parte exteriore, quia obtusum habet ex in- teriore: et ex angulo recto, quem illa perpendicularis tenet cum linea superficiei contingentis cir- culum [per 18 p 3] poterit abscindi acutus huic aequalis: et perpendicularis illa cum centro uisus est in eadem superficie: quare etiam cum linea a centro ad punctum ducta: et erit linea reflexa in eadem superficie: quare cum linea a centro ad punctum ducta. Et erit haec superficies orthogonalis super superficiem, contingentem speculum in puncto illo: quoniam perpendicularis orthogonaliter ca- dit super hanc superficiem: et huiusmodi erit reflexionis superficies.

29. Si uisius sit extra superficiem speculi cylindracei conuexi, in plano uisibilis per axem du- cto: communis sectio superficierum reflexionis et speculi, erit latus cylindri: et unicum tantum est in eadem conspicua superficie planum, a quo ad eundem uisum reflexio fieri potest. 7. 16 p 7.

ESt autem diuersitas inter lineas superficiebus reflexionis et superficiei columnae communes. Cum enim reflexio erit per eundem radium: cadet idem radius ille orthogonaliter super axem, et linea communis superficiei columnae et superficiei reflexionis, erit linea recta, scilicet latus columnae: cum in superficie reflexionis sit diameter columnae. Et planum hoc est, quoniam columnae compositio est ex motu superficiei aequidistantium laterum super unum latus immotum [per 21 d 11.] Vnde su- perficiei columnam secanti, in qua sit axis, id est latus immotum, et superficiei columnę communis linea, erit latus motum. Et dico, quod ex omnibus reflexionis superficiebus una sola est, cui et co- lumnae superficiei sit linea communis recta. Quoniam unica potest intelligi superficies, in qua sit axis columnae et centrum uisus: et non plures.

30. Si uisus sit extra superficiem speculi cylindracei conuexi, in plano uisibilis ad axem recto: communis sectio superficierum reflexionis et speculi, erit circulus: et unicus tantum est in ea- dem conspicua superficie, a quo ad uisum reflexio fieri potest. 9. 17 p 7.

SI uero superficies reflexionis sit aequidistans basibus columnae: erit linea communis circulus [per 5 th Sereni de sectione cylindri] et haec sola est superficies, quae cum columnae superficie lineam communem habeat circularem. Quoniam in omni reflexione, perpendicularis super superficiem, contingentem punctum reflexionis, est diameter circuli, basibus columnae aequidistan- tis: et non potest esse in columnae superficie, nisi unus circulus aequidistans basibus, qui cum cen- tro uisus sit in eadem superficie.

31. Si uisus sit extra superficiem speculi cylindracei conuexi, in plano uisibilis ad axem obli- quo: communis sectio superficierum reflexionis et speculi erit ellipsis: et plures in eadem conspi- cua superficie esse possunt, a quibius ad eundem uisum reflexio fiat. 10. 18 p 7.

OMnes autem aliae superficies reflexionis, secant columnam et axem columnae: quoniam perpendi- cularis ducta a puncto reflexionis secat axem columnae: et lineae communes his superficiebus et superficiebus columnę, sunt sectiones, quas in columnis et pyramidibus assignant geometrae.

32. Si communis sectio superficierum reflexionis et speculi cylindracei conuexi, fuerit latus cylindri, uel circulus: reflexio a quocunque communis sectionis puncto facta, in eadem superficie semper fiet. 19. 20 p 7.

CVm superficiebus columnae et reflexionis linea recta fuerit communis, quodcunque punctum illius lineae intueatur uisus: fiet reflexio in superficie eadem, in qua est axis. Quoniam est su- perficies unica, contingens columnam in linea illa longitudinis: et quocunque puncto huius lineae sumpto: perpendicularis ab eo ad axem ducta, erit in eadem superficie cum axe: et haec linea erit orthogonalis super superficiem, contingentem superficiem columnae [Nam quia per 21 d 11 la- tus cylindri est parallelum axi: erit recta linea perpendicularis axi: perpendicularis tum lateri per 29 p 1, tum rectae circulum per idem lateris punctum descriptum, tangenti, per 18 p 3. Quare per 4 p 11 erit perpendicularis plano speculum tangenti.] Sed centrum uisus est in superficie orthogo- nali super eandem superficiem: quia in una superficie est centrum uisus et linea communis et axis columnae [per 6. 13 n] et una sola est superficies orthogonalis super illam superficiem [per 13 p 11.] Quare omnes reflexiones a punctis huius lineae factae, sunt in eadem reflexionis superficie. Verum cum linea communis superficiei reflexionis et columnae fuerit circulus, quocunque puncto illius cir- culi uiso: fiet in una et eadem superficie reflexio. Quoniam quaecunque perpendicularis a puncto re- flexionis ducta: erit diameter huius circuli: quare in superficie huius circuli est: et punctum uisus similiter: et superficies haec orthogonalis est super superficiem, quodcunque punctum huius circuli sum- ptum contingentem. Quare in hac sola superficie erit cuiuslibet puncti, praedicti circuli reflexio.

33. Ab uno communis sectionis superficierum reflexionis et speculi cylindracei conuexi pun- cto, unum uisibilis punctum ad unum uisum in eadem superficie reflectitur. 22 p 7.

QVacunque uero alia linea communi sumpta: non fiet in eadem reflexionis superficie reflexio, nisi ex uno tantum huius lineae puncto. Quoniam perpendicularis ducta a puncto reflexio- nis, orthogonalis est super lineam longitudinis columnae per punctum illud transeuntis [per 3 d 11] quare et super axem [per 29 p 1] et perpendicularis illa, est diameter circuli, aequidistantis basibus columnae: et superficies reflexionis et circulus ille secant se: et linea ijs communis, est dia- meter illius circuli: et est illa diameter perpendicularis super superficiem, columnam in illo puncto contingentem, et superficies reflexionis secat illam lineam longitudinis columnae, super quam fit contingentia, et est declinata super ipsam: ergo et super axem erit illa superficies reflexionis decli- nata: et in superficie plana super lineam aliquam declinata non potest intelligi, nisi una linea ortho- gonaliter cadens in illam. Sed si a duobus superficiei reflexionis punctis fieret reflexio in eadem superficie: essent duae lineae illius superficiei orthogonales super axem: quod esse non potest, cum superficies illa sit declinata super eum. Nam perpendicularis a puncto reflexionis cadit in circu- lum, aequidistantem basibus columnae, et in punctum axis, et est sectio communis superficiei circuli et superficiei reflexionis. Si ergo ab alio lineae communis puncto, in eadem superficie fieret refle- xio: alia perpendicularis ab alio puncto ducta: esset diameter alterius circuli columnae, huic aequi- distantis, et caderet in punctum axis, in quod non cadit superficies reflexionis. Et ita in omnibus super- ficiebus reflexionis est intelligendum: quod ab uno puncto tantum lineae communis fiat reflexio in eadem superficie, respectu eiusdem uisus: quoniam respectu duorum uisuum potest reflexio fieri a duobus punctis superficiei speculi, ut circuli diametri terminis, quae est perpendicularis super ipsam sectionem: respectu uero unius uisus non accidit: quoniam illa duo puncta non simul ab eodem uisu possunt comprehendi: semper enim necesse est partem columnae medietate minorem uideri.

34. Si recta linelinea a reflexionis puncto, sit perpendicularis speculo cylindraceo conuexo: in- tus continuata, transibit per centrum circuli basibus paralleli: et contra. 21 p 7.

PAlam ex praedictis, perpendicularem super punctum reflexionis intellectam extra et intra pro- duci, diametrum circuli efficere. Quia si non: cum constet diametrum circuli super punctum illud transeuntem, perpendicularem esse super superficiem contingentem columnam in illo puncto [ut ostensum est 32 n] et perpendicularem extra similiter: erit [per 14 p 1] continuitas inter has perpendiculares, et unam efficient lineam. Quia si non est, quod diameter extra producta, per- pendicularis sit super illam superficiem: accidet ex eodem superficiei puncto duas erigi perpendicula- res [contra 13 p 11] In omni ergo superficie reflexionis patet quatuor punctorum concursus: centri uisus: puncti axis, in quod cadit perpendicularis: puncti reflexionis in speculo: puncti, a quo forma corporis procedit.

35. Si a uisu extra speculi conici conuexi recti superficiem, uel ipsi continuam sito, recta li- nea cum uertice axis acutum angulum faciat: duo plana educta per rectas a uisu, speculum tan- gentes et conica latera, per tactus puncta transeuntia, tangent speculum, et conspicuam super- ficiem dimidiat a minorem, a qua ad uisum reflexio fiat, terminabunt. 1. 2 p 7.

IN speculis pyramidalibus super bases suas orthogonalibus politis exterius est oppositio uisus: ut non sit uisus in superficie speculi, aut in continua ei: et secundum uisus situm, respectu speculi pyramidalis erit quantitas comprehensae in eo partis. Igitur si radius ab oculi centro ad terminum

axis pyramidis, id est ad acumen intellectus, faciat cum axe angulum acutum ex parte pyramidis: intelligemus a centro uisus superficiem secantem pyramidem super circulum aequidistantem basi pyramidis: et intelligemus duas lineas a centro quidem uisus, tangentes illum cir- culum in punctis oppositis, a quibus protrahemus lineas secundum longitudinem pyramidis. Superficies ergo ex una harum linearum lon- gitudinis et altera contingentium circulum, continget pyramidem. Si enim secuerit: continget aliud punctum, quam punctum contin- gentiae circuli: super illud punctum producatur linea longitudinis, et illud punctum et acumen pyramidis simul sunt in hac superficie. Quare illa linea erit in hac superficie, et transibit per aliquod punctum circuli: illud igitur punctum in hac superficie est, et in circulo: quare est in linea communi circulo et superficiei: sed illa contingit circulum: quare contingens transit per duo puncta circuli, quem contingit, quod est impossibile [et contra 2 d 3.] Restat igitur, ut illa superficies tan- gat pyramidem. Et generaliter omnis superficies, in qua concurrunt linea, tangens aliquod punctum pyramidis, et longitudinis linea, per punctum illud transiens, tangit pyramidem super lineam longitudi- nis. Habemus ergo duas superficies ab oculi centro procedentes, py- ramidem contingentes, inter quas est portio pyramidis apparentis uisui in hoc situ: et est minor medietate pyramidis: quoniam lineae tangentes circulum, includunt

eius partem medietate minorem.

36. Si a uisu recta linea, sit perpendicularis uertici axis specu- li conici conuexi recti: duo plana educta per rectas speculum in ter- minis diametri circuli, ad basim paralleli tangentes, et latera co- nica per tactus puncta transeuntia: tangent speculum: et dimi- diatam superficiem conspicuam, a qua ad uisum reflexio fiat, ter- minabunt. 89 p 4.

SI uero linea a centro uisus ad acumen pyramidis ducta, teneat angulum rectum cum axe, et intelligatur circulus secans pyra- midem aequidistanter basi: linea communis huic circulo, et su- perficiei, in qua sunt axis pyramidis, et centrum uisus: erit orthogona- lis super axem pyramidis: quoniam axis est orthogonalis super super- ficiem circuli [per conuersam 14 p 11: itaque per 3 d 11 axis coni est ad per pendiculum omnibus lineis, a quibus in plano circuli tangitur.] Et super lineam communem protrahatur per centrum circuli diameter orthogonalis super hanc lineam:: et a terminis huius diametri ortho- gonalis protrahantur duae contingentes circulum: et etiam duae lineae usque ad acumen pyramidis. Duae superficies, in quibus erunt hae duae lineae cum contingentibus, contingent pyramidem secundum modum praedictum. Et quoniam linea communis circulo et superficiei, in qua sunt centrum uisus, et axis pyramidis: est aequidistans lineae, a centro illius uisus ad terminum axis productae [per 28 p 1: quia axis ad perpen diculum est utrique] et huic lineae communi sunt aequidistantes lineae, circulum in praedictis pun- ctis contingentes [per 28 p 1: quia per 18 p 3 diameter ipsis ad perpendiculum est] erunt illae lineae aequidistantes lineae a centro uisus ad terminum axis ductae [per 9 p 11.] Quare erunt in eadem su- perficie cum illa [per 35 d 1.] Igitur utraque superficierum circulum contingentium, transit per cen- tra uisus: et communis illarum superficierum sectio, est linea a centro uisus ad terminum axis ducta: et quod inter illas superficies cadit ex pyramide, apparet uisui: et est medietas pyramidis: quoniam lineas has contingentes circulum interiacet medietas circuli. Et ita palam, quod in hoc situ appa ret medietas pyramidalis speculi.

37. Si recta linea a centro uisus, cum uertice speculi conici conuexi recti angulum obtusum faciens, continuata concurrat extra speculum, cum diametro circuli ad basim paralleli conti- nuata: duo plana educta per rectas a concursu speculum in dicto circulo tangentes, et latera conica per tactus puncta transeuntia, tangent speculum: et superficiem conspicuam dimidiata maiorem, a qua ad uisum reflexio fiat: terminabunt. 90 p 4.

VErum si linea a centro uisus ducta ad terminum axis pyramidis, teneat cum axe angulum ob- tusum ex parte superiori apparente: et fiat circulus secans pyramidem aequidistanter basi: linea communis huic circulo et superficiei, in qua est centrum uisus et axis, est perpendicu-

laris super axem pyramidis [per demonstrata numero praecedente] Et haec linea communis extra producta, concurret cum linea a cen- tro uisus ad terminum axis ducta [per 11 ax] propter angulum acu- tum, quem facit haec linea cum axe ex inferiori parte [per thesin et 13 p: et propter angulum b c g rectum.] A puncto igitur concursus linearum protrahantur duae lineae, contingentes circulum in duobus punctis oppositis: et producantur lineae ab his punctis ad acumen pyramidis: superficies, in quibus sunt lineae contingentes cum his longitudinis lineis, contingunt pyramidem: et in utraque harum su- perficierum sunt duo puncta lineae a centro uisus ad terminum axis ductae, scilicet terminus axis et terminus perpendicularis, in quo sci licet concurrunt linea illa et perpendicularis. Quare linea illa, quae ducitur a centro uisus per terminum axis, est in utraque superficie [per 1 p 11.] Igitur utraque superficies transit per centrum uisus. Et includunt hae superficies ex inferiori parte minorem partem pyramidis medie- tate: quia lineae contingentes circulum, includunt partem eius mi- norem medietate. Vnde ex parte superiori interiacet superficies py- ramidem contingentes pars medietate maior: et illa est, quae appa- ret uisui. Quare in hoc situ comprehendit uisus partem pyramidis medietate maiorem.

38. Si recta linea a uisu per uerticem speculi conici conuexi recti, continuetur cum conico latere: tota superficies, praeter dictum latus, uidebitur. 91 p 4.

SI autem linea a centro uisus ad terminum axis producta, cadit super latus pyramidis, ut ex ea

et latere unum efficiatur continuum latus: Dico quod non la- tebit uisum ex hac pyramide, praeter lineam quandam intelle- ctualem. Quoniam omnis superficies, in qua est linea a centro uisus ad terminum axis ducta, et secundum lateris longitudinem prolon- gata, secat pyramidem, una tantum excepta, quae contingit pyrami- dem in latere, quod est pars lineae: et hoc solum latus intellectuale, in tota pyramidis superficie sub hoc situ uisum praeterit. Et huius rei ueritas patet ex hoc. Quod quocunque pyramidis puncto sumpto ex- tra latus intellectuale, si ad ipsum ducatur linea a centro uisus, et ab eo linea longitudinis pyramidis ad terminum axis, efficient hae duae lineę triangulum cum linea lateri applicata: et erit triangulum in su- perficie a centro uisus intellecta, pyramidem secante. [Nam si conus secetur plano per axem: communis sectio est triangulum per 3 th 1 co- nico. Apollonij] Et ex his lineis huius superficiei non nisi duae cadunt in superficiem pyramidis, scilicet linea longitudinis, a puncto sum- pto ad acumen pyramidis, et linea opposita huic ex altera parte. Et linea a centro uisus ad punctum sumptum ducta, secat lineam longi- tudinis in puncto sumpto, et lineam lateris continuati cum uisu in centro uisus. Quare huic lineae a centro uisus non accidet concursus cum aliqua linearum, nisi in ipso centro uisus. Cum igitur non possit sumi punctum aliud, ad quod linea a centro uisus accedat, et in hoc punctum transeat: non occulta- tur punctum istud ab alio puncto, quod non perueniat ad centrum uisus: quare apparet uisui, cum inter ipsum et uisum non intercidat corporis solidi obiectio. Et eadem probatio est de quolibet su- perficiei pyramidis puncto.

39. Si recta linea a uisu in uerticem speculi conici conuexi recti, continuetur cum axe: tota superficies conica uidebitur. 92 p 4.

ET si linea a centro uisus in terminum axis cadens, intret pyramidem: dico quod nullum occul- tatur uisui punctum in tota pyramidis superficie. Sumpto enim quocunque puncto in pyramidis

superficie: intelligatur ad ipsum linea a centro uisus, et alia ab eo usque ad acumen pyramidis: hae duae lineae includunt superficiem triangularem cum linea a centro uisus ad terminum axis ducta, pyrami- dem intrante: et est istud triangulum in superficie pyramidem secante: cum omnis superficies, in qua fuerit linea intrans pyramidem, secet eam. Linea uero a centro uisus ad punctum sumptum ducta, secat in illo puncto lineam longitudinis ab eo ad acumen pyramidis ductam. Et ex li- neis superficiei, in qua sunt hae duae lineae, non sunt, nisi duae lineae in superficie pyramidis, scilicet haec linea longitudinis, a puncto ad acu- men ducta, et alia opposita, secans angulum, quem includit haec cum li- nea pyramidem intrante. Igitur linea illa opposita, extra pyramidem pro ducta, secat lineam a centro ad punctum sumptum ductam. Quare linea haec secat duas lineas, quę solae ex lineis huius superficiei sunt in py- ramidis superficie: unam extra pyramidem, aliam in puncto sumpto. Quare producta in infinitum non concurret cum aliqua illarum linea- rum: unde non occultatur uisui sumptum punctum, secundum modum supra dictum. In hoc situ ergo nulla superficierum pyramidem tangen tium transibit per centrum uisus, sed quęlibet secabit lineam a uisu su- per terminum axis pyramidem intrantis, inter uisum et pyramidem: et est in termino axis. Cum uero linea uisus lineae longitudinis pyra midis applicatur: nulla superficierum pyramidem tangentium pertinet ad centrum uisus praeter il- lam, quae in praedicta linea contingit pyramidem: et omnes superficies contingentes, secabunt lineam illam inter uisum et uerticem pyramidis. Similiter in situ, in quo duae superficies contingentes py- ramidem per centrum uisus transeunt: quaelibet superficies tangens pyramidem in portione pyramidis apparente, quę duas contingentes interiacet, a centro uisus diuertit: et super quodcunque punctum illius portionis cadat linea uisualis: secabit pyramidem, cum intercidat inter duas contingentes uisuales: et su- perficies, in qua fuerit linea haec uisualis, et linea longitudinis pyramidis, secabit pyramidem: et erit haec uisualis superficies cuicunque superficiei pyramidis in hac portione, continua: quare et uisus.

40. Si communis sectio superficierum, reflexionis et speculi conici conuexi fuerit latus coni- cum: a quolibet conspicuae superficiei puncto ad uisum reflexio fieri potest. 31 p 7.

DIco ergo, quod in quolibet situ, a quolibet puncto potest fieri reflexio. Sumatur enim pun-

ctum, et intelligatur circulus per punctum transiens, basi py- ramidi aequidistans: diameter igitur huius circuli ab hoc pun- cto incipiens, erit perpendicularis super axem [per 3 d 11] cum axis sit perpendicularis super circuli superficiem [per 18 d 11, et conuersam 14 p 11.] Quare linea longitudinis a puncto ad acumen pyramidis ducta, tenet angulum acutum cum diametro, et acutum cum axis termino in eadem superficie [per 32 p 1, quia angulus ab axe et semidiametro g d comprehensus, est rectus.] Sit linea uisualis super punctum cadens in superficie, in qua est linea longitudinis et axis, in qua superficie de- ducatur perpendicularis super lineam longitudinis in puncto illo: con curret haec quidem perpendicularis cum axe: [per 11 ax] et ex ea, et axe, et linea longitudinis efficietur triangulum. Super punctum illud intelligatur linea contingens, et super diametrum circuli, quem feci mus, intelligatur diameter alia orthogonalis super ipsam: quae erit orthogonalis super ipsum axem: et super superficiem, in qua est axis, et diameter prima [per 4 p 11] et haec diameter secunda est aequidi- stans contingenti [per 28 p 1] quoniam contingens perpendicularis est super diametrum primam [per 18 p 3] et ita linea contingens or- thogonalis est super superficiem, in qua sunt axis et diameter prima [per 8 p 11.] Quare erit perpendicularis super perpendicularem, quam primo fecimus [per 3 d 11] et ita illa prima perpendicularis orthogonaliter cadit super superficiem, contingentem pyramidem, in qua punctum est sumptum. Igitur si linea uisualis, cadens in punctum sumptum, transeat secundum processum perpendicularis: erit quidem orthogonalis super superficiem, pyramidem illam in puncto contingentem, et fiet reflexio formae per eandem lineam [per 11 n.] Si autem deuiet a processu perpendicularis: faciet quidem angulum cum perpendiculari acutum in puncto sum- pto: et poterit produci in superficie eius lineae uisualis, alia linea a puncto illo, quae aequalem angulum huic teneat cum perpendiculari: cum perpendicularis orthogonalis sit super superficiem contingen tem. Linea autem quaecunque super superficiem, contingentem in puncto sumpto orthogonaliter ca- dens, transit ad axem [per 11 a x: est enim perpendicularis conico lateri: quia, cum ex thesi sit perpen- dicularis plano conum tangenti in latere per 6 uel 35 n: erit per 3 d 11 ipsi lateri perpendicularis] et si ab axe ducatur orthogonalis ad hanc superficiem, efficient perpendiculares, interior et exterior, lineam unam [per 14 p 1:] quod si non: cum perpendicularis interior, extra producta, sit etiam perpendi- cularis super superficiem: accidet ab eodem puncto super aliquam superficiem, erigi duas perpendi- culares in eandem partem [contra 13 p 11.] Palam igitur, quod a quocunque puncto superficiei pyrami- dis uiso, potest fieri reflexio ad paritatem angulorum. Et cum linea declinata occurrerit: forma ue- niet ad speculum super lineam hanc, et reflectetur ad uisum super aliam: et sunt hae lineae in eadem superficie orthogonali, super superficiem contingentem pyramidem in puncto reflexionis [per 6. 13 n.] Et haec est superficies reflexionis, in qua semper fit comprehensio quatuor punctorum, scilicet, centri uisus, puncti uisi, puncti reflexionis, termini perpendicularis.

41. Communis sectio superficierum reflexionis et speculi conici conuexi est latus conicum uel ellipsis: nunquam uero circulus. 12 p 7.

DIuersificantur autem lineae communes superficiei reflexionis, et superficiei pyramidis. Cum enim radius uisualis continuus fuerit axi pyramidis, scilicet, cum in superficie reflexionis fuerit to- tus axis, et perpendicularis ad axem transiens: erit superficiei reflexionis et superficiei py- ramidis communis linea, linea longitudinis in hoc situ. Quoniam quaelibet superficies, in qua est totus axis, hanc habet lineam communem cum superficie pyramidis [ut patet e 18 d 11.] Et in omni alio situ unica longitudinis pyramidis linea erit communis, illa scilicet, quę fuerit in superficie uisus cen- trum et axem continente. Et quando centrum uisus non erit in directo axis, una tantum erit superficies ta- lis: et omnis alia communis linea, erit sectio pyramidalis, non circulus. Si enim fuerit circulus: erit super- fieies illius circuli in superficie reflexionis. Et quia axis orthogonalis est super illum circulum [per 18 d 11, et conuer- sam 14 p 11] cum quilibet circulus pyramidis sit aequidistans basi [per 4 th. 1 conicorum Apollonij] erunt la- tera pyramidis declinata super circulum: et ita super superficiem reflexionis. Quare in superficie illa non potest duci perpendicularis super lineam longitudinis pyramidis: sed [per 6. 13 n] perpendicularis ducta super superficiem, contingentem locum reflexionis, est in superficie reflexionis, et perpendicularis super lineam longitudinis [ut ostensum est proximo numero] cum qualibet superficies tangens tangat in linea longitudinis [per 6. 35 n.] Accidit igitur im possibile [contra 13 n.] Quare restat omnes alias communes reflexionis lineas, sectiones pyramidales esse.

42. Si communis sectio superficierum reflexionis et speculi conici conuexi, fuerit latus co- nicum: reflexio a quocunque ipsius puncto facta, in eadem superficie semper fiet. 19 p 7.

ET cum fuerit linea communis, linea longitudinis, ex quocunque puncto illius lineae fiat reflexio: erit in eadem superficie cum cuiuscunque alterius puncti reflexione. Quoniam a quolibet huius lineae puncto ducta perpendicularis continget axem [ut ostensum est 40 n:] et erunt in superficie reflexionis centrum uisus er punctu reflexionis et punctum axis. Quare in hac superficie fit reflexio a quocunque puncto.

43. Si communis sectio superficierum, reflexionis et speculi conici conuexi fuerit ellipsis: ab uno uel duobus conspicue superficiei punctis quibuslibet, in eadem superficie ad uisum reflexio fieri potest. 34 p 7.

SI uero communis linea non fuerit linea longitudinis: dico quod uel ab uno communis lineae puncto, in eadem superficie fiat reflexio, uel a duobus tantum. Quoniam ducta perpendiculari a puncto refle- xionis: perueniet ad axem, et cadet in aliquod punctum eius [ut patuit 40 n:] et intellecto circulo super punctum reflexionis, orthogonaliter secabit circulus axem [Quia enim circulus parallelus est basi per 4 th 1 conico. Apollonij: erit axis ad ipsum perpendicularis per 18 d, et conuersam 14 p 11.] Et quia perpendicularis tenet angulum acutum cum axe: erit perpendicularis declinata super circulum, et circumquaque ducta, semper erit aequalis. Vnde fiet pyramis, cuius basis circulus, acumen punctum axis, in quod cadit perpendicularis. Igitur super- ficies reflexionis aut tanget hanc pyramidem, aut secabit. Si tangat: di- co quod a puncto reflexionis sumpto possit tantum fieri in eadem su- perficie reflexio. Planum enim, quod superficies reflexionis continget hanc pyramidem super perpendicularem, quae est linea orthogonalis in superficie reflexionis [per 6. 35 n.] Et si ab acumine totalis pyrami- dis ducantur lineae ad sectionem communem superficiei reflexionis et pyramidis totalis, prius cadent in circulum, qui est basis pyramidis in- tellectae, quam in sectionem: praeter unam, quae in punctum reflexionis ca- dit. Si ergo ab alio puncto communis sectionis fieret reflexio: linea ab illo puncto ad acumen intellectae pyramidis ducta: erit perpendicularis super lineam longitudinis pyramidis, per punctum illud transeuntem [ut ante patuit:] sed linea ab acumine pyramidis intel- lectae ad punctum circuli, per quod transit illa linea longitudinis, absque dubio est perpendicularis su-

per eam. Quare alia angulum tenet acutum cum hac linea, non rectum. [secus tres anguli trianguli rectilinei maiores essent duobus rectis con- tra 32 p 1: quod tamen absurdum ex angulis c r i, c i r rectis conclusis sequitur.] Si uero superficies reflexionis secet intellectualem pyrami- dem: secabit circulum, qui est basis, in duobus punctis. [Quia enim com- munis sectio ellipsis (quae ex thesi est reflexionis superficies) et circuli (qui est fictae pyramidis basis) est linea recta per 3 p 11, duobus punctis terminata: ellipsis igitur secat circulum in duobus punctis, nempe lineae rectae terminis.] Dico, quod haec sola sunt puncta in tota sectione com- muni, a quibus fieri possit reflexio in eadem superficie. Quoniam ab utroque istorum punctorum linea ducta ad acumen intellectae pyramidis, est per- pendicularis super lineam longitudinis super punctum suum transeun- tem. A quocunque enim sectionis puncto alio ducatur linea ad acumen illius pyramidis: tenebit angulum acutum cum linea longitudinis per ipsum transeunte, cum perpendicularis cum eadem longitudinis linea an- gulum rectum teneat in circulo. Et lineae ductae ab acumine pyramidis intellectae ad puncta sectionis, quae intercidunt inter speculi acumen et circulum: facient angulos obtusos cum lineis longitudinis uersus par- tem acuminis pyramidis totalis: et quae ducuntur ad puncta inter cir- culum et basim speculi interiacentia, facient cum linea longitudinis an- gulos acutos ex parte acuminis speculi, obtusos ex parte basis. Ergo a nullo istorum punctorum po- test fieri reflexio.

44. Si uisus fuerit in caua speculi sphaerici superficie: uidebit totam: si intra uel extra: alias hemisphaerium, alias plus, alias minus: si in centro: se ipsum tantum uidebit. 71. 72 p 4. 4 p 8.

IN speculis sphaericis concauis si uisus fuerit intra concauitatem speculi: tota speculi superficies apparebit ei: quod si extra fuerit: poterit comprehendere portionem eius maiorem medietate, quam scilicet fecit circulus sphaerae, quem contingunt duo radij a centro uisus ducti: uisu autem in centro huius speculi existente, non fiet ab aliquo puncto speculi reflexio, nisi in se. Quoniam enim quaelibet linea a centro sphaerae ad sphaeram ducta perpendicularis est super superficiem, sphaeram in puncto illo tangentem [per 25 n uel 4 th. 1 sphaericorum:] ergo in hoc situ non comprehendet uisus per reflexionem, nisi se tantum [per 11 n.]

45. Si uisus sit extra centrum speculi sphaerici caui: uisibile a quolibet eius puncto ad uisum reflecti potest: excepto eo, in quod recta a uisu per centrum speculi ducta, cadit. 6. 3 p 8.

SI uero statuatur uisus extra centrum sphaerae: poterit fieri reflexio alterius rei uisibilis a quo- cunque speculi puncto: praeterquam ab eo, in quod cadit diameter, a centro uisus ad sphaeram per centrum sphaerae ducta: quoniam diameter cadit super superficiem contingentem sphae- ram, orthogonaliter [per 25 n, ideoque reflectitur in seipsam per 11n.] Sumpto autem alio puncto, du-

catur ad ipsum diameter a centro sphaerae, et linea a centro uisus. Ex his ergo lineis acutus includetur angulus: quoniam linea uisualis cadit inter diame- trum et superficiem contingentem punctum, quae scilicet est extra sphaeram: et siue sit oculus intra spe culum, siue extra, cadit uisualis linea intra specu- lum: quia cadit inter lineas uisuales contingentes circulum portionis sphaerae [Itaque si diameter g b et linea reflexionis g a in peripheriam continuatae, con- nectantur: erit angulus a g b acutus per 31 p 3. 32 p 1.] Cum igitur diameter angulum rectum teneat cum contingente [per 18 p 3:] secetur ex eo acutus, aequa- lis praedicto in eadem superficie: dico ergo, quod li- nnea reflexionis cadit intra speculum: quoniam com munis linea speculi et superficiei reflexionis, est cir- culus, tenens cum diametro angulum acutum ma- iorem omni rectilineo acuto [per 31 p 3.] Et in sin- gulis punctis erit hic modus reflexionis. Palam ex his, quod in omni superficie reflexionis erunt centrum uisus: centrum speculi: punctum reflexio- nis: punctum uisum: terminus diametri a centro uisus per centrum sphaerae ductae: et quod com- munis omnium superficierum reflexionis linea cum superficie speculi, est circulus: et quod a quo- libet lineae communis puncto potest fieri in eadem superficie reflexio.

46. In speculo cylindraceo cauo superficies reflexionis quatuor habet puncta: uisus, uisibilis, reflexionis, et axis, in quod perpendicularis a reflexionis puncto ducta, cadit. 3 p 9. 83 p 4.

IN speculis columnaribus concauis potest comprehendi totum speculum: si fuerit uisus intra ipsum: sed eo extra sito, uidebitur maior medietate speculi portio, quae scilicet interiacet duas superficies a centro uisus procedentes, columnam contingentes. Intelligemus autem superfi- ciem a centro uisus procedentem, basibus columnae aequidistantem:

haec superficies aut cadet in columnam, aut non: si ceciderit, linea com- munis huic superficiei et columnae erit circulus [per 5 th. Sereni de sectione cylindri: ] et linea uisualis, transiens per centrum huius cir- culi, cadet orthogonaliter super superficiem, contingentem colu- mnam in puncto, in quod cadit linea [ut demonstratum est 32 n] et fiet reflexio per eandem lineam ad eius originem [per 11 n.] Itaque cum li- nea recta (quae per 1 p 11 in uno est plano) transeat per puncta uisus, uisibilis, reflexionis, et axis, in quod perpendicularis a reflexionis puncto ducta, cadit: erunt ipsa in uno reflexionis plano.] Quodcunque aliud sumatur punctum, linea perpendiculariter ab hoc puncto du- cta, cadet in axem [ut patuit 4o n:] et linea uisualis in punctum illud cadens, faciet angulum acutum cum linea perpendiculari [ut osten- sum est superiore numero] cum sit inter perpendicularem et contingen tem. Et quod hęc linea cadat intra speculum, planum est ex hoc: quod cadit inter superficies portionem contingentes. Poterimus igitur in eadem reflexionis superficie ex angulo, quem facit perpendicularis cum contingente, excipere angulum acutum, aequalem angulo acu to praedicto: et cadet linea reflexionis, hunc angulum continens, in- tra columnam: quoniam cadet inter perpendicularem et lineam lon- gitudinis, per terminum perpendicularis transeuntem. Erunt igitur in superficie reflexionis cen- trum uisus, punctum reflexionis, punctum uisum, punctum axis, in quod cadit perpendicularis.

47. Si communis sectio superficierum, reflexionis et speculi cylindracei caui, fuerit latus cy- lindraceum, aut circulus: reflexio a quocunque sectionis puncto facta, in eadem superficie fiet.

ET si hoc modo statuatur uisus, ut communis linea superficiei reflexionis et superficiei colu- mnae sit linea longitudinis: a quocunque puncto communis lineae fiat reflexio: in una determi- nata erit superficie, omnibus his reflexionibus communi, ea scilicet, in qua centrum uisus, et axis columnae totus, sicut dictum est superius in columnari speculo non concauo [32 n.] Similiter si linea communis fuerit circulus, omnes reflexiones a punctis illius circuli factae, procedent in ea- dem superficie, sicut in alijs circulis patuit.

48. Si communis sectio superficierum, reflexionis et speculi cylindracei caui fuerit elli- psis: a pluribus eius punctis idem uisibile ad eundem uisum, in eadem superficie reflecti po- test. 9 p 9.

ET si sectio columnaris, fuerit linea communis: a duobus quidem eius punctis tantum fiet re- flexio in eadem superficie, licet in superioribus columnis [33 n] tantum ab uno puncto in uni- ca superficie fieret reflexio, unico uisu adhibito: quoniam illic latebant uisum puncta sectio- nis se respicientia, per quae scilicet transit circulus columnae basibus aequidistans: uiso enim uno il- lorum punctorum, latebat aliud, propter minoris columnae portionis apparentiam: sed in his appa ret maior columnae portio: unde ab uno uisu percipiuntur puncta terminantia diametrum circuli, aequidistantis basibus columnae.

49. Si uisius fuerit intra speculum conicum cauum: tota eius superficies uidebitur: si extra et recta a uisu continuetur cum axe, uel conico latere: tota occultabitur. 5. 2. 9. 3 p 9.

IN speculis pyramidalibus concauis, si fuerit uisus intra speculum: uidebit ipsum totum: si uero extra, et linea a centro uisus ad acumen pyramidis ducta, intret pyramidem, aut applicetur lineae longitudinis pyramidis, nihil uidebitur ex speculo. Quoniam quaecunque alia linea ab oculo ad pyramidem ducta, cadet in pyramidis superficiem exteriorem: unde occultabitur interior superfi- cies. Si autem auferatur portio a pyramide, poterit uideri pars pyramidis, cadens inter contingen- tes superficies a centro ductas, scilicet maior. Et si linea a centro uisus, sit perpendicularis super su- perficiem contingentem pyramidem, et continuetur axi: erunt lineae communes (sicut dictum est in alijs pyramidalibus) aut lineae longitudinis pyramidum, aut sectiones. Et in his a duobus pun- ctis sectionis poterit fieri reflexio, in eadem superficie, respectu eiusdem uisus. Et in superficie re- flexionis erunt, centrum uisus, punctum uisum, punctum reflexionis, punctum axis, in quod cadit perpendicularis.

50. Si uisus opponatur basi speculi conici caui: uisibile intra speculum positum, tantum uide- bitur. 6 p 9.

SEd speculum pyramidale integrum si opponatur uisui, et sit uisus ex parte basis, non percipiet nisi hoc, quod fuerit intra speculum: quoniam perpendicularis tenet angulum acutum cum linea ab oculo ad ipsam ducta, ex parte basis: unde fit reflexio ex parte acuminis [radius enim reflexus declinat ad partem oppositam radio, oblique speculo incidenti per 10 n:] et cadent omnes lineae reflexae intra pyramidem, et uideri poterit, quod intra pyramidem positum est. Si autem au- feratur ex eo portio secundum longitudinem: poterunt quidem comprehendi exteriora, cum pa- teat exitus lineis reflexionis. Similiter si secetur pyramis ad modum annuli, ut auferatur uertex: li- berum habebunt lineae ingressum, et exteriora apparebunt: et si fuerit uisus ex parte superficiei con- cauitatis speculi: plura poterit comprehendere exteriora, quam ex parte basis: quia latior inciden- tibus datur lineis uia.

51. Ab uno cuiuslibet speculi puncto, unum uisibilis punctum ad unum uisum reflectitur. 29. 30. 31 p 5. Item 37 p 5: item in praefat. 1. 5. et 10 librorum.

AMplius: sumpto uniuscuiusque speculi puncto, non est possibile in eo percipi formam, nisi for- mam unius puncti ab eodem uisu. Quoniam enim per perpendicularem et centrum uisus unica transit superficies: et una sola est linea a centro uisus ad punctum: et unicus angulus ex linea perpendiculari acutus, et unicus angulus in eadem superficie acutus aequalis huic [secus pars aequaretur toti contra 9 ax.] ergo est unica linea, quae angulum aequalem huic cum perpendi- culari facit: et cum linea peruenerit ad partem corporis, non potest forma alterius puncti per ipsam uehi, cum punctum praecedens occultet postpositum. Sed duobus uisibus possunt in eodem spe- culi puncto comprehendi duae punctuales formae: quoniam infinitae possunt sumi superficies, su- per perpendicularem se secantes, in quarum qualibet circa perpendicularem sumi poterunt duo anguli aequales acuti. Iam ergo proprietatem reflexionis declarauimus, et similiter cuiuslibet spe- culi proprium. Visus autem cum per reflexionem formas comprehendit, non animaduertit quod haec acquisitio per reflexionem sit. Non enim accidit ex proprietate uisus reflexio: quoniam uisu remoto, procedit non minus forma a corpore ad speculum, et reflectitur secundum modum prędi- ctum: et si accidat uisum esse in loco, in quem linearum reflexarum fit aggregatio: comprehendet uisus formam illam in capitibus harum linearum: et est in speculo tanquam non adueniens, sed na- turalis esset forma speculo. Amplius: aliquando acquirit uisus formas in speculis in sola superficie, aliquando intra speculum, aliquando ultra. Et erit apparens locus formae secundum figuram spe- culi et situm rei uisae: et semper comprehendetur forma in loco proprio, mutato situ uisus et specu- li: et erit diuersitas elongationis loci formae ad speculi superficiem, secundum diuersitatem figurae speculi. Et locus formae dicitur locus imaginis. Et forma dicitur imago. Visus autem comprehen- dit rem uisam in loco imaginis. Et nos dicemus illum locum, et eius proprium in quolibet specu- lorum, quae enumerauimus: et assignabimus causas, propter quas comprehendantur res uisae in loco illo: et hoc in sequente libro, si deus uoluerit.

ALHAZEN FILII ALHAYZEN OPTICAE LIBER QVINTVS.

LIBER iste in duas partes diuisus est. Prima pars est proemium libri. Secunda de imaginibus.

PROOEMIVM LIBRI. CAP. I.

1. Imago est forma uisibilis, a polita superficie reflexa. In def. 5 libri.

LIquet ex quarto libro [2 n] quod formae rerum uisarum reflectuntur ex corporibus politis, et uisus comprehendit eas in corporibus politis propter reflexionem: et patuit [20. 21 n 4] quo- modo fieret acquisitio rerum ex reflexione formarum. Et uisus comprehendit rem uisam in loco determinato: et primo, cum non fuerit situs rei uisae ad uisum mutatio. Et forma comprehensa in corpore polito nominatur imago. Et nos explanabimus in hoc libro loca imaginum ex corporibus politis: et dicemus quomodo acquiratur horum locorum scientia, et quomodo inueniatur syllogistice.

DE LOCIS IMAGINVM. CAP. II.

2. In speculo plano imago uidetur in concursu perpendicularis incidentiae et lineae reflexio- nis. 37 p 5.

IMaginis cuiuscunque puncti locus, est punctum in quo linea reflexionis secat perpendicularem a puncto rei uisae intellectam super lineam contingentem lineam communem superficei speculi, uel superficiei speculo continuae, et superficiei reflexionis. Et nos haec declarabimus. Sumatur spe- culum planum, et statuatur aequidistans horizonti: et lignum directum et politum erigatur super spe- culum: et sit speculi quantitas, ut totum possit uideri lignum: nisi enim totum appareat, error inerit: et signetur in ligno punctum aliquod nigrum: apparebit quidem uisui lignum aequale huic ultra spe- culum, huic ligno continuum, et orthogonale supra speculum, et in ligno apparente apparebit pun- ctum signatum, tantum distans a superficie speculi, quantum ab eadem distat in ligno superiore. Et si declinetur lignum supra speculum: apparebit apparens eadem declinatione declinatum: et pun- ctum signatum in apparente apparebit aeque remotum a superficie speculi Et si a puncto signato lignum aliquod erigatur orthogonaliter supra speculum: uidebitur etiam hoc lignum a puncto ap- parente orthogonaliter supra speculum, et huic orthogonali continuum. Idem accidet pluribus punctis in ligno signatis. Idemque penitus accidet eleuato aut depresso speculo. Planum ergo per hoc, quod imago puncti uisi apparet in perpendiculari, ducta a puncto uiso ad superficiem speculi. Et in hoc speculo, quae perpendicularis est super superficiem speculi, est perpendicularis super li- neam communem superficiei speculi et superficiei reflexionis. Idem patere potest in pyramide su- per basim orthogonali, cuius basis plana speculo plano sit orthogonaliter adhibita: apparebit enim huic pyramis alia continua, et harum pyramidum basis eadem, et acumina ipsarum aequaliter a spe culo distantia. Et planum, quod si ab acumine ad acumen ducatur linea recta, erit perpendicularis super basim: et ita super speculum, cum eadem sit superficies speculi et basis. Quare uertex pyra midis in perpendiculari uidebitur ab eo ad speculum ducta. Similiter a quocunque puncto pyrami- dis ducatur linea aequidistans axi, cadet ad punctum respiciens ipsum in apparente pyramide: et erit linea illa perpendicularis super basim et super speculi superficiem [per 8 p 11.] Quare imago cuiusque puncti pyramidis cadit in perpendicularem, intellectam a puncto illo in speculi superficiem. Sed quodcunque punctum opponatur speculo plano, est intelligere pyramidem, cuius punctum il- lud uertex: [per 14 n 4] quae quidem pyramis super basim orthogonalis est, et etiam super speculi superficiem, aut ei continuam: et est intelligere aliam huic pyramidi oppositam, quarum basis ea dem, et perpendicularis a uertice ad uerticem orthogonalis erit super speculum. Quare imago cuius- cunque puncti speculo oppositi, cadit in perpendicularem ductam a puncto ad speculi superficiem, aut ei continuam. Sed [per 21 n 4] planum est, quod in speculis non accidit comprehensio forma- rum, nisi per lineas reflexionum. Quare imago puncti uisi cadit in lineam reflexionis: et quaelibet talis linea est recta. Quare imago cuiuscunque puncti cadit in punctum sectionis perpendicularis, du- ctae ab illo puncto ad superficiem speculi, et lineae reflexionis. Et in speculis planis linea communis superficiei speculi et superficiei reflexionis est una linea cum linea contingente locum reflexionis. Quare planum, quod in speculis planis imaginis locus, est punctum sectionis perpendicularis a pun- cto uiso super lineam, contingentem communem lineam superficiei speculi et superficiei reflexio- nis, et lineae reflexionis.

3. In speculo sphaerico conuexo, imago uidetur in concursu perpendicularis incidentiae et li- neae reflexionis. 11 p 6.

IN speculis sphaericis extra politis patebit quod diximus. Quęratur superficies speculi talis ma- gna, in qua appareat forma baculi gracilis, perpendiculariter erecti super ipsum: apparebit qui- dem forma baculi baculo continua: et apparebit in forma baculi punctum signatum, distans a superficie speculi secundum distantiam eius ab eodem, in baculo: et si fuerit baculus gracilior ex parte unius capitis, quam ex parte alterius: apparebit quidem in hoc speculo forma eius pyrami- dalis: et est error uisus, quem postea assignabimus. Amplius: fiat pyramis orthogonalis super basim circularem circulatione perfecta: et applicetur etiam huic speculo: uidebitur quidem pyramis huic continua super eandem basim erecta, sed minor ista. Quod autem appareat pyramis, planum est per hoc, quod omnes lineae ab apparente imagine uerticis ad circulum basis, uideantur aequales. Et si declinetur pyramis modicum supra speculum a situ, in quo tota uidetur, ut scilicet aliquid ex ea ab- scondatur, dum tamen locus reflexionis in speculo uisui exponatur: apparebit etiam inde imago pyramidis. Et si elongetur uisus a speculo, aut accedat, dum tamen super lineam a loco ad ipsum pro- tractam cadat: comprehendetur imago pyramidis. Sed accessus uel recessus secundum hanc li- neam erit, ut notetur locus reflexionis, et a nota ad locum uisus ducatur linea, secundum quam fiat processus. Verum quoniam imago pyramidis orthogonalis est super basim pyramidis, et ba- sis est circulus ex circulis in sphaera: erit linea a uertice pyramidis ad uerticem imaginis ducta, or- thogonalis super circulum illum, et transibit per centrum eius [per 6. 8 d 1 conicorum] et erit or- thogonalis super sphaeram, et transibit per centrum sphaerae, et erit perpendicularis super superfi- ficiem, sphaeram contingentem in puncto, per quod transit haec linea [per 4 th. 1 sphaer. uel 25 n 4] et erit similiter orthogonalis super lineam, contingentem circulum sphaerae per punctum illud transeuntem [per 3 d 11.] Et haec contingens est linea, communis superficiei reflexionis et superficiei contingenti sphaeram in puncto illo: et haec linea contingit circulum sphaerae, commu- nem superficiei sphaerae et superficiei reflexionis. Linea ergo a uertice pyramidis ad uerticem imaginis ducta, est perpendicularis super lineam contingentem, lineam communem superficiei reflexionis et superficiei speculi: quae quidem est circulus. In hac igitur perpendiculari uide- tur imago uerticis. Et planum [per 21 n 4] quod imago uerticis est in linea reflexionis. Quare comprehendetur imago uerticis in concursu lineae reflexionis, et perpendicularis a uertice ad sphae- ram ductae, siue ad contingentem, circulum communem superficiei sphaerae et superficiei reflexio- nis. Sumpto autem quocunque puncto huic speculo opposito, est intelligere pyramidem super superficiem speculi orthogonalem, aut super continuam ei, cuius uertex sit punctum sumptum: [per 14 n 4] et linea ab illo puncto ad imaginem puncti illius, erit in superficie reflexionis, et perpendicu- laris super superficiem speculi, uel ei continuam modo praedicto: quoniam punctum uisum et ima- go semper sunt simul in superficie reflexionis [per 23 n 4.] Quare et linea a puncto uiso ad eius imaginem ducta.

4. In speculis conuexis cylindraceo, conico, imago uidetur in concursu perpendicularis inci- dentiae et lineae reflexionis. 37 p 5.

IN speculis columnaribus exterius politis non apparent, quae in ligno et pyramide diximus: quoniam recta in his speculis uidetur non recta: et est error uisus communis, cuius postea caus- sam assignabimus. Accidit tamen in solo corporis puncto uidere locum imaginis praedictum, hoc modo. Adhibito praecedentis libri instrumento, immittatur regula, cui sit infixum columnare speculum, ut media portionis speculi linea sit in superficie regulae, et non transeat haec regula tabu- lam aeneam, sed super ipsam cadat orthogonaliter, ita ut altitudo regulae sit super lineam, diuidentem triangulum tabulae aeneae. Erectione facta in hac tabula, impleatur cera, et inducatur ei planities, ut sit in eadem superficie cum tabula: et est, ut certior fiat orthogonalis regulę directio super tabulam. Deinde quaeratur regula acuta, et acuatur extremitas, et applicetur huius regulae acuitas mediae su perficiei annuli lineae, et descendat secundum lineam hanc, et ubi ceciderit super regulam, fiat si- gnum. Postea acus descendat, in qua infixum sit modicum corpus album: et hoc in termino, ne de- scendat acus usque ad regulam. Adhibeatur autem uisus, ut sit in superficie regulae, et claudatur unus uisuum: uidebitur quidem imago corporis super lineam, a puncto signato ad acumen acus protra- ctam: quae quidem linea perpendicularis est super superficiem regulae, quae superficies tangit colu- mnam in linea longitudinis: et est perpendicularis super lineam longitudinis columnae, quae est in superficie regulae: et est linea communis superficiei regulae et superficiei reflexionis: et in superficie re flexionis sunt linea longitudinis et linea perpendicularis. Et si situs uisus mutetur, et circa annuli su perficiem uisus uoluatur: apparebunt sicut prius, et in eadem linea corpus, et imago corporis, et a- cus. Et est linea illa perpendicularis super mediam longitudinis columnae lineam: et haec est per- pendicularis in superficie reflexionis: quoniam superficies annuli secat columnam super circulum, aequidistantem basi columnae: et in hac superficie est uisus. Et nos probabimus postea, quod quan- do uisus, et uisum corpus fuerint in superficie, aequidistante basi columnae, illa est superficies refle- xionis. In hoc autem situ, linea communis superficiei columnae, et superficiei reflexionis, est circu- lus: et perpendicularis, in qua uidetur imago et corpus, orthogonaliter cadunt super lineam, hunc circulum contingentem. His peractis auferatur acus a loco suo, et ponatur regula acuta super li- neam annuli mediam, ita ut cadat super mediam longitudinis regulae lineam, et adhibeatur regula acuta superficiei annuli cera firmiter. Postea auferatur regula, in qua est speculum, et accipiatur regula acuta, et applicetur eius acuitas mediae longitudinis regulae lineae, et secundum processum acuitatis fiat cum incausto super speculum protractio. Post sumatur triangulum cereum modi- cum, cuius unum latus sit aequale altitudini regulae, in qua est speculum, et sit spissitudo huius tri- anguli moderata, et superficies huius trianguli sint planae pro posse: et adhibeatur columnae re- gulae triangulum firmiter sub basi regulae, et latus eius aequale altitudini regulae ponatur super la- tus basis regulae. Cum ita fuerit, erit huius trianguli altitudo super basim columnae aequalem regu lae. Et ut efficiatur superficies plana ad modum superficiei regulae, includatur triangulum inter regulam et superficiem planam, et comprimatur, donec sit bene complanatum, et super superfi- ciem huius trianguli ponatur regula acuta, et secetur finis huius trianguli cum acuitate regulae, et erit finis eius linea recta, et erit linea haec basis regulae, in qua est speculum. Postea ponatur regu- la super superficiem tabulae, quae est in instrumento, et ponatur finis eius basis, quae est in longitu- dine, quae est latus trianguli cerei, super lineam, quę est in longitudine tabulę, sicut factum est prius: et erit superficies regulae, in qua est speculum, orthogonalis super tabulam aeneam: et haec superfi- cies secat tabulam aeneam super lineam, quae est in longitudine eius: et haec superficies tangit su- perficiem speculi super lineam, quae est in superficie speculi: et haec est superficies regulae, in qua est speculum: et erit angulus regulae acutae, adhaerentis in media linea superficiei annuli, in qua super- ficie erit speculum, declinatus in partem, in qua est caput trianguli: quia regula exaltauit unam partem eius cum corpore trianguli, et alia pars, quae est post caput trianguli, est superficies tabulae aeneae: et erit linea, quae est in medietate speculi, declinata. Et quando fuerit latus trianguli cerei su- per lineam, quae est in longitudine aeneae tabulae: mouebitur regula, in qua est speculum: et latus trianguli in hoc motu, si sit super lineam longitudinis tabulę aeneae, et procedat uel retrocedat, do- nec concurrat angulus regulae acutę cum puncto aliquo lineę superficiei speculi, donec firmetur re gula acuta, et auferatur linea in speculo cum incausto facta: et fiat punctum in superficie specu- li in directo capitis regulae acutę, et auferatur regula acuta, et apponatur acus, et sit acus super li- neam mediam superficiei annuli, et adhaerere cogatur cum cera: erit linea intellectualis ab acu in punctum signatum in superficie speculi, perpendicularis super superficiem regulae, quae tangit su- perficiem speculi super punctum signatum, et perpendicularis super quamlibet lineam ab illo pun- cto protractam, in superficiem contingentem speculum. Erit ergo perpendicularis super lineam re- ctam, contingentem lineam communem superficiei altae annuli et superficiei speculi. Ponatur au- tem uisus in superficie annuli, in capite eius, et uidebit in speculo, donec comprehendat formam corporis parui, quod est in acu: et tunc percipiet corpus illud, et punctum in speculo signatum, et imaginem illius corporis. Et linea transiens per corpus paruum, et per punctum in superficie signa- tum, est perpendicularis super superficiem, contingentem speculi superficiem super punctum signa- tum: et haec superficies annuli, est ex superficiebus reflexionis: et corpus paruum, et centrum uisus sunt in hac superficie, et punctus reflexionis est in hac superficie: et haec deinceps probabimus. Et imago corporis parui in hoc situ, erit super lineam rectam, a corpore paruo protractam super su- perficiem, contingentem superficiem speculi: et est haec linea perpendicularis super lineam rectam, contingentem lineam communem superficiei speculi, et superficiei reflexionis, quae est superficies annuli Et superficies reflexionis est ex superficiebus declinantibus, secantibus columnam inter li- neas longitudinis columnae, et circulos eius aequidistantes basibus: quia regula et speculum, quod est in ea, sunt declinata. Linea ergo communis huic superficiei et superficiei speculi, est ex sectio- nibus columnaribus. Et ita explanabimus locum imaginis, ut mutetur situs regulae, in qua est spe- culum et declinetur super superficiem eius aliqua declinatione maiore uel minore. Palam ergo ex his, quod imago percipitur, ubi perpendicularis a uiso puncto ad speculi superficiem ducta, concur rit cum linea reflexionis. Et hic est situs praedictus. Eadem poterit adhiberi operatio in speculo py- ramidali exteriore: et idem patebit siue sint imagines rerum uisarum in sectionibus pyramidalibus, siue in ijs, quae fiunt secundum lineas longitudinis.

5. Rectarum linearum ab eodem uisibilis puncto in specula planum uel conuexum caden- tium: minima est perpendicularis. 21 p 1.

SI a puncto uiso ad speculi superficiem ducantur lineę: quae perpendicularis est, minor est quali bet alia. Quoniam quaelibet alia prius secat communem lineam superficiei contingentis speculum, in quam orthogonaliter cadit perpendicularis, et superficiei reflexionis, antequam ueniat ad spe-

culum: et quaelibet linea a puncto uiso in hac superfi- cie, ad hanc lineam communem ducta, est maior perpendi culari [per 19 p 1] quia maiorem repicit angulum, [rectum nempe a e f in triangulo a e f.] Quare patet propositum.

6. In speculo sphaerico cauo, imago uidetur in concursu perpendicularis incidentiae et lineae refle xionis. 37 p 5.

IN speculis sphaericis concauis comprehendun- tur imagines quaedam ultra speculum: quaedam in superficie: quaedam citra superficiem. Et harum quaedam comprehenduntur in ueritate, quaedam praeter ueritatem. Omnes, quarum comprehenditur ueritas, apparent in loco sectionis perpendicularis et lineae reflexionis: quod sic patebit. Fiat pyramis, et eius axis sit orthogonalis super basim: et diame- ter basis sit minor medietate diametri sphaerae: et li- nea longitudinis pyramidis, sit maior eadem semidia- metro: et secetur ex parte basis, ad quantitatem eius, scilicet semidiametri: et fiat super sectionem circu lus: et secetur pyramis super hunc circulum. Postea in medio speculi fiat circulus ad quantitatem basis py ramidis remanentis: et aptetur huic circulo pyramis, et firmetur cum cera. Deinde statuatur uisus in situ, in quo imaginem pyramidis possit comprehendere: et adhibeatur lux, ut certior fiat com- prehensio: non uidebis quidem pyramidem huic coniunctam, sed comprehendes hanc ultra specu- lum extensam: unde apparebit pyramis quaedam continua, cuius basis ultra speculum est, et pars eius pyramis cerea. Et si in hac pyramide signetur linea longitudinis cum incausto: uidebitur haec linea protendi super superficiem pyramidis apparentis. Et quoniam uertex pyramidis est centrum sphae- rae: linea a uertice secundum longitudinem pyramidis ducta, erit perpendicularis super lineam, con tingentem quemlibet circulum sphaerae, per caput lineae transeuntem [quodlibet enim coni latus ae- quatur semidiametro sphaerae per fabricam: uertex igitur coni est centrum maximi in sphaera circu- li: cuius semidiameter est latus: itaque per 18 p 3 ad lineam tangentem est perpendiculare.] Quare quaelibet linea longitudinis pyramidis apparentis, est perpendicularis super lineam, contingen- tem lineam communem superficiei reflexionis et superficiei sphaerae: quę quidem linea communis est circulus [per 1 th 1 sphae.] et quodlibet punctum pyramidis in hac uidetur perpendiculari: et quae- libet perpendicularis est in superficie reflexionis [per 23 n 4:] quoniam punctum uisum et ima- go eius sunt in perpendiculari, et in hac superficie: et omnis imago comprehenditur in linea re- flexionis [per 21 n 4.] Quare imago cuiuscunque puncti pyramidis, erit in puncto sectionis perpendi- cularis et lineae reflexionis. Puncta autem, quorum imagines citra speculum comprehenduntur, hoc est inter uisum et speculum, sunt, cum a quolibet eorum linea ducta ad centrum speculi, secat la titudinem uiae inter uisum et speculum interiacentis. Et ut uideatur hoc: auferatur pyramis a me- dio speculi: et collocetur in parte, erit uertex centrum speculi: et remotio uisus sit maior semidiame tro sphaerae. Deinde sumatur lignum gracile album, et statuatur in speculo, ut sit centrum speculi directe medium inter caput ligni et centrum uisus, et dirigatur intuitus in punctum speculi, a quo linea ad uerticem pyramidis ducta, sit inter caput ligni et uisum: et apparebit forma capitis ligni ci- tra speculum, et propinquior uisui uertice pyramidis: et erunt in eadem linea recta, uertex pyrami- dis, et caput ligni, et imago capitis. Et haec linea est perpendicularis super lineam, contingentem lineam communem superficiei speculi et superficiei reflexionis [per 25 n 4:] quoniam superficies reflexionis transit per centrum et punctum uisus. Et linea transiens per haec duo puncta, est in superficie reflexionis. Et linea communis est circulus: et haec linea huic circulo erit diameter: quoniam centrum illius circuli, est centrum sphaerae. Quare erit haec linea perpendicularis super lineam, contingentem circulum in capite huius lineae [per 18 p 3:] et haec linea transit per punctum uisum, et eius imaginem. Et ita quodlibet punctum citra speculum uisum, comprehenditur in eadem li- nea cum centro et cum imagine eius: et quodlibet punctum uidetur in linea reflexionis [per 21 n 4.] Quare in loco sectionis perpendicularis et linea reflexionis. Et ea, quorum ueritas in his spe- culis comprehenditur, sunt, quorum imagines apparent ultra speculum uel citra superficiem eius: et praeter haec, nulla sunt, quae in hoc speculo in ueritate comprehendat uisus, ipsa enim prohibent imagines suas ueras apparere. Imagines, quae apparent in superficie huius speculi, sunt ex ultima partitione: et haec explanabimus, cum erit sermo de erroribus uisus. Quodlibet ergo punctum in ueritate in hoc speculo comprehensum, apparet in concursu perpendicularis et lineae reflexionis: quae quidem perpendicularis transit a puncto uiso ad centrum sphaerae, et cadit orthogonaliter in contingentem, lineam communem.

7. In speculis cauis cylindraceo, conico, imago uidetur in concursu perpendicularis inciden- tiae et lineae reflexionis. 37 p 5.

IN speculis columnaribus concauis diuersificatur imago: aliquando enim erit locus eius in su- perficie speculi: aliquando ultra: et in his omnibus aliquando in ueritate comprehendetur: ali- quando non. Cum uolueris in his locum imaginis percipere: facias, sicut fecisti in columnari- bus exterioribus. Adhibeatur enim regula, in qua sit columna concaua, sicut adhibita est superius, et acus similiter, et corpus modicum, in summitate acus: et ponatur uisus oppositus in medio cir- culi, et in medio superficiei annuli: et subleuetur uisus modicum a superficie annuli: et inspiciat, donec imaginem corporis uideat, et comprehendat formam corporis, et corpus, et punctum in spe culo, signatum in eadem linea perpendiculari, super superficiem speculi: et hoc per syllogismum sen sualem. Et erit imago ultra speculum, et erit reflexio ex puncto lineae rectae, quae est in medio spe- culi. Deinde statuatur uisus in superficie annuli, sed extra medium, donec uideat imaginem cor- poris parui: uidebit quidem eam citra speculum: et uidebit corpus, et eius imaginem, et punctum in speculo signatum, in una linea recta perpendiculari, super lineam rectam contingentem circu- lum aequidistantem basi speculi, super punctum signatum in speculi superficie: et superficies huius, est superficies reflexionis in hoc situ: et est superficies faciei annuli: et punctum reflexionis est pun- ctum illius circuli. Postea adhibeatur cum manu alia acus, in cuius summitate sit corpus modicum: et statuatur in superficiem et axem, hoc modo, ut corpus, et punctum signatum sint in eadem li- nea, secundum sensualem syllogismum: et sit uisus in superficie annuli, inter caput eius et medium: uidebit quidem imaginem corporis, et uidebit hanc imaginem et corpus eius, et punctum signa- tum in superficie speculi, in eadem linea recta. Si autem declinetur linea recta cum triangulo par- uo, quod fecimus, et sit uisus in medio annuli: uidebit imaginem citra speculum, sed in eadem linea recta cum corpore, et puncto signato. Et haec reflexio erit ex columnaribus sectionibus: quoniam speculum est declinatum: et scimus [e 21 n 4] quod non percipitur imago, nisi in linea reflexio- nis. Palam ergo, quod locus imaginis est, ubi secat perpendicularis praedictam lineam reflexio- nis, cum comprehenditur ueritas. Et licet non comprehendatur certitudo imaginis, tamen erit modus harum imaginum cum ueritatis imaginibus. Pari modo uidere poteris imaginem in py- ramidalibus concauis in concursu perpendicularis cum linea reflexionis. Palam ergo, quod in o- mnibus speculis comprehenduntur imagines in loco praedicto: qui quidem locus similiter dicitur imaginis locus.

8. Imago in quocunque speculo, uidetur in concursu perpendicularis incidentiae et lineae refle- xionis. 37 p 5.

QVare autem comprehendantur res uisae per reflexionem in locis imaginum: et quare ima- go sit super perpendicularem a re uisa in speculi superficiem, declarabimus caussam. Visus cum acquirit formam per reflexionem, acquirit eam statim sine certitudine, et acquirit longi- tudinem per aestimationem, et hanc longitudinem comprehendet forsitan in ueritate, per diligentiam intui- tus adhibitam, forsitan non. Et istud explanauimus in libro secundo [24. 25. 38. 39 n:] et ibi dictum est, quod uisus acquirit longitudinem per syllogismum ex magnitudine corporis, et angulo aliquo, sub quo comprehenditur magnitudo. Et acquisitio rei uisae notae manifesta est in hunc modum. Res etiam ignotae comprehenduntur in hunc modum: conferuntur enim rebus cognitis et magnitudinibus uel longitudinibus notis. Cum uisus comprehendit rem aliquam per reflexionem: non compre- hendit longitudinem imaginis, nisi per aestimationem: deinde adhibita diligentia, acquirit longitu- dinem, et uerificat per syllogismum ex magnitudine rei uisae et angulo pyramidis, super quam for- ma reflectitur ad uisum. Cum ergo res uisa ex rebus notis fuerit, uisus acquirit eius longitudinem per iam notam longitudinem angulum aequalem huic tenentem, et huic longitudini similem. Simi- liter res uisa cum fuerit ignota, confertur magnitudo eius alij magnitudini rerum uisarum nota- rum, et acquiritur longitudo eius imaginis per syllogismum mensurae anguli, quem tenet imago in centro uisus, in hora reflexionis. Et a loco, in quo est forma rei uisae comprehensa per reflexionem, forma directe ueniens ad angulum circa oculum, accedit super pyramidem ipsam, per quam for- ma reflectitur ad uisum: et eadem pyramis occupabit totam formam, quae fuerit in loco imaginis. Visus ergo cum acquirit rem uisam per reflexionem: acquirit eam in loco imaginis: quoniam for- ma comprehensa est in loco imaginis per reflexionem. Quare similis est formae directe comprehen sae, occupatae ab illa pyramide. Et haec est causa, quare comprehendatur in loco imaginis.

9. Imago in speculo plano uidetur in perpendiculari incidentiae. 36 p 5.

QVare autem comprehendatur imago in perpendiculari, dicemus. Scimus [per 16 n 4] quod punctum uisui perceptibile, non est intellectuale, sed sensuale, et forma eius sensualis. Dico igitur in speculis planis, quod cum imago non appareat in superficie speculi, sed ultra: com- petentius est, et rationabilius, ut appareat supra perpendicularem, quam extra eam. Cum enim in

loco perpendicularis assignata fuerit distantia eius a puncto refle- xionis speculi, quae scilicet est pars lineae reflexionis, a loco imaginis ad punctum reflexionis ductae: erit aequalis distantiae puncti uisi a puncto reflexionis. Quia enim superficies speculi est orthogonalis super perpendicularem, [per thesin] et linea a puncto reflexionis ad perpendicularem ducta est latus duobus triangulis commune, et angulus lineae accessus est aequalis angulo reflexionis [per 10 n 4, et angulus f c d aequatur angulo e c b per 15 p 1: ideoque angulo a c b] quare duo anguli unius trianguli sunt aequales duobus angulis al- terius trianguli [anguli enim ad b recti sunt per thesin et 3 d 11] et u- num latus commune est: quare [per 26 p 1] reliqua latera aequalia sunt reliquis lateribus. Si ergo imago in perpendiculari apparuerit: aequaliter a speculo distabit cum corpore a quo procedit: et erit ima gini idem situs, respectu puncti reflexionis, qui est in puncto uiso, respectu puncti eiusdem: et idem est situs, respectu uisus. Vnde in hoc situ apparebit ueritas et puncti uisi, et imaginis. Si uero imago fuerit extra perpendicularem, cum fuerit necesse eam in linea reflexionis esse, [per 2 n 4] aut erit ultra perpendicularem, aut citra, respectu uisus. Si fuerit ultra: erit quidem remotior a puncto reflexionis, et a uisu, quam punctum uisum, unde tenebit minorem angulum in ocu lo, quam punctum uisum, et minorem occupabit uisus partem: unde cum sit aequalis, uidebitur mi- nor eo. Si autem fuerit citra perpendicularem, uidebitur maior, cum sit propinquior.

10. Imago in speculis conuexis, cauis: sphaerico, cylindraceo, conico uidetur in perpendiculari incidentiae. 36 p 5.

IN speculo sphaerico extra polito uidetur imago super perpendicularem. Aut enim uidetur ima- go centri uisus: aut alterius puncti. Si imago centri uisus: dico, quod dignior est perpendicula- ris ab oculo ad centrum sphaerae ducta, ut super eam appareat imago centri uisus, quam alia. Si enim forma directe procedat secundum hanc perpendicularem usque ad centrum sphaerae, eun- dem semper seruabit situm, respectu uisus: et ita cuicunque puncto sphaerae opponatur forma: per- pendicularis ad centrum mota, identitatem situs tenebit, respectu uisus: et idem erit situs for- mae in una perpendiculari, quae et in alia: quoniam centrum sphaerae eundem habet situm, respe- ctu cuiuslibet puncti sphaerae, et omnes huiusmodi perpendiculares eiusdem sunt situs. Si autem extra perpendicularem imago moueatur, ad quodcunque punctum sphaerae mutabitur situs e- ius, respectu uisus: quoniam alium habebit situm extra perpendicularem, quam in perpendicu- lari, et extra speculum mouebitur perpendicularis, et non intra: et si extra speculum appareat, non seruabit situm. Et conuenientius fuit, ut seruaret situm imago, quam ut mutaret, ut uisus rem uisam certius comprehenderet. Ob hoc imago centri uisus super perpendicularem apparet. Et huic imagini non possumus certum assignare in perpendiculari punctum: quoniam non inueni- tur dignitas in uno perpendicularis puncto maior, quam in alio, ut haec imago determinate appa- reat in eo: sed scimus, quod in quocunque puncto huius perpendicularis appareat, semper appa- ret continua eum apparente oculo: et semper in totali forma apparente eundem tenet locum et si- tum. Cuiuscunque uero puncti imago, praeter centrum uisus, ad speculum accedit, mouetur declinate: quare non durat ei similitudo situs, respectu uisus: et perpendicularis a puncto uiso ad speculum ducta, cadit super centrum sphęrę: in qua quidem perpendiculari obseruat imago similitudinem situs. Non est ergo punctum, in quo comprehensa imago seruet similitudinem situs, nisi in perpendiculari illa. Et cum opor- teat ipsam comprehendi in linea reflexionis, [per 21 n 4] comprehendetur in concursu huius lineae cum hac perpendiculari. Iam ergo assignauimus caussam huius rei. Verum rerum naturalium status respicit situs suorum principiorum, et principia rerum naturalium sunt occulta. Idem erit modus proba tionis in speculo sphaerico concauo. Similiter in pyramidali concauo, uel extra polito. Et uniuersali ter erit locus imaginis in perpendiculari in quocunque speculo: quoniam non est locus extra perpen pendicularem, in quo forma obseruet similitudinem situs et identitatem. His explanatis restat de- monstratiue declarare locum imaginis, in qualibet speculorum specie. Dicimus ergo, quod linea, per quam reflectitur forma puncti cuiuslibet comprehensi a uisu in speculo plano, quando ipsum e- gressum est a perpendiculari, quae a centro uisus cadit in superficiem speculi plani: concurret cum perpendiculari, producta ab illo puncto ad superficiem speculi: et erit punctum concursus (qui est locus imaginis) ultra speculum: et erit longitudo illius a superficie speculi, aequalis longitudini pun cti uisi a superficie speculi: et uisus non acquirit imaginem puncti uisi, nisi in loco illo. Et quodcunque punctum acquirit uisus in hoc speculo: non apparebit ex eo, nisi unica imago. Quodcunque autem pun ctum comprehendit uisus in speculo sphaerico extra polito, quando egreditur forma a perpendicu- lari, ducta a centro uisus ad centrum speculi: linea, per quam reflectitur imago ad oculum, concurret cum linea producta a puncto illo ad centrum speculi: quae linea est perpendicularis, ducta a puncto illo orthogonaliter super lineam, contingentem lineam communem superficiei reflexionis, et superficiei speculi. Et situs puncti concursus, qui est locus imaginis, a superficie speculi erit secundum situm ui- sus a superficie speculi. Et forsitan erit punctum concursus ultra speculum, forsitan in superficie spe culi, forsitan intra speculum. Et uisus comprehendit imagines omnes ultra speculum, licet diuersa sint earum loca: et non comprehendit locum cuiuslibet imaginis, nisi syllogistice in superficie spe- culi. Et quodlibet punctum comprehensum in hoc speculo, non praetendit, nisi unam imaginem. In speculo columnari extra polito, et pyramidali extra polito, quodcunque punctum comprehendit ui- sus, cum fuerit extra perpendicularem, ductam a centro uisus, orthogonalem super superficiem con tingentem superficiem speculi: linea, per quam reflectitur forma ad uisum, concurret cum perpendi culari, ducta ab illo puncto super rectam lineam, contingentem lineam communem superficiei re- flexionis, et speculi. Et loca imaginum horum speculorum quaedam sunt ultra superficiem speculi: quaedam in superficie: quaedam citra. Et uisus acquirit omnes imagines horum speculorum ultra su perficiem speculi. Et quodcunque punctum comprehendit uisus in his speculis, non efficit, nisi unam imaginem tantum. In speculo sphaerico concauo lineae, per quas reflectuntur formae punctorum uiso- rum: quaedam concurrunt cum perpendicularibus, ductis a punctis illis super lineas, contingentes lineas communes superficiei speculi et superficiei reflexionis: quaedam sunt aequidistantes his per- pendicularibus. Et earum, quae concurrunt cum perpendicularibus, quaedam habent locum con- cursus (qui est locus imaginis) ultra speculum: quaedam citra speculum. Et quae citra speculum ha- bent: quaedam inter uisum et speculum: quaedam super ipsum centrum uisus: quaedam ultra centrum uisus. Et uisus quasdam formarum rerum uisarum, quas acquirit in his speculis, comprehendit in lo co imaginis, qui est punctum concursus: et hae sunt, quas uisus certo comprehendit: quasdam com- prehendit extra locum concursus: et est comprehensio sine certitudine. Et res uisae, quas acquirit ui sus in hoc speculo, quaedam unam prae se ferunt imaginem tantum: quaedam duas: quaedam tres: quaedam quatuor. Nec potest esse, quod una res praetendat plures. In speculo pyramidali concauo et co lumnari concauo lineae, per quas reflectuntur formae ad uisum: quaedam concurrunt cum perpendi cularibus, ductis a punctis uisis super lineas, contingentes lineas communes: et quaedam sunt aequi distantes perpendicularibus. Quae concurrunt cum perpendicularibus: quaedam habent concur- sum ultra speculum: quaedam citra. Quae autem citraquaedam inter speculum et uisum: quaedam su per centrum uisus: quaedam ultra centrum uisus. Et comprehensio rerum uisarum in hoc speculo per uisum, quaedam fit in loco imaginis (qui est locus concursus) quaedam extra locum concursus. Et eorum, quae comprehenduntur, aliud praetendit unam imaginem tantum: aliud duas: aliud tres: aliud quatuor. Nec aliquod est, quod possit praetendere plures, quam quatuor. Et nos declarabi- mus haec omnia demonstratiue.

11. Visibile et imago a speculi plani superficie in oppositas partes aequabiliter distant. 49 p 5.

SIt a punctum uisum: b centrum uisus: c d e speculum planum: et sit d punctum reflexionis: c d e linea communis superficiei reflexionis et superficiei speculi. A puncto d ducatur d f perpendi- cularis super lineam communem: [per 11 p 1] et a puncto a ducatur perpendicularis super speculi su perficiem, [per 11 p 11] quae sit a c, et producatur ultra speculum: et a d sit linea, per quam forma accedit ad speculum: b d, per quam reflectitur ad uisum. Igitur b d, f d, a d, sunt in superficie reflexionis [per 23 n 4.] Et cum f d sit aequidistans a c [per 28 p 1: quia cum a c sit perpendicularis superficiei speculi per fabricationem: erit perpendicularis lineę c d e per 3 d 11] et [per 13 p 1] d b declinata sit super f d, concurret [per lemma Procli ad 29 p 1] b d cum a c. Concurrat ergo in puncto g. Dico: quod g c est aequalis c a. Quoniam eni- angulus b d e aequalis est angulo a d c [per 10 n 4, et per 15 p 1 angulus b d c aequalis angulo g d c: er- go per 1 ax: angulus a d c aequatur angulo g d c] et angulus a c d ae- qualis angulo g c d [per 10 ax:] et latus c d commune. Quare [per 26 p 1] triangulum aequale triangulo. Quare g c aequalis a c.

12. Visu et uisibili datis, in speculo plano punctum reflexionis inuenire. 46 p 5.

ET si uoluerimus per perpendicularem inuenire locum reflexio nis: secetur ex perpendiculari ultra speculum pars, aequalis par ti eius usque ad speculum: et est, ut sit g c aequalis a c: et ducatur li nea a centro uisus ad punctum g, quae sit b d g. Dico, quod d, est punc- ctum reflexionis. Quoniam enim [per fabricationem et 2 ax:] a c et c d sunt aequalia c g et c d, et angulus angulo [a c d ipsi g c d per thesin et 10 ax.] Ergo [per 4 p 1] triangulum triangulo Igitur angulus g d c est aequalis angulo a d c: Sed g d c est aequalis angulo b d e [per 15 p 1] restat ergo [per 1 ax] ut angulus b d c sit aequalis angulo a d c. Et ita [per 10 n 4] d est punctum reflexionis: et ita patet propositum.

13. Si recta linea ab uno uisu sit perpendicularis speculo plano, unum ipsius punctum, in quo uisus superficiem secat, ab uno speculi puncto, in quod cadit, ad eundem uisum reflectetur. 32 p 5.

SIt a centrum uisus: et a g perpendicularis super speculum planum: et d secet hanc perpendicularem in superficie oculi. Dico, quod in hac perpendiculari non est punctum, quod reflectatur ab hoc spe- culo ad uisum, praeter d. Sin autem: sumatur ultra uisum punctum in hac perpendiculari: et sit

h: Non iam perueniet forma eius ad speculum super perpendicularem a h, propter solidi corporis inter- positionem: et ita non reflectetur forma eius super perpendicularem. Et si dicatur, quod ab alio puncto speculi possit reflecti: sit illud b. Mouebitur quidem forma eius ad punctum b per lineam h b: et reflectetur per lineam b a. Diuidatur angulus h b a [per 9 p 1] per ęqualia, per lineam t b. Igitur erit perpendicularis super superficiem speculi. [Quia enim angulus h b c aequatur angulo a b g per thesin et 10 n 4, et h b t ipsi a b t per fabricationem: totus t b c aequabitur toti t b g quare per 10 d 1 t b est perpendicularis ipsi g c com muni sectioni superficierum reflexionis et speculi. Itaque cum reflexionis superficies, in qua est t b, sit per pendicularis superficiei speculi per 13 n 4: erit t b perpendicularis superficiei speculi per conuersam 4 d 11] sed [per hypothesin] t g est perpendicularis super eandem. Quare ab eodem puncto est ducere duas per pendiculares ad superficiem speculi, quod est im- possibile: [sic enim tres interiores anguli triangu- li essent maiores duobus rectis, contra 32 p 1.] Eadem erit probatio, quod forma puncti d non potest refle cti ab alio speculi puncto, quam a puncto g. Quare non reflectitur, nisi super perpendicularem d g. Pun ctum autem in hac perpendiculari sumptum inter g et d: si dicatur formam per reflexionem ad uisum mit- tere: improbo. Quoniam aut erit corpus solidum, aut rarum. Si solidum, procedet secundum perpendi- cularem forma eius ad speculum, et regredietur secundum eandem usque ad ipsum, [per 11 n 4] et pro- pter soliditatem non poterit transire, et ad uisum peruenire. Si autem punctum illud fuerit rarum: forma eius regrediens a speculo super perpendicularem miscebitur ei, et adhaerebit, nec reflectetur ad uisum. Quod autem forma cuiuscunque puncti in hac perpendiculari inter g et d sumpti non possit ab alio puncto speculi ad uisum reflecti, modo supra dicto potest probari. Similiter forma puncti inter a et d sumpti non reflectitur ad uisum per perpendicularem, nec per aliam. Quoniam puncta inter centrum uisus et superficiem eius interposita sunt ualde rara. Vnde nec mittitur eorum forma, nec reflecti- tur, ut sentiatur. Et quoniam quodlibet punctum, praeter d in superficie uisus sumptum: opponitur speculo, non ad rectum angulum, uidebitur quodlibet super perpendicularem ab eo ad speculum ductam, et imago eius ultra speculum aeque distans a superficie, sicut ipsum punctum [per 11 n.] Et quoniam d uidetur continuum cum alijs superficiei uisus punctis, et imago eius continua cum alijs imaginibus: uidebitur imago d tantum distans a superficiei speculi, quantum distat d ab eadem. Pa- lam ergo, quod cuiuscunque puncti in speculo uisi imago uidebitur super perpendicularem: et elon- gatio imaginis, et uisi corporis a superficie speculi est eadem.

14. Ab uno speculi plani puncto, unum uisibilis punctum ad unum uisum reflectitur. 45 p 5.

AMplius: forma puncti uisi in speculo plano non reflectitur ad eundem uisum, nisi ab uno pun-

cto tantum. Sit enim a centrum uisus: b pun ctum uisum: z h speculum. Si ergo dicatur, quod a duobus punctis speculi reflectatur forma b ad uisum a: sit unum punctum d, aliud e: et ducatur linea a puncto uiso ad uisum, scilicet b a: quae quidem linea aut erit perpendicularis supra speculum: aut non. [Siquidem cum speculi superficie concurrit. Nam cum sit in plano lineae h z per 23 n 4: h necessario uel ad ipsam parallela est, uel concurrit.] Si non fuerit per pendicularis, scimus, quod illa linea est in superficie reflexionis orthogonali super superficiem speculi [quia connectit duo puncta a et b, quae per 23 n 4 sunt in reflexionis superficie, perpendiculari ad speculi su- perficiem, per 13 n 4:] et in una sola tali. Quoniam si in duabus: erit communis duabus superficiebus ortho gonalibus: et sumpto in ea puncto, et ducta ab illo linea in alteram superficierum, super lineam, com- munem huic superficiei et superficiei speculi, erit [per 19 p 11] haec linea orthogonalis super speculum. Similiter ab eodem puncto ducatur linea in alia superficie super lineam, communem huic superficiei et superficiei speculi: erit hęc linea ortho- gonalis super speculum. Quare ab eodem puncto erit ducere duas perpendiculares ad superficiem speculi [et sic connexis per rectam lineam perpendicularium duarum terminis: erunt ipsae ad con- nectentem perpendiculares, per 3 d 11: itaque in triangulo rectilineo erunt duo anguli recti, con- tra 32 p 1.] Cum ergo b a sit in una sola superficie orthogonali: et tria puncta a, b, e sint in eadem su- perficie orthogonali [per 23 n 4] erunt a e, e b in illa superficie orthogonali: similiter [per 2 p 11] e d, d b, d a. Quare e a, e b sunt in eadem superficie cum d a, d b: sed angulus a e h est aequalis angu- lo b e d, [per 10 n 4 ] et angulus a e h maior angulo a d e, [per 16 p 1] quia exterior. Quare b e d ma ior a d e. Sed b d z aequalis a d e [per 10 n 4, et per 16 p 1 b d z maior b e d.] Quare a d e maior b e d: et dictum est, quod minor. Restat ergo, ut a solo puncto fiat reflexio. Si uero a b sit perpendicularis super speculum: iam dictum est, [13 n] quod unicum est punctum in linea, a centro uisus ad specu lum orthogonaliter ducta, cuius forma reflectitur a speculo ad uisum. Et iam probatum est, quod imago illius puncti ab uno solo reflectitur puncto. Quare patet propositum.

15. In speculo plano, imago unius puncti, una, et uno eodemque in loco ab utroque uisu uide- tur. 51 p 5.

AMplius: inspecto aliquo puncto ab utroque uisu: una tantum et eadem imago apparet u- trique uisui et in loco praedicto. Vnde planum est, quod forma puncti non reflectitur ad u- trumque uisum ab eodem puncto speculi. Quia enim linea reflexionis ad unum uisum pro- cedens, angulum tenet cum perpendiculari erecta super superficiem speculi, aequalem angulo, quo tenet linea accessus formae ad speculum cum eadem perpendiculari [per 10 n 4:] non poterit in eadem superficie sumi alia linea, quae aequalem angulum huic efficiat cum perpendiculari [secus

pars aequaretur toti, contra 9 ax:] Vnde ab hoc puncto non reflectetur linea aliqua ad alterum ui- sum. Oportet ergo ut a diuersis punctis speculi fiat reflexio. Sint illa puncta t, z: et sit speculum pla- num q e: punctum uisum a: duo uisus b, g: perpendicularis a d. Palam ergo [per 23 n 4] quod b t, a t, a d sunt in eadem superficie orthogonali super superficiem speculi. Similiter g z, a z, a d sunt in eadem superficie orthogonali: et linea d t communis superficiei a d t b et superficiei speculi: et d z

linea communis superficiei a d z g et superficiei speculi. Si iam b t, g z fuerint in eadem superficie orthogonali, erit [per 3 p 11] t d z linea una recta: et perpendicula- ris a d aut erit inter duas perpendiculares productas ad superficiem speculi a duobus uisibus: aut extra. Vtrumlibet sit: linea b t secabit ex perpendiculari a d ultra speculum partem, aequalem parti, quae est a d [per 11 n.] Similiter g z secabit ex eadem perpendiculari partem ultra speculum, aequalem illi parti. Illae igitur duae lineae reflexionis secabunt perpendicularem ultra speculum in eodem puncto. Ergo imago puncti a in eodem perpendicularis puncto percipietur ab u- troque uisu. Quare unica tantum erit imago et eadem: et in eodem loco: quae esset uno tantum uisu adhibito. Si uero puncta t, z non fuerint in eadem superficie reflexionis orthogonali super speculum: eadem tamen erit probatio: quod utraque linea reflexionis secet ex perpendiculari partem, aequalem parti superiori: et erit sectio linearum reflexionis cum perpendiculari in eodem puncto. Quare patet pro- positum. Si uero fuerit punctum a in perpendiculari ducta ab uno uisu ad superficiem speculi tantum, secundum eundem uisum com- prehendetur [per 11 n 4] ultra speculum in puncto perpendicularis, tantum elongato a superficie speculi, quantum distat a ab eadem [ per 11 n.] Quia forma a uidetur continua cum formis aliorum punctorum, quae quidem uidentur in locis similibus: et ab alio uisu comprehendetur imago a in eodem perpendicularis puncto. Quare et sic utrique uisui unica tantum apparet imago puncti a, et in eodem eiusdem perpendicularis puncto. Quod est propositum.

16. In speculo sphaerico conuexo linea reflexionis et perpendicularis incidentiae concurrunt: et imago uidetur in ipsarum concursu. 9. 11 p 6. Idem 3 n.

IN speculis sphaericis extra politis patebit, quod diximus. Sit punctum uisum: b centrum uisus: g punctum reflexionis. Palam [per 23. 13 n 4] quod b g, a g sunt in eadem superficie orthogona-

li super superficiem sphaeram contingentem in puncto g: linea com munis superficiei reflexionis et superficiei sphaerae est circumferen- tia [per 1 th 1 sphaer: uel 25. uel 45 n 4] et sit z g q. Linea contingens hunc circulum in puncto reflexionis sit p g e: perpendicularis super hanc lineam sit h g: planum, quod h g perueniet ad centrum sphaerae. Quod si non: cum linea a centro sphaerae ducta ad punctum g, sit e- tiam perpendicularis super lineam p g e [per 25 n 4 et d 11:] erit ab eodem puncto in eandem partem ducere duas lineas perpendicula- res super unam lineam [et sic pars aequaretur toti, contra 9 ax.] Sit autem centrum sphaerae n: et ducatur linea a puncto uiso ad centrum sphaerae, scilicet a n: quae quidem erit perpendicularis super superfi- ciem, contingentem sphaeram in puncto sphaerae, per quod transit [per 25 n 4.] Et quoniam planum est, quod b g secat sphęram: cum sit inter h g, g p, quae continent rectum angulum: concurret cum li- nea a n: Et cum perpendicularis h g sit in superficie reflexionis [per 23 n 4] erit centrum sphaerae in eadem [per 1 p 11: quia h g continuata cadit in n centrum sphaerae, ut patuit] et ita a n in eadem superficie cum h g. Sit ergo concursus b g cum a n, punctum d. Planum [per 3 n] quod d erit locus imaginis. Et haec quidem intelligenda sunt, quan- do linea ducta a puncto uiso ad centrum uisus, non fuerit perpendi- cularis super speculum [uisu enim et uisibili in recta linea perpendiculari super speculum colloca- tis, reflexio fit per eandem perpendicularem, per 11 n 4.]

17. Finis contingentiae in speculo sphaerico, est concursus rectae speculum in reflexionis puncto tangentis, cum perpendiculari incidentiae uel reflexionis. Et recta a centro speculi sphaerici conuexi ad imaginem, maior est recta ab imagine ad reflexionis punctum ducta. In def. 13 p 6.

AMplius: linea p g e secat lineam a n: sit punctum sectionis e: et dicitur punctum istud finis contingentiae. Dico, quod in hoc situ linea a centro sphaerae ad locum imaginis ducta, ma- ior est linea, a loco imaginis ducta ad locum reflexionis, id est d n maior d g. Quoniam e- nim angulus b g h est aequalis angulo h g a [ut demonstratum est 13 n] sed [per 15 p 1] angulus b g h aequalis est angulo n g d: ergo [per 1 ax] angulus h g a aequalis est eidem: et e g perpendicu- laris super h g n [per fabricationem.] Quare [per 3 ax] angulus a gangulus a g e aequalis est angulo e g d. Igi- tur [per 3 p 6,] proportio a g ad g d, sicut a e ad e d. Protrahatur a puncto a aequidistans ipsi d g [per 31 p 1] et concurrat cum linea h n in puncto h [concurret autem per lemma Procli ad 29 p 1.]

Erit igitur [per 29 p 1] angulus n g d aequalis angulo g h a: sed an- gulus n g d aequalis est angulo a g h [ergo per 1 ax angulus g h a aequalis est angulo a g h. ] Quare [per 6 p 1] duo latera a g, h a sunt aequalia. Igitur [per 7 p 5] proportio a h ad g d, sicut a g ad eandem. Sed proportio a h ad g d, sicut a n ad d n [per 4 p 6: sunt enim triangula a h n, d g n aequiangula per 29 p 1, et quia an- gulus ad n communis est utrique triangulo.] Quare [per 11 p 5] a n ad d n, sicut a g ad g d: Igitur [per 16 p 5] proportio a n ad a g: sicut d n ad d g: Sed a n est maior a g: [per 19 p 1] quia respicit angulum maiorem recto in triangulo a g n [rectus enim est, ut pa- tuis, e g n.] Igitur d n maior d g: quod est propositum.

18. Si in speculo sphaerico conuexo perpendicularis incidentiae secetur a lineis reflexionis:lineis: reflexionis, et speculum in reflexionis puncto tan- gente: erit, ut tota perpendicularis ad inferum segmentum: sic su- perum ad intermedium. Et pars perpendicularis inter punctum contingentiae, et peripheriam, communem sectionem superficie- rum reflexionis, et speculi, erit minor eiusdem peripheriae semidia metro. 12. 14 p 6.

AMplius: dico quod linea ducta a fine contingentiae, qui est e, usque ad sphaeram perpendicu lariter, id est e f, pars lineae e n minor est semidiametro. Sit f punctum, in quo a n secat su-

perficiem sphaerae. Dico ergo, quod e f minor est n f. Quo- niam ut dictum est [proximo numero] proportio a g ad g d, sicut a e ad e d: sed a n ad d n, sicut a g ad g d: Igitur [per 11 p 5] a n ad d n, sicut a e ad e d: Igitur [per 16 p 5] a n ad a e, sicut d n ad d e: sed [per 9 ax] a n maior a e. Quare d n maior d e: quare d n maior d f: quare n f maior e f: quod est propositum.

19. Si recta linea ab uno uisu sit perpendicularis speculo sphae- rico conuexo: unum ipsius punctum, in quo uisus superficiem se- cat, ab uno speculi puncto, in quod cadit, ad eundem uisum refle- ctetur. 10 p 6.

AMplius: sit g centrum uisus: d centrum sphaerae: d z g per- pendicularis a centro uisus ad sphaeram. Dico, quod nullius puncti forma reflectitur per hanc perpendicularem, nisi pun- cti eius, quod est in superficie uisus. Punctorum enim formae post centrum uisus sumptorum non reflectuntur per eam, propter caus- sam supradictam [13 n.] Similiter nec puncta inter superficiem ui- sus et speculum sumpta. Dico etiam, quod nullum punctum huius perpendicularis reflectitur ab alio puncto speculi. Si enim dicatur,

quod ab alio puncto: sit illud punctum a: erit linea g a linea reflexionis: et a puncto illo in- telligamus lineam ad a, quae est linea, per quam mouetur forma: et includunt hae duae lineae angulum super a: quem quidem angulum ne- cessario diuidet per aequalia diameter d a, cum sit perpendicularis super punctum a. Quia per- pendicularis diuidit angulum ex linea motus formę et linea reflexionis, per ęqua [per 13 n 4.] Et ita diameter d a concurret cum perpendicu lari g d, inter punctum sumptum et g. Et ita duae lineae rectae in duobus punctis concur- rent, et superficiem includent [contra 12 ax:] Restat ergo, ut solius puncti, quod est in superficie uisus, forma reflectatur a speculo per perpendicularem, et uideatur in proprio imaginis loco, pro- pter eius cum alijs punctis continuitatem.

20. Si pars lineae reflexionis, intra peripheriam circuli (qui est communis sectio superficie- rum reflexionis et speculi sphaerici conuexi) continuatae, aequetur semidiametro eiusdem peri- pheriae: imago intra speculum uidebitur. 24 p 6.

AMplius: g a, g b sint lineae a centro uisus ductae, contingentes sphaeram: et signetur circulu, su per quem superficies his lineis inclusa secat sphaeram: erit [per 25 n 4] a b portio apparens ex

hoc circulo. Dico ergo, quod loca imaginum, quae per reflexiones ab hac portione factas compre- henduntur: quaedam sunt intra speculum: quędam in su perficie speculi: quędam extra speculum. Et unumquod- que horum est determinandum. Ducatur a puncto g li- nea secans circulum, et pars eius, quae est chorda arcus circuli, sit aequalis semidiametro circuli [id quod per 1 p 4 fieri potest:] sit linea illa g h k: et chorda aequalis semidiametro sit h k: et producatur a puncto h perpen- dicularis, quae sit d h m. Dico, quod formae reflexę a pun cto h locus est intra sphęram. Ducatur [per 23 p 1] a pun cto h linea aequalem tenens angulum cum m h, angulo m h g: et sit p h: reflectentur quidem puncta huius lineae a puncto h ad uisum g, et non alterius [per 12 n 4.] Suma tur ergo aliquod eius punctum: et sit p: et ducatur ab eo linea ad centrum sphaerę quę sit p d: erit [ut demonstra tum est 25 n 4] p d perpendicularis super superficiem, contingentem sphaeram super punctum eius, per quod transit p d: et coniungatur d k. Verum angulus p h m est aequalis angulo m h g [ex fabricatione.] Quare [per 15 p 1] similiter aequalis est angulo contraposito k h d: sed [per hypothesim et 5 p 1] k h d est equalis k d h: quoni- am respiciunt aequalia latera: Igitur [per 1 ax:] angulus p h m aequalis est angulo k d m. Quare [per 28 p 1] lineę k d, p h sunt ęquidistantes: ergo [per 35 def 1] in infi- nitum productę nunquam concurrent: et linea p d seca- bit lineam, interiacentem inter k d, et p h [quia secat an- gulum h d k ipsi h k subtensum.] Et ita quodcunque pun- ctum sumatur in linea p h: linea ducta ab illo puncto, ad punctum d, secabit lineam reflexionis intra sphęram: quę quidem linea perpendicularis erit super sphęram [per 25 n 4] sicut est p d. Quare imago cuiuscunque puncti lineę p h apparebit intra sphę ram [per 3 n.]

21. Si reflexio fiat a peripheria circuli (qui est communis sectio superficierum, reflexionis et speculi sphaerici conuexi) inter rectam a uisu ad speculi centrum ductam, et lineam reflexionis, aequantem partem suam intra peripheriam, eiusdem semidiametro: imago intra speculum ui- debitur. 25 p 6.

AMplius: arcus circuli interiacens inter punctum h, et punctum, per quod transit perpendi-

cularis a centro uisus ducta: esto h z. Dico, quod a quocunque puncto huius arcus fiat reflexio: lo- cus imaginis erit intra sphaeram. Sit i punctum sumptum: et ducatur linea a centro uisus secans circulum super pun- ctum illud, quę sit g i s: et ducatur perpendicularis per punctum hoc, quę sit d i t: et [per 23 p 1] fiat linea p i, ae- qualem tenens angulum cum i t angulo t i g. Palam [per 12 n 4] quod sola puncta lineę p i reflectuntur a puncto i ad uisum. Palam etiam [per 15 p 3] quod linea i s ma- ior est linea k h. Quare maior s d [est enim h k ex prima hypothesi ęqualis semidiametro s d.] Igitur [per 18 p 1] angulus s d i maior est angulo s i d: quare [per 15 p 1] est maior angulo g i t: quare est maior angulo t i p. Igitur lineę p i et s d nunquam concurrent [ad partes p et s: secus spatium comprehenderent contra 12 ax. quia con- currunt ad partes i et d per 11 ax.] Et linea ducta a pun- cto quocunque p i lineę, ad punctum d, secat lineam s i intra sphęram:: quę s i est linea reflexionis: et omnis linea ducta a quocunque puncto p i lineę, ad punctum d: erit perpendicularis super sphęram [ut ostensum est 25 n 4.] sicut est p d. Et cum locus imaginis sit in concur- su perpendicularis a puncto uiso et lineę reflexionis: [per 3 n] erit imago cuiuslibet puncti lineę p i intra sphęram. Palam ergo, quod omnium imaginum arcus h z, locus proprius erit intra speculum: Quod est propositum.

22. Si reflexio fiat a peripheria circuli (qui est communis sectio superficierum reflexionis et speculi sphaerici conuexi) inter rectam a uisu speculum tangentem, reflexionis puncto proxi- mam, et lineam reflexionis aequantem partem suam intra peripheriam eiusdem semidiametro: imago alias intra speculum: alias in superficie: alias extra uidebitur. 26 p 6. Item 27. 7 p 6.

AMplius: sumpto quocunque puncto arcus h b: dico, quod quędam eius imago erit intra spe culum: quaedam in superficie speculi: quaedam extra speculum. Sumatur aliquod eius pun-

ctum: et sit n: et ducatur linea a puncto g se- cans circulum, quae sit g n q: et ducatur perpen- dicularis d n f: et [per 23 p 1] protrahatur linea, aequalem angulum tenens cum perpendiculari, angulo f n g: et sit e n. Quoniam linea n q minor est k h [per 15 p 3] est etiam minor linea q d [nam h k posita est aequalis semidiametro sphaerae] et ita [per 18 p 1] q d n angulus minor est angu- lo d n q: quare [per 15 p 1] minor angulo g n f: quare etiam minor angulo e n f: Igitur e n et d q concurrent [ad partes e et q per 11 ax.] Sit ergo concursus in puncto e. Palam [per 25 n 4] quod linea e q d est perpendicularis super sphaeram: et secat lineam g n q, quae est linea re- flexionis, in puncto q, quod est punctum sphae- rae. Quare imago puncti e, cum fuerit reflexio su- per punctum n, apparebit in puncto q: [per 3 n] et est in superficie sphaerae. Si uero in linea n e su- matur punctum ultra e, utpote r: perpendicularis ducta ab eo ad centrum sphaerae, quae sit r d, seca- bit lineam g n q reflexionis, ultra punctum q: et est extra sphaeram. Quare imago cuiuslibet pun- cti lineae e n ultra e sumpti, erit extra superficiem speculi. Si uero in linea e n, citra punctum e su- matur aliquod punctum: perpendicularis ab eo ducta ad speculum, secabit lineam g n q intra sphaeram: quoniam in puncto, quod est inter n et q. Quare imago cuiuslibet puncti lineae e n inter e et n sumpti, apparebit intra sphaeram. Eadem peni tus erit probatio, sumpto quocunque alio arcus b h puncto: et ita imago cuiuslibet puncti arcus b h una sola est imago in superficie speculi: aliarum quaedam in speculo: quaedam extra. Et quod demonstratum est in arcu z b, eodem modo potest patere in arcu z a: et eadem penitus erit demon- stratio, cuiuscunque circuli sphaerae sumatur portio, uisui opposita, a perpendiculari g d aequaliter diuisa. Vnde uisu immoto, et perpendiculari g z d manente, si moueatur aequidistanter perpendi- culari uisus linea g h, secabit ex sphaera motu suo portionem circularem: et cuiuslibet puncti hu- ius portionis imago apparebit intra sphaeram. Si uero linea g b contingens, moueatur aequidistan- ter perpendiculari uisus, secabit ex sphaera portionem praedicta maiorem: et a quolibet puncto excrementi unius portionis super aliam reflectitur imago, cuius locus erit in superficie sphae- rae: et aliarum quaedam intra sphaeram: quaedam extra. Scimus ex his, quod in hoc speculo quaeli- bet imago apparet in diametro sphaerae: aut intra sphaeram: aut extra: aut in superficie. Et omnis dia- meter, in qua apparet imago aliqua in superficie sphaerae, aut extra, demissior est puncto sphaerae, quod tangit linea contingens a centro uisus, ducta in ultimum punctum portionis apparentis. Sci mus etiam, quod quaelibet linea reflexionis secat sphaeram in duobus punctis, in puncto reflexio- nis, et in alio. Restat iam, ut loca imaginum certius determinemus.

23. Si linea reflexionis secans diametrum speculi sphaerici conuexi: aequet segmentum suum inter speculi superficiem et dictam diametrum, segmento eiusdem diametri contermino centro speculi: erit hoc segmentum imaginum expers. 28 p 6.

DIco, quod sumpta diametro, si ad ipsam ducatur linea secans sphaeram a centro uisus, cuius pars interiacens punctum sectionis sphaerae et punctum diametri, quam attingit, est aequa- lis parti diametri, interiacenti inter punctum illud et centrum: punctum illud non est locus alicuius imaginis. Verbi gratia: sit a g circulus sphaerae: h uisus: e d semidiameter sphaerae, siue per- pendicularis: e h z sit linea secans sphaeram super punctum f, et concurrens cum e d in puncto z: et sit z f aequalis z d. Dico, quod non est locus alicuius imaginis. Palam enim, quod non est locus i- maginis alterius, quam alicuius puncti lineae e d: quoniam imago cuiuslibet puncti est super dia- metrum, ab eo ad centrum sphaerae ductam [per 10 n.] Et quod locus imaginis alicuius puncti e d non sit in z: sic constabit. Ducatur perpendicularis a puncto d super punctum f: et sit d f n: et [per 23 p 1] super punctum f fiat angulus aequalis angulo n f h: et sit q f n. Palam ergo [per 15 p 1. 1 ax] quod angulus q f n aequalis est angulo z f d: sed [per hypothesim, et 5 p 1] z f d est equalis angulo z d f: Igitur [per 1 ax] q f n est aequalis angulo z d n. Quare [per 28 p 1] linea f q est aequi-

distans lineę e d. Iitur [per 35 d 1] in infinitum productae nun- quam concurrent. Igitur nullius puncti e d forma mouebitur ad punctum f per q f: non potest autem esse locus imaginis alicuiualicuius puncti in puncto z, nisi forma eius moueatur ad f per lineam q f [quia h ex thesi est uisus, et h f linea reflexionis.] Eadem erit pro- batio sumpta quacunque diametro. Quare patet propositum. Am- plius: dico quod nullum punctum lineae z d potest esse locus ali- cuius imaginis. Sumatur enim punctum p: et ducatur linea h p, se- cans sphaeram in puncto b: et ducatur perpendicularis d b m: et [per 23 p 1] angulo m b h fiat angulus aequalis, qui sit t b m. Palam [per 15 p 1. 1 ax] quod t b m est aequalis p b d: et palam [per 16 p 1] quod angulus d p h est maior angulo p z f: quia exterior. Igi- tur duo alij anguli trianguli d p b sunt minores duobus alijs angu- lis trianguli z d f [per 32 p 1.] Sed [per 9 ax] p d b est maior an- gulo z d f: restat ergo ut angulus d p b sit minor angulo d f z: sed angulus d f z est aequalis angulo z d f: [ut iam patuit per thesin et 5 p 1:] quare angulus d b p minor est angulo z d f: Igitur mul- to minor angulo p d b: ergo t b m minor est p d b. Ergo t b, e d nunquam concurrent [ad partes t, e:] et ita nulla forma a puncto b reflectetur ad punctum h, ut p sit locus imaginis. similiter nec i- mago alterius puncti. Et similiter de quolibet puncto lineae z d. Restat ergo, ut tota linea z d sit ua- cua a locis imaginum.

24. Si in diametro speculi sphaerici conuexi extra uisus centrum ducta, inque apparentem superficiem continuata, imaginum meta notetur: Imagines dictae diametri uidebuntur inter metam et speculi superficiem. 29 p 6.

AMplius: sumpta quacunque diametro inter lineas contingentiae a uisu ad sphaeram ductas, praeter diametrum a centro uisus ad centrum sphaerae intellectam, et determinato in ea pun cto, quod diximus, quod est meta locorum imaginum. Dico, quod in punctis tantum illius diametri, quae sunt inter superficiem sphaerae, et metam praedictam, sunt loca imaginum, puncto- rum illius diametri. Verbi gratia, sint b z, b e lineae contingentes: b centrum uisus: a centrum sphae- rae: b h a diameter uisualis: d a diameter sumpta, cuius meta sit t: g punctum sphaerę, in quo dia-

meter secat sphaeram. Dico, quod in sola puncta inter g, t interiacentia, cadunt imagines puncto- rum rectae d a. Quod enim non cadant in punctum g, uel extra su- perficiem sphaerae: palam per hoc, quod supra dictum est [22 n,] diametrum, in qua est locus imaginis in superficie sphaerae aut ex- tra, demissiorem esse puncto contingentiae: et cum diameter d a sit inter lineas contingentes: non erit in ea locus imaginis, aut in su- perficie sphaerae, aut extra. Quod autem in quodlibet punctum in- ter g et t sumptum, cadat imago: sic constabit. Sumatur punctum: et sit q: et ducatur linea b q, secans sphaeram in puncto p: et duca- tur perpendicularis a p l: et [per 23 p 1] angulo l p b fiat aequalis angulus d p l: et educatur linea b t, secans sphaeram in puncto f: et ducatur perpendicularis a f. Igitur triangulum a p b continet tri- angulum a f b: quare [per 21 p 1] angulus a f b maior est angu- lo a p b: restat ergo [per 13 p 1] ut angulus a f t sit minor a p q: sed angulus a f t est aequalis angulo f a t, quia aequalia latera respi- ciunt: [per hypothesin et pręcedentem numerum.] Igitur a p q e- rit maior angulo f a t: ergo et angulo p a q, [per 9 ax.] Quare [per 15 p 1. 1 ax] l p b maior est p a q. Vnde d p l maior p a q: Igitur p d, a q concurrent [per 11 ax.] sit d concursus. Forma igitur pun- cti d reflectetur a puncto p per lineam p b: et locus imaginis eius est q [per 3 n.] Et eadem est probatio, sumpto quocunque pun- cto inter g et t. Restat, ut assignemus loca imaginum in sectione sphaerae occulta uisui.

25. Si linea reflexionis secans speculum sphaericum conuexum, aequet segmentum intra ipsi- uus superficiem, eiusdem semidiametro: et semidiameter per terminum lineae reflexionis con- currat cum recta a uisu speculum tangente: Imagines concurrentis semidiametri, inter concur sum et speculi superficiem uidebuntur. 30 p 6.

SInt ergo a c, a g lineae contingentes portionem apparentem: a centrum uisus: b centrum sphae- rae: a d b z diameter uisualis: z c g circulus sphaerae in superficie linearum contingentiae: et protrahatur

a centro ad punctum contingentiae diameter b g. Palam, quod angulus z b g est maior recto. Cum enim in triangulo b a g angulus b g a [per 18 p 3] sit rectus, erit [per 7 p 1] angulus g b a mi nor recto: quare [per 13 p1] z b g maior. Sit ergo [per 23 p 1] h b g rectus: erit ergo [per 28 p] h b aequidistans lineę contingen tię a g: Igitur [per 35 d 1] productae nunquam concurrent: et quęlibet diameter inter h et g concurret cum linea a g [per lemma Pro- cli ad 29 p 1.] Ducatur a puncto a linea se- cans sphęram: quae sit a m o: ita quod chor- da, quę est m o, sit ęqualis semidiametro o b: et concurrat semidiameter b o cum li- nea a g, in puncto t. Dico, quod in quoli- bet puncto t o est locus imaginis: et in nul lo alio puncto diametri t b est locus ima- ginis: et sunt o, t termini locorum imaginum [per 23 n.] Sumatur enim punctum: et sit k: et a n k ducatur secans sphaeram in puncto n: et ducatur perpendicularis b n x: et [per 23 p 1] angulo x n a fiat angulus ęqualis per lineam f n. Palam, quod n f non cadet inter b, g. Quoniam sic aut secaret sphaeram, aut secaret contingentem a g in duobus punctis [et sic duę lineę rectę spatium com- prehenderent contra 12 ax.] Igitur forma puncti f mouebitur per f n ad punctum n, et reflectetur ad a per lineam a n: et apparebit imago eius in puncto k [per 3 n.] Et eadem probatio est, sumpto quocunque alio puncto.

26. Si linea reflexionis aequans sua parte inscripta semidiametrum circuli (qui est communis sectio superficierum reflexionis et speculi sphaerici conuexi) terminetur in peripheria non appa rente: perpendicularis incidentiae, secans peripheriam inter lineam reflexionis, et rectam a uisu speculum tangentem: habebit quasdam imagines intra, quasdam extra speculum: unam in superficie. 31 p 6.

AMplius: dico, quod in arcu o g, quęcunque sumatur diameter, continebit loca imagi- num: et intra speculum quasdam: et unam in su perficie: et alias extra speculum. Sumatur ergo pun- ctum l: et protrahatur diameter b l, quousque secet a t in puncto e: et producatur linea a l, secans sphae ram in puncto r. Palam, quod r l minor est t b: quia [per 15 p 3] est minor m o: quae est ęqualis semidia metro [ex thesi.] Si ergo ab a ducatur linea ad dia metrum b l: cuius pars interiacens inter circulum et diametrum, sit aequalis parti diametri a puncto, in quod cadit, usque ad centrum: cadet inter l et b. Si e- nim inter l et e ceciderit: erit r l maior l b: omnis enim linea interiacens inter centrum, et illam partem lineae reflexionis, illi parti diametri ęqualem: erit maior parte diametri, qua terminatur, secundum proba- tionem assignatam in explanatione metae imagi- num [23 et proximo numeris.] Sit ergo punctum, in quod linea aequalis cadit: i. Dico, quod in quo- libet puncto lineę e i est locus imaginis: et erit ea- dem demonstratio, quę fuit in t o [praecedente nu mero.] Igitur quędam imagines in diametro e b sor tiuntur loca intra speculum: quędam extra speculum: una sola in superficie: scilicet in puncto l. Et ita po teris demonstrare in qualibet diametro per puncta arcus o g transeunte.

27. Si linea reflexionis, aequans sua parte in scripta semidiametrum circuli (qui est commu- nis sectio superficierum reflexionis et speculi sphaerici conuexi) terminetur in peripheria non ap- parente: perpendicularis incidentiae secans peripheriam inter terminos lineae reflexionis et quadrantis peripheriae, a puncto tactus, rectae a uisu speculum tangentis, inchoati, habebit i- magines extra speculum. 32 p 6.

AMplius sumpta quacunque diametro in arcu o h: locus imaginis in eo erit extra speculu. Suma- tur diameter b q: et concurrat eum contingente in puncto p [concurrit enim per lemma Procli ad 29 p 1:] et ducatur linea a u q secans sphęram in puncto u. Iam dictum est, quod m o est aequalis o b [per

thesin communem 20. 21. 22. 23. 23. 25. 26. 27 n.] Sed [per 15 p 3] u q est maior m o: quare u q est maior o b, id est b q. Et linea ducta a circum- ferentia ad diametrum p b, ęqualis parti p b, interiacenti inter ipsam et centrum: non cadet inter q et b. Si enim ceciderit: secundum supra- dictam probationem [23 et praecedente numeris ] erit u q minor q b. Restat ergo, ut linea ęqualis cadat inter p et q. Et quod non cadat in punctum p: palam per hoc: quia angulus p g b est rectus [per 18 p 3.] I- gitur [per 19 p 1] p b maius est p g. Cadet ergo citra punctum p: Sit punctum, in quod cadit: s. Erit ergo s meta locorum imaginum [per 23 n:] et quodlibet punctum inter p et s erit locus imaginum. Et eadem est probatio, quae supra [25. 26 n.] Palam ex his, quod imagines dia- metrorum arcus h o, omnes sunt extra superficiem speculi: imaginum diametri f y, una in superficie speculi: quę est in l: aliae intra, scilicet in i l: aliae omnes extra, scilicet in l e. Omnium autem imaginum diametri ar- cus o g, quaedam intra speculum: quędam extra: quędam in superficie.

28. Perpendicularis incidentiae secans occultam peripheriam cir culi (qui est communis sectio superficierum reflexionis et speculi sphaerici conuexi) inter terminos rectae per centra uisus ac speculi ductae, et quadrantis peripheriae, a puncto tactus rectae a uisu spe- culum tangentis, inchoati: imaginem nullam habet. 33 p 6.

AMplius: in arcu h z non potest sumi diameter, in qua est locus imaginis. Quoniam nulla dia- meter ibi sumpta concurrit cum contingente a p. [Quia enim g h est quadrans totius periphe

riae ex thesi: rectus est angulus h b g per 33 p 6: et similiter b g p per 18 p 3. Quare perpendicularis incidentię, cadens in peripheriam h z, facit cum b g angulum obtusum: ideoque cum tangente a g p non con curret ad partes h et p: secus duae rectae spatium comprehenderent con- tra 12 ax.] Et a quocunque puncto illius talis diametri ducatur linea ad sphaeram: cadet quidem in portionem g z c, et nulla in portionem g d c, nisi secando sphęram. Quare nulla forma alicuius puncti talis dia metri ueniet ad portionem uisui apparentem. Quod autem dictum est in arcu g h z: potest eodem modo demonstrari in parte arcus c z eam respiciente. Et sumpto arcu citra z, aequali h z: in nulla diametro il- lius arcus erit imaginis locus. ldem est demonstrandi modus in quo- cunque circulo. Quare si linea h b moueatur, eodem manente angu- lo h b z: signabit motu suo portionem sphaerae, in cuius diametris nullus sit imaginis locus. Si uero h b immota, moueatur o h: descri- betur portio, cuius omnes imagines extra speculum sunt. Moto autem ar cu o g: fiet portio, cuius quędam imagines sunt in superficie: quędam extra speculum: quędam intra. Verum uisus non comprehendit, quae imagines sint in superficie sphęrae, aut quę extra: nec certificatur in comprehensione earum: nisi quod sint ultra portionem apparentem. lam ergo determinata sunt in his speculis imaginum loca.

29. Ab uno speculi sphaerici conuexi puncto, unum uisibilis punctum ad unum uisum reflecti- tur. Itaque unius puncti una uidetur imago. 16 p 6.

AMplius: Puncti uisi forma non potest in hoc speculo ad unum uisum reflecti, nisi ab uno solo pun cto speculi. Sit enim punctum uisum b: a centrum uisus: et non sit a in perpendiculari ducta ad centrum sphęrę. Dico, quod b reflectitur ad a ab uno solo speculi puncto: et unam solam ostendit uisui ima ginem in hoc speculo. Palam [per 25 n 4] quod ab aliquo puncto potest reflecti forma eius: sit illud g: et ducantur b g, a g: et sit n centrum sphęrę: et ducatur diameter b n, secans superficiem sphaerae in puncto l: et termini portionis uisui oppositae sint d, e: et secet linea a g perpendicularem in puncto q: quod est locus imaginum [per 3 uel 16 n.] Palam, quod a, n, b sint in eadem superficie orthogonali super sphaeram [per 13. 23 n 4.] Et cum omnes superficies orthogonales super sphaeram, in quibus fuerint b, n, secent se super b n: et non possit superficies, in qua b n linea, extendi ad punctum a, nisi una tantum: [quia punctum a indiuiduum est.] Palam, quod a, et b, et n sunt in una superficie tantum, orthogonali super sphęram, non in pluribus et cum necesse sit, [per 13. 23 n 4] ut omne punctum uisum, et a sint in eadem superfi- cie orthogonali super punctum reflexionis: palam, quod non fiet reflexio puncti b ad uisum, nisi in cir culo sphęrę, qui est in superficie a n b. Sit ergo circulus d g e. Dico igitur, quod a nullo puncto huius circuli pręterquam a g, fiet reflexio. Si enim dicatur, quod a puncto l: cum b n sit super superficiem speculi per- pendicularis: [ut ostensum est 25 n 4] et a l non sit perpendicularis: [quia non transit per centrum:] et forma per perpendicularem ueniens, necessario perperpendicularem reflectatur: [per 11 n 4:] palam, quod non refle ctetur b ad a a puncto l. Planum etiam est, quod non reflectetur ab alio puncto arcus l e: quia ad quodcunque punctum illius arcus ducatur linea a puncto b: tenebit cum contingente illius puncti an- gulum obtusum ex parte e: [Nam semidiameter circuli ad rectam lineam per punctum illud, specu

lum tangentem educta, declinat a puncto b uersus e, et facit cum tangente angulum rectum per 18 p 3. Itaque angulus tangentis et lineae rectę a puncto b ad punctum tactus ductę, maior est recto: ideoque per 11 d 1 obtusus:] et linea ducta a puncto a ad il- lud punctum, tenebit cum contingente illa angulum acutum ex parte l: [quia angulus semidiametri et tangentis rectus est per 18 p 3: et recta a puncto a ad illud punctum ducta secat circulum d e g.] Quare si ab illo puncto fieret reflexio: esset angulus acu- tus aequalis obtuso [per 12 n 4.] Iterum a nullo pun cto arcus g l potest fieri reflexio. Sumatur enim punctum quodcunque: et sit z: et ducatur linea a z o, secans perpendicularem in puncto o: et ducatur li- nea contingens circulum in puncto z: [per 17 p 3] quae cadit necessario inter b g, et b l: [quia punctum z est inter puncta g et l] et sit m z: et f g circulum con- tingat in puncto g. Pala ex superioribus [18 n] quod proportio b n ad n q, sicut b f ad f q. Eodem modo proportio b n ad n o, sicut proportio b m ad m o: Sed [per 9 ax. 8 p 5] maior est proportio b n ad n q, quam b n ad n o. Igitur [per 11 p 5] maior est pro- portio b f ad f q, quam b m ad m o. Quod plane im possibile: cum [per 9 ax] b f sit minor b m, et f q maior m o. [ideoque ratio b f ad f q minor est ratio- ne b m ad m o, ut patet ex 8 p 5.] Restat ergo, ut a puncto z non fiat reflexio. Verum quod ab aliquo puncto arcus g d non fiat reflexio: sic constabit. Sumatur quodcunque punctum: et sit t: et ducatur li- nea b t: et linea a t h, secans b n in puncto h et [per 17 p 3] ducatur contingens circulum in puncto t: quę sit p t. Erit ergo ex superioribus [18 n] proportio b n ad n h, sicut b p ad p h: et b n ad n q, sicut b f ad f q: Sed [per 9 ax. 8 p 5] b n ad n h maior est, quam b n ad n q: ergo [per 11 p 5] maior est proportio b p ad p h, quam b f ad f q: quod plane falsum: cum [per 9 ax] b f sit maior b p, et p h maior f q. [ideoque ratio b p ad p h minor est ratione b f ad f q, ut constat ex 8 p 5.] Restat ergo, ut a nullo puncto arcus g d fiat refle- xio puncti b. Quare quodlibet punctum ab uno solo puncto speculi reflectitur ad uisum. Ergo una sola erit linea reflexionis cuiuslibet puncti uisi. Quare unica unius puncti imago. Si autem punctum b fuerit in perpendiculari uisuali: palam [per 11 n 4] quod reflectetur ab uno solo puncto, per quod perpendicularis, tantum: et unica erit eius imago: et erit propter continuitatem aliorum punctorum, in loco imaginis proprio.

30. Si duo perpendicularis incidentiae pun- cta, a speculo sphaerico conuexo ad unum uisum reflectantur: locus tum imaginis tum reflexio- nis, puncti centro speculi propinquioris erit re- motior: imaginis ab eodem centro: reflexionis a uisu. 17 p 6.

AMplius: si in aliqua diametro sumantur duo puncta ex parte centri eadem: locus ima- ginis centro propinquioris, erit remotior a centro sphęrę, loco imaginis puncti remotioris a centro sphęrę. Verbi gratia dico, quod locus ima- ginis puncti p, remotior est a centro, loco imagi- nis puncti b: et punctum reflexionis puncti p re- motius ab a puncto uisus, puncto reflexionis pun- cti b, quod est punctum g. Dico, quod punctum p non reflectitur, nisi ab aliquo puncto arcus g l. Palam enim, quod non reflectitur ab aliquo pun- cto arcus l e, nisi a puncto l: [sicque per 11 n 4 refle- ctetur per perpendicularem b l n, non ad uisum, in a positum] nec a puncto g: cum b reflectatur ab eo, [ad uisum scilicet a ex thesi: ideoque nullum ali- ud punctum, ut p, ab eodem puncto g reflectetur ad eundem uisum a per pręcedentem numerum.] Et si dica tur, quod ab aliquo puncto arcus g d: sit illud punctum t: et sit t p linea, per quam forma mouetur ad speculum: et ducatur perpendicularis n t u: quę necessario diuidet angulum p t a per aequalia: [ut ostensum est 13 n 4] et ducatur perpendicularis n g k: erit [per 21 p 1] angulus n t a maior n g a: restat ergo [per 13 p 1] angulus u t a minor angulo k g a. Quare angu- lus p t u minor angulo b g k: [angulus enim k g a aequatur angulo b g k, per 12 n 4.] Sed [per 32 p 1] angulus p t u ualet angulum t n p, et t p n: quia exterior: et angulus b g k ualet angulum g n b, et an- gulum g b n. Erunt ergo duo anguli t n p,t p n minores duobus angulis g b n, g n b: quod [per 9 ax] est impossibile: cum angulus p n t contineat angulum g n b tanquam partem: et [per 16 p 1] angulus t p n sit maior g b n. Restat ergo, ut punctum p non reflectatur, nisi a punctis inter g et l intermedijs. Et omnes lineae a puncto a per haec puncta ductae ad diametrum b n, cadunt in puncta sphęrae a cen tro uisus magis elongata, puncto g. Et ita patet propositum.

31. Visa et uisibiliaVisu et uisibili a centro speculi sphaerici conuexi aequabiliter distantibus: punctum refle- xionis inuenire. 20 p 6.

AMplius: dato speculo, et dato puncto uiso: est inuenire punctum reflexionis. Sit enim b pun-

ctum uisum: a centrum uisus: et ducantur ab eis duae lineae ad centrum speculi. Si fuerint duae illae lineae aequales: erit facile inuenire: quoniam sumetur circulus sphaerae in superficie duarum il- larum linearum. Et scimus [per 29 n] quod ab unico solo puncto il lius circuli fit unius puncti reflexio. Diuidatur ergo [per 9 p1] angu- lus, quem continent in centro duae illae lineę, per aequalia: et ducatur linea diuidens angulum, extra sphaeram: erit quidem [per 18 p 3] per- pendicularis super lineam contingentem hunc circulum in puncto, per quod transit. Et si ducantur ad illud punctum duę lineę: una a cen tro uisus: alia a punctu uiso: efficient cum perpendiculari illa et dua- bus primis lineis, duo triangula: quorum duo latera duobus lateribus aequalia, et angulus angulo [ideoque per 4. 13 p 1. 3 ax angulus a e d ae- quatur angulo b e d.] Et ita punctum circuli, per quod perpendicula ris illa transit: est punctum reflexionis: [quia c e d bifariam secat an- gulum ab incidentię et reflexionis lineis comprehensum, ut patuit 13 n 4.] Si uero linea a puncto uiso ad centrum sphaerę ducta, fuerit inę qualis lineę a centro uisus ad idem centrum ductę: oportet nos quę- dam antecedentia praeponere: quorum unum est.

32. A puncto dimidiatae peripheriae medio, ducere lineam re- ctam, ut segmentum eius conterminum continuatae diametro, aequetur datae lineae rectae. 128 p 1.

SVmpta circuli diametro, et sumpto in circumferentia puncto: est ducere ab eo ad diametrum ex- tra productam, lineam, quę a puncto, in quo secat circulum, usque ad concursum cum diametro, sit aequalis lineae datae Verbi gratia, sit q e data linea: g b diameter circuli a b g: a punctum datum. Di co, quod a puncto a ducam lineam, quae a puncto, in quo secuerit circulum, usque ad diametrum g b, sit aequalis lineae q e: quod sic constabit. Ducantur duę lineae a b, a g: quę aut erunt aequales: aut inęqua

les. Sint ęquales: et adiungatur lineae q e linea talis, ut illud, quod sit ex ductu totius cum adiuncta in adiunctam, sit

ęquale quadra- to a g. [id uero expedite fiet: si linea q e fiat dia meter circuli, cuius periphe- riam tangens re cta linea aequa- lis a g, concurrat cum continua- ta diametro q e: sic enim oblongum comprehensum sub continuata diametro et exte- riore eius segmento ęquabitur quadrato lineę a g per 36 p 3.] Et sit li nea adiuncta e z. Cum igitur illud, quod fit ex ductu q z in e z sit ęquale ei, quod fit ex ductu a g in se: erit q z maior a g, et e z minor eadem. Si e- nim e z fuerit aequalis, aut maior a g: est impossibile, ut ductus q z in e z sit aequalis quadrato a g [sic enim oblongum comprehensum sub q z et e z semper maius esset quadrato a g: quia linea q z esset maior e z, ut totum sua parte.] Si autem minor: palam, quod q z est maior a g. Producatur ergo ad ęqualitatem: et sit a g t: et posito pede circini super a, fiat circulus secundum quantitatem a g t: qui quidem circulus secabit diametrum b g: [infinite uersus t continuatam] et secet in puncto d: et ducatur linea a d: quae secabit necessario circulum. Si enim contingeret in puncto a: esset aequidistans b g, et nunquam concurreret cum ea. [Nam ex thesi g a, b a ae- quantur. Itaque semidiameter a centro ad a ducta, efficiet per 8 p. 10 d 1 angulos cum b g rectos. Similiter angulus lineae d a tangentis et semidiametri rectus est per 18 p 3: ergo per 28 p 1 b d, a d es- sent parallelae: quae tamen concurrunt in puncto d, e fabricatione.] Secet ergo in puncto h: et du- catur linea g h. Palam [per 22 p 3] cum a b g h sit quadrangulum intra circulum: a b g, a h g an- gulos oppositos ualere duos rectos: sed [per 5 p 1] a g b est aequalis angulo a b g, cum respiciant aequalia latera ex hypothesi. Erit igitur angulus a h g aequalis angulo d g a: [per 13 p 1] et angu- lus h a g communis triangulo totali a d g, et partiali a h g: restat ergo [per 32 p 1] ut angulus h d g sit aequalis angulo h g a: et triangulum simile triangulo [per 4 p. 1 d 6.] Quare proportio d a ad a g, sicut a g ad a h: ergo [per 17 p 6] quod fit ex ductu d a in a h, est aequale quadrato a g: Sed [per 15 d 1] d a est aequalis t a: igitur [per 1 ax] est aequalis q z: et erit a h aequalis e z: [quia e prima fabricatione oblongum comprehensum sub q z et e z aequatur quadrato a g: cui aequale o- stensum est oblongum comprehensum sub d a et a h: et d a aequatur ipsi q z] et [per 3 ax] d h aequa- lis q e: quae est data linea. Et ita est propositum.

33. A puncto dimidiatae peripheriae non medio, ducere lineam rectam: ut segmentum eius conterminum continuatae diametro, aequetur datae lineae rectae. 130 p 1.

SI uero a b et a g non sint aequales: protrahatur [per 31 p1] a puncto g linea aequidistans a b: quae sit g n: et sumatur linea, quaecunque sit: z t: et [per 23 p 1] super punctum z fiat angulus ę- qualis angulo a g d per lineam z f: et [per 31 p 1] ducatur a puncto t linea aequidistans z f: et sit t m: et [per 23 p 1] ex angulo t z f secetur angulus aequalis angulo d g n per lineam z m. Haec

igitur linea necessario concurrit cum t m: [per lemma Procli ad 29 p 1] cum sit inter aequidistantes. Sit pun- ctum concursus m: restat ergo [per 3 ax] angulus m z f aequalis angu- lo a g n. Et a puncto t ducatur li- nea aequidistans lineae z m: [per 31 p 1] quae sit t o: quae quidem necessa- rio concurret cum f z: [per lemma Procli ad 29 p 1] et sit concursus in puncto k: et sumatur [per 12 p 6] li- nea, cuius proportio ad lineam z r, si- cut b g ad q e lineam datam: et sit i. Deinde fiat super punctum m se- ctio pyramidalis, quemadmodum do- cet Apollonius in libro secundo de pyramidalibus, propositione quarta: et sit u c m: quae quidem sectio non secat lineas k o, k f: et in hac sectione ducatur linea aequalis lineę i: scilicet m c: et producatur usque ad lineas k t, l f: et sint puncta sectionum o, l. Igitur, sicut ibidem [8 th 2 coni conicorum] probatur: erit o m aequalis c l: et a puncto t ducatur linea aequidistans c m: [per 31 p 1,] quae sit t f: et [per 23 p 1] super punctum a fiat angulus aequalis angulo z f t per lineam a n d. Palam, quod haec linea concurret cum g d: cum angulus a g n sit ęqualis f z m angulo: [per con- clusionem] et angulus g a n angulo z f t [per fabricationem: et totus angulus f z t aequatus sit toti angulo d g a: et per 32 p 1 anguli ad z et f sint minores duobus rectis. Ergo anguli ad g et a ipsis ae- quales, minores erunt duobus rectis. Itaque per 11 ax. g d, a d concurrent.] Igitur a d linea aut tan- get circulum: aut secabit ipsum. Quoniam si non tetigerit, et arcus a b fuerit maior arcu a g: seca- bit arcum ab: et si a b fuerit minor: secabit arcum a g. Tangat igitur in puncto a. Cum igitur [per fabricationem] angulus g a n sit aequalis angulo z f t, et angulus a g n angulo f z y: erit [per 32 p 1] tertius tertio aequalis: et erit triangulum a g n simile triangulo z f y. Similiter cum [per fabricationem] a g d sit aequalis angulo f z t: erit [per 32 p 1. 4 p. 1 d 6] triangulum a g d simile triangulo f z t. Igitur quae est proportio a n ad a g, ea est proportio f y ad f z: et quae est propor- tio a g ad g d, ea est f z ad z t. Quare [per 22 p 5] quae est proportio a n ad g d, ea est f y ad z t. Verum cum [per fabricationem ] t m sit aequidistans f l, et f t sit aequidistans l m: est [per 34 p 1] f t aequalis l m. Quare [per 2 ax] erit aequalis c o: cum [per 8 th 2 conicorum Apol- lonij] m o sit aequalis l c: sed [per 34 p 1] m o est aequalis y t: cum [per fabricationem] sit ipsi aequidistans, et y m aequidistans t o. Restat ergo [per 3 ax] f y aequalis c m: sed [per fabrica- tionem] c m est aequalis i. Quare [per 1 ax] f y est aequalis i: sed [per fabricationem] propor- tio i [id est, per 7 p 5 f y ] ad z t, sicut b g ad e q. Igitur [per 11 p 5] proportio a n ad g d, si- cut b g ad e q. Verum angulus g a n est aqualis angulo g b a: sicut probat Euclides in ter- tio [32 propositione] sed [per 29 p 1] angulus n g d est aequalis angulo a b g: cum [per fabri- cationem] n g sit aequidistans a b. Igitur [per 1 ax] angulus n g d aequalis est angulo n a g, et an- gulus n d g communis. Quare [per 32 p 1] tertius tertio est aequalis. Quare [per 4 p. 1 d 6] triangu- lum n d g simile triangulo a d g. Igitur proportio a d ad d g, sicut g d ad d n. Quare [per 17 p 6] quod fit ex ductu a d in d n est aequale quadrato d g. Verum quadratum a d est aequale ei, quod fit ex du- ctu b d in d g: sicut probat Euclides 36 propositione [libri tertij,] et quadratum a d est aequale ei, quod fit ex ductu a d in d n, et ei quod fit ex ductu a d in n a [per 2 p 2:] et illud, quod fit ex ductu b d in d g, est aequale quadrato d g, et ei quod fit ex ductu b g in g d: sicut probat Euclides [3 p 2.] Abla- tis ergo aequalibus [quadrato nempe d g et rectangulo a d n] restat [per 3 ax,] ut, quod fit ex du- ctu a d in a n, sit aequale ei, quod fit ex b g in g d. Igitur [per 16 p 6] proportio primae lineae ad secun dam, est sicut tertiae ad quartam [nempe ut a d ad g d, sic b g ad a n: et alterne [per 16 p 5] ut a d ad b g, sic g d ad a n.] Quare [per consectarium 4 p 5] proportio a n ad g d, sicut b g ad a d. Sed iam dictum est, quod proportio a n ad g d est, sicut b g ad e q. Igitur [per 9 p 5] e q est aequalis a d. Quod

est propositum. Quod si a d non tetigerit circulum, sed secuerit, et fuerit a g maior a b: secabit quidem arcum a g. Secet ergo in puncto h: et ducatur linea h g. Palam [per 22 p 3] quod duo anguli a h g, a b g ualent duos rectos: sed angulus n g d aequalis est a b g [per 29 p 1: quia n g parallela ducta est ipsi a b.] Igitur angulus a h g et angulus n g d sunt ęquales duobus rectis. Quare [per 13 p 1. 3 ax] angulus n g d est ęqualis angulo n h g: et angulus n d g communis. Quare [per 32 p 1] tertius angulus tertio angulo est aequalis: et triangulum h g d simi le triangulo n d g [per 4 p. 1 d 6.] Igitur proportio h d ad d g est, sicut proportio d g ad d n. Quare [per 17 p 6] illud, quod fit ex ductu h d in d n, est ęquale quadrato d g: sed quod fit ex ductu a d in h d, est ae- quale ei, quod fit ex ductu b d in d g, sicut probat Euclides [consecta- rio 36 p 3] et [per 1 p 2] illud, quod fit ex ductu a d in d h, est ęquale ei, quod fit ex ductu d h in d n, et d h in a n: et [per 3 p 2] quod fit ex ductu b d in d g, est equale ei, quod fit ex ductu b g in g d et quadrato d g. Ablatis igitur aequalibus, scilicet quadrato d g, et eo, quod fit ex du- ctu d h in d n: restat [per 3 ax] ut illud, quod fit ex ductu d h in a n, sit ęquale ei, quod fit ex ductu b g in d g. Quare proportio secundę lineę ad quartam, id est a n ad g d, sicut tertiae ad primam, id est b g ad d h [est enim per 16 p 6 ut d h ad d g, sic b g ad a n: et per 16 p 5, ut d h ad b g, sic d g ad a n, et per corsectarium 4 p 5, ut a nad d g, sic b g ad d h.] Sed iam probatum est, quod pro-

portio a n ad d g, sicut b g ad e q. Igitur [per 9 p 5] e q est ęqualis d h. Et ita est propositum. Si uero a g sit minor a b: et secet a d arcum a b: sit scctionis punctum h: et ducatur linea h g. Palam [per fabricatio nem primam et 29 p 1] quod angulus n g d est aequalis angulo a b g: sed [per 27 p 3] anguli a b g, a h g sunt aequales: quia cadunt in eundem arcum. Igitur [per 1 ax] angulus n g d est aequalis angulo a h g, et an- gulus n d g communis. Quare [per 32 p 1] tertius tertio aequalis: et triangula similia [per 4 p. 1 d 6.] Igitur proportio h d ad d g, sicut d g ad d n. Quare [per 17 p 6] quod fit ex ductu h d in d n, est aequale qua drato d g: sed quod fit ex ductu h d in d a, est aequale ei, quod fit ex du ctu b d in d g [per consectarium Campani ad 36 p3] et [per 1 p 2] quod fit ex ductu h d in d a, est aequale ei, quod fit ex ductu d n in h d et a n in h d: et [per 3 p 2] ductus b d in d g ualet quadratum d g, et ductum b g in d g. Igitur remotis aequalibus: [rectangulo nimirum h d n, et quadrato d g] erit [per 3 ax] ductus h d in a n, sicut b g in d g. Igitur [per 16 p 6 16 p. 13 d 5] proportio a n ad d g, sicut b g ad h d. Sed iam dictum est, quod proportio a n ad d g est, sicut b g ad e q. Igitur [per 9 p 5] e q est aequalis h d. Quod est propositum. Quare a puncto a da to, duximus lineam, secantem circulum, et a puncto sectionis ad dia metrum est aequalis lineae datae.

34. A puncto peripheriae circuli extra datam diametrum dato, ducere lineam rectam, ita sectam data diametro, ut segmentum inter diametrum et punctum peripheriae dato puncto op positum, aequetur datae rectae, minori circuli diametro. 133 p 1.

AMplius a puncto dato in circulo, extra diametrum eius, est ducere lineam per diametrum ad circulum, ut pars eius a diametro ad circulum, sit aequalis lineę datae. Verbi gratia: a b g sit da tus circulus: b g diameter: a punctum datum: h z linea data. Dico, quod a puncto a est duce re lineam, transeuntem per diametrum b g, cuius pars a diametro ad circulum sit aequalis lineae h z. Ducantur lineae a b, a g: et [per 23 p 1] super punctum h fiat angulus ęqualis angulo a g b per lineam m h: et super idem punctum fiat angulus ęqualis angulo a b g per lineam h l:et [per 31 p 1] a puncto z ducatur aequidistans lineae h m: quae sit z n: quae quidem secabit h l [per lemma Procli ad 29 p 1] et a puncto z ducatur aequidistans h l: quae sit z t: et secet h m in puncto t: et a puncto t ducatur sectio pyramidis t p, quam assignauit Apollonius in libro pyramidum [4 th 2:] quae quidem sectio non

continget aliquam linearum z n, h l, inter quas iacet. Similiter fiat sectio pyramidis ei opposita inter easdem lineas: quae sit c u. Cum igitur li- nea minima ex lineis a puncto t ad sectionem c u ductis, fuerit aequalis diametro b g: circu- lus factus secundum hanc minimam lineam, posito pede circini super punctum t: contin- get sectionem c u. Si uero minima ex lineis a puncto t ad sectionem c u ductis, fuerit minor diametro b g: circulus factus modo praedicto secundum quantitatem b g, secabit sectionem in duobus punctis. Sit ergo t c minima, et ae- qualis diametro b g: quae quidem secabit z n et h l: cum ducatur ad sectionem, quae inter eas interiacet: et [per 31 p 1] ducatur a puncto aequidistans huic: quae quidem secabit h m, h l [per lemma Procli ad 29 p 1] sicut sua ęqui distans t c. Secet ergo in punctis m l: et sit m z l:et punctum sectionis, in quo t c secat z n, sit q: et [per 23 p 1] super diametrum g b fiat an-

gulus ęqualis angulo h l m: qui sit d g b, et du- cantur lineę duę a d, d b. Palam ergo, cum [per 31 p 3] angulus g a b sit rectus: alij duo anguli trianguli a g b ualent rectum [per 32 p 1.] Quare angulus l h m est rectus: [constat enim e duo- bus angulis per fabricationem ęqualibus angulis a g b, a b g rectum ęquantibus] et est aequalis an gulo g d b: et [per fabricationem] angulus h l m est aequalis angulo d g b: Igitur [per 32 p 1] tertius tertio: et triangulum simile triangulo [per 4 p. 1d 6.] Quare proportio b g ad b d est, sicut l m ad m h. Sed quoniam [per 27 p 3] angulus a d b aequalis est angulo b g a: quia cadunt in eundem arcum: et angulus b g a aequalis angulo m h z: [per fabricationem] est ergo [per 1 ax.] an- gulus ad b aequalis angulo m h z. Et iam habemus, quod angulus d b g est aequalis angulo h m z. I- gitur [per 32 p 1] tertius tertio: et triangulum d e b simile triangulo m h z. [per 4 p. 1 d 6] Sit autem e punctum, in quo linea a d secat diametrum b g. Igitur proportio b d ad d e, sicut m h ad h z. Verum Apollonius [16 th 2] probat: quod cum fuerint duae sectiones oppositae, et producatur linea a se- ctione ad aliam: pars eius, quae interiacet inter unam sectionem, et unam ex lineis, est ęqualis alij par- ti, quae interiacet inter aliam sectionem, et aliam lineam. Quare q t aequalis est c f. Sed [per 34 p 1] t q est aequalis m z: cum sit illi aequidistans, inter duas aequidistantes. Igitur [per 1 ax.] m z aequalis f c: et [per 34 p 1] z l aequalis t f. Igitur [per 2 ax.] m l aequalis t c. Quare proportio t c ad h z, sicut m l ad h z. [per 7 p 5] Quare proportio g b ad e d, sicut t c ad h z. [demonstratum enim est, ut g b ad b d, sic l m ad m h: item ut b d ad d e, sic m h ad h z: ergo per 22 p 5, ut g b ad d e, sic l m ad h z: sed ut l m ad h z, sic t c ad h z: quare per 11 p 5 ut g b ad d e, sic t c ad h a.] Et cum t c sit aequalis b g [ex thesi] erit [per 14 p 5] e d aequalis h z. Quod est propositum. Si autem linea t c ad sectionem c u ducta, et minima: fuerit minor diametro b g: producatur ultra sectionem, donec sit aequalis, et secundum quantitatem eius fiat circulus: qui quidem circulus secabit sectionem in duobus punctis: a quibus lineae ductae ad t, erunt aequales b g: [per 15 d 1] et a puncto z ducatur ęquidistans utrique. Et tunc erit ducere a pun cto a modo praedicto duas lineas, aequales lineae datae: eritque idem penitus probandi modus.

35. A puncto dato in altero laterum trianguli rectanguli angulum rectum continentium, ducere per latus angulo recto oppositum, rectam, cuius segmentum conterminum reliquo late- ri infinito, habeat ad segmentum lateris angulo recto oppositi, conterminum primo lateri, ratio nem in duabus rectis datam. 134 p 1.

AMplius: dato triangulo orthogonio, et dato puncto in uno laterum angulum rectum conti- nentium, est ducere a puncto illo lineam, ad aliud laterum continentium rectum, secantem tertium oppositum recto, ita ut pars huius lineę interiacens inter punctum sectionis et latus, in quo non est punctum datum, se habeat ad partem lateris oppositi recto, quae est de sectione ad la tus, in quo est punctum datum, sicut data linea ad datam lineam. Verbi gratia: est triangulum datum a b g, cuius angulus ab g rectus: et in latere g b est punctum datum d, extra triangulum, aut intra. Di so, quod a puncto d est ducere lineam, secantem latus a g, et concurrentem cum latere a b: ita ut pars eius interiacens inter latera a b, a g, sit eius proportionis ad partem lateris a g, quae est ab illa li- nea usque ad punctum g, sicut se habet e ad z, quae sunt datę lineae. Sit punctum d in ipso triangulo a b g: et [per 31 p 1] ducatur ab eo linea aequidistans a b: quae sit d m: et [per 5 p 4] super tria puncta

g, m, d fiat circulus: et protrahatur linea a d. Quoniam [per 29 p 1] planum est, quod angulus g m d est aequalis angulo g a b: erit [per 9 ax.] maior g a d. Secetur ex eo aequalis per lineam m n: et sit d n m: et sit [per 12 p 6] h linea, ad quam se habeat a d, sicut se habet e ad z: et a puncto n, quod est punctum circuli, ducatur linea ad dia- metrum g m aequalis lineae h, secundum supra dicta [32 uel 33 n] et sit n l: [ita ut segmentum l c inter continuatam diametrum et peri pheriam aequetur lineae h] et punctum, in quo secat circulum, sit c: et ducatur linea g c: et a puncto d ducatur linea ad punctum c: quę, cum cadat inter duas aequidistantes, tenens angulum acutum cum altera, si producatur, necessario concurret cum alia [per lemma Pro- cli ad 29 p 1.] Concurrat igitur: et sit punctum concursus q. Planum [per 27 p 3] quod angulus g m d est aequalis angulo g c d: quia ca- dunt in eundem arcum: et [per 29 p 1] angulus g m d est aequalis angulo g a b: restat igitur [per 1 ax. 13 p 1. 3 ax.] ut angulus g c q sit aequalis angulo g a q. Sit t punctum, in quo d q secat a g: et [per 15 p 1] angulus g t c est aequalis angulo a t q: igitur [per 32 p 1] tertius tertio. Quare triangulum a t q simile triangulo t c g [per 4 p. 1 d 6.] Igitur proportio q t ad t g, sicut a t ad t c. Verum [per fabricationem] angulus n m d est aequalis angulo t a d: et [per 27 p 3] angulo n c d [id est per 15 p 1 angulo l c t.] Quare [per 1 ax.] l c t aequalis t a d: et angulus c t l communis duobus triangulis: quare [per 32 p 1] tertius tertio: et triangulum simile triangulo, scilicet t l c triangulo t a d [per 4 p. 1 d 6.] Igitur proportio t a ad t c, sicut proportio a d ad l c. Quare [per 11 p 5] proportio a d ad l c, sicut q t ad t g [patuit enim, ut q t ad t g, sic a t ad t c.] Sed [per fabricationem] l c est aequa- lis lineae h: et [per fabricationem] proportio a d ad h, sicut e ad z. Ergo [per 7. 11 p 5] proportio q t ad t g, sicut e ad z. Quod est propositum. Si uero d sumatur in illo latere extra triangulum: produ- catur [per 31 p 1] a puncto d, aequidistans a b: et sit d m: et ducatur a g, donec concurrat cum d m in

puncto m, [concurratconcurret autem per lemma Procli ad 29 p 1.] Et fiat circulus transiens per tria pun-

cta g, d, m: et ducatur linea a d: erit quidem [per 16 p 1] angulus g a d ma ior angulo g m d: fiat [per 23 p 1] ei ae- qualis: et sit n m d: et a puncto n, quod est punctum circuli, ducatur linea ae qualis h lineae [id uero fiet per 33 uel 34 n: ita ut non tota linea a puncto n ducta, sed pars eius contermina dia- metro extra continuatae, aequetur ipsi h] ad quam lineam h se habeat a d, sicut e ad z, et sit n c l [tota nimirum linea, cuius pars c l aequetur lineae h] super diametrum m g: et concursus sit l. Cum igitur [per 22 p 3] angulus n m d et an gulus n c d ualeant duos rectos: et [per fabricationem ] angulus n m d sit ęqualis angulo t a d: erunt duo trian gula t c l, t a d similia. Quia enim an- guli n c d et l c d aequantur duobus re ctis per 13 p 1, quibus item ex conclu- so aequantur n c d et t a d: communi igitur n c d subducto, aequabitu reliquus l c d reliquo t a d: et anguli ad uerticem t aequantur per 15 p 1, et per 32 p 1, tertius tertio. Quare triangula t c l, t a d sunt si- milia per 4 p. 1 d 6.] Et cum [per 27 p3] duo anguli g c d, g m d sint aequales: erunt duo triangula g t c, t a q similia: [Nam cum angulus g m d aequetur angulo t a q per 29 p 1 (parallelae enim sunt d m b a per fabricationem] aequabitur per 1 ax. angulus t a q angulo t c g, et ad uerticem t aequantur per 15 p 1: ideoque per 32 p 1 triangula g t c, t a q sunt aequiangula, et per 4 p. 1 d 6 similia] et erit proportio a d ad c l (quae est aequalis h) sicut q t ad t g: et ita est e ad z, sicut q t ad t g. [Quia enim triangula t a d, t c l sunt aequiangula: erit per 4 p 6, ut a d ad c l, sic a t ad t c. Rursus quia triangula a t q, t c g sunt ae- quiangula: erit per 4 p 6, a t ad t c, sicut q t ad t g. Quare per 11 p 5 ut a d ad c l (id est e ad z) sic q t ad t g.] Quod est propositum.

36. Duobus punctis extra circuli peripheriam, uel uno extra, reliquo intra datis: inuenire in peripheria punctum, in quo recta linea ipsam tangens, bifariam secet angulum comprehensum duabus rectis, a dictis punctis ad punctum tactus ductis. 135 p 1.

AMplius: duobus punctis datis, scilicet e, d, et dato circulo: est inuenire punctum in eo, ut an- gulum contentum a lineis, a punctis praedictis ad illud punctum ductis, diuidat per aequalia, linea circulum contingens in illo puncto. Verbi gratia: ducatur a puncto e ad centrum circu li dati, linea e g: et producatur usque ad circumferentiam: et sit e s: deinde ducatur linea g d. Et sit [per 10 p 6] m i linea diuisa in puncto c, ut sit proportio i c ad e m, sicut e g ad g d: et [per 10 p 1] diuidatur m i per aequalia in puncto n: et [per 11 p 1] ducatur perpendicularis n o: et super punctum m fiat an- gulus ęqualis medietati anguli d g s [per 9 et 23 p 1] per lineam m o. Palam, quod erit minor recto. [Nam anguli ad g deinceps aequantur duobus rectis per 13 p 1: itaque d g s ijsdem est minor: quare d g s dimi diatus minor est recto] et o n m rectus: igitur [per 11 ax.] concurret cum n o: concurrat autem in puncto o: et ducatur a puncto c [per praecedentem numerum] linea ad triangulum: quę sit c k f: ita ut propor tio k f ad m f sit, sicut proportio e g ad g s: et [per 23 p 1] super punctum g [terminum lineae e g] fiat angulus aequalis angulo m f k, per lineam usque ad circulum ductam: quae sit a g: et sit angulus a g e: et ducantur lineae a g, a d. Dico, quod a est punctum, quod quęrimus. Ducatur linea e a. Cum igitur an gulus m f k [per fabricationem] sit aequalis angulo a g e: et [per fabricationem] proportio k f ad m f, sicut g e ad g a: cum [per 15 d 1] g a sit aequalis g s: erit triangulum a g e simile triangulo m f k [per 6. 4 p. 1 d 6.] Igitur angulus f m k est ęqualis angulo e a g, et angulus a e g aequalis angulo m k f. Iam [per 23 p 1] a puncto a ducatur linea, tenens cum linea a e angulum aequalem angulo n m k: et sit li- nea a z: quę necessario concurret cum linea e g. Quoniam, quae est proportio k f ad m f, ea est e g ad

g a, et angulus g a z ęqualis est angulo f m c. [ęqualis e- nim conclusus est angulus f m angulo e a g] Igitur si- cut linea m o concurrit cum f k in puncto f: sic concur- ret a z cum e g. Sit concur- sus in puncto z: et produ- catur a z usque ad punctum q: ita ut linea a z se habeat ad z q, sicut m c ad c i: [per 12 p 6] et ducatur linea e q. De- inde [per 31 p 1] a puncto a ducatur aequidistans e q: quę sit a t: erit quidem [per 29 p 1] angulus a q e aequa- lis angulo q a t. Et quoniam duo anguli z e a, e a t sunt minores duobus rectis [quia per 29 p 1 angu- li q e a, e a t aequantur duobus rectis] concurret a t necessario cum e z [per 11 ax.] Sit concursus pun ctum t. Palam [ex prius demonstratis] quod angulus a e g est aequalis angulo m k f. Ducta autem a puncto e linea perpendiculari super a z: quae sit a l: erit [per 32 p 1] angulus a e l aequalis angulo m k n: cum [per fabricationem] angulus e a l sit aequalis angulo k m n, et angulus a l e ęqualis m n k: quia uterque rectus: restat ergo [per 13 p 1. 3 ax.] l e z aequalis angulo n k c: et angulus e l z rectus, ęqualis an gulo k n c: restat [per 32 p 1] ut angulus e z l sit ęqualis k c n: igitur [per 13 p 1. 3 ax.] e z q aequalis angu lo k c i. Palam ergo [per 4 p. 1 d 6] quod triangulum e a g simile est triangulo f m k: et triangulum e a l simile triangulo k m n: et triangulum e l z simile k n c: et triangulum e a z triangulo k m c [Nam per fabri- cationem angulus e a l aequatur angulo k m n, et angulus e z l ęqualis ostensus est angulo k c n: ergo per 32 p 1 reliquus reliquo: ideoque per 4 p. 1 d 6 triangula e a z, k m c sunt similia] Ergo proportio a z ad z e, sicut m c ad c k, et [per fabricationem] proportio a z ad z q, sicut m c ad c i: Igitur [per 22 p 5] proportio q z ad e z, sicut i c ad c k. Quare [per 6. 4 p. 1 d 6] triangulum q z e simile triangulo i c k: et triangulum q l e simile triangulo i n k [quia iam patuit triangulum e l z simile esse triangulo k n c: itaque cum partes partibus similes sint: totum triangulum q l e toti i k n simile erit. Quare per 1 d 6, ut q l ad l e, sic i n ad n k: et similiter ob triangulorum a e l, k m n similitudinem est, ut e l ad a l, sic k n ad m n] erit ergo [per 22 p et consectarium 4 p 5] proportio m n ad n i, sicut a l ad l q: et ita a l aequalis l q [quia m n aequata est ipsi n i] et [per 4 p 1] e q erit ęqualis e a: et angulus e q z aequalis angulo l a e: et [per fabricationem et 29 p 1] angulus e q z ęqualis angulo z a t: igitur [per 15. 32 p 1] tertius tertio ęqualis. Quare [per 4 p 6] proportio q z ad z a, sicut e z ad z t, et sicut e q ad a t: et [per 7 p 5] sicut a e ad a t. Sed q z ad z a, sicut e g ad d g [fuit enim per fabricationem e g ad g d, sicut i c ad c m: item ut c m ad i c, sic a t ad z q, et per consectarium 4 p 5 ut i c ad c m, sic z q ad a z: ergo per 11 p 5, ut e g ad g d, sic z q ad a z.] Igitur [per 11 p 5] a e ad a t, sicut e g ad g d. Fiat autem [per 23 p 1] super punctum a angulus ae- qualis angulo g a e: qui sit u a g. Palam, quod angulus g a l est medietas anguli u a t: [Quia enim ex concluso anguli z a t, z a e aequantur eidem z q e: ipsi inter se aequantur. Itaque si aequalibus aequalia ad- dantur, aequabitur angulus g a l duobus angulis u a g, z a t. Quare totus u a t duplus erit anguli g a l] Sed est medietas d g u: [quia angulus g a l ęqualis conclusus est angulo f m c: qui per fabricationem est dimidius anguli d g u. Qareangulus u a test ęqualis angulo dg u: per 6 ax.] sed anguli ua t, et t u a sunt minores duobus rectis [per 17 p 1] cum a t et t u concurrant. Quare duo anguli t u a et d g u sunt minores duobus rectis: igitur [per 11 ax.] a u concurret cum d g. Dico, quod concurret in puncto d: quoniam efficiet cum lineis u g, g d triangulum simile triangulo a u t: habebunt enim angu lum a u g communem: et angulus t a u est aequalis angulo d g u [per conclusionem.] Igitur [per 4 p 6] proportio a u ad a t, sicut u g ad lineam, quam secat a u ex d g: et [per 3 p 6] proportio e a ad a u, sicut e g ad g u: cum sit angulus u a g ęqualis angulo g a e [per fabricationem.] Cum ergo eadem sit propor- tio e a ad a t, sicut e g ad g d [ex concluso] et proportio e a ad a t, sit composita ex proportione e a ad a u et a u ad a t [ratio enim extremorum componitur ex omnibus rationibus intermedijs, ut demonstra uit Theon ad 5 d 6] erit proportio e g ad g d composita ex ijsdem. Quare erit compacta ex proportione e g ad g u et g u ad lineam, quam secat a u ex d g. Sed [ratio e g ad g d] est compacta ex proportionibus e g ad g u et g u ad g d. Igitur linea, quam secat a u ex g d, est linea g d: igitur a u secat d g in puncto d. Produca tur ergo [per 17 p 3] a puncto a contingens: quę sit h a: erit ergo [per 18 p 3] g a h rectus: sed g a l est me dietas anguli d g u: igitur angulus l a h est medietas anguli d g e: cum illi duo [d g u, d g e] ualeant duos rectos [per 13 p 1.] Sed cum angulus t a u sit aequalis angulo d g u: erit angulus t a d ęqualis d g e [per 13 p 1. 3 ax.] Igitur angulus l a h est medietas anguli t a d: et angulus e a l medietas anguli e a t [quia, ut patuit, e a l aequatur ipsi l a t:] igitur angulus e a h medietas anguli e a d. Quare a h diuidit angulum e a d per ęqualia. Quod est propositum. Si uero a u (cum sit angulus super punctum a ęqualis angu lo g a e) non cadit super lineam e s extra circulum, uel intra: sit ergo aequidistans. Igitur [per 29 p 1] an

gulus u a g ęqualis est angulo a g e: sed idem est aequalis angulo g a e [ex thesi.] Quare [per 1 ax.] an gulus g a e est aequa- lis angulo a g e: igi- tur [per 6 p 1] e g est aequalis a e. Simili ter angulus t a d erit ęqualis angulo a t g [per 29 p 1.] Sed iam dictum est [in primo casu huius numeri] quod angulus t a d est ęqualis angulo d g t. Igitur angulus a t g est ęqualis angulo d g t: et similiter [per 29 p 1] duo anguli a d g, d g t sunt ę- quales: igitur duo anguli a d g, a t g sunt ęquales. Sequetur ergo ex his, quod linea, quam secat a u ex d g, sit ęqualis lineae a t [nam cum anguli a t g, d g t: item a d g, t a d ęquentur: ęquabitur per 6 p 1 t m ipsi m g: item m d ipsi m a. Itaque si ęqualibus ęqualia addantur: ęquabitur d g ipsi a t.] Et iam dictum est, quod e g ęqualis sit a e. Igitur [per 7 p 5] proportio e g ad lineam, quam secat a u ex d g, est sicut a c ad a t. Sed iam dictum est ut a e ad a t, sic e g ad g d: igitur linea, quam secat a u ex d g, est d g. Et cum t a d sit aequalis d g t: erit l a h medietas anguli t a d, sicut dictum est supra, et e a l medietas e a t. Erit ergo e a h medietas anguli e a d. Quod est propositum.

37. A dato extra circulum puncto, ducere ad datam diametrum, lineam rectam: cuius pars inter peripheriam et datam diametrum aequetur parti diametri centro circuli conterminae. 136 p 1.

AMplius: dato circulo, cuius centrum g: et data in eo diametro b g: et dato e puncto extra cir- culum: est ducere a puncto e ad diametrum b g, lineam secantem circulum, ita ut pars eius a cir- culo usque ad diametrum sit ęqualis parti diametri, interiacenti inter ipsam et centrum. Verbi gratia: ducatur a puncto e perpendicularis super diametrum: et sit e c: et ducatur linea e g: et suma- tur linea q t aequalis e c: et [per 33 p3] fiat super q t portio circuli, ut quilibet angulus cadens in hanc portionem, sit ęqualis angulo e g b: et compleatur circulus [per 25 p 3] et a medio puncto q t duca- tur ex utraque parte perpendicularis usque ad circulum: erit quidem [per consectarium 1 p 3] diameter huius circuli: et a puncto q ducatur linea ad hanc diametrum, secans eam in puncto f, et producatur usque ad

punctum p circuli, ita ut f p sit aequalia medietati g b [per 34 n] et ducatur linea p t, et linea t f. Et du catur a puncto p linea ęquidistans diametro: quae sit p u: concurratque cum t f in puncto u: [con(( curret autem per lem- ma Procli ad 29 p 1] et a puncto u ducatur ae- quidistans t q: quae sit u o: et a puncto t ducatur perpendicularis super p q: quae sit t n: et a pun cto t ducatur aequidistans p q: quae sit t s: et a puncto u perpendicularis super p q: quae sit u h. Dein- de [per 23 p 1] ex angulo b g e secetur angulus aequalis angulo q p u: [id autem fieri potest, cum totus angulus q p t ęquetur per thesin angulo b g e: ideoque pars illius ab hoc toto detrahi potest] qui sit b g d: et ducatur linea e d z. Dico, quod d z est ęqualis z g: et ducatur a puncto d perpendicularis super b g: quae sit d i: et ducatur [per 17 p 3] a puncto d contingens: quę sit d k. Palam, cum diameter f l sit per- pendicularis super q t [per fabricationem] et super o u [per 29 p 1] et p u sit ęquidistans ei: erit [per 29 p 1] angulus o u p rectus: et cum o u diuidatur a diametro per aequalia et orthogonaliter: [Nam per fabricationem, 29. 32 p 1 triangula f q l, f o m: item f l t, f m u sunt ęquiangula. Itaque per 4 p 6 ut q l ad l f, sic o m ad m f: et ut f l ad l t, sic f m ad m u: ergo per 22 p 5 ut q l ad l t, sic o m ad m u: atqui per fabri- cationem q l ęquatur ipsi l t: ergo o m ęquatur ipsi m u] erit [per 4 p 1] f o ęqualis f u, et angulus f o u ęqualis angulo f u o. Sed cum duo anguli p o u, o p u ualeant rectum [per 32 p 1: quia angulus ad u re- ctus ostensus est] erit angulus f u p ęqualis angulo f p u. [angulus enim f o u ęquatur angulo f u o ex concluso, et anguli p o u et o p u ęquantur uni recto. Quare anguli f u o f p u aequantur uni recto: et angulus o u p rectus est: subducto igitur communi angulo f u o: reliquus f u p aequabitur reliquo f p u per 3 ax.] Quare [per 6 p 1] f p ęqualis est f u: et ita [per 1 ax.] aequalis f o: et ita p o ęqualis b g: [quia f p aequatur per fabricationem dimidię g b, et ex concluso ipsi f o: tota igitur p o ęquatur toti b g] et aequalis g d: [per 15 d 1] et ita [per 7 p 5] e c ad g d, sicut t q ad p o. Sed cum angulus k d g sit rectus [per 18 p 3] aequalis angulo g i d: et angulus i g d communis: erit triangulum i g d simile triangulo k d g: [per 32 p 1. 4 p. 1 d 6] et proportio g d ad d i, sicut g k ad k d. Sed [per fabricationem] angulus k g d est ęqua- lis angulo o p u, et angulus k d g rectus, aequalis o u p: et ita triangulum k g d simile triangulo o u p: et [per 1 d 6] proportio g k ad k d, sicut o p ad o u. Igitur [per 11 p 5] d g ad d i, sicut o p ad o u. Igitur proportio e c ad d i, sicut t q ad o u [demonstratum enim est, ut e c ad g d, sic t q ad p o: et ut g d ad d i, sic p o ad o u: ergo per 22 p 5, ut e c ad d i, sic t q ad o u.] Sed proportio q t ad o u, sicut t f, ad f u: cum trian gulum t f q sit simile triangulo o f u [per 29 p 1. 4 p. 1 d 6.] Verum [per fabricationem et 29 p 1] angulus u t s aequalis angulo h f u: quia coalternus ei: et angulus u s t rectus, aequalis angulo f h u: erit trian- gulum u s t simile triangulo h u f: et ita proportio t u ad u f sicut s u ad u h: [quare per 18 p 5 t f ad u f, sicut s h ad u h.] Sed [per 34 p 1] t n aequalis s h: cum sit ei ęquidistans [per 28 p1: quia anguli ad h et n interiores sunt recti per fabricationem] et sint inter duas aequidistantes. Iqitur [per 7 p 5] proportio t f ad u f, sicut t n ad u h. Quare proportio q t ad o u, ficut t n ad u h: et e c ad d i, sicut t n ad u h [Nam o- stensum est, ut e c ad d i sic t q ad o u: item ut t q ad o u, fic t f ad u f: et ut t f ad u f, sic s h, id est, t n ad u h: ergo per 11 p 5 ut e c ad d i, sic t n ad u h.] Sed cum [per fabricationem] angulus g i d sit rectus, aequa- lis angulo p h u, et angulus i g d ęqualis angulo h p u: est triangulum i g d simile h p u triangulo: et [per 1 d 6] proportio i d ad g d, sicut h u ad u p: quare proportio e c ad g d, sicut t n ad u p [ostensum enim est proxime ut e c ad d i, sic t n ad u h: et ut d i ad g d, sic u h ad u p: ergo ex aequo ut e c ad d g, sic t n ad u p.] Sed cum [per fabricationem] c g e sit ęqualis angulo n p t, et angulus g c e rectus, ęqualis p n t: erit [per 32 p 1. 4 p 6] g e ad e c, sicut p t ad t n. Igitur g e ad g d, sicut p t ad u p: [patuit enim, ut g e ad e c, sic p t ad t n: et ut e c ad d g, sic t n ad u p: ergo per 22 p 5, ut g e ad d g, sic p t ad u p.] Sed [per fabricationem, 3 ax.] angulus d g e est ęqualis angulo u p t. Igitur trangulum d g e simile triangulo u p t: [per 6. 4 p. 1 d 6] ergo angulus g d e ęqualis angulo p u t: restat ergo [per 13 p 1. 3 ax.] angulus g d z ęqualis angulo f u p: [et per fabricationem angulus f p u aequatur angulo z g d] quare tertius tertio [per 32 p 1: ideoque triangula z g d, f p u erunt aequiangula] et [per 4 p 6] proportio d z ad z g, sicut u f ad f p: sed u f ęqua lis est f p. Ergo d z equalis z g. Quod est propositum.

38. A puncto dato in altero laterum trianguli rectanguli, angulum rectum continentium, ducere ad latus angulo recto oppositum, rectam concurrentem cum reliquo latere infinito: ita, ut tota ad segmentum lateris angulo recto oppositi, conterminium primo lateri, habeat rationem in duabus rectis datam. 137 p 1.

AMplius: dato triangulo orthogonio a b g: cuius angulus a b g rectus: et dato in b g, uel a b pun cto d: est ducere lineam a puncto d ad latus a g, concurrentem in puncto, quod sit q: et ex alia par te concurrentem cum alio latere: ut ipsa totalis se habeat ad g q, sicut est e ad z. Verbi gratia: duca-

tur a puncto d ęquidistans a b: quae sit d m: et [per 5 p 4] fiat circulus, transiens per tria puncta d, m, g: erit m g diameter [per consectarium 5 p 4] et ducatur linea a d: et sit [per 2 p 6] h linea, ad quam se habet a d, sicut e ad z. Et cum [per 29 p 1] angulus d m g sit ęqualis b a g: secetur ex eo ę- qualis angulo d a g: et sit c m d: et ducatur m c, quousque contingat circulum in puncto c: a quo ducatur [per 34 n] linea ad diametrum m g usque ad circulum: ita quod l n sit aequalis lineae h: et ducatur linea n g, et linea d n concurrens cum a g in puncto q, et cum a b in puncto t. Cum igitur [per 27 p 3] angulus d m c sit aequalis angulo d n c: quia super eundem arcum: erit [per 1 ax.] angulus q n l ae- qualis angulo d a q, et [per 15 p 1] n q l aequalis angulo d q a. Quare [per 32 p 1. 4 p. 1 d 6] triangulum n q l simile triangulo d q a: ergo a q ad q n, sicut a d ad n l. Verum cum angulus d m g sit ęqualis angulo d n g [per 27 p 3] erit [per 1 ax.] q n g ęqualis t a q. Sit t punctum, in quo d n concurrit cum a b: et [per 15 p 1] angulus t q a ęqualis angulo n q g: erit triangulum t q a simile triangulo n q g: et [per 1 d 6. 16 p 5] erit pro- portio a q ad q n, sicut t q ad q g. Igitur [per 11 p 5] proportio t q ad q g, sicut a d ad n l: sed [per fabri- cationem] n l ęqualis h: et a d ad h, sicut e ad z. Igitur [per 11 p 5] t q ad q g, sicut e ad z. Quod est propositum. Potest autem contingere: quod a puncto c erit ducere lineas duas, similes c l n: et tunc erit ducere duas lineas a puncto d, similes t q, ut utriusque ad partem, quam secat ex a g, sit proportio, sicut e ad z: et erit eadem probatio.

39. Visu et uisibili a centro speculi sphaerici conuexi inaequabiliter distantibus, punctum re- flexionis inuenire. 22 p 6.

PRędictis habitis, dato speculo sphaerico: erit inuenire punctum reflexionis. Verbi gratia: sit a cen- trum uisus: b punctum uisum: g centrum sphaerę: et ducantur lineę a g, b g: et sumatur superficies, in qua sunt hę duę lineae [sunt enim in eadem superficie per 23 n 4] et sumatur circulus, communis huic superficiei et speculo. Inuenietur ergo punctum reflexionis in hoc circulo. Et sumatur linea alia m k: et [per 10 p 6] diuidatur in puncto f, ut m f se habeat ad f k, siut b g ad g a: et [per 10 p 1] diuidatur m k per aequalia in puncto o: et [per 11 p 1] ducatur a puncto o perpendicularis: quę sit c o: et ducatur a puncto k linea ad c o, tenens cum ea angulum aequalem medietati anguli b g a: [hoc autem fiet: si linea e g bifariam se- cans angulum b g a, et o c infinitę intelligantur, educta a puncto b perpendiculari super e g, fiat angu- lus o k c ęqualis angulo e b g: tunc enim (quia anguli ad o et c sunt recti) ęquabitur angulus o c k an- gulo e g b per 32 p 1] quę sit k c: et a puncto f ducatur linea ad e k: quę sit f p: et concurrat cum c o in puncto s, ita ut proportio s p ad p k sit, sicut b g ad semidiametrum g d [per pręcedentem numerum.] Et [per 23 p 1] ex angulo b g a secetur ęqualis angulo f p k: [Id autem fieri posse hinc constat. Quia enim angulus s c p, maior angulo c s p per 18 p 1 (cum latus p s maius sit latere c p: secus propositum problema per lineam m k expediri non posset) ęquetur per fabricationem dimidiato angulo b g a: ergo c s p eodem dimidiato mi- nor est. Quare duo anguli s c p, c s p minores sunt angulo b g a: at per 32 p 1 duobus angulis s o p, o s p ęquatur angulus s p k: idcirco s p k minor est angulo b g a: Itaque ab hoc ęqualis illi detrahi potest], sci licet d g b: et ducantur lineę s k, b d: erit igitur [per fabricationem] proportio b g ad g d, sicut s p ad p k: et i-

ta [per 6. 4 p. 1 d 6] triangulum s p k simile triangulo b g d: et erit angulus s k p ęqualis an gulo b d g. Sed forsan secun- dum prędicta [34. 38 n] poteri- mus a puncto f ducere aliam li neam ad c k, similem s p: ut sit pro- portio eius ad partem, quam seca- bit ex c k, sicut s p ad p k: et tunc a puncto t ad o s ducetur alia linea quam s k, alium cum c k an- gulum tenens maiorem uel mino rem angulo c k s. Si maior ex his angulis non fuerit maior recto: non licebit inuenire pun ctum reflexionis [ut mox osten detur.] Sit ergo angulus c k s maior recto: erit angulus b d g [qui illi ęqualis est ostensus] maior recto, et inuenitur punctum sic. Ducatur [per 17 p 3] contingens n d y. Et quia angulus p k o est minor recto [per 325 p 1: qui a c o k rectus est per fabricationem] secetur [per 23 p 1] ex angulo b d g [qui recto maior est ex con clusione] aequalis ei: qui sit q d g: est igitur triangulum f p k simile triangulo q g d [ęquatus nisi est angu- lus s p k angulo b g d, et q d g angulo p k f: reliquus igitur ad f ęquatur reliquo ad q per 32 p 1, et per 4 p. 1 d 6 triamgula f p k, q d g sunt similia] et erit angulus d q b ęqualis angulo k f s [per 13 p 1. 3 ax.] et triangulum d q b simile triangulo k f s. [totus nisi angulus p k s ęquatur toti b d g, ut patuit et p k f ęquatur ipsi q d g per proximam fabricationem: ergo per 3 ax. reliquus f k s ęquatur reliquo q d b: et per 32 p 1 tertius tertio. Itaque per 4 p. 1 d 6 d q b, k f s triangula sunt similia.] Producatur d q, et [per 12 p 1] ducatur a puncto b perpendicularis super ipsam: quę sit b z: erit [per 13 p 1] angulus b q z ęqualis angulo s f o et angulus b z q rectus, ęqualis angulo s o f: et ita triangulum b q z simile triangulo s f o. Ducatur d z usque ad punctum i: et sit z i ęqualis z d [per 3 p 1.] Palam [e triangulorum z q b, s o f: item q d b, k f s similitudine] quod z q ad q b, et q b ad q d, sicut o f ad f s, et f s ad f k [ideoque per 22 p 5, ut z q ad q d, sic o f ad f k] et ex hoc [per 18 p 5] z d ad q d, sicut o k ad f k: et ita [sumendo antecedentium dupla per 15 p 5] i d ad q d, sicut m k ad f k: et ita [per 17 p 5] i q ad q d, sicut m f ad f k: et [per 11 p 5] i q ad q d, sicut b g ad g a [est enim per fabricationem m f ad f k, sicut b g ad g a.] Ducatur autem linea b i: et ei aequidistans d l: erit triangulum l d q simile triangulo b q i: [Nam per 29 p 1 angulus q d l ęquatur angulo b i q, et per 15 p 1 d q l ipsi b q i: itaque per 32 p 1 reliquus reliquo: et per 4 p. 1 d 6 triangula d q l, b q i erunt similia et proportio i q ad q d, sicut i b ad d l. Et cum i z sit ęqualis z d, et b z perpendicularis: erit [per 4 p 1] b d aequalis b i. Quare e- rit [per 7. 11 p 5] b d ad d l, sicut b g ad g a. Ducatur a puncto d linea: quę sit d h, aequalem tenens angu lum cum linea l d, angulo b g a: et cum h l et d l concurrant: erunt [per 17 p 1] l h d, l d h minores duobus rectis: et ita duo anguli a g h, d h g, eis ęquales, sunt minores duobus rectis: quare [per 11 ax.] h d concur ret cum g a. Dico quod concurret in puncto a. Palam [per 18 p3] quod angulus g d n rectus, est ęqualis duo bus angulis o c k et o k c: [quia ęqualis est angulo m o c recto, ęquali eisdem angulis per 32 p 1] et an- gulus o k c ęqualis angulo g d q: [per fabricationem] restat [per 3 ax.] angulus q d n ęqualis angu- lo o c k: et ita q d n medieas anguli b g a, et ita medietas anguli h d l [aequati angulo b g a.] Sed [per 3 p 6] angulus q d b est medietas anguli b d l: quoniam proportio b q ad q l, sicut b d ad d l: cum triangulum d l q sit simile triangulo b q i [ex concluso] et b d aequalis b i, [ut patuit.] Restat ergo, ut angulus n d b sit medietas anguli h d b: et ita b d n aequalis n d h. Producatur g d ultra d a d punctum f. Quia igitur [per 18 p 3] anguli f d n, g d n sunt recti: ergo [per 3 ax.] restat b d f aequalis angulo h d g: Sed angulus h d g aequalis angulo f d a contra posito [per 15 p 1.] Quare b d f aequalis f d a. Et ita d est punctum re- flexionis [per 12 n 4.] Ita dico: si a d concurrat cum a g in puncto a: quod quidem sic patebit. Ducatur [per 31p 1] inea h t aequidistans b d. Palam [e proxime demonstratis] quod angulus b d f aequalis est an- gulo h d g: sed [per 29 p 1] b d f est aequalis angulo h t d [ergo per 1 ax. h d g, h t d aequantur.] Quare [per 6 p 1] h t erit aequalis h d. Sed proportio b d ad h t, sicut b g ad g h. [sunt ęnim triangula b d g, h t g aequiangula: quandoquidem angulus ad g communis est, et g h t aequatur g b d per 29 p 1: ideoque per 32 p 1 tertius tertio. Quare per 4 p 6 habent latera aequalibus angulis opposita homologa.] Igitur [per 7 p 5] proportio b d ad d h, sicut b g ad g h. Sed h d producta concurret cum g a [ut monstratum est] et fiet triangulum simile triangulo h d l: cum habeant angulum l h d communem, et angulus h d l sit aequalis angulo h g a [per fabricationem: et per 32 p 1 reliquus reliquo.] Igitur [per 4 p 6] proportio h d ad d l, sicut h g ad lineam, quam secat h d ex g a: et proportio b d ad d l constat ex proportione b d ad d h, et d h ad d l [ratio nisi extremorum componitur ex omnibus rationibus intermedijs, ut ostendit Theon ad 5 d 6.] Igitur constat ex b g ad g h, et g h ad lineam, quam secat h d ex g a: sed b d ad d l, sicut b g ad g a [ut patuit.] Igitur proportio b g ad g a constat ex proportionibus b g ad g h et g h ad lineam, quam secat h d ex g a: sed constat ex proportionibus b g ad g h, et g h ad g a. Igitur g a est linea quam secat h d ex g a: et ita concurret cum ea in puncto a. Quod est propositum.

40. Si radius a uisibili speculo sphaerico conuexo oblique incidens, cum semidiametro eiusdem an- gulum non maiorem recto comprehendat: non reflectetur ad uisum ab illo incidentiae puncto. 21. 22 p 6.

SI uero angulus c k s non fuerit maior recto. Dico, quod non fiet reflexio ad aliquo puncto speculi ad uisum. Si enim dicatur, quod potest: Sit d punctum reflexionis: et producatur linea a d usque ad h punctum in diametro b g. Et [per 23 p 1] fiat angulus l d h aequalis angulo a g b: et producatur

contingens n d y: et fiat angu lus q d n aequalis medietati anguli a g b. Palam, quod triangulum h d l simile est tri- angulo h g a [quia enim an- gulus h d l aequatus est an- gulo h g a: et d h g est com- munis: aequabitur per 32 p 1 tertius tertio: et per 4 p. 1 d 6 triangula erunt similia.] Quare proportio d h ad d l, sicut h g ad g a: sed b d ad d h, sicut b g ad g h: quod pate- bit per aquidistantem h t ipsi b d. [sic enim triangula b g d, h g t fient aequiangula. Et h d ęquatur ipsi h t. Nam quia d per thesin est punctum reflexionis, et e g perpendicularis plano spe culum in reflexionis puncto tangenti per 25 n 4: ęquabitur angulus b d e angulo a d e per 12 n 4: et per 29 p 1 b d e, id est a d e, id est per 15 p 1 h d t ęquatur ipsi h t d: Itaque per 6 p 1 latus h d aequatur lateri h t.] Igitur b d ad d l, sicut b g ad g a [quia enim ex concluso est, ut b d ad d h, sic b g ad g h: item ut d h ad d l, sic g h ad g a: erit per 22 p 5, ut b d ad d l, sic b g ad g a.] Sed cum angulus b d e sit aequalis angulo h d g: [ex concluso] erit angulus b d n medietas anguli b d h [nam anguli n d e, n d g recti per 18 p 3, aequantur per 10 ax: et b d e ipsi h d g: ergo per 3 ax. reliquus b d n reliquo h d n aequatur. Itaque b d n dimidius est ipsius b d h.] Sed n d q est medietas anguli h d l [est enim per fabricationem dimidius anguli a g b, cui aequatus est h d l.] Igitur b d q medietas anguli b d l. Quare [per 3 p 6] proportio b q ad q l, sicut b d ad d l. Ducatur [per 31 p 1] a puncto b ęquidistans d l: et sit b i: et concurrat d q cum e a in puncto i: [concur- ret autem per lemma Procli ad 29 p 1] et [ per 10 p 1] diuidatur d i in aequalia in puncto z: et ducatur b z: e- rit [per 29. 15. 32 p 1. 4 p. 1 d 6] triangulum b q i simile triangulo q d l. Igitur ut b q ad q l. sic b i ad d l [at ostensum est, ut b q ad q l, sic b d ad d l: ergo per 11 p 5 ut b i ad d l, sic b d ad d l] et ita [per 9 p 5] bię- qualis b d: et i q ad q d, sicut m f ad f k: [est enim ob triangulorum b q i, q d l similitudinem, ut i q ad q d, sic b q ad q l: et ut b q ad q l, sic b i, id est, b d ad d l: et ut b d ad d l, sic b g ad g a ex concluso: et ut b g ad g a, sic m f ad f k per fabricationem: ergo per 11 p 5, ut i q ad q d, sic m f ad f k] et ita [per 18 p 5] i d ad q d, sicut m k ad f k: et ita [sumendo antecedentium dimidia per 15 p 5] d z ad q d, sicut o k ad f k: et ita [per 17 p 5] z q ad q d, sicut o f ad f k. Palam, quod b z est perpendicularis: [quia enim b i aequatur b d ex concluso, et i z ipsi z d per fabricationem, et b z communis est: erunt triangula i b z, d b z aequi- angula per 8 p 1: et angulus b z i aequabitur angulo b z d: suntque deinceps: Quare per 10 d 1 b z perpendi cularis est i d] producatur, donec concurrat cum d g in puncto x: quod quidem possibile est [per 11 ax.] cum an- gulus d z x sit rectus, z d x minor recto. Et palam, quod proportio b g ad g d, sicut s p ad p k: [per fabricatio- nem.] Cum ergo angulus c k s dicatur non esse maior recto: dico, quod super punctum k fiet maior recto, per lineam concurrentem cum c o in puncto, a quo ducetur linea ad c k, transiens per punctum f, retinens proportionem ad par tem p k, sicut b g ad g d. Quod autem hoc possibile, planum est: cum angulus q d n sit aequalis angulo k c o: [est enim uterque dimidius duorum aequalium b g a, h d l, ut monstratum est] erit angulus q d g aequalis an- gulo c k o. [quia enim trianguli c o k angulus ad o rectus est: reliqui o c k, o k c aequantur uni recto per 32 p 1: ideoque per 10 ax. angulo n d g recto per 18 p 3: et o c k aequatur q d n: ergo per 3 ax. reliquus o k c ęquatur reliquo q d g.] Fiat ergo super punctum k angulus ęqualis b d q: et ponatur, quod linea hunc angu lum tenens, concurrat cum c o in puncto s: et ducatur s f p. Planum est, cum angulus b z d rectus, ęqualis angu- lo s o k: quod erit triangulum b z d simile s o k [per proximam fabricationem. 32 p 1. 4 p 1 d 6] et b z ad b d, sicut o s ad s k, et b z ad d, sicut s o ad o k: sed q z ad q d, sicut o f ad f k. [ex concluso: et per consectarium 4 p 5, ut q d ad q z, sic f k ad o f: et per 18 p 5, ut z d ad q z, sic o k ad o f: est autem ut b z ad z d, sic s o ad o k: et ut z d ad q z, sic o k ad o f: ergo per 22 p 5, ut b z ad z q, sic s o ad o f. Triangula igitur b z q, s o f sunt aequiangula per 6. 4 p. 1 d similia.] erit ergo angulus z b q aequalis angulo o s f: et angulus q b d aequalis angulo f s k. [per 3 ax. totus enim angulus o s k toti z b d aequatur, ob triangulorum o s k, z b d similitudinem iam demonstratam.] Quare triangulum b g d simile triangulo s p k. [Nam angulus q d g ae- qualis ostensus est angulo p k f: et angulus f k s ęquatus est angulo b d q: totus igitur p k s toti b d g ę- quatur. Itaque per 32 p 1 reliquus reliquo. Sunt igitur per 4 p. 1 d 6 triangula b g d, s p k similia.] Igitur proportio s p ad p k, sicut b g ad g d. [Quare si ad lineam b g, eiusque terminum g, per semidiametrum specu li sphęrici g u angulus aequetur angulo s p k secundo: erit u punctum reflexionis. Quia igitur angulus ad p primus, maior est angulo ad p secundo per 16 p 1: perspicuum est e primo demonstratis, uisibile h a duobus punctis speculi d et u ad eundem uisum reflecti, contra 29 n. Itaque angulus c k s, cuius beneficio reflexionis punctum inueniendum est, necessario est obtusus.] Quod est propositum. Amplius: impossi- bile est, ut duorum angulorum super m o constitutorum, sit uterque maior recto. Si enim uterque talium fue rit maior recto, cum super idem centrum fiat angulus aequalis angulo s k m: fiet super idem centrum a- lius angulus diuersus ab isto, quem efficit super k m alia linea similis s k: et ita a puncto d, et ab alio puncto illius circuli fiet reflexio: quod est impossibile: cum iam probatum sit [29 n] quod unum uni uisui sit reflexionis punctum: et iam ostensum sit, quomodo inueniri possit.

41. Visibile a duobus speculi sphaerici conuexi punctis ad utrunque uisum reflexum, unam habet imaginem. 34 p 6.

DVobus autem uisibus, licet duo sint reflexionis puncta: tamen unica erit imago sensuali syllogismo, et unus imaginis locus. Et hoc probabimus, quando duae lineae a centris oculorum ad centrum cir- culi ductę, sunt aequales. Si ergo situs puncti uisi, respectu utriusque uisus, sit idem, ut lineae a pun- cto uiso ad centra oculorum, sint aequales: facilis erit probatio. Quoniam

diametri uisuales secant ex circulo arcus reflexionis, et tenent angulos aequales cum linea, a puncto uiso ad centrum sphaerae ducta, et arcus inter hanc lineam et diametros uisuales interiacentes, sunt aequales. [Cum enim ex thesi uterque uisus aequabiliter distet tum a uisibili tum a speculi centro: ducta igitur perpendiculari incidentiae: fient duo triangula aequilatera, ideoque per 8 p 1 aequiangula. Itaque aequalibus in centro angulis aequales arcus subtendentur per 26 p 3.] Et si sumantur puncta reflexionis: secundum supra dictam probationem, arcus circuli interiacentes inter haec puncta, et punctum circuli, quod est in perpendiculari, a puncto uiso ducta: erunt ae- quales: [Nam propter utriusque uisus aequabilem tum a uisibili tum a speculi centro distantiam: perpendiculares per reflexionum puncta ductę, comprehen- dunt cum perpendiculari incidentię aequales angulos in centro, quibus per 26 p 3 aequales arcus subtenduntur] quod facile patebit, iterata superio- re probatione: et hoc: siue puncta reflexionis sint in eadem superficie re flexionis, siue in diuersis: erunt tamen arcus illi aequales: et lineae ductę a centris oculorum ad puncta reflexionum aequales: et lineę a puncto uiso ad eadem puncta, aequales. [Quia enim anguli ab opticis diametris ex thesi aequalibus, et speculi semidiametris comprehensi, aequales demonstrati sunt: aequabuntur igitur per 4 p 1 tum reflexionis tum incidentiae lineae inter se.] Et lineae a centris oculorum ad reflexionum puncta procedentes, necessario se secabunt [per 11 ax: angu- li enim per reflexionum lineas in utroque uisu facti, sunt minores duobus rectis.] Et euidens est probatio, quod super idem punctum perpendicularis a puncto uiso ductę, erit sectio ambarum linearum reflexionis. [Nam an- gulorum reflexionis ostensam aequabilitatem consequitur aequabilitas angulorum incidentiae per 12 n 4: et anguli comprehensi a lineis incidentię et perpendiculari aequales probati sunt. Itaque per 32 p 1 triangula comprehensa a lineis incidentię, continuatione linearum reflexionis, et communi per- pendiculari incidentię, sunt ęquiangula. Quare per 4 p 6, ut sunt lineę incidentię, sic sunt continua- tiones linearum reflexionis: at illę ęquantur: igitur et hae. Itaque in uno perpendicularis puncto con currunt.] Et in hoc puncto utrique uisui apparebit imago: et una sola. Quod est propositum.

42. In speculo sphaerico conuexo puncta imaginis, punctis uisibilis situ et ordine, in utroque uisu respondent. 35 p 6.

ESt autem ordinatio imaginum, sicut ordinatio punctorum uisorum. Si enim in re uisa sumatur linea, a cuius capitibus ducantur duae lineae ad centrum sphaerę: fiet triangulum, in quo continebuntur imagi- nes omnium punctorum illius lineae. Et si sit in illa linea punctum non eiusdem situs, respectu amborum uisuum: Imago puncti remotioris ab eo, erit in diametro remotiore ab eius diametro: et propinquio- re. Et ita obseruatur situs partium in imaginibus, sicut fuit in punctis uisis. Sumpta autem linea, in qua est punctum eiusdem situs: quodlibet punctum illius lineę eiusdem situs erit, respectu duorum oculorum secun- dum modum prędictum: et unicam habebit imaginem, propter aequalitatem angulorum illius lineę cum lineis ui- sualibus. Si autem sumatur linea, quae angulum, quem continent duae lineae a centris oculorum ad punctum ui sum, diuidat per aequalia: situs cuiuslibet puncti lineae quantumlibet productae, erit idem utrique uisui, sicut fuit uni. Et idem est probationis modus. Praeter has duas lineas non est sumere aliam, eundem ob- seruantem situm. Vnde, cum punctum uisum comprehendatur in perpendiculari [per 3 n] cadet imago eius in diuersis punctis illius perpendicularis, sed imperceptibiliter a se remotis: et imago cuiuslibet puncti a quotcunque uideatur oculis, femper obseruat identitatem partis. Vnde apparet unitas imaginis, sicut dictum est in uisu directo [27 n 1] quod formae, licet in diuersa cadant loca: propter tamen distantiam earum insensibilem non diuersificant apparentiam, nisi diuersificent partem. Similiter hic, quando remotio puncti ab uno uisu fuerit modico maior, quam ab alio: erunt loca i- maginum imperceptibiliter remota. Vnde apparent simul, et ex eis una imago compacta: quando- quidem imaginum loca aliquando non totaliter distant, sed partialiter.

43. Si communis sectio superficierum reflexionis et speculi cylindracei conuexi fuerit latus cylindri, uel circulus: loca, tum reflexionum tum imaginum eodem modo se habebunt, ut in speculis pla- no et sphaerico conuexo. 42. 43 p 7.

IN speculis columnaribus exterioribus aliquando linea communis superficiei reflexionis et superfi- ciei speculi, est linea recta: aliquando circulus: aliquando sectio columnaris. Cum fuerit linea commu- nis, linea recta: erit locus imaginis in perpendiculari a puncto uiso ducta super superficiem spe- culi, tantum distans a linea communi, quantum punctum uisum ab eadem. Et eadem est probatio, quae dicta est in speculo plano [11 n.] Cum autem communis linea fuerit circulus: erit aliquando imaginis locus intra circulum: aliquando extra: aliquando in ipsa circumferentia. Eius rei eadem penitus assignatio, quae in speculo exteriore sphaerico [22 n.]

44. Si perpendicularis incidentiae secetur a lineis: reflexionis, intra ellipsin (quae est communis sectio superficierum reflexionis et speculi cylindracei conuexi) et tangente in reflexionis pun- cto: erit ut tota perpendicularis ad inferum segmentum, sic superum ad intermedium. Et infe- rum maius erit segmento lineae reflexionis. 47. 48 p 7.

SI uero linea comunis fuerit sectio columnaris: dico, quod imaginum quędam sunt intra speculum: quę dam in superficie speculi: quędam extra speculum: quę in singulari explanabuntur. Sit a b c sectio colum- naris: b sit punctum reflexionis: e punctum uisum: d centrum uisus: et [per 12 p 11] ducatur a puncto b per- pendicularis super superficiem contingentem speculum: quae sit g b q: et [per 11 p 11] ducatur a puncto e per- pendicularis super superficiem, contingentem speculum: quę sit e k q: et linea contingens speculum in puncto b: sit t u: linea contingens speculum in puncto k: sit k m. Dico, quod duę perpendiculares g b q, e k q concurrent. Ducantur lineę e b, d b: et ducatur linea k b. Palam, quod k m cadet in figuram e k b, et linea b t in figuram eandem [quia recta linea secans angulum trianguli, secat basim angulo subtensam: secus non secaret angu lum.] Igitur b t secabit e k: secet in puncto t. Palam, quod angulus g b k est maior recto, et angulus e k b similiter maior recto [quia g b q, e k q sunt perpendiculares ipsis t u k m.] Quare [per 13 p 1. 11 ax.] g b, e k concurrent. Sit concursus punctum q. Similiter d b k maior recto: igitur d b, e k concurrent. Sit concursus

punctum h. Igitur h est locus imaginis [per 4 n.] Dico etiam, quod proportio e q ad q h, sicut e t ad t h: et etiam quod q h est maior h b. Ducatur [per 31 p 1] h f aequidi- stans e b. Palam, quod angulus e b t est ęqualis angulo d b u [per 12 n 4:] est igitur [per 15 p 1. 1 ax.] aequalis an- gulo t b h: restat e b g aequalis angulo h b q: cum g b t, t b q sint recti. Cum igitur t b diuidat angulum e b h per ae- qualia: erit [per 3 p 6] e t ad t h, sicut e b ad b h: Sed an- gulus e b g est equalis angulo h f b [per 29 p 1:] quare h f, h b sunt aequalia. [angulus enim e b g ęqualis con clusus est angulo h b f: itaque anguli h f b, h b f aequan- tur: quare per 6 p 1 latera h f, h b ęquantur: ergo per 7 p 5, ut e t ad t h, sic e b ad h f] Sed e b ad h f, sicut e q ad q h [per 4 p 6: quia enim h f parallela ducta est ipsi e b: sunt triangula e b q, h f q aequiangula per 29. 32 p 1.] Erit ergo [per 11 p 5] e t ad t h, sicut e q ad q h. Quod est proposi- tum. Et ex hoc: cum sit, proportio e q ad q h, sicut e b ad h f [et h f aequetur ipsi h b: erit per 7 p 5, e q ad q h, sicut e b ad b h] et e q sit maior e b [per 19 p 1: quia angulus e b q recto maior est] erit [per 14 p 5] q h maior h b Quod est propositum. Palam ex hoc, quod si super sectionem a b c ducatur perpendicularis super superficiem contingentem sectionem: concurret cum g b. Et hęc quidem patent, cum punctum uisum non fuerit in perpendiculari uisuali. Palam enim ex superioribus [19 n] quod unius solius puncti forma perperpendicularem accedit ad speculum, et secundum eundem reflectitur. Et est punctum perpendicularis, existens in superficie uisus: punctum enim ultra uisum sumptum non potest reflecti super hanc perpendicularem: quia non potest accedere ad speculum su per perpendicularem, propter praedictam ibidem rationem. Et similiter non poterit reflecti ab alio puncto speculi, quam a puncto perpendicularis huius: quia accideret duas perpendiculares concurrere, et effi- ficere triangulum, cuius duo anguli recti, sicut supra patuit.

45. Si communis sectio superficierum, reflexionis et speculi cylindracaei connuexi fuerit ellipsis: imago uisibilis oblique reflexi, alias in superficie speculi: alias intra: alias extra speculum uidebitur. 49 p 7.

AMplius: sumatur sectio columnaris: et sumatur in ea punctum a: et ducatur contingens sectio- nem: quae sit e a t: et sumatur perpendicularis super a t intra speculum: quę sit d a. Palam, quod d a diuidit sectionem in duas partes, in quarum utraque est punctu unicum, cuius puncti linea contin- gens, erit aequidistans a d. Sit ergo aliud punctum g, cuius contingens concurrat cum linea a d in puncto h: et ducatur perpendicularis super hanc contingentem: quae sit q g: et haec quidem necessario concurret cum h d, sicut ostensum est in praecedente figura [est enim angulus q g h per fabricationem rectus: ergo q g a maior est recto: et ob id h a g recto maior est. Itaque per 13 p 1 d g a, d a g sunt minores duobus re- ctis. Quare per 11 ax. q g, h a continuatae concurrent.] Sit concursus in puncto d: et ducatur linea g a

usque ad p: et ducatur linea q a. Igitur angulus q a h aut est aequalis angulo h a p: aut maior: aut mi- nor. Sit ęqualis. Procedet igitur forma puncti q ad a, et reflectetur ad p [per 12 n 4] quod uisus sit: et locus imaginis erit punctum sectionis columnaris, scilicet g [per 4 n.] Si uero supra punctum q suma tur aliquod punctum, ut punctum fierit quidem angulus f a h minor angulo h a p [quia angulus h a p aequa- tur h a q, qui per 9 ax. maior est angulo h a f.] Fiat ei aequalis n a h: concurret quidem n a cum g q [per 11 ax. ut antea] intra columnam. [quia punctum n sublimi- us est puncto p.] Sit in puncto k. Palam ergo, quod imago puncti ferit in puncto k [per 4 n] et imagi- nes omnium punctorum lineae q f ultra punctum q, intra columnam. Si uero inter q et t sumatur punctum ali- quod: ut punctum r: erit angulus r a h maior angulo h a p [quia h a p aequatur h a q, quo angulus h a r maior est per 9 ax.] Fiat ei ęqualis h a m. Palam, quod m a cadet supra lineam g q, et extra sectionem [cum e- nim linea p a (quae cum h a continet angulum aequalem h a q) concurrat cum sectione in puncto g: et punctum m sit inferius puncto p: linea igitur m a continua- ta concurret cum g q extra sectionem.] Sit in puncto o. Erit igitur imago r in puncto o [per 4 n.] Et omnium punctorum inter t, q interiacentium imagines, erunt extra sectionem inter o et g. Si uero angulus q a h fue rit minor angulo h a p: secetur ex eo aequalis: et sit h a n. Palam, quod imago q erit in puncto k: et o- mnium punctorum superiorum imagines erunt intra sectionem. Si uero inferius sumatur r punctum, ut angu- lus r a h sit ęqualis angulo h a p: erit imago r in sectione: et omnes inter r et q intra: omnes inter r et t extra. Si uero angulus q a h fuerit maior angulo h a p: fiat ei aequalis h a m. Palam, quod m a secabit sectio nem: [quia e a t tangit] et secet in puncto b: et ducatur contingens super punctum b: quę concurret cum d h, ut in puncto l [ducta enim recta d b: erit angulus d b l rectus, et b d l acutus: itaque tangens sectionem in puncto b concurret cum d h per 11 ax.] eritque [per 17 p 1] angulus d l b acutus, et angulus h l b obtusus: [per 13 p 1] et l b concurrens cum h g faciet cum ea acutum [per 32 p 1: quia angulus h l b est obtusus.] Duca tur perpendicularis a puncto b super l b: quę sit s b: secabit quidem h g, ut in puncto x: et faciet angulum a- cutum cum ea [per 15 p 1] quoniam angulus contrapositus similiter erit acutus [per 32 p 1: quia angulus a d b rectus est] et h g secat q a: sit punctum sectionis u: et facit acutum angulum cum ea super punctum u [cum enim h g concurrat cum q a: et q a cum f d, et angulus h g q sit rectus: erit per 32 p 1 angulus q u g acu- tus.] Quare s b et q u concurrunt [quia enim angulis s x h, q u g acutis conclusis aequantur anguli ad uerticem per 15 p 1. Ergo per 11 ax. q u et s b concurrunt.] Sit concursus in z. Palam ergo, quod forma pun cti z mouebitur ad speculum per z a, et reflectetur per a m: et locus imaginis, b: et imagines punctorum lineae z s ultra z, erunt intra sectionem: et punctorum citra z, extra sectionem. Quod fuit propositum.

46. Si communis sectio superficierum, reflexionis et speculi cylindracei conuexi, fuerit latus cylindri, uel circulus basibus parallelus: ab uno puncto unum uisibilis punctum ad unum uisum reflectetur. 26. 27 p 7.

AMplius: ab uno solo puncto speculi columnaris fit reflexio ad centrum uisus: utpote punctum b refle- ctatur ad a a puncto g. Dico, quod non reflectetur ad ipsum ab alio puncto speculi, quam a puncto g. Quoniam, si in superficie reflexionis, quae est a b g, sit totus axis speculi: erit linea communis superficiei speculi et superficiei reflexionis linea longitudinis speculi [per 29 n 4.] Et cum in superfi- cie reflexionis sit centrum uisus, punctum uisum, punctum reflexionis, et punctum axis, in quod cadit perpendicu laris: [per 23. 34 n 4] una sola superficies sumi potest, in qua sit linea illa longitudinis, axis, et pun- cta a, b, g. Quare non potest fieri reflexio ad a, nisi ab aliquo puncto lineę longitudinis: sed iam pro- batum est [51 n 4 generatim de quolibet speculo, et 14 n speciatim de speculo plano] quod non potest fieri reflexio ad a ab alio puncto, quam a puncto g. Quare in hoc situ ab uno solo puncto speculi fit ad a reflexio. Si uero superficies a b g sit aequidistans basi columnae: erit linea communis, circulus aequidi- stans basi [per 5 th Sereni de sectione cylindri.] Et iam patuit [29 n] quod ab alio puncto illius cir-

culi non potest fieri ad a reflexio. Et si ab alio puncto speculi fiat reflexio perpendicularis du cta a puncto illo, cadet orthogonaliter super axem. [Nam cum per 34 n 4 perpendicularis illa in- tus continuata fiat diameter circuli basibus pa ralleli: erit per 21 d 11. 29 p 1 ad axem perpendi culari ] et secabit lineam a b in puncto aliquo. A puncto illo ducatur linea ad axem in super- ficie, aequidistante basi columnae: erit quidem or- thogonalis super axem [per 21 d 11. 29 p 1.] Et ita duae perpendiculares efficient cum axe trian- gulum, cuius duo anguli sunt recti: quod est impossibile [et contra 32 p 1.] Palam ergo, quod in hoc situ non reflectetur b ad a, nisi a puncto g.

47. Si communis sectio superficierum, reflexionis et speculi cylindracei conuexi fuerit elli- psis: ab uno puncto unum uisibilis punctum ad unum uisum reflectetur. 28 p 7.

SI uero superficies a b g secet speculum sectione columnari: dico, quod a solo puncto g fit reflexio. Ducatur a puncto a superficies aequidistans basi columnae: [ductis nimirum duabus perpendi- cularibus super axem se intersecantibus: una quidem a puncto a per 12 p 1: altera uero ab axis pun cto, in quod illa cadit per 11 p 1. Sic enim axis, qui per 21 d 11 est perpendicularis basi: erit per 4 p 11 perpendicularis plano ductarum perpendicularium. Itaque per 14 p 11 basis et hoc planum erunt parallela] quae sit e z i: et a puncto g similiter superficies aequidistans basi speculi: in qua ducatur ab axe linea ad punctum g: quae sit t g: erit quidem perpendicularis super superficiem, contingentem speculum in puncto g [per 34 n 4: quia est diameter circuli basibus cylindri paralleli] et concurrat cum a b in puncto k [concurret autem: quia diuidit angulum a g b] et ducatur a puncto g linea longitudinis speculi: [ducto nempe plano per axem et per rectam, cum ipso a puncto g utlibet concurrentem: erit enim huius plani et cylindraceae su perficiei communis sectio latus cylindri per 21 d 11] quae sit g z: et sit axis t q: et a puncto b perpendicu laris ducatur ad superficiem e z i: quę sit b h: et ducantur lineę a z, h z: et ducatur a puncto z in superficie illa ad axem linea, quae sit z q: erit quidem perpendicularis super axem [per 3 d 11] cum axis sit perpendi- cularis super hanc superficiem [per 21 d 11] et erit perpendicularis super superficiem, contingentem speculum in puncto z [ut paulo ante ostensum est] et concurrat cum linea a k in puncto l. [concurret uero, quia se- cat angulum a z h.] Dico, quod forma puncti h reflectetur ad a, a puncto z. Ducatur a puncto a aequidi- stans lineę k g: quę sit a m: quę quidem concurrat cum b g. [per lemma Procli ad 29 p 1.] Sit concursus in pun cto m. Palam [per 6 p 11] quod g z est aequidistans lineae b h: cum utraque sit orthogonalis super superfi ciem aequidistantem basibus columnae. Quare [per 7 p 11] linea b g m est in superficie harum linearum. Igitur

tria puncta m, z, h sunt in hac superficie. Sed iterum a m est ae- quidistans k g [per fabrica- tionem] et l z aequidistans k g: quoniam g z aequidistans t q et inter superficies aequidistan tes. [nam per 21 d 11 latus z g et axis q t paralleli et aequales, circulis oppositis et paral- lelis terminantur, in quibus semidiametri t g, q z sunt pa rallelę per 33 p 1: et t g conti- nuata est in k.] Igitur l z ae- quidistans a m [per 30 p 1: sunt enim m a, z l eidem t g k paral- lelae.] Quare sunt in eadem superficie [per 35 d 1] et in ea est linea a h [per 7 p 11: quia connectit m a, z l parallelas.] Igitur in hac superficie sunt tria puncta, m, z, h: et iam patuit, quod sint in superficie b m h: igitur sunt in linea commu ni his duabus superficiebus. Igitur [per 3 p 11] h z m est linea recta. Palam igitur, cum g sit punctum reflexionis: erit [per 12 n 4] angulus a g k aequalis angulo k g b: et ita [per 29 p 1. 1 ax.] ęqualis an- gulo a m g: sed [per 29 p 1] est aequalis m a g: quia coalternus. Igitur [per 6 p 1] a g, m g sunt aequa les. Sed quoniam g z est orthogonalis super quamlibet lineam superficiei z a h: [per 3 d 11] erit quadra tum m g aequale quadratis m z, g z [per 47 p 1] erit igitur a z aequalis m z [Nam propter eandem caus- sam quadratum a g aequatur quadratis a z, g z: at quadrata a g, m g aequantur: quia ipsorum latera a g, m g aequantur: communi igitur quadrato g z ablato, reliquum quadratum a z ęquabitur quadrato m z: quare ipsorum latera m z, a z ęquabuntur.] Quare [per 5 p 1 ] angulus a m z est aequalis angulo m a z: sed [per 29 p 1] angulus a m z est aequalis angulo l z h: et angulus z a m est aequalis l z a: quia coal- ternus. Igitur angulus a z l est aequalis angulo l z h. Quare forma puncti h accedens ad punctum z, re- flectetur ad punctum a. [per 12 n 4.] Si ergo dicatur, quod ab alio puncto, quam a puncto g, potest forma b reflecti ad a: illud aliud punctum aut erit in linea longitudinis, quae est g z: aut in alia. Si est in li nea g z: ducatur ab eo perpendicularis: quę necessario secabit lineam a k [quia secat angulum lineis inci dentię et reflexionis comprehensum, ut patet per 13 n 4] et [per 28 p 1] erit aequidistans lineę a m: et li- nea ducta a puncto b ad illud punctum necessario concurret cu a m: [per lemma Procli ad 29 p 1] et e- rit punctum illud, et punctum m in eadem superficie: et linea illa aut cadet super punctum m: aut super aliud. Si super punctum m: erit ducere a puncto b ad punctum m duas lineas rectas: quod est impossibile. [sic enim duę rectę lineę spatium comprehenderent contra 12 ax.] Si autem ad aliud punctum lineę a m: ducatur a puncto illo linea ad punctum z: et probabitur, quod hęc linea cum h z facit lineam rectam, sicut probatum est de linea z m: et ita a puncto h erit ducere duas lineas rectas, per punctum z transeuntes in diuersa pun- cta lineę a m cadentes: quod est impossibile [et contra 1 p 11: hocque modo duarum rectarum linearum esset commune segmentum contra lineę rectę definitionem.] Palam ergo, quod a nullo puncto lineę g z, nisi a g, potest b reflecti ad a. Si dicatur, quod a puncto extra hanc lineam sumpto: ducatur super punctum illud linea longitudinis speculi: [per 7 th. Sereni de sectione cylindri] et a puncto circuli e z i, in quod cadit hęc linea, probabitur h reflecti ad a secundum supra dictam probationem: sed iam probatum est, quod h a puncto z reflectitur ad a. Et ita impossibile: [quia ita a duobus speculi punctis forma e- iusdem uisibilis ad eundem uisum reflecteretur, contra 51 n 4, et 29 n.] Restat ergo ut a solo puncto speculi reflectatur b ad a. Quod est propositum.

48. Si communis sectio superficierum, reflexionis et speculi cylindracei conuexi fuerit elli- psis: uisu et uisibili datis, punctum reflexionis inuenire. 29 p 7.

AMplius: dato puncto b, quod reflectatur ad a: erit inuenire punctum reflexionis: et hoc patebit per reuolutionem prędictę probationis. Ducatur a puncto a superficies aequidistans basi colu- mnę: quę quidem secabit columnam super circulum: [per 5 th. Sereni de sectione cylindri] qui sit e z i: et ducatur a puncto b perpendicularis super hanc superficiem: quę sit b h: et inueniatur in hac su- perficie punctum, a quo fit reflexio h ad a: [ut traditum est 31 uel 39 n] quod sit z: et a puncto z ducatur linea longitudinis: [per 7 th. Sereni de sectione cylindri] quę sit z g: et a puncto z perpendicularis z l: et huic aequidistans a puncto a: quę sit a m: et etiam linea h z producatur, quousque concurrat cum ea: [con curret uero per lemma Procli ad 29 p 1] et sit concursus in puncto m: et a puncto m ducatur linea ad b: quę necessario secabit lineam z g: cum sit in eadem superficie cum ea: quoniam cum b h sit aequidistans g z: [per 6 p 11: est enim utraque ipsarum perpendicularis circulo e z i] erit h z m in superficie illarum: [per 7 p 11: quia connectit parallelas] et ita b m in eadem: quę, si secuerit z g in puncto g: erit g punctum reflexio- nis: quod quidem, si reuoluas probationem praedictam, uidere poteris.

49. Si communis sectio superficierum, reflexionis et speculi conici conuexi fuerit latus coni: locatum reflexionum tum imaginum eodem modo se habebunt, ut in speculo plano. 42 p 7.

IN speculis exterioribus pyramidalibus, si linea communis superficiei reflexionis et speculi, fuerit linea longitudinis speculi: erit locus imaginis, sicut assignatus est in speculis planis. Et eadem est probatio.

50. Communis sectio superficierum, reflexionis et speculi conici conuexi non est circulus. 12 p 7. Idem 41 n 4.

QVod autem non possit esse linea communis, circulus: palam per hoc: quod superficies reflexionis or thogonalis est super superficiem, contingentem speculum in puncto reflexionis [per 13 n 4] et cir- culus necessario est aequidistans basi. [per conuersionem 4 th 1 conicorum Apollonij] Superfi- cies ergo hęc aequidistans basi, non erit orthogonalis super superficiem, contingentem speculum. [Nam pla- num tangens conum, tangit in latere per 35 n 4, ad basim et circulum ipsi parallelum obliquo: quia est latus trianguli acutanguli facti a plano conum per uerticem secante, per 3 th 1 conicorum Apollonij. Quare cir culus erit extra reflexionis superficiem: neque idcirco uisibile ab ipso ad uisum reflectetur.]

51. Si communis sectio superficierum reflexionis et speculi conici conuexi fuerit ellipsis: imago uisibilis oblique reflexi, alias in superficie speculi: alias intra: alias extra speculum uidebitur. 49 p 7.

SI uero communis linea fuerit sectio pyramidalis: imagines quędam erunt in iuperficie speculi: quędam intra speculum: quędam extra. Et idem est assignationis modus, qui fuit in speculo columna- ri exteriore: [44 n][45 n] et eadem probatio. Et (sicut est in columnari exteriore) [44 n] per perpendi cularem uisualem non reflectetur forma ad oculum, nisi puncti superficiei oculi tantum: et hoc ab uno solo spe- culi puncto: et locus imaginis eius erit continuus locis aliarum imaginum, sicut patuit superius [44 n.]

52. Si a puncto in communi sectione superficierum, reflexionis et speculi conici conuexi dato, re flexio fiat: possunt uisus et uisibile sic collocari, ut ab eodem puncto, tanquam puncto circuli ba- si paralleli ad uisum reflexio fiat. 32 p 7.

REstat in his speculis declarare: quod ab uno solo puncto eius fiat reflexio: quod sic patebit. Sit uisus a: b punctum uisum: g punctum reflexionis: et ducatur super punctum g superficies aequi distans basi: [ductis nimirum duabus perpendicularibus super axem se intersecantibus: una qui- dem a reflexionis puncto per 12 p 1: altera uero ab axis puncto, in quod illa cadit, per 11 p 1. Sic enim axis, qui per 18 d 11 perpendicularis est basi: erit per 4 p 11 perpendicularis plano ductarum perpendi cularium. Quare per 14 p 11 basis et hoc planum erunt parallela] quę quidem secabit pyramidem super cir- culum [per 4 th. 1 conicorum Apollonij] qui sit p g: et ducantur lineę a g, b g, a b: et a puncto g ducatur ad centrum circuli linea: quae sit g t: et uertex pyramidis sit e: a quo ducatur axis: quae erit e t. [per 3 d 1 coni. A- pol.] Et ducatur [per 12 p 11] perpendicularis super superficiem, contingentem speculum in puncto g: quae sit h g: quae cum diuidat angulum a g b per aequalia, [per 13 n 4] cadet super a b: punctum casus sit z. Et a uertice py ramidis ducatur linea longitudinis speculi ad punctum g: [educto nempe plano per axem, et per rectam a puncto g, cum ipso utlibet concurrentem: communis enim sectio huius plani et conicae superficiei erit la- tus coni, per 18 d 11, uel 3 th. 1 coni. Apol.] quę sit e g: cui lineae ducatur aaquidistans a puncto a: [per 31 p 1] quę necessario secabit superficiem circuli g p: [si enim circulum cum diametro infinite extensum cogites: diameter secans e g coni latus, secabit etiam rectam lateri parallelam, per lemma Procli ad 29 p 1. Quare eadem parallela circulum ipsum quoque secabit] secet in puncto n: et sit n a. Similiter a puncto b ducatur aequi- distans eidem e g, scilicet b m: quę secet superficiem p g in puncto m. Et a puncto n ducatur ęquidistans ipsi g t: quę sit n f: et ducantur lineae n g, m g, n m. Palam, quod t g secabit m n: [per lemma Procli ad 29 p 1] se- cet in puncto q. Palam etiam, quod m g secabit n f: cum secet e i aequidistantem: sit punctum sectionis f. Et a pun cto a ducatur aequidistans h z: quę sit a l. Palam [per lemma Procli ad 29 p 1] quod b g concurret cum a l:

sit concursus l. Deinde ducatur linea communis superficiei, contingenti speculum in puncto g, et superficiei circuli p g: quae sit g o. Palam [per 18 p 3] quod erit orthogonalis super g t: et similiter [per 29 p 1] super n f. Sumatur etiam linea con- munis superficiei, contingenti speculum, et superficiei reflexi onis: quę sit g d: quae quidem cum secet g h, secabit a l. [per lemma Procli ad 29 p 1.] Sit punctum sectionis d: et erit orthogo- nalis super a l. [Quia enim h g perpendicularis est plano, tangenti speculum in puncto reflexionis g, per fabricationem: erit per 3 d 11 perpendicularis rectae lineae g d ipsam in puncto g tangenti. Et quoniam a l, h z sunt parallelę, per fabricationem: erit g d perpendicularis ipsi a l per 29 p 1.] Palam ex prędictis, quoniam n f est aequidistans g t, et a l ęquidistans g h: igitur [per 15 p 11] superficies, in qua sunt n f, a l, est ęquidistans super- ficiei g t h: sed linea e g aequidistat b m [p fabricationem] quare sunt in eadem superficie [per 35 d 1] quae superficies secat prędictas aequidistantes: unam super lineam e g: aliam super li- ne a f l. Quare [per 16 p 11] f l est aequidistans e g: sed a n aequi ditat eidem. Igitur [per 30 p 1] f l est aequidistans a n. Verum su perficies contingens speculum in puncto g, secat superficies e- asdem aequidistantes: unam in linea e g: aliam in linea o d. Igitur [per 16 p 11] o d est aeaquidistans e g. Igitur [per 30 p 1] est aequi- distans a n et l f. Et a puncto f ducatur linea aequidistans l a, secans d o in k, et a n in i: ergo f k aequalis l d, et k i aequalis d a. [per 34 p 1.] Quare erit proportio a d ad d l, sicut n o ad o f. [nam per 7 p 5 est, ut a d ad d l, sic i k ad k f: sed per 2 p 6, ut i t ad k f, sic n o ad o f: ergo per 11 p 5, ut a d ad d l, sic n o ad o f.] Pala etiam, quod angulus b g z aequalis est angulo z g a: [recta enim linea g z bifariam secat angulum a g b, ut patuit] et etiam angulo g l a: [interiori et opposito per 29 p 1] et etiam angulo g a l: [alterno per 29 p 1.] Quare [per 1 ax.] g a l, g l a sunt aequales: et [per 6 p 1] g a, g l aequales: et g d perpendicularis super a l: [per conclusionem] erit [per 26 p 1] a d aequalis d l. Erit igitur n o ęqualis o f: [demonstratum enim est, ut a d ad d l, sic n o ad o f: et alterne, ut a d ad n o, sic d l ad o f: sed a d aequatur ipsi d l: ergo per 14 p 5 n o aequabitur ipsi o f] et g o perpendicularis super n f: [parallelae enim sunt n f, g t per fabricationem, et g o perpendicularis est ipsi g t per 18 p 3: ergo per 29 p 1 o est perpendicularis ipsi n f: ideoque angulus ad o uterque rectus est] erit [per 4 p 1] angulus o f g ęqualis angulo o n g. Erit igitur angulus n g q ęqua lis angulo m g q. [Nam cum t q, f n ductę sint parallelę: aequabitur per 29 p 1 angulus m g q angulo n f g: q aequalis conclusus est ipsi f n g: aequali angulo n g q alterno per 29 p 1. Quare anguli m g q, n g q inter se ęquantur.] Igitur [per 12 n 4] a puncto circuli p g, quod est g, potest punctum m reflecti ad n, non impediente pyramide. [Hęc conclusio uidetur repugnare 41 n 4 et 50 n, quibus demonstratum est commmunen sectionem superficierum reflexionis et speculi conici conuexi non esse circulum. Qua- re punctum g circuli p g, a quo hic reflexio fieri concluditur, intelligendum est punctum circuli, qui est communis sectio sphaerae uel cylindri, quos mens intra conum fingit ac concipit.]

53. Si communis sectio superficierum, reflexionis, et speculi conici conuexi fuerit latus conicum: ab uno puncto unum uisibilis punctum ad unum uisum reflectetur. 33 p 7.

DIco igitur, quod punctum b a solo g reflectitur ad a. Si enim dicatur, quod ab alio puncto potest reflecti: illud aut erit in linea longitudinis: quę est e g: aut non. Sit in ea: et sit x: et ab eo ducatur perpendicularis super superficiem, contingentem speculum in puncto illo: [per 12 p 11] quae quidem perpendi- cularis, erit [per 6 p 11] ęquidistans z g: et ita [per 30 p 1] aequidistans a l. Igitur a l est in superficie reflexio- nis huius perpendicularis: [per 35 d 1] et est similiter in superficie reflexionis perpendicularis z g: [per 35 d 1: parallela enim ducta est a l ipsi z g] igitur illae duae superficies reflexionis secant se super lineam al: sed secant se super punctum b: [quia uisibile est in qualibet reflexionis superficie per 23 n 4] quod est im- possibile. Quoniam b non est in linea a l: quod patet per hoc: quoniam f l aequidistat b m. [ut patuit proximo numero per fabricationem et 30 p 1.] Restat ergo, ut a nullo puncto lineae e g, pręterquam a g, possit re- flecti b ad a. Si autem ab aliquo puncto extra lineam e g: sit illud u: et ducatur linea longitudinis e u o: et su- matur superficies aequidistans basi, transiens per punctum u. [ut dictum est proximo numero.] Palam, quod a n secabit hanc superficiem: [quia e g parallela ipsi a n, eandem secat] sit punctum sectionis y. Similiter b m se

cabit eandem: sit punctum sectionis k: et ducantur lineae k u, y u, y k. Et cum superficies illa secet pyramidem super circulum, transeuntem per u [per 4 th 1 coni. Apol.] ducatur a puncto u linea ad centrum huius circuli, quę extra circulum producta, sit r u: et ducantur lineę e k, e y: quę quidem secabunt superficiem circuli p g: [quia secant circulum ipsi parallelum, per u transeun tem] et sint puncta sectionum s, i: et ducantur lineae i c, s c. Sicut igitur probatum est [proximo numero] de puncto m: quod, non impediente pyramide, potest reflecti ad n a puncto g: ita probabitur de puncto k: quod potest reflecti a puncto u ad punctum y: et eadem est probatio: et ita angulus r u y erit ęqua lis angulo r u k [per 12 p 4.] Palam, quoniam b k est aequidi stans e g: [Nam b m parallela ipsi e g per fabricationem, continua- ta est in punctum k] et linea, communis superficiei b g e k, et super- ficiei circuli p g, est linea m g. Igitur linea e k cum sit in hac superficie, et secet superficiem circuli p g: [in puncto s, ut pa tuit] cadet super lineam communem, quę est m g. Erit igitur s m g linea recta. Eodem modo cum superficies n y e g secet su perficiem circuli p g, super lineam n g: linea e y concurret cum li nea n g. [in puncto i, ut patuit.] Igitur i n g linea est recta. Palam etiam, quod supficies i e c secat superficiem circuli p g, super lineam i c, et secat superficiem huic aequidistantem, quae transit per u, super lineam y u. Ergo [per 16 p 11] y u aequidistat i c. Similiter superficies s e c secat superficies illas aequi- distantes, super duas lineas s c, k u. Ergo [per 16 p 11] s c ę- quidistat k u. Similiter si sumatur superficies, secans specu lum super lineam longitudinis e c, in qua supficie sunt r u, c M: secabit illas superficies aequidistantes [nempe circulos per u et c eductos] super duas lineas M c, r u. Igitur [per 16 p 11] hę duę lineae sunt aequidistantes. Igitur angulus s c M aequalis est angulo k u r, et anguius M c i aequalis angulo r u y. [per 10 p 11.] Sed iam patuit, quod angulus k u r aequalis est r u y. Igitur [per 1 ax.] an- gulus s c M aequalis est angulo M c i. Quare punctum s potest reflecti ad i a puncto c, non impediente py ramide: sed iam probatum est [proximo numero] quod punctum m reflecti potest ad i a puncto g. [cadunt nisi puncta i, n, g in eandem rectam lineam, ut monstratum est.] Igitur punctum s reflectitur ad i a duobus punctis cir- culi p g. [nimirum g et c] quod est impossibile [et contra 51 n 4. 29. 46 n.] Restat ergo, ut primum sit impos sibile, scilicet, ut punctum b reflectatur ad a ab aliquo puncto alio speculi, quam a g. Quod est propositum.

54. Visu et uisibili inter basim speculi conici conuexi, et planum per uerticem ductum, ba- sique parallelum positis: punctum reflexionis inuenire. 35 p 7.

AMplius: dato speculo pyramidali: est inuenire punctum reflexionis. Verbi gratia: sit g uertex pyramidalis speculi: et super ipsum fiat superficies aequidistans basi pyramidis: [ut ostensum est 52 n] quę sit m n g: a sit punctum uisum: b centrum uisus. A et b aut erunt citra illam superficiem: aut ultra: aut in ipsa superficie: aut unum citra, aliud ultra: aut unum in superficie, aliud citra uel ultra. Sint citra superficiem: et a puncto a ducatur superficies, secans pyramidem ęquidistanter basi: et ducatur a pun cto g linea ad punctum b: quę producta cadet in superficiem ab a ductam, cum sit inter superficies aequidistan- tes: [quarum una per uerticem, altera per uisibile a ducitur] punctum, in quod cadit hęc linea, sit h. Probatur autem modo supra dicto [52 n] quod a reflectitur ad h ab aliquo puncto circuli, quem efficit superficies, se- cans pyramidem, ducta a punctis a, h: et inueniatur in circulo illo punctum reflexionis: [per 31 uel 39 n] et sit e: et ducatur linea a b: et linea longitudinis pyramidis g e: et axis pyramidis g t: et ducatur a pun- cto e linea ad centrum circuli: quę quidem cadet super axem: [per 4 th 1 coni. Apol. quia centrum circuli est in axe] et sit e t: et erit [per 18 p 3] orthogonalis super lineam, contingentem circulum illum in puncto e: et du- ctis lineis a e, h e: secabit angulum earum per aequalia: [ut ostensum est 13 n 4] et diuidet lineam a h: [quia secat angulum ipsi subtensum: sunt enim e h, e a, h a in eadem reflexionis superficie per 23 n 4] fit punctum diuisio- nis r. Palam, quoniam g e, e t efficiunt superficiem, secantem lineam a b: sit punctum sectionis f: et a puncto f duca- tur perpendicularis super lineam g e [per 12 p 1] et sit f q: quę quidem erit orthogonalis super superficiem, contingentem pyramidem super lineam g e. [quia enim f q perpendicularis est duabus rectis intersectis, in com- muni ipsarum sectione (quod est punctum q) lateri nempe conico e g per fabricationem proximam, et rectę pe- ripheriam circuli per punctum q descripti, in extrema diametro tangenti per 18 p 3: erit perpendicularis plano per ipsas ducto per 4 p 11, id est plano in latere conum tangente per 35 n 4.] Deinde a puncto a ducatur ęqui distans lineae f q: et sit a l: f q autem concurrat cum axe in puncto k: [quod enim concurrat, patet per 11 ax. quia per 18 d 11 et 32 p 1 angulus ab axe et latere e g comprehensus, est acutus] et a puncto a ducatur ęquidistans li- neae r t: quę sit a s: et ducatur a puncto e linea, communis superficiei reflexionis a e h et superficiei, con

tingenti pyramidem in linea g e: quae sit e o. Cadet quidem orthogonaliter super a s: cum sit orthogonalis super e t: [quia enim e o tangit peripheriam circuli in e: erit per 18 p 3 perpendicularis ipsi r e t, cui a s parallela est per fabri cationem. Quare per 29 p 1 e o perpendicularis est ipsi a s] et ducatur linea b q: quae producta, necessario concurret cum li nea a l: [per lemma Procli ad 29 p 1] sit punctum concursus l: et ducatur a puncto q linea, communis superficiei contingenti, [speculum in latere conico e g] et superficiei a b l: quae sit o p: et ducantur l s, p o. Palam, quoniam superficies a l s est ęquidistans superficiei g e k: [Nam quia et semidiameter cir culi, est perpendicularis axi per 18. 3 d 11: et angulus g q k re- ctus per fabricationem: ergo per 32 p 1 angulus g k q est acutus, et reliquus t k q obtusus. Quare e t, f k ultra axem continua- tae efficient angulos duobus rectis minores per 13 p 1, et per 11 ax. concurrent: His uero parallelae a l, a s concurrunt in pun- cto a: suntque binę in diuersis planis. Ergo per 15 p 11 ipsarum plana sunt parallela] et lineae q e, p o sunt in superficie con tingente: quę supficies secat illas superficies ęquidistantes, super duas lineas q e, p o: Igitur [per 16 p 11] q e aequidistat p o. Ducatur autem linea h e, donec concurrat cum h s in puncto s [concurret autem per lemma Procli ad 29 p 14.] Palam [p 1 p 11] quod linea e s est in superficie h e g: et in eadem est linea b l: [per 2 p 11] et hęc superficies secat praedictas superficies aequidi stantes, in duabus lineis e q, l s. Igitur [per 16 p 11] e q est ae distansaequidistans l s: erit igitur [per 30 p 1] p o ęquidistans l s. Quare [per 2 p 6] a o ad o s, sicut a p ad p l: sed palam [per 12 n 4 l quod angulus h e r aequalis est angulo r e a: erit angulus e s a ę- qualis angulo e a s: [Nam cum r t sit parallela ipsi a s per fabri cationem: aequabitur tum angulus h e r exterior, angulo e s a interriori et opposito, tum e a s alterno r e a per 29 p 1. Quare per 1 ax. angulus e s a aequabitur angulo e a s] et e o est perpendicularis super a s: [ut ostensum est] erit ergo [per 26 p 1] a o aequalis o s: erit ergo a p aequalis p l [demonstratum enim est, ut a o ad o s, sic a p ad p l] et q p perpendicularis est super a l: cum sit perpendicularis super f k. [Quia enim f k perpendicularis est plano tangenti, ut patuit, in quo est q p: cum sit illius, et plani a b l communis sectio: ergo per 3 d 11 f k est perpendicularis ipsi p q, et per 29 p 1 ipsi a l parallelę.] Igitur [per 4 p 1] l ęqualis a q: et angulus q l a aequalis angulo l a q. Erit ergo angulus b q f aequalis angulo a q f: [Quia enim q f parallela est ipsi a l: ęquabitur exterior angulus b q f interiori et opposito q l a: et q a l alterno a q f per 29 p 1. Qua-

re b q f aequabitur a q f.] Igitur a reflectetur ad b a puncto q [per 12 n 4.] Quod est propositum.

55. Visu et uisibili in plano per uerticem speculi conici conuexi ducto, basique parallelo, positis: punctum reflexio- nis inuenire. 36 p 7.

SI uero centrum uisus et punctum uisum fuerint in superfi cie m g n: sit unum in puncto m, aliud in puncto n: et du cantur lineae m g, n g, m n: et diuidatur angulus m g n per aequalia, per lineam q g [per 9 p 1.] Palam [per 12 n 4] quod n a puncto g reflectitur ad m. Palam etiam, quod linea q g et axis pyramidis sunt in superficie, secante pyramidem super lineam longitudinis: [sunt enim axis et latus in uno plano, ut e 18 d 11 intelligitur, et in eodem plano est recta linea q g: per 2 p 11] a puncto q ducatur orthogonalis super hanc lineam longitudinis g e: quę sit q e: et super punctum e fiat superficies aequidistans basi: [ut dictum est 52 n] quae secabit pyramidem super circulum [per 4 th 1 coni. Apol.] linea communis super- ficiei q e g, et huic circulo sit e t. Palam, quoniam cadet super axem et super centrum circuli. [Quia enim conus sectus est duplici plano: uno per axem, altero ad basim parallelo: et illius quidem et coni communis sectio est triangulum, per 3 th 1 coni. Apol. huius uero circulus per 4 th eiusdem: ergo per consectarium 4 th comunis sectio circuli et trianguli est dia meter circuli, cuius centrum est in axe.] Deinde a puncto m ducatur ęquidistans lineę e g: quę quidem in superficie illius circuli cadat in punctum b: [cadet autem, quia est inter plana pa- rallela.] Similiter a puncto n ducatur aequidistans g e: quae cadat in punctum a: et ducatur a b: et e t secet eam in puncto r. [secabit autem: quia cum sint in uno plano per 23 n 4: et e t secet angulum a e b: continuata secabit etiam basi m angulo subtensam.] Palam, quoniam m b aequidistat g e: est in eadem superficie cum ipsa: [per 35 d 1] quę su perficies secat superficiem m g n et superficiem b e ęquidistantes, super duas lineas m g, b e: ergo [per 16 p 11] m g aequidistans est b e. Similiter n a, g e sunt in superficie secante illas superficies aequidistantes, su per n g, a e: igitur [per 16 p 11] n g aequidistat a e. Similiter superficies q g e secat easdem superficies, su per duas lineas r e, q g: igitur [per 16 p 11] r e, q g aequidistant. Igitur q g et m g aequidistant b e, r e. Quare [per 10 p 11] angulus m g q aequalis angulo b e r: et angulus q g n aequalis angulo r e a: et angulus b e r aequalis angulo r e a. [quia angulus m g q aequatus est angulo n g q.] Et ita punctum a potest reflecti ad pun ctum b a puncto e [per 12 n 4.] Si ergo a puncto a ducatur ęquidistans q e, et alia ęquidistans r e: et ducatur b e, do nec concurrat cum linea aequidistante ipsi q e: et ducantur lineę communes, ut prius, et m e, n e: et iteretur pro- batio praedicta: patebit, quod n potest reflecti ad m a puncto e. Erit igitur e punctum reflexionis. Quod est propositum.

56. Visu et uisibili ultra planum per uerticem speculi conici conuexi ductum, basique paralle lum, positis: punctum reflexionis inuenire. 37 p 7.

SI uero ambo fuerint ultra m g n: fiat pyramis huic opposita: et est, ut protrahantur lineae longitudi nis pyramidis iam factae [ut e 1 d 1 coni. Apol. intelligitur] et a puncto a ducatur superficies, secans

hanc ultimam pyramidem super circulum y z: [ut ostensum est 52 n: eritque hic circulus parallelus utriusque coni basibus per conuersionem 4 th. 1 coni. Apol.] B autem erit in hac superficie: aut non. Si fuerit: fiat operatio a puncto b. [ut 54 n.] Si non: ducatur linea g b, usque dum concurrat cum hac su perficie: [concurret autem: quia est inter plana parallela] et sit concursus in puncto d. Palam, quod a reflectitur ad d ab ali quo puncto circuli y z interiore [per 40 n 4.] Inueniatur punctum illud: sicut deinceps probabimus et docebimus, non ex anterioribus: et sit z: et ducantur lineae a z, d z, a d: et li- nea p z diuidat angulum illum per aequalia: [per 9 p 1] et a pun- cto g ducatur g z linea longitudinis: [ut ostensum est 52 n] et ducatur a b: et producatur linea z g ad aliam pyramidem: quę quidem perueniet ad superficiem eius: et erit linea longi- tudinis: [ut patet e 1 d 1 coni. Apollo.] et sit z g e. Palam, quod superficies p z e secabit lineam a b: secet in puncto q: et ducatur a puncto q perpendicularis super lineam g e: [per 12 p 1] et cadat in punctum e: et erit perpendicularis super super ficiem, contingentem pyramidem super lineam g e: [per 3 d 11] et su- per punctum e fiat superficies aequidistans basi: quę sit f e h: et ducatur a puncto d linea aequidistans z e: quę sit d h, concur- rens cum superficie illa in puncto h: [concurret autem: quia concur rit cum plano ipsi parallelo] et eidem lineae sit aequidistans a f. Palam, quoniam d h est aequidistans z e: quod sunt in eadem superficie: [per 35 d 1] quę superficies secat superficies ae- quidistantes, super duas lineas d z, h e: igitur [per 16 p 11] h e, d z sunt ęquidistantes. Similiter a z, f e sunt ęquidistantes. Similiter, quoniam p z transit per centrum circuli y z: [ducta e- nim recta linea circulum in puncto z tangente per 17 p 3: quoniam angulus a z d bifariam sectus est a linea p z: et anguli incidentiae et reflexionis aequantur per 10 n 4: anguli igitur deinceps lineę p z et tangentis ęquantur per 2 ax. et ita per 10 d 1 uterque rectus est. Quare per 19 p 3 p z est diameter circuli y z] similiter r e t per centrum al terius circuli, super quem superficies a e h secat pyramidem. Iitur superficies p z e r secat duas superfi- cies aequidistantes, super duas lineas p z, r e: igitur [per 16 p 11] p z aequidistat r e. Quare [per 10 p 11] an- gulus a z p aequalis angulo f e r: et angulus d z p angulo h e r: et ita erit angulus f e r aequalis angulo r e h. [quia a z p aequatus est d z p.] Quare f reflectetur ad h a puncto e. Igitur si a puncto f protraxerimus ęquidistantem q e, et aliam aequidistantem r e: et lineas communes, sicut supra: et iterauerimus modum probandi praedictum: patebit, quod punctum a reflectetur ad b a puncto e. Quod est propositum.

57. Visu in plano per uerticem speculi conici conuexi ducto, basique parallelo, uisibili citra idem positis: punctum reflexionis inuenire. 38 p 7.

SI uero centrum uisus fuerit in superficie aequidistante, quae est supra uerticem, scilicet g: et punctum uisum citra hanc superficiem: erit inuenire punctum reflexionis hoc modo. Sit enim centrum uisus m: punctum uisum a: et sit m n g superficies aequidistans basi pyramidis: et a puncto a ducatur superfici- es aequidistans basi pyramidis: [ut monstratum est 52 n] quae secabit pyramidem super circulum [per 4 th. 1 coni. Apol.] qui sit d e k: cuius centrum t: et a puncto m ducatur perpendicularis super hanc superficiem: [per 12 p 1] quę sit m h: et ducatur axis g t: et linea h t: et ducatur ab m ad a linea recta m a: et a puncto a du catur ad lineam h t, intra circulum, linea a e q, et e q sit aequalis q t secum dum supradicta: [37 n] et ducatur linea t e i: et a puncto h ducatur aequidistans t e, et aequalis: [per 31. 3 p 1] quae sit h b: et ducantur lineae m b, b e, g e. Palam, quod superficies g t e secabit lineam a m: sit punctum sectionis f: et ducatur a puncto f perpendi cularis super lineam e g: [per 12 p 1] et producatur ad axem: [cum quo concurret, ut ostensum est 54 n] cadens in punctum o: quę sit f o p: et ducantur lineae m o, a o. Dico, quod o est punctum reflexionis. Palam, quoniam h b aequidistans et aequalis t e: [per fabricationem] igitur h t aequidistans et aequalis e b. [per 33 p 1.] Sed m h aequalis et aequidistans g t: cum utraque sit perpendicularis: [duobus planis per m n g et per a ductis. Nam utraque perpendicularis est plano per a ducto: m h quidem per fabricationem: g t uero per 18 d 11: quia est axis. Itaque per conuersam 14 p 11 utraque perpendicularis est plano m n g parallelo per fabricationem plano per a ducto: quare per 28. 33 p 1 m h, g t sunt parallelae et aequales] igitur h t est aequidistans et ae- qualis m g: [per 33 p 1] igitur m g aequidistans et aequalis b e [per 30 p 1. 1 ax.] Quare m b aequidistans et aequalis g e [per 33 p 1.] Palam etiam, quod an- gulus q t e aequalis est angulo q e t: [per 5 p 1: quia e q, q t aequatę sunt] et ita [per 15 p 1] aequalis angulo a e i: sed q t e est aequalis angulo i e b. [per 29 p 1: quia e b, h t sunt parallelae.] Igitur [per 1 ax.] i e b aequalis est i e a: Quare a reflectitur ad b a puncto e [per 12 n 4.] Et cum linea b m aequidi- stans sit lineae g e: si a puncto a ducatur aequidistans f o p, et aequidistans i t: et iteretur figura supradicta, et probatio: [54 n] palam, quod a re- flectetur ad m a puncto o. Et ita est propositum.

58. Visu in plano per uerticem speculi conici conuexi ducto, basique parallelo, uisibili ultra idem positis: punctum reflexionis inuenire. 39 p 7.

SI uero m sit in superficie, et a ultra superficiem: fiet pyramis alia huic opposita: et fiat super a superficies aequidistans basi huius pyra- midis: et inueniatur in circulo huius superficiei punctum reflexionis

ex punctis interioribus et ducatur a puncto illo linea ad g: et producatur: et inuenietur punctum secundum superiora: [56 n] et idem est probandi modus.

59. Visu citra planum per uerticem speculi conici conuexi ductum, basique parallelum: uisibili ultra idem positis, uel contra: punctum reflexionis inuenire. 40 p. 7.

SI autem puncta, scilicet centrum uisus et punctum uisum ita disponantur, ut unum sit citra superficiem uerticis, aliud ultra: sit unum b: aliud a: superfi cies uerticis m g n: et ducatur a puncto a superficies ęquidistans ba- si: [ut monstratum est 52 n] secabit pyramidem super circulum: [per 4 th. 1 coni. Apol.] qui sit d e: centrum eius sit t: et ducatur axis g t: et ducatur linea b g: concurret quidem cum superficie a e d: [quia concurrit cum plano ipsi paral- lelo] sit concursus k, et in circulo d e inueniatur punctum, quod sit e: ita, ut contingens ducta a puncto illo, quę sit s e, diuidat per aequalia angulum, quem continent lineae k e, a e: [per 36 n] et ducatur linea longitudinis g e: et a pun- cto b ducatur linea aequidistans g e: quę necessario concurret cum linea k e: [per lemma Procli ad 29 p 1] sit concursus h. Palam [per 1 p 11] quod h est in superficie g e k: et b h in eadem superficie [per 35 d 1] quia aequidistans est g e: et ducatur linea t e i. Palam, quod superficies g t e secat lineam b a: secet in puncto u: a quo ducatur perpendicularis super superficiem contingentem: [specu lum in latere conico g e] qui sit u o p: et ducantur lineę a o, b o.

Palam [e fabricatione] quod angulus a e s ęqualis est angu- lo s e k: et cum [per 18 p 3] angulus i e s sit rectus, et s e t re- ctus: [ideoque per 10 ax. aequales: et per 3 ax. reliquus a e t ae- quatur reliquo k e i] erit i e a aequalis angulo t e k: [per 2 ax.] et ita angulus a e i aequalis angulo i e h. [Nam angulus t e k aequalis angulo a e i, aequatur angulo i e h per 15 p 1: ideoque per 1 ax. angulus a e i aequatur angulo i e h] Quare a reflectetur ad h a puncto e. Si ergo a puncto a ducatur ęqui distans u o, et aequidistans i t: et iteretur probatio: [54 n] pa- tebit, quod reflectetur a a puncto o ad b. Et ita patet proposi- eum. Palam ergo, quomodo sit inuenire punctum reflexionis. Et hęc, quę dicta sunt, de unico uisu intelligenda sunt: in duplici autem uisu idem accidit: quoniam eadem forma, et idem locus for- mae comprehenditur ab utroque uisu. Et (sicut dictum est [41 n] in speculo sphaerico exteriore) formę a duobus oculis comprehensę, in his speculis propter contiguitatem uidentur u- na: et aliquando simul sunt in loco: et aliquando commiscen- tur earum loca in parte: aliquando separantur, sed modi- cum. Forma autem, quae per perpendicularem in his spe- culis descendit, secundum eandem regreditur, sicut su- pra patuit: [11 n 4] et forma illa ab uno oculo super per- pendicularem, percipitur ab alio oculo secundum line- am reflexionis, sed loca formarum continua sunt. Vnde eadem apparet uisui forma.

60. In speculo sphaerico cauo, imago uidetur alias in reflexionis puncto: alias in uisu: alias ul- tra: alias citra speculum: alias inter uisum et speculum. 11 p 8.

IN speculis sphaericis concauis aliquando perpendicularis a puncto uiso ducta secat lineam reflexio- nis: aliquando est aequidistans ei. Quando secat: erit locus formae aliquando in speculo: aliquando ul- tra speculum: aliquando citra. Et cum fuerit locus formae citra speculum: aliquando erit inter uisum et speculum: aliquando in centro uisus: aliquando citra centrum uisus. Et nos haec demonstrabimus. Sit a centrum uisus: d centrum speculi: et fiat superficies super haec puncta: quae secabit speculum super circulum [per 1 th. 1 sphaer. Theodo.] qui circulus sit h b f g: erit quidem superficies hęc, superficies reflexionis: quoniam est ortho gonalis super quamlibet superficiem, contingentem circulum: [per 13 n 4] et ducatur linea a d: et a puncto a duca tur linea ad circulum maior quam a d: quę sit a e: et a puncto d ducatur ad circulum aequidistans a e: quae sit d h: et producatur ad usque in puncta b, i [quando nimirum uisus fuerit intra circulum h b f g: quod si fuerit in peripheria uel extra: linea a d ab una tantum parte in peripheriam continuabitur: eritque eadem demonstrandi ratio: quia a e semper maior esse debet a d] et ducatur linea d e. Palam, quod angulus a e d est minor recto: [connexis enim rectis e i, e b: erit angulus i e b rectus per 31 p 3, ideoque a e d acutus] quoniam e d semidiameter: et quęlibet linea in circulo cum diametro facit angulum acutum [ut patet per 31 p 3. 32 p 1 uel 9 ax.] Et super pun ctum e fiat angulus aequalis angulo a e d [per 23 p 1] qui sit d e t. Palam, quod e t cadet intra circulum: [si nisi cade ret extra: uel tangeret peripheriam, efficeretque cum semidiametro d e angulum rectum per 18 p 3: uel secaret, et efficeret obtusum: quorum uterque cum acuto a e d maior sit per 11. 12 d 1: mandato satis factum non esset] et se- cabit lineam d h: [per lemma Procli ad 29 p 1: quia secat a e ipsi parallelam] sit punctum sectionis t. Palam etiam, quod an

gulus a d e maior est angulo d e t: [quia cum a e maior sit a d, maior erit per 18 p 1 angulus a d e angulo a e d, cui ęquatus est angulus d e t] et ita e t secabit a b: [quia nisi anguli a d e, e d b aequantur duobus rectis per 13 p 1: et angulus a d e maior est angulo d e t: anguli igitur e d b, d e t minores sunt duobus rectis: quare e t, d b concurrent per 11 ax.] secet in puncto z. De- inde a puncto a ducatur ad arcum e h linea: quae sit a n: et ducatur linea d n: et super punctum n fiat angulus aequalis angulo d n a, per lineam m n: quae ne- cessario cadet intra circulum: [ob caussam proxime expositam] et secabit d h: [Nam cum angulus a n d a semidiametro d n et recta linea a n compre hensus, sit acutus, ut patuit: erit angulus d n m ipsi aequatus, acutus: sed et n d m est acutus, quia pars est acuti e d t: anguli igitur d n m, n d m sunt minores duobus rectis. Quare n m, d h concurrent per 11 ax. ] secet in puncto m. Palam etiam, quod a n concurret cum d h extra circulum: [per lemma Procli ad 29 p 1] sit concursus in l. Ducatur etiam a puncto a linea ad arcum e i f: quae sit a g: et ducatur d g: et fiat angulus d g q aequalis angulo a g d. Palam, quod q g secabit d h: [ut patuit] sit punctum sectionis q. Palam etiam, quod a g concurret cum d h ex parte f: [Nam quod concurrat, constat e lemmate Pro cli ad 29 p 1: quod uero uersus f, e paulo ante demonstratis prospicuum est] sit concursus o. Quod autem g q cadat inter d et h, palam: cum arcus, quem secat g o ex circulo, sit maior arcu g h: si n, ducatur linea g h: angulus h g d maiorem respiciet arcum angulo a g d. [ideoque per 33 p 6 angulus h g d e- rit maior angulo a g d: at angulo a g d, aequatus est angulus q g d: an- gulus igitur h g d maior est angulo q g d: itaque linea q g secans angu- lum q g d, secabit basim h d angulo q g d subtensam.] Iterum a puncto a du catur ad arcum f b, linea a k, secans d h in puncto s: [quod nisi secet, patet e lem mate Procli ad 29 p 1] ut sit k s maior d: [secta nempe d f bifariam per 10 per 1, et ab a ducta linea a k per sectionis punctum, uel per quodcunque aliud uer- sus d: utroque nisi modo erit s k maior f s per 7 p 3: et ob id maior s d] et ducatur k d. Palam, quod angulus d k a est acutus. [ut in principio huius numeri ostensum est] Fiat [per 23 p 1] ei aequalis: qui sit d k u. Palam, quod cum angulus k d s sit maior angulo d k s: [per 18 p 1: quia s k maior est s d per fabricationem] k u concurret cum d h: [Nam cum anguli h d k, k d s aequentur duobus rectis per 13 p 1: et k d s sit maior d k s e conclusione: erit k d s etiam maior d k u aequali d k s: anguli igitur h d k, d k u sunt minores duobus rectis. Quare h d, k u concur rent per 11 ax.] sit concursus in puncto u. Palam secundum supradicta [et 12 n 4] quod punctum t mouetur ad e, et re flectitur ad a: et perpendicularis a puncto t ducta, est t d: quae perpendicularis est super superficiem, contingentem specu lum: [per 25 n 4] et est aequidistans lineae reflexionis, quae est a e: [per fabricationem] unde non concurret cum e a: [per 35 d 1.] Imago igitur puncti t uidebitur in reflexionis puncto e] Punctum autem z mouetur ad e, et reflectitur ad a: et perpendicularis ducta a puncto z, est a z: quae concurrit cum a e in puncto a. Vnde locus formę puncti z erit a. [per 3 n.] Punctum uero m mouetur ad n, et reflectitur ad a: et perpendicularis ducta a puncto m, quę est m d, concurrit cum a n in puncto l, quod est ultra speculum: et locus formę puncti m erit l. Forma uero puncti q mo uetur ad g, et reflectitur ad a: et locus eius erit o: qui est ultra uisum. Et forma puncti u mouetur ad k, et reflectitur ad a: et perpendicularis ab eo, est k d: et locus imaginis s. [inter uisum et speculum.] Palam ergo ex praedictis, quod imaginum quaedam inter uisum et speculum: quaedam in ipso uisu: quaedam citra uisum: quaeda, ultra uisum apparent. Quod est propositum.

61. In speculo sphaerico cauo imgo pro uario eius situ atque loco uarie uidetur. 12 p 8.

AMplius: palam, quoniam uisus perfectius acquirit formas sibi oppositas. [per 21. 38 n 1. 17 n 3.] Vn le cum locus imaginis fuerit ultra speculum [ut in puncto l] aut inter uisum et speculum: [ut in punctos] comprehenditur ueritas illius imaginis. Cum autem perpendicularis a puncto uiso ducta, fuerit ęqui distans lineae reflexionis: apparebit imago in puncto reflexionis. [ut in e.] Quoniam cum punctum illud sit sen- suale [ut patet e 16 n 4] sumpto puncto eius intellectuali medio: imago cuiuscunque partis illius puncti sensualis, ultra medium sumptae, erit ultra speculum: et imago partis citra medium erit inter uisum et spe culum. Et cum totalis forma ex ulterioribus et citerioribus partibus uideatur una et continua: necessario forma illius puncti sensualis uidebitur in ipso speculo, in loco reflexionis. Verum in imaginibus quarum locus fuerit in centro uisus, non comprehenditur ueritas earum: unde saepius error accidit in his speculis. Vt autem hoc pateat: erigatur super superficiem speculi lignum perpendiculaciter, minus medietate semidiame tri speculi: et circa caput huius ligni, sit centrum uisus: et dirigatur uisus ad punctum speculi, cuius longitu- do a ligno sit maior, quam longitudo centri uisus a diametro, per lignum transeunte: uidebitur quidem imago illius ligni ultra uisum, nec erit certa comprehensio eius: imo apparebit arcuata: cum non sit. In his ergo specu- lis non comprehenditur ueritas imaginis, nisi cuius locus fuerit ultra speculum: aut inter uisum et specu- lum. Cum autem centrum uisus fuerit in perpendiculari per lignum transeunte: non plene comprehendit formam illius ligni.

62. Visus in centro speculi sphaerici caui positus: se ipsum tantum uidet. 4 p 8. Idem 44 n 4.

SI uero uisus fuerit in diametro sphęrę, et in cen tro eius (cum quęlibet linea ab eo ad speculum ducta sit perpendicularis super speculum) [quia perpendicularis est plano speculum tangenti per 4 th 1 sphęr. uel 25 n 4: eaque de eaussa in se ipsam reflecti- tur per 11 n 4] non comprehendetur forma alicuius pun cti, nisi puncti portionis oculi, interiacentis latera pyramidis uisualis, quę a centro speculi intelligitur protendi. Quoniam forma cuiuslibet alterius puncti ca det in speculum super lineam declinatam, et necessario re- flectetur super declinatam. Quare linea reflexionis non transibit per centrum: et ita non continget centrum uisus.

63. Semidiameter speculi sphaerici caui, in qua est uisus extra centrum: nullum sui punctum oblique speculo incidens ad uisum reflectit: reliqua uero semidiameter praedictae continua, reflectit. 5 p 8.

SI uero fuerit uisus in diametro: non comprehendet formam alterius puncti semidiametri, in qua est. Quoniam angulus, quem efficient duae lineae a puncto sumpto in semidiametro, et a cen- tro uisus in idem speculi punctum, non diuidetur per perpendicularem ab illo puncto speculi du- ctam: cum illa perpendicularis tendat ad centrum speculi: [per 4 th. 1 sphaer.] Sed formam alicuius puncti alterius semidiametri percipere poterit.

64. In speculo sphaerico cauo perpendiculari incidentiae, et linea reflexionis concurrentibus: est: ut perpendicularis incidentiae ad rectam inter centrum speculi et locum imaginis: sic re- cta inter uisibile et finem contingentiae, ad rectam inter finem contingentiae et locum ima- ginis. 13 p 8.

AMplius: uiso puncto in huiusmodi speculo, cum non fuerit perpendicularis ęquidistans lineę reflexionis: linea a centro speculi ad punctum uisum ducta, se habebit ad lineam ab eodem centro ad locum imaginis ductam, sicut linea a pun cto uiso ad punctum, (quod diximus) contingen- tię [17 n] se habet ad lineam a puncto contingen tiae, ad locum imaginis ductam. Verbi gratia: sit e centrum speculi: b punctum uisum: a centrum ui- sus: g punctum reflexionis: linea contingentiae z g, z g autem aut concurret cum e b: aut erit aequidi- stans ei. Concurrat in puncto t. Linea uero e b concur rit cum a g [ex thesi,] sed non in puncto g: cum b e, a g sint duę lineę. Igitur aut concurrit ultra g: aut inter g et a: aut in a: aut ultra a. Sit ultra g, et in puncto h. Dico ergo, quod est proportio e b ad e h, sicut b t ad t h. Producatur perpendicularis e g: et a puncto h ducatur ęquidistans lineae b g: [per 31 p 1] quę con curret cum e g: [per lemma Procli ad 29 p 1] sit concur- sus l: et a puncto b ducatur ęquidistans g h: [quę ne cessario concurret cum z t: [per dictum lemma] sit concur- sus q. Palam [per 12 n 4] quod angulus b g e est ęqua lis a g e: sed angulus b g e est equalis angulo g l h: [exterior interiori et opposito per 29 p 1] et [per 15 p 1] angulus a g e ęqualis angulo l g h: ergo angulus g l h ęqualis est angulo l g h. Igitur [per 6 p 1] l h ęqua lis est g h. Similiter angulus b g q ęqualis est angulo a g z. [Nam cum angulus e g q aequetur angulo e g z: quia per 18 p 3 uterque rectus est, et e g b ipsi e g a, ut patuit: reliquus igitur h g q ęquatur reliquo a g z per 3 ax.] et angulus a g z ęqualis est angulo g q b [exterior interiori opposito per 29 p 1: ideoque b g q ęquatur g q b: et ita [per 6 p 1] b q ęqualis est b g. Quare [per 7 p 5] proportio b g ad h l, sicut b q ad h g. Sed quoniam angulus g h t est ęqualis angulo t b q: [per 29 p 1] erit triangulum t b q simile triangulo g h t. [Nam anguli ad t aequantur per 15 p 1, et per 32 p 1 tertius tertio. Quare per 4 p. 1 d 6 triangula t b q, g h t sunt similia.] Igitur proportio q b ad h g, sicut b t ad t h: et ita [per 7 p 5] b g ad h l, sicut b t ad t h. Sed cum triangulum b g e sit simile triangulo h c l: [angulus enim ad e communis est, et exteriores ad g et b ęquantur interioribus op positis ad l et h per 29 p 1. Quare per 4 p. 1 d 6 triangula b g e, h e l sunt similia] erit proportio b g ad h l,

sicut e b ad e h: et ita [per 11 p 5] e b ad e h, sicut b t ad t h. Quod est propositum. Eadem erit probatio, si lo cus imaginis fuerit inter a et g: aut in a: aut ul tra: Si uero linea contingentiae z g sit aequidistans perpendiculari, quae est b e h: ducatur perpendicu- laris g e: [a puncto g super z g] quę cum sit perpen-

dicularis super g z: erit perpendicularis super b h [per 29 p 1] et erit angulus h e g ęqualis angu lo h e g: et [per 12 n 4] angulus b g e aequalis est angulo e g h: restat triangulum b g e simile trian gulo e g h. [ęquabitur nisi per 32 p 1 reliquus angu lus ad b, reliquo ad h: itaque per 4 p. 1 d 6 triangu- la b g e, h g e erunt similia.] Igitur proportio b e ad h e, sicut b g ad g h. Quod est propositum. Quare in hoc casu non potest sumi aliud punctum contingentię, quam punctum g, eo modo, quo punctum contingentię supra [17 n] appellauimus.

65. Visu et uisibili in diametro speculi sphaerici caui aequabiliter a centro distantibus: potest fie- ri reflexio a tota peripheria circuli, quem semidiameter perpendicularis ad dictam diametrum, con-

uerfa describit. 14 p 8.

AMplius: sit circulus a b g d: et h centrum ui- sus intra speculum: e centrum speculi: z pun ctum uisum: et ducatur diameter b e d. Si fue rit z in semidiametro b e: poterit esse reflexio ab ali quo puncto semicirculi b a d, et ab aliquo puncto se- micirculi ei oppositi. Quoniam quocunque puncto semidiametri b e sumpto: si ab eo ducatur linea ad aliquod punctum semicirculi, et a puncto h ad idem punctum ducatur alia linea: illae duę lineae efficient angulum, quem diuidet per aequalia semidiameter ducta a puncto e ad illud punctum [quia enim se- midiameter illa ex thesi est perpendicularis diame- tro, in qua uisus et uisibile ęquabiliter a centro spe- culi distantia collocantur: itaque si a uisu et uisibi- li duę rectae lineae cum dicta semidiametro in peri- pheria concurrant: erunt anguli ad concursus punctum ęquales per 4 p 1. Quare per 12 n 4 ipsum est reflexionis punctum.] Similiter in semicirculo opposito.

66. Visus et uisibile in diuersis dimetris circuli (qui est communis sectio superficierum refle- xionis et speculi sphaerici caui) inter se reflectuntur, tum a peripheria inter semidiametros, in quibus sunt: tum ab alia huic opposita: a reliquis uero duabus minime. 20 p 8.

SI uero b punctum uisum fuerit extra diametrum d a g, ducatur diameter transiens per b: quae sit t q. Dico, quod b potest reflecti ad uisum a per arcum interiacentem diametros, in quibus sunt a et b, et similiter per eius oppositum, id est, per arcum t d, et per arcum g q: et non poterit refle- cti ab aliquo puncto arcus g t uel arcus q d. Verbi gratia: sumatur punctum in arcu g t, prope t, quod sit k: et ducantur lineae a k, k b: donec cadat k b super diametrum d g in puncto o. Cum igitur o et a sint ex eadem parte centri circuli, quod est e: perpendicularis ducta a puncto k ad e, non diuidet angulum o k a. Et ita b non reflectetur ad a a puncto k. Simili-

ter sumpto alio puncto, quod sit f: patebit, quod per- pendicularis e f non diuidet angulum a f b. Et ita non reflectetur b ad a a puncto f. Quod autem a puncto arcus t d, uel arcus g q possit fieri reflexio: palam per hoc. Sit m punctum arcus t d: et ducantur lineę a m, m b: fiet quadrangulum a m b e. Igitur perpendicu- laris e m diuidet angulum a m b. Simili modo sit h punctum arcus g q: Linea a h secabit diametrum t q in puncto c: et linea h b eundem in puncto b. Et sunt haec etiam duo puncta ex diuersis partibus centri. Quare linea e h diuidet illum angulum. Pari modo, si fuerit b in superficie speculi: aut extra speculum, dum a sit intra speculum: idem erit probandi modus, qui prius. Similiter si a fuerit in superficie speculi, b interius, aut exterius. Si uero a fuerit extra specu- hum, b intra: patebit, quod diximus. Ducantur enim lineae a puncto a contingentes circulum d t g

[per 17 p 1] quae sint a h, a z: et ducantur duę diametri a e g, t e q: et b in diametro t e q: reflectetur b ad a ab aliquo puncto arcus t d: [ut constat e iam demonstra tis. Sed palam, quod non ab aliquo puncto arcus z d. [ductis enim duabus rectis e z, b z: erit angulus e z a rectus per 18 p 3, et e z b acutus, ut ostensum est 60 n. Quare ob angulorum inaequabilitatem, a puncto z, ad uisum a nulla fiet reflexio: multo igitur minus a punctis inter z et d intermedijs: quia angulorum ad lineam z a factorum, unius quidem acuti, alterius uero ob- tusi per 16 p 1, multo maior futura est inęquabilitas.] Igitur ab aliquo puncto arcus t z: et similiter ab aliquo puncto arcus oppositi ipsi t d, scilicet arcus g q refle- xio fiet. Sed ab arcu t g, uel d q non fiet reflexio secun- dum supra dictum modum. Si uero b fuerit extra hanc dia metrum, et super aliam, quae similiter sit t e q: fiet reflexio ab arcu t d: et a sola parte eius t z, et ab arcu opposito, qui est g q: sed ab arcu t g, uel d q non fiet reflexio.

67. Si uisu et uisibili in diuersis diametris circuli (qui est communis sectio superficierum, re- flexionis et speculi sphaerici caui) sitis: linea a uisu parallela dia- metro uisibilis, secet dicti circuli peripheriam. Imago reflexa a peripheria inter parallelam et uisibilis diametrum, uidebitur extra speculum: a peripheria inter parallelam et diametrum ui- sus, ultra uisum: a peripheria uero opposita, inter uisum et spe- culum. 21 p 8.

VErum si a puncto a ducatur aequidistans t e: quae sit a p: loca ima ginum reflexarum a punctis arcus t p, erunt extra speculum: loca au tem imaginum arcus p d, ultra centrum uisus, quod est a: loca au- tem imaginum arcus q g sunt inter centrum uisus et speculum. Et quod supra [60. 61 n] dictum est de locis imaginum: idem intelligen dum, ducta a m aequidistante lineae t q.

68. In quolibet puncto diametri circuli (qui est com- munis sectio superficierum, reflexionis et speculi sphaeri- ci caui) quantumlibet continuatae, potest imago uideri. 22 p 8.

AMplius: sumpta diametro circuli in sphaerico speculo concauo: quodlibet punctum illius diametri, quantumcunque productae, potest esse locus imaginum. Verbi gratia: sit a g diameter circuli a m g: cu-

ius d centrum. Sumatur in hac diametro punctum z: e centrum uisus. Dico, quod z potest esse locus imaginis. Ducatur linea e t z per t pun ctum circuli: et ducatur linea d t: erit angulus e t d acutus: [ut demon- stratum est 60 n.] Fiat autem ei ęqualis [per 23 p 1] qui fit d t l. Palam [per 12 n 4] quod l reflectetur ad e a puncto t: et eius imago erit z [per 6 n.] Simi liter sumpto l puncto: patebit quod est locus imaginis. Ducatur nisi li- nea l e usque in b punctum circuli et ducatur linea b d: erit [ut prius] an- gulus e b d acutus. Fiat ei ęqualis: qui sit d b p: reflectetur quidem pun- ctum p ad e a puncto b: [per 12 n 4] et locus imaginis eius erit l: [per 6 n.] Et ita sumpto quocunque alio puncto: erit eadem probatio.

69. Si uisu et uisibili in eadem diametro circuli (qui est communis sectio superficierum, reflexionis et speculi sphaerici caui) sitis: imago uide tur in ipso uisu: ab uno semicirculi, uel a quolibet alterius definiti circuli puncto potest ad uisum reflexio fieri. 23 p 8.

AMplius: punctorum, quae comprehenduntur in his speculis: quo- rundam imagines quatuor loca sortiuntur: quorundam tria: quo- rundam duo: quorundam unum. Punctum, cuius imago in quatuor ceciderit loca: a quatuor punctis determinatis reflectitur, non ab alijs, uel pluribus. Punctum, cuius imago tria sibi usurpat loca: a tribus pun- ctis speculi reflectitur, non a pluribus cuius duo: a duobus. Puncti autem, cuius imago in unicum cadit lo- cum: poterit esse: quod ab uno tantum puncto sit reflexio: et poterit esse: quod a quolibet circuli deter- minati puncto, non ab alio. Verbi gratia: sit e centrum uisus: h sit punctum uisum in eadem diametro: d sit centrum circuli. Ducatur diameter z e h a: aut e d est aequalis d h: aut non. Sit aequalis: et super e h du catur a puncto d perpendiculariter diameter g d b: et ducantur lineę h g, g e, h b, b e. Palam [per 4 p 1]

quod triangulum h g d aequale triangulo e d g, et ęqua- le triangulo h b d, et triangulo e b d. Palam, quod, cum angulus h g e diuisus sit per ęqualia, h a puncto g re flectetur ad e: [per 12 n 4] et locus imaginis eius est e [per 6 n.] Similiter h a puncto b reflectetur ad e: et locus imaginis eius e. Si igitur diametro z e h a immota, moueatur semicirculus a g z per sphaeram speculi aut solum triangulum h g e: describet quidem pun ctum g motu suo circulum: et a quolibet puncto circu li reflectetur h ad e: et locus imaginis eius semper erit punctum e. Et ita patet propositum. Quod autem ab alio puncto, quam aliquo illius circuli, non possit fieri re flexio puncti h ad e: palam per hoc. Sumatur punctum c, et ducatur e c, c h: erit quidem [per 7 p 3] e c maior linea e g, et linea h c minor linea h g. Quare non erit proportio e c ad c h, sicut e d ad d h. [Quia nisi ex the si punctum h reflectitur ad e a puncto g: erit per 12 n 4. 3 p 6 e g ad g h, sicut e d ad d h. Itaque cum e c, h c sint inęquales ipsis e g, g h: non erunt proportionales ipsis e d, h.] Igitur [per 3 p 6] linea d c non diui- det angulum e c h per aqualia. Quare h a puncto c non potest reflecti ad e. [Idem breuius concludetur per 4 pro geometrię Iordani. Quia nisi trianguli e c h latera e c, h c sunt inęqualia: et recta c d ab ipsorum angu lo est in medium basis e h ex thesi: erit per allegatam 4 propositionem angulus e c d minor angulo h c d. Qua re h a puncto c ad uisum e non reflectetur. Quod autem e c, h c latera sint inaequalia, patet: quia per 7 p 3 e c maior est e g, id est, h g (ęquales nisi sunt e concluso) et h g maior h c: erit e c multo maior h c.] Eadem erit probatio, si sumatur c inter g et z. Si uero e d fuerit maior d h: mutetur figura: et addatur lineae d h, linea h q, ut productum ex e q in q h, sit aequale quadrato d q. Erit igitur proportio e q ad d q, si- cut d q ad h q, sicut probat Euclides [17 p 6.] Fiat circulus ad quantitatem semidiametri q d: cuius q cen trum: g, b loca sectionis duorum circulorum: et ducantur lineę e g, e b, q g, q b, d g, d b, h g, h b. Palam ergo, quod erit proportio e q ad q g, sicut q g ad q h: [ęquales enim sunt q g, d q per 15 d 1: itaque e q ad d q et q g eandem habet rationem per 7 p5: et iam patuit, ut e q ad d q, sic d q ad h q: ergo per 7 p 5, ut e q ad g q, sic g q ad h q] et angulus g q h communis utrique triangulo e q g, h q g. Igitur illa duo triangula sunt similia. [per 6. 4 p. 1 d 6.] Erit igitur proportio e q ad q g, sicut e g ad g h. Erit igitur e d ad d h, sicut e g ad g h. [osten sum nisi est, ut tota e q ad totam d q, sic ablata d q ad ablatam h q: ergo per 19 p 5, ut tota e q ad totam d q, id est q g, sic reliqua e d ad reliquam d h: sed ut e q ad q g, sic e g ad g h: ergo per 11 p 5 ut e d ad d h sic e g ad g h.] Quare [per 3 p 6] linea d g diuidet angulum e g h per ęqualia. Vnde punctum h a puncto g reflectetur ad e: [per 12 n 4] et locus imaginis eius punctum e [per 6 n.] Similiter h a puncto b reflectetur ad e: et locus imaginis est punctum e. Si ergo moueatur triangulum e g h, punctis e, h immotis: punctum g describet in sphęra circulum, a cuius quolibet puncto reflectetur h ad e: et semper erit locus imaginis e. Et quod ab alio puncto, quam aliquo illius circuli, non possit h reflecti ad e: palam, ut prius. Si nisi sumatur c inter g et a: erit e c maior e g, et h c minor h g: [per 7 p 3] non ergo erit proportio e c ad h c, sicut e d ad d h: et ita [per 3 p 6] d c non diuidet an gulum e c h per ęqualia. Similiter, si c sumatur inter g et z, poterit improbari. Et ita patet propositum. Notan- dum tamen, quod e est punctum intellectuale: et circulus ille (cuius e est polus) est circulus intellectua- lis: et h punctum intellectuale. Vn-

de, quod dictum est, secundum geo- metricam demonstrationem est intel- ligendum, non secundum uisus pro bationem: cum intellectualia uisum lateant. Sed quoniam forma h con tinua uidetur formis aliorum pun ctorum: uidebitur quidem a uisu for ma, cuius punctum medium h: et locus puncti medij illius formae erit e: et reflectetur h forma a lo- co speculi circulari, cuius medium erit circulus praedictus, et e polus eius. Cum autem e d fuerit maior d h: in tantum poterit esse maior, ut non reflectatur h ad e a puncto g. Sciendum, quod, nisi fuerit pro- portio e a ad a h maior, quam e d ud d h: non poterit h reflecti ad e. Si enim potest reflecti: reflectatur a puncto: quod sit g: erit quidem gd h minor recto, cum respiciat se- ctionem minorem quarta. [quadrans enim peripherię ab angulo recto in centro subtenditur per 33 p 6. Vel angulus g d h minor est recto, quia semidiametro q d et recta g d comprehenditur, ut demonstratum est 60 n.] Ducatur a puncto g contingens [per 17 p 3] quę necessario concurret cum e a: [per 11 ax: quia anguli interiores ad g et d sunt minores duobus rectis: cum angulus ad g sit rectus per 18 p 3, ad d ue ro acutus] sit concursus f. Erit quidem proportio e f ad f h, sicut e d ad d h: [est enim per 64 n d h ad d e, sicut h f ad e f: et per consectarium 4 p 5, ut e f ad f h, sic e d ad d h] sed maior est proportio e a ad a h, quam e f ad f h. [Quia enim a h minor est h f: erit ratio e h ad a h maior, quam ad h f per 8 p 5: et per 18 p 5, e a ad a h maior, quam e f ad h f.] Igitur maior est e a ad a h, quam e d ad d h: et ita necesario: si h reflectitur ad e: erit proportio e a ad ah maior, quam e d ad d h. Patent ergo, quae dicta sunt: cum centrum uisus et punctum uisum fuerint in eadem diametro.

70. Visu et uisibili extra circulum (qui est communis sectio superficierum, reflexionis et speculi sphaerici caui) sitis in diuersis diametris: ab uno puncto fit reflexio, et una uidetur imago. 24 p 8.

AMplius: cum punctum uisum et centrum uisus non fuerint in eadem diametro, et fuerint extra spe culum: non reflectetur punctum uisum ad centrum uisus, nisi ab uno tantum speculi puncto. Ver bi gratia: sit t punctum uisum: h centrum uisus: d centrum sphęrae: et ducantur lineę h d, d t, h t. Superfi cies quidem h d t secat sphaeram super circulum: [per 1 th. 1 sphęr.] qui sit e b q g. Palam, quod t non refle ctetur ad h, nisi ab aliquo puncto huius circuli: [quia ipse est reflexionis superficies.] Producantur er

go h d, t d usque ad circumferentiam circuli. Palam, quod non reflectetur ab arcu q g, uel b a secundum modum prędictum [66 n.] Reflectetur ergo aut ab arcu g b: aut a q. Diuidatur [per 9 p 1] angulus t d h per ęqua- lia, per lineam l e d z: et a puncto e ducatur contingens: [per 17 p 3] quę sit k a f. Si puncta t, h fuerint super illam contingentem: non reflectetur t ad h ab aliquo puncto arcus b g. Cum enim a puncto t ducetur linea ad aliquod interius punctum huius arcus: linea a puncto h ad idem punctum ducta, cadet super ipsum exterius, interius non. Et ideo non erit refle- xio [a causa speculi superficie.] Et quod ab uno puncto tantum arcus a q fiat reflexio: palam erit ex hoc. Ducantur enim lineae t z, h z. Cum angu lus t d h diuisus sit per ęqualia: erit t d z ęqualis angulo h d z. [per 13 p 1.] Lineae igitur t d, h d aut sunt aequales: aut non sunt aequales. Si sunt aequales, et d z communis: erit [per 4 p 1] triangulum t z d aequale triangu lo h z d: et angulus t z h diuisus per ęqualia, per lineam d z. Et ita t refle- ctetur ad h a puncto z. [per 12 n.] Quod autem ab alio puncto non possit: sic constabit. Sumatur punctum o: et ducantur lineae t o, h o: et linea o d m per centrum d diuidat angulum illum per ęqualia. Planum [per 8 p 3] quod t z minor est t o, et h o minor h z: et proportio t z ad h z, sicut t l ad l h: [per 3 p 6: est enim angulus t z h bifariam sectus a recta linea z l] et erit [per eandem] proportio t o ad h o, sicut t m ad m h: sed minor est propor tio h o ad t o, quam h z ad t z. [quia enim e quatuor lineis h o, t o, h z, t z prima minor est quam tertia, se- cunda maior quam quarta: erit ratio primae ad secundam minor, quam tertię ad quartam, ut patet ex 8 p 5] Ergo [per 11 p 5] minor est proportio h m ad m t, quam h l ad l t: quod est impossibile. [Nam cum e quatuor lineis h m, m t, h l, l t prima h m maior sit, quam tertia h l: secunda uero m t minor, quam quarta l t: erit ratio h m ad m t maior, quam h l ad l t, ut constat ex 8 p 5.] Palam igitur, quod si t et h ęqualiter distent a centro, et fuerint super contingentem: non reflectetur t ad h, nisi ab uno speculi puncto tantum: et unicus erit eius imaginis lo cus. Si uero t d, h d sunt inaequales: secentur ad aequalitatem [per 3 p 1] et fiat demonstratio, ut antea.

71. Si angulum comprehensum a duabus diametris, in centro circuli (qui est communis sectio superficierum, reflexionis et speculi sphaerici caui) tertia bifariam secet: et ab eius termino in pe- ripheria dicto angulo subtensa, sint perpendiculares super dictas diametros: puncta diametro- rum, tum in quae perpendiculares cadunt: tum citra haec, a speculi centro aequabiliter distantia, a secantis diametri terminis tantum inter se mutuo reflectentur: duasque habebunt imagines. 25 p 8.

AMplius: b d q, a d g sint duae diametri sphaerae: et diameter e d z diuidat angulum b d g per ęqua- lia: et a puncto e ducantur duae perpendiculares, super duas diametros b d, d g: [per 12 p 1] quę sint e t, e h. Palam [per 26 p 1] quod triangulum e t d aequale est triangulo e hd, et angulus t e d angulo h e d, latusque t d lateri h d, et latus e t lateri e h: cum e d sit communis utrique t igitur reflectetur ad h a puncto e. [per 12 n 4.] Eodem modo a puncto z. [Quia enim angulus b d g bifariam sectus est per li- neam e d: erit angulus t d z aequalis angulo h d z per 13 p 1, et t d aequatur ex concluso ipsi h d, latusque d z commune: angulus igitur t z d aequatur angulo h z d per 4 p 1. Quare per 12 n 4 t et h reflectentur inter se a puncto z.] Et palam [per 66 n] quod t non reflectetur ad h, ab aliquo puncto arcus a b, uel arcus g q: nec reflectetur ab alio puncto arcus a q, quam a puncto z secundum supradictam probationem: [numero praecedente.] Verum quod ab alio puncto arcus b g, quam a puncto e, non possit reflecti: patebit sic. Detur o punctum: et ducantur lineę o d, h o, t o: fiatque circulus ad quantitatem lineae d e, transiens per tria puncta, t, d, h: [transibit autem per conuersionem 31 p 3 demonstratam a Theone in commentarijs in 3 librum magnę con structionis Ptolemęi, et a Campano ad 31 p 13:] cuius quidem circuli linea d e erit diameter: cum angulus e t d, quem respicit, sit rectus. Igitur circulus ille transibit per punctum e. Cum igitur e sit communis utrique circulo, et sit super eandem diametrum: continget circulus minor maiorem in puncto e: sicut probat Euclidis [13 p 3.] Igitur circulus iste secabit lineam d o, [secus tangeret maiorem circulum in puncto o: sicque in duobus punctis e et o tangeret contra 13 p 3] secet in puncto l: et ducantur lineae t l, h l. Iam patet [e superioribus] quod t d est ęqualis h d [ergo per 28 p 3 peripheria t d aequatur peripheriae h

d.] Igitur angulus t l d aequalis angulo d l h [per 27 p 3] quia super aequales arcus. Restat [per 13 p 1] t l o ae- qualis angulo h l o: et angulus l o t ęqualis angulo l o h ex hypothesi: [quia sunt anguli incidentiae et refle- xionis] et l o commune latus: erit [per 26 p 1] triangu lum t l o aequale triangulo h l o: et erit t o ęqualis h o: quod est impossibile: quoniam [per 7 p 3] h o maior h e, et t o minor t e: et t e, sicut prius probatum est, ae- qualis est h e: [linea igitur h o maior est linea t o.] Re stat ergo, ut t non reflectatur ad h, ab alio puncto, quam ab e uel a z. Item a puncto e ducatur linea super dia- metrum t d: quae sit e m: et secetur a linea h d pars, ae- qualis m d: quae sit n d: et ducantur e m, e n. Palam [per 16 p 1] quod e m d maior est recto: [quia angu- lus e t d rectus est per fabricationem] secetur ex eo aequalis recto per lineam p m [per 23 p 1] quae concur- ret cum d e: [per lemma Procli ad 29 p 1] sit concur- sus punctum p: et ducatur n p: et fiat circulus ad quantitatem p d, transiens per tria puncta m, d, n. Cum p m d sit rectus [ex fabricatione] erit p d diameter [per consectarium 5 p 4] et transibit circu lus per p, [ut ostensum est.] Palam ergo, quod m reflectetur ad n a puncto e: [cum enim per 4 p 1 tri angulum d m p sit aequilaterum et aequiangulum triangulo d n p: aequabitur m p ipsi n p, et angulus d p m angulo d p n: ergo per 13 p 1. 3 ax. angulus m p e aequatur angulo n p e, latusque p e commune est: angulus igitur m e p aequatur angulo n e p per 4 p 1. Quare per 12 n 4 m et n a puncto e inter se mutuo reflectuntur] et similiter a puncto z: et non ab aliquo puncto arcus a b, uel g q: [per 66 n.] Et palam, quod non ab alio puncto arcus a q, quam a puncto z: et quod non ab alio puncto arcus b g, quam a puncto e secundum modum praedictum. Sumpto enim puncto, et ductis lineis a punctis t, d, h: et sumpto puncto, in quo circulus ultimus secabit diametrum: et a punctis sectionis ductis li- neis ad puncta t, h: eadem erit improbatio, quae prius. Palam ergo ex praedictis: quod si angulum contentum duabus diametris, per aequalia diuidat tertia diameter: et a termino illius diametri du- cantur perpendiculares ad illas diametros: puncta diametrorum, in quae cadunt, ad se inuicem re- flectuntur a duobus punctis speculi tantum. Punctorum autem diametrorum citra hos terminos per- pendicularium sumptorum, id est uersus centrum: reflectitur quodlibet a duobus punctis tantum: et unum reflectitur ad illud, quod aequaliter distat a centro: et omnium talium duplex est imaginis locus.

72. Si angulum comprehensum a duabus diametris in centro circuli (qui est communis sectio super- ficierum, reflexionis et speculi sphaerici caui) tertia bifariam secet: et ab eius termino in peripheria dicto angulo subtensa, sint perpendiculares super dictas diametros: puncta diametrorum inter peripheriam et perpendicularium terminos a centro speculi aequabiliter distantia, a quatuor peripheriae punctis inter se mutuo reflectentur, et quatuor habebunt imagines. 26 p 8.

AMplius: sumptis duabus diametris b q, a g: et e z diuidente angulum earum per aequalia: su- matur in b d punctum t supra punctum, in quod cadit perpendicularis, ducta a puncto e: et in d g sumatur d h aequalis d t: [per 3 p 1] et ducantur t e, h e. Reflectetur quidem t ad h a pun- cto e, et similiter a puncto z, non ab alio puncto arcus a q: nec ab aliquo puncto arcus a b uel g q [per 66 n.] Deinde a puncto t ducatur perpendicularis super t d: [per 11 p 1] quae quidem concurret cum d e extra circulum sphaerę, cum angulus b d e sit acutus [ut ostensum est 36 n: quare d e et perpendicularis super t d per 11 ax: concurrent: et quidem extra circulum b z g. Quia cum haec perpendicularis, et ea, quae a puncto e super eandem semidiametrum d b ducitur, sint parallelę per 28 p 1: nunquam concurrent per 35 d 1. Quare perpendicularis a puncto t continuata, cadet extra circulum ultra punctum e. Itaque con- curret cum semidiametro e d extra circulum b z g.] Concurrat ergo in puncto o: et ducantur lineę t o, h o. Et fiat circulus transiens per tria puncta t, d, h: qui necessario transibit per punctum o [ut pręce- dente numero demonstratum est] et erit d o diameter eius: [per consectarium 5 p 4] et ducatur li- nea contingens circulum b z g, in puncto e [per 17 p 3] quę sit k e. Palam, quod ultimus circulus secabit primum, scilicet b z g in duobus punctis: [per 10 p 3] sint illa puncta l, m: et ducantur lineae t l, h l,

l d, t m, d m, h m. Cum ergo arcus t d sit aequalis arcui h d: [per 28 p 3: quia rectę d t, d h sunt ęquales per fa- bricationem] erit [per 27 p3] angulus t l d aequalis angulo d l h. Et ita t reflectetur ad h a puncto l [per 12 n 4.] Similiter angulus t m d aequalis angulo d m h [per 27 p 3.] Et ita t reflectetur ad h a puncto m. Pa lam igitur, quod t reflectitur a quatuor punctis a d h: scilicet e, z, l, m: et quadruplex erit locus imaginis e- ius. Et non potest t reflecti ad h ab alio puncto, quam ab aliquo istorum. Detur enim f punctum: et ducan tur lineae t f, h f, d f: et producatur d f, quousque con- currat cum contingente k e: [concurret autem per 11 ax: quia angulus k e d rectus est per 18 p 3, et f d e acutus, quia pars acuti b d e] et sit concursus k: et du cantur lineae t k, h k. Igitur angulus t f d aequalis an- gulo d f h ex hypothesi: [et 12 n 4] restat [per 13 p 1] angulus t f k aequalis angulo k f h. Sed angulus t k f est aequalis angulo f k h [per 27 p 3] quia super ęqua les arcus: et f k communis: erit [per 26 p 1] triangulum aequale triangulo: et ita t k aequalis k h: quod est impossibile: quoniam h k maior h o, et t k minor t o [per 7 p 3] et t o ęqualis h o. [Nam quia recta d t aequatur ipsi d h per fabricationem, et angulus t d o ipsi h d o per thesim, et latus o d commune: ergo per 4 p 1 latus t o aequatur lateri h o: ideoque t k minor est h k.] Palam igitur, quod non est refle- xio ab aliquo puncto, quam a punctis quatuor. Igitur si in diuersis diametris sumantur duo puncta, scilicet t, h, ęqualiter a centro distantia: si fuerint super punctis diametrorum, in quę cadunt perpen diculares, ductę a termino diametri diuidentis per aequalia angulum duarum diametrorum: aut fue- rint inter centrum et puncta illa, id est citra perpendiculares, dum aequaliter distent a centro: refle- ctetur quidem t ad h a duobus punctis tantum. Si uero fuerint t et h a locis perpendicularium usque ad circulum: reflectetur quidem t ad h a quatuor punctis. Si uero fuerint in circulo, uel extra: tamen citra contingentem k e: reflectetur quidem t ad h a duobus punctis tantum. Si uero supra contingen tem fuerint: reflectetur quidem t ad h ab uno puncto tantum. Et haec quidem accidunt, dum t ęqua- liter distat a centro cum puncto h.

73. Visu et uisibili in diuersis diametris circuli (qui est communis sectio superficierum refle- xionis et speculi sphaerici caui) a centro inaequabiliter distantibus: ab uno puncto peripheriae in- ter semidiametros, extra quas sunt uisus et uisibile, reflexio fieri potest. 27 p 8. 120 p 1.

AMplius: t, h si fuerint in diuersis diametris: et longitudo eorum a centro fuerit inęqualis: re- flexio fiet ab uno puncto. Verbi gratia: ducantur diametri a d g, b d q: et ea diuidat angulum eorum per aequalia: et t propinquius sit centro d, quam h. Et sumatur linea l y: et [per 10 p 6] diuidatur in puncto m, ut sit proportio y m ad m l, sicut h d ad d t: et diuidatur l y in aequalia in pun- cto n [per 10 p 1] et a puncto n ducatur perpendicularis n k: [per 11 p 1] et super punctum l fiat angu lus ęqualis medietati a d t per lineam f l: erit quidem angulus f l y acutus: [quia aequatus est dimidiato angulo a d t acuto, ut ostensum est 36 n.] Quare [per 11 ax] f l concurret cum n k: [quia l n k rectus est per fabricationem] concurrant in puncto f: et [per 35 n] a puncto m ducatur linea ad latus f l, concur rens cum latere n k in puncto, quod sit k: et secet linea illa latus f l in puncto c, ut sit proportio k c ad c l, sicut h d ad d z. Deinde super punctum d fiat angulus aequalis angulo l c m: [per 23 p 1] qui sit i d a: et sit i punctum circuli supra z, aut infra: et super i punctum fiat angulus ęqualis c l m: qui sit o i d: et su pe r hanc lineam o i [continuatam] ducatur perpendicularis a puncto h [per 12 p 1] quae sit h r: et pro- ducatur r x aequalis lineę r i: et ducantur lineę h x, h i. Palam secundum praedicta, quod a puncto m non potest linea duci ad latus f l, diuidens ipsum eo modo, quo diuidit lineam m c k, praeter hanc so lam lineam m c k. Si enim possit: sit m p o. Palam, quod p o minor erit c k: quod quidem patebit ducta linea p q aequidistante c k: quę erit minor c k: [cum enim triangula k c f, q p f sint aequiangula per 29. 32 p 1: erit per 4 p 6 ut k f ad q f, sic k c ad q p: sed k f maior est q f per 9 ax. ergo k c maior est q p] et maior p o: [quia maior est q p, quae per 19 p 1 maior est o p, cum angulus p o q sit obtusus per 32. 13 p 1] et p l maior c l [per 9 ax:] Igitur non erit proportio p o ad p l, sicut k c ad c l. [Si enim sit ut k c ad c l, sic o p ad p l: erit per 14 p 5 c l maior l p, contra 9 ax: quia k c maior est o p.] Quare non erit propor- tio p o ad p l, sicut h d ad d t [per 11 p 5.] Restat ergo ut a puncto m non ducatur alia, quam m c k, simi lis ei. Verum cum o d i sit ęqualis angulo l c m, et angulus o i d ęqualis angulo c l m: [per fabricationem] erit triangulum o l m simile triangulo i o d [per 32 p 1. 4 p. 1 d 6.] Igitur angulus i o d erit aequalis angu lo l m c: restat [per 13 p 1] angulus r o h aequalis angulo k m n: et angulus h r o rectus ęqualis erit an- gulo k n m: restat [per 32 p 1] angulus n k m aequalis angulo r h o. Ducta autem linea d i, donec con-

currat cum h r in puncto s: [concurret autem per 11 ax: quia angulus ad r rectus est, ad i uero acutus] erit angulus s d h aequalis angulo k c f [per 15 p 1. 1 ax:] et erit triangulum s d h simile triangulo c k f [per 32 p 1. 4 p. 1 d 6.] Igitur pro- portio s d ad d h, sicut f c ad c k: sed [per 7 p 5] h d ad d i [aequalem ipsi d z per 15 d 1] sicut k c ad c l [per fabricatio nem.] Igitur [per 22 p 5] s d ad d i, sicut f c ad c l: igitur [per 18 p 5] si ad d i, sicut f l ad c l: sed d i ad i o, sicut c l ad l m: cum triangulum d i o sit simile triangulo c l m. Igitur [per 22 p 5] s i ad i o, sicut f l ad l m [et per consectarium 4 p 5, ut i o ad s i, sic l m ad f l.] Sed proportio s i ad i r, sicut f l ad l n: quoniam triangulum s i r simile est triangulo f l n [an- gulus enim r i s aequatur angulo f l n per fabricationem, et s r i rectus f n l recto: ergo per 32 p 1. 4 p. 1 d 6 triangula s i r, f l n sunt similia.] Igitur [per 22 p 5] proportio i o ad i r, sicut l m ad l n.] et per con sectarium 4 p 5 ut i r ad i o, sic l n ad l m.] Igitur proportio y m ad l m, sicut x o ad i o. [Quia enim x i dupla est ipsius i r, et y l dupla ipsius l n: erit igitur per 15 p 5 ut x i ad i o, sic y l ad l m, et per 17 p 5 ut x o ad i o, sic y m ad l m.] Ducta autem a puncto i ęquidistante linea u i, lineę h x, et producta linea d a, donec concurrat cum u i [concurret autem per lemma Procli ad 29 p 1] concurrat in puncto u: erit triangulum o u i triangulo h o x simile [per 15. 29. 32 p 1. 4 p. 1 d 6.] Igitur erit proportio h o ad o u, si cut y m ad m l: [Quia ob triangulorum o u i, h o x ostensam similitudinem est, ut h o ad o u, sic x o ad i o, et ut x o ad i o, sic y m ad m l ex concluso: ergo per 11 p 5, ut h o ad o u, sic y m ad m l] et ita h o ad o u, sicut h d ad d t. [Fuit enim per fabricationem h d ad d t, sicut y m ad m l.] Sed quoniam [per 4 p 1] triangu lum h r i aequale est triangulo h r x: cum h r sit perpendicularis [per fabricationem: et x r aequetur ipsi r i, latusque r h commune sit.] Igitur angulus h x r aequalis est angulo r i h: et ita r i h aequalis est angulo u i o [quia u i o aequatur ipsi h x o propter similitudinem triangulorum u i o, h o x.] Quare [per 3 p 6] proportio h o ad o u, sicut h i ad i u: et ita [per 11 p 5] h i ad i u, sicut h d ad d t. Verum angulus u i d ma ior est angulo d i h: [quia aequalis conclusus est angulo o i h] secetur ab eo aequalis: et sit p i d: et du- catur linea p t: et p sit punctum diametri d a. Palam, quod proportio h i ad u i constat ex proportione h i ad i p, et p i ad u i: [quia ratio extremorum componitur ex omnibus rationibus intermedijs, ut Theon demonstrauit ad 5 d 6.] et [per 3 p 6] proportio h i ad i p, sicut d h ad d p: quoniam d i diuidit angulum p i h per ęqualia. Igitur proportio h i ad u i (quae est h d ad d t) constat ex proportione h d ad d p, et d p ad d t. Igitur proportio d p ad d t, sicut p i ad u i. Verum angulus o i h est medietas angu li u i h: [ex concluso] sed angulus d i h medietas est anguli p i h: restat angulus d i o medietas anguli p i u. Sed angulus d i o est medietas anguli t d p: quia est aequalis angulo f l m [qui ęquatus est dimi- diato angulo a d t seu p d t.] Igitur angulus p i u est ęqualis angulo t d p: et proportio d p ad d t, sicut p i ad u i. Igitur triangulum u i p simile triangulo t p d: [per 6. 4 p. 1 d 6] et angulus u p i aequalis t p d: erit igitur [per 14 p 1] t p i linea recta: quia angulus d p t cum angulo t p o ualet duos rectos: e: ita an gulus o p i cum angulo o p t ualet duos rectos. [Idem uero patet per conuersionem 15 p 1 a Proclo demonstratam.] Et ita [per 12 n 4] t reflectetur ad h a puncto i. [quia linea t p i est linea incidentię, et anguli t i d, h i d sunt aequales per fabricationem.] Et eadem erit probatio, siue sit t extra circulum, siue intra. Et similiter sumpto puncto h extra uel intra: dum inęqualiter distent a centro.

74. Si angulum comprehensum a duabus diametris in centro circuli (qui est communis sectio superficierum reflexionis et speculi sphaerici caui) tertia bifariam secet: puncta in dictis dia- metris a centro inaequabiliter distantia, reflectuntur a quolibet puncto peripheriae inter semidia metros, extra quas sunt, comprehensae: excepto eo, in quo secans diameter terminatur. 28 p 8.

AMplius: ductis diametris b q, a g: et diametro e z diuidente angulum b d g per aequalia. Dico, quod quodcunque punctum sumatur in arcu a q, pręter punctum z: [a puncto enim z reflectumtur tan tum puncta diametrorum a centro aequabiliter distaniadistantia, ut constat e superioribus numeris,] ab illo poterunt reflecti infinita paria punctorum, inaequaliter a centro distantium. Verbi gratia: sumatur h punctum: et sumatur in semidiametro g d punctum l: et a semidiametro b d secetur m d, aequalis l d: [per 3 p 1] et ducantur lineę l m, l h, m h, d h. Punctum, in quo e z diuidit l m, sit f: erit [per 4 p 1] f l aequa- lis f m: et ducatur h d, quousque cadat super l m in pun-

cto n: erit igitur l n minor m n. Verum cum angulus m d f sit aequalis f d l [ex thesi] et angulo q d z: [per 15 p 1] et angulus m d a aequalis angulo l d q: [per ean dem] et angulus a d h aequalis angulo n d l: erit angu- lus l d h maior angulo m d h: [Quia enim m d n, id est per 15 p 1 h d q maior est n d l, id est a d h, et m d a ae- quatur ipsi l d q: angulus igitur l d h maior est angulo m d h] igitur [per 24 p 1] l h erit maior m h: cum m d, d h aequalia sint l d, d h. Erit ergo angulus d h l minor angulo d h m. Si enim esset aequalis: esset proportio l h ad h m, sicut l n ad n m: [per 3 p 6] quod est impossibi le. [Sic enim maior l h ad minorem h m eandem haberet rationem, quam minor l n ad maiorem n m.] Si autem fue- rit maior: secetur ex eo aequalis: et improbabitur eo- dem modo. Igitur est minor. Secetur igitur ab angulo m h d ęqualis illi [d h l:] qui sit t h d. Igitur t reflectetur ad l a puncto h [per 12 n 4.] Et linea t d est minor l d. [quia minor est d m, per thesin aequali ipsi d l.] Similiter si sumantur in semidiametris b d, g d alia pun cta, quam l m, aequaliter a puncto d distantia: probabitur similiter, quod a puncto h fit reflexio pun- ctorum ad inuicem, inaequaliter distantium a centro: et ita de infinitis punctis in his diametris sum- ptis similis erit probatio: et a quocunque puncto arcus a q sumpto, praeter quam a puncto z.

75. Si uisus et uisibile in diuersis diametris circuli (qui est communis sectio superficierum refle- xionis, et speculi sphaerici caui) a centro inaequabiliter distantia, a puncto aliquo peripheriae inter semi diametros, extra quas sunt, inter se mutuo reflectantur: ab uno tantum puncto reflectentur. 29 p 8.

AMplius: sumptis punctis t, l in diametris: quorum inaequalis sit longitudo a centro: reflectantur ipsa ad inuicem a puncto h: non poterit reflecti t ad l ab alio puncto arcus a q, quam a puncto h.

Si enim ab alio: sit illud k: et ducantur, t k, l k, d k, l t, t h, l h, n d h: et producatur d k, quousque con- currat cum l t in puncto p [concurret autem, quia secat angulum t k l a basi t l subtensum.] Palam, quod proportio l h ad h t, sicut l n ad n t. per 3 p 6: quia e- nim t ex thesi est reflexionis punctum: aequabitur per 12 n 4 angulus l h n angulo t h n.] Et similiter cum an- gulus t p k sit aequalis l k p, ex hypothesi: erit [per 3 p 6] proportio l k ad k t, sicut l p ad p t: Sed [per 7 p 3] l h maior l k, et t h minor t k: igitur maior est pro portio l h ad t h, quam l k ad t k. [ut patet per 8 p 5.] Quare maior erit proportio l n ad n t, quam l p ad p t: quod plane impossibile. [Quia enim l n minor est l p per 9 ax: et n t maior p t: erit ratio l n ad n t mi- nor, quam ratio l p ad p t, ut constat ex 8 p 5.] Re- stat, ut ab alio puncto arcus a q, quam a puncto h non possit t reflecti ad l. Palam igitur, quae acci- dunt in arcu a q.

76. Visu in diametro circuli (qui est communis sectio superficierum, reflexionis et speculi sphae- rici caui) intra peripheriam posito: uisibile cum uisu a centro utlibet distans: a quolibet semicir- culi puncto ad ipsum reflecti potest. 30 p 8.

AMplius: sit a centrum uisus: b centrum speculi: et ducatur diameter d a b g: et sumatur superfi- cies, in qua sit a b quocunque modo: quae secabit sphaeram super circulum: [per 1 th. 1 sphaer.] qui sit d l g. Dico, quod a quolibet puncto semicirculi d l g reflectuntur puncta ad a, inaequalis longitudinis a centro, cum eo. Verbi gratia: sumatur punctum e: et ducantur lineę e a, e b. Palam, quod angulus a e b erit acutus: quia cadet in minorem arcum semicirculo. [Nam angulus insistens in pe- ripheriam semicirculi rectus est per 31 p 3. Vel etiam angulus a e b acutus est per ea, quae 60 n demon- strata sunt.] Fiat ei aequalis [per 23 p 1] et sit p e b: et producatur linea b e quantumlibet. Palam, quod

quodlibet punctum illius lineę reflectetur ad a a pun cto e: [per 12 n 4.] Ducta autem a puncto b ad li- neam p e perpendiculari: [per 12 p 1] aut erit perpen- dicularis illa aequalis b a: aut maior: aut minor. Si fue rit aequalis: lineae omnes ductę a puncto b ad lineam p e, praeter illam perpendicularem, erunt maiores li- nea b a: [quia per 19 p 1 maiores sunt perpendiculari, aequali b a] et ita quodlibet punctum lineae p e, uno excepto [puncto nimirum perpendicularis] inaequa liter distabit a centro, cum puncto a. Si uero perpen- dicularis fuerit maior: omnia puncta lineę illius plus distabunt a centro, quam a punctum. Si autem perpen dicularis uerit minor: erit possibile ducere a puncto b duas lineas ex diuersis partibus perpendicularis, aequales lineę b a: et omnes alię lineę [ductae a pun- cto b ad lineam e p] aut minores erunt, aut maiores [b a.] Palam igitur, [per 74 n] quod a puncto e refle- ctuntur puncta ad a: quorum longitudo a centro inae- qualis est longitudini a ab eodem. Quod est propositum.

77. Si a uisu duae rectae lineae tangant circulum (qui est communis sectio superficierum, refle xionis et speculi sphaerici caui) tertia per centrum secet: uisibile cum uisu a centro speculi inaequabiliter distans, potest reflecti a quolibet puncto peripheriae inter tactus puncta ultra centrum interiectae: ex-

ceptis tactus punctis et secantis diametri termino. 31 p 8.

COnstat ex his: quod si sumatur uisus extra circulum: et sit h: et ducatur diameter h b d g: et duę contingentes h t, h q: [per 17 p 3] a quolibet puncto arcus t g q, pręterquam a punctis t, g, q po test fieri reflexio ad h punctorum, inaequaliter distantium a centro cum puncto h. [nam a peripheria t d q et punctis t, g, q nullam ad ui sum h reflexionem fieri constat tum per 70 n: tum quia angulus ta- ctus indiuiduus est: tum ex ijs, quę 45 n 4 demonstrata sunt.] Et ea- dem erit probatio [quae fuit 70 n.]

78. Si uisus et uisibile intra circulum (qui est communis sectio superficierum, reflexionis et speculi sphaerici caui] a centro inaequa- biliter distantia, inter se reflectantur: angulus exterior a diame tris uisus et uisibilis factus, alias maior: alias minor est angulo incidentiae et reflexionis simul utroque 32 p 8.

AMplius: ex his constabit, quod, facta reflexione ad a a puncto e, uel alio puncto inaequaliter

distante a centro, cum puncto a: diameter, in qua fuerit punctum reflexum, cum diametro a b g fa- cit duos angulos, unum respicientem angulum reflexionis, alium ei collateralem: qui quidem col- lateralis aliquando erit maior angulo, constante ex angu lo incidentię et reflexionis: aliquando minor. Verbi gratia: ducatur perpendicularis f b super e o [per 12 p 1] b a aut erit perpendicularis super e a, aut non. Sit perpendicularis: erunt ergo duo anguli f b a, f e a ęqua les duobus rectis [per thesin et 32 p 1.] Ducta autem li- nea b o: erunt duo anguli o b a, o e a minores duobus rectis. Igitur [per 13 p 1] erit angulus o b g maior angu lo o e a, qui est angulus constans ex angulo incidentię et reflexionis. Et cum triangulum e b f sit aequale triangu lo e b a: [quia enim anguli ad a et f recti sunt per the- sin et fabricationem: et per 12 n 4 anguli f e b, a e b ae- quantur, et commune latus est e b: erunt triangula e b f, e b a aequilatera et ęqualia per 26 p 1] et erit b f aequalis b a: et ita o b maior b a [quia maior est f b per 19 p 1, cum subtendat angulum rectum in triangulo o f b.] Ducta autem linea b n: erunt duo anguli n b a, n e a maiores duobus rectis: quia f b a, f e a aequantur duobus rectis, ut patuit] erit ergo angulus n b g minor angulo n e a: Nam cum anguli n b a, n h g aequentur duobus rectis per 13 p 1, et n b a, n e a maiores duobus rectis per conlusionem: erit angulus n b g minor angulo n e a] et n b maior b a [quia maior b f per 19 p 1.] Et ita n et o reflectuntur ad a a puncto e, et inaequaliter distant a centro cum puncto a: et diameter o b eum diame tro a b g ex parte g facit angulum maiorem angulo reflexionis et incidentiae: et diameter n b minorem. Et ita pater propositum. Si uero b a non fuerit perpendicularis super e a: ducatur [per 12 p 1] perpendicularis: quę sit b k: quę quidem siue cadat supra a b, aut sub: eadem erit probatio. Et b f sit perpendicularis super e o: et ducatur f t aequalis a k: et ducatur b t. Palam, quod in triangulo k e b angulus e k b rectus, ęqualis est angulo e f b, et [per 12 n 4] angulus k e b ęqualis angulo reflexionis f e b: restat [per 32 p 1] tertius tertio ęqualis: et cum latus e b sit commune utrique triangulo: erunt [per 26 p 1] triangula aequalia: et erit f b aequalis k b: sed [per fabricationem] a k est aequalis f t: erit ergo [per 4 p 1] a b aequalis b t, et angulus a b k aequalis angulo f b t: addito igitur communi angulo f b a: erit k b f aequalis t b a: Sed k b f et f e a ualent duos re-

ctos: [per 32p 1: quia in quadrilatero e b anguli ad f et k recti sunt.] Quare t b a, t e a ualent duos re- ctos: et ita t b g aequalis est angulo t e a: [quia t b g et t b a aequantur duobus rectis per 13 p 1] qui est angulus constans ex angulo incidentiae et reflexionis. Si igitur a puncto b ad lineam e t, ducatur li- nea ultra t: faciet cum b g ex parte g, angulum minorem angulo constante ex angulo incidentiae et re- flexionis: et erit linea illa maior a b: quoniam t b [qua illa per 19 p 1 maior est] aequalis est a b. Et quaeli bet linea a puncto b ad e t ducta citra t: faciet angulum t b g ex parte g, maiorem angulo constante ex an- gulo incidentiae et reflexionis: et erit minor a b [quia minor aequali b t per 19 p 1.] Et ita est propositum.

79. Si uisus et uisibile in diuerfis diametris circuli (qui est communis sectio superficierum, reflexionis et speculi sphaerici caui) a centro inaequabiliter distantia, inter se reflectantur: angu- lus exterior a diametris uisus et uisibilis factus, est inaequalis angulo incidentiae et reflexionis simul utrique 33 p 8.

AMplius: sit b centrum uisus: g centrum sphaerae: ducatur diameter z b g d: et sumatur superfi- cies, in qua sit diameter secans sphęram super circulum [per 1 th sphae.] qui sit e z h. Dico, quod si punctum a reflectitur ad b ab aliquo puncto circuli: et inaequalis est distantia puncti a a cen-

tro, et puncti b ab eodem: diameter a g cum diametro g d, ex parte d faciet angulum, quem impossibi- le est esse aequalem angulo constanti ex angulo incidentiae et reflexionis. Sit enim aequalis: et t sit pun ctum reflexionis: et sit a g inaequalis b g: et ducantur lineae t a, t g, t b: et fiat circulus transiens per tria puncta a, g, b: [per 5 p 4] qui necessario transibit per punctum t. Si enim cadit extra: ductis lineis a pun ctis a, b ad idem punctum illius circuli extra: fiet [per 21 p 1] angulus minor angulo a t b: et probabitur esse aequalis. Quoniam [per 22 p 3] cum angulo a g b ualebit duos rectos, et anguli a g b et a g d ualent duos rectos: [per 13 p 1] et angulus a t b est aequalis angulo a g d ex hypothesi: ergo angulus a t b cum angu lo a g b ualet duos rectos. Et ita impossibile [contra 21 p 1.] Similiter si circulus citra t ceciderit, eadem erit improbatio. Restat ergo, ut transeat per punctum t. Cum igitur [per 12 n 4] angulus a t g sit aequa lis angulo b t g: erit [per 26 p 3] arcus a g aequalis arcui b g: et ita [per 29 p 3] a g erit aequalis b g: et po- situm est esse eas inaequales. Et ita est propositum.

80. Si uisus et uisibile in diuersis diametris circuli (qui est communis sectio superficierum, refle- xionis et speculi sphaerici caui) a centro inaequabiliter distantia inter se reflectantur a duobus pun ctis peripheriae, comprehensae inter semidiametros, in quibus ipsa sunt: non erit uterque angulus compo situs ex angulo incidentiae et reflexionis, minor angulo exteriore a dictis diametris facto. 34 p 8.

AMplius: sumptis in duabus diametris e g h, z g d, duobus punctis a, b, ut b g sit maior a g. Dico, quod si punctum a reflectatur ad b a duobus punctis arcus e z: non erit uterque angulus constans ex angulo incidentię et reflexionis, minor angulo a g d. Sumantur enim duo puncta t, q in arcu e z, a quibus a reflectatur ad b: et ducantur lineę b t, g t, a t, b q, g q, a q: et si angulus a t b minor est angu lo a g d: dico, quod angulus a q b non erit minor a g d. Sit enim minor: et ducatur linea g n, diuidens an gulum diametrorum per ęqualia: [per 9 p 1] et ducatur linea a b, quam diuidat g n per punctum f. Palam [per 3 p 6] quod proportio b g ad g a, sicut b f ad f a: sed cum b g maior sit g a: [ex thesi] erit b f maior f a. Diui datur a b per medium in puncto k: [per 10 p 1] et fiat [per 5 p 4] circulus transiens per tria puncta a, b, t: qui quidem circulus non transibit per g: quoniam anguli a g b, b t a essent aequales duobus rectis [per 22 p

3] et palam, quod sunt minores: cum [per thesin] angu lus b t a sit minor angulo a g d [qui cum angulo a g b ę- quatur duobus rectis per 13 p 1.] Igitur transibit supra g. Similiter non transibit per q: quoniam sumpto puncto circuli, in quo linea g q secat ipsum, scilicet m: esset ar- cus a m aequalis arcui b m [per 26 p 3] cum respiciant ae- quales angulos super q: [per thesin et 12 n 4: quia q est reflexiois punctum] quod manet impossibile. Quo niam sumpto puncto o, in quo linea g t secat hunc cir- culum: erit arcus a o ęqualis arcui o b: [per 26 p 3] quia respiciunt ęquales angulos super t [per thesin et 12 n 4: et sic peripheria b o maior esset peripheria b m, pars suo toto contra 9 ax:] Restat, ut hic circulus transeat supra q: si enim infra: eadem erit improbatio. Ducatur autem linea a puncto o ad punctum k: quae quidem cum di- uidat chordam a b per ęqualia: [per fabricationem] et si- militer arcum a b: [quia peripheria a o aequalis ostensa est ipsi b o] erit perpendicularis super a b. [rectae e- nim lineae subtendentes peripherias a o, b o, aequales sunt per 29 p 3, et b k aequatur ipsi k a, et commu ne latus est k o. Quare per 8 p. 10 d 1, o k perpendicularis est ipsi a b.] Verum angulus b a g maior an- gulo ab g: [per 18 p 1] cum b g sit maior g a: [ex thesi] et angulus b f g ualet duos angulos f a g, f g a [per 32 p 1] et angulus a f g ualet duos angulos f b g, f g b: sed a g f ęqualis est f g b: [per fabricationem] et f a g maior f b g. Igitur angulus b f g maior est angulo a f g: igitur b f g maior est recto: [per 13 p 1] quare n f b minor est recto. [per 13 p 1.] Sed o k super f b facit angulum rectum: ergo producta concurret cum g n [per 11 ax:] supra b f, et inferius nunquam. [secus per 3 p 6 b k

fieret maior k a, cui est aequata.] Facto autem circulo transeunte per tria puncta a, q, b: transibit supra g. [Quia si transiret per punctum g: essent anguli a q b, a g b aequa les duobus rectis per 22 p 3: et anguli a g b, a g d aequan tur duobus rectis per 13 p1. Quare per 3 ax. a q b aequa- retur a g d: contra praecedentem numerum] et g q diuidet arcum eius a b per aequalia [quia enim q ex thesi est re- flexionis punctum: aequantur anguli g q a, g q b per 12 n 4 et per 26 p 3 peripheria a b bifariam secabitur a recta g q] sed k o diuidit chordam a b per aequalia [per fabrica tionem.] Ergo k o concurret cum g n infra b f, et supra pun- ctum g. Igitur k o concurrens cum b a, prius concurret cum g n infra b f: et iam improbatum est. Restat ergo, ut an- gulus a q b non sit minor angulo a g d: aut quod a non reflectetur ad b a puncto q [contra thesin.] Similis erit improbatio, sumpto quolibet puncto arcus e n. Sum- pto autem puncto in arcu n z: qui sit p: fiat reflexio puncti a ad b a puncto p, ut angulus constans ex angu lo incidentię et reflexionis supra p, sit minor angolo a g d, sicut angulus constans ex angulo incidentię et re flexionis supra t, minor est eodem. Improbabitur autem hoc modo. Ducantur a p, b p, g p: oportet ergo ne- cessario, ut g p diuidat k o propter arcum a b, quem diuidit ex circulo a b t linea g t per aequalia: [peri- pheria enim b o aequatur peripheriae c a ex concluso:] et similiter linea k o. Sit ergo punctum con- cursus lineae g p cum k o, punctum l: et ducatur linea t p. Cum igitur duae lineae g p,g t sint aquales: [per 15 d 1] erunt [per 5 p 1] duo anguli g p t, g t p aequales: et [per 32 p 1] uterque acutus. Ducta igitur perpendiculari super g t a puncto t: [per 11 p 1] continget circulum speculi [per consectarium 16 p 3] et producta, cadet super terminum diametri minoris circuli: cum angulus, quem efficit cum g t, re- spiciat arcum semicirculi minoris circuli: [per 31 p 3] et cum t o cadat supra k o, et k o producta tran- seat per centrum minoris circuli: [per consectarium 1 p 3, quia recta linea o k bifariam, et ad angulos rectos secat rectam a b] necessario illa perpendicularis cadet super terminum k o producta: [per 31 p 3] et p t est inferior illa perpendiculari, habito respectu ad n. Igitur quaecunque linea ducatur a pun- cto g ad lineam t p, secans diametrum illius circuli, quae est o k: cadet in punctum aliquod lineae t p, citra illam perpendicularem. Cum igitur g p cadat in p, et secet o k: erit p citra perpendicularem, et infra arcum illius perpendicularis. Facto igitur circulo transeunte per tria puncta a, b, p: transibit quidem per l, et secabit circulum a b t in duobus punctis a, b: et cum exeat a puncto b, et iterum re- deat in punctum p, inferius puncto t, cum p sit citra illum circulum: necessario secabit illum in ter- tio puncto: quod est impossibile [et confra 10 p 3.] Restat ergo, ut punctum a non reflectatur ad b a duobus punctis arcus, interiacentis eorum diametros, id est arcus e z, ut uterque angulus constans ex angulo incidentiae et reflexionis sit minor angulo a g d.

81. Duo puncta in diuersis diametris circuli (qui est communis sectio superficierum, reflexio- nis, et speculi sphaerici caui) a centro inaequabiliter distantia: a duobus punctis peripheriae com- prehensae inter semidiametros, in quibus ipsa sunt, inter se mutuo reflecti possunt. 35 p 8.

AMplius: dico quod possunt reflecti duo puncta ad se, inaequalis longitudinis a centro, a duo- bus punctis arcus ipsa respicientis, id est diametros, in quibus sunt puncta illa, interiacentis. Verbi gratia: sumptis duabus semidiametris in circulo sphęrae, scilicet b d, g d: diuidatur an- gulus earum per aqualia, per semidiametrum e d: [per 9 p 1] et in b d sumatur punctum m, supra punctum, in quod cadet perpendicularis ducta a puncto e super b d: et sumatur [per 3 p 1] n d aequalis m d: et [per 5 p 4] fiat circulus transiens per tria puncta d, m, n: necessario circulus ille transibit extra e. Si enim per e: fieret quadrangulum a quatuor punctis d, n, e, m: et duo anguli illius quadranguli sibi op- positi sunt aequales duobus rectis: [per 22 p 3] quod quidem non esset: cum linea e m sit supra perpen dicularem: et ideo angulus e m d acutus: [per 16 p 12 d 1] et similiter ei oppositus super n, acutus: quia e n supra perpendicularem est. [Quare in quadrilatero circulo inscripto oppositi anguli essent minores duobus rectis contra 22 p 3.] Similis erit improbatio: si transeat circulus citra e. Transibit ergo extra, et [per 10 p 3] secabit circulum sphaerae in duobus punctis, sicut t, l: et ducantur lineae m t, d t, n t, m l, d l, n l: et ducatur linea m n secans t d in puncto f, lineam e d in puncto p. Palam, cum m d sit aequalis n d [per fabricationem] et p d communis, et angulus n d p aequalis angulo m d p: [per fa- bricationem] erit [per 4 p 1] triangulum aequale triangulo: et erit angulus f p d rectus: [per 10 d 1]

igitur angulus p f d acutus [per 32 p 1.] Ducatur [per 11 p 1] a puncto f perpendicularis super t d: quae sit k f. Palam, quod aliquod punctum lineę n l, erit infe- rius punctum k, sumpta inferioritate respectu n: sit illud punctum z: et ducatur t z linea usque ad circulum, cadens in punctum circuli: quod sit o. Arcus n o aut minor est ar- cu t l: aut non. Si non fuerit minor: sumatur ex eo arcus minor: et ad terminum illius arcus ducatur linea a pun cto t: et erit idem, ac si arcus n o esset minor arcu t l. Sit igitur n o minor t l. Palam [per 33 p 6] angulus t n l erit maior angulo o t n, quia respicit maiorem arcum. Secetur ex eo aequalis: et sit i n z: et super punctum t lineae t m, fiat angulus, aequalis angulo o t n [per 23p 1] qui sit q t m. Cum igitur angulus t m l sit miaior angu- lo m t q [per 33 p 6: quia peripheria t l subtensa angulo t m l, maior est ex thesi, peripheria n o, subtensa angu- lo n t o, cui aequatus est angulus m t q] concurret linea t q cum linea l m: concurrat in puncto q. Cum igitur an- gulus l m t sit aequalis duobus angulis m q t, m t q [per 32 p 1] et angulus l n t sit ęqualis l m t [per 27 p 3] quia sunt super eundem arcum [l t] et angulus i n z sit ęqualis i n q: [per fabricationem] erit angulus i n t aequalis angulo m q t: et ita triangulum m q t simile triangulo i n t [est enim angulus m t q aequatus angulo o t n: itaque per 23 p 1 triangula m t q, i t n sunt aequiangula: et per 4 p. 1 d 6 similia.] Et similiter triangulum i n z est simile triangulo t n z: [communis enim est angulus n z t: et z n i aequatus est ipsi o t n: ergo per 32 p. 1. 4 p. 1 d 6 triangula sunt similia] et ita proportio n t ad t q, sicut n i ad m q: et similiter proportio t n ad t z, sicut i n ad n z. Sed t z maior t q: quod sic patet. Sit r pun- ctum, in quo t z secat k f. Angulus t f r est rectus: [nam k f perpendicularis ducta est super t d] quare [per 32 p 1] angulus f t r acutus. Igitur angulus q t f ei ęqualis. [Quia enim ex thesi recta d m aequatur ipsi d n: aequa bitur peripheria d m peripheriae d n per 28 p 3: et anglus d t m angulo d t n: et m t q aequatus est o t n. Totus igitur f t r aequatur tot f t q] est acutus et k f perpendicularis super t d. Quare [per 11 ax.] k f producta concurret cum t q: sit concursus s: et linea t s ducta a puncto t ad punctum concursus, cu- ius lineae pars est t q: erit aequalis lineae t r: [quia anguli ad f sunt recti, et f t r, f t s aequantur, latusque t f commune: aequabitur r t ipsi t s per 26 p 1] et ita t q minor t z [quia minor est ipsa t r, quae pars est ipsius t z.] Quare [per 8 p 5] maior est proportio n t ad t q, quam n t ad t z. Igitur maior est propor- tio i n ad m q, quam i n ad n z. Quare [per 10 p 5] m q minor est n z. Secetur igitur ex n z aequalis ei [per 3 p 1l quae sit n x. Quoniam [per 22 p 3] angulus l n d cum angulo l m d ualet duos rectos: erit [per 13 p 1. 3 ax] angulus l n d aqualis q m d: et x n, n d, aequalia q m, m d. Igitur [per 4 p 1] q d aequa- lis x d. Sed z d maior x d: quoniam angulus l n d cum angulo l m d ualet duos rectos: [per 22 p 3] sed angulus l m d acutus: cum angulus e m d sit acutus [per 16 p. 12 d 1.] Igitur angulus l n d maior est recto: igitur z d maior x d [quia enim angulus l n d est obtusus: erit per 32 p 1 n x d acutus, et per 13. 32 p 1 z x d obtusus, x z d acutus: quare per 19 p 1 z d maior est x d.] Quare z d maior q d. Igitur q re- flectitur ad z a duobus punctis t, l: et q et z sunt inęqualis longitudinis a centro, et in diuersis dia- metris. Et quod non sint in eadem diametro, palam: quoniam angulus x d n aequalis est angulo q d m: addito ergo communi angulo x d m, erit angulus n d m aequalis angulo x d q: et minor duobus rectis. Quare magis angulus z d q [pars anguli x d q] minor duobus rectis. Quare q et z non sunt in eadem diametro, sed in diuersis.

82. Si duo puncta in diuersis diametris circuli (qui est communis sectio superficierum, refle- xionis et speculi sphaerici caui) a centro inaequabiliter distantia, a duobus punctis peripheriae comprehensae inter semidiametros, in quibus ipsa sunt, inter se mutuo reflectantur: a nullo alio eiusdem peripheriae puncto reflecti possunt. 36 p 8.

AMplius: sumptis duobus punctis, quae sint o, k, et inaequaliter distantibus a centro: reflectetur quidem unum ad aliud a duobus punctis arcus, respicientis semidiametros, in quibus sunt: sed non ab alio puncto illius arcus, quam ab illis duobus. Verbi gratia: d sit centrum: k remotius a d quam o a d: g d, b d semidiametri: t punctum unum reflexionis. Palam ex superioribus, quod uterque angulus con- stans ex angulo incidentiae et reflexionis, non erit minor angulo o d a: [per 80 n] nec ęqualis [per: 79 n] alter ergo erit maior. Sit angulus constans ex angulo incidentiae et reflexionis, qui est super t, maior an- gulo o d a: et ducantur lineae o t, d t, k t: et ex angulo illo secetur angulus aequalis angulo o d a: [pro 23 p 1] qui sit o r f: et diuidatur angulus f t k per aequalia per lineam t e [per 9 p 1] et a puncto k ducatur aequidistans t f: [per 31 p 1] quae quidem concurret cum te: [per lemma Procli ad 29 p 1] concurrat in puncto z: et ducatur linea o k: et diuidatur angulus o d k per aequalia, per lineam d u, secantem lineam o k in pun- cto p: et est k d maior o d [ex thesi.] Cum igitur [per 3 p 6] sit proportio k d ad d o, sicut k p ad p o: erit k p maior p o. Item linea d t secet lineam o k in puncto n. Dico, quod cadit inter n et k, non inter n et o, quod sic patebit. Angulus k p d ualet duos angulos p d o, p o d: et angulus o p d ualet duos angulos p k d et p d k [per 32 p 1.] Sed angulus p d o aequalis est angulo p d k: [per fabricationem] et [per thesim et 18 p 1] angulus k o d maior angulo ok d: igitur angulus k p d maior angulo o p d: igitur

[per 13 p 1] angulus k p d maior recto: et angulus k n d acutus: quod sic constabit: si fiat circulus per tria puncta o,t, k: [per 5 p 4] transibit infra d. Quoniam si transeat per d: cum angulus o t k sit maior angulo o d a: [per the- sin] erunt duo anguli o t k, o d k maiores duobus rectis [contra 22 p 3.] Si transeat supra d: eadem est demonstra- tio. Et inea n d diuidet arcum illius circuli, qui est o k, per aequalia infra d. [Quia cum t sit reflexionis punctum ex thesi: aequabuntur anguli k t d, d t o per 12 n 4, et peri- pheriae illis subtensae per 26 p 3.] Si autem a puncto diui- sionis ducatur linea ad medium punctum lineae o k: quae est chorda illius arcus: erit linea illa perpendicularis super o k: [rectę enim lineae a puncto medio periphe- riae k o, ductae ad puncta k et o, aequantur per 29 p 3: et recta, quę ab eodem puncto connectit medium rectae k o, aequatur sibijpsi Quare per 8 p. 10 d 1 ipsa perpen dicularis est ad k o] et cadet inter p et k: cum p k sit ma- ior p o: [ex concluso] et angulus super n a parte illius perpendicularis et ex parte p erit acutus: [per 32 p 1] et angulus super p ex parte o est acutus [per 13 p1: ostensum enim est angulum k p d esse ob- tusum.] Si ergo p cadit inter n et o: impossibile erit perpendicularem illam cadere inter n et p: quia secaret d p, et fieret triangulum, cuius unus angulus rectus, alius obtusus [contra 32 p 1.] Cadet ergo inter n et k: et erit angulus n ex parte perpendicularis acutus: igitur ex parte o obtusus [per 13 p 1:] ergo p non cadit inter n et o: quia ita erit triangulum, cuius duo anguli obtusi [est enim angulus k p d obtusus conclusus.] Palam, quod angulus k t d est medietas anguli k t o: [per thesin et 12 n 4: quia t est punctum reflexionis: et d t perpendicularis est plano speculum in puncto t tangenti per 25 n 4] sed k t e est medietas anguli k t f [per fabricationem.] Restat e t d medietas anguli f t o: sed f t o aequalis est angulo o d a [per fabricationem:] igitur e t d medietas anguli o d a: sed angulus o d a cum angulo o d f ualet duos rectos [per 13 p 1] et [per 32 p 1] tres anguli trianguli e t d duos rectos: ab- lato e d t communi: restat angulus t e d aequalis medietati anguli o d a, et angulo o d n [nam post sub- ductionem communis anguli t d e, relinquuntur anguli d t e, t e d aequales angulis o d t, o d a: sed d t e aequatur dimidiato angulo o d a, ut patuit: reliquus igitur t e d ęquatur dimidiato angulo o d a et an gulo o d n simul utrique.] Sed angulus o d p cum medietate anguli o d a est rectus: [quia enim anguli o d k, o d a aequantur duobus rectis per 13 p 1: et angulus o d u est dimidius anguli o d k per fabricationem: duo igitur dimidiati anguli duorum rectorum aequantur uni recto] igitur angulus t e d est acutus: [quia enim angulus o d p cum dimidiato angulo o d a aequatur uni recto ex concluso: et maior est angulo o d n: quia, ut patuit, n cadit inter p et o: ergo angulus t e d aequalis angulo o d n, et dimidiato o d a, erit minor recto: ideoque acutus] quare ei contrapositus est acutus [per 15 p 1.] Igitur si a puncto k ducatur perpendicularis ad t z: [per 12 p 1] cadet inter e et z Si enim supra e ceciderit, cum angulus g e t sit obtusus: [per 13 p 1: acutus enim conclusus est t e d] accidet triangulum habere duos angulos rectum et obtusum [contra 32 p 1.] Sit ergo perpendicularis k q. Dico, quod k t se habet ad t f, sicut k ad d o, t o enim aut est aequidistans k d: aut concurrit cum ea. Sit aequidistans: erit ergo [per 29

p 1] angulus o d a aequalis angulo t o d: et ita t o d aequalis angulo o t f [aequatus enim est o t f ipsi o d a.] Et o d, t f aut sunt aequidistantes: aut concurrunt. Si aequidistantes, cum cadant inter aequidistan- tes [k d, t o] erunt [per 34 p 1] aequales. Si uero concurrunt: facient triangulum, cuius latera aequalia [per 6 p 1] quia respiciunt aequales angulos: [f t o, et d o t] et f d secat illa latera aequidistanter basi. Erit ergo [per 2 p 6. 18 p 5] proportio unius laterum ad d o, sicut alterius ad f t: et ita t f aequalis d o [per 9 p 5.] Et hoc dico si lineae illae concurrant sub k d. Et si concurrant sub t o: eadem erit probatio: quia fiet triangulum, cuius unum latus est t o, et alia duo latera aequalia: [per 6 p 1] et erit [per 2 p 6. 18 p 5] proportio unius laterum ad d o, sicut alterius ad t f: et ita [per 9 p 5] t f aequalis d o. Item angulus t d k est aequalis angulo d t o [per 29 p 1] quia d t inter aequidistantes: [ex thesi: nempe k d, t o] igitur est aequalis angulo d t k: [qui ex thesi et 2 n 4 aequatur angulo d t o] quare [per 6 p 1] d k aequalis est t k. Igitur [per 7 p 5] proportio t k ad t f, sicut k d ad d o. Si uero t o concurrit cum k d: concurrat

ex parte a in puncto l Scimus [e demonstratis a Theo ne ad 5 d 6] quod proportio k t ad t f compacta est ex proportione k t ad t l, et t l ad t f: sed [per 3 p 6] k t ad t l est, sicut k d ad d l: quoniam d t diuidit angulum k t o per aequalia: et proportio t l ad t f, sicut d l ad d o: quoniam angulus o d l est aequalis angulo l t f [per fa- bricationem] et angulus super l communis: [trian- gulis l t f, o d l] erit partiale triangulum simile totali [per 32 p 4 p. 1 d 6.] Igitur proportio k t ad t f constat ex proportione k d ad d l, et proportione d l ad d o: sed proportio k d ad d o constat ex ijsdem [assumpta d l media inter k d et d o.] Quare proportio k t ad t f, sicut k d ad d o. Si uero t o concurrat cum k d ex par- te g: sit concursus s Et a puncto d ducatur aequidi- stans lineae k t: [per 31 p 1] quae sit d r, concurrens cum t o in punto r: igitur [per 29 p 1l angulus k t d est aequalis angulo t d r: sed idem est aequalis angulo d t o [per thesin et 12 n 4.] Quare [per 6 p 1] d r est aequalis t r. Sed quia triangulum s t k simile est triangulo s r d: [per 29. 32 p 1. 4 p. 1 d 6] erit proportio d r ad s r, sicut k t ad t s: et ita r t ad r s, sicut k t ad t s: [per 7 p 5: aequalis enim conclusa est t r ipsi d r] sed r t ad r s, sicut d k ad d s [est enim per 2 p 6, ut s t ad t r, sic s k ad k d: et per 18 p 5, ut s r ad r t, sic s d ad d k, et per consectarium 4 p 5, ut r t ad r s, sic d k ad d s.] Igitur [per 11 p 5] k t ad t s, sicut d k ad d s. Sed quo

niam angulus f t o aequalis est angulo o d a: [per fabrica- tionem] erit [per 13 p 1] angulus o d s ęqualis angulo f t s [et angulus ad s ęquatur sibijpsi: itaque per 32 p 1 triangula s t f, d s o sunt aequiangula.] Igitur [per 4 p 6] s t ad t f, sicut d s ad d o: et est k t ad t s, sicut d k ad d s: et t s ad t f, sicut d s ad d o: quare [per 22 p 5] k t ad t f, sicut k d ad d o. Quod est propositum. Sed quoniam k z aequidistat t f: [per fabrica- tionem] erit [per 29 p 1] angulus k z ęqualis angulo e t f: et ita triangulum k z e simile triangulo e t f. [Nam anguli ad e aequantur per 15 p 1: itaque per 32 p 1. 4 p. 1 d 6 triangula k z e, e t f sunt similia.] Quare proportio k e ad e f, sicut k z ad tf: sed [per 3 p 6] k e ad e f, sicut k t ad t f, propter angu- lum super t diuisum per aequalia. Igitur [per 9 p 5] k z aequa- lis est k t. Verum quoniam k q est perpendicularis super e z: [per fabricationem] erunt omnes eius anguli recti: sed an- gulus e t d est acutus: quoniam est medietas anguli [f t o, ut patuit.] Igitur k q concurret cum t d [per 11 ax.] Sit concursus h: et ducatur linea e h: et [per 31 p 1] a puncto e ducatur ae- quidistans h k, producta usque ad d h: quae sit e x: et mutetur figura propter intricationem linearum: et [per 5 p 4] fiat cir- culus, transiens per tria puncta x, t, e: et producatur k d usque in circulum, cadens in punctum m: et educatur m t: erit [per 27p 3] angulus t m e aequalis angulo t x e: quia cadunt in eundem arcum: [e f t] et [per 29 p 1] angulus t x e aequalis an gulo t h k: erit t m e aequalis angulo t h k. Secetur ab an- gulo t m e, aequalis angulo d h e: [id uero fieri potest: quia angulus t h k maior est angulo d h e per 9 a x: itaque t m e eodem maior est] qui sit f m d: et punctum, in quo f m secat t x, sit i. Palam quod triangulum i m d simile est triangulo e d h [quia enim angulus f m d aequatus est angulo d h e, et anguli ad d aequantur per 15 p 1:

ergo per 32 p 1 triangula sunt aequiangula, et per 4 p. 1 d 6 similia.] Quare proportio h d ad d m, sicut e h ad i m. Et similiter triangulum t m d simile triangulo k h d: [Nam angulus t m d aequalis conclusus est angulo t h k: et anguli ad d ęquantur per 15 p 1. Quare ut prius trian- gula sunt similia] et proportio k d ad d t, sicut h d ad d m: et ita [per 11 p 5] k d ad d t, sicut e h ad i m. Sed pro- portio k d ad d t nota: quoniam semper una et eadem per- manet, quodcunque punctum reflexionis sit t in arcu b g: quia semper linea t d est una: [quia est semidiameter circuli, qui est communis sectio superficierum reflexio- nis et speculi] et k d similiter [quia est distantia puncti reflexi a centro speculi.] Linea etiam e h una in qua- cunque reflexione permanet, et non mutatur eius quan- titas [quia angulus o d a idem semper permanet: eiusque dimidius est angulus e t d: quia, ut patuit, dimidius est anguli f t o, aequati angulo o d a.] Quare linea i m semper erit una: quare punctum f notum et determina- tum [quia per lineam i m longitudine semper eandem, continuatam in peripheriam ostenditur.] Si ergo a tribus punctis arcus b g fieri posset reflexio: esset ducere a puncto f ad circulum x t e tres li- neas aequales: quarum cuiuslibet pars interiacens diametrum t x et circumferentiam circuli esset aequalis lineae i m: quia semper erit proportio k d ad d t, sicut e h ad quamlibet illarum. Et patet ex superioribus [34 n] quod non, nisi duae aequales possunt. Quare a duobus tantum punctis fiet re- flexio. Quod est propositum.

83. Datis duobus punctis in diuersis diametris circuli (qui est communis sectio superficierum, reflexionis et speculi sphaerici caui) a centro inaequabiliter distantibus: inuenire in peripheria comprehensa inter semidiametros, in quibus ipsa sunt, duo reflexionis puncta. 37 p 8.

AMplius: datis duobus punctis k, o in diuersis diametris, inaequaliter distantibus a centro: est inuenire punctum reflexionis. Verbi gratia: sumatur linea z t: et [per 10 p 6] diuidatur in puncto e, ut sit proportio z e ad e t, sicut k d ad d o [in primo diagrammate praecedentis numeri.] Quoniam k d maior d o [ex thesi praecedentis numeri] erit z e maior e t: diuidatur z t per aequalia in puncto q: [per 10 p 1] et a puncto q ducatur perpendicularis super z t: [per 11 p 1] et fiat angulus e t d aequalis medietati anguli o d a: erit quidem acutus: [quia aequatur angulo rectilineo

dimidiato, ut ostensum est 36 n] igitur t d concur- ret cum perpendiculari [per 11 ax.] Sit concursus in puncto h: et [per 38 n] ducatur linea d e k, ut sit proportio k d ad d t, sicut k d ad semidiametrum sphaerae [erit igitur semidiameter sphaerae aequalis d t per 9 p 5.] Et angulo, quem habemus k d t fiat [per 23 p 1] in speculo angulus aequalis, scilicet k d t. Dico, quod t est punctum reflexionis. Et si praedi- ctam probationem replicaueris, manifeste uidebis.

84. Si duo puncta extra circulum (qui est com- munis sectio superficierum reflexionis et specu- li sphaerici caui) uel alterum intra, reliquum ex- tra, in diuersis diametris, a centro inaequabiliter distantia, reflectantur a peripheria comprehen- sa inter semidiametros, extra quas ipsa sunt: ab uno puncto tantum reflectentur. 38 p 8.

AMplius: sumptis duobus punctis in diuersis diametris, quae puncta inaequalis sint longitu-

dinis a centro: si fuerint extra circulum, et reflectantur ab a- liquo puncto arcus oppositi diametris: non reflectentur ab alio eiusdem arcus. Verbi gratia: sint a, b puncta in diuersis diame- tris, extra circulum: g centrum: t punctum reflexionis: et ducantur b t, a t, t g: b t secabit arcum circuli: sit punctum sectionis q: a t seca- bit similiter arcum circuli: sit punctum sectionis m. Quoniam angu- lus b t g ęqualis est angulo a t g: [per 12 n 4: quia t est reflexionis pun ctum ex thesi] cadent in arcus circuli aequales: [per 26 p 3] quod pa tebit producta semidiametro t g in p. Erit ergo arcus q p aequalis ar- cui m p. Si igitur b reflectitur ab alio puncto: sit illud h: et ducantur lineae b h, a h, g h. Secet b h circulum in puncto l: a h in puncto n: et producatur h g in k. Secundum igitur praedictam probationem e- rit l k aequalis n k: sed iam habemus, quod q p aequalis p m: quod est impossibile [et contra 9 ax.] Restat ut b non reflectatur ad a, a pun cto h, uel ab alio puncto arcus oppositi diametris, praeterquam a t. Similiter si fuerit alterum punctorum in circulo, alterum extra: ab uno tantum puncto arcus poterit reflecti ad aliud.

85. Si recta linea connectens duo puncta in diuersis diametris circuli (qui est communis sectio superficierum reflexionis et specu li sphaerici caui) a centro inaequabiliter distantia, tangat peripheriam dicti circuli, uel sit extra ipsam: ab uno tantum puncto reflexio fiet. 39 p 8.

AMplius: si linea ducta ab uno duorum puncto- rum, contingat circulum, aut tota sit extra: sum- pto quocunque puncto in arcu opposito diame- tris: [in quibus sunt data puncta] altera linearum a punctorum duorum altero, ad illud punctum ducta rum, tota erit extra circulum: et sic neutrum puncto rum ad aliud reflectetur ab aliquo puncto illius ar- cus: [m l] et ab uno solo puncto speculi [in periphe- ria d n sumpto per 73 et praecedentem numeros.]

86. Si recta linea connectens duo puncta in di- uersis diametris circuli (qui est communis sectio superficierum reflexionis et speculi sphaerici caui) a cen- tro inaequabiliter distantia, continuata eundem secet: possunt dicta puncta ab uno, duobus, tri- bus, aut quatuor punctis speculi inter se reflecti. 40 p 8.

SI uero linea ducta ab uno puncto ad aliud, secet circulum: fiat circulus per centrum speculi et illa duo puncta [per 5 p 4.] circulus ille aut totus erit intra circulum: aut continget ipsum intrinsecus: aut seca bit. Sit totus intra: et ducantur duę lineę a duobus punctis ad aliquod punctum arcus oppositi: angulus, quem facient [qui sit a t b] erit minor angulo [b g d] quem una diameter facit cum alia, ex parte cen-

tri: [Nam si a puncto f, in quo g t secat peripheriam circuli a b g, ducantur rectae f a, f b: ęquabuntur angu li ad f et g duobus rectis per 22 p 3: quibus etiam ae- quantur anguli ad g deinceps per 13 p 1: quare per 3 ax. b g d ęquatur a f b: qui per 21 p 1 maior est angulo a t b. Angulus igitur a t b minor est angulo b g d.] Et quilibet angulus sic factus super arcum oppositum [i m] minor erit illo angulo. Quoniam angulus fa- ctus in interiore circulo, per lineas a punctis ad ar- cum eius interiacentem ductas, erit aequalis illi an- gulo: quoniam cum angulo diametrorum super cen trum ualet duos angulos rectos [per 22 p 3.] Sed [per 21 p 1] angulus arcus minoris circuli [angulus nem- pe in ipsius peripheria] maior est angulo arcus spe- culi [eo nempe, qui fit in peripheria circuli: qui est communis sectio superficierum, reflexionis et spe- culi.] Igitur in arcu speculi non fiet reflexio, nisi a bu- no puncto: cum iam dictum sit [80 n] quod non est possibile reflexionem a duobus punctis fieri, ut sit uterque angulus, constans ex angulo incidentia et reflexionis, minor angulo diametrorum ex alia parte centri. Si uero circulus ille contingat intrin

secus circulum speculi: angulus factus a lineis, ab il- lis punctis ad punctum contactus ductis, erit aequa- lis angulo diametrorum ex alia parte centri [angu- li enim ad h et g aequantur duobus rectis per 22 p 3: quibus etiam aequantur anguli ad g deinceps per 13 p 1: angulus igitur a h d aequatur angulo b g d per 3 ax.] Quare ab illo puncto contactus non fiet refle- xio [per 79 n.] Et angulus factus super quodcunque punctum aliud maioris circuli, erit minor illo [ut si aangulus fiat super punctum t: erit a f b maior a t b per 21 p 1: sed a f b aequatur a h b per 21 p 3: quare a h b ma ior est a t b: eodemque modo de quocunque angulo de- monstrabitur.] Quare a duobus punctis arcus non fiet reflexio secundum praedicta [80 n.] Si uero cir- culus interior secet circulum speculi: duo puncta [peripheria enim peripheriam in duobus punctis tantum secat per 10 p 3] aut erunt extra circulum: aut intra: aut unum intra, aliud extra: aut unum in cir- cumferentia, aliud extra, uel intra. Si fuerint extra: circulus secans, non secabit arcum circuli specu- li, interiacentem diametros. Et iam probatum est in praecedente figura [pręcedentis numeri] quod

hęc puncta ab uno solo puncto arcus interiacentis diametros poterunt re- flecti [quod est punctum peripheriae inter semidiametros, extra quas sunt reflexa puncta, ut patuit pręcedente nu mero.] Si uero unum fuerit in circum- ferentia, aliud extra: circulus secans secabit arcum circuli speculi, diame- tros interiacentem in unico puncto. Et quilibet angulus factus super arcum illum: erit maior angulo diametrorum ex alia parte centri: et sic [per 80 n] ab uno puncto, uel a duobus potest fieri reflexio. Si uero duo puncta fuerint in- tra: secabit circulus interior arcum in- teriacentem in duobus punctis: et re- stabunt ex eo duo arcus ex diuersis partibus. Et omnes anguli facti super arcum, interiacentem duo puncta sectionis, erunt maiores angulo diametrorum ex alia parte cen- tri: [ut patet in angulo a e b per 22 p 3. 13. 21 p 1.] Et ab hoc arcu posset fieri reflexio forsitan a bu- no puncto tantum: forsitan a duobus [per 80 n.] Et si a duobus arcubus fiat reflexio, qui restant ex arcu totali, et ex diuersis partibus: omnes anguli erunt minores angulo diametrorum: [per 22 p 3. 13. 21 p 1] et tantum ab uno eorum puncto fiet reflexio [per 80 n.] Et in hoc situ poterit fieri reflexio a duobus punctis arcus interiacentis diametros, aut a tribus. Palam etiam [per 73. 75 n] quod ab uno tantum puncto arcus oppositi [n d] fiet reflexio. Et ita in hoc situ, aliquando a tribus, aliquando a quatuor punctis fiet reflexio. Si uero unum punctorum fuerit intra circulum, aliud in cir- cumferentia, uel extra: secabit circulus arcum interiacentem in uni- co puncto: et restabit unus arcus tantum. Et omnes anguli facti in parte illius arcus, inclusa a secante circulo: erunt maiores angulo dia- metrorum [per 22 p 3. 13. 21 p 1.] Et poterit fieri reflexio a duobus pun- ctis illius partis, uel ab uno [per 80 n. ] Omnes uero anguli alterius partis interiacentis [quae est t l] erunt minores angulo diametro- rum [ut ostensum est.] Et ab uno tantum puncto illius partis fiet re- flexio [per 80 n.] Et ita, cum ab uno puncto arcus oppositi [n d] sem- per fiat reflexio in hoc situ: [per 73. 75 n] aliquando a tribus, aliquan- do a quatuor: et non a pluribus poterit esse reflexio. Palam ergo, quod puncta inaequalis longitudinis a centro, aliquando ab uno puncto tantum: aliquando a duobus: aliquando a tribus: aliquando a qua- tuor: nunquam a pluribus reflectuntur.

87. Si recta linea connectens duo puncta in diuersis diametris circuli (qui est communis se- ctio superficierum, reflexionis et speculi sphaerici caui) a centro aequabiliter distantia, continua- ta eundem secet: possunt dicta puncta ab uno, duobus uel quatuor punctis speculi inter se reflecti: nunquam uero a tribus tantum. 41 p 8.

CVm autem puncta eiusdem longitudinis fuerint: poterit fieri reflexio aut ab uno tantum pun cto: [ut ostensum est 70 n] aut a duobus: [ut 71 n] aut a quatuor: [ut 72 n] nunquam uero a tribus. [Quia si reflexio fiat a tribus punctis, fiet etiam a quatuor. Nam cum e tribus istis

reflexionium punctis duo in eandem peripheriam ca- dant, ut in praecedentibus numeris patuit: periphe- ria igitur inter duo illa reflexionum puncta interiecta, per 30 p 3 bifariam secta, ductisque rectis a centro, et datis punctis, in diuersis diametris ęquabiliter a cen- tro distantibus, ad sectionis punctum: erunt anguli ad ipsum facti aequales per 27 p 3. 4 p 1. Quare ipsum est reflexionis punctum per 12 n 4: atqui in periphe- ria priori l m opposita, scilicet n d, est etiam unum re- flexionis punctum per 73. 75 n. A quatuor igitur pun- ctis, non a tribus tantum fit reflexio.] Vbi ab uno pun cto fit reflexio, una apparet imago: ibiubi a duobus, duae: ubi a tribus, tres: ibites: ubi a quatuor, quatuor. Si ue ro punctum uisum et centrum uisus fuerint in eadem diametro: fiet reflexio a circulo toto: et locus imagi- nis erit centrum uisus [ut ostensum est 65 n.] Verum si centrum uisus fuerit in centro speculi: nihil uidet [praeter se ipsum, ut patuit 44 n 4. 62 n.] Si uero pun- ctum uisum fuerit in centro speculi: non uidebitur: quoniam forma eius accedet ad speculum super perpendicularem, nec reflecti poterit, nisi super perpendicularem [per 11 n 4.] Cum autem centrum uisus et punctum uisum fuerint in diuersis li- neis extra centrum: lineae illę ad centrum productae, secabunt in diuersis partibus ex circulo sphae- rae duos arcus: ab uno puncto unius tantum fiet reflexio: ab alio forsitan a quatuor. Quod si centrum sphaerae fuerit ex una parte: centrum uisus et punctum uisum ex una: arcus, quem secant diametri, propter oppositionem capitis abscondetur. Vnde tunc a tribus tantum punctis fiet reflexio. Et si dirigatur in hoc situ uisus ad arcum unius reflexionis tantum: abscondetur alius trium reflexionum, et unica apparebit imago. Item: Si integrum fuerit speculum: non erit ibi perceptio: oportet igitur, ut in eo sit abscissio. Et accidet nonnunquam arcum interiacentem diametros abscissum esse: et tunc nihil in eo uideri. Quare raro eueniet quatuor imagines in hoc speculo comprehendi. Vnde si quis hanc pluralitatem imaginum uoluerit uidere: disponat uisum intra speculum circa ipsum, ut modi cam partem eius abscondat mole capitis, et totam speculi superficiem uisu discurrat.

88. In speculo sphaerico cauo imago eiusdem uisibilis utroque uisu alias una, alias gemina uide- tur. 59 p 8.

CVm autem aliquid in hoc speculo percipietur duplici uisu: si linea reflexionis fuerit aequi- distans perpendiculari: [incidentiae] erit locus imaginis punctum reflexionis [per 60 n.] Et cum distant a se puncta reflexionis respectu duorum uisuum: apparebunt duobus uisibus duae imagines eiusdem puncti: et locus cuiusque imaginis est in puncto suae reflexionis. Si uero linea reflexionis non sit aequidistans perpendiculari: [incidentiae] et punctum uisum tantum distet ab uno uisu, quantum ab alio, uel modica sit differentia: erit locus imaginis respectu utriusque uisus idem, aut diuersus, sed modicum distans. Vnde aut una apparebit imago, aut fere una: sicut proba- tum est in speculis sphaericis exterioribus.

89. Communis sectio superficierum, reflexionis et speculi cylindracei caui alias est latius cy- lindri: alias circulus: alias ellipsis. 1 p 9.

IN speculis columnaribus concauis aliquando linea communis est linea recta: cum superficies reflexionis transit per axem: [per 21 d 11] aliquando linea communis erit circulus, cum superfi- cies illa est aequidistans basibus: [per 5 th. Sereni de sectione cylindri] aliquando linea commu- nis est sectio columnaris. Quando fuerit linea recta: erit locus imaginis et modus reflexionis, sicut in speculis planis. Quando fuerit circulus: erit idem modus, qui in sphaericis concauis.

90. Si communis sectio superficierum, reflexionis et speculi cylindracei caui fuerit ellipsis: imago uidebitur, alias ultra speculum: alias in superficie: alias citra uisum: alias in uisu: alias inter uisum et speculum. 10 p 9.

CVm uero linea communis fuerit columnaris sectio: aut erit locus imaginis ultra speculum: aut citra uisum: aut in centro uisus: aut inter speculum et uisum: aut in ipso speculo: quod sic patebit. Sit a b g sectio: ducatur perpendicularis in hac sectione: [super planum tangens spe culum in reflexionis puncto] quae sit d g: quam secundum praedicta patet esse diametrum circuli. [Quia enim planum tangens cylindrum, tangit in latere per 26 n 4: ergo per 3 d 11 linea recta, per-

pendicularis plano tangenti, erit perpendicularis lateri, quod est parallelum axi per 21 d 11. Quare per 29 p 1 perpendicularis plano tangenti, perpendicula- ris est axi. Planum uero basi parallelum et per dictam per- pendicularem ductum est circulus, centrum habens in axe per 5 th Sereni de sectione cylindri. Recta igitur linea per pendicularis plano, cylindrum in reflexionis puncto tan- genti, est diameter circuli per reflexionis punctum ducti] et unicam posse esse: cum ab alio puncto sectionis non pos- sit duci perpendicularis super superficiem contingentem. [Nam cum communis sectio circuli et ellipsis per reflexio nis punctum se secantium, sit perpendicularis, tum ad pla- num in eodem reflexionis puncto cylindrum tangens, tum ad axem, ut iam patuit: rectae igitur lineae ab alijs sectionis punctis ad axem ductę, ad ipsum obliquae erunt: secus per 4 p 11 axis esset perpendicularis plano ellipsis: contra 9 th Sereni de sectione cylindri. ] Sumatur aliud punctum, et sit b: et ducatur ab eo in sectione linea perpendicularis super lineam, contingentem sectionem in puncto b: quae quidem linea secundum prędicta necessario concurret cum perpen- diculari g d. Concurrat in puncto d: et sumptum sit b circa punctum g, ut angulus b d g sit acutus. Deinde [per 31 p 1] a puncto g ducatur in sectione linea aequidistans b d: quae sit g h: quę quidem cadet intra columnarem sectionem: quia angulus h g d erit acutus, cum sit aequalis g d b: [per 29 p 1] et a puncto g inter d et h ducatur linea: quae necessario con- curret cum b d: [per lemma Procli ad 29 p 1] concurrat in puncto n: et inter n et g sumatur punctum quodcunque: quod sit o: ultra punctum n sumatur punctum t. Item a puncto g ducatur supra g h, alia linea g z, tamen intra sectionem: quae necessario concurret cum b d ex alia par- te: [per lemma Procli ad 29 p 1] sit concursus e. Ducatur g q linea, ut angulus q g d sit aequalis z g d [per 23 p 1] et fiat angulus l g d aequalis angulo h g d: et angulus m g d aequalis angulo n g d. Palam, [per 12 n 4] quod si fuerit uisus in puncto z: reflectetur punctum q ad ipsum, a puncto g: et punctum imaginis est e: [per 6 n] et si uisus fuerit in puncto h: reflectetur ad ipsum l a puncto g: et erit locus imaginis g: si uero fuerit uisus in puncto o: reflectetur ad ipsum, punctum m: et locus imaginis erit nisi autem fuerit in n: erit locus imaginis puncti m in centro uisus, id est in n: si autem fuerit in t: erit locus imaginis tunc inter uisum et speculum: quia in n. Et ita patet propositum.

91. Si uisus et uisibile fuerint in eadem recta linea, perpendiculari plano speculum cylindra- ceum cauum tangenti: alias ab uno: alias a duobus speculi punctis reflexio fiet: et imago uide- bitur in centro uisus. 11 p 9.

HAec quidem iam dicta intelligenda sunt, cum punctum uisum non fuerit super perpendicu- larem cum ipso uisu. Tunc enim cum infinitae superficies possint intelligi, quarum quaelibet orthogonalis sit super superficiem, contingentem speculum [per 18 p 11: quia superficies illae ducuntur per rectam plano speculum tangenti perpendicularem] et omnes secent se super illam perpendicularem: quaedam illarum superficierum efficiet lineam communem, lineam rectam: et non fiet reflexio, nisi super illam perpendicularem: [per 11 n 4] et locus imaginis erit centrum uisus: et non uidebitur punctum, nisi quod fuerit in superficie uisus [per 13 n.] Quaedam autem illarum super- ficierum efficiet lineam communem, circulum: et tunc puncta, inter quae et uisum fuerit centrum circuli: poterunt reflecti ad uisum, singula a duobus punctis circuli: cum a singulis ducantur lineae

facientes angulum cum superficie contingente, quem per aequalia diuidit perpendicularis ducta ad cen- trum. [Nam cum a b sit diameter circuli, et f g axis cylindri: erit per 3 d 11 e f perpendicularis f g: itaque an- guli ad f erunt recti: at ex thesi c e aequatur ipsi e d: et communis est e f: ergo per 4 p 1 triangula d f e, c f e sunt aequiangula. Quare perpendicularis f e bifariam secat angulum c e d: eodemque modo ostendetur per- pendicularem g f bifariam secare angulum d g c.] Et haec quidem dico de punctis, quę sunt in illa perpen diculari: et loca imaginum erunt in centro circuli: alia puncta illius perpendicularis non reflectentur ad ui- sum, praeter punctum, quod est in superficie uisus: et illud per illam perpendicularem [per 11 n 4.] Cum autem fuerit linea communis, sectio columnaris: non poterunt puncta perpendicularis reflecti ab aliqui- bus alijs punctis sectionis: cum forma accedens su- per perpendicularem, reflectatur super perpendicularem: et in sectione una sit perpendicularis [ut proximo numero ostensum est.] Quare per hanc solam perpendicularem fiet reflexio: et solum pun- ctu m superficiei uisus uidebitur: et locus imaginis erit centrum uisus,

92. Si uisius fuerit in centro circuli speculi cylindracei caui: reflectetur ab eiusdem circuli peri- pheria, simili peripheriae circuli per centrum uisus ducti: et imago uidebitur in centro uisus. 12 p 9.

SI uero fuerit uisus in cetro circuli: reflectetur portio uisus, quam secant perpendiculares, du- ctae a centro uisus ad circulum, [per centrum uisus ductum] a portione simili circulo, [speculi] quam secant similiter eaedem perpendiculares. Quia cum quaelibet linea ducta a centro uisus ad circulum, sit perpendicularis: [super superficies uisus et speculi per 25 n 4: quia transit per cen- tra uisus et speculi] fiet reflexio super perpendicularem: [per 11 n 4] et locus imaginis erit centrum uisus: quod est centrum circuli.

93. Si communis sectio superficierum, reflexionis et speculi cylindracei caui fuerit ellipsis: a pluribus punctis idem uisibile ad eundem uisum reflecti potest. 9 p 9.

AMplius: super punctum a fiat angulus acutus quo- quo modo: qui sit f a g. Palam, quod concurret f a cum g z: [quia g z cadens intra ellipsin ex thesi 90 n ef- ficit angulum z g d acutum: itaque cum anguli z g d, f a g duo- bus rectis sint minores: rectae a f, g z concurrent ad partes z per 11 a xax.] sit concursus in puncto z: et [per 23 p 1] fiat an- gulus c a g aequalis angulo f a g: concurret equidem a c cum g q: [per 11 ax. Nam quia angulus q g d aequatus est angulo z g a acuto, ut patuit 90 n: et modo angulus c a g aequatur z a g anguli q g d, c a g sunt minores duobus rectis] sit con- cursus in puncto c. Palam [per 12 n 4] quod c reflectetur ad z a puncto g: et ita reflectetur a puncto a ad z, et non ab alio puncto sectionis. Quia non poterit reflecti, nisi a ter- mino perpendicularis: et una est in sectione illa perpendi- cularis [ut ostensum est 90 n] scilicet g a.

94. Si duo puncta sumantur in axe speculi cylindra- cei caui: possunt a tota circuli peripheria inter se mutuo reflecti: et imago uidebitur in peripheria circuli extra speculi superficiem descripti. 13 p 9.

AMplius: sumptis duobus punctis in axe columnae: poterit unum reflecti ad aliud ab uno circulo colu- mnae toto: et locus imaginis erit circulus quidam extra columnam. Verbi gratia: sit e z axis: t, h puncta sum- pta in axe: a g, b d bases. Diuidatur t h per aequalia in puncto q [per 10 p 1] et fiat circulus, cuius q centrum: eius diameter l m: qui erit aequidistans basibus: [per 5 th. Sereni de sectione cylindri] la- tera columnae b l a, d m g. Fiat etiam circulus k p, cuius h centrum, p k diameter: et ducantur lineae t l, t m, h l, h m. Palam, quod quatuor angulorum super q quilibet est rectus [per 3 d 11: quia axis per- pendicularis est circulo l m per 21 d 11] et t q aequalis q h [per fabricationem] et q l aequalis q m: [per 15 d 1] erunt illa triangula similia [per 4 p 1. 4 p. 1 d 6] et anguli t l q, q l h aequales: similiter anguli t m q, q m h aequales. Si ergo fuerit t centrum uisus: reflectetur quidem h ad punctum t a puncto l: et similiter a puncto m [per 12 n 4.] Si ergo moueatur triangulum t l h, immoto axe t h: describet pun- ctum l circulum: et semper duo anguli t l q, q l h manebunt aequales: et semper in hoc motu reflectetur h ad t. Pro- ducatur autem linea p h k, donec concurrat cum linea t l: [concurret autem per lemma Procli ad 29 p 1: quia m l, c k sunt parallelę per 29 p 1] et sit concursus f. Palam [per 7 n] quod f erit locus imaginis. Et motu trianguli t l h, mo- uebitur triangulum t f h: et hoc motu punctum f descri- bet circulum extra columnam: et totus ille circulus erit locus imaginis. Et hoc est propositum. Idem erit probandi modus, sumptis quibuslibet duobus punctis in axe.

95. Si communis sectio superficierum, reflexionis et speculi cylindracei caui fuerit circulus, uel ellipsis: reflexio fiet alias ab uno: alias a duobus: alias a tri- bus: alias a quatuor speculi punctis: totidemque uidebun- tur imagines. 14. 15 p 9.

AMplius: punctorum extra perpendicularem uius sumptorum quaedam unicam habent imaginem: quaedam duas: quaedam tres: quaedam quatuor: et non plures. Verbi gratia: sit a punctum uisum extra perpendicularem uisus: et fiat superficies transiens per a aequidistans basibus speculi: [ut ostensum est 47 n] faciet quidem [per 5 th. Sereni de sectione cylindri] circulum in columna. Sit centrum il- lius circuli h: et sumatur in superficie circuli aliud

punctum, quod sit b: et ducantur diametri a h, b h. Palam ex eis, quae dicta sunt in speculis sphaericis concauis [86 n] quod ab uno puncto arcus, quem intercipiunt hae duae diametri, potest a reflecti ad b: forsitan a duobus punctis, aut tribus, sed non a pluribus: ab arcu autem opposito, non nisi ab uno puncto. Sit ergo, quod a reflectatur ad b a tribus punctis intercisi arcus: et sint puncta illa g, d, e: et ducantur lineae a g, h g, b g, h d, b d, a d, a e, h e, b e: et a puncto a ducantur in eadem superficie tres lineae aequidistantes tribus diametris h g, h d, h e: quae sint a k, a f, a n. Cum igitur a k sit aequidistans h g: concurret b g cum a k: [per lemma Procli ad 29 p 1] concurrat in puncto k. Similiter b d concurret cum a f: sit concursus in puncto f. Similiter b e cum a n: sit concursus in puncto n. Deinde a puncto h eri- gatur axis: qui sit h x: et a puncto b perpendicula- ris super superficiem circuli: [per 12 p 11] quae erit aequidistans axi [per 6 p 11] quae sit b t: et sumatur in ea punctum quodcunque: quod sit t: et ducantur tres lineae t k, t f, t n: et [per 12 p 11] a tribus punctis g, d, e erigantur tres perpendiculares super super- ficiem circuli: g m, d l, e q: erunt quidem [per 6 p 11] aequidistantes t b, e q: igitur erunt in superficie trian guli t b n: [per 35 d 1. 1 p 11] igitur e q secabit t n: [per lemma Procli ad 29 p 1] secet in puncto q: d l secet t f in puncto l: g m secet t k in puncto m. Et erunt hae tres perpendiculares, lineae longitudinis columnae [ut patet e 21 d 11.] A puncto q ducatur aequidistans lineae n a: [per 31 p 1] quae quidem con- curret cum axe x h: [per lemma Procli ad 29 p 1] quoniam erit aequidistans e h: [per 30 p 1] sit con cursus in puncto u: et ducatur linea t a: quam seca bit q u: quoniam q u ducitur a latere trianguli [t b n] et linea e q ęuidistante basi [t b] Sit punctum sectionis i: et ducatur linea q a. Palam, quod angulus b e h aequalis est angulo e n a [per 29 p 1: quia a n, h e sunt parallelae per fabricationem] et angulus h e a aequalis angulo e a n: et [per 12 n 4] angu lus b e h aequalis angulo h e a: erit angulus e a n aequalis angulo e n a: quare [per 6 p 1] e n aequalis e a, et e q perpendicularis: [duabus rectis e a, e n per 3 d 11: quia perpendicularis est per fabricationem triangulo a e n] erit [per 4 p 1] triangulum q e a aequale triangulo q e n: et erit q n aequalis q a: et erit [per 5 p 1] q n a aequalis angulo q a n: sed angulus t q i aequalis angulo q n a, et angulus i q a aequa- lis angulo q a n: [per 29 p 1: quia q i, a n sunt parallelae per fabricationem] erit angulus i q t aequalis angulo i q a. Quare a reflectetur ad t a puncto columnae, quod est q [per 12 n 4.] Eodem modo pro- babitur, quod reflectetur a ad t a punctis l, m: Et ita a tribus punctis columnae ex eadem parte: nec potest a pluribus. Detur enim aliud: ducto latere [cylindri, ut ostensum est 47 n] ab illo puncto: cadet in circulum, quem habemus: et probabitur, quod a puncto casus, qui est in circulo, poterit re- flecti a ad ta ad b repetita probatione: quod est impossibile [ut ostensum est 86 n.] Ex arcu uero circuli op- posito [arcui g d e] poterit refiecti a ad b ab uno puncto: [per 73 n] sit illud z: et ducatur diameter h z: et [per 31 p 1] ei aequidistans a s: et ducatur b z: quae concurrat cum a s in puncto s: [concurret au- tem per lemma Procli ad 29 p 1] et erigatur perpendicularis: [super circulum, cuius centrum est h] quę sit o z: quae erit latus [per 21 d 11] et [per 6 p 11] aequidistans t b: et ducatur t s: quę secabitur a linea o z: [per lemma Procli ad 29 p 1.] Sit sectio in puncto o. Probabitur modo prędicto, quod a reflectetur ad t a puncto o. Et si sumatur ex illa parte punctum aliud columnae, a quo possit reflecti: per repli- cationem probationis probabitur, quod ab alio puncto circuli, quam z, potest reflecti ex parte illa: quod est impossibile [ut demonstratum est 75 n.] Si ergo a ab uno puncto circuli reflectitur ad b ex aliqua parte: reflectetur ab uno columnae ex eadem ad t: si a duobus, a duobus: si a tribus, a tribus: nec potest amplius ab illa parte: ab opposita uero parte non nisi ab uno puncto circuli tantum, et ab uno columnae tantum. Item t b aequidistat u h: [ut ab initio demonstratum est: itaque per 35 d 1 sunt in eadem superficie, quae est t b u h] nec potest sumi superficies aequalis, in qua sit t cum u h, praeter superficiem t b u h. Similiter non potest superficies sumi, in qua sit a cum u h, praeter superficiem a u h, quae est perpendicularis [circulo, cuius centrum h, per 18 p 11.] Igitur t non est in eadem superficie perpendiculari cum a, nec in eodem circulo, nec est in axe, quia est in linea ei aequidistante. Super- ficies igitur, in qua a reflectitur ad t, est sectio columnaris [per 9 th. Sereni de sectione cylindri.] Ve- rum producta sit t a ultra t, et a ex utraque parte: et sit r p. Cum quatuor sint superficies reflexionis: quia a quatuor punctis [q, l, m, o] fit reflexio, et in qualibet harum sint duo puncta t, a: erit r p com- munis quatuor superficiebus reflexionis: [per 1 p 11: quia uisus et uisibile, quae sunt in linea r p, sunt in qualibet reflexionis superficie per 23 n 4] et quaelibet harum superficierum secat superficiem, con- tingentem speculum in puncto suae reflexionis, super suam lineam communem, non super eandem [quia cum puncta reflexionis sint diuersa, etiam communes sectiones illarum superficierum (quae sunt rectae lineae per 3 d 11) diuersae erunt.] Linea ergo r p perpendicularis est super unam linearum quatuor communium, non super duas: esset enim perpendicularis super superficiem contingentem: [per 3 d 11] et ita perueniret ad axem. [Quia enim per 21 d 11 latus cylindraceum ęquidistat axi: et r p perpendicularis plano tangenti ex concluso, simul perpendicularis est lateri per 3 d 11: ergo per lem- ma Procli ad 29 p 1 r p (quae paulo ante ostensa est extra axem esse) continuata secabit axem: quod est ab- surdum.] Sunt ergo diuersae perpendiculares a puncto t ad h a s quatuor lineas communes: nec est nisi una perpendicularis tantum, quę transit per a. Et perpendicularis aut est aequidistans lineae re- flexionis: aut concurrit cum ea ultra speculum, uel intra. Si fuerit aequidistans: erit locus imaginis punctum reflexionis, ut probatum est [91 n] Et cum quatuor sint reflexionis puncta: erunt qua- tuor imagines. Si concurrit, cum quatuor sunt perpendiculares: erunt concursus quatuor, et qua- tuor imagines.

96. Visu et uisibili datis, in speculo cylindraceo cauo punctum reflexionis inuenire. 16 p 9.

AMplius: datis puncto uiso, et puncto uisus: erit inuenire punctum reflexionis. Verbi gratia: sit a punctum uisum: b centrum uisus. Fiat superficies secans columnam aequidistanter basi [ut ostensum est 47 n] transiens per a: et [per 5 th. Sereni de sectione cylindri] faciet circu- lum. b aut est in superficie huius circuli: aut non. Si fuerit: inueniemus punctum reflexionis in illo cir- culo, sicut dictum est in sphaerico concauo [73 n.] Si non fuerit: ducatur [per 11 p 11] a puncto b perpen- dicularis super superficiem huius circuli: et replicetur supra dicta probatio: et inuenietur punctum reflexionis. Duplici autem uisu adhibito, una imago in ueritate, efficientur duae, sed contiguae uel admixtae: unde uidebitur una.

97. Communis sectio superficierum, reflexionis et speculi conici caui est latus coni aut ellipsis. 2 p 9.

IN speculis pyramidalibus concauis linea, communis superficiei reflexiis et superficiei specu- li, aut erit linea longitudinis speculi: aut erit sectio pyramidalis. Si fuerit linea longitudinis: erunt loca imaginum in ipso speculo. Si fuerit sectio pyramidalis: erunt loca imaginum aliquando ci- tra uisum: aliquando in uisu: aliquando inter uisum et speculum: et aliquando ultra speculum, si- cut ostensum est in speculo columnari concauo.

98. Si uisius sit in communi sectione axis et rectae lineae perpendicularis plano, speculum co- nicum cauum tangenti: reflectetur a tota peripheria circuli (cuius centrum est dicta communis sectio) per lineas perpendiculares: et imago uidebitur in centro uisus. 17 p 9.

AMplius: si in perpendiculari ducta a centro uisus ad superficiem contingentem pyramidem,

sumatur punctum corporeum inter uisum et speculum: non refle- ctetur forma eius ad uisum per perpendicularem: quoniam punctum illud occultabit terminum perpendicularis illius, et ob hoc non reflectetur ab eo. Si autem nullum fuerit punctum in perpendiculari illa: reflectetur quidem ad uisum per hanc perpendicularem punctum uisus, quod secat perpendicularis ex eo: et illud solum. Verum uisu existente in hac perpen- diculari et in axe: efficietur circulus, ad cuius quodlibet punctum linea ducta a uisu, erit perpendicularis super superficiem contingentem. Vnde a quolibet puncto illius circuli fieri poterit reflexio ad uisum, secundum perpendiculares. Et fiet reflexio partis uisus, quam secant perpendicula- res duae, maiorem angulum in eo continentes. Si uero inter uisum et spe- culum fuerit axis: non fiet ad ipsum reflexio per perpendicularem, nisi puncti eius, quod secant perpendiculares.

99. Si uisus et uisibile fuerint in axe speculi conici caui: possunt a tota alicuius circuli peripheria inter se reflecti: et imago uidetur in peripheria circuli, extra speculi superficiem descripti. 18 p 9.

AMplius: existente uisu et puncto uiso in axe: poterit reflecti unum ad aliud. Verbi gratia: sit h centrum uisus:: t punctum uisum. Fiat

superficies secans pyramidem, transiens super axis longitudinem: quę sit ab g h: a h axis: a b, a g latera pyramidis: a puncto t du- catur perpendicularis super lineam a b [per 12 p 1] quae sit t q: et producatur quousque q l sit aequalis q t: et a puncto h duca- tur linea ad punctum l: quae secabit lineam longitudinis, quae est a b: secet in puncto b: et a puncto b ducatur aequidistans lineae t q [per 31 p 1] quae necessario perueniet ad axem: [ut ostensum est 54 n] perueniat in puncto d: et ducatur linea t b. Palam, cum t q sit perpendicularis super a b, et t q aequalis q l: erit [per 4 p 1] b t q triangulum aequale triangulo b q l: et erit angulus q l b aequalis angulo q t b: sed [per 29 p 1] angulus q t b aequalis est angulo t b d: et angulus d b h aequalis est angu- lo q l b: igitur angulus t b d aequalis est angulo d b h. Et ita [per 12 n 4] t reflectitur ad h a puncto b: et locus imaginis est l [per 7 n.] Igitur moto triangulo t l h: describet punctum b circulum in pyramide: et a quolibet puncto illius circuli re- flectetur t ad h: l uero extra speculum describet circulum, qui totus erit locus imaginis puncti t.

100. Si communis sectio superficierum, reflexionis et spe- culi conici caui fuerit ellipsis: uisus et uisibile extra axem in ba- si, aut plano ipsi parallelo, reflectentur inter se: alias ab uno: alias a duobus: alias a tribus: alias a quatuor speculi punctis: totque erunt imagines, quot reflexionum puncta. 19 p 9.

AMplius: sumptis duobus punctis et extra perpendicula- rem uisus, et extra axem in hoc speculo: scilicet z, e. Fiat superficies aequidistans basi super z: [ut ostensum est 52 n] faciet circulum in speculo [per 4 th. 1 coni. Apoll.] e aut erit in hoc circulo, aut in alia superficie ipsi aequidistante. Sit in superfi- cie illius circuli: et ducatur linea e 2. Palam [per demonstrata in speculis sphaericis cauis 86 n] quod z reflectetur ad e a circulo illo ex una parte, aut ab uno puncto: aut a duobus: aut a tribus: ex alia uero ab uno. Sumatur igitur punctum circuli, a quo reflecti- tur ad ipsum: et sit h: centrum circuli t: et ducantur lineae z h, e h: et diameter t h diuidet quidem angulum illum per aequalia: [per 13 n 4] et secabit lineam e z: [quia secat angulum ipsi e z subten- sum] secet in puncto q: et sit a uertex pyramidis: a h linea longi- tudinis. A puncto q ducatur linea perpendicularis super lineam a h: [per 12 p 1] quae sit q m: quae quidem perueniet ad axem: [ut ostensum est 54 n] qui est a d: et cadat in ipsum in puncto d: et du cantur lineae z m, e m: a puncto z ducatur in superficie circuli li- nea aequidistans lineae q h: [per 31 p 1] quae sit z l: concurret qui- dem [per lemma Procli ad 29 p 1] e h cum illa: sit concursus in pun- cto l: et a puncto h ducatur perpendicularis super l z: quae sit h p. Deinde in superficie e m z ducatur linea aequidistans lineae q m: quae sit z o: et concurrat e m cum ea in puncto o: [concurret autem per lemma Procli ad 29 p 1] et ducatur linea l o: et a puncto p ducatur aequidistans l o: quae sit p n: et ducatur linea m n. Palam [per thesin et 12 n 4] quod angulus e h q aequalis est angulo q h z: et [per 29 p 1] angulo h l z: et angulus q h z aequa- lis est angulo coalterno h z l [ideoque angulus h l z aequatur angulo h z l.] Erit igitur [per 6 p 1] h l ae- qualis h z: et h p perpendicularis est super l z: [per fabricationem] erit triangulum l p h aequale triangulo p h z, et erit l p aequalis p z: [per 26 p 1: quia anguli ad l et z aequantur, et ad p recti sunt per fabricatio nem, et h z aequatur h l] et p n aequidistans est o l: erit [per 2 p 6] proportio l p ad p z, sicut o n ad n z. Quare o n aequalis n z. Item cum o z sit equidistans q m [per fabricationem] et h q aequidistans l z: erit [per 15 p 11] superficies o l aequidistans superficiei q m h: et superficies e o l secat illas duas, super li- neas communes, [per 3 p 11] quę quidem [per 16 p 11] erunt aequidistantes, scilicet m h, l o: quare [per 30 p 1] h m, p n sunt aequidistantes. Et quoniam h p cadit inter l z, h q aequidistantes: et est perpendicularis su per l z: [angulus igitur p h t rectus est: quia per 29 p 1 aequatur alterno h p l] quare [per consectarium 16 p 3] p h continget circulum: quare superficies a h p est superficies contingens pyramidem. In hac superfi cie est p n et m n: [Nam cum h m sit in plano a h p conum tangente, et illi parallela sit n p, ut patuit: erit igi tur n p in eodem plano per 35 d 1: m n uero, quia utranque h m et n p connectit, in eodem est cum ipsis plano per 7 p 11] et super hanc superficiem est perpendicularis linea d m [per demonstrata 54 n.] Igitur [per 3 d 11] perpendicularis est super lineam m n: quare [per 29 p 1] m n est perpendicularis super o z, et o n ae- qualis n z: [ex concluso] erit [per 4 p 1] m o aequalis m z: et [per 7 p 5] e m ad m o, sicut e m ad m z: sed [per 2 p 6] e m ad m o, sicut e h ad h l: [nam h m ex concluso parallela est ipsi o l] et [per 7 p 5] e h ad h l, sicut e h ad h z: [aequales enim demonstratę sunt h l, h z] et [per 3 p 6] e h ad h z, sicut e q ad q z [angulus enim e h z bifariam sectus est a linea h q.] Igitur [per 11 p 5] e m ad m a, sicut e q ad q z. Quare [per 3 p 6] angu- lus e m q aequalis angulo q m z. Q uare [per 12 n 4] z reflectitur ad e a puncto m. Si igitur z reflectitur ad e a puncto circuli h: reflectetur ad ipsum a puncto pyramidis m: et si a duobus circuli, a duobus pyramidis: si a tribus, a tribus: si a pluribus, a pluribus. Eodem modo ex alia parte circuli fiet proba- tio: quod ab uno puncto pyramidis, sicut ab uno circuli, reflexio fiat.

101. Si communis sectio superficierum, reflexionis et speculi conici caui fuerit ellipsis: uisius et ui sibile intra speculum, extra tum axem tum basim uel planum ipsi parallelum: reflectentur inter se: alias ab uno: alias a duobus: alias a tribus: alias a quatuor speculi punctis: totque erunt imagi- nes, quot reflexionum puncta. 20 p 9.

SI uero e non fuerit in circulo ęquidistante basi, transeunte super z: erit quidem supra uel infra. Sit supra: quia utrobique eadem est probatio. Ducatur linea a uertice a per punctum e, donec secet superficiem illius circuli: et sit punctum sectionis h: q centrum circuli. Palam [per demonstrata in speculis sphae ricis cauis 66 n] quod h potest reflecti ad z ab aliquo puncto circuli: sit illud t: et ducatur diameter q t: et linea h z secabit hanc diametrum in puncto: quod sit n: [Nam quia per thesin t est reflexionis punctum: ergo per 12 n 4 semidiameter q t bifariam secat angulum h t z: ideoque et basim h z angulo subtensam] et du catur e z: et linea longitudinis a t. Palam, cum punctum z fit ex una parte diametri q t, et ex alia e: linea e z secabit superficiem a q t: secet in puncto o: et a puncto o ducatur perpendicularis super lineam a t: [per 12 p 1] quę sit o p: quę necessario cadet super axem: [ut ostensum est 54 n] cadat in puncto d: et ducan tur lineę e p, z p. Dico, quod z reflectetur ad e a puncto p. Ducatur a puncto z linea aequidistans q t [per

31 p 1] quae sit z f: et producatur linea h t, donec concurrat cum illa: [concurret autem per lemma Procli ad 29 p 1] sit concursus in puncto f. Similiter a puncto z ducatur aequidistans lineę o p: quę sit z k: et producatur linea e p, donec concurrat cum illa: sit concursus in pun cto k: et ducantur lineae k f, k h. Palam [per 15 p 11] cum lineaz f sit aequidistans q t, et z k ęquidistans o p: [et z f, z k concurrant in pun cto z: et p o, t q continuatae concurrant per 11 ax: quia angulus o p t rectus est e fabricatione, et q t p acutus per 18 d 11] quod erit superfi cies z k f ęquidistans o p t: quę est superficies a q t: [quia enim p o cadit in axem, ut patuit: est igitur in a q t plano per 1 p 11: in quo etiam est linea q t: planum igitur o p q t est pars plani a q t] et superfi cies h k f secat has duas superficies, super lineas p t, k f. Igitur [per 16 p 11] p t, k f sunt aequidistantes. Ducatur a puncto t perpendi- cularis super lineam z f [per 12 p 1] quę sit t s. Palam, cum cadat inter duas aequidistantes [q t, z f:] erit angulus q t s rectus [per 29 p 1] et ita [per consectarium 16 p 3] continget circulum: [cuius centrum est q.] Igitur superficies a t s contingit pyramidem super lineam a t: [per 35 n 4] et linea o p est perpendicularis super hanc superficiem [ut de- monstratum est 54 n.] Superficies igitur a t q erit orthogonalis su per superficiem a t s:[per 18 p 11] et superficies a t s secat duas su perficies a t q, z k f: quae sunt aequidistantes: igitur [per 16 p 11] li- neę communes sectionum sunt aequidistantes. Vna harum linearum est p t: alia sit s i. Sed iam patuit, quod p t aequidistans est k f: igitur [per 30 p 1] s i est aequidistans k f. Sed planum est, quod angulus n t z ęqualis est angulo t z f, et angulus h t n ęqualis angulo t f z: [per 29 p 1: quia q t et z f sunt parallelę per fabricationem] et t s perpen dicularis [super z f per fabricationem] erit f s aequalis s z. [Quia enim anguli t z f, t f z aequantur angulis z t n et h t n per 12 n 4 aequalibus, cum t ex thesi sit reflexio- nis punctum: ipsi igitur inter se aequantur: et anguli ad s recti sunt: et t s commune latus est. Quare per 26 p 1 f s aequatur s z.] Sed [per 2 p 6] proportio f s ad s z, sicut k i ad i z: erit ergo k i ęqualis z. Du cta autem linea p i: cum superficies a t f sit orthogonalis super superficiem z k f: erit [per 4 d 11] p i or- thogonalis super z k: et erit [per 4 p 1] angulus p k z aequalis angulo k z p: sed [per 29 p 1] angulus e p o aequalis angulo p k z, et angulus o p z aequalis angulo p z k. Quare angulus e p o aequalis est angulo o p z. Et ita z reflectitur ad e a puncto p [per 12 n 4.] Quod est propositum. Si autem sumatur aliud punctum in circulo, a quo z reflectatur ad h: probabitur, quod ab alio puncto pyramidis, quam p, refle ctetur z ad e. Et si reflectatur z ad h a tribus punctis circuli: reflectetur z ad e a tribus punctis pyrami dis: si a quatuor, a quatuor. Si uero dicatur, quod a pluribus punctis pyramidis, quam quatuor, possit pun ctum z reflecti ad e: per conuersionem praedictae probationis poterit ostendi, quod punctum z reflectitur ad h a pluribus punctis circuli quam quatuor [contra 86 n.] Et ubi accidet punctum z reflecti ad h ab ali quot punctis circuli, uel ab uno tantum: accidet punctum z reflecti ad e a totidem punctis pyramidis, aut ab uno tantum, aut e contrario. Quod si dicatur contrarium: poterit improbari praedicto modo. Palam ergo, quod punctorum quaedam unicam habent imaginem quędam duas: quaedam tres: quaedam qua- tuor: sed non possibile plures. Verum duplici uisu adhibito, speculo: eiusdem imaginis diuersa erunt loca: quae diuersitas propter suam imperceptibilitatem non inducit errorem.

102. Visu et uisibili datis, in speculo conico cauo punctum reflexionis inuenire. 21 p 9.

PVnctum autem reflexionis, a quo z reflectitur ad e, facile est inuenire: inuento puncto circuli, a quo punctum z reflectitur ad h. Et erit inuentio modo praedicto.

ALHAZEN FILII ALHAYZEN OPTICAE LIBER SEXTVS. LIBER SEXTVS.

LIber sextus nouem partes diuiditur. Pars prima est titulus libri. Secunda, quod er- ror accidat uisui propter reflexionem. Tertia de errore eueniente in speculis planis. Quarta de errore, qui oritur in speculis sphaericis exterioribus. Quinta de errore in speculis columnaribus exterioribus. Sexta de errore in pyramidalibus exterioribus. Septima de errore in sphaericis concauis. Octaua de errore in columnaribus concauis. Nona de errore in pyramidalibus concauis.

PROOEMIVM LIBRI. CAP. I.

PAtuit ex superioribus libris modus acquisitionis formarum in speculis per uisum, situs linearum reflexionis et accessus, situs imaginum: et loca ipsarum. Verum per reflexionem non semper comprehenditur formae ueritas. In speculis enim concauis apparet imago faciei distorta, et occultatur uisui dispositio eius uera. Vnde planum est, errorem incide- re in comprehensione formarum propter reflexionem. Huius erroris modum, et modi caussam, propositum est in libro praesente exeplanare, et secundum diuersitates speculorum discurre re uarietates errorum.

QVOD ERROR ACCIDAT VISVI PROPTER RE- flexionem. Cap. II.

1. Visus reflexus similiter allucinatur, ut directus: sed uehementius et frequentius. 7 p 5.

COmprehensionem formarum in uisu directo liber secundus docuit: et singula, quę propter e- gressum a temperantia in uisu illo errorem inducunt, liber tertius diligenter exposuit. Fit autem com- prehensio formarum per reflexionem, sicut et directe: et quorum fit acquisitio in directione, fit etiam in reflexione, utpote lucis, coloris, figurę, magnitudinis, distantiae, et similium. Et quemadmodum in di rectione rerum praefixarum et cognitarum ad alias fit collatio, et inde oritur coniecturatio, et sumitur iu- dicium in anima: similiter accidit in reflexione. Vnde quaecunque temperamentum egressa, in uisu dire- cto errorem efficiunt, in reflexione similiter inducunt. Et secundum singula maior accidit error in refle xione, propter lucem debilem, quam debilitat ipsa reflexio. Vt autem generaliter loquamur, non potest in re flexione comprehendi ueritas formę, sicut in directione, propter triplex impedimentum reflexioni spe- ciale. Primum est, quod in reflexione apparet rei forma prae oculis uisui opposita, cum non sit reuera. Secundum, quod lux et color corporis uisi miscentur cum colore speculi, quam mixturam uisus percipit, non uerum rei uisę colorem uel lucem. Tertium, quod ipsa reflexio, ut in superioribus [4 n 4] est assignatum, lucem et colorem debilitat. Quare in reflexione latebit uisum ueritas lucis et coloris plus, quam in directio- ne. Amplius: superiora docuerunt, quod quantitas temperamenti eorum, quę in uisu directo errorem inducunt, fortitudinem lucis et coloris respicit: fortiore enim luce uel colore erit maior, debiliore mi- nor. Cum autem per reflexionem debilitentur lux et color: erit latitudo temperamenti singulorum errorem inducentium minor in reflexione, quam in directione: et temperantiae diminuta latitudo plu ralitatem erroris inducit. Praeterea quaedam minutiae corporum comprehendi poterunt per dire- ctionem, quę nullatenus sunt comprehensibiles per reflexionem. Palam ergo, quod directionem su perat reflexio in maioritate errorum et numero.

DE ERRORE, QVI ACCIDIT IN SPECVLIS planis. Cap. III.

2. In speculo plano imago aequatur uisibili. 52 p 5.

IN singulis speculis erronea formarum accidit comprehensio, sed iuxta uarietatem speculorum fifit uarietas errorum. In speculis planis minor accidit error, quam in alijs. In his etenim comprehen ditur ueritas figurae, et quantitatis, sicut et in directione, quod per probationem patebit. Propona

tur speculum planum: et sit a b linea in superficie illius spe- culi, communis superficiei speculi et superficiei orthogona li super superficiem speculi, [id est superficiei reflexionis, quę per 13 n 4 perpendicularis est plano speculo, uel pla- no speculum obliquum in reflexionis puncto tangenti.] Sint l, f duo puncta in superficie illa orthogonali: e centrum ui sus: et a puncto l ducatur perpendicularis super superfi- ciem speculi [per 11 p 11] quae sit l h: et producatur, ut h g sit aequalis l h. Similiter producatur perpendicularis f z, ut d f sit aequalis z f. Palam ex superioribus [2. 3 n 4] quod l re flecitur ad e ab aliquo puncto speculi: et locus imaginis est g [per 2 n 5] tantum distans a superficie speculi, quan- tum l [per 11 n 5.] Similiter f reflectitur ad e: et locus ima- ginis est d [per 2 n 5.] Ducta autem linea f l: et similiter g d: quodcunque punctum lineae f l reflectetur ad e: locus ima- ginis eius est tantum distans a superficie speculi, quantum ipsum punctum. Et ita quodlibet punctum lineae f l tantum uidetur distare, quantum distat. Vnde si linea f l fuerit re cta: erit linea d g recta: si fuerit arcus: erit d g arcus et eiusdem curuitatis. Quare linea l f apparebit e- iusdem quantitatis, eiusdem figurae, cuius fuerit. Quod est propositum.

3. Visus in reflexione praecipue allucinatur propter lucis immoderationem: situs diuersitatem: uisus et uisibilis a speculo distantiam. 7 p 5.

VErum si in punctis lineae f l fuerit uarietas colorum minutim uariata: forsitan non discernetur uariatio, sed una praetendetur uisui coloris confusio. Vnde error erit in luce et colore. Et hoc in numero, propter reflexionem. Illa etenim colorum et lucium uarietas forsitan comprehen- di posset directe, sed egressus est color a temperantia respectu reflexionis, non respectu directionis. Si- militer particulae minutae occultantur, aut confunduntur in reflexione, quae discerni possent in dire ctione. Et propter debilitatem lucis uel coloris ex reflexione, accidit error in longitudine, qui quidem non accideret directe. In situ manifeste accidit error ex reflexione sola. In imagine enim, sinistra com prehendimus ea, quae in corpore uiso [si esset in loco imaginis dextra uideremus. Cum enim aliquid alij opponitur, contrarius eis situs est ad inuicem: quod enim uni fuerit dextrum, alij erit sinistrum. Igitur quod rei uisae dextrum, est imagini sinistrum: et sinistrum in imagine, dextrum est uidenti. Et generaliter in modo lucis, uel coloris, uel situs semper error accidit ex sola reflexione. Et in alijs, quae errorem inducunt directe: inducunt similiter in reflexione: et facilius: quoniam temperamen- tum singulorum minus est in uisu reflexo, quam in directo. Horum omnium unum proponatur exem plum, et idem in caeteris intelligatur. In uisu directo cum fuerit corpus uisum, remotum ab axibus uisualibus, accidit ipsum uideri duo: [ut demonstratum est 11 n 3] Idem euenit in speculis, re uisa ab u xibus elongata. In speculis ab aliqua longitudine uidebitur corpus minus, quam sit, quod forsa di- recte a tanta longitudine uideretur etiam minus, quam esset in ueritate, sed non adeo minus. Et hoc minoritatis additamentum in speculis, prouenit propter minus in longitudine temperamentum. In figura nonnunquam accidit error in speculis propter caussas, propter quas in uisu directo: sed ma- ior et frequentior propter situm. Si aliquid ab aliqua longitudine opponatur speculo, et eius capita non percipiantur a uisu, ut funis, uel aliquid tale: uidebitur forsitan continuum speculo. Idem accidit in uisu directo, si opponatur funis aliquis foramini, et non uideantur capita funis: non apparebit di stantia inter funem et foramen, licet magna sit. Et est propter situm. Si autem alterum capitum ui- deatur, alterum uero non: uidebitur fortassis illud caput continuum. Et in singulis ubi directe er- ror accidit: similiter in reflexione.

DE ERRORE, QVI ACCIDIT IN SPECVLIS SPHAE- ricis conuexis. Cap. IIII.

4. In speculo sphaerico conuexo idem est situs, eademque dispositio partium imaginis et uisibilis. 35 p 6.

VNiuersitas errorumm in speculis planis accidentium, euenit similiter in sphaericis exterioribus. Et praeter hoc res uisa uidetur minor quam sit. Et generaliter in his speculis nihil ex re uisa compre- henditur in ueritate, praeter ordinationem partium, quae talis apparet in speculo, qualis est in imagine.

5. In speculo sphaerico conuexo, imago uisibilis, cuius uera magnitudo uisione directa percipi potest, minor est uisibili. 39 p 6.

QVod autem res semper uideatur minor, quam sit: probatur. Sit a b linea uisa: z x speculum: d centrum: e punctum uisus. a reflectatur ad e a puncto h: b a puncto n. a b producta aut transi bit per centrum speculi, aut non. Transeat: et ducatur a puncto n linea contingens circulum [per 17 p 3] quae sit n l: a puncto h contingens circulum, h m: et ducantur lineę accessus et reflexionis b n, e n, a h, e h: et producantur lineae, e h, e n, donec cadant in perpendicalaremperpendicularem, quae est a d: et puncta ca sus sint, t, q. Palam [per 3 n 5] quod t est locus imaginis a: q est locus imaginis b. Dico, quod a b maior est q t. Palam ex superioribus [ 18 n 5] quod proportio a d ad d t, sicut a m ad m t. Similiter proportio b

d ad d q, sicut proportio b l ad l q: sed [per 9 ax:] a d maior d b, et d t mi nor d q: ergo maior est proportio a m ad m t: quam b l ad l q. [Quia e- nim e quatuor lineis a d prima maior est b d tertia, et d t secunda mi- nor d q quarta: erit ratio a d ad d t maior quam b d ad d q, ut patet ex 8 p 5: et per 11 p 5 ratio a m ad m t maior quam b l ad l q.] Secetur [per 12 p 6] a m in puncto f, ut proportio f m ad m t sit, sicut b l ad l q: erit er go minor proportio b m ad m t, quam b l ad l q. [Nam cum m t sit ma- ior l q: erit per 14 p 5 f m maior b l: quare per 8 p 5 ratio f m ad m t maior est, quam b l ad eandem m t: ratio igitur b l ad m t minor est, quam b l ad l q: ergo ratio b m ad m t multo minor erit, quam b l ad l q.] Secetur [per 12 p 6] m t in puncto k, ut proportio b m ad m k sit, sicut b l ad l q. k cadet necessario inter m et q: quia l q minor m q, et b l maior b m. Cum igitur f m ad m t, sicut b l ad l q, et sicut b m ad m k: erit [per 19 p 5] proportio f b ad k t, sicut b l ad l q: sed b l, maior l q: [conclusum enim est ut b d ad d q, sic b l ad l q: itaque cum b d sit maior d q, erit b l maior l q] ergo f b maior k t. Quare a b maior q t. [quia a b maior est f b, quae maior ostensa est k t, et k t maior est q t. Quare a b multo maior est q t.] Quod est propositum. Si uero linea a b producta non perueniat ad centrum: ducatur a puncto a linea ad centrum: quae sit a d: et sit d cen- trum: et a puncto b ducatur linea b d: et locus imaginis a sit punctum g: locus imaginis b sit p: et ducatur linea g p: quae quidem est imago lineae a b. Dico quod a b maior est g p: quoniam g p aut est aequidistans a b, aut non. Si fuerit aequidistans, planum: quod est minor. [Nam per 29. 32 p 1 triangula a d b, et g d p sunt aequiangula: ideoque per 4 p 6, ut a d ad d g, sic a b ad

g p: sed per 9 ax. a d maior est d g: ergo a b maior est g p.] Si non fuerit aequidistans, producatur, quousque concurrat cum ea: sit concursus z: et [per 31 p 1] a puncto p producatur aequidistans a b: quae sit p h. Angulus p g h aut est acutus: aut rectus: aut maior. Sit rectus uel maior: erit [per 19 p 1] latus p h maius p g: sed [per 29. 32 p 1. 4 p 6] p h minus a b: [ideoque recta p g multo mi- nor est a b.] Et ita est propositum. Si fuerit acutus: potest accidere ut forma sit maior ipsa re, cuius est forma: [quando nimirum angulus p g h minor est angulo p h g] quam licet, excedat: raro accidet. Et si acciderit, forsitan comprehendetur forma a longitudine tali, quod minor uidebitur quam sit: quoniam ipsum corpus ab hac longitudine forsitan uidebitur minus.

6. In speculo sphaerico conuexo, imago uisibilis, cuius uera magnitudo uisione directa propter immoderatam distantiam percipi non potest: alias est aequabilis uisibili: alias maior. 38 p 6.

QVod autem forma in his speculis aliquando uideatur maior re uisa: scilicet cum comprehenditur a tali longitudine, a qua eius certa quantitas non possit discerni: declarabitur. Sit a centrum speculi: et superficies sumatur reflexionis: quae secabit speculum super circulum: [per 1 th. 1 sphaer.] sit circulus ille e d b: e d diameter illius circuli: et producatur diameter e d usque ad z, ut multi plicatio et z in z d sit aequalis quadrato a d: quod planum est, cum sit possibile diametro e d talem addi lineam, ut ductus totalis in partem additam, sit aequalis quadrato a d: [id uero quomodo expedite fiat, ostensum est 32 n 5] et diuidatur linea z d in partes aequales, in puncto h [per 10 p 1.] Erit igi- tur a h medietas e z. [Nam si a d, a e per 15 d 1 aequales, addantur aequalibus h d, h z: aequabitur a h ipsis z h et a e. Tota igitur e dupla est ipsius a h.] Ductus ergo a h in h d erit aequalis quartae parti quadrati a d. [Quia enim oblongum comprehensum sub e z et z d aequatur quadrato a d per fabri- cationem: ergo quod comprehenditur sub a h dimidiata basi et z d altitudine eadem, aequatur di- midiato quadrato a d per 1 p 6: rursusque oblongum comprehensum sub a h basi eadem et h d altitudi- ne dimidiata, aequatur dimidiato oblongo sub a h et z d. Quare aequatur quadranti quadrati a d.] Et quoniam ductus a h in h d maior est quadrato h d: [quia per 3 p 2 aequatur quadrato h d, et oblongo comprehenso sub a d, et d h] sit ductus a h in h t, aequalis quadrato h d [fiet autem aequalis, si ipsis a h et h d tertiam proportionalem per 11 p 6 inueneris: tum enim per 17 p 6 oblongum extremarum aequabitur quadrato mediae h d. Itaque si de h d detraxeris aequalem inuentae proportionali, manda- tum executus fueris.] Fiat circulus secundum quantitatem a h: et a puncto h producatur chorda, aequalis medietati lineae h d: [per 1 p 4] quae sit h q: et producantur lineae q a, q t: et [per 23 p 1] super punctum q fiat angulus, aequalis angulo q a h: qui sit h q n. Cum ergo in his duobus triangulis hi duo anguli sint aequales, et unus communis, scilicet q h a: erit [per 32 p 1] tertius tertio aequalis, scilicet a q h angulo h n q: et erunt triangula similia: [per 4 p. 1 d 6] et erit proportio a h ad h q, sicut h q ad h n. Igi- tur [per 17 p 6] quod fit ex ductu a h in h n, aequale est quadrato h q: sed, [per consectarium 4 p 2] quadra tum h q est quarta pars quadrati h d: cum h q sit medietas h d [per fabricationem.] Igitur multiplicatio a h in h n, ęqualis est quartae parti multiplicationis a h in h t. Quare h n est quarta pars h t [per 1 p 6.] Igitur n cadit inter h et t: restat, ut ductus h t in t n sint tres quartae quadrati h t. [Quia enim h n est quadrans ipsius h t: reliqua igitur n t est dodrans, seu tres quartae h t. Et quoniam rectangula com- prehensa sub tota h t et segmentis n t et n h aequantur quadrato h t per 2 p 2: rectangulum igitur comprehensum sub tota h t et segmento t n (quod est dodrans totius h t) aequatur dodranti quadra ti h t.] Verum angulus q h a acutus est: [ut ostensum est 60 n 5] et [per 5 p 1] aequalis angulo h q a: quia respiciunt aequalia latera in triangulo maiori. Igitur angulus q h n aequalis angulo h n q: [aequa lis enim conclusus est angulus a q h angulo h n q] et ita [per 6 p 1] h q aequalis q n, et angulus h n q acutus: quare [per 13 p 1] angulus q n t obtusus. Quadratum igitur t q superat quadratum q n et qua- dratum t n, ductu lineae t n in h n. Quoniam, ut dicit Euclides [12 p 2] quadratum lateris oppositi ob- tuso superat quadrata duorum laterum, quantum est, quod fit ex ductu unius lateris bis in partem ei adiun- ctam, procedentem usque ad locum casus perpendicularis a capite alterius lateris ductae. Nam si a puncto q

ducatur perpendicularis super lineam h t: cadet in punctum me- dium lineae h n: [non enim cadit extra puncta h et n: secus per 16 p 1 angulus acutus maior esset recto contra 12 d 1: cadit igitur in medium rectae h n per 26 p 1] et [per 1 p 2] ductus t n in medie- tatem h n bis, aequipollet ductui t n in h n. Igitur quadratum t q superat quadrata q n, t n, ductu t n in n h. Sed [per 3 p 2] ductus t n in h n, cum quadrato t n, aequalis est ductui h t in t n. Igitur [subducto quadrato t n] ductus h t in t n est excessus quadrati t q supra quadratum h q. [nam quadratum q h aequatur quadra- to q n: quia rectae q h, q n aequales ostensae sunt.] Amplius: sit proportio a i ad a h, sicut q t ad q h: [per 12 p 6] erit [per 22 p 6] quadratum [a i] ad quadratum [a h] sicut quadratum [q t] ad quadratum [q h] et erit [per 17 p 5] proportio excessus quadra- ti a i supra quadratum a h, ad quadratum a h, sicut ductus h t in t n, ad quadratum q h. [Nam a i maior est a h: quia q t maior est q h: cum quadratum q t sit maius quadrato q h: et oblongum com prehensum sub h t, t n est exuperantia quadrati q t supra quadra tum q h.] Et quoniam quadratum q h quater sumptum, efficit quadratum h d: [per consectarium 4 p 2: quia q h dimidia est ipsius h d per fabricationem] et ductus h t in t n quater sumptus, efficit triplum qua- drati h t: [ostensum est enim rectangulum comprehensum sub h t et t n, esse dodrantem quadrati h t: itaque quater sumptum, erit triplum quadrati h t] erit [per 15 p 5] ductus h t in t n ad quadratum h q, sicut triplum quadrati h t ad quadratum h d. Sit autem h o tripla ad h t: erit ductus h o in h t triplus ad quadratum h t [per 1 p 6.] Sed quoniam proportio a h ad h d est, sicut h d ad h t: [Nam per thesin rectangulum com prehensum sub a h et h t ęquatur quadrato h d: ergo per 17 p 6, ut a h ad h d, sic h d ad h t] erit [per con- sectaria 20 p 6. 4 p 5] h t ad a h, sicut quadratum h t ad quadratum h d. Verum proportio o h ad a h, si- cut ductus o h in h t ad ductum a h in h t [per 1 p 6] et [per 11 p 5] proportio o h ad h a, sicut propor- tio tripli quadrati h t ad quadratum h d. Sed haec erat proportio excessus quadrati a i supra quadratum a h ad quadratum a h. Igitur o h ad a h, sicut excessus quadrati a i supra quadratum a h ad quadratum a h. Igitur coniunctim [per 18 p 5] proportio o a ad a h, sicut quadrati a i ad quadratum a h: excessus enim quadrati a i supra quadratum a h, cum quadrato a h efficit quadratum a i: igitur [ per conuersionem conse- ctarij ad 20 p 6] i a erit media in proportione inter o a et a h. Igitur proportio o a ad i a, sicut i a ad h a: et [per 19 p 5] eadem erit proportio residui ad residuum: id est o i ad i h. Amplius: ductus a d in h d minor est quarta parte quadrati a d: [demonstratum enim est rectangulum comprehensum sub a h et h d, aequari quadranti quadrati a d: et a d minor est quam a h per 9 ax:] igitur h d est minor quarta parte lineae a d. [nam si aequalis esset: rectangulum comprehensum sub a d et h d, aequaretur quadranti quadrati a d per 1 p 6.] Igitur h d est minor quinta parte a h. Cum ergo a h sit maior quam quintupla ad h d, et ductus eius in h t efficiat quadratum h d: [per thesin] erit h t minor quinta parte h d: [nam per thesin et 17 p 6 est, ut a h ad h d, sic h d ad h t: sed per proximam conclusionem a h maior est, quam quintu pla ipsius h d: ergo h d maior est quam quintupla ipsius h t: ideoque h t minor quinta parte ipsius h d] et ita h t minor uicesima quinta parte h a. [Quia enim ratio h a ad h d, et h d ad h t maior est quam quintu pla, ut patuit: erit per 10 d 5 ratio a h ad h t maior, quam uicecupla quintupla: ideoque h t minor uicesima quinta parte ipsius a h.] Sed proportio o i ad i h, sicut i a ad a h, ut dictum est. Igitur coniunctim [per 18 p 5] o h ad i h, sicut i a cum a h ad a h. Igitur [ per 15 p 5] tertia primę ad secundam, sicut tertia tertię ad quartam: sed h t est tertia pars lineae o h [nam per thesin h o tripla est ipsius h t.] Igitur t h ad i h est, sicut tertia pars lineę i a, cum tertia parte a h, ad lineam a h. Igitur t h ad i a, sicut duę tertię lineę a h, cum tertia lineę i h, ad lineam a h. Sed quoniam linea o i est maior i h: [ostensum enim est, ut o a ad i a, sic o i ad i h: at per 9 ax: o a maior est i a: ergo o i maior est i h] erit i h minor medietate o h: et erit tertia i h minor sexta par te o h: et ita tertia i h erit minor medietate t h. Igitur dua: tertiae a h, cum minore parte, quam sit me- dietas h t, se habebunt ad a h, sicut t h ad i h. Igitur [per consectarium 4 p 5] i h ad h t, sicut a h ad duas sui tertias cum minore, quam sit medietas h t: sed h t minor uicesima quinta a h: et eius medietas mi nor quam medietas uicesimae quintae partis. Sed linea a h in uigintiquinque partes diuisa: duae tertiae cum medietate uicesimae quintae partis non efficiunt octodecim eius partes. [Nam ex arithmeticae regulis intelliges ⅔ de 25 esse 16 integra, et superesse ⅔, quae additae cum eo, quod minus est ½ uel etiam cum ½, efficiunt 1⅙. Itaque ⅔ cum ½ de 25, sunt 17⅙.] Igitur proportio i h ad h t maior est, quam sit pro- portio 25 ad 18. Item cum h t sit minor uicesima quinta parte a h: erit a t maior uigintiquatuor parti- bus, quarum a h est uigintiquinque. Sed linea i h minor est medietate o h: et ita minor medietate h t: [quia h t et eius semissis efficiunt semissem ipsius o h: quo i h minor conclusa est] et ita minor una et dimidia uigintiquinque partium a h: et i a ita minor 26½, sumptis partibus secundum diuisionem a h. Ergo proportio i a ad a t, sicut minoris lineae 26½ ad maiorem 24. Igitur proportio i a ad a t mi- nor est, quam 26½ ad 24. Sed proportio i h ad h t maior est, quam 25 ad 18: igitur proportio i h ad h t maior est, quam i a ad a t [ratio enim 25 ad 18 maior est, quam 26½ ad 24, ut patet ex arithmethica.] Sit proportio i m ad m t, sicut i a ad a t: [id autem efficies: si rectae ex i a et a t compositae segmenta su- mas i a, a t: i t uero insectam similiter seces per 10 p 6] cadet quidem m inter i et h. [Quia enim ra- tio lineae i h ad h t maior est, quam i m ad m t: erit i m minor i h: itaque punctum m cadit inter i et h: e- ritque per 9 ax: m t maior m h.] Item maior erit proportio i m ad m h, quam i a ad a t: [Quia enim li- nea m t maior est m h e proxima conclusione: erit per 8 p 5 ratio i m ad m h maior, quam ad m t: at

ratio i m ad m t, est ratio i a ad a t per fabricationem. Qua- re per 11 p 5 ratio i m ad m h maior est, quam i a ad a t] et ita maior, quam i a ad a h. [Quoniam enim ratio i m ad m h maior est, quam i a ad a t e superiore conclu- sione: ratio uero i a ad a t maior est, quam ad a h per 8 p 5: cum a t sit maior ipsa a h per 9 ax. Ratio igitur i m ad m h multo maior est, quam ratio i a ad a h.] Sit igi- tur proportio i l ad l h, sicut i a ad a h: [per 10 p 6] ca- det quidem l inter m et i. Amplius a punctis l, m ducan- tur contingentes l b, m g [per 17 p 3] et ducantur lineae i b, h b, i g, t g, a b, a g: quae duae ultimae producantur us- que ad exteriorem circulum: et habebitur ex quarto li- bro, quod angulus i b z sit aequalis angulo h b a [conti- nuata enim h b in x: aequabuntur anguli i b z et x b z per 12 n 4: item x b z et h b a per 15 p 1: itaque per 1 ax an- guli i b z, h b a aequantur.] Cum igitur sit proportio i l ad l h, sicut i a ad a h [per superiorem fabricatio- nem] erit [per 18 n 5] h locus imaginis i, dum reflecti- tur a puncto b. Et si dicatur contrarium, et sumatur alius locus imaginis i: probabis per impossibile, sumpta im- possibilitate a proportione, quam non est uerum esse i a ad lineam a puncto imaginis ductam ad punctum a, sicut i l ad lineam a puncto l ad locum imaginis. Cum igitur h sit locus imaginis: et l b contingat circulum in b: producta a b faciet angulum l b z aequalem suo collaterali [a b l: quia uterque per 18 p 3 rectus est.] Et quoniam l b perpendicularis super a b z [per 18 p 3] restabit angulus i b l aequalis angulo l b h. [Nam recti l b z, a b l aequantur per 10 ax: et i b z aequalis conclusus est ipsi h b a: reliquus igitur i b l aequatur reliquo l b h.] Eodem modo erit angulus i g z aequalis angulo t g a. [Quia enim m g tangit, et per fabri- cationem est, ut i m ad m t, sic i a ad a t: erit per 18 n 5 t locus imaginis puncti i, reflexi a puncto speculi g. Quare continuata t g in x: aequabuntur per 12 n 4 anguli i g z, x g z: et per 15 p 1 x g z, t g a: quare i g z, t g a aequantur.] Et cum m g sit perpendicularis super a g z: [per 18 p 3] erit angulus i g m aequalis angulo m g t [quia enim anguli m g z, m g a per 18 p 3 recti ęquantur per 10 ax: et i g r t g a aequales conclusi sunt: reli qui igitur i g m, t g m ęquabuntur.] Amplius: ducatur a puncto h ad lineam a b linea ęquidistans ib [per 31 p 1] quę sit h p: et a puncto t aequidistans i g ad lineam a g: quę sit t r: erit [per 29 p 1] angulus i b z aequalis angulo h p b: Sed angulus i b z ęqualis angulo h b a, ut dictum est: et ita duo anguli h b a, h p b sunt ęquales. Qua re [per 6 p 1] duo latera h b, h p sunt ęqualia: similiter t r ęqualis t g. Verum angulus h p b est acutus: cum sit aequualis angulo i b z: [qui minor est recto l b z] erit igitur angusus h p a obtusus: [per 13 p 1] et erit [per 19 p 1] a h maior h p. Similiter erit t a maior t g. Amplius: quoniam h p aequidistat i b: erit [per 29 p 1. 4 p 6] i a ad a h, sicut a b ad a p: erit similiter proportio i a ad a t, sicut a g ad a r: et erit [per consectarium 4 p 5] proportio a h ad i a, sicut a p ad a b: sed i a ad a t, sicut a b ad a r (cum a b sit aequalis a g) [per 15 d 1.] Igitur [per 22 p 5] erit proportio a h ad a t, sicut a p ad a r. Verum cum angulus h p a sit obtusus [ut patuit] quadratum h a excedet quadratum h p et quadratum a p, multiplicatione a p in lineam du- ctam a puncto p usque ad locum perpendicularis, ductae a puncto h, bis [per 12 p 2.] Sed perpendicu- laris ducta a puncto h, cadet in medium lineae p b: [non enim cadit extra puncta p, b: secus angulus acutus esset maior recto per 16 p 1: cadit igitur inter puncta p, b, et in medium lineae p b per 26 p 1] cum h b, h p sint aequales: et ita [per 1 p 2] quadratum h a excedet quadratum h p, et quadratum a p, in multiplicatione a p in p b: et ita quadratum a h excedit quadratum h p in multiplicatione a b in a p: quoniam [per 3 p 2] ductus a p in p b cum quadrato a p, ualet ductum a b in a p. Similiter qua- dratum a t excedit quadratum t r, in ductu a g in a r, siue a b in a r: quod idem est. [aequales enim sunt a g, a b per 15 d 1.] Ducatur igitur linea a b in duas lineas a p et a r, et prouenient duo excessus. Igitur proportio excessus ad excessum, sicut a p ad a r. [nam eadem altitudo a b multiplicans bases a p et a r, facit duo rectangula aequantia duos excessus, proportionalia basibus per 1 p 6.] Erit ergo proportio excessus quadrati a h supra quadratum h p, ad excessum quadrati a t supra quadratum t r, sicut a h ad a t [patuit enim a p et a r proportionales esse ipsis a h et a t.] Et cum h p sit aequalis h b, et t r, t g: erit [per 7 p 5] proportio excessus quadrati a h supra quadratum h b, ad excessum quadra- ti a t supra quadratum t g, sicut a h ad a t. Sed multiplicatio e h in h d est aequalis quadrato lineae, a puncto h ad circulum d b e contingenter ductae: [per 36 p 3] et erit [tangens] minor h b. [Quia enim h b continuata secat peripheriam d b e: aequabitur oblongum comprehensum sub tota secante et exteriore segmento, quadrato rectae ab eodem puncto h peripheriam tangentis per 36 p 3. Itaque per 17 p 6 ut exterius segmentum ad tangentem, sic tangens ad totam secantem: at per 8 p 3 exte- rius segmentum minus est tangente: quare tangens minor est secante] et ita multiplicatio e h in h d minor est quadrato h b. Et fiat ductus a h in h u aequalis quadrato h b [ut ostensum est 32 n 5.] Er- go h u minor est h a. [Quia enim oblongum comprehensum sub h a et etet h u aequatum est quadrato h b: erit per 17 p 6, ut h a ad h b, sic h b ad h u: at h a maior est h b, ut patuit: ergo h b maior est h u: qua- re h a multo maior est h u] et quadratum a h est ęquale multiplicationi a h in a u et h u: [per 2 p 2.] Igi tur multiplicatio a h in a u erit excessus quadrati h a, supra quadratum h b. Igitur proportio a h ad a t, sicut proportio multiplicationis a h in a u, ad excessum quadrati a t, supra quadratum t g. Et si duae lineae a h, a t ducantur in a u: erit proportio a h ad a t, sicut proportio multiplicationis a h in a u, ad multiplicationem a t in a u [per 1 p 6: quia eadem altitudo a u multiplicat bases a h et h t.] Igitur mul tiplicatio a t in a u, est excessus quadrati a t supra quadratum t g: erit ergo multplicatio h a in h u, ae- qualis quadrato h b: et multiplicatio a t in t u aequalis quadrato t g. [Quia enim per 2 p 2 quadra- tum a t aequatur oblongis comprehensis sub a t et t u, item sub a t et a u: et oblongum comprehensum sub a t et a u, aequatur exuperantiae quadrati a t supra quadratum t g per proximam conclusionem: re- liquum igitur oblongum comprehensum sub a t et t u aequatur quadrato t g.] Amplius: arcus b g di uidatur per aequalia in puncto o [per 30 p 3] et ducatur a o: et [per 12 p 1] ducantur tres perpendicula res super lineam h a: scilicet b f, o y, g k: et [per 31 p 1] a puncto g ducatur aequidistans h a: quę sit g s: et [per 11 p 1] a puncto b ducatur perpendicularis super a g: quae sit b c: haec quidem b c, si produceretur usque ad circulum [id est peripheriam circuli d b e] diuideret linea a g ipsam per aequalia [per 3 p 3] et arcum, cuius esset chorda: et ita secaretur alius arcus, ęqualis arcui b g: quoniam illum arcum respi- ceret angulus c b g: et ita angulus c b g est medietas anguli super centrum respicientis eundem arcum, se- cundum Euclidem 20 p 3.] Igitur angulus c b g est medietas anguli g a b, [aequatur enim angulo subten denti peripheriam aequalem ipsi b g per 2 p 3] quem diuidit linea a o per ęqualia. Igitur angulus c b g est aequalis angulo o a g: Duo autem anguli b s g, b c g recti sunt. Si igitur intelligatur circulus super b g transiens per s, transibit per c [per conuersionem 31 p 3 demonstratam a Theone in commentarijs in 3 li- brum magnę constructionis Ptolemei] et fiet arcus s c, super quem cadent duo anguli c b s, c g s: igitur [per 27 p 3] hi duo anguli sunt aequales. Sed angulus g a y aequalis est angulo c g s [per 29 p 1] propter aequidistantiam linearum: [g s et y a] et ita angulus g y aequalis angulo c b s. Et, ut dictum est, angulus g b c ęqualis angulo o a g: erit angulus o a y aequalis angulo g b s: et erit triangulum o a y simile triangulo g b s. Igitur proportio g b ad b s, sicut o a ad a y, et proportio g b ad g s, sicut o a ad o y. Amplius: cum angulus a h b sit acutus [ut ostensum est 60 n 5] quadratum a b minus est quadratis a h, h b, quantum est illud, quod fit ex ductu a h in h f bis, secundum quod dicit Euclides [13 p 2.] Igitur quadratum a h cum qua drato h b, superat quadratum a d (quae est aequalis a b) in ductu a h in h f bis: et ita [per 1 p 2] in ductu a h in h d bis, et a h in d f bis: Sed [per 7 p 2] multiplicatio a h in h d bis, cum quadrato a d, est aequa- lis quadrato a h cum quadrato h d: et ita ablato communi quadrato a d, cum ductu a h in h d bis: restabis quadratum h d cum ductu a h in f d bis, aequale quadrato h b. Sed [per fabricationem] multiplicatio a h in h t aequalis est quadrato h d: et multiplicatio a h in h u, aequalis quadrato h b: erit ergo multiplicatio a h in h u, aequalis multiplicationi a h in h t, et multiplicationi a h in d f bis, subtractoque ductu a h in h t (quem communem ponimus utrique multiplicationi.) [Quia enim oblonga comprehensa sub a h t et sub a h et t u, aequantur oblongo comprehenso sub a h u per 1p 2: ergo aequantur oblongis comprehensis sub a h t et sub a h et d f bis: commune igitur est oblongum comprehensum sub a h t] restabit multiplicatio a h in t u ęqualis multiplicationi a h in d f bis. Igitur t u est dupla d f: [Quia enim oblongum comprehensum sub altitudine a h et basi t u, aequatur duplici oblongo, comprehenso sub eadem altitudine et basi d f: erit per 1 p 6 basis t u dupla basis d f.] Amplius: cum angulus a t g sit acutus [ut ostensum est 60 n 5] erit secundum praedictum modum, quadratum a t cum quadrato t g, aequale quadrato a d, cum ductu a t in t k bis: et ita [per 1 p 2] cum ductu a t in t d bis, et in d k bis. Et probabitur modo praedicto, quod quadratum t g aequale est quadrato t d, cum ductu a t in d k bis: sed ductus a t in t u, aequalis est quadrato t g [ex conclu so] et ita aequalis quadrato t d, cum ductu a t in d k bis. Sit autem ductus a t in t ae aequalis quadrato t d [ut ostensum est in principio huius numeri] restat ergo, ut ductus a t in ae u, sit ęqualis ductui a t in d k bis, per ablationem communis, qui est ductus a t in t ae [nam oblonga comprehensa sub a t ae, item sub a t et ae u, aequantur oblongo comprehenso sub a t u per 1 p 2: ergo aequantur oblongis comprehensis sub at ae semel, et sub a t et d k bis. Commune igitur est a t ae, quo sublato: reliquum oblongum coprehensum sub a t et ae u aequatur oblongo sub a t et d k bis comprehenso.] Igitur ae u est dupla k d [per 1 p 6] sed iam dictum est, quod t u est dupla d f: restat ergo t ae dupla k f. Amplius: proportio a h ad h t est, sicut a h ad h d dupli cata [per 10 d 5] h d enim media est in proportione inter illas: cum eius quadratum sit aequale ductui a h in h t [per fabricationem.] Et similiter proportio a t ad t ae, sicut a t ad t d duplicata [est enim ex fabri- catione et 17 p 6 a t ad t d, sicut t d ad t ae.] Sed maior est proportio a t ad t d, quam a h ad h d. [Quia enim h t minor est quinta parte h d, ut patuit: itaque si a t, uerbi gratia, ipsam t d quater contineatt: a h eandem t d quater continebit, et h d semel. Quare a h non continebit h d quater. Ratio igitur a t ad t d maior est, quam a h ad h d.] Et cum a h sit maior a t: [per 9 ax:] erit h t maior t ae [quia enim a h maior est a t: erit per 8 p 5 ratio a h ad t ae maior, quam a t ad t ae: sed ratio a t ad t ae maior est, quam a h ad h t. Ergo per 11 p 5 ratio a h ad t ae maior est, quam a h ad h t. Quare per 10 p 5 h t maior est t ae.] Sed t ae du- pla ad k f: ergo h t maior est, quam dupla ad k f. Item. Vt dictum est, proportio b g ad g s, sicut o a ad o y, erit [per 16 p 5] b g ad o a, sicut g s ad o y: sed o a ęqualis b a [per 15 d 1] et g s ęqualis f k [per 34 p 1] pro- pter ęquidistantiam: erit [per 7 p 5] proportio b g ad b a, sicut f k ad o y. Amplius: quia i h minor est me- dietate o h [ut patuit] et o h tripla t h: erit i h minor h t, et medietate ipsius: sed h t minor quinta parte h d. Igitur i h minor est t d: quare i h multo minor n d: quare m i multo minor n d [quia m i minor est i h, quae minor est n d.] Et palam per hoc, quod i cadit inter h et z. Amplius: quod fit ex ductu e z in z d, est aequale quadrato a d: [per thesin] igitur quod fit ex ductu e m in m d, est minus quadrato a d. Sed quoniam m g circulum d b e contingit, quod fit ex ductu e m in m d, est aequale quadrato m g, se- cundum quod dicit Euclides [36 p 3.] Igitur m g est minor a d: igitur minor est a g. Amplius: triangula a g m, m g k habent unum angulum communem [a d m] et utrunque eorum habet unum angulum rectum [ad g et k] Igitur [per 32 p 1. 4 p. 1 d 6] sunt similia. Quare proportio m k ad k g, sicut m g ad g a: et ita m k minor est k g [est enim m g minor g a ex concluso.] Et cum [per 15 p 3] o y sit maior g k: erit h d ninor o y [quia h d minor est m k, et m k minor k g, et k g minor o y.] Amplius: quia a h ad h d, sicut h d ad h t: [per thesin et 17 p 6] erit sic [per 15 p 5] medietas h d ad medietatem h t: et ita a h ad h d, sicut q h ad medietatem h t: cum q h sit medietas h d: [per fabricationem] et ita a h ad q h, sicut h d ad medietatem h t: et ita [per consectarium 4 p 5] qh ad a h, sicut medietas h t ad h d. Sed medietas h t maior est f k [demonstratum enim est ipsam h t maiorem esse, quam duplam ipsius k f] et h d minor o y. Erit igitur proportio medietatis h t ad h d maior, quam f k ad o y [ut constat ex 8 p 5.] Quare [per 11 p 5] erit proportio q h ad a h maior, quam f k ad o y. Amplius: linea a q secat circulum e b d: sit punctum sectionis oe: et ducatur linea d oe: quę erit aequidistans q h: [Quia enim tota a h aequatur toti a q, et pars a d parti a oe per 15 d 1: reliqua igitur d h ęquatur reliquę oe q: quare per 7 p 5, ut a d ad d h, sic a oe ad oe q. Itaque per 2 p 6 oe d parallela est ipsi q h] eritque per 29 p. 1. 4 p 6 proportio q h ad h a, sicut oesicut oe d ad d a: et ita proportio oeproportio oe d ad d a maior, quam f k ad o y. Sed f k ad o y, sicut g b ad b a [ex concluso.] Erit igitur maior proportio oe d ad d a, quam b g ad b a [id est ad d a: aequales enim sunt d a et b a per 15 d 1] et ita oe d maior b g: [per 10 p 5] et arcus oe d maior arcu g b [per 28 p 3.] Amplius: producatur a q usque ad punctum s, ut sit a s aequalis a i: [per 3 p 1] et ducatur linea s i: quę erit aequidistans q h: [eodem argumento, quo oe d parallela conclusa est ipsi q h] et erit [per 29 p 1. 4 p 6] s i ad q h, sicut i a ad h a. Sed supra posi- tum est, quod i a ad a h, sicut t q ad q h: erit igitur [per 9 p 5] s i aequalis t q. Amplius: mutetur figura ad euitandam linearum intricationem multiplicem, et propter defectum literarum ad distinctionem linearum. Cum ergo i a sit aequalis lineę, quam diximus a s: fiat circulus secundum quantitatem ipsarum, et loco s ponatur li tera n: et producantur a g ia g et a b usque ad circulum hunc: et sint a b c, a g r: et loco literae oe ponamus f. Di- ctum est, quod arcus d f maior est arcu b g: sit arcus b m aequalis arcui d f: [fiet uero aequalis, si ad re- ctam a b eiusque punctum a constituatur per 23 p 1 angulus b a m aequalis angulo d a f: sic enim per 33 p 6 peripheriae b m et d f aequabuntur] et ducatur linea a m u: et lineę i b, i g, i m, n m: et linea q m: quę pro- ducatur usque ad exteriorem circulum: et cadat in punctum z: et ducantur lineę z a, z g. Cum autem arcus b m sit aequalis arcui d f: addito communi: [m d] erit arcus m f aequalis arcui d b: eritque [per 27 p 3] angulus n a m aequalis angulo i a b, et latera lateribus aequalia [per 15 d 1] erit [per 4 p 1] m n aequalis i b: et an-

gulus n m a aequalis angulo i b a: et [per 13 p 1] angulus n m u angulo i b c. Et cum posi ta sit supra [in secunda figura] a q aequalis a h: erunt a q, a m latera aequalia a h, a b: et angulus [q a m] angulo [h a b per proxi- mam conclusionem] erit [per 4 p 1] q m ęqua lis h b: et erit angulus q m a aequalis h b a, et q m n aequalis angulo h b i: [per 8 p 1] quoniam duo eius latera duobus illius ae- qualia: [nam m n aequalis conclusa est ipsi i b, et q m ipsi h b] et basis, quae est q n, est aequalis basi h i: [nam a n, a i aequantur per 15 d 1: item a q, a h per thesin: reliqua igitur q n aequatur reliquae h i] et angulus n m u aequalis angulo i b c, et i b c aequalis angu lo h b a: [ut ostensum est in secunda figura: ubi angulus i b z est hic i b c] et angulus h b a ęqualis angulo q m a: ergo n m u ęqua lis q m a. Et quoniam, ut posuimus, q m z est linea recta: erit angulus q m a aequalis angulo u m z [per 15 p 1]: ideoque anguli n m u, r m u aequantur. Quare punctum n reflectitur ad z a puncto m: [per 12 n 4] et locus imaginis ipsius q [per 3 n 5.] Hoc ta- men deest probationi, ut pateat m z totam esse extra circulum: quod sic patebit. Palam, quod contingens ducta a puncto b cadat inter i et h: [demonstratum enim est in prima figura punctum l alterum terminum rectę tangentis peripheriam d b e in puncto b, cadere inter puncta i et h] et tanta est remotio puncti b a pun cto h, quanta est puncti m a puncto q [aequales enim conclusę sunt h b, q m] et i h aequalis n q. igitur con- tingens, ducta a puncto m cadet inter n et q. Igitur q m secat circulum [quia tangente inferior est.] Qua- re tota m z est extra circulum. Amplius: quoniam angulus n m u aequalis est angulo u m z: erit arcus n u aequalis arcui u z. [Quia enim m n ęquatur ipsi m z: connexę igitur n u et u z aequantur per 4 p 1. Quare per 28 p 3 peripherię n u, u z aequantur] et erit angulus n a u aequalis angulo u a z [per 27 p 3.] Sed iam patuit, quod angulus n a u aequalis est angulo i a c: igitur angulus i a c erit aequalis angulo u a z. An- gulus uero b a g aut erit aequalis angulo g a m: aut minor: aut maior. Sit aequalis. Si igitur ab angulo i a c subtrahatur angulus b a g, et ab angulo z a u angulus m a g: remanebit angulus i a g aequalis an- gulo z g: et erit [per 4 p 1] i g aequalis z g, et triangulum triangulo: et erit angulus i g a aequalis angulo z a g: restabit igitur [per 13 p 1] angulus i g r aequalis angulo z g r. Fiat igitur angulo i g r aequalis angu lus t g a: [per 23 p 1] erit angulus t g a aequalis angulo z g r. Si igitur t g producatur: ueniet ad z [per con uersionem 15 p 1 a Proclo ibidem demonstratam.] Quare t g z linea recta [per 14 p 1.] Igitur i a puncto g re flectitur ad z: et locus imaginis eius est punctum t. Si ergo z sit uisus: reflectentur ad ipsum duo puncta i, n a duobus punctis m, g: et loca imaginum puncta t, q. Igitur linea t q erit imago lineae i n. Probatum autem est supra, quod t q aequalis est i n. Et ita potest accidere in his speculis imaginem esse aequalem rei uisę. Si

uero angulus b a g fuerit maior angulo g a m: erit angulus z a g maior angulo i a g [mutua angulorum subductione, ut prius facta.] Sit angulus k a g aequalis angulo i a g. Quoniam punctum k demissius puncto z, et punctum m demissius puncto g: linea k g secabit lineam z m: secet in pun- cto l. Igitur existente uisu in puncto l, re- flectetur n ad ipsum a puncto m: et locus imaginis q. Similiter i reflectetur ad i- psum: et locus imaginis est t secundum priorem probationem. Et ita t q imago est i n. Quod est propositum. Si uero angulus b a g fuerit minor angulo g a m: erit an gulus z a g minor angulo i a g. Sit angu lus o a g aequalis angulo i a g: et duca- tur linea o g. Palam, quod i reflectitur ad o a puncto g. Linea o g aut secabit li neam z m q extra circulum speculi: aut non. Si secet extra, et uisus fuerit inpunctoin puncto sectionis: reflectentur ad ipsum duo puncta n, i: et loca imaginum erunt t q. Et ita redit propositum [quod erat imaginem aequari uisibili.] Si forsan linea o g secet lineam z m q intra circulum: non poterit applicari prędicta probatio Sed dico, quod extra hanc totalem superficiem licebit inuenire punctum, ad quod reflectantur duo puncta i, n a duobus speculi punctis: et imago erit t q. Verbi gratia. Palam, quod angulus n a z duplus est ad an- gulum c a b: [ostensum enim est peripherias n u et u z ęquari: itaque n z dupla est ipsius u z, et per 33 p 6 angulus n a z duplus ad angulum n a u, ideoque duplus ad aequalem i a b] et angulus i a o duplus ad angu lum i a g, secundum praedicta: [aequatus enim est o a g ipsi i a g: itaque totus i a o duplus est ad i a g] et an gulus n a z non excedit angulum i a o in angulo maiore angulo n a i. [Quia enim anguli n a z et i a o du- pli sunt angulorum i a b et i a g: et i a b exuperat angulum i a g, angulo g a b (qui per thesin minor est an- gulo g a m) ergo angulus g a b minor est dimidiato angulo b a m (qui per 33 p 6 ęquatur angulo n a i, ob peripherias f d et m b aequales) angulus igitur g a b minor est dimidiato angulo n a i. Quare angu- lus n a z exuperans angulum i a o, duplo angulo g a h, non exuperat maiore angulo quam sit n a i] et duo an- guli i a o, i a n maiores tertio, qui est n a z: et duo z a n, n a i maiores tertio i a o: et duo n a z, i a o maio res tertio n a i. Habemus ergo tres angulos [n a i, n a z, i a o] quorum quilibet duo maiores sunt tertio, et omnes simul quatuor rectis minores: [quia non totum circa centrum a locum replent.] Igitur [per 23 p 11] ex illis licet facere angulum corporalem. Fiat angulus ille super a: et sit linea s a erecta super a: et angu lus i a s sit ęqualis angulo i a o: et angulus n a s ęqualis angulo n a z: angulus n a i manebit immotus: et fiat linea a s aequalis lineae a n uel a i: quae omnes sunt aequales: et producantur lineę t s, q s. Palam, quo- niam angulus t a s est aequalis angulo t a o [est enim t a pars lineae i a []et duo latera [t a, et a o] lateribus duobus [t a et a s] erit [per 4 p 1] basis t s ęqualis basi t o, et triangulum triangulo: et ita angulus g t a aequa

lis angulo s t a [quia g t pars est lineae o t.] Si- militer angulus q a s ęqualis angulo q a z, et latera [q a, a s] lateribus: [q a, a z] et [per 4 p 1] triangulum aequale triangulo: et angulus m q a aequalis angulo s q a [est enim m q pars lineę z q.] Diuidatur angulus t a s per aequa lia per lineam a y [per 9 p 1.] Sit y punctum, in quo linea illa secabit lineam t s. Palam, cum an- gulus i a g sit medietas anguli i a o: erit an- gulus t a g aequalis angulo t a y, et angulus g t a aequalis y t a: et unum latus commune, scili cet t a: erit per 26 p 1] t g aequalis t y, et trian gulum [y t a] triangulo: [g t a] et erit a y aequa lis a g: et ita y in superficie speculi: [cum enim puncta g et y a centro a aequabiliter distent per conclusionem proximam: sitque g ex thesi in speculi superficie: erit y in eadem.] Erit etiam angalus i a g aequalis angulo i a y, et latera [i a, a g] lateribus [i a, a y] et [per 4 p 1] trian- gulum i a g triangulo [i a y] aequale: et erit angulus a g i ęqualis angulo a y i: et linea i y producta, aequa lis i g. Et producatur a y extra sphęram usque ad punctum p: restabit angulus i g r aequalis angulo i y p [per 13 p 1]. Verum cum t s sit aequalis t o, et t y aequalis t g: [per conclusionem] restat g o aequalis y s. Igitur a y, y s aequalia, a g, g o: et basis a s aequalis basi a o: erit [per 8 p 1] triangulum [a y s] ęquale triangulo: [a g o] et erit angulus a y s aequalis angulo a g o: restat [per 13 p 1] angulus s y p aequalis angulo o g r. Igitur duo anguli i g r, o g r aequales sunt duobus angulis i y p, s y p. Verum linea a s secabit sphęram: sit punctum sectionis e. Igitur tria puncta e, y, d sunt in superficie sphaerae. Quare linea e y d est pars circuli sphaerę: et est linea communis superficiei sphaerę et superficiei reflexionis t s p. Quare punctum i reflectitur ad punctum s a puncto y: et locus imaginis est t. Similiter diuiso angulo n a s per aequalia per ax: probabi tur modo praedicto, quod q x aequalis est q m, et a x aequalis a m, et x s aequalis m z: et duo anguli n x ae et s x ae aequales duobus angulis n m u, z m u. Et ita n reflectetur ad s a puncto x: et locus imaginis q: et ita t q imago i n: [et sic imago, ut prius, erit aequalis uisibili: cum t q aequalis conclusa sit ipsi i n.] Quod est propositum. Amplius: si a puncto i ducatur perpendicularis super n a: cadet inter n et q, non extra n: cum angulus i n a sit acutus: quoniam aequalis angulo n i a [ducta enim recta i n, ęquabuntur an- guli ad basim i n per 5 p 1] et si caderet perpendicularis illa extra n: esset acutus maior recto [per 16 p 1.] Faciet ergo perpendicularis illa angulum rectum super n q, quem angulum respicit linea i n. Quare [per 19 p 1] linea i n maior est illa perpendiculari. Quare perpendicularis illa minor t q [ęquali ipsi i n per conclu sionem.] Punctum igitur lineę n q, in quod cadit perpendicularis, reflectitur ad punctum s: imago uero eius cadet in lineam n a [per 3 n 5] supra punctum q. Quia quanto remotiora sunt puncta, quę reflectuntur, tan to loca imaginum magis accedunt ad centrum circuli [per 30 n 5.] Et quaecunque linea ducetur a puncto t [quod est imago puncti i, reflexi a puncto speculi y] ad aliquod punctum n q supra q: erit maior t q [per 19 p 1.] Igitur imago perpendicularis erit maior ipsa perpendiculari. [Quia enim t q aequatur ipsi i n, quę maior conclusa est perpendiculari: ergo t q imago perpendicularis eadem maior est.] Eodem modo quęcunque linea ducetur a puncto i ad n q, inter hanc perpendicularem et i n: erit imago ipsius maior i- psa. Verum determinentur hęc certius. Punctum n quia reflectitur ad z a puncto m: et locus imaginis est q: linea z m q secat circulum in puncto, quod est 3: contingens ergo ducta a puncto ad circulum: cadet super punctum aliquod arcus m 3 [si enim z m tangeret: angulus z m a esset rectus per 18 p 3: quare per 4o n 5 nulla fieret a puncto m reflexio: multo igitur minus tangens a puncto z, tanget citra punctum m] si uero caderet in punctum 3, secaret peripheriam, non tangeret: cadit igitur in peripheriam m 3. et contingens illa cadet supra q: quoniam punctum, in quod cadit, erit finis contingentiae, et finis imaginum: [per 17 n 5] et puncta sub puncto illo, quod est finis contingentię, non poterunt reflecti: superiora uero poterunt. Igi- tur perpendicularis ducta a puncto i super n q, si ceciderit supra punctum, quod est finis contingentiae: reflectetur punctum, in quod cadit: et erit imago perpendicularis maior perpendiculari. Si uero per- pendicularis cadat in punctum contingentiae, aut infra: non reflectetur punctum, in quod cadit. Quare nulla erit imago perpendicularis. Veruntamen quoniam finis contingentiae est infra n: erunt inter finem contingentiae et n infinita puncta: quorum quodlibet reflectetur: et erit imago cuiuslibet super n q: et cu iuslibet lineę ductę a puncto i ad quodlibet illorum punctorum, erit imago maior linea, cuius fuerit ima go. Igitur accidit in his speculis imaginem aliquando aequalem rei uisae: aliquando maiorem esse. Quod erat explanandum. Huius autem rei explanationem nec scriptam legimus, nec aliquem, qui dixisset, aut intellexisset, audiuimus.

7. Si duo uisibilis puncta a centro speculi sphaerici conuexi aequabiliter, a uisu uero inaequabiliter distent: imago et finis contingentiae puncti longinquioris a uisu, erunt longinquiores a centro speculi. 4 p 645 p 6.

AMplius: in his speculis lineae rectae uidentur curuae, et in pluribus curuitate quidem speculum non respiciente, sed ei aduersa. Similiter curuae apparebunt in his speculis curuae: et si curuitas spe- culum respexerit, contrario situ apparebit. Et hoc quidem intelligendum non in omnibus, sed in pluribus. Ad cuius rei explanationem necesse est quędam antecedentia praemittere: quorum unum est. Si fuerint duo puncta eiusdem longitudinis a centro speculi, et inaequalis longitudinis a centro uisus: imago pun cti remotioris a centro uisus erit remotior a centro speculi, quam propinquioris: et finis contingentię re- motioris erit remotior a centro speculi, quam finis contingentię propinquioris: siue puncta illa sint in ea- dem superficie cum centro uisus, siue in diuersis. Sint t, d duo puncta aequaliter a g centro speculi re- mota: e centrum uisus: et d propinquius uisui quam t. Superficies communis sectionis d t g secabit speculum super circulum [per 1 th. 1 sphae.] qui sit a b: et sit angulus e g d aequalis angulot g z: angulus e g t aequa- lis angulo t g h: et sumatur in circulo punctum, a quo t reflectatur ad z: [per 31. uel 39 n 5] quod sit q. Di co, quod t non reflectitur ad h ab aliquo puncto b q. Palam, quod non a puncto b [quia cum ea sit per- pendicularis speculo, reflectetur in seipsam, non ad h per 11 n 4.] Si autem sumatur punctum quodcunque in b q: linea ducta a puncto h ad illud punctum, secabit lineam q z. Igitur ad illud punctum sectionis reflecti- tur t ab aliquo puncto, sumpto in b q: et ad idem sectionis punctum reflectitur a puncto q. Igitur t refle- ctitur ad idem punctum a duobus punctis illius circuli: quod impossibile in his speculis, ut in libro quinto [29 n] patuit. Restat ergo, ut t reflectatur ad h ab aliquo puncto q a: sit illud m: et [per 17 p 3] a

puncto m ducatur contingens circulum usque ad li neam g t: quae sit m n. Erit n finis contingentiae t, respectu h: per 17 n 5] et a puncto q ducatur contin gens: quę sit q o: quę quidem necessario cadet sub m n: [quod enim non cadat in punctum n, inde perspi cuum est: quia ductis semidiametris g q, g m: angu li n q g, n m g per 18 p 3 recti, essent inęquales per 21 p 1 contra 10 ax: Si uero cadat ultra n: erit per 21 p 1 angulus rectus obtuso maior contra 11 p 1] et produ catur z q usque dum cadat super g t in puncto p. [ca det autem per 3 uel 16 n 5.] Erit p locus imaginis z. E- rit ergo [per 18 n 5] proportio g t ad p g, sicut t o ad o p: igitur maior erit proportio g t ad t n, quam g t ad t o [per 8 p 5: quia t o maior est t n.] Ergo multo maior g t ad t n, quam g p ad p n. [Quia enim ra- tio g t ad t n maior est, quam ad t o ex concluso: estque g t ad t o, sicut p g ad p o per 16 p 5. Ratio igitur t g ad t n maior est, quam p g ad p o: sed ratio p g ad p o maior est, quam ad p n per 8 p 5. Ratio igitur g t ad t n multo maior est, quam p g ad p n.] Sit er- go [per 10 p 6] g t ad t n, sicut g l ad l n. Erit g l ma- ior g p. Et erit l locus imaginis h [per 18 n 5: est e- nim per 16 p 5 g t ad g l, sicut t n ad n l.]: Sint ergo h g, e g, z g lineę aequales: g f aequalis g p: g s aequalis g o. Cum igitur angulus e g d sit ęqualis angulo t g z [per fabricationem] et remotio d a puncto e, sicut z a puncto t: [Quia enim rectae e g, d g, z g, t g: item an- guli e g d, z g t aequantur per fabricationem: bases e d, z t ęquabuntur per 4 p 1: ideoque puncta d, z ęqua biliter distabunt a punctis e et t] erit imago d respectu e tantum eleuata in linea g d, quantum imago t respectu z in linea g t: erit igitur imago d in puncto f: et similiter finis contingentię d, respectu e erit al titudinis eiusdem, cuius est finis contingentię pucti t, respectu z. Quare erit finis contingentiae d in puncto s. Verum quoniam angulus e g t aequalis est angulo t g h, et h g aequalis e g: [per fabricationem] erit l ima- go t, respectu e, sicut est respectu puncti h: et n finis contingentiae respectu e, sicut est respectu puncti h. Quare imago puncti remotioris ab e remotior est a centro, imagine propinquioris: et finis contin- gentiae remotioris remotior a centro, fine propinquioris. Quod erat propositum.

8. Si data recta in duobus punctis secta, sit ad alterum extremorum segmentorum, ut reliquum ex- tremum ad intermedium: et ab altero ipsius termino, sectionumque punctis tres rectae in eodem pun cto concurrant: recta a reliquo termino secans concurrentes, secabitur proportionaliter datae. 123 p 1.

AMplius: proposita linea a b, et diuisa in punctis g, d, ut sit proportio a b ad b d, sicut a g ad g d: si a punctis sectionum ducantur tres lineae concurrentes in punctum unum, scilicet g e, d e, b e: et a puncto a ducatur linea secans illas tres lineas: Dico, quod linea illa diuisa erit secundum praedictam proportionem. Ducatur linea a c secans tria latera g e, d e, b e in tribus punctis z, h, c. Dico quod proportio a c ad c h, sicut a z ad z h. Ducatur [per 31 p 1] a puncto h aequidistans a b: quae sit h q. Palam [e demonstratis a Theone ad 5 d 6] quod proportio a b ad b d, constat ex proportionibus a b ad h q, et h q ad b d. Sed quoniam q h aequidistat a b: erit triangulum c q h simile triangulo c a b: ]per[per 29 p 1. 4 p. 1 d 6] et erit proportio a b ad q h, sicut a c ad c h. Similiter triangulum q e h simile triangulo b e d:

igitur erit porportioproportio q h ad b d, sicut h e ad e d. Ergo proportio a b ad b d, constat ex proportionibus a c ad c h et h e ad e d. Producatur q h, usque dum cadat super e g in puncto m. [cadet autem per lemma Procli ad 29 p 1] Proportio igitur a g ad g d, constat ex proportioni- bus a g ad h m, et h m ad g d. Sed cum [per 29 p 1] angulus e m h sit aequalis angulo z g d: erit [per 13 p 1] angulus h m z aequalis angulo z g a: et erit triangulum a z simile triangulo h m z [quia enim anguli aduer- ticem z aequantur per 15 p 1: aequabitur per 32 p 1 ter- tius m h z tertio g a z. Quare per 4 p. 1 d 6 triangula h m z, a g z sunt similia.] Et erit proportio a z ad z h si- cut a g ad h m. Sed [per 29 p 1. 4 p. 1 d 6] triangulum h e m simile est triangulo g e d: erit igitur proportio h m ad g d, sicut h e ad e d. Igitur proportio a g ad g d, constat ex proportione a z ad z h, et h e ad e d: et eadem est a g ad g d, quae a b ad b [per thesin.] Igitur illa ea- dem constat ex proportionibus a z ad z h et h e ad e d. Igitur [subducta utrinque ratione h c ad e d] eadem erit proportio a c ad c h, quę est a z ad z h. Et ita est propositum. Eadem erit probatio, quęcunque linea duca tur a puncto a, secans lineas illas tres concurrentes. Et si ducantur aliae tres lineę a tribus punctis g, d, b, ad aliud punctum quam e concurrentes, et a puncto a ducatur linea quaecunque, secans eas: diuidetur secundum praedictam proportionem. Et ita quocunque modo concurrant tres lineę. Et si tres lineę e g, e d, e b producantur ultra tria puncta b, d, g ex alia parte: et a puncto a ducantur lineae, secantes eas ex il la alia parte: nunquam illae lineae diuidentur secundum praedictam proportionem.

9. Si duae rectae facientes angulum, similiterque in duobus punctis ita sectae (ut tota sit ad alterum extremorum segmentorum, sicut reliquum extremum ad intermedium) basi infinita connectantur: rectae per puncta sectionum utriusque cum basi et inter se concurrentes, in eodem puncto concurrent. 124 p 1.

AMplius: data linea a b praedicto modo diuisa: si a puncto a ducatur alia linea, uelut a c, quae di uidatur iuxta eandem proportionem: et a punctis diuisionum a b ducantur lineę ad puncta diui

sionum a c, quę quidem non sint aequidistantes: Dico quod illae tres concurrent in uno et eodem puncto. Sit pro- portio a c ad c h, sicut a z ad z h. Et quia b c, d h non sunt aequidistantes [ex thesi] igitur concurrent in ali quo puncto: quod sit e. Linea g zaut concurret ad idem punctum: aut non. Si ad idem: habemus proposi tum. Si non, ducatur linea e g: secabit quidem lineam a c in alio puncto quam z: sit illud punctum l. Erit ergo proportio a c ad c h, sicut a l ad l h iuxta priorem pro- bationem [praecedentis numeri] sed positum est a c ad c h, sicut a z ad z h. Et ita impossibile [nempe to- tum aequari suae parti. Quia enim per praecedentem numerum est, ut a l ad l h, sic a c ad c h, et ex thesi, ut a c ad c h, sic a z ad z h: erit per 11 p 5, ut a l ad l h, sic a z ad z h et per 18 p 5, ut a h ad h l, sic a h ad h z. Quare cum a h ad duas rectas h l, h z eandem habeat ratio- nem, aequabuntur ipsae inter se per 9 p 5: et sic tota h l erit aequalis parti h z.] Similiter, si ponatur, quod li nea g z concurrat cum d h ad punctum e: probabitur hoc modo, quod linea b c concurrat ad idem Similiter si ponatur, quod g z, b c concurrant ad punctum e: probabitur, quod d h concurret ad idem.

10. Si data recta in duobus punctis secta, sit ad alterum extremorum segmentorum, sicut re-

liquum extremum ad intermedium: et ab altero ipsius termino, sectionumque punctis tres rectae li- neae sint parallelae: recta a reliquo termino secans parallelas, secabitur proportionaliter datae. 122 p 1.

AMplius: diuisa ab secundum hanc proportio- nem: si fuerint lineae g z, d h, b c aequidistantes: et ducatur ac diuidens illas: erit ac diuisa se- cundum hanc proportionem. Cum d h sit aequidi- stans g z: erit [per 2 p 6] proportio a z ad z h, sicut a g ad g d: et cum b c sit aequidistans d h: erit [per 2 p 6. 18 p 5] a b ad b d, sicut a c ad c h: sed [ex thesi] a b ad b d, sicut a g ad g d: erit [per 11 p 5] a c ad c h, sicut a z ad z h. Et ita patet propositum. His praemissis, acceda- mus ad propositum.

11. Si recta linea a uisu sit perpendicularis su- perficiei incidentiae: imago peripheriae concentricae peripheriae circuli (qui est communis sectio superficierum reflexionis et speculi sphaerici conuexi) uidebitur curua, et parallela ipsi peripheriae concentricae. 46 p 6.

PRimum de arcu declaremus, quomodo in his speculis imago eius sit curua, curuitate quidem speculum non respiciente, sed centrum. Verbi gratia: sit ab arcus oppositus speculo: et sit g cen- trum illius arcus, et similiter centrum speculi: d centrum uisus: et du- cantur lineae d g, a g, b g: et sumatur e in arcu a b quocunque modo: et ducatur linea e g. Linea uero d g non sit in superficie a b g. Linea igi- tur d g aut erit orthogonalis super superficiem a b g: aut declinata. Sit orthogonalis: erunt anguli d g a, d g e, d g h aequales [quia per 3 d 11 recti sunt] et [per 15 d 1] latera lateribus. Quare [per 4 p 1] bases basi- bus. Igitur omnia puncta arcus a b eiusdem longitudinis erunt a cen- tro uisus. Quare imagines omnium punctorum, eiusdem longitudinis sunt a centro: sintque q, m, l imagines ipsorum a, e, b. Erit igitur g q ęqualis g m, g l. Quare q m l erit arcus: [per 9 p 3] et conuexitas ipsius respectu cen tri, non respectu speculi, siue loci reflexionis. Quod est propositum.

12. Si recta linea a uisu sit obliqua superficiei incidentiae: ima- go peripheriae concentricae peripheriae circuli (qui est communis se- ctio superficierum, reflexionis et speculi sphaerici conuexi) uidebi- tur curua, non parallela peripheriae concentricae. 47 p 6.

SI uero linea d g non fuerit perpendicularis super superficiem a b g: ducta perpendiculari a pun- cto d super hanc superficiem: [per 11 p 11] cum [per 5 n 5] illa perpendicularis sit minor omni- bus lineis ductis a puncto d ad hanc superficiem: erit angulus, quem continet haec perpendi- cularis uersus g, minor quolibet angulo uersus punctum g intellecto, quem continet alia linea a pun- cto d ad hanc superficiem ducta [per 16 p 1.] Et linea ducta a puncto d ad hanc superficiem, quan- to remotior erit a perpendiculari, tanto maior erit, et continebit maiorem angulum uersus g [per 21 p 1.] Si ergo haec perpendicularis non cadat in arcum a e b, sed ex parte una: erunt omnes lineae ductae a puncto d ad hunc arcum, declinatae ad partem unam: et remotiores maiores, et maiorem angulum continentes uersus g. Sit ergo: et sumantur tria puncta in arcu, scilicet e, c, b: finis contin- gentiae puncti b sit l: finis contingentiae puncti c, sit m. Quoniam igitur c propinquius d, quam b: erit m propinquius g quam l: [per 7 n] et ita c m maior b l [quia g c, g b ęquantur per 15 d 1] q sit imago c: t imago b: et ducatur t q: et ducantur lineae c b, m l: quae quidem productae concurrent. Si enim a puncto m duceretur aequidistans c b, secaret ex g b lineam aequalem c m [esset enim per 2 p 6. 18 p 5, ut g c ad c m, sic g b ad rectam, quam secat parallela a puncto m ducta ex g b: itaque cum g c, g b aequen- tur per 15 d 1: aequaretur c m, sectae per parallelam ex g b: sed c m, ut patuit, maior est b l: quare c b, m l productae concurrent.] Concurrant in puncto o. Et quoniam proportio g c ad c m, sicut g q ad q m [est enim per 18 n 5, ut c g ad g q, sic c m ad m q: ergo per 16 p 5, ut c g ad c m, sic g q ad q m.] Si- militer g b ad b l, sicut g t ad t l: ergo linea q t concurret cum lineis c b, m l [per 9 n.] Sit con- cursus in puncto o. Finis contingentiae puncti e sit n. Quoniam punctum n demissius est puncto m: [per 7 n] erit e n maior c m: ductis ergo lineis e c, m n, concurrent [ut antea.] Sit concursus in puncto p: et ducatur linea q p: et procedat, donec cadat super e g in puncto f: et ducatur linea t q usque ad e g: et cadat in punctum k. Pa- lam, quod k erit supra f [quia pun- ctum n humilius est puncto m.] Verum cum proportio g c ad c m, sicut g q ad q m [ut patuit] et a punctis diuisionum ducantur tres lineae concurrentes, in aliam par- tem productae secabunt lineam e g secundum praedictam propor- tionem [per 8 n.] Quare propor- tio g e ad e n, sicut g f ad f n: sed n est inis contingentiae. Quare f lo- cus est imaginis [per 18 n 5.] Igi- tur linea f q t erit imago arcus e c b: et erit linea curua, non recta: quoniam t q k est recta: et curui- tas lineae non est ex parte specu- li. Similiter si perpendicularis a puncto d cadat ex alia parte arcus: similis erit probatio. Si uero cadat perpendicularis in medium arcus a b: lineae a puncto d ex diuersis partibus ad arcum ductae, aequaliter distantes a perpendicu- lari: erunt aequales, et aequales angulos continebunt uersus g: et imagines a g aequaliter distabunt: et fines contingentiae similiter. Et licebit probare praedicto modo de utraque parte arcus per se, se- cundum quod diuiditur a perpendiculari: quod eius imago sit linea curua modo praedicto. Quod est propositum.

13. Si uisus sit extra superficiem incidentiae: imago peripheriae eccentricae peripheriae circuli (qui est communis sectio superficierum, reflexionis et speculi sphaerici conuexi) uidebitur magis curua, quam imago peripheriae concentricae. 48 p 6.

AMplius: sumatur circulus, cuius centrum non sit centrum speculi, ueruntamen sit in eadem superficie cum centro speculi. Dico, quod si in hoc circulo exteriore sumatur arcus ex parte centri speculi, propinquior ei secundum medium eius punctum, erit imago eius curua. Dato enim hoc arcu: ducatur linea a centro speculi ad centrum exterio- ris circuli: et producatur haec linea usque ad arcum datum: linea du- cta a centro speculi ad hunc arcum, quae est pars diametri maioris circuli, erit breuior omnibus lineis ductis ab eodem centro specu- li ad illum arcum [per 7 p 3.] Et a centro speculi possunt duci ad ar- cum datum duae lineae aequales a diuersis partibus huius breuis [per 7 p 3] quae quidem maiores erunt illa breui. Et si secundum alteram illarum fiat circulus, cuius centrum sit speculi centrum: transibit per capita harum duarum linearum arcus excedens arcum datum. Et palam, quod imago huius arcus excedentis, erit linea curua se- cundum praedicta [11. 12 n.] Et imagines punctorum huic arcui et arcui dato communium eaedem: et medium punctum arcus exce- dentis est remotius a centro speculi, quam punctum arcus dati, quod ipsum respicit. Quare eius imago propinquior est centro, quam ima- go puncti arcus dati illum respicientis. Et ita cuiuslibet puncti ar- cus exterioris imago propinquior est centro, imagine puncti arcus dati, quod ipsum respicit. Quare imago arcus dati curuior, quam imago arcus exterioris. Quare ima- go arcus dati curua est. Quod est propositum.

14. Si uisus sit extra superficiem incidentiae: imago lineae rectae, parallelae rectae tangenti peri- pheriam circuli (qui est communis sectio superficierum, reflexionis et speculi sphaerici conuexi) uidebitur curua. 49 p 6.

AMplius: quod lineę rectae imago in his speculis sit curua, probatur sic. Sit a b linea uisa: g cen trum speculi: ducantur lineae a g, b g. Hae aut sunt aequales: aut non. Si aequales: fiat circulus, cuius g centrum, secundum quantitatem illarum: qui sit a e b: cadet quidem linea a b intra circulum. Palam ex praedictis [11. 12 n] quod imago arcus a e b erit curua. Sit igitur imago eius z t h: imago a sit z: imago b sit h: imago e sit t: et ducatur g e secans a b in puncto f. Palam, quod e est in ea- dem linea cum f, remotior a centro g. Erit ergo eius imago propinquior centro, quam f imago [per 30 n 5.] Sit ergo m. Palam ergo, quod linea z m h est imago lineae a b: [imagines enim punctorum a et b communium eaedem permanent] et est linea curua. Quod est propositum.

15. Si uisus sit extra superficiem incidentiae: imago lineae rectae infinitae, nec parallelae, nec tan- gentis, nec secantis peripheriam cir culi (qui est communis sectio super- ficierum, reflexionis et speculi sphae- rici conuexi) uidebitur curua. 50 p 6.

SI uero lineae a g, b g fuerint inae-The left figure belongs to ch. 14 on the previous page, see Errata p. a3v, l. 6–7: “Pag. 201 figura prior 15 numeri, quae ad sinistram est, pertinet ad 14 numerum praecedentem: neque enim suo quamque loco collocari compositionis, ut uocant, ratio permisit”.

quales: linea a b protracta aut se- cabit speculum: aut non. Sit quod non secet: et sit a g maior g b: et fiat cir- culus super g ad quantitatem a g: qui sit a e q: et producatur a b, quousque ca dat in circulum ex parte b: cadat in pun ctum e. Patet ex superioribus [11 uel 12 n] quod imago arcus a e est curua. Punctum imaginis a sit z: punctum ima ginis e sit m: erit z m imago arcus a e. Et quoniam imago puncti b remotior est a centro, quam imago puncti e: erit imago lineae a b curua: quod etiam per puncta media arcus a e et lineae a b fa ciliter poterit pobari. Quod est propositum.

16. Si uisus sit extra superficiem incidentiae: imago lineae rectae infinitae, tangentis periphe- riam circuli (qui est communis sectio superficierum, reflexionis et speculi sphaerici conuexi) uidebitur curua. 51 p 6.

SI uero linea a b tangit speculum: aut secabit: aut continget. Tangat primo: et g sit centrum spe- culi: et ducantur lineae a g, b g. Superficies a b g secabit speculum super circulum communem [per 1th. 1 sphaer.] qui sit e h z. Palam, quod linea a b continget speculum in hoc circulo [sunt enim peripheria e h z, et recta a b in eodem incidentiae plano: et a b continuata tangit speculum ex thesi. Quare tangit in peripheria e h z.] Contingat in puncto e. Protrahatur ergo a b usque ad e: d sit centrum uisus. Superficies, in qua sunt lineae d g, a g secabit speculum super circulum, communem superficiei reflexionis et speculi [per 1 th. 1 sphaer.] Sit arcus illius circuli z p: similiter linea com- munis superficiei reflexionis et speculi, in qua sunt d g, b g: et arcus illius circuli sit h p. Palam [e 29 n 5] quod b reflectitur ad d ab aliquo puncto arcus h p. Si a puncto illo ducatur contingens: secabit lineam b g, et punctum sectionis erit finis contingentiae [per 17 n 5.] Sit punctum illud m. Palam etiam, quod si a puncto m ducatur contingens arcum circuli e h: cadet contingens illa citra e: quo- niam a b contingit in puncto e, et punctum b est altius puncto m. Cadat igitur in punctum f: quae con tingens producta secabit lineam a e: secet in puncto t: ex alia parte secabit lineam a g: [per 11 ax] se- cet in puncto c. Fiat [per 23 p 1] angulus b g s aequalis angulo b g d: et producatur g s usque ad pun-

ctum l ad aequalitatem lineae d g: erit ergo [per 26 p 3] arcus h s aequalis arcui h p. Et sicut reflecti- tur b ad d, ab aliquo puncto arcus h p: sic reflectetur ad l, ab aliquo puncto arcus h s. Et erit reflexio a pun- cto f, sicut in arcu h p est reflexio a puncto, a quo du- citur contingens ad punctum m. Et illa duo puncta sunt eiusdem longitudinis a puncto m. [Si enim duae rectae ab eodem puncto peripheriam tangentes, duabus se- midiametris connectantur: recta a centro ad idem pun ctum ducta bifariam secabit angulum in centro per 2 consectarium 36 p 3. 15 d. 8 p 1: et peripheriae angulis in centro aequalibus subtensae, et rectę easdem periphe- rias subtendentes aequabuntur per 26. 29 p 3: quare praedicta duo reflexionum puncta a puncto m aequabi- liter distabunt.] Ducantur ergo lineę b f, l f. Item a re- flectatur ad d ab aliquo puncto arcus z p [per 29 n 5.] Verum in triangulo h z p duo arcus h z, h p maiores sunt tertio z p: [per 5 th. 1 sphaericorum Menelai] sed h p est aequalis h s [ex concluso.] Igitur z p est mi- nor z s. Rescindatur z s ad aequalitatem in puncto y [id uero prompte praestiteris, si latus anguli ad ter- minum g rectae g z, aequati angulo z g p, in peripheriam continuaueris: sic enim peripheria angulo aequa- to subtensa aequabitur peripheriae z p per 33 p 6] et ducatur linea g y, quę producta ad aequalitatem g d, necessario secabit lineam f l [quia secat angulum z g l.] Secet in puncto x: et sit g x k aequalis g d. Palam, quod sicut a reflectitur ad d, ab aliquo puncto arcus z p: similiter reflectitur ad k, ab aliquo puncto arcus z y. Dico, quod non reflectetur ad ipsum, nisi a puncto, quod est citra f, ex parte z. Si enim dica- tur, quod possit a puncto f, uel alio puncto arcus f y: linea ducta a puncto a ad punctum reflexionis, se- cabit lineam b f: et ad idem punctum sectionis reflectetur punctum k, et ad idem punctum reflectetur punctum b. Et ita duo puncta in his speculis reflectentur ad idem punctum ex eadem parte: quod est impossibile [et contra 29 n 5.] Restat, ut punctum a reflectatur ad k, ab aliquo puncto arcus z f. Si ab illo puncto ducatur contingens: secabit lineam a z, et cadet inter z et c: quoniam punctum f demissius est quolibet puncto arcus z f: et ita contingens a puncto f altior alijs, a punctis arcus z f ductis. Cadat ergo contingens illa in punctum n: et ducatur linea m n: quę quidem linea cum tran- seat per acumen trianguli b m t, et producta diuidat angulum, necessario secabit b t. Secet in pun- cto q: et ducatur linea g q. Sit autem i imago puncti a: o sit imago puncti b: r sit imago puncti q. Pa- lam, cum b sit propinquius puncto g, quam a: erit o remotior a puncto g, quam c [per 7 n.] Ducatur ergo linea i o. Palam etiam [per 18 n 5. 16 p 5] quod proportio a g ad a n, sicut g i ad i n: et proportio b g ad b m, sicut g o ad o m. Cum ergo lineae a g, b g diuidantur secundum hanc proportionem, utraque in duobus punctis, et a punctis diuisionum ducantur lineae, quarum duae, scilicet a b, n m concur- rant ad idem punctum, scilicet q: tertia necessario concurret ad idem punctum [per 9 n.] Igitur i o producta cadet super q. Quare i o q est recta linea. Igitur i o r non erit recta: sed i o r est imago lineę a q. Quare imago lineę a q erit curua. Posito autem puncto b loco puncti q, et aliquo puncto lineae a b posito loco puncti b: erit eodem penitus modo probare, quod imago lineae a b est curua. Et hoc est propositum.

17. Si uisus sit extra superficiem incidentiae: imago lineae rectae infinitae, secantis inaequabili-

ter peripheriam circuli (qui est communis sectio superficierum, reflexionis et speculi sphaerici con- uexi) uidebitur curua. 52 p 6.

SI uero a b secet circulum: secet in puncto e: m finis contingentiae lineae contingentis circulum e h z, a puncto f productae ad lineam b g: b igitur reflectitur ad d ab aliquo puncto arcus h p. Arcus ab illo puncto reflexionis usque ad h, aut est aequalis ar- cui h e: aut maior: aut minor. Si aequalis: palam quod arcus ille est aequalis arcui h f [ut patuit prae- cedente numero.] Sit q punctum circuli, in quod cadit contingens ducta a puncto m ex parte e. Igitur a e transit per punctum q: et ita m q secat a e per pun- ctum e [quia in hoc casu q et e coniunguntur, unumque punctum fiunt.] Si uero arcus ille minor est arcu h e: secabit quidem m q lineam a e ultra punctum q: se- cet in t, ut efficiatur triangulum e q t. Si uero arcus ille fuerit maior arcu h e: secabit quidem linea m q lineam a e citra punctum q. Siue hoc, siue illud fuerit: iteretur probatio, et eodem penitus modo probabitur, quod imago lineae a b est curua. Quod est propositum.

18. Si uisus sit in superficie incidentiae, extra rectam lineam infinitam per centrum circuli (qui est communis sectio superficierum, reflexionis et speculi sphae- rici conuexi) transeuntis: imago illius lineae uidebitur recta. 53 p 6.

AMplius: si in superficie, in qua sunt linea uisa, et centrum sphae- rae, fuerit uisus: (superiora enim dicta sunt, non existente uisu in illa superficie) linea uisa recta, aut concurret cum circulo communi illi superficiei et speculo: aut non concurret. Si concurrat: angulus illarum linearum [quem nimirum efficiunt diameter opti- ca g d et data recta a b continuata per centrum g] cadet super centrum speculi: quae quidem linea uidebitur recta. Imago enim cuiuslibet puncti illius lineae apparet in ipsa linea [per 6 n 5.] Et ita imago il- lius lineae est recta.

19. Si uisus sit in superficie incidentiae: imago lineae rectae, infini- tae peripheriam circuli (qui est communis sectio superficierum, re- flexionis et speculi sphaerici conuexi) tangentis, et ad partem ui- sui oppositam obliquatae, uidebitur punctum. 54 p 6.

SI uero linea proposita declinata fuerit: aut erit declinatio ex par- te uisus: aut ex alia parte. Si ex alia parte: sumatur punctum cir- culi, a quo reflectatur aliquid uisum: [per 39 n 5]: et sumatur li- nea reflexionis aliqua. Aliqua linearum declinatarum cadet forsitan super hanc lineam reflexionis: quod si fuerit: non uidebitur quidem haec linea declinata, nisi secun- dum unum punctum [ducta enim a g secante peripheriam circuli in puncto z: peripheria inter punctum, a quo b reflectitur, et punctum z, continebit puncta reflexionis totius lineae a b, ut pa- tuit 16 n.] Protracta igitur a centro uisus ad centrum speculi linea: sumatur in arcu circuli citra hanc lineam punctum, a quo reflectatur ad uisum aliquod punctum lineae declinatae: sed illud punctum reflectitur a puncto prius assignato, quod est terminus lineae reflexionis, cum li- nea declinata sit supra lineam reflexionis. Et ita illud punctum lineae declinatae reflectitur ad uisum a duobus punctis arcus: quod est impossibile [et contra 29 n 5.] Licet autem reflectatur pun-

ctum illud a puncto primum sumpto: non tamen uidetur, cum sit in linea re flexionis, quae occultatur per praece- dentia puncta. Et ita linea adiacens li- neae reflexionis non uidetur.

20. Si uisus sit in superficie inci- dentiae: imago lineae rectae infinitae, peripheriam circuli (qui est commu- nis sectio superficierum reflexionis et speculi sphaerici conuexi) siue tangen tis, siue non, et ad uisus partem obli- quatae, nulla uidebitur. 55 p 6.

SI uero sumatur linea declinata, cuius declinatio sit ex parte ui- sus, iacens sub linea reflexionis, et secans ipsam in puncto circuli. Dico, quod nullum punctum illius lineae uide bitur. Sumpto enim puncto: si dicatur, quod punctum illud possit reflecti ab aliquo puncto arcus, interiacentis lineam reflexionis, et lineam a centro uisus ad centrum speculi ductam: et ducatur linea ab illo puncto ad punctum arcus sumptum: haec secabit lineam reflexionis: et punctum sectionis reflectetur ad uisum, a duobus punctis arcus speculi: quod est impossibile [et contra 29 n 5.] Si uero dicatur, quod punctum sumptum in linea, reflectatur a puncto arcus circuli, qui est sub ipsa linea: erit impossibile: quia ille totus arcus occultatur a linea.

21. Si uisus sit in superficie incidentiae: imago lineae rectae infinitae, peripheriam circuli (qui est communis sectio superficierum, reflexionis et speculi sphaerici conuexi) nec tangentis nec per centrum secantis, et ad partem uisui oppositam obliquatae, uidebitur curua. 56 p 6.

SI uero linea sumpta non attingat circulum: poterit quidem uideri: sed modicum est. Si uero su- matur linea declinata praedicta inter lineam reflexionis, et lineam per punctum reflexionis pri- mo sumptum transeuntem ad centrum: poterit quidem uideri haec linea: et imminuetur cur- uitas imaginis huius lineae, secundum quod magis accesserit ad lineam transeuntem ad centrum, per

punctum reflexionis. Si uero sumantur lineae inter lineam ad centrum transeuntem per punctum reflexionis: uidebuntur quidem, siue de- clinatio earum sit ex parte uisus, siue non: et modus uisus earum, simi- lis modo uisus linearum inter lineam reflexionis et lineam ad cen- trum transeuntem Et haec quidem intelligenda sunt de lineis con- currentibus in arcu circuli, qui apparet uisui, id est, in arcu, qui inter- iacet duas contingentes, ductas a centro uisus ad circulum. Linearum autem concurrentium cum circulo in parte circuli occulta uisui: ali- qua erit aequidistans lineae reflexionis: et illa quidem non uidebitur. Similiter conterminalis aequidistanti, quae est sub aequidistante, oc- cultabitur: sed conterminalis aequidistanti, supra ipsam existens, po- terit uideri. Si uero sumatur linea inter aequidistantes, non contermi- nalis alicui earum: si fuerit eius declinatio ex parte uisus, uidebitur: si ex alia parte, aliquando uidebitur, aliquando non Quoniam si a ter- mino eius ducatur aequidistans lineae reflexionis: si fuerit linea sub aequidistante: non uidebitur: si supra eam, uideri poterit. Si uero lineae non concurrant cum circulo, aut secabunt lineam ductam a centro uisus ad centrum speculi: aut aequidistabunt ei. Si secet aliqua earum: linea illa aut secabit illam ex parte uisus, id est, inter uisum et specu- lum: aut ultra speculum. Si ultra: occultabitur linea illa, sed forsan ap- parebunt eius capita. Si uero secet lineam uisualem ex parte uisus, apparebit quidem similiter. Si fuerit aequidistans lineae uisuali: poterit uideri. Onium autem harum linearum imagines curuae. Visu autem existente in eadem superficie cum centro speculi et lineis uisis, diminuta est apparentia: et quae sit, quae manifestius apparet, est illa, quae declinata est maxima declinatione, et illa uisum re- spiciente. Pari modo arcuum in his speculis apparentium, et in eadem superficie cum centro specu- li, et uisu existentium, imagines quidem curuae sunt curuitate speculum respiciente. Haec autem intelligenda sunt duplici uisu existente in eadem superficie cum centro speculi, et re uisa. Si enim alter uisus modicum declinetur, quo ad ipsum, alio modo res uisa comprehendetur. Et uisu existente extra superficiem rei uisae et centrum speculi, certior erit ipsius rei comprehensio, quam existente in ea.

22. Si uisus sit in superficie incidentiae: imago lineae rectae infinita, quae uel non concurrens cum superficie speculi sphaerici conuexi, parallela est rectae connectenti centra speculi et uisus, uel

quae cum eadem connectente extra speculum, uersus uisum concurrit: uidebitur curua. 57 p 6.

QVod autem imago rei uisae sit curua, uisu exi- stente in superficie centri speculi et rei uisae, probabitur. Sit d centrum uisus: g centrum spe- culi: h e sit linea uisa: quae quidem h e non concurrat cum circulo speculi, sed sit aequidistans lineę d g: uel secet eam ex parte d. Superficies incidentiae sit, in qua sint lineae d g, h e. Circulus communis huic superficiei et speculo sit a b. Producatur linea h g, et punctum in ipsa z sit imago h: punctum circuli a quo reflectitur h ad d, sit b. Et [per 17 p 3] a puncto b ducatur linea con- tingens, quae secet lineam h g super punctum t: erit t finis contingentiae [per 17 n 5.] Ducatur linea b g: quę pro- ducta necessario concurret cum h e. Si enim h e fuerit aequidistans d g: concurret quidem: per lemma Procli ad 29 p 1] si uero d g concurrat cum h e: multo fortius g b cum eadem concurret. Concursus ille aut erit in linea h e: aut ultra hanc lineam. Sit ultra: concurrat in puncto m: imago puncti m sit q: finis contingentiae sit s: et duca- tur linea z q, et similiter linea t s: at d g secet circulum in a: et [per 17 p 3] ducatur a puncto a contingens a u. Palam [e 24 n 4] quod a b est minor quarta circuli: cum d uideat ex circulo minus medietate.

Quare angulus a g b est acutus: [per 33 p 6] et [per 18 p 3] angulus u a g est rectus. Igitur a u concurret cum b g [per 11 ax.] concurrat in puncto u. Dico, quod pun ctum u cadet supra punctum s. Cum enim m reflectatur a puncto aliquo arcus a b [per 29 n 5] et a sit demis- sius illo puncto: erit finis contingentiae a, altior fine contingentiae illius puncti: et ita s demissius puncto u. Procedat ergo t s, donec concurrat cum linea a u: [concurret autem per 11 ax] et sit concursus in puncto k: et ducatur linea g k: quę producta concurrat cum h m in puncto c: [concurret autem per lemma Procli ad 29 p 1] Punctum c reflectitur ad d ab aliquo puncto arcus a b [per 29 n 5.] Sit illud punctum f: a quo ducatur linea contingens usque ad g c, quę quidem erit demissior linea a k: et erit punctum o demissius puncto k. Sit o finis con- tingentiae. Ducatur linea d f, quousque cadat super g c: cadat in punctum r: et producatur z q usque ad lineam g c: et cadat in punctum l. Dico quod l est supra r. Lineae enim h c, t k, z l aut sunt aequidistantes: aut concurrunt. Sint aequidistantes. Cum ergo h ae aequidiantes

secent lineam g c super tria pun- cta c, k, l, et secent utramque linea- rum m g, h g: et [per 18 n 5. 16 p 5] proportio h g ad h t, sicut g z ad z t: similiter m g ad m s, sicut g q ad q s: erit [per 10 n] proportio eadem g c ad c k, sicut l g ad l k Sed pa- lam [per 3 n 5] quod r est imago c: linea enim d f, linea reflexio- nis, concurrit cum c g in puncto r: et o finis contingentiae. Quare [per 18 n 5. 16 p 5] proportio g c ad c o, sicut g r ad r o: sed [per 8 p 5] maior est proportio g c ad c k, quam g c ad c o: et ita maior g l ad l k, quam g r ad r o: ergo maior est proportio o r ad r g, quam l k ad l g: [quia per 26 p Campani in quintum librum elementorum, ratio l k ad g l minor est, quam ratio o r ad r g] et ita [per 18 p 5] maior est proportio o g ad r g, quam k g ad l g. Sed [per 9 ax. k g maior est o g.] Quare [per 14 p 5] l g ma- ior r g. Igitur r demissius est puncto l. Sed z q l est linea recta: igitur z q r est linea curua. Et ita imago lineae h c est curua. Posito ergo aliquo puncto lineae h e loco puncti m, et puncto e loco puncti c: e- rit probare, quod imago h e est curua. Si uero lineae h c, t s, z q concurrantt: aut erit conncursus ex par te d: aut ex parte h g. Sit ex parte d: et sit concursus in puncto c: erit z q t linea recta: quare z q x eritz q l erit curua. Et ita imago lineae h e curua. Quod est propositum.

23. Imago peripheriae cum uisu in eodem plano sitae, intra speculum sphaericum conuexum sen siliter uisa, curua uidetur. 58. 62 p 6.

SI uero proponatur arcus extra speculum: erit probare de eo, quod imago sit curua, sicut proba tum est, uisu non existente in eadem superficie cum arcu et centro speculi. Et hoc est propositum. Igitur in his speculis lineae rectae apparent curuae, et similiter curuae apparent similiter curuę. Si autem proponatur uisui in his speculis corpus curuum, sed longum, modicam habens latitudinem: ap- parebit quidem corporis illius curuitas manifeste, cum ipsa discerni possit per ea, quae supra corpus sunt, aut infra. Non enim plane discernitur curuitas, nisi magna, ubi occultae fuerint extremitates lon gitudinis et latitudinis. Vnde proposito uisui corpore conuexitatis modicae et quantitatis magnae, non plane discernitur eius conuexitas, licet imago ipsius sit conuexa, cum non appareant termini cor- poris in longitudine uel latitudine. Amplius: errores in speculis planis accidentes, omnes accidunt et in his: et praeter illos, accidit imagines linearum rectarum esse curuas: quod a speculis planis est remotum.

DE ERRORIBVS, QVI ACCIDVNT IN SPECVLIS CO- lumnaribus conuexis. Cap. V.

24. Si a duobus ellipsis cylindraceae punctis sint duae perpendiculares: prima axi, continens cum recta a secundo puncto, ad idem axis punctum ducta acutum angulum: secunda rectae el- lipsin in secundo puncto tangenti: ultra axem et dictum acutum angulum concurrent. 114 p 1. 44 p 7.

AMplius: in speculis columnaribus exterioribus errores accidunt ijdem, qui in speculis sphę- ricis exterioribus. Lineae enim rectae uidentur curuae, et diminuta apparet rei quantitas: sed longe fortius in his, quam in eis. Quoniam in sphęricis res magna apparebit quidem minor, sed non multo minor: sed in his res etiam maxima uiuebitur minima. Similiter linea recta appare- bit curua in speculis sphaericis, sed modicae curuitatis: in columnaribus maximae curuitatis. Vnde multiplicantur errores columnaris speculi super errores sphaerici. Verum in columnaribus aliquan do fit reflexio a linea recta, scilicet a longitudine speculi: aliquando a circulo: aliquando a sectione. Quando linea uisa fuerit aequidistans longitudini speculi, fiet reflexio a linea longitudinis: et linea uisa apparebit recta, modicae curuitatis. Et haec quidem probabuntur: ad quorum probationem ne- cesse quiddam praemitti: quod huiusmodi est. Sumpta columnari sectione, et sumpto in ea puncto, quod non sit punctum reflexionis: si ab illo puncto ducatur linea ad perpendicularem, quae est a pun- cto reflexionis ad axem, et linea illa faciat angulum acutum cum perpendiculari: si ducatur a pun- cto sumpto linea, quae sit orthogonalis super contingentem illud punctum: haec linea concurret cum perpendiculari sub axe, et sub concursu prioris lineae cum perpendiculari. Verbi gratia: sit a e b se- ctio: e punctum datum: n punctum uisum: b punctum reflexionis: b d perpendicularis: e d b angulus acutus: q e l contingens. Super b fiat circulus aequidistans basi columnae [ut ostensum est 47 n 5] sci licet b t o: et ducatur a puncto e linea longitudinis columnae [ut eodem numero demonstratum est] scilicet e t: ducatur axis d h: et [per 11 p 1] ducatur linea d g perpendicularis super lineam b d, in su- perficie circuli. Palam, quod superficies h d g est orthogonalis super superficiem circuli [per 18 p 11: quia ducitur per axem perpendicularem circulo per 21 d 11.] Superficies uero contingens columnam in puncto b, erit aequidistans huic superficiei: quoniam linea longitudinis ducta a puncto b est ęqui distans axi [per 21 d 11.] Et contingens circulum super b est aequidistans d g [per 28 p 1: recti enim sunt anguli g d b per fabricationem, et comprehensus sub tangente in puncto b et semidiametro cir culi d b per 18 p 3.] Igitur superficies, in qua sunt lineae l e, e t non est aequidistans superficiei h d g [quia non est parallela superficiei tangenti ellipsin in puncto b: cum angulus e d b sit acutus ex the-

si.] Concurret igitur cum ea. Concurrat in linea l g: et ducatur linea t g: quae quidem erit contin- gens: cum superficies l e t sit contingens. Du- cta autem linea t d: erit angulus g t d rectus: [per 18 p 3] quoniam t d diameter, [et t g tan- git peripheriam in ipsius termino t.] Fiat au- tem super e circulus aequidistans basi colu- mnae [ut demonstratum est 47 n 5] scilicet e s p: punctum axis in hoc circulo sit k: et du- catur linea k e. Ducatur etiam linea d l: quae quidem secabit superficiem circuli e s p: se- c et in puncto f: ubicunque sit punctum extra circum ferentiam uel intra: et ducantur lineae k f, e f: et [per 11 p 11] a puncto f ducatur per- pendicularis super superficiem circuli b t o: quae sit f m: et ducatur linea t m. Palam, quod k d aequi- distans est et aequalis f m: [Nam cum axis k d et recta f m sint perpendiculares circulo b t o: ille per 21 d 11, haec per fabricationem: erunt ipsae inter se parallelae per 6 p 11: et aequales per 34 p 1: quia circu li b t o, e s p sunt paralleli] et ita [per 33 p 1] k f aequidistans et aequalis d m. Similiter f m aequidistans et aequalis e t: [per 30 p 1: quia e t latus cylindraceum parallelum est axi k d per 21 d 11] et k e aequalis et aequidistans d t: et ita e f erit aequidistans et aequalis t m [per 33 p 1.] Verum superficies k d l est or- thogonalis super superficiem sectionis b e t: [quia per axem ducitur, et angulus g d b in ellipsis pla- no rectus est ex tfhesi] et est orthogonalis super superficiem circuli e s p [per 18 p 11: quia transit per axem, perpendicularem circulo per 21 d 11.] Ergo est perpendicularis super lineam, communem se- ctioni et circulo [per 19 p 11] quae est e f. Igitur [per 3 d 11] angulus e f k rectus. Similiter angulus t m d rectus [per 10 p 11: sunt enim e f, f k parallelae ipsis t m, m d, ut patuit, et in circulis parallelis.] Cum igitur angulus d m t sit rectus: et g t d rectus: [per 18 p 3] multiplicatio d m in m g erit, sicut t m in se. [Nam quia ab angulo g t d recto ducta est t m, perpendicularis basi g d: erit per 8 p 6, ut d m ad m t, sic m t ad m g. Itaque per 17 p 6 rectangulum comprehensum sub extremis d m, g m aequatur qua- drato mediae t m.] Sed quoniam f m aequidistat g l: [Nam cum g l sit communis sectio duorum pla- norum, quorum alterum l e t g speculum tangit, reliquum h d g l per axem secat: utrunque uero per- pendiculare est circulo b t o per 21 d. 18 p 11: erit ipsa g l eidem circulo perpendicularis per 19 p 11. Quare per 6 p 11 erit parallela axi: ideoque per 30 p 1 ipsi f m] erit [per 2 p 6] proportio d f ad f l, si- cut d m ad m g. Sed d f maior d m [per 19 p 1: quia angulus ad m rectus est per fabricationem.] Igi- tur f l maior m g [per 14 p 5.] Igitur maior est multiplicatio d f in f l, quam d m in m g: ergo maior quam t m in se. Quare cum t m sit aequalis e f [ex concluso] erit multiplicatio d f in f l maior ductu lineae e f in se. Quare angulus l e d maior recto. Si enim rectus esset, cum linea e f sit perpendicularis super l d [rectus enim demonstratus est angulus e f k] esset ductus d f in f l aequalis quadrato e f [per 8. 17 p 6.] Restat ergo [per 13 p 1] ut angulus d e q sit acutus. Igitur orthogonalis ducta a puncto e, ortho gonalis, inquam, super contingentem q l, cadet sub linea e d, et concurret cum perpendiculari b d sub puncto d. [Quod enim perpendicularis illa et b d concurrant, patet per 11 ax: quia anguli, e d b et comprehensus ab e d et dicta perpendiculari, sunt acuti: ille per thesin, hic, quia pars est recti, com- prehensi a tangente e q et dicta perpendiculari.] Quod est propositum. His praemissis accedendum est ad propositum.

25. Si uisus, et linea recta, axi speculi cylindracei conuexi parallela fuerint in eodem plano: a toto cylindri latere ad uisum reflecti potest: et imago uidetur linea recta, aequalis paralle- lae. 50 p 7.

PRoponatur columna: [ut in sequente numero] linea aequidistans axi sit t h. erit quidem aequi- distans lineae longitudinis columnae [per 21 d 11. 30 p 1.] Si ergo uisus fuerit in eadem superfi- cie cum axe et linea t h: poterit quidem reflecti linea, et erit reflexio a linea longitudinis colu- mnae, quae est linea communis superficiei, in qua sunt uisus et axis, et superficiei columnę, sicut osten sum est in libro quinto [43. 89 n.] Sic igitur uidebitur linea t h linea recta. Quoniam quaelibet per- pendicularis ducta a puncto lineae t h, erit in eadem superficie cum uisu et axe. Et probabitur imagi nem lineae t h esse rectam, sicut probatum est in speculis planis de rectis lineis [2 n.]

26. Si uisus sit extra planum lineae rectae, axi speculi cylindracei conuexi parallelae: a latere cy lindri fit reflexio. 30 p 7.

SI autem uisus sit extra superficiem lineae t h, et axis: et t h aequidistet axi: qui axis sit z k: fiat su- perficies per uisum transiens, secans superficiem columnae aequidistanter basi: [ut ostensum est 47 n 5] secabit quidem secundum circulum [per 5 th. Sereni de sectione cylindri.] Sit circu- lus ille b f. Aliquod igitur punctum lineae h t reflectitur ad uisum, ab aliquo puncto huius circuli: sit punctum b: et uisus it e: punctum illud lineae t h, sit q: et ducantur lineae e b, q b, q e. Et ducatur a pun cto b linea longitudinis [ut monstratum est 47 n 5] quae sit a b g: et ducatur a puncto b perpendicu- laris, cadens super axem in puncto l [cadet uero per lemma Procli ad 29 p 1: quia latus cylindraceum et axis sunt paralleli per 21 d 11] quae sit m l: et ducatur a puncto e linea aequidistans l m: quae sit e o: et ducatur q b, quousque concurrat [concurret autem per allegatum Procli lemma] sit concursus in puncto o. Palam, quod angulus q b m est aequalis angulo e b m: [anguli enim m b g, m b a recti per fabricationem et 29 p 1, aequantur per 10 ax. itemque q b g, e b a per 12 n 4: quare reliqui q b m, e b m aequantur.] Sed [per 29 p 1] angulus q b m aequalis est angulo b o e: quia l m aequidistans o e. Simi liter [per eandem 29] angulus m b e aequalis angulo b e o: quia coalternus. Igitur angulus b o e ae- qualis est angulo b e o. Quare [per 6 p 1] latera b o, b e aequalia. Sumatur autem aliud punctum in linea t h: quod sit t: et ducatur linea t o. Palam, quod linea t h aequidistat lineae longitudinis, quae est a g [per 30 p 1: quia t h ex thesi parallela est axi, cui latus cylindraceum parallelum est per 21 d 11.] Ergo sunt in eadem superficie: [per 35 d 1] et in illa superficie est linea q b o [per 7 p 11: quia conne- ctit t h et a g.] Quare in eadem erit linea t q [per 1 p 11.] Secabit igitur lineam a g. Secet in puncto g. Ducatur linea e g. Palam etiam [per 8 p 11] quod linea a g est perpendicularis super superficiem circuli b f, sicut axis, cui aequidistat, [per 21 d 11.] Et superficies illius circuli, est pars superficiei, e o b f, secans scilicet columnam aequidistanter basi. Igitur [per 3 d 11] angulus g b o est rectus, et an- gulus g b e est rectus. Ergo [per 47 p 1] quadratum lineae g o ualet quadratum lineae b g et qua-

dratum lineae b o. Similiter quadratum g e ua let quadrata g b et b e. Et quoniam b e et b o sunt aequales: [per conclusionem] et g b com munis: erit g o ęqualis g e [quia ipsarum qua- drata aequalia.] Igitur [per 5 p 1] angulus g o e ęqualis angulo g e o. Ducta autem perpen- diculari super axem z g n: aequidistans erit e o: [per 30 p 1] cum sit aequidistans m b l. Igitur [per 29 p 1] angulus t g n aequalis angulo g o e: et angulus n g e aequalis angulo g e o: quare angulus t g n aequalis n g e. Cum autem t g o, n g z sint in eadem superficie, in qua g. Ergo puncta o, g, t erunt in eadem superficie: et ita in eadem superficie sunt lineę e g, o g t g [per 1 p 11.] Igitur t reflectitur ad e a puncto g. Sumpto autem in linea t h puncto h eiusdem longitudinis a puncto q, cuius est punctum t, et linea ducta h o: transibit quidem per punctum lineae a g: transeat per punctum a: ductaque a puncto a super axem perpendiculari d a, et linea e a: erit, sicut prius, probare: quod duo anguli a b o, a b e recti: et duo latera a o, a e aequalia: et duo anguli h a r, e a r aequales: et ita h reflectetur ad e a puncto a. Similiter sumpto quocunque pun cto lineę t h: erit probare, quod reflectatur ab aliquo puncto lineę a g. Quare linea t h reflectetur a linea longitudinis, quae est a g.

27. Si uisus sit extra planum lineae rectae, axi speculi cylindracei conuexi parallelae: imago ui- debitur parum curua, et minor ipsa parallela. 51 p 7.

REstat probare imaginem lineę t h esse curuam. Palam ex praedictis, quod q reflectitur ad e a pun cto b, quod est punctum circuli. Sed cum sic reflectatur a circulo: si ducatur linea a puncto q, ad centrum illius circuli: concurret cum perpendiculari ducta a puncto b: [quia perpendicu laris illa transit per eiusdem circuli centrum, ut ostensum est 16 n 5] et erit concursus in puncto axis. Ducatur ergo q l, concurrens cum m l in puncto axis: quod est l: et est centrum circuli f b: et produ- catur e b, quousque concurrat cum q l. Sit concursus in puncto c. Erit c imago q: et est c in superficie, in qua sunt lineae q h, et axis, et linea longitudinis a g [per 1 p 11.] Palam etiam [e 31 n 4] quod t refle ctitur ad e, a puncto sectionis columnaris, scilicet a puncto g. Est autem a puncto t unam ducere per pendicularem, super lineam contingentem in aliquo puncto sectionem: quae quidem concurret cum perpendiculari ducta a puncto g: quae est n g z, sub axe, id est, sub puncto z: quod est concursus per- pendicularis n z et axis [per 24 n.] Quoniam ducta linea t z: erit angulus t z n acutus: [quia conti- nuato axe k z ultra z in y: erit angulus n z y rectus per fabricationem et 29 p 1.] Producatur n z ultra z in x. Ducatur ergo t x, concurrens cum n z in puncto x: et producatur e g, donec concurrat cum t x in puncto i. Erit i imago puncti t [per 4 n 5.] Similiter ducta a puncto h linea, quae sit orthogona lis super lineam, contingentem speculum in puncto aliquo sectionis, a quo h reflectitur ad e: concur- ret cum perpendiculari d a r, sub puncto d, quod est punctum axis [per 24 n.] Concurrat in puncto p: et producatur e a, donec concurrat cum h p in puncto s. Erit imago puncti h punctum s [per 4 n 5.]

Ducatur autem linea s t. Palam, cum linea t i concurrat cum perpendiculari n z, quae est aequidistans lineę e o: concurret cum linea e o per lemma Procli ad 29 p 1.] Sit concursus in u. Similiter linea h s, quoniam concurrit cum perpendiculari d a r, quae est aequidistans e o: concurret cum e o. Sed quo- niam situs t, respectu puncti e, idem est cum situ h et eadem longitudo: [quia t h parallela est axi ex thesi.] Similiter situs puncti t et puncti h ad punctum q idem [ut praecedente numero patuit] et pun ctorum i, s, respectu o, etiam est idem: erit idem situs linearum t i, h s, respectu lineae e o. Igitur li- neae t i, h s concurrent super idem punctum lineae e o. Concurrant in puncto u. Erit ergo t u h triangu- lum, et in superficie huius trianguli erit linea i s. Axis autem non est in eadem superficie: uerum t h est in eadem superficie cum axe. [ex thesi.] Igitur superficies illa secat superficiem trianguli, super lineam communem: quae est t h, non super aliam. Cum ergo punctum c sit in superficie lineae t h et axis, et non sit in linea t h: non est in superficie trianguli t u h: et duo puncta i, s sunt in superficie il- lius trianguli. Quare linea i c s est linea curua: et imago lineae t h erit curua. Quod est propositum. Sed eius curuitas est modica: quia perpendicularis ducta a puncto c ad punctum sectionis lineae i s et superficiei circuli, est ualde parua. Et quanto maior fuerit linea uisa, aequidistans lineae longitudi nis speculi: tanto imago eius erit minus curua: et quanto minor, tanto magis.

28. Si uisus sit in communi sectione planorum, lineae rectae et axis speculi cylindracei conuexi,

inter se perpendicularium: fiet reflexio a peripheria circuli, qui est communis sectio plani lineae et superficiei speculi: et imago uidebi- tur curua. 52 p 7.

AMplius: si linea t h secet superficiem, in qua sunt centrum ui- sus et axis, et sit orthogonalis super eam. Visus aut erit in illa superficie lineae t h, secante orthogonaliter superficiem axis et uisus: aut extra. Si fuerit in superficie illa: aut supra lineam t h: aut infra. Si supra, cum illa linea sit corporalis, occultabit uisui speculum: et ita non reflectetur, sed forsan capita eius apparebunt et reflecten- tur a circulo columnae, qui communis est superficiei lineae t h, secanti columnam, et columnae. Et erit horum capitum imago, sicut in sphae ricis exterioribus [21 n.] Similiter si uisus fuerit sub linea t h: occul- tabitur pars eius propter caput, in quo est uisus. Pars autem lineae uisae reflectitur a circulo, eodem penitus modo, quo in exterioribus sphęricis.

29. Si uisus aequabiliter distans a terminis lineae rectae, sit extra eiusdem planum, perpendiculare plano axis speculi cylindracei con- uexi: imago maxime curua uidebitur. 53 p 7.

SI uero uisus fuerit extra superficiem lineę t h, orthogonaliter se- cantem superficiem uisus et axis: sit e uisus: et b g x columna: reflectetur h ad e ab aliquo pun- cto columnae: sit a puncto b: et sit t eiusdem longitudinis a puncto e, cuius est h. Dico, quod t reflectetur ad e ab aliquo puncto columnae. Et cum puncta h, t sint eiusdem situs et eiusdem lon- gitudinis a puncto e: erunt similiter puncta reflexionum, scilicet b, g eiusdem longitudinis et eiu- dem situs a puncto e. Igitur duo puncta b, g erunt in circulo. Sit circulus b z g: eius centrum d: et ducantur lineae h b, b c, t g, g e: et a centro ducantur perpendiculares, super contingentes circulum in punctis b, g, scilicet d b o, d g s: et ducatur linea e d. Cum puncta h, e sint eiusdem situs et longitu dinis, respectu e, et respectu d: et similiter puncta b, g, eiusdem situs, respectu e et respecti d: habe- bunt lineae h b, t g eundem situm, respectu lineae e d. Et ita concurrent in idem punctum illius li- neę. Sit concursus in puncto l. Fiat linea longitudinis columnae, [ut ostensum est 47 n 5] in qua punctum z: et sit haec linea in superficie uisus et axis: quae sit a z: et ducantur lineae l z n, d z c: q sit punctum lineae t h, punctum scilicet, quod est in superficie uisus et axis: et a puncto q ducatur linea aequidistans lineę d z c [per 31 p 1] cadet quidem hęc linea super axem: [per lemma Procli ad 29 p 1] et l z n cadet in hanc lineam supra punctum q. Cadat in punctum n. Palam ex praedictis [12 n 4] quod angulus h b o ęqualis est o b e: sed [per 15 p 1] angulus h b o aequalis est angulo l b d, per con- trapositionem: et [ per 32 p 1] angulus o b e aequalis est duobus angulis b e d, b d e: quia extrinse- cus. Ergo angulus l b d ęqualis est duobus angulis b e d, b d e. Fiat ergo angulus m b d aequalis angulo b d e [per 23 p 1] remanet angulus m b l ęqualis angulo b e l. Quare ductus e m in m l ae- qualis quadrato b m [triangula enim m e b, m b l sunt ęquiangula: quia angulus m b l ęqualis con- clusus est angulo m e b, et communis utriusque trianguli est b m e: reliquus igitur m l b ęquatur reliquo l b e per 32 p 1. Quare per 4 p 6 erit, ut e m ad m b, sic m b ad m l. Ergo per 17 p 6 rectangu- lum comprehensum sub extremis e m et m l, ęquatur quadrato medię m b.] Ducatur linea m z. Quoniam igitur angulus b d m maior est angulo z d m: [Nam propter similem situm punctorum reflexionis b et g, ęquatur angulus s d e angulo o d e: sed angulus s d e maior est angulo z d m per 9 ax. Quare angulus o d e, id est, b d m maior est angulo z d m] et duo latera z d, d m ęqualia duo- bus lateribus b d, d m: [ęquantur enim z d, b d per 15 d 1: et d m est communis] erit [per 24 p 1] m b maior m z: quare ductus e m in m l maior est quadrato z m. Sit ductus e m in m i aequalis quadrato m z: [per 11 p 6, ut demonstratum est 6 n] et ducantur lineę i b, i z. Erit ergo angulus m z ęqualis angulo z e i, [est enim per proximam fabricationem et 17 p 6, ut e m ad m z, sic m z ad m i. Sunt igitur duo triangula e m z, i m z lateribus circa communem angulum i mz propor- tionalia: itaque per 6 p 6 sunt ęquiangula, et angulus m z i ęquatur angulo z e i.] Quare m z l ma- ior angulo z e d. Sed quoniam angulus m b d positus est ęqualis augulo b d m: erit [per 6 p 1] linea m b ęqualis lineę m d: sed m b maior m z, [ut patuit.] Quare m d maior m z. Igitur [per 18 p 1] angulus m z d maior angulo m d z. Igitur d z l maior duobus angulis z d e, z e d, [constat enim e duobus angulis m z l et m z d,

quorum ille angulo z e d, hic angulo z d e maior est conclusus.] Sed angulus d z l ęqualis est an- gulo n z c [per 15 p 1] et angulus e z c ęqualis duobus angulis z d e, z e d [per 32 p 1.] Quare an gulus n z c maior est angulo e z c: secetur ad ę- qualitatem per lineam f z: quę quidem concur- ret cum linea n q: [per lemma Procli ad 29 p 1: quia n q, c d sunt parallelę per fabricationem.] Concurrat super punctum f. Cum ergo angulus f z c sit ęqualis angulo c z e: reflectetur f ad e a puncto z. [per 12 n 4] q uero reflectetur ad e a puncto lineę longitudinis, quę transit per z a pun cto, quod est ultra z. Si enim a puncto citra z, id est propinquiore e: linea ducta a puncto q ad punctum illud reflexionis, secabit lineam f z: et ita punctum sectionis reflectetur ad e a duobus punctis: quod est impossibile [et contra 46 n 5.] Sumatur ergo ultra punctum z punctum k, a quo reflectatur q ad e: et ducatur linea e k, donec con currat cum linea n q, in puncto p [concurret au- tem per lemma Procli ad 29 p 1.] Erit p imago q [per 4 n 5.] Sed h reflectitur ad e a puncto sectionis columnę [sunt enim h et e in diuersis planis.] Si ergo a puncto h ducatur perpen- dicularis super lineam, contingentem sectionem in aliquo puncto: perpendicularis illa concur- ret cum perpendiculari c z d sub axe [per 24 n.] Concurrat in puncto u. Similiter a puncto l est ducere unam perpendicularem super sectio- nem, a cuius puncto reflectatur t ad e. Et quo- niam [ex thesi] puncta h, t sunt eiusdem situs, respectu lineae e d, et puncta sectionis similiter, per quae transeunt perpendiculares ab ipsis du- ctae. Igitur illae duae perpendiculares concurrent in idem punctum lineę e d. Concurrant ergo in puncto u. Et quia linea e b concurrit cum h u: sit concursus in puncto r. Similiter e g concurrat cum t u in puncto y: et ducatur linea r y. Palam [per 4 n 5] quod r est imago h: et y est imago t: et habemus triangulum e r y: extra superficiem huius trianguli est punctum z: et in superficie huius trianguli altior est linea e p: et ita p est extra. Quare linea r p y erit curua: et illa est imago lineae t h. Et est quidem hęc imago curuitatis non modicae. Quod est propositum. Palam ergo, quod in his speculis, si linea recta uisa ęquidistans fuerit lineę longitudinis columnae: erit imago eius recta, aut accedens ad rectitudinem. Si uero linea recta uisa ęquidistans fuerit columnae: erit imago eius cur- ua, curuitate non modica. Lineę autem inter has duas sitę, quę magis accedunt ad situm lineę ęqui- distantis, respectu columnę, habebunt imagines suas rectitudini magis uicinas: et imagines earum, quae propinquiores sunt situi ęquidistantium latitudini, erunt magis curuę: et minuetur, uel augmen tabitur curuitas imaginum secundum accessum uel elongationem linearum ad alterum horum si- tuum. Et hoc est propositum.

DE ERRORIBVS, QVI ACCIDVNT IN SPECVLIS pyramidalibus conuexis. Cap. VI.

30. Si duae rectae a duobus puntis ellipsis conicae, inaequabiliter a uertice distantibus, sint per- pendiculares duabus rectis, ellipsin in dictis punctis tangentibus: ultra axem concurrent. Opor tet autem ut perpendicularis a puncto propiniquiore, et recta a longinquiore ad axem ductae, acutum angulum comprehendant. 113 p 1. 45 p 7.

AMplius: in speculis pyramidalibus exterioribus ijdem errores accidunt, qui in sphaericis ex- terioribus eueniunt. Lineę enim uisę ęquidistantes, respectu pyramidis, aut rectę uidentur, aut forte ęquidistantes latitudini curuę: et intermedię augmentant uel diminuunt curuita- tem secundum propinquitatem earum uel remotionem. Et hoc probabitur. Quiddam tamen prę- mittendum proponamus: et est. Si sumatur in superficie pyramidis, punctum reflexionis: et fiat se- ctio transiens per punctum illud: et in sectione sumatur punctum remotius a uertice pyramidis, puncto reflexionis: et a puncto sumpto ducatur perpendicularis super contingentem sectionem: haec perpendicularis concurret cum perpendiculari super contingentem sectionem ducta a pun- cto reflexionis, sub axe. Verbi gratia: sit a b g z pyramis erecta super basim suam: a uertex pyrami- dis: b f z sectio: e punctum reflexionis: z punctum sectionis remotius a puncto a quam e. Super pun- ctum z fiat superficies secans pyramidem aequidistanter basi [ut ostensum est 52 n 5.] Secabit qui- dem super circulum communem [per 4 th. 1 coni. Apol.] Sit circulus ille g b r z: et ducantur lineae a z, a e: et producatur a e, donec sit aequalis a z: ueniet quidem ad circulum [per 18 d 11: quia est la- tus conicum.] Cadat ergo in punctum eius o: et c sit centrum circuli: et ducatur axis a c: et a pun- cto e ducatur perpendicularis super superficiem contingentem pyramidem [per 12 p 11.] Concur- ret quidem [per 11 ax.] cum axe citra centrum circuli, quod est c: sit in puncto d: et ducatur linea d z, continens angulum acutum cum perpendiculari e d: et a puncto o ducatur perpendicularis super lineam a o, concurrens cum axe in puncto k: et ducatur linea k z: et super punctum z ducatur con- tingens sectionem, quae sit t q: et alia contingens circulum b g z: [per 17 p 3] quae sit z y: et ducatur linea b c z: et a puncto c ducatur perpendicularis super lineam b c z: [per 11 p 1] quae sit c r. Erit qui- dem perpendicularis super axem: [per 3 d 11] cum axis sit perpendicularis super superficiem circu- li: [per 18 d 11.] Quare [per 4 p 11] c r est perpendicularis super superficiem a c z: et erit aequidi- distans z y contingenti [per 28 p1: quia anguli interiores ad c et z sunt recti: ille per fabricationem,

hic per 18 p 3] Quare z y est perpendicularis super superficiem a c z [per 8 p 11.] Quare t q non est per- pendicularis super eandem superficiem. Verum quoniam k est polus circuli b r z: [quia est in axe co nico per fabricationem] palam, cum lineae k o, k z sint aequales [per 5 defin. 1 sphaericorum Theodo- sij,] et axis a k communis, et a o aequalis a z [per 18 d 11: quia utraque est latus conicum] quod erit an- gulus a o k aequalis angulo a z k [per 8 p 1] et ita an- gulus a z k rectus: [quia a o k illi ęqualis, rectus est: cum k o sit perpendicularis a o per fabricationem.] Cum ergo linea k z sit perpendicularis super a z, quae est linea longitudinis: erit perpendicularis super su perficiem, contingentem pyramidem, super hanc li neam longitudinis [ut demonstratum est 54 n 5.] Sed t q est in superficie contingente: quia est commu- nis sectio superficiei contingenti et sectioni. Igitur k z est perpendicularis super t q [per 3 d 11.] Duca- tur autem h z in superficie sectionis perpendicula- ris super lineam t q [per 11 p 1.] Cum autem linea k z sit extra superficiem sectionis: secabit lineam h z, nec erit una linea [per 1 p 11.] Quare illa superficies k z h secat superficiem sectionis, super lineam h z com- munem: et secat lineam t q super punctum z: et superficies h z t secat superficiem d z k, super lineam communem k z: uerum d z est in superficie se- ctionis, et secatur a linea k z in puncto z: et punctum t est supra superficiem k z h, punctum q infra: et ita superficies k z h secabit superficiem d z q super lineam communem: et illa linea communnis est perpendicularis super lineam t q: quia linea illa est in superficie h z k, super quam est perpendicula- ris t q [ut ostensum est.] Et quoniam superficies h z k secat superficiem d z q: et declinatio superfi- ciei h z k a superficie sectionis fit ex parte z c: erit linea communis sectioni illarum superficierum in- ter lineas q z, d z. Et ita concurret cum perpendiculari sub axe. Et quod necessario concurrat, pro- batum est in libro quinto [quia anguli e d z, d z p sunt acuti: ille per thesin, hic, quia pars est recti t z p.] Et ita est propositum.

31. Linea recta tota ab uno speculi conici conuexi latere ad uisum reflecti po- test. 41 p 7.

SIt ergo pyramis: cuius uertex a: axis a h: linea longitudinis a z. Et a puncto z ducatur perpendi- cularis super superficiem, contingentem pyramidem in linea a z [per 12 p 11] quae necessario concurret cum axe [per 11 ax. quia angulus h a z est acutus per 17 p 1: cum a d z sit rectus per 18 d 11.] Sit linea t z h. Ducatur a puncto a linea extra pyramidem, ultra superficiem contingentem pyramidem in linea a z, faciens angulum acutum cum axe et cum linea longitudinis a z: quae sit a n. Et in superficie a h n a puncto h ducatur linea, cum axe faciens angulum aequalem angulo a h z: quae linea necessario concurret cum linea a n: [per 11 ax. quia anguli n a h et a h z ex thesi acuti, sunt mi- nores duobus rectis] quae sit h o. Et facto super punctum z circulo aequidistante basi: [ut ostensum est 52 n 5] transibit h o per circulum, sicut h z transit per ipsum. Ducatur linea o z: et producatur ad punctum f. Quoniam linea o z secat superficiem, contingentem pyramidem in linea a z: cum li- nea h z sit perpendicularis super illam superficiem: [per fabricationem] erit angulus o z h maior recto: quia a z h rectus est [per fabricationem.] Igitur [per 13 p 1] angulus f z h acutus. A puncto z du catur contingens circulum [per 17 p 3] quae sit m z: et a puncto f ducatur perpendicularis super a z, [per 12 p 1] cadens in punctum eius e: quae producta concurrat cum a o [per 11 ax.] quoniam angulus o a z

est acutus [ex thesi.] Concurrat igitur in puncto n. Et [per 31 p 1] a puncto e ducatur aequidistans lineę z h: et sitq e: et a puncto e ducatur ęqidistans m z: quę sit e l. Palam [per lemma ad 37 th. opticorum Eucli dis: uel per 42 th 6 libri συναγωγῶν μαθηματικῶν Pappi] quod m z est perpendicularis super a e: quo- niam a h est perpendicularis su- per circulum, per z transeuntem, [per 18 d 11] et m z super diame- trum illius circuli [per 18 p 3] quia contingit. Igitur l e est per- pendicularis super a e [per 29 p 1] et producatur q e ultra e: hęc concurret quidem cum axe: [per lemma Procli ad 29 p 1] concur- rat in d. Fiat autem superficies l e, d q secans pyramidem: erit quidem sectio pyramidalis: [per 5 th. 1 con. Apoll. quia l d q planum ob- liquum est ad axem.] Cum ergo a e sit perpendicularis super f n, et super q d, et super l e: erit f n in superficie illa secante pyramidem [per 5 p 11.] Fiat ergo in illa superficie p f aequidistans q e: erit ae- quidistans t z [per 9 p 11] uerum cum angulus f z h sit acutus: [per conclusionem] erit angulus t z f obtusus [per 13 p 1.] Ducatur a puncto z linea, faciens cum t z angulum, aequalem angulo o z t: quę quidem linea necessario secabit f p [per lemma Procli ad 29 p 1: quia z t, f p sunt parallelae.] Secet in puncto p: et ducatur linea p e. Cum ergo p z, o z sint in eadem superficie, et angulus o z t ęqua- lis angulo t z p [per fabricationem] reflectetur o ad p a puncto speculi z [per 12 n 4.] Et quia an- gulus o z t aequalis est angulo z f p: [per 29 p 1, et t z p aequalis z p f per eandem: quare z f p, et z p f aequantur] erunt latera z p, z f aequalia [per 6 p 1.] Et quia angulus f e z rectus [quia a o perpendicularis est ipsi f e n] quadratum f z ualet quadrata e z, e f: et quadratum p z ualet quadrata e z, e p [per 474 p 1.] Igitur p e, f e aequalia: [Quia enim z p, z f aequales iam conclusae sunt: erunt ipsarum quadrata aequalia: subducto igitur communi quadrato z e: relinquentur qua- drata e p, e f aequalia: ideoque ipsorum latera e p, e f] et ita [per 5 p 1] e p f, e f p anguli erunt aequales. Quare anguli n e q, q e p aequales. [nam per 29 p 1 anguli n e q, e f p: item p e q, e p f aequantur: itaque per 1 ax. n e q, p e q aequantur.] Et cum in eadem superficie sint, quae est p e n: refle- ctetur n ad p a puncto e [per 12 n 4.] Similiter si ducatur quaecunque linea a puncto f ad aliquod pun- ctum z e, et producatur usque ad o n: probabitur de puncto lineae o n, in quod cadit, quod refle- ctetur ad p a puncto lineae z e, quod secat illa linea. Simili modo et omnium huiusmodi linea- rum probatio sumet initium a perpendiculari, quae est f e, et a parte lineae e z: quae erit com- munis omnibus illis triangulis. Et ita quodlibet punctum lineę o n reflectetur ad p ab aliquo pun- cto lineae e z.

32. Si linea recta oblique inciderit uertici speculi conici conuexi: reflectetur a latere coni- co ad uisum inter dictam lineam et speculi superficiem situm: eiusque imago parum curua ui- debitur. 55 p 7.

HOc declarato dicamus. Cum uisus comprehenderit lineas rectas, transeuntes per uerti- cem speculi pyramidalis conuexi recti, obliquas super axem speculi: tunc formae earum e- runt parum conuexae. Sit ergo speculum pyramidale erectum a b c: cuius uertex sit a: et cuius axis sit a d: et extrahamus in superficie eius lineam a z [ut ostensum est 52 n 5] quocun- que modo sit: in qua signetur punctum z, quocunque modo sit. Et transeat per z superficies ae- quidistans basi pyramidis: et faciat circulum z u [faciet autem per 4 th con. Apol.] Et extraha- mus ex z perpendicularem z h super a z [per 11 p 1.] Haec ergo linea concurret cum axe pyrami- dis [per 11 ax. ut patuit praecedente numero.] Concurrat ergo in h. Et extrahamus ex z line- am contingentem circulum: [per 17 p 3] et sit z m: et extrahamus ex a lineam continentem cum utraque linea a z, h a angulum acutum: et sit extra superficiem, contingentem pyramidem, tran- seuntem per lineam a z. Et hoc est possibile: [quia angulus h a z est acutus per 18 d 11. 32 p 1:] Sit ergo a n: et extrahamus ex puncto h lineam in superficie, in qua sunt a n, a h, continentem cum a h angulum aequalem angulo a h z. Haec ergo linea concurret cum a o: [per 11 ax.] nam duo anguli ad a, h sunt acuti. Concurrant ergo in o. Linea ergo h o concurret cum cir- cumferentia circuli z u. Nam angulus a h o est aequalis angulo a h z. Concurrat ergo in u: et extrahamus a u recte: et extrahamus perpendicularem h z ad t: et continuemus o z, et extrahamusrecte ad f: et extrahatur a z ad e. Angulus igitur f z b erit acutus: quia linea o z secat superficiem, contingentem pyramidem, transeuntem per a z: linea ergo a z est sub dif- ferentia communi inter superficiem o z h et superficiem contingentem. Et haec difierentia conti- net cum linea h z angulum rectum, [per fabricationem.] Angulus ergo e z h obtusus: ergo angu- lus f z h acutus [per 13 p 1.] Ponatur ergo in z f punctum f: a quo extrahatur perpendicularis f e su- per a e: et extrahatur recte. Concurret ergo cum linea a o: [per 11 ax.] nam angulus o a e est acutus [per thesin, et ad e rectus est.] Concurrat ergo in n. Et extrahatur ex e linea e d aequidistans z h li- neae [per 17 p 3.] Erit ergo [per 8 p 11] e d perpendicularis super superficiem, contingentem pyra- midem, transeuntem per a e: et extrahatur ex e linea aequidistans lineae z m: et sit e l. Et extrahatur superficies, in qua sunt lineae l e, e d. Secabit ergo superficiem pyramidis, et faciet sectionem [per 5 th. 1. con. Apoll.] Nam haec superficies est obliqua super axem a d. Sit ergo sectio d e c: et in z est

perpendicularis super superficiem a z h: et hoc declaratum est in prae- dictis. [praecedente numero, per lemma ad 37 theor. opticor. Eucli dis.] Ergo linea l e est perpendi- cularis super superficiem a e d [per 8 p 11.] Ergo angulus a e l est re- ctus. Et similiter angulus a e d re- ctus est [per 29 p 1] et a e n simili- ter rectus. Ergo [per 5 p 11] lineae l e, n e, d e sunt in eadem superfi- cie. Ergo linea f e n est in superfi- cie sectionis. Et extrahatur ex f li- nea aequidistans lineae d e: [per 31 p 1] et sit f r. Hęc ergo linea aequi- distat lineae h z [per 30 p 1.] Et extrahatur ex z in superficie o z h, linea continens cum z t angulum, aequalem angulo o z t. [per 23 p 1.] Haec ergo linea concurret cum f r [per lemma Procli ad 29 p 1] quia secat z h aequidistantem f r: et est in superficie eius: quia z f est in superficie eius [per 35 d 1.] Concurrat ergo in r. Ergo duo an- guli, qui sunt apud r, f, sunt aequales: sunt enim aequales duobus angulis, qui sunt apud z [nam per 29 p 1 o z t, z f r: item t z r, z r f aequantur.] Duae ergo lineae r z, f z sunt aequales [per 6 p 1.] Et de- claratum est, quod linea f e n est in superficie sectionis: et linea f r est aequidistans e d: est ergo in superficie sectionis [per 35 d 1]. Et continuemus r e: erit ergo [per 7 p 11] in superficie sectio- nis: et extrahatur d e ad k. Et declaratum est, quod e a est perpendicularis super superficiem se- ctionis: uterque ergo angulorum a e r, a e f rectus est: [per 3 d 11] et duae lineae f z, r z sunt ęqua- les [per conclusionem.] Ergo duae lineae r e, f e sunt ęquales. [Quia enim anguli a e r, a e f sunt recti: quadrata z e, e f aequantur quadrato z f per 47 p 1: itemque quadrata z e, e r quadrato z r: at quadrata laterum z f, z r aequalium aequantur: quare ablato communi quadrato z e: quadrata e f, e r, ideoque latera e f, e r aequabuntur.] Ergo [per 5 p 1] duo anguli e r f, e f r sunt aequa- les. Ergo forma n reflectetur ad r ex e: [per 12 n 4: quia anguli n e k, r e k aequantur, cum per 29 p 1 aequentur aequalibus ad f et r] et forma o reflectetur ad r ex z. Et omnis linea extracta ex f ad aliquod punctum lineae o n, secabit a e. Et patet, quod linea illa erit aequalis lineae extractae ex r ad idem punctum. Nam a e est perpendicularis super superficiem, in qua sunt lineae r e, f e: nam haec superficies est superficies sectionis: et duae lineae r e, f e sunt aequales. Ergo omnes duae lineae extractae ex r, f ad unum aliquod punctum lineae a e, sunt aequales. Patet ergo, quod forma puncti, quod est in o n, reflectetur ad r ex illo puncto, quod secatur in z e. Et similiter de omni puncto posito in a n ultra n, si copulatum fuerit cum f per lineam rectam, illa linea secabit a e ul- tra e. Patet ergo ex hoc, quod forma lineae a n, et quicquid continuatur cum ipsa, reflectetur ad r a superficie pyramidis a b g ex linea recta. Et similiter omnis linea extracta ex a, obliqua super axem. Et continuemus n d: secabit ergo circumferentiam sectionis: nam duo puncta d, n sunt in superficie sectionis, et n est extra circumferentiam sectionis: et d est intra sectionem. Secet ergo circumferentiam sectionis in c. Et quia triangulum a o h est in eadem superficie [per 2 p 11] erit [per 1 p 11] n d in superficie trianguli a o h: c ergo est in superficie trianguli a o h: et duo purcta a, u sunt in su- perficie trianguli huius a o h: sed puncta a, u, c sunt in superficie pyramidis. Ergo puncta a, u, c sunt in differentia communi superficiei pyramidis, et superficiei a u d: sed haec differentia est linea re- cta [per 18 d 11.] Ergo puncta a, u, c sunt in linea recta. Extrahatur ergo a u recte ad c: et extra- hatur r z recte: secabit ergo o h [quia secat angulum z h o basi h o subtensum, et utraque z r et h o sunt in uno plano.] Secet ergo in puncto p. Est ergo p in superficie trianguli a o h. Continuetur ergo a p, et transeat recte. Secabit ergo n d in g [quia secat angulum d a n.] Et quia f non est in su- perficie pyramidem contingente, transeunte per lineam a z: [ex concluso] erit angulus f e d acutus. [Nam quia per conclusionem punctum f est in plano sectionis seu ellipsis, obliquo ad a d e planum axis, per 5 th. 1 con. Apol. et angulus a e f rectus est conclusus: erit angulus f e d acutus:] et angulus d e n est obtu sus [per 13 p 1.] Igitur angulus e n d est acutus [per 32 p 1.] Et sit linea c x contingens sectionem in pun cto c. Patet ergo, ut in praedicta figura [30 n] quod angulus d c x est obtusus: et quod perpendicularis extracta ex c super c x, secabit angulum d c x: et concurret cum e d sub d. Ergo haec perpendicularis secet e d in s. Perpendicularis ergo extracta ex n super lineam contingentem sectionem, secabit sectionem ultra s: sed remotius a d quam s: nam istę perpendiculares concurrent ultra circumferentiam sectionis. Perpendicularis ergo extracta ex puncto n super lineam contingentem sectionem, non secabit angulum d c x: erit ergo re- motior ab n e, quam sit n d. Ergo haec perpendicularis secat a d supra d. Sit ergo perpendicularis ex- tracta ex n super lineam contingentem sectionem, linea n q. Et r e secat e n, et secat circumferentiam sectio- nis: et est in superficie eius: et n q est in superficie sectionis. Si ergo r e extrahatur recte, secabit n q [quia continuata secat angulum n e q.] Secet ergo in y: et superficies a n d secabit superficiem sectionis. Item quia punctum e est extra superficiem a n d: (nam superficies a n d non est superficies sectionis [in qua est punctum e] quia punctum a est extra superficiem sectionis: et quia a e est perpendicularis super superfi ciem sectionis, et e est in circumferentia illius) ergo n c d est differentia communis superficiei a n d et superficiei sectionis: et n q concurrit cum sectione ultra c [ut patuit.] Ergo n q est ultra superficiem a n d: y ergo est ultra lineam a p g [quae non est in superficie a n d.] Si ergo uisus fuerit in r, et forma alicuius uisibilis reflectatur a linea longitudinis: tunc p erit imago o: [per 4 n 5] et y erit imago n: et a uidebitur in suo loco: quia est in uertice pyramidis. Et erit immago lineae a o n linea transiens per puncta a, p, y: sed haec linea est conuexa: quia est ultra lineam a p g. Sit ergo linea a p y. Et paruit iam, quod formae omnium punctorum, quae sunt in a n, reflectantur ad r ex a e. Lineae ergo radiales, per quas refle ctuntur illae formae, sunt in superficie trianguli r a e. Omnes ergo imagines lineae a n sunt in hac su- perficie. Ergo linea a p y conuexa est in hac superficie: et p est propinquius r quam y. Et erit conuexitas imaginis huius ex parte uisus: et erit conuexitas parua: et diameter huius imaginis e- rit minor ipsa linea, modica quantitate. Imagines ergo linearum rectarum, quae extrahuntur ex uertice pyramidis oblique super axem: comprehenduntur a uisu in tali speculo conuexae. Et for- mę harum linearum reflectuntur a lineis rectis extensis in longitudine pyramidis. Et hoc est, quod uoluimus declarare.

33. Si recta linea sit parallela latitudini speculi conici conuexi: et uisus sit extra planum di- ctae lineae basi parallelum: reflectetur ab ellipsi: et imago uidebitur maxime curua. 56 p 7.

FOrmae uero linearum aequidistantium latitudini speculi pyramidalis conuexi, reflectuntur a lineis conuexis in superficie speculi: et conuexitas harum linearum patet, ut in speculo columnari conuexo [29 n.] Et per illam eandem uiam etiam similiter patebit, quod imagines harum li- nearum erunt nimium conuexae et manifestae sensui. Et erit centrum uisus extra superficies, in qui- bus est conuexitas formarum harum linearum. Et erunt diametri imaginum harum linearum mul- to minores ipsis lineis.

34. Si recta linea nec uertici speculi conici conuexi oblique incidat, nec latitudini eius sit paral- lela: imaginem uariae obliquitatis pro uario situ uisui offeret. 57 p 7.

DE lineis uero obliquis existentibus inter hos duos modos, quę appropinquant in suo motu lineis extensis in longitudine pyramidis, habent formas parum conuexas: quę uero appropin quant lineis aequidistantibus latitudini pyramidis, habent formas manifeste conuexas.

35. In speculo conico conuexo imago conica uidetur. 58 p 7. 40 p 6.

SEd tamen lineae tortuosae, quae appropinquant uertici pyramidis, habent formas minores, et strictiores et conuexiores. Quae uero appropinquant basi pyramidis, habent formas amplio- res, propter illud, quod declaratum fuit in speculusspeculis sphaericis conuexis: scilicet quod quanto minus fuerit speculum, tanto minores erunt circuli, qui cadunt in superficiem eius: et sic ima- gines erunt propinquiores centro: idcirco erunt minores. Et similiter sectiones, quae cadunt in speculum pyramidale, quae sunt ex parte uerticis pyramidis, sunt strictiores et minores: et sic ima- go erit propinquior puncto, in quo concurrunt perpendiculares, exeuntes a linea uisibili perpendi- culariter super lineas contingentes lectiones, quae sunt differentiae communes: et ideo istę ima- gines erunt minores. Sectiones uero, quae sunt ex parte basis pyramidis, e contrario. Vnde ac- cidit, ut forma comprehensa in speculo pyramidali conuexo sit pyramidata: quod scilicet fuerit ex parte uerticis speculi, erit strictius, et quod ex parte basis, erit amplius: et conuexitas latitudinis formae erit manifesta.

36. Imago uisibilis propinqui speculo conico conuexo, maior: longinqui, minor uidetur. 59 p 7.

ET accidit etiam in his speculis, quod quanto magis res uisa appropinquauerit speculo, tanto uidebitur maior: et quanto magis erit remota, tanto uidebitur minor. Fallaciae ergo, quae ac- cidunt in his speculis, sunt similes in omnibus dispositionibus, illis, quae accidunt in specu- lis columnaribus conuexis, praeterquam in pyramidatione formae.

37. Imago figuratur quodammodo a suo speculo. 38 p 5.

ET omnino forma rei uisae, quae comprehenditur per reflexionem, semper assimilabitur formae superficiei speculi, a qua reflectitur forma. Et huius caussa est, quod semper locus imaginis est ex forma superficiei speculi et ex loco concursus perpendicularium. Ideo semper superfi- cies speculi habet aliquam dignitatem in forma rei uisae, quae comprehenditur in speculo. Fallaciae uero compositae in hoc speculo, similes sunt fallacijs in praedictis speculis.

DE ERRORIBVS, QVI ACCIDVNT IN SPECVLIS sphaericis concauis. Cap. VII.

38. In speculo cauo allucinationes frequentiores et maiores accidunt, quam in plano et con- uexo. Vitell. in prooemio 8 libri.

IN his uero plures errores accidunt, quam in omnibus speculis conuexis et superficialibus. Accidunt enim in ijs, quę in illis accidunt, scilicet debilitas lucis et coloris: et diuersitas situs et remotionis. Nam caussa huius est tantum reflexio, non forma speculi. Accidit etiam in his speculis ex diuersitate quan- titatis, plus erroris, quam in speculis conuexis. Nam in conuexis in maiore parte res comprehenditur minor: in concauis uero quandoque coprehenditur maior: quandoque minor: quandoque secundum quod est: et hoc secun dum diuersitatem positionum ex speculo et ex uisu, prout nos declarabimus in hoc capitulo. Accidit etiam in his speculis, quod unum uisibile uidetur duo, et tria, et quatuor: et non est ita in speculis superficialibus et conuexis. Vnum enim uisibile non comprehenditur in illis, nisi unum: in concauis uero non. Item ordinatio par tium rei uisae comprehenditur in speculis conuexis et superficialibus, secundum quod est: in speculis uero conca uis in pluribus sitibus alio modo. Et hęc duo: scilicet comprehensio unius ut unum: et comprehensio ordina tionis partium, secundum quod est, non habet aliquam deceptionem in speculis sphaericis conuexis. Et cum in his speculis sphęricis concauis accidit deceptio: patet, quod nihil comprehenditur in huiusmodi speculis, nisi cum fallacia, aut semper, aut aliqua hora secundum diuersitatem positionis. Debilitas uero lucis et coloris, et diuersitas positionis, et distantia accidunt in his speculis, sicut in alijs semper, et in omni positione. Quantitas uero, et forma, et numerus habent deceptionem in his speculis in aliquibus sitibus, prout decla- rabimus. De numero uero declaratum est in capitulo de imagine [66. 67. 69. 70. 71. 72 n 5] quod unum uisum in speculis concauis habet unam imaginem, et duas, et tres, et quatuor: et quod forma rei uisae sem per comprehenditur in loco imaginis. Veru unum uisum comprehensum in speculis sphaericis concauis etiam forte comprehenditur unum, et forte duo, et forte tria, et forte quatuorr: quod non accidit in specu- lis sphaericis conuexis et superficialibus. De ordinatione uero partium rei uisae dictum est in capitulo de imagine [65 n 5] quod forma unius puncti reflectitur ex circumferentia unius circuli: et quod uisi- bilia, quorum imagines retro post uisum, et ante, et in centro uisus, apparent dubia non certificata: e: quod est huiusmodi, non habet ordinationem partium, sicut ipsa res uisa habet. Et hoc etiam est in his speculis aliter, quam sit in speculis conuexis et superficialibus. Caussae autem huius rei declaratae sunt in capitulo de imagine. Restat ergo declarare, quod illud, quod comprehenditur in his speculis, forte comprehen- ditur maius: et forte minus: et forte ęquale: et quod in quibusdam positionibus comprehendetur con- uersum, et in quibusdam erectum: et quod erectum in huiusmodi speculis comprehendetur concauum, et conuexum, et rectum: et quod conuexum et concauum comprehenduntur etiam aliter quam sint. Et haec etiam sunt ex diuersitate ordinationis partium rei uisae. Et nos declarabimus haec hoc modo.

39. Si uisus et uisibile fuerint intra speculum sphaericum cauum, in recta linea extremis suis a centro aequabiliter distante: imago uidebitur ultra speculum, maior uisibili. 46 p 8.

SIt speculum sphaericum concauum, cuius centrum a: et secetur superficie plana, transeunte per cen- trum: et faciat circulum b g [faciet autem per 1 th 1 sphaer.] Extrahatur ab ipsius centro linea quocunque modo sit: et diuidatur in duo aequalia: [per 10 p 1] et ponatur a centrum, et in distantia a o facia- mus circulum: et sit e z: et ponatur in linea o u punctum t casualiter, quocunque modo sit: et ex t extrahan- tur lineae t n, t m, rectę super lineam a u: [per 11 p1] et extrahantur ex t lineae t e, t z tangentes circulum e z: [per 17 p 1] et continuemus a e, a z, et transeant ad b, g: et continuemus t b, b g: et [per 31 p 1] protrahamus b m aequidistantem ad a u, et g n etiam aequidistantem a u: et continuemus a n, a m, et extra hantur recte. Quia ergo a o est, sicut o u: erit a e, sicut e b, et a z, sicut z g [diametri enim circuli b g bifariam sectae sunt in punctis e, o, z, per peripheriam e o z.] Et quia t e tangit circulum e z: erit [per 18 p 3] t e perpendicularis super a b: et similiter t z perpendicularis super a g. Linea ergo b t est, sicut t a, et t g, sicut t a: et angulus t b a, sicut angulus t a b, et angulus t g a, sicut angulus t a g. [per 4 p 1: quia duo latera ae, e b ęquantur ex concluso, et commune est e t, angulique ad e deinceps recti sunt per 18 p 3: itemque duo latera a z, z g, et commune t z, angulique ad z recti.] Et quia b m est aequidistans a u: [e fabrica- tione] erit [per 29 p 1] m b a, sicut angulus b a t. Ergo angulus m b a est, sicut angulus a b t: et simi- liter angulus t g a, sicut angulus a g n. Cum ergo uisus fuerit in t: et m b fuerit aliquod uisibile: tunc forma m extendetur per lineam m b, et reflectetur ad uisum per lineam b t: et formam extendetur per lineam n g, et reflectetur per g t. Visus ergo t comprehendet puncta m, n ex punctis b, g, et lineam m n ex arcu b g [per 66 n 5.] Et quia m t est perpendicularis super a t: [per fabricationem] erit angu- lus m t b acutus: [per 32 p 1] et quia angulus b m t est, sicut angulus m t u. [per 29 p 1: ideoque angu- lus b m t rectus est, cum m t u sit rectus per fabricationem.] Ergo [per 19 p 1] t b est maior b m, et linea t b est aequalis lineae a t: [per conclusionem.] ergo linea a t est maior linea b m, et sunt aequidistantes. Er- go t b concurret cum a m. [si enim ex trapezio a m b t fiat parallelogrammum (aequato nempe latere b m ipsi t a, cumque eodem connexo) patebit per lemma Procli ad 29 p 1, a m concurrere cum t b:

quia coneurrit cum ipsius parallela.] Concurrant ergo in f: f ergo est imago m. [per 6 n 5.] Et sic declarabitur, quod t g concurret cum a n. Concurrat in q: q ergo erit imago n. Et continuemus f q: quae est diameter i- maginis m b. Et quia t e, t z sunt aequales: [per consectarium Campani ad 36 p 3] erunt anguli t a e, t a z aequales [per 8 p 1: quia a e, a z aequantur per 15 d 1, et a t est commune latus] et erunt lineae t b, t g aequales [per 4 p 1: quia a b, a g aequan tur per 15 d 1] et lineae b m, g n aequales. [Quia enim b a, g a aequantur per 15 d 1, et a t est communis, angulusque b a t aequa lis conclusus est angulo g a t: aequabitur per 4 p 1 angulus b t a angulo g t a, ideoque per 13 p 1 angulus u t b angulo u t g. Quare cum anguli ad t deinceps recti sint per fabricationem: aequabitur per 3 ax. angulus b t m angulo g t n, et anguli ad m et n recti per 29 p 1, aequantur per 10 ax. Itaque per 26 p 1 b m aequatur g n: et m t ipsi n t] et lineae a m, a n aequales [per 4 p 1: quia latera m t, n t ęqualia conclusa sunt, et commune est a t, angulique ad t deinceps recti] et proportio a f ad f m, sicut proportio a t ad m b [per 4 p 6: quia triangula a t f, m b f sunt aequiangula per 29. 32 p 1.] Et proportio a q ad q n est, sicut proportio a t ad n g. Ergo proportio a f ad f m est, sicut proportio a q ad q n [per 7 p 5: quia ratio a t ad b m et ad g n eadem est, cum b m aequalis ostensa sit ipsi g n] et a m est sicut a n [per conclusionem.] Ergo a f est sicut a q. [Quia enim per conclusionem est, ut a f ad f m, sic a q ad q n: erit per 16 p 5, ut f a ad a q, sic f m ad q n: ergo per 19 p 5 ut a m ad a n, sic a f ad a q: sed a m aequalis ostensa est ipsi a n. Quare a f aequalis est a q.] Ergo f q aequidistat n m [per proxi- mam conclusionem et 2 p 6.] Ergo f q est maior m n [per 4 p 6: quia a f ad a m, sicut f q ad m n: sed a f maior est a m per 9 ax: ergo f q maior est m n: sed f q est diameter imaginis n m. Ergo si uisus fuerit in t, et linea m n fuerit in aliquo uisibili: tunc uisus comprehendet formam maiorem, quam sit.]

40. Si uisus fuerit sublimior uisibili intra speculum sphaericum cauum extremis suis a cen- tro aequabiliter distante: imago uidebitur ultra speculum, maior uisibili. 47 p 8.

ITem: iteremus circulum b g: et lineam a u: et lineas a b, a g, t b, t g: et super punctum t sit perpen- dicularis super superficiem circuli b g [per 12 p 11] et sit t k: continuemus k a, k b, a g. Superfici- es ergo k b a, k g a secant sphaeram super centrum suum perpendiculariter, et superficies tangen tes ipsam [per 18 p 11.] Ex ipsis ergo reflectitur forma:

et duae differentiae communes inter has duas superficies et sphaeram, sunt circuli magni [per 1 th 1 sphęr.] a quorum circumferentia reflectumtur formae. Et extrahamus b m in superficie b k aequidistantem a k: et sit minor, quam a k: et continuemus a m, et extrahatur recte: et extrahatur k b, donec concurrat cum a m in f [concurret autem, ut proximo numero ostensum est: quia b m minor est a k per sabrica- tionem.] Et extrahatur n g in superficie k g a: et sit aequi- distans a k: et ponatur aequalis b m: et continuemus a n, et extrahatur recte, donec concurrat in q: et continuemus m n, f q. Quia ergo b t est sicut t a [ut superiore numero demonstratum est] erit b k, sicut k a [per 4 p 1: nam t k com mune latus est utriusque trianguli b t k, a t k, et anguli ad t recti per 3 d 11] et g k, sicut k a: ergo b k est, sicut g k: et [per 5 p 1] angulus k a b est, sicut angulus k b a: et simi- liter angulus k g a est, sicut angulus k a g. Ergo angulus b m est, sicut angulus a b k [quia per 29 p 1 angulus a b m aequatur angulo k a b, cui aequalis conclusus est a b k] et angulus a g n est, sicut angulus a g k. [Nam per 29 p 1 angulus a g n aequatur angulo k a g, cui aequalis ostensus est angulus a g k.] Ergo erit angu lus a b m, sicut angulus a g n. [Quia enim g k aequalis conclusa est ipsi b k: et a g, a b aequantur per 15 d 1: et commmunis est a k: aequabuntur anguli a b k, a g k per 8 p 1: et his ęquantur per proximam con clusionem a b m, a g n. Quare a b m, a g n aequantur] et linea b m, sicut linea g n: [ex fabricatione] tunc li nea a m erit, sicut linea a n: [per 4 p 1: quia a b, b m ęquantur ipsis a g, g n, et angulus a b m angulo a g n] tunc duę lineae f q, m n erunt aequidistantes: [per z p 6, ut proximo numero demonstratum est] tunc f q erit maior linea m n. Tunc quando uisus fuerit super punctum k, et fuerit linea m n in aliquo uisibili in- feriore: tunc forma m extendetur super lineam m b, et reflectetur per lineam b k in superficie circu li, transeuntis per puncta b, a, k: et forma puncti n extendetur super lineam n g, et reflectetur super lineam g k in superficie circuli, transeuntis per tria puncta g, a, k. Et erit imago puncti f punctum m: [per 6 n 5] et punctum q erit imago puncti n: et erit linea f q diameter imaginis n m. Et iam decla- rauimus [superiore numero] quod linea f q est maior linea m n. Tunc quando uisus fuerit super punctum k, et fuerit linea m n in aliquo uisibili: tunc uisus apprehendet formam maiorem re uisa. Et sic, si reuoluerimus totam figuram in circuitu lineae a u, ipsa immobili: tunc punctum k faciet circu lum perpendicularem super lineam a u. Et sic omne punctum illius circuli habebit situm, respectu lineae comparis m n, sicut est situs k respectu m n. Si ergo uisus fuerit in aliquo puncto circumferen tiae huius circuli, et linea compar lineae m n, fuerit in superficie alicuius rei uisae: tunc uisus compre hendet formam illius lineae maiorem. Et similiter si extrahamus t k recte, et posuerimus in ipsa ali- quod punctum praeter k, et extraxerimus lineas semper ab illo puncto, quod est quasi punctum k: erit modus eius sicut modus puncti k. Ex his ergo duabus figuris patet, quod in sphaericis speculis concauis et multa et ex multis sitibus comprehenduntur maiora.

41. In speculo sphaerico cauo imago interdum aequatur uisibili: et quae inter uisum et specu- lum, euerfa, quae pone uisum, erecta est. 48 p 8.

ITem: sit speculum sphaericum a b circa centrum e: et extrahamus superficiem transeuntem per e: et faciat circulum a b: et extrahamus ex e lineam e z, quocunque modo fuerit, usque ad g: et ex g extra hamus g d perpendicularem super superficiem circuli a b: [per 12 p 11] et in ipsa signemus pun- ctum d, quocunque modo fuerit: et continuemus d e: et extrahamus ipsam usque ad o: et extrahamus e b ita, ut contineat cum e d angulum obtusum: et extrahamus e a ita, ut contineat cum e d angulum, aequalem angulo d e b: et continuemus d a, d b. Sic ergo superficies duorum triangulorum d a e, d b e secant se super lineam d e: et duo anguli acuti d b e, d a e erunt aequales. [per 4 p1: nam semidiame- tri e a, e b aequantur per 15 d 1, et d e communis est: angulique d e a, d e b aequantur per fabricationem.] Extrahamus ergo ex b lineam in superficie trianguli d e b, continentem cum e b angulum, aequalem angulo d b e. Haec ergo linea concurret cum linea d e: quia angulus b e d est obtusus, et angulus, qui est apud b, est acutus. [quia enim angulus d e b est obtusus per fabricationem, reliquus b e o est a- cutus per 13 p 1, et e b o acutus, quia ęquatus est d b e acuto. Quare d e, b o concurrent per 11 ax. ] Con currant in o: et extrahamus etiam ex a lineam in superficie trianguli d a e, continentem cum a e angulum, aequalem angulo d a e. Concurret ergo cum d e in o: quia duo an-

guli a e o, b e o sunt aequales [per fabricationem et 13 p 1] et an- guli, qui sunt apud a, b, sunt aequales [itaque per 26 pi 1 b o, a o ae- quantur: ideoque concurrunt in eodem puncto continuatae lineae d e.] Et extrahamus e t ita, ut contineat cum e b angulum rectum: et extrahamus t e ex parte e, et b o ex parte o: et concurrant in h, [concurrent autem per 11 ax: quia angulus h e b rectus est per fabricationem, et e b o acutus per conclusionem] et erit e t ae- qualis e h [per 26 p 1: anguli enim ad e deinceps recti aequan- tur: itemque ad b per fabricationem: et b e commune latus est u- triusque trianguli b e t, b e h] et b t aequalis b h. Et similiter extra hamus e k ita, ut contineat cum e a angulum rectum: et extra- hamus illam ex parte e: et extrahamus a o, et concurrant in l [con current autem per 11 ax. ut proxime ostensum est.] Sic ergo k e erit aequalis e l, et k a aequalis a l, et t e aequalis e h [per 26 p 1, ut patuit.] Et continuemus t k, l h. Erunt ergo aequales [duo enim latera e l, e h aequalia conclusa sunt duobus lateribus e k, e t, et angulus l e h aequatur angulo k e t per 15 p 1. Quare per 4 p 1 l h, k t aequantur.] Si ergo uisus fuerit in d, et l h fuerit in aliquo ui sibili: tunc d comprehendet l h in speculo a b: et erit t imago h: et k imago l [per 6 n 5.] Sic igitur t k erit diameter imaginis l h: et est ei ęqualis. Si ergo reuoluerimus totam figuram, l h immo bili: tunc d faciet circulum. Et si uisus fuerit in aliquo puncto il lius circumferentiae, poterit comprehendere aliquod uisibile, compar lineę l h: et erit imago eius aequalis ei. Et similiter si ui- sus fuerit in o, et res uisa fuerit t k: erit imago aequalis rei uisae. Sed tamen cum res uisa fuerit l h, et uisus fuerit d, fueritque imago t k: erit imago conuersa: si h fuerit in dextra, erit t in sinistra: et si h fuerit in sinistra, erit t in dextra: et si h suerit supra lineam, erit t infra lineam: et similiter l. Et si res uisa fuerit t k, et uisus fuerit o, et imago fueris l h: forma est recta. Nam imago l h erit retro uisum, et comprehendetur ante rem uisam, sicut declarauimus in capitulo ima ginis quinti tractatus [60 n.] Et uisus comprehendet h, quod est imago t in linea h o, et l, quod est imago k, in l o. Patet ergo, quod in speculis concauis comprehendatur res uisa quandoque aequalis sibi.

42. In speculo sphaerico cauo imago inter uisum et speculum aliquando minor est uisibili et euersa: pone uisum aliquando maior est, et erecta. 49 p 8.

ITem: extrahamus b h recte: et in ipsa signemus r, et continemus r e. Sic ergo angulus r e b erit ob- tusus: [quia h e b rectus est per fabricationem] et extrahamus r e ad n. Sic ergo t b erit maior b n: [Quia enim angulus b e r obtusus est: ergo r e continuata ultra e faciet cum e b angulum acutum per 13 p 1, minorem recto b e t, et terminabitur in linea b d inter puncta b et t. Quare b t erit maior b n] er go linea r b est maior b n. [superiore enim numero t b aequalis conclusa est ipsi b h, et r b maior est b h per 9 ax: ergo r b maior est t b. Quare eadem multo maior est b n] et [per 3 p 6] proportio r b ad b n est, si-

cut proportio r e ad e n. [angulus enim n b r bifariam secatur per lineam b e, ut patuit proximo numero.] Quare linea r e est maior quam linea e n. Et extrahamus a l recte in m: et sit a m aequa- lis b r: et continuemus m e, et transeat usque ad u. Erit ergo m e maior quam e u [Quia enim latera e a, m a aequantur duobus lateribus e b, r b per 15 d 1, et proximam fabricationem, et angulus e a m aequalis conclusus est superiore numero angu lo e b r: erit per 4 p 1 basis m e aequalis basi r e, et angulus m e a ęqualis angulo r e b, per conclusionem obtuso: ergo m e a est obtusus, et a e u acutus per 13 p 1. Quare cum angulus a e u sit minor angulo m e a, et u a e ęqualis e a m per coclusionem: reliquus a u e maior erit reliquo a m e per 32 p 1: ideoque per 19 p 1 in triangulo a u m latus m a maius latere a u: sed ut m a ad a u, sic m e ad e u per 3 p 6: quia angulus m a u bifariam sectus est per rectam a e, ut patuit proximo numero. Quare m e ma ior est e u.] Et continuemus m r, n u: erit ergo m r maior quam n u [Nam quia anguli e a u, e b n aequales conclusi sunt, et an- guius a e u aequatur angulo b e n per 13 p 1: quia anguli m e a, r e b aequales demonstrati sunt, et a e ipsi e b: ęquabitur e u ipsi e n per 26 p 1: et m e aequatur ipsi r e per conclusionem, et an- gulus u e n angulo m e r per 13 p 1: erit per 7 p 5 m e ad r e, si- cut u e ad n e. Quare cum triangula m e r, u e n sint per 6 p 6 aequiangula: erit per 4 p 6, ut m e ad e u, sic m r ad u n. Itaque cum m e maior sit per conclusionem ipsa e u, erit m r maior u n.] Si ergo m r fuerit in aliquo uisibili, et uisus fuerit in d: erit n u diameter imaginis m r: et n u est minor quam m r. Et si uisus fuerit in o, et u n fuerit in aliquo uisibili: erit m r ima- go n u: et est maior quam n u. Sed cum m r fuerit uisibile, et n u fuerit imago, et d uisus: erit imago con- uersa. Et si res uisa fuerit n u, et uisus o: imago m r erit recta. Nam imago si fuerit ultra uisum, uide- bitur ante. Et omne punctum imaginis uidebitur in linea, in qua est de lineis radialibus.

43. In speculo sphaerico cauo imago inter uisum et speculum aliquando maior est uisibili, et euerfa: pone uisum aliquando minor est, et erecta. 50 p 8.

ITem: signemus in linea o h punctum q: et continuemus q e: et transeat ad p: et sit o f aequalis o q: [per

3 p 1] et continuemus e f, et transeat ad i. Erunt ergo duę li- neae p e, e i maiores duabus lineis e f, e q: [Quia enim angu lus a e l rectus est, ut patuit 441 n: erit a e f acutus. Itaque f e con- tinuata ultra e, faciet cum a e angulum obtusum per 13 p 1, et cadet ultra e k. Erit igitur a i maior a k: sed a k aequalis conclusa est ci tato numero ipsi a l: ergo a i maior est a l, ideoq multo maior ipsa a f. Et quia angulus i a f bifariam sectus est per rectam a e: erit per 3 p 6 ut i a ad a f, sic i e ad e f: sed cum i a maior sit a f: erit i e maior e f. Eodem argumento p e maior demonstrabitur ipsa e q] et erit linea p i maior quam linea f q [cum enim duobus supe- rioribus numeris aequalitas tum rectarum e h, e l, tum angulo- rum e h q, e l f demonstrata sit: et l f aequetur h q: quia tota a l ae- qualis est toti b h e concluso duorum numerorum praecedentium, et pars o f parti o h per thesin: aequabitur reliqua l f reliquę h q per 19 p 5: et erit per 4 p 1 e f aequalis e q, et angulus l e f angulo h e q. Et quia anguli recti a e l, b e h: item a e o, b e o ęquantur: re- liquus l e o aequabitur reliquo h e o, et l e f aequalis ostensus est ipsi h e q: ergo f e o aequatur q e o, et per 15 p 1, 1p 1. 1 ax. d e i ipsi d e p, et d e a aequatus est d e b, 41 n: reliquus igitur i e a aequatur reli quo p e b, et i a e aequalis conclusus est ipsi p b e, et a e aequalis ipsi b e per 15 d 1. Quare per 26 p 1 i e aequatur ipsi p e, et angu- lus i e p angulo f e q per 15 p 1. Ergo per 7 p 5. 6 p 6 triangula i e p, f e q sunt ęquiangula, et per 4 p 6, ut i e ad e f, sic p i ad f q: sed i e mai or est e f e concluso: ergo p i maior est f q.] Si ergo uisus fue- rit in o, et p i in aliquo uisibili: erit f q imago p i: et f q est minor quam p i: et f q uidebitur super duas lineas a o, b o. Erit ergo for- ma retro uisum, et minor quam res uisa: et erit recta. Et si uisus fue rit in d, et f q fuerit in aliquo uisibili: erit p i imago f q: et est maior quam f q: et erit forma ante uisum con uersa. Patet ergo, quod in speculis concauis comprehenditur forma rei uisae minor, et maior, et aequalis.

44. Si uisus sit citra centrum speculi sphaerici caui, uisibile ultra: imago tum uisibilis, tum ui- dentis, euersa et minor uidebitur. 51 p 8.

ITem: sit speculum concauum a b: et centrum g: et habeat superficiem planam, transeuntem per cen trum, et faciat circulum a b: et extrahamus lineam g d, quocunque modo sit: et transeat ex parte g ad e: et sit uisus in e: et sit t in superficie uisus: et extrahamus t h perpendiculariter super lineam e d: [per 11 p 1] et sit z t ęqualis t h: et comprehendat e punctum h ex a: et g h producta in p, compre- hendat arcum a p maiorem quarta circuli. Sic ergo erunt duo puncta a, h, a duobus lateribus puncti g. Nam si in eodem essent: tunc linea, quae exiret a speculo ad a, non diuideret angulum, quem conti nent duae lineę radiales, per ęqualia [sicque, ut ostensum est 66 n 5, reflexio nulla fieret.] Et extraha- mus lineas e a, a h, g a, g h: et transeat g h recte ad k: duo ergo anguli apud a erunt ęquales: [per the- sin et 12 n 4] et erit k imago h [per 6 n 5.] Et sit arcus b d ęqualis arcui d a: [fiet autem ęqualis per 33 p 6, si per 23 p 1 ęquaueris angulum d g b angulo d g a] et continuemus lineas e b, b z, b g: et extra- hamus z g ad l: et secet z b diametrum d g in f. Erunt ergo duo anguli apud b ęquales: [Quia enim a g, b g ęquantur per 15 d 1, et communis est g f, angulusque a g f ęquatus est angulo b g f: ęquabi- tur basis a f, basi b f, et angulus f a g angulo f b g per 4 p 1. Eadem de caussa e a g, e b g aequantur, quia angulus b g e ęquatur angulo a g e per 13 p 1. Quare cum anguli ad a ęquentur, anguli ad b ęquabun- tur.] Et comprehendetur z a uisu ex b: [per 12 n 4] et erit punctum l imago z: [per 6 n 5] et continue mus k l: erit ergo k l diameter imaginis z h. Et quia t h est perpendicularis super d e, et z t est ę-

qualis t h: erunt duę lineę e a, a h ęquales duabus li- neis e b, b z: [Quia enim t h, z t ęquantur per fabrica tionem, et t f communis, angulique ad t recti sunt: ę- quabitur basis h f basi z f per 4 p 1: et a f iam ante ę- qualis conclusa est ipsi b f: itaque tota a h ęquatur to ti b z, et a e, b e ęquantur e concluso] et duo anguli a- pud a sunt ęquales duobus angulis apud b: erit h e ęqualis z e: [per 4 p 1] et linea g h est ęqualis lineę z h [per 4 p 1: quia z t, t h ęquantur per fabricatio- nem, et communis est t g, angulique ad t recti sunt.] Ergo duae lineę a g, g h sunt ęquales duabus lineis b g, g z, et basis a h est ęqualis basi b z: ergo [per 8 p 1] angulus a h k est ęqualis angulo b z l, et angulus h a k est ęqualis z b l: ergo h k est ęqualis z l [per 26 p 1: quia z b ęqualis conclusa est ipsi h a] et linea h g est ęqualis z g: [e concluso] ergo g k est aequalis g l: [per 19 p 5] ergo k l est ęquidistans z h, [per 27 p 1: nam cum anguli ad uerticem g ęquentur per 15 p 1: sitque per 7 p 5 l g ad g k, sicut g z ad g h: ęquabitur per 6 p 6 angulus z l k angulo l z h.] Item angulus h g a est obtusus [ex thesi et 33 p 6] et duo anguli apud a sunt aequales: ergo linea g h est maior linea g k: [Nam quia angulus a g h obtusus: erit per 13 p 1 angulus a g k acutus, et h a g, g a k sunt ęquales ex thesi: quia punctum a est punctum reflexionis: quare per 32 p 1 angulus a k g maior est angulo a h k: et per 19 p 1 in triangulo a h k latus a h maius est a k: sed ut a h ad a k, sic h g ad g k per 3 p 6: quia angu li ad a aequales. Itaque cum a h maior sit a k: erit h g maior g k] et similiter z g est maior, quam g l. Li- nea ergo k l est minor, quam z h [cum enim triangula k g l, h g z sint ęquiangula per 15 p 1. 6 p 6: erit per 4 p 6, ut g k ad g h, sic k l ad z h: et cum g k sit minor g h, erit k l minor z h.] Sed k l est diameter ima- ginis z h: ergo z h uidetur minor, quam sit secundum ueritatem: et linea z h est superficies faciei a- spicientis. Si ergo reuoluerimus circulum a d b, e d immobili: fiet ex duobus punctis a, b circulus in superficie speculi: et erit situs uisus e, respectu cuiuslibet comparis lineae z h ex illo circulo, quem signant puncta z, h, et ex omni arcu compari arcui a b ex portione speculi, quam diuidit circulus, quem signant duo puncta a, b, sicut est situs, quem uisus e habet ex linea z h, et ex arcu a b. Et simili- ter declarabitur, si posuerimus lineam z h maiorem, aut minorem. Patent ergo ex his omnibus quod diame ter superficiei faciei aspicientis comprehenditur in speculo concauo minor, quam sit. Sciendum ergo, quod si fuerit uisus in e: tunc aspiciens comprehendet formam suam minorem, quam sit. Et quia k est imago h, et l est imago z: erit imago conuersa. Et sic uisus e comprehendet suam formam secundum quod est de- xtrum in sinistro, et sursum deorsum, et e contrario. Similiter si uisus fuerit in quolibet puncto, inter quod et superficiem speculi fuerit centrum speculi: comprehendet formam suam conuersam. Et hoc est quod uoluimus. Patet ergo ex his quatuor figuris, quod in speculo concauo imago quandoque comprehen- ditur maior: quandoque minor: quandoque ęqualis: et nunc recta, nunc conuersa. Et in capitulo de ima gine [72 n 5] diximus, quod in speculo concauo imago quandoque erit una: quandoque duę: quandoque tres: et quandoque quatuor: et hoc idem accidit in his prędictis. Illud ergo, quod habet imaginem se maiorem, forte habebit alias minores et ęquales: et quod imaginem habet minorem, forte habebit alias maiores et minores. Et quod rectum uidebitur, forte uidebitur sub alia imagine conuersum, et e contrario. Restat ergo declarare formas eorum, quae comprehenduntur in his speculis.

45. In speculo sphaerico cauo imago lineae rectae aliquando uidetur recta. Et si duo lineae rectae termini reflectantur a duobus punctis peripheriae circuli (qui est communis sectio superficie- rum, reflexionis et speculi sphaerici caui) puncta dictae rectae intermedia a punctis dictae peri- pheriae intermedijs reflectentur. 54. 42 p 8.

SIt ergo speculum sphaericum concauum a b: et extrahamus in ipso speculo superficiem planam, transeuntem per centrum: et faciat circulum a b circa centrum e [faciet autem per 1 th. 1 sphaer.] et extrahamus in hoc circulo duas diametros se secantes a e o, b e d: et speculum non excedat arcum b a d o: et ponamus in b e punctum z, quocunque modo sit: et ponamus in linea a e punctum k: et sit a k maior quam k e: et continuemus z k: et transeat ad f: et continuemus e f: et sit angulus g f e aequa lis angulo z f e [per 23 p 1.] Quia igitur [per 7 p 3] f k est maior k a, et k a est maior quam k e: [ex thesi] erit f k maior quam k e: angulus ergo f e k maior est angulo e f k: [per 18 p 1] ergo est maior angulo e f g. Linea ergo f g concurret cum linea k e. [si enim non concurrat: erit ad ipsam parallela: itaque per 29 p 1 angulus e f g aequabitur angulo f e k, quo minor est conclusus.] Concurrant ergo in

g. Duae ergo lineae z f, f g reflectuntur propter angu los aquales z f e, g f e: [per 12 n 4] k ergo est imago g, si uisus fuerit in z [per 6 n 5.] Et extrahamus li- neam z l h quocunque modo sit: et continuemus e h, h g, z g: et extrahamus fe usque ad m. Proportio er- go z m ad m g est, sicut proportio z f ad f g [per 3 p 6: quia angulus g f z bifariam sectus est per rectam e f] et [per 7 p 3] z h est maior quam z f, et g h est mi- nor quam g f. Ergo proportio z h ad g h est maior, quam proportio z f ad f g: [ut constat ex 8 p 5] est ergo maior quam proportio z m ad m g. Ergo [per 3 p 6] linea, quę diuidit angulum z h g in duo aequa- lia, secat lineam m g: secat ergo lineam e g. Secet ergo lineam e g in r: ergo angulus g h e maior est angulo z h e: et h z secet a e in l. Ergo duae lineae z h, h r re- flectumtur propter angulos aequales: [r h e, z h e per 12 n 4] et erit l imago r. Dico ergo, quod forma cu- iuslibet puncti lineae g r reflectitur ad uisum z ex puncto aliquo arcus f h, et non ex alio. Huius rei demonstratio est, quoniam in capitulo de imagi- ne, quinto tractatu in duabus figuris [66 n] dictum est, quod duo arcus a b, d o non possunt esse ta les, quod ex illis reflectatur aliquid de linea e o ad z: et arcus e o non est de speculo: [nam ex thesi ab arcu speculi b a d o fit reflexio, cum ille tantum sub uisum in diametro d b positum cadat] non ergo remanet nisi arcus a d. Sed in tricesima quinta figura [66 n 5] dictum est, quod forma cuiuslibet puncti diametri e o reflectitur ab aliquo puncto arcus a d. Et in tricesima sexta, capitulo de imagine [73 n 5] patuit, quod nunquam reflectitur forma puncti lineae g r ad z ex arcu a d, nisi ex solo puncto.

Forma ergo cuiuslibet puncti lineae g r reflectitur ad z ex uno solo puncto arcus a d. Et ponamus in linea g r punctum c. Dico ergo, quod illud punctum non eritreflectetur, nisi inex arcu f h. Sin autem reflectatur forma c ad z ex u, quod est in arcu a f: et continuemus lineas z u, e u, g u, c u. Linea ergo g u erit maior g f [per 7 p 3] et z u est minor quam z f. Ergo [ut constat ex 8 p 5], pro- portio g u ad z u est maior proportione g f ad f z: ergo maior proportione g m ad m z [quia enim angulus g f z bifariam sectus est per rectam f m: erit per 3 p 6 g f ad f z, sicut g m ad m z.] Linea ergo, quae diuidit angulum g u z per aequalia, secat lineam z m: secat ergo z e: angu lus ergo g u e est minor angulo e u z: ergo angulus c u e multo minor est angulo e u z. [Itaque cum anguli inci- dentiae et reflexionis sint inaequales: nulla a puncto u ad uisum z fiet reflexio, ut patet per 12 n 4.] Et simili- ter de quolibet puncto arcus a u. Forma ergo c non re- flectitur ad z, nisi ex arcu h f. Et dico, quod non po- test reflecti ex arcu h d. Quod si fuerit possibile: refle- ctatur ex q, quod est in arcu h d: et continuemus lineas z q, c q, r q, e q, z r: et extrahamus e h ad n. Li- nea ergo z q est maior quam z h [per 7 p 3], et linea q r est minor quam h r: ergo proportio z q ad q r est mmior proportione z h ad h r: [ut patet per 8 p 5] quae est, sicut proportio z n ad n r [per 3 p 6: quia aigulus r h z bifariam sectus est per rectam h n.] Linea ergo, quae diuidit angulum z q r in duo aequalia, secat ineam n r: secat ergo lineam e r: angulus ergo r q e est maior angulo e q z: angulus er go c q e est multo maior angulo e q z. Hoc idem sequitur in omni puncto arcus h d. Forma ergo c non reflectitur ad z ex arcu h d: neque ex arcu a f. Sed iam patuit, quod omnino debet reflecti ex ar- cu a d. Forma ergo c non reflectitur ad z, nisi ex aliquo puncto arcus f h [nam quod a punctis h et reflexio nulla fiat, patet per 74. 75 n 5.] Reflectatur ergo ex t: et continuemus lineas c t, et z t. Quia ergo t est inter duo puncta f, h: erit linea z t inter duas lineas z f, z h. linea ergo z t secat lineam k l: se- cet ergo lineam ipsam in i: i igitur est imago t [per 6 n 5] et t nullam habet imaginem nisi i. [quia ab uno tantum puncto peripheriae f h sit reflexio per 73 n 5.] Et sic declarabitur, quod imago cuiusli- bet puncti lineę g r est punctum lineae k l: k l ergo est imago g r: et k l est linea recta: quia est pars se- midiametri circuli, a e: et g r est linea recta, quia est pars semidiametri circuli, o e. Ergo comprehen dit formam g r recte in speculo sphaerico a b. Et hoc est quod uoluimus.

46. In speculo sphaerico cauo imagines linearum: conuexae, cauae, aliquando uidentur conuexae, cauae: eademque obliquitate uisum, qua ipsae lineae speculum, respiciunt. 55 p 8.

ET iteremus figuram, et constituamus super lineam g r a duobus lateribus duos arcus, quomo- docunque sint, scilicet g n r, g q r: et sit arcus g n r non secans lineam g h: et ponamus in linea g r punctum m, quomodocunque sit. Forma ergo m reflectitur ad z ex puncto aliquo arcus f h [per

proximum numerum.] reflectatur ergo ex t: et con tinuemus lineas z t, et m t. Duo ergo anguli z t e, e t m sunt aequales [per thesin et 12 n 4.] Linea ergo m t secabit arcum g n r: secet ergo in n: et extrahamus lineam t m in parte m: secabit ergo g q r: secet ergo in puncto q: et continuemus n e: et extrahatur recte: seca bit ergo z t sub linea k l: secet ergo illam in i: et continue mus q e: et extrahamus ipsam recte: secabit ergo z t supra k l: secet ergo ipsam in p. Quia ergo duo angu li ad t sunt aequales: [per thesin et 12 n 4 ] erit i ima go n: [per 6 n 5] et duo puncta k, l imagines duo- rum punctorum g, r. Imago ergo arcus g n r, est linea transiens per puncta k, i, l, ut linea k i l. Sed linea k i l est conuexa ex parte uisus z: et arcus g n r est con- uexus ex parte speculi. Ergo uisus z comprehendet formam lineae g n r conuexae, lineam conuexam. Et quia duo anguli apud t sunt aequales [nimirum p t e, q t e per thesin et 12 n 4] erit p etiam imago q [per 6 n 5] et erit linea l p k ex parte uisus concaua: et est imago arcus g q r, concaui ex parte superficiei spe culi. Ergo uisus z comprehendet formam arcus g q r concaui, lineam concauam. In speculis ergo concauis ex quibusdam sitibus comprehenditur linea conuexa, conuexa: et concaua, concaua.

47. In speculo sphaerico cauo lineae: recta, et curua conuexa parte speculum respiciens, habent aliquando imagines curuas: recta quatuor: curua unam: omnesque caua parte uisum respi- ciunt. 56 p 8.

ITem: sit speculum concauum: in quo sit circulus a b d maxi mus: et centrum g: et extrahamus lineam b g, quomodocunque sit: et diuidamus ex ipsa lineam g t maiorem medietate: et extraha- mus ex t lineam e t z perpendicularem super b g: et sit utraque e t, t z aequalis t g [per 3 p 1.] Et conti- nuemus e g, g z: et describamus circa triangulum e g z circulum: [per 5 p 4] secabit ergo circulum a b d in duobus punctis: [per 10 p 3] nam punctum t est centrum huius circuli [per 9 p 3: aequatae enim sunt rectae e t, t z, t g] et t g est maior t b. Secet rgo circulus iste irculum a b d in punctis a, d: et conti- nuemus lineas g a, g d, e a, e b, e d, z a, z b, z d. Quia ergo duae lineae e t, t z sunt aequales: erunt duae lineae e g, g z aequales: [per 4 p 1: quia t g communis est, et anguli ad t per fabricationem recti sunt] et similiter e b, b z aequales. Et quia duo arcus e g, g z sunt aequales: [per 28 p 3: quia subtenduntur ab aequalibus rectis e g, g z] duae lineae e a, a z reflectentur inter se propter angulos aequales [nam anguli e a g, z a g per 27 p 3 aequantur] et duae lineae e b, b z reflectentur inter se propter angulos [e b g, z b g] aequales [per 27 p 3.] Et quia g t est maior quam t b: [ex thesi] erit g e maior quam e b. [Quia enim anguli ad t sunt recti per fabricationem, aequabitur per 4 7 p 1 quadratum e g quadra- tis g t, e t: item quadratum e b quadratis b t, e t: itaque cum quadratum g t sit maius quadrato t b: quia g t maior est t b ex thesi: subducto communi e t: erit per 5 ax. quadratum e g maius quadra- to e b: ideoque latus e g maius latere e b.] Angulus ergo e b g est maior angulo e g b [per 18 p 1] et angulus e g b est semirectus. [Quia enim angulus ad t rectus est per fabricationem, et t e g, t g e ae- quales per 5 p 1: quia e t, g t aequales positae sunt: erit eorum quilibet dimidius unius recti per 32 p 1.] Igitur duo anguli e g b, e h g simul sunt maiores recto: ergo angulus b e g est recto minor: [per 32 p 1] et angulus e g z est rectus [per 31 p 3.] Ergo duae lineae e b, g z concurrent extra circulum in parte b z [per 11 ax.] Concurrant ergo in l. Et quia e d est intra triangulum l e g: concurret cum linea g m: concurrat ergo in m. Et quia g b transit per centrum z e g circuli: erit portio a g minor semicirculo: ergo [per 31 p 3] angulus a e g est obtusus, et angulus e g z est rectus. Ergo illae duae lineae a e, z g concurrent in parte e g [erunt enim anguli ad e et g dictis angulis deinceps, minores duobus rectis per 13 p 1. Quare concurrent ex parte e g per 11 ax.] Concurrant ergo in f. Si ergo uisus fuerit in e, et z in aliquo uisibili: tunc puncta m, l, f erunt imagines puncti z. Sic ergo z comprehendetur in tribus locis [quia a tribus punctis a, b, d reflectitur ad uisum e.] Item extrahamus ex e lineam ad arcum d z, quomodocunque sit: et sit e k: et continuemus g k: et secet arcum d z in k: et continuemus lineam k z. Quia ergo arcus e g, g z sunt aequales: [ex concluso] erunt [per

27 p 3] duo anguli e k g, g k z aequales. Et conti-In this figure, the letter below r on the line g r is difficult to read; it should be letter k. See Errata p. a3v, l. 8–9: “Pagina 221 in figura litera proxime infra r in linea g r propter linearum concursum obscurior, est k”. nuemus g k in r: et extrahamus e r, z r. Ergo an- gulus e r g est maior angulo g r z. [Quia enim anguli e k g, z k g aequales sunt conclusi: aequa- buntur anguli e k, z k r per 13 p 1. Positis igitur angulis ad r aequalibus: erunt triangula e k r, z k r aequiangula per 32 p 1: et per 4 p 6 r k ad duas re- ctas k e, k z eandem habebit rationem. Quare ipsae erunt aequales per 9 p 5: ideoque et periphe- riae e a d k et k z ipsis subtensae per 28 p 3: quod fieri non potest. Nam quia rectae a g, d g aequan- tur per 15 d 1: aequabuntur peripheriae a g, d g ipsis subtensae per 28 p 3: et e g aequalis conclu- sa est ipsi z g, reliqua igitur a e aequatur reliquae d z: ergo e a maior est k z per 9 ax: ergo e a d k multo maior est k z. Quare angulus e r g non est aequalis angulo g r z: nec est eo minor: quod eodem argumento ostendetur. Angulus igitur e r g maior est angulo g r z.] Sit ergo angulus g r n aequalis angulo e r g [per 23 p 1.] Duae er- go lineae e r, r n reflectentur inter se, propter an- gulos aequales [per 12 n 4] et extrahamus e r ad q: erit ergo q imago n respectu e. Et imaginemur superficiem exeuntem a linea m g f, perpendicu- lariter super circulum a b d: et extrahamus ex lineam in hac superficie, perpendicularem super g z, et transeat in utranque partem. Sit ergo c z p: et ponamus g centrum: et in longitudine g n fa- ciamus arcum circuli c n p: secabit ergo lineam c z p in duobus punctis: et sint c, p: et continue- mus lineas g c, g p. Erunt ergo in superficie per pendiculari super superficiem a b d: et extraha- mus g c, g p recte: et super g, et in longitudine g q faciamus arcum circuli: secabit ergo duas li- neas g c, g p: secet in s, o. Quia ergo superficies a b d circuli est perpendicularis super superficiem duarum linearum g c, g p: erunt duo anguli e g s, e g o recti [per 4 d 11] et e g perpendicularis super superficiem g c p: erit ergo [per 18 p 11] utraque superficies e g s, e g o perpendicularis super superficiem s g o: et utraque istarum dua- rum superficierum facit in speculo circulum magnum, [per 1 th. 1 sphaer.] comparem circulo a b d. Punctum ergo circuli compar puncto r, est, quod facit superficies e g s. Ergo concurrunt ex ipso secundum angulos aequales duae lineae inter duo puncta e, c: et similiter inter duo puncta e, p: et li- neae g c, g p sunt aequales [per 15 d 1] et lineae g s, g q, g o sunt aequales: et q est imago n: et s ima- go c: et o imago p. Imago ergo arcus c n p conuexi ex parte speculi, est arcus s q o concauus ex parte uisus: et l est imago z: et duo puncta s, o sunt imagines c. p. Imago ergo lineae c z p est linea transiens per puncta s, l, o: et talis est concaua ex parte uisus. Et signemus lineam transeuntem per puncta s, l, o: et extrahamus lineam e g ad h. Si ergo speculum non peruenit ad duo puncta b, h, sed alter suorum terminorum fuerit inter duo puncta b, h, et reliquus fuerit infra h, et uisus fue- rit in e: et duae lineae p z c, p n c fuerint in aliquo uisibili: tunc forma lineae p z c rectae, erit conca- ua, scilicet s l o: et forma arcus p n c conuexi erit etiam linea concaua, scilicet s q o. Et p z c re- cta habebit unam imaginem: et arcus p n c habebit unam imaginem. Item extrahamus b g ad i: et continuemus lineas e i, i z: istae ergo duae lineae reflectuntur secundum angulos aequales: [Quia enim e b, z b aequales sunt conclusae, et communis est b i: angulique e b i, z b i aequales per 27 p 3, ut patuit: aequabuntur per 4 p 1 anguli e i b, z i b] et e i secabit f g: secet ergo in u: u ergo erit imago z [per 6 n 5.] Puncta ergo m, l, u, f sunt imagines z. Et si speculum excesserit duo pun- cta a, d, et uisus fuerit in e, et dorsum aspicientis fuerit ex parte arcus a i, et comprehenderit to- tum arcum i d a: tunc z uidebitur in quatuor locis, scilicet l, m, u, f: et uidebit duo puncta p, c in duobus punctis s, o: et sic linea recta p z c habebit quatuor imagines concauas: una transibit per puncta s, m, o, scilicet linea s m o: secunda transibit per puncta s, l, o, scilicet linea s l o: tertia tran- sibit per puncta s, u, o, scilicet linea s u o: quarta transibit per puncta s, f o, linea scilicet s f o. Pa- tet ergo ex hac figura, quod linea recta in speculis concauis comprehendatur concaua: et con- uexa comprehendatur concaua: et quod recta habet plures formas concauas.

48. Si duo uisibilis puncta a duobus speculi sphaerici caui punctis ad unum uisum reflexa, in eadem speculi diametro imagines suas habeant: recta inter centrum speculi et imaginem longinquiorem, ad rectam inter idem centrum et punctum uisibilis a speculi centro lon- ginquius, maiorem rationem habet: quam recta inter speculi centrum et imaginem pro- pinquiorem, ad rectam inter idem centrum et punctum uisibilis centro speculi propin- quius. 43 p 8.

ITem: sit speculum concauum, per cuius centrum transeat plana superficies: et faciat circu- lum a b g [faciet autem per 1 th. 1 sphaer.] et sit centrum d: et extrahamus ex d lineam, quo- cunque modo sit: et sit d g: et transeat extra circulum: et extrahamus ex d in superficie huius circuli lineam perpendicularem super lineam d g [per 11 p 1] et sit d a: et abscindamus de angu- lo a d g recto particulam paruam, quomodocunque sit: et sit angulus g d e, ita ut inter angu- lum rectum et angulum a d e sit multiplum anguli e d g: [id quod fieri potest continua anguli recti bissectione, donec angulus a d e sit multiplex ad angulum e d g ] et diuidamus angulum a d e in duo aequalia, per lineam d b [per 9 p 1] et abscindamus de angulo b d a aequalem an- gulo e d g, per lineam z d: et extrahamus ex d lineam continentem cum b d angulum rectum: et sit d x: et extrahamus a d in parte d: et sit d k: et extrahamus ex z lineam continentem cum z d angulum, aequalem angulo k d x: et sit z h. Haec ergo linea concurret cum d a: [per 11 ax.] Nam duo anguli k d x, a d z sunt minores duobus rectis [ideoque a d z, h z d ijsdem sunt minores: quia h z d aequatus est angulo k d x.] Concurrant ergo in h. Angulus ergo z h d est aequalis angulo z d x. [Quia enim tres anguli z d h, z d x, k d x aequantur duobus rectis per 13 p 1: quibus item aequantur tres anguli trianguli z d h per 32 p 1: tres igitur illi tribus his aequantur. Itaque cum z d h communis aequetur sibi ipsi, et d z h aequatus sit ipsi k d x: reliquus z h d aequabitur reli-

quo z d x.] Et extrahamus ex z lineam conti- nentem cum z h angulum, aequalem angulo b d k obtuso: et sit z l. Duo ergo anguli l z d, b d z sunt minores duobus rectis. [Quia enim angu- li b d k, b d a aequantur duobus rectis per 13 p 1: erunt anguli, b d k, id est, per fabricationem, l z h, et b d z minores duobus rectis: ideoque l z d, b d z ijsdem multo minores erunt.] Li- nea ergo z l concurret cum d b [per 11 ax.] Concurrant ergo in l: et continuemus l h: et [per 5 p 4] circa triangulum h l d faciamus circu- lum d h l: transibit ergo per z [per conuersio- nem 22 p 3] quia duo anguli l z h, l d h sunt ae- quales duobus rectis [quia aequantur duobus angulis b d k, l d h aequalibus duobus rectis per 13 p 1.] Anguli ergo l h z, l d z sunt aequales [per 27 p 3] quia basis eorum est idem arcus: [l z] sed angulus z h d est aequalis angulo z d x: [per conclusionem] remanet ergo angulus l h d aequalis angulo l d x: et angulus l d x est rectus: [per fabricationem] ergo angulus l h d est rectus. Et abscindamus ex linea d e lineam d m, aequalem d h [per 3 p 1] et continuemus l m. Angulus ergo l m d est rectus. [ quia per 4 p 1 aequatur angulo l h d recto concluso: duo enim latera h d, l d aequantur duobus lateribus m d, l d, et angulus h d l angulo m d l per fabricatio- nem.] Circulus ergo l h d transit per m [per conuersionem 31 p 3 demonstratam a Theone in commentarijs in 3 librum magnae constructio- nis Ptolemaei] et secat arcum b e in compari pun cto z. Secet ergo in f: et continuemus d f. An- gulus ergo l d f erit aequalis angulo l d z: [per 27 p 3: quia arcus l m est aequalis arcui l h. [Quia enim triangulo l m d circulus circumscriptus est, et angulus ad m rectus ex concluso: erit l d diameter circuli per consectarium 5 p 4, seu 21 p 3. Quare semiperipheria l f d aequatur semiperipheriae l z d: et peripheria d m aequatur periphe- riae d h per 28 p 3, quia d m, d h aequatae sunt: reliqua igitur l f m aequatur reliquę l z h] et arcus m f est aequalis arcui z h. [Nam propter aequalitatem semidiametrorum d f, et d z, ęquantur periphe riae d m f, d h z per 28 p 3: et per eandem peripheriae d m et d h ęquales conclusae sunt: reliqua igitur m f aequatur reliquae z h.] Ergo arcus l f est ęqualis arcui l z [per 3 ax: quare per 27 p 3 anguli l d f, l d z ęquabuntur.] Et continuemus lineas h b, h f f m, b m, f z, f b. Angulus ergo b h d est acutus [quia l h d rectus est conclusus] et angulus g d h rectus [per fabricationem.] Ergo linea h b concurret cum linea d g extra circulum [per 11 ax.] Concurrant ergo in q: h f ergo concurret etiam cum d g extra circulum [eadem de caussa.] Concurrant ergo in n. Et extrahamus f b, quousque secet arcum l z: secet ergo in r: et continuemus r m: angulus ergo f r m, qui est in circumferentia, respicit arcum f m: et [per 16 p 1] angulus f b m est maior angulo f r m: et angulus f b m est in circumferentia a b g. Ergo si b m linea extrahatur ex parte m: abscindet de circulo a b g arcum maiorem simili arcui f m circuli l h d [per 33 p 6] et arcus f m est similis duplo arcus f e: [angulus enim duplus anguli f d e in periphe ria circuli a b g constituti, insistit in peripheriam duplam peripheriae f e per 33 p 6] et arcus f e est ae- qualis arcui a z: [quia enim anguli a d b, e d b ęquantur propter angulum a d e per rectam b d bifa- riam sectum: et z d b, f d b per conclusionem: ęquabitur reliquus a d z reliquo f d e: ideoque peri- pherię a zperipheria a z peripherię f e per 26 p 3] et arcus a z est ęqualis arcui e g [per 26 p 3: quia angulus a d z ęquatus est angulo e d g.] Ergo arcus f e est ęqualis arcui e g: ergo arcus g f est duplus arcus g e: er- go arcus g f est similis arcui f m. Si ergo b m extrahatur recte in partem m: abscindet de circulo a b g arcum ultra punctum g, maiorem arcu f g. Linea ergo b m secabit lineam d g inter duo puncta g, d. Secet ergo in o: et extrahamus lineam f m: et secet d o in u: [secabit autem: quia secat angulum d m o a basi d o subtensum] et extrahamus b m in parte b: et secet arcum l r in c: et continuemus c d. Quia ergo angulus b f z est in circumferentia a b g: erit [per 20 p 3] angulus b f z: dimidius angu li b d z: sed angulus b d z: est multiplus anguli z d a: [e fabricatione] ergo angulus b f z est multi- plus anguli z d h: ergo [per 32 p 6] arcus r z est multiplus arcus z h: et arcus c z est maior arcu r z [per 9 axiom.] ergo arcus c z est multiplus arcus z h. Et continuemus c h: angulus ergo c h d cum angulo c m d, est aequalis duobus rectis: [per 22 p 3] ergo angulus c h d est aequalis angulo b m e. [Niam per 13 p 1 anguli c m d, c m e ęquantur duobus rectis, quibus etiam ęquantur per proximam conclusionem c h d, c m d: communi igitur c m d subducto, reliquus c h d aequabitur reliquo c m e seu b m e.] Sed angulus z h d addit super angulum c h d, angulum c h z, qui est aequalis angulo c d z: [per 27 p 3: quia uterque insistit in eandem peripheriam c z] et angulus c d z est multiplus an- guli z d a, [per 33 p 6: quia peripheria c z multiplex ostensa est peripheriae z h.] Ergo angulus c h z est multiplus anguli e d g: [quia multiplex est ad angulum z d h, aequalem ipsi e d g.] Ergo angu- lus z h d excedit angulum c h d multipio anguli e d g. Angulus ergo z h d est aequalis angulo f m d: quia arcus f m d est ęqualis arcui z h d [per conclusionem. Itaque per z ax. peripheria z f d, in quam insistit angulus z h d, ęquabitur peripheriae f z d, in quam insistit angulus f m d: et idcirco z h d ae- quabitur f m d per 27 p 3] et angulus c h d, ut declarauimus, est ęqualis angulo b m e. Ergo angu- lus f m d excedit angulum b m e multiplo anguli e d g: ergo angulus f m d excedit angulum o m d multiplo anguli e d g: [quia angulus o m d ęquatur angulo b m e per 15 p 1] et angulus m o g exce- dit angulum o m d angulo e d g [nam angulus m o g aequatur angulis o m d et e d g per 32 p 1.] Er- go angulus f m d excedit angulum m o g, multiplo anguli e d g: et angulus f m d excedit angulum m u d, angulo e d g solo: [quia per 32 p 1 aequatur angulis m d u seu e d g et m u d] ergo angulus m u d est maior angulo m o g: ergo angulus m o u est maior angulo m u o: [Nam quia anguli ad u dein- ceps ęquantur angulis ad o deinceps per 13 p 1: et m u d maior conclusus m o g: reliquus igitur m o u maior est reliquo m u o] ergo [per 19 p 1] linea m u est maior linea m o. Et quia arcus z h d est ęqua lis arcui f m d: erunt duo anguli h f d, m f d aequales [per 27 p 3: quia peripheriae h d, m d aequales sunt conclusae.] Duae ergo lueae h f, f u reflectentur aequaliter: et similiter h b, b o reflectentur ęqua liter [propter conclusam aequalitatem angulorum h b d, o b d] q ergo est imago o: et n imago u [per 6 n 5.] Et extrahamus ex m lineam aequidistantem lineae h q [per 31 p 1] et sit m s: et extrahamus ex m etiam lineam aequidistantem lineae h n: et sit m p. Quia ergo [per 16 p 1] angulus h n d est maior angulo h q d: erit angulus m p o maior angulo m s o. [nam per 29 p 1 angulus m s o aequatur angu- lo ad q, et angulus m p o aequatur angulo ad n] p ergo erit inter duo puncta s, u. Et quia angulus h d n est rectus [ex thesi:] erit angulus h n d acutus [per 32 p 1] ergo angulus m p d est acutus: ergo [per 13 p 1] angulus m p s est obtusus: ergo [per 19 p 1] linea m s est maior, quam m p: sed m u est ma- ior, quam m o, ut diximus: ergo proportio s m ad m o est maior, quam proportio p m ad m u: [ut patet per 8 p 5] et [per 29 p 1. 4 p 6] proportio s m ad m o est, sicut proportio q b ad b o: quia m s est aequidistans b q: et similiter proportio p m ad m u est, sicut proportio n f ad f u: ergo [per 11 p 5] pro- portio q b ad b o est maior, quam proportio n f ad f u: et proportio q b ad b o est, sicut proportio q d ad d o: et proportio n f ad f u est, sicut proportio n d ad d u, ut declarauimus in capitulo de imagine [64 n 5.] Ergo proportio g d ad d o est maior, quam proportio n d ad d u. [Est autem q imago pun- cti o, a centro speculi d longinquior: et o punctum uisibilis ab eodem centro est lon- ginquius, n uero, imago puncti u centro speculi d est propinquior: et u alterum uisibilis punctum eodem centro d est propinquius.] Quare patet propositum.

49. In speculo sphaerico cauo imago lineae rectae aliquando uidetur conuexa. 57 p 8.

HIs praeostensis, iteremus circulum, et perficiamus demonstrationem, ne multiplicentur et li- neae, et dubitentur literae. Sit ergo circulus in secunda figura a b g: et centrum d: et extraha- mus lineam d q: et sit d b aequalis d b in prima figura: et d o aequalis d o in prima figura: et d q sit compar sibi in prima figura: et similiter d u: et extrahamus super d q perpendicularem super su- perficiem circuli [per 12 p 11] et sit d h aequalis sibi in prima figura. Angulus ergo h d q erit rectus: [per 3 d 11] et circulus, quem facit h d q in speculo, erit ex circulis, ex quibus forma punctorum o, u reflectitur: et erit arcus, quem mensurant lineae h d, d q, aequalis arcui a g in primo circulo: [per 33 p 6: quia uterque subtendit angulum rectum] et ex duobus punctis istius arcus, comparibus duobus punctis b, f, reflectentur duo puncta lineae u p ad duo puncta n, q aequaliter. Erit ergo q imago o, et n imago u. Et extrahamus ex u perpendicularem lineam in superficie circuli a b g, super lineam d u [per 11 p 1] et sit z u e: et sit d centrum: et in longitudine d o faciamus arcum circuli: secabit ergo li-

neam z u e in duobus punctis: [quia punctum o altius est puncto u, ex prima thesi] secet ergo in z, e: et sit arcus z o e: et continuemus d z, d e: et extrahamus extra circulum: et a d et in longitu- dine d q faciamus arcum t q: secabit ergo duas lineas d z, d e in t, k: et continuemus t k: secabit ergo lineam d q in l. Quia ergo h d est perpendi- cularis super superficiem circuli: uterque angu- lus h d t, h d erit rectus: [per 3 d 11] et utraque superficies h d t, h d k faciet in superficie specu- li circulum [per 1 th. 1 sphaer.] et arcus, qui est in- ter duas lineas h d, d t erit aequalis arcui, qui est inter duas lineas h d, d q: et similiter arcus, qui est inter duas lineas h d, d k: et utraque linea d z, d e est aequalis lineę d o [per 15 d 1.] Ergo h i duo arcus sunt huiusmodi, quod ex illis reflectentur secundum angulos aequales duo puncta z, e: [ut demonstratum est 66 n 5] et duae lineae d t, d k sunt aequales lineae d q [per 15 d 1.] Ergo pun- ctum t est imago z, et k est imago e. Et quia li- neae d t, d q, d k sunt aequales: et lineae d z, d o, d e sunt aequales: erit [per 7 p 5] proportio d t ad d z, sicut proportio q d ad d o, et sicut proportio k d ad d e. Sed proportio q d ad d o, ut in prima figura [praecedentis numeri] praeostendimus, est maior proportione n d ad d u. Ergo propor- tio d t ad d z est maior proportione n d ad d u: et similiter k d ad d e. Et quia duae lineę z d, d e sunt aequales, et duę lineae d t, d k sunt aequales: erit li- nea t k aequidistans z e [per 2 p 6: est enim per 7 p 5 d t ad d z, sicut d k ad d e: et per 17 p 5, ut t z ad z d, sic k e ad e d.] Ergo [per 2 p 6. 18 p 5] utraque proportio d t ad d z, et k d ad d e erit, sicut pro- portio l d ad d u. Ergo proportio l d ad d u est maior proportione n d ad d u: ergo linea l d est maior linea n d [per 10 p 5.] Ergo n est inter l, u. Sed n est imago u: et duo puncta t, k sunt imagines z, e. Er go imago lineae z u e rectae, est linea transiens per puncta t n k: et linea, quae transit per haec puncta, est conuexa. Ex quibus patet, quod linea in speculis concauis quandoque uidetur conuexa in quibusdam sitibus.

50. In speculo sphaerico cauo imagines linearum: cauae, conuexae, aliquando uiden- tur cauae. 58 p 8.

ITem: ponamus in linea z u punctum m, quocunque modo sit: et circa centrum m, et in longitu- dine m u faciamus arcum r u f. Iste ergo arcus secabit arcum u o e in duobus punctis: [per 10 p 3] secet in r, f: et continuemus lineas d r, d f: et transeant recte, quousque concurrant in arcu t q k, in p, i. Superficies ergo duarum linearum h d, d p faciet in speculo circulum, a cuius circum- ferentia reflectentur lineę ad r: et similiter superficies duarum linearum h d, d i faciet in speculo cir- culum, a cuius circumferentia reflectentur lineae ad f. p ergo est imago r, et i jest imago f: et n est ima go u. Imago ergo arcus r u f est linea transiens per i, p, n. Sed hęc linea erit concaua ex parte uisus, et arcus r u f est concauus ex parte superficiei speculi. Cum ergo uisus fuerit in h, et unaquęque li- nearum z u e, z o e, r u f fuerit in aliquo uisibili: tunc linea z u e recta comprehendetur conuexa: et linea z o e conuexa, comprehendetur concaua: et r u f concaua: conuexa. Si ergo unaquęque linea

rum z u e, z o e, r u f habuerit unam imaginem: tunc forma illarum linearum erit eodem modo, quo declarauimus: et si habuerit alias imagines: forte erunt similes alijs imaginibus, et forte di- uersae. Patet ergo ex istis figuris, quod lineę re- ctae in speculis concauis quandoque compre- henduntur rectae: quandoque conuexae: quan- doque concauae: et lineae conuexae quandoque comprehenduntur conuexae: quandoque con- cauę: et concauę quandoque comprehendun- tur conuexę: quandoque concauę. Formę ergo superficierum uisibilium comprehenduntur a- liter, quam sunt, in huiusmodi speculis. Nam li- neę rectę non sunt, nisi in superficiebus rectis: et cum linea recta, quę existit in superficie plana, comprehenditur conuexa aut concaua: tunc su- perficies, in qua ipsa linea est, comprehendetur conuexa aut concaua. Cum ergo uisus commpre- hendat lineas conuexas et concauas, et rectas aliter, quam sint: comprehendet superficies, in quibus sunt, aliter, quam sint. Patet ergo ex prę dictis, quod in omnibus, quae in speculis con cauis comprehenduntur, accidit fallacia: sed in quibusdam accidit semper, et in omni positio- ne, in quibusdam accidit in aliqua positione. Fal lacię autem compositae accidunt in his speculis eo modo, quo incompositae. Et hoc uoluimus declarare.

DE ERRORIBVS, QVI ACCI- dunt in speculis columnaribus concauis. Cap. VIII.

IN his autem accidunt similes eis, qui accidunt in sphęricis concauis. Accidunt enim fallaciae, quę proueniunt ex reflexione, scilicet debilitas lucis et coloris: et diuersitas situs et remotionis, quę accidunt omnibus speculis. Accidit autem eis ex diuersitate quantitatis simile illi, quod accidit in speculis sphęricis concauis. Et uidetur etiam unum uisibile, unum: et duo: et tria: et quatuor: et rectum et conuexum secundum diuersos situs: et planum uidetur concauum et conuexum. Osten demus ergo qualiter in his speculis diuersatur quantitas et numerus rei uisae: et qualiter apparet re ctum et conuersum eo modo, quo in speculis sphęricis concauis declarauimus.

51. Si uisus sit extra planum lineae rectae, parallelae axi speculi cylindracei caui: imago alias ui- debitur recta et maior ipsa linea: alias caua: alias conuexa: alias simplex: alias multiplex. 25 p 9.

ITeremus ergo primam figuram ex duabus figuris pręmissis in fallacijs speculorum columnarium conuexorum, et ijsdem literis. In illa autem figura [quę est 26 n] patuit, quod lineę e g, g t, e b, q b, e a, a h reflectuntur secundum angulos aequales: et quod lineę e k, h a, q b, t g coniunguntur in o: et quod linea a b g est linea recta extensa in longitudine speculi: et quod lineę g z, b l, a d sunt perpen- diculares super superficiem, contingentem superficiem, quae transit per lineam a b g: et quod linea a b g est perpendicularis super superficiem, in qua est triangulum e b o: et quod linea t q est aequalis q h, et a b ęqualis b g: et quod s, c, i sunt imagines h, q, t: et quod c est propinquius puncto e, quam linea s i: et quod li- nea s i est in superficie trianguli u h t: et quod duae lineae u h, u t sunt aequales: et quod u s et u i sunt aequales: et quod duae lineae e s, e i sunt aequales. Et continuemus c u: et secet s i in ae: diuidet ergo i- psam in duo aequalia: nam h t est diuisa in duo aequalia in q: et linea i s parallela est ipsi t h: quia cum tota t u aequalis conclusa sit toti h u, et pars i u part s u: erit reliqua t i aequalis reliquae h s: est igitur per 7 p 5, ut u i ad i t, sic u s ad s h ergo per 2 p 6 h t et s i sunt parallelae. Itaque triangula t u q, i u ae: i- tem q u h, ae u s sunt aequiangula per 29 p 1: et per 4 p 6, ut t q ad q u, sic i ae ad ae u: et ut q u ad q h, sic ę u ad ę s: ergo per 22 p 5 ut t q ad q h sic i ae ad ae s. Quare cum 26. 27 n, t q ęquata sit ipsi q h: ęquabitur i ae ipsi ę s] et erit c u in superficie trianguli q u e, quae est superficies circuli b f, ęquidistantis basi specu- li: ergo c erit in superficie trianguli c u e: et est in superficie trianguli c e i: ergo c est in linea, quae est differentia communis his duabus superficiebus sed hęc differentia est linea e b: [per 3 p 11] ergo c est in recti tudine e b: et duę lineę h u, t u sunt sub duob. punctis d, z: nam duę lineę h u, t u sunz perpendiculares exe untes ex h, t super duas lineas, contingentes duas portiones, in quarum circumferentia sunt puncta a, g. Su- perficies ergo trianguli u h t est sub axe d l z. Sed nullum punctum huius axis, quamuis exeat in infinitum, erit in superficie trianguli u h t. Nam si esset: tunc si continuaretur cum aliquo puncto lineae h t linea re- cta: tunc illa superficies, in qua esset illa linea recta et linea h t esse t superficies trianguli u h t: et illa superficies esset illa, in qua sunt duae lineae aequidistantes h t, d z: et sic superficies, in qua sunt duę lineae h t, d z, esset superficies trianguli h u t: et sic axis esset in superficie trianguli h u t: sed axis est aequidistans lineae h t positione. Et axis secat duas lineas h u, t u: et linea t h est in superficie trian guli u e h, quae est superficies reflexionis: et linea communis huic superficiei et superficiei columnę, est aliqua sectio columnaris. Superficies ergo e u h secat axem columnae in uno puncto, scilicet in d,

ut praeosten- dimus [27 n.] Et si axis se- cet lineam h u: punctum se- ctionis cum linea h u erit in superficie trianguli u e h: sed in hac superficie non est punctum, per quod a- xis transeat, praeter d: er- go linea h u secat axem in d: et iam ostendimus [24 n] quod h u secat eum in puncto sub d: quod est impossibile. Ergo axis d z est extra superficiem u h t, et propinquior puncto e, quam superficies h u t. Superfi- cies ergo, in qua sunt lineae h t, d z, est propinquior puncto e, quam superficies u h t: et c est in super- ficie, in qua sunt h t, d z: quia est in linea q l:et q l est in superficie, in qua sunt h t, d z: [per 7 p 11] er- go o est propinquius e, quam s i: sed c est in rectitudine e b [ut patuit.] Si ergo e b exiue- rit in parte b: perueniet ad c: perueniet ergoperueniat ergo ad c. His praeostensis, dico quod linea s i, quae est ae- quidistans axi speculi, cum fuerit in aliquo uisibili, et uisus fuerit in o ex parte concauitatis co- lumnae, et superficies speculata fuerit superficies concaua: tunc s i comprehendetur ex o m speculo concauo a b g a linea a b g: et diuersabuntur imagines eius secundum diuersitatem distantiae ab axe, cuius demonstratio est. Quia angulus e b m est acutus [quia m b a est rectus ex thesi 26 n] ergo [per 15 p 1] l b c est acutus: et linea e b c est in superficie circuli b f et l b est diameter huius circuli [per 34 n 4.] Ergo e b c secat circulum: ergo c b est intra concauitatem speculi: et similiter o b erit intra con- cauitatem speculi: quia angulus o b l est acutus, et duo anguli o b l, c b l sunt aequales duobus angu lis e b m, q b m: [quia per 15 p 1 aequantur angulis e b m, q b m, ęqualibus conclusis 27 n] et l b est perpendicularis super superficiem, contingentem columnam, quae transit per b. Forma ergo c extenditur per c b, et peruenit ad b, et reflectitur per b o, et comprehenditur a uisu in o [per 7 n 5.] Item in quinto capitulo [27 n] cum fuimus locuti de speculis columnaribus conuexis, decla- rauimus, quod superficies contingens columnam m g, erit sub e: ergo e g secat superficiem contin- gentem: secat ergo lineam contingentem circumferentiam sectionis in g: secat ergo sectionem, et cadit intra ipsam: cadet ergo intra concauitatem speculi: ergo duae lineae o g, g i sunt intra concauita- tem speculi: et z g est perpendicularis super superficiem, contingentem columnam in g [quia ex thesi perpendicularis est a g lateri cylindraceo: et duo anguli o g z, i g z sunt aequales: quia per 15 p 1 aequantur angulis e g n, t g n, aequalibus per 4 p 1.] Ergo forma i extenditur per i g, et peruenit ad g, et reflectitur per g o, et comprehenditur in o per lineam g o. Et similiter s extenditur per s a, et peruenit ad a, et reflectitur per a o, et comprehenditur in o. Et iam declarauimus, cum tractaui- mus de fallacijs speculorum columnarium conuexorum [27 n] quod duae lineae h u, t u sunt per- pendiculares super superficies, contingentes sectiones, transeuntes per duo puncta a, g. Imago er- go s est in linea h u, et a o linea radialis, quae extenditur ex uisu ad punctum reflexionis: ergo ima- go s est in a o: h ergo est imago s: [per 7 n 5] et sic patet, quod t est imago i. Et continuemus c l. Quia ergo c reflectitur ad o ex circumferentiae puncto b: erit imago c in linea c l: et o b est linea ra- dialis, quae extenditur inter uisum et punctum reflexionis. Ergo imago c est in puncto communi c l et o b [per 7 n 5] nempe in puncto q. Sed in capitulo de imagine, cum tractauimus de imagini- bus speculorum sphaericorum concauorum [60 n 5] patuit, quod imago puncti, cuius forma refle- ctitur a concauitate circuli, forte concurret cum radiali linea, quae est inter uisum et punctum refle- xionis, ultra speculum: et forte inter uisum et fpeculum: et forte in centro uisus: et forte ultra cen- trum uisus: et forte c l aequidistans erit o b. Et in illo capitulo [86 n 5] patuit, quod forte imago erit unum punctum: aut duo: aut tria: aut quatuor. Imago ergo forte erit in b q: forte ultra o q: et forte in b o: et forte in o: et forte ultra: et forte imago t q erit unum punctum: aut duo: aut tria: aut quatuor. Si ergo imago c fuerit q: tunc h q t erit diameter imaginis s i. Si ergo omnes imagines s i fue rint in linea h q t: tunc forma eius erit linea recta: nam medium eius est in rectitudine duarum extremita- rum h t. Si autem imago c fuerit ultra q: tunc imago s i erit fere concaua ex parte uisus. Et si imago c fuerint plura puncta: tunc imago c erunt plures lineae, quarum omnium extremitates coniungentur in duo- bus punctis h, t: et media earum erunt distincta et separata: et h t est diameter imaginis s i, quocun- que modo fuerit imago: et diameter est communis omnibus imaginibus eius, si plures habuerit ima- gines: et linea h t est maior, quam s i, modica quantitate. Patet ergo, quod cum lineae rectae, aequidi- stantes axi columnaris speculi concaui fuerint in aliquo uisibili: imago earum forte erit recta aut concaua, et forte una, aut plures.

52. Si uisus a terminis lineae rectae aequabiliter distans, sit extra ipsius planum, perpendicula re plano axis speculi cylindracei caui: imago uidebitur maxime caua. 27 p 9.

ITem: iteremus secundam figuram de fallacijs speculorum columnarium conuexorum [29 n.] In hac autem figura dictum est: quod duae lineae e b, h b reflectuntur secundum angulos aequales: et quod duae lineae e g, t g reflectuntur secundum angulos aequales: et quod h b, t g perueniunt ad l: et h b continet cum b o angulum acutum. Ergo h b secat superficiem, contingentem columnam in b: b l ergo est sub concauitate columnae: et similiter g l: et similiter duae lineae b r, g y: et duo angu- li l b d, d b r sunt aequales [quia per 15 p 1 aequantur angulis e b o, h b o aequalibus] et similiter l g d, g d y sunt aequales. Si ergo r y fuerit in aliquo uisibili, et uisus fuerit in l, et superficies concaua colu- mnae fuerit tersa: tunc forma r extenditur per r b, et peruenit ad b, et reflectitur per b l: et perueniet ad l, et comprehendetur in l. Et linea h u est perpendicularis super lineam, contingentem sectionem, ex cuius circumferentia reflectentur duae lineae b r, b l: h ergo est imago r [per 7 n 5.] Similiter decla rabitur, quod forma y extenditur per y g, et reflectitur per g l: et imago eius est t. Et continuemus q u: secabit ergo r y in m: m ergo est in superficie transeunte per axem et per l: nam l et q sunt in hac su- perficie, [ut demonstratum est 29 n.] Ergo q u est in hac superficie [nam 29 n ostensum est, quod planum ductum per uisum et axem speculi, in quo est linea e l d, secat lineam h t in puncto q: estque punctum u in linea e l d: linea igitur q u est in plano per uisum et axem speculi ducto per 1 p 11: ideo- que et punctum m.] Et quia duo puncta m, l sunt in superficie transeunte per axem columnae: ideo forma m reflectetur ad l in hac superficie. Et quia a z est differentia communis inter columnę super- ficiem, et superficiem, transeuntem per suum axem, et per l: forma ergo m reflectetur a linea a z. Et continuemus e m, quae est in hac superficie: et e l

est in hac superficie: et punctum e est elongatum a superficie contingente superficiem columnae in li- nea a z [ut patuit 29 n.] Ergo si a z extrahatur re- cte in parte z: concurret cum duabus lineis e m, e l. Concurrat ergo cum e m in i, et cum e l in n: ergo n est inter duo puncta e, l: quia l est intra con cauitatem columnae, et n est in superficie colu- mnae: et e est elongatum a columna: et in demon- stratione huius figurae [29 n] patuit, quod circu- lus b g est medius inter lineam h t, et superficiem exeuntem ex e, aequidistantem basibus columnae: et perpendicularis, quae exit ex e super a z, est in su perficie exeunte ex e, aequidistante columnae. Er- gu perpendicularis, quae exit ex e super lineam a z n, cadit extra triangulum e i n, et in parte n: angu lus ergo e i n est acutus: [per 32 p 1] ergo [per 15 p 1] angulun m i a est acutus: ergo m i n obtusus [per 13 p 1.] Extrahamus ergo ex m perpendicularem super a i [per 12 p 1] et sit m k: ergo erit ultra i, respectu n. [si enim caderet inter i et n: essent trian guli tres anguli maiores duobus rectis contra 32 p 1: quia angulus m i n obtusus est conclusus.] Et extrahamus m k ex parte k, in s: et diuidamus k s ad aequalitatem k m: ergo s erit extra superficiem speculi, et ultra concauitatem eius, et l erit sub concauitate eius. Et continuemus l s: secabit ergo n k in f: et ex f extrahamus f x ad aequidistantiam m k. Cum ergo [per 29 p 1] f x sit perpendicularis super a n, et in superficie transeunte per axem et per l: ergo est diameter circuli exeuntis ex f et ae- quidistantis basi columnae [per 34 n 4.] Linea ergo f x est perpendicularis super superficiem, con- tingentem columnam, transeuntem per a z [sicut ostensum est 54 n 5.] Et continuemus m f: erit ergo aequalis f s: [per 4 p 1: quia k s, k m aequantur per fabricationem, et communis est k f, anguli- que ad k recti] et duo anguli qui sunt, apud m, s erunt aequales: [per 5 p 1.] Et quia x f est aequidi- stans m g: erunt [per 29 p 1] duo anguli apud f aequales duobus angulis, qui sunt apud s, m [ideo- que anguli x f m et x f l aequabuntur.] Duae ergo lineę m f, f l reflectuntur secundum angu- los aequales: et x f est perpendicularis super superficiem, contingentem speculum in f. For- ma ergo m extenditur per m f, et reflectitur per f l: et imago eius erit s [per 7 n 5.] Et quia duae lineae r y, h t sunt aequidistantes, et perpendiculares super superficiem transeuntem per axem, et per l: quia h t fuit posita talis: [29 n] ideo duae superficies exeuntes a duabus li- neis h t, r y, erunt aequidistantes et perpendiculares [per 18 p 11.] Et quia r y est perpendicularis su- per superficiem transeuntem per axem et per l: ideo [per 18 p 11] superficies duarum linearum r m, m s erit perpendicularis super superficiem, transeuntem per axem et per l: et erit m s differentia com- munis his duabus superficiebus. Et quia a k est in superficie transeunte per axem: [per 21 d 11: quia pars est lateris cylindracei] et est perpendicularis super m s [per fabricationem] quę est differentia communis inter superficiem, transeuntem per axem, et inter superficiem duarum linearum r m, m s: erit a k n perpendicularis super superficiem duarum linearum r m, m s: et linea a n est aequidistans axi columnae [per 21 d 11:] ergo [per 8 p 1] axis columnae est perpendicularis super superficiem, in qua sunt r m, m s. Superficies ergo ista est perpendicularis super axem columnae: s ergo est in super- ficie exeunte ex linea r y, perpendiculari super axem columnae: sed linea h t est in superficie perpen- diculari super axem, aequidistante superficiei ex linea r y: s ergo est extra h t, et propinquius l, quam sint h et t: et duo puncta h, t sunt imagines r, y: et punctum s est imago m: imago ergo lineae r m y est linea transiens per h, s, t: sed talis est linea arcualis: quia s est extra h t. Et transeat per puncta h, s, t li- nea h s t arcualis. Et quia h t secundum positionem [29 n] fuit elongata a conuexo columnae: erit h t ultra superficiem speculi, respectu l: et iam declarauimus, quod s est ultra concauitatem speculi, respectu l. Ergo tota linea h s t erit ultra concauitatem superficiei speculi: et e l est sub concauitate speculi: ergo l est extra superficiem, in qua est linea h s t: arcualitas igitur lineae h s t apparebit uisui l manifeste. Et quia f est in superficie columnae, et t h ultra columnam, est in superficie trianguli l h t: erit linea l f s altior quam superficies trianguli l h t. Linea ergo l s erit altior duabus lineis l h, h t, re- spectu uisus. Ergo s est altius, quam duo puncta h, t. Linea ergo h s t apparebit uisui l concaua.

53. Si uisus sit in plano lineae rectae, obliquo ad planum axis speculi cylindracei caui: imago uidebitur caua et euersa. 28 p 9.

ITem: secemus columnam per superficiem decliuem super axem eius: faciet ergo sectionem co- lumnarem [per 9 th. cylindricorum Sereni.] Sit ergo a b g. Sed in prima figura de columnis con cauis [91 n 5] declaratum est, quod in superficie cuiuslibet sectionis columnae exit a puncto re- flexionis perpendicularis super superficiem contingentem, ex cuius extremitatibus reflectuntur formae. Sit ergo perpendicularis g a: et sit b e k perpendicularis super lineam, contingentem circum- ferentiam sectionis in b: et sit b prope g. b ht ergo secabit perpendicularem g a sub axe, et continebit cum ipsa angulum acutum. [per 24 n: punctum enim b tam propinquum ipsi g sumitur, ut recta a puncto b, et perpendicularis a reflexionis puncto in axe angulum acutum comprehendant.] Secet ergo in e. Angulus ergo b e g erit acutus [per 32 p1.] Et extrahamus ex g lineam ad aequidistan-

tiam lineae b k: et sit g d. Angulus ergo d g e erit acutus: [quia per proximam fabricationem et 29 p 1 aequatur angulo b e g acuto] ergo g d e erit intra concauitatem columnae. Et pona mus angulum e g l aequalem angulo e g d: [per 23 p 1] g l ergo concurret cum b e in l: [per 11 ax. quia anguli ad g et e acuti, minores sunt duobus rectis] et signemus punctum m in li- nea l e: erit ergo m a g acutus: [quia per 16 p minor est an- gulo g e m acuto] ergo a m est intra sectionem. Et ponamus angulum g a d aequalem angulo g a m: ergo a d concurret cum g d: [per 11 ax.] nam duo anguli, qui sunt apud a, g, sunt acuti. Concurrant ergo in d. a d igitur secabit b k [per lemma Pro- cli ad 29 p 1.] Secet ergo in t. Cum ergo l k fuerit in aliquo ui sibili, et uisus fuerit in d: tunc forma l uidebitur in g: [ut osten sum est 90 n 5] quia forma l reflectetur ad d ex g, et quia d g est aequidistans perpendiculari b l k: Et forma m uidebitur in t: quia forma m reflectitur ad d ex a: et t imago est m. Et transeat per d superficies aequidistans basi columnae: [ut ostensum est 47 n 5] seca bit ergo sectionem a b g, et faciet in superficie columnae circulum p o r [per 5 theor: cylindricorum Sereni.] Superficies ergo huius circuli secabit b k: secat enim g d, quae est ei aequidistans. Ergo se- cet b k in k: et sit centrum circuli p o r, punctum h: et continuemus d h, et transeat ad r: et continuemus k h, et transeat ad p. Forma ergo k reflectitur ad d ex circumferentia arcus r p, ut patuit de imagini- bus speculorum [73 n 5.] Reflectatur ergo ex o: et continuemus k o, d o, h o. Anguli ergo, qui sunt a- pud o, sunt aequales: [per 12 n 4] et d o secabit h p in n. n ergo est imago k. Et continuemus k d: d e r g o erit differentia communis inter circulum r p et sectionem a b g. Nam duo puncta k, d sunt in u- traque superficie, et nihil de superficie sectionis a b g est in superficie circuli r p, nisi linea k d: g ergo est extra circulum: et similiter b: et sunt in superficie sectionis: et n est in superficie circuli r p: et for- ma l m k transit per puncta g, t, n: et linea, quae transit per haec puncta, est arcualis: sed superficies sectionis est decliuis super superficiem columnae: [per 9 th. cylindricorum Sereni] axis ergo sectio nis non transit per totum axem columnae, neque est aequidistans basi columnae. Patet ergo ex hac figura et duabus praemissis, quod lineae rectae aequidistantes axi columnae, et aequidistantes basi e- ius: et etiam illae lineae, quae obliquantur super superficiem eius: forte uidebuntur arcuales, forte re ctae, forte conuersae. Et quia t est imago m, et n imago k: erit forma m k conuersa. Et si linea etiam fuerit in superficie circuli, aequidistante basibus columnae, cuius superficies transit per centrum uisus, ut dictum est de imaginibus speculorum concauorum in septimo capitulo huius tractatus: forma forte erit aequalis recta: forte conuersa. Patet ergo, quod forma eorum, quae comprehenduntur in speculis columnaribus concauis, forte erit recta, forte conuersa.

54. Si uisus sit in plano lineae rectae, perpendiculari plano axis speculi cylindracei caui: imago uidebitur recta et euerfa: alias maior: alias minor: alias aequalis ipsi lineae: alias simplex: aliaalias multiplex. 29 p 9.

ITem: iteremus formam tertiae figurę de fallacijs speculorum concauorum ijsdem literis existentibus: [41. 42. 43 n] et sit circulus b z a in superficie speculi columnaris concaui: et sit uisus in d. Erit ergo ex- tra superficiem circuli: et erunt duae lineae e a, e b perpendiculares super superficies, contingentes su perficiem columnę: et erit superficies trianguli d g e perpendicularis super superficiem circuli [per 18 p 11] quia g d est perpendicularis super superficiem circuli [ut ostensum est 41 n.] Superficies ergo trianguli d g e transit per totum axem: et in neutra superficie d b o, d a o est aliquid de axe columnae, nisi e, quod est centrum circuli:

Et utraque superficies d b o, d a o facit in superficie columnę sectio nem: [per 9 th. cylindricorum Sereni] et formae reflectuntur ex his sectionibus a duobus punctis a, b [ut patuit 41 n.] Forma ergo r reflectitur ad d ex b: et forma m reflectitur ex a: et n u erit diame ter imaginis m r: [sunt enim puncta n et u imagines punctorum r et m per 7 n 5] et est minor quam m r: [ut demonstratum est 42 n.] Et similiter duo puncta h, l reflectentur ad d ex duobus pun- ctis a, b: et erit t k diameter imaginis l h: et erit e i aequalis [ut pa- tuit 41 n] et erit p i diameter imaginis f q: et est maior illa. Et o- mnes istae imagines erunt conuersae [ut ostensum est 43 n.] Et si uisus fuerit in o, et lineae p i, t k, n u fuerint uisibiles: erunt e con- trario: tunc enim diameter imaginis p i erit minor ipsa: et diame- ter imaginis n u erit maior ipsa: et diameter t k erit ei aequalis. Et omnes imagines erunt rectae. Et omnia ista ostensa sunt in praedicto ca pitulo. Item cum utraque extremitas alicuius harum habuerit unam imaginem, et aliquod punctum in medio habuerit plures imagines: tunc illa linea habebit tot imagines, quot punctum medium habet. Et si utraque extremitas, uel altera habuerit plures imagines, et pun- ctum medium habuerit unam: tunc linea tot habebit imagines, quot habet punctum extremum. Et si utraque extremitas uel altera habue- rit multas imagines, et punctum medium habuerit multas imagines: tunc linea tot habebit imagines secundum maiorem numerum. Et hoc patebit, ut de imaginibus patuit speculorum sphaerico- rum concauorum. In speculis ergo columnaribus concauis accidit fallacia in omnibus, quae in eis comprehenduntur, sicut accidit in speculis sphaericis concauis: scilicet de formis specie- rum uisibilium, et de quantitatibus: et de numero suarum ima- ginum: et de rectitudine, et de conuersione, cum fallacijs, quę appropriantur reflexioni. Et fallaciae e- runt in his, ut in speculis praedictis. Et hoc est, quod uoluimus declarare in hoc capitulo.

DE ERRORIBVS, QVI ACCIDVNT IN SPECVLIS pyramidalibus concauis. Cap. IX.

IN his autem accidunt illae fallaciae, quae accidunt in speculis columnaribus concauis. Debilitas uero coloris et lucis: et diuersitas positionis, et remotionis accidunt in his, sicut in omnibus spe culis: nam caussa huius est reflexio. Accidit etiam in his speculis multitudo imaginum, sicut in speculis columnaribus et sphaericis concauis dictum in capitulo [secundo libri quinti] de imaginibus.

55. Si lineae: recta uel curua oblique incidant uertici speculi conici caui: reflectentur a latere conico add uisum inter ipsas et speculi superficiem positum: et imago rectae uidebitur parum cur- ua: curuae, recta. 31 p 9.

ACcidit etiam in eis, quod in columnaribus concauis, scilicet ut rectum uideatur conuexum et concauum. Huius autem demonstratio est: quod rectae lineae, quae extenduntur in longi- tudine speculi, quae transeunt per uerticem pyramidis, et quae sunt prope illas, uidentur con uexae, et forte rectae. Et demonstratio super hoc est, ut demonstratio in speculis columnaribus con- cauis. Nam si iterauerimus secundam figuram de fallacijs speculorum pyramidalium conuexorum [quae est 32 n] inueniemus diametrum imaginis lineae rectae positae in illo speculo, quae est illic linea a n, intra concauitatem speculi pyramidalis: et inueniemus punctum, quod est sub superficie contingen te pyramidem, transeuntemtranseunte per lineam longitudinis, a qua reflectitur forma lineę rectę ad uisum: quod il- lic punctum f. Si igitur fuerit punctum illud centrum uisus: erunt omnia puncta, quę sunt in diame- tro imaginis reflexa ad punctum f: et

imagines duarum extremitatum a p y erunt extremitates lineae rectae a n: et loca imaginis puncti p, quod est in medio a y, diuersa- buntur. Et hoc declarabitur eadem uia, qua processimus in demon- stratione primę figurę speculorum columnarium concauorum. Patet ergo ex hoc, quod si a p y fuerit in aliquo uisibili, et uisus fuerit f: tunc imago forte uidebitur con- uexa, et forte concaua. Et patet e- tiam in figura secunda de fallacijs speculorum columnarium conca uorum [52 n] quod lineae positae in latitudine speculi apparebunt concauae concauitate mirabili: et quod imagines linearum, quae sunt in superficiebus transeuntibus per axem et per centrum uisus, erunt rectae.

56. Si uisus sit in communi sectione planorum: lineae rectae et axis speculi conici caui, inter se perpendicularium: imago uidebitur recta et euersa: alias maior: alias aequalis: alias minor ipsa linea: alias simplex: alias multiplex. 34 p 9.

ITem: iteremus tertiam figuram de fallacijs speculorum sphaericorum concauorum ijsdem lite- ris [quae fuit 41 n.] Si ergo aliquod punctum fuerit in axe pyramidis: et duae lineae e a, e b fuerint perpendiculares super superficies, contingentes pyramidem: et hoc est possibile: quia sunt ae-

quales: possunt enim cum axe continere duos angulos acutos aequales. Cum ergo hae duę lineae fuerint perpendiculares, et fue rit uisus d: tunc superficies, in qua sunt g e, e d, transibit per totum axem, et per centrum uisus: et utraque superficies d a o, d b o erit de- cliuis super axem pyramidis: et erunt differentię earum duae sectio nes pyramidis [per 5 th. 1 conicorum Apollonij] et erunt formae punctorum h, r, q reflexę ad d ex b: et formae punctorum l, m, f re- flectentur ad d ex a. Cum ergo lineę m l f, r h q fuerint in aliqua su- perficie uisibili, et uisus fuerit in d: tunc n u erit imago m r: et t k erit imago l h et p i erit imago f q [ut ostensum est 54 n.] Sic ergo imago n r erit minor se ipsa: et imago f q maior seipsa: et imago l h aequalis sibi ipsi. Et omnes imagines erunt conuersae. Et si ui- sus fuerit in o, et n u, t k, p i fuerint in superficiebus uisibilium: tunc imagines earum erunt m r, l h, f q. Sic ergo erit imago f q sei- psa minor: et imago n u maior: et imago t k aequalis. Et istae imagi nes erunt rectae. Nam istae imagines erunt ultra centrum uisus, et comprehenduntur ante uisum super lineas radiales. Puncta ergo m, l, f comprehenduntur in linea a o: et puncta r, h, q comprehen- duntur in o b: et sic forma reflectetur recta. Patet ergo ex his, quę diximus in hoc capitulo: quod lineae rectę quandoque uidentur in his speculis conuexae: quandoque concauae: quandoque rectae: et quandoque maiores: et minores: et aequales: et quandoque rectę, con uersae. Et in capitulo [secundo libri quinti] de imagine declara- uimus, quod omne punctum uisibile in huiusmodi speculis quandoque habet unam imaginem: quandoque duas: et tres: et quatuor. In omnibus ergo, quae comprehenduntur in his specu- lis, accidit fallacia, ut in columnaribus concauis: acciduntque e- tiam in eis fallaciae compositae, sicut in caeteris speculis: et exempla, et declaratio eorum sunt, sicut in speculis planis. Et hoc intendimus declarare in hoc capitulo: nunc autem finiamus sextum tractatum.

ALHAZEN FILII ALHAYZEN OPTICAE LIBER SEPTIMVS.

SEptimi tractatus sunt septem partes. Prima pars est proemium. Secunda, quod lux transeat diaphana corpora secundum uerticationes linearum rectarum, et refrin gatur, cum occurit corpori, cuius diaphanitas fuerit diuersa a diaphanitate corporis, in quo existit. Tertia de qualitate refractionis luminum in diaphanis corporibus. Quarta, quod quicquid comprehenditur a uisu ultra diaphana corpora, quorum diaphanitas dif- fert a diaphanitate corporis, in quo uisus existit, cum fuerit decliue a perpendicularibus, exeuntibus super superficiem eorum, comprehenditur secundum refractionem. Quinta de phantasmatibus. Sexta, quomodo uisus comprehendat uisibilia secundum refractio- nem. Septima de fallacijs uisus, quae accidunt ex refractione.

PROOEMIVM LIBRI. CAP. I.

1. Visio fit trifariam: recte, reflexe et refracte. In praefat.1. 10 libr. Idem 1 n 4.

PRaedictum est in prooemio quarti tractatus huius libri [1 n] quod uisus tribus modis comprehendat uisibilia, uidelicet secundum rectitudinem: secundum reflexionem a tersis corporibus: et secundum refractionem ultra diaphana corpora, quae differunt in diaphanitate a diaphanitate aeris: et quod uisus nihil comprehendit ex uisibilibus, nisi aliquo istorum trium modorum: et quod quolibet istorum modorum comprehendit uisus uisi bilia et omnes res, quae sunt in uisibilibus, et omnibus modis uisionis, quorum distin- ctio declarata est in ultima differentia secundi tractatus. In praecedentibus autem tractatibus decla ratum est, qualiter uisus comprehendat uisibilia secundum rectitudinem, et secundum reflexionem: et ostendimus diuersitatem comprehensionis uisus ad uisibilia secundum utrumque istorum modo- rum. Remanet ergo declararare, quomodo uisus comprehendat uisibilia secundum refractionem ultra corpora diaphana. Nos autem in isto tractatu solummodo de refractione tractabimus: et ma- nifestabimus formam refractionis: et distinguemus eius modos: et diuidemus proprietates eius: et declarabimus, quomodo accidat uisui in huiusmodi uisione. Et primo proponemus fundamenta, quae certificant, quicquid dependet ab hac re.

QVOD LVX PERTRANSEAT PER DIAPHANA CORPORA SECVN cum uerticationes linearum rectarum, et refringatur, cum occurrit cor- pori, cuius diaphanitas fuerit diuersa a diaphanitate corporis, in quo existit. Cap. II.

2. Constructio organi refractionis. 1 p 2.

QVod lumen quidem transeat in aerem, et extendatur secundum lineas rectas, declaratum est in tractatu primo huius operis: [14. 17. 28 n] aer autem est unum de corporibus diaphanis: per aquam autem, uitrum, et diaphanos lapides lumen transit, et extenditur secundum lineas rectas: hoc autem comprehenditur per experientiam. Si quis ergo experiri uoluerit: accipiat lami- nam ex aere rotundam, cuius diameter non sit minor uno cubito: et sit spissitudo eius aliquantulum fortis: et habeat oras rotundas, perpendiculares super superficiem eius: et sit altitudo orarum eius non minor latitudine duorum digitorum. In medio autem dorsi laminae sit aliquod corpus paruum, columnare, rotundum, cuius longitudo non minor latitudine trium digitorum: et sit perpendiculare super superficiem laminae. Et ponamus hoc instrumentum in tornatorio, in quo tornant tornarij in- strumennta cupri, et ponamus alterum dentem tornatorij in medio laminae, et reliquum in medio ex- tremitatis corporis, quod est in dorso laminae: et radamus reuoluendo hoc instrumentum abrasio- ne uera, quousque uerificetur rotunditas orarum suarum intus et extra, et adaequetur superficies inte rior et exterior, et fiant duae superficies aequidistantes: et abrademus etiam corpus, quod est in dor- so, donec fiat rotundum. Cum ergo hoc instrumentum fuerit perfectum per abrasionem: signemus in superficie eius interiore duas diametros secantes se perpendiculariter: et sunt transeuntes per cen trum eius: deinde signemus punctum in basi orae instrumenti, cuius distantia ab extremitate alte- rius duarum diametrorum secantium se, est latitudo unius digiti: deinde extrahamus ex isto pun- cto tertiam diametrum transeuntem per centrum laminę: quę quidem diameter extendatur in tota superficie eius: deinde extrahamus a duobus extremis huius diametri duas lineas in superficie orae instrumenti, perpendiculares super superficiem laminae. Deinde diuidemus ex altera istarum dua- rum linearum tres lineas paruas, aequales, quarum prima sequitur superficiem laminae: et longitu- do cuiuslibet harum sit in quantitate medietatis grani hordeacei: fient ergo super lineam perpendi

cularem tria puncta, quę sunt fines illarum linearum. Deinde reducamus hoc instrumentum ad tornatorium, et signemus in ipso tres circulos aequidistantes, trans- euntes per tria puncta, quae sunt super lineam per- pendicularem super extremitatem diametri: secabi- tur ergo alia perpendicularis, quae est perpendicula- ris super aliam extremitatem huius diametri, per istos tres circulos, et fient in ipsa tria puncta, et fient in u- noquoque trium circulorum duo puncta opposita, quae sunt extrema alicuius diametri ex ipsorum diametris. Deinde diuidamus medium circulum ex istis tribus circulis in 360 partes, et si possibile fuerit, in minuta: deinde perforemus in ora instrumenti foramen ro- tundum, cuius centrum sit medium punctum trium punctorum, quae sunt super alteram duarum linea- rum, perpendicularium super extremitatem diame- tri laminae: et sit medietas diametri eius in quantita- te distantiae, quę est inter circulos: perueniet ergo cir cumferentia foraminis inter duos circulos aequidi- stantes, qui sunt in extremitatibus. Postea accipia mus laminam subtilem quadratam, aliquantulae spissitudinis: cuius longitudo sit in quantitate alti- tudinis orae instrumenti: et cuius latitudo sit prope hoc: et adaequetur superficies eius, quantum po test: et adaequetur spissitudo eius etiam, quae sequitur alteram extremitatem eius, quousque differen- tia communis inter superficiem faciei eius, et inter superficiem spissitudinis eius, sit linea recta: quam lineam diuidemus in duo aequalia: a cuius medio extrahamus lineam rectam in superficie faciei e- ius perpendicularem super lineam rectam, quę est communis differentia. Deinde diuidamus ex hac

linea perpendiculari ex parte extremitatis, quae est super communem dif- ferentiam, tres lineas, aequales inter se, et aequales unicuique paruarum li- nearum, quae distinctae sunt super perpendicularem lineam in ora laminae: fient igitur super lineam perpendicularem in facie laminae paruae tria pun- cta. Deinde perforabimus hanc paruam laminam foramine rotundo, cu- ius centrum sit medium punctum punctorum, quę distinguunt lineas, quę sunt in ea: et sit medietas diametri eius aequalis alicui uni linearum parua- rum: erit ergo hoc foramen aequale foramini, quod est in ora instrumenti. Deinde signabimus super diametrum laminae, super cuius extremitates sunt duae lineae perpendiculares: punctum in medio lineae, quae est inter centrum laminae et extremitatem diametri, quae est in parte foraminis: et faciamus transire super hoc pun- ctum lineam perpendicularem super diametrum: deinde ponamus basim laminę paruae super hanc lineam, quousque differentia communis, quę est in parua lamina, superponatur huic lineae perpendi culari super diametrum: et erit punctum, quod diuidit differentiam communem, quę est in parua la mina, in duo aequalia, positum super punctum signatum in diametro laminae. Hoc autem facto, ap- plicetur parua lamina cum maiore, completa applicatione et consolidatione: tunc ergo foramen, quod est in parua lamina, erit oppositum foramini, quod est in ora instrumenti. Et erit linea intelle- cta, quae copulat centra duorum foraminum, in superficie circuli medij trium circulorum, qui sunt in interiore ora instrumenti: et erit aequidistans diametro laminae: et erit lamina parua, quae appli- cabitur puncto, quasi ora astrolabij. Hoc autem completo, secetur de ora instrumenti quarta, quae sequitur quartam, in qua est foramen ex quatuor quartis distinctis per duas primas diametros, per- pendiculariter se secantes, et adaequetur locus sectionis, donec fiat unus cum superficie laminae. lDeinde accipiamus regulam aeris, cuius longitudo non sit minor, sed maior uno cubito, et quadra- tae figurę, quam circundent quatuor superficies aequales in latitudine duorum digitorum: et adae-

quentur superficies eius, in quantum potest, donec fiant aequales et habentes angulos rectos. Dein de perforetur in medio alicuius superficiei e- ius foramen rotundum, cuius amplitudo sit tanta, ut possit recipere corpus, quod est in dor- so instrumenti, ut reuoluatur in ipso non leui reuolutione, sed difficili: et sit foramen perpen diculare super superficiem regulae, et transiens ad aliam partem regulae: deinde ponamus instrumentum super regulam, et mittamus corpus, quod est in instrumenti dorso, in foramen, quod est in medio regulae, donec superponatur superfi- cies instrumenti superficiei regulae. Hoc autem facto, secetur illud, quod superfluit ex extremitati- bus regulae super diametrum laminae: nam regula longior est, quam diameter laminae, quia sic po- suimus eam. Cum ergo secuerimus duas superfluitates ex duabus extremitatibus regulae, reduce- mus has duas superfluitates, et ponemus illas super duas extremitates regulę, ita ut ponamus duas extremitates superfluitatum super duas extremitates illius, quod remansit de regula, et applicabi- mus superficiem extremitatum cum superficie dorsi instrumenti: et erit illud, quod ponetur ex u- traque duarum superfluitatum super residuum regulae aequale latitudini unius digiti. Hac autem po- sitione considerata eminebunt duae superfluitates super duas extremitates regulę. Et si perforatum fuerit illud, quod superfluit de corpore in dorso instrumenti, et immissus fuerit in foramen eius sti- lus ferreus, qui ipsum prohibeat exire, erit melius. Hoc autem perfecto, perfectum erit instrumen- tum. Deinde accipiat experimentator regulam cupream paruae latitudinis, cuius latitudo sit dupla diametri foraminis, quod est in ora instrumenti: et cuius spissitudo sit aequalis diametro foraminis, et cuius longitudo non sit minor medietate cubiti: et uerificabitur regula ista, donec fiat ualde re- cta et uera: et fiant superficies eius aequales et aequidistantes. Deinde oblique secabimus altera par te latitudinem eius, quousque finis longitudinis eius contineat cum fine latitudinis eius angulum a- cutum, ut possit sic facilius declinare et mouere eam quocunque quis uoluerit: et ponet latitudinem eius ex alia extremitate perpendicularem super finem longitudinis eius. Deinde diuidemus hanc latitudinem in duo aequaia, et extrahemus ex loco diuisionis lineam in superficie faciei regulae, quae extendatur in longitudine eius, et erit perpendicularis super latitudinem eius. Cum ergo haec regula fuerit superposita superficiei laminae, erit superficies eius superior in superficie circuli me- dij trium circulorum figuratorum in interiore ora instrumenti. Nam spissitudo huius regulae est ae- qualis diametro foraminis, et diameter foraminis est aequalis perpendiculari exeunti e centro fo- raminis, quod est in ora instrumenti ad superficiem laminae: quia diameter foraminis est aequa- lis duabus lineis trium linearum paruarum, quae distinctae sunt de linea perpendiculari in interio- re ora instrumenti. Cum ergo haec regula fuerit erecta super oram ipsius, et fuerit superficies latitu- dinis eius super superficiem laminę: tunc linea descripta in medio eius, erit in superficie medij cir- culi praedicti: quia perpendicularis, quę egreditur a quolibet puncto huius lineę ad finem longitu- dinis regulę, est aequalis perpendiculari, quę egreditur a centro foraminis ad superficiem laminę: nam utraque istarum perpendicularium est aequalis diametro foraminis.

3. Radius medio densiori perpendicularis, irrefractus penetrat. 42 p 2. Idem 17 n 1.

CVm ergo experimentator uoluerit experiri transitum luminis in aqua per hoc instrumen- tum: accipiet uas rectarum orarum, ut cadum cupreum, aut ollam figulinam, aut consimile: et sit altitudo orarum eius non minor medietate cubiti: et sit diameter circumferentię eius non minor diametro instrumenti: et adaequentur orę eius, donec superficies, quę transit per oras eius, sit superficies aequalis: et ponamus in fundo eius corpus diuersarum partium aut diuersorum colorum, ut annulum, aut argentum depictum, aut depingatur in fundo eius pictura manifesta: de- inde infundatur aqua clara in uas, donec impleatur: et expectetur donec motus eius quiescat. Cum ergo motus eius quieuerit, erigatur aspiciens, aut sedeat erectus, et aspiciat ad uas, et apponat ui- sum suum corpori, quod est in fundo aquę, aut picturę, quę est in fundo aquę, donec linea inter ui- sum et medium illius corporis aut picturę illius, sit perpendicularis super superficiem aquę quo ad sensum, et aspiciat corpus, quod est in fundo, aut picturam: tunc inueniet illam eo modo, quo est, et inueniet ordinationem suarum partium inter se eo modo, quo ordinarentur, si aspiceret illud, cum uas esset uacuum. Hoc autem declarato, certificatur, quod illud, quod comprehenditur in fundo a- quae, cum aspexerit illud eadem positione, qua aspexit corpus, quod est in fundo aquae, aut pictu- ram: comprehenditur secundum ordinationem suarum partium. Hoc autem certificato, si quis uo- luerit experiri transitum lucis: eligat locum, super quem oritur lux solis, in quo ponat uas, et obser- uet, ut superficies circumferentię uasis sit aequidistans horizonti: hoc autem potest obseruari hoc modo: ut sit circumferentia superficiei aquę aequidistans circumferentię uasis: et si intus in uase prope circumferentiam eius fuerit signatus circulus, aequidistans circumferentię uasis, erit melius ad hoc, ut circumferentia superficiei aquę comparetur ad circumferentiam circuli. Deinde expe- rimentator debet imponere instrumentum rotundum intra hoc uas, ita ut duę regulę paruę po- sitae super duo extrema regulae maioris, superponantur orae uasis ex utraque parte: tunc medietas instrumenti, et regula extensa in longitudine instrumenti erunt intra uas: deinde addatur aqua, aut diminuatur de ea, donec fiat superficies aquę una cum centro instrumenti: et sit aqua clara: deinde reuoluatur instrumentum in circuitu uasis, donec obumbretur illud, quod est intra aquam ex oris eius: tunc teneatur regula altera manu, et reuoluatur reliqua manu instrumentum super se in cir- cuitu centri eius, donec foramen, quod est in ora instrumenti, sit oppositum corpori solis, et tran- seat lumen solis per foramen orae instrumenti, et perueniat ad alterum foramen tabulę paruae, et transeat per illud. Cum ergo pertransierit forma lucis per duo foramina, perueniet ad fundum a- quae: tunc experimentator obseruabit, ut situs lucis in regula de secundo foramine, sit situs aequa- lis: hoc autem situ praeseruato, et luce perueniente ad superficiem aquae, auferat experimentator manus suas ab instrumento, et stet uel sedeat erectus, et inspiciat ad fundum aquae, ex quarta, cu- ius orae sunt abscissę, et seruet positionem, quam seruauerat, cum aspexerat corpus, quod erat in fundo aquae, ut sit certus, quod illud, quod uidet, est, secundum quod est: tunc ergo cum intue- bitur illud, quod est intra aquam de ora instrumenti: inueniet lumen pertransiens ex duobus fo- raminibus super superficiem orae instrumenti, quae est intra aquam: et inueniet lumen inter duos circulos aequidistantes extremos de tribus circulis signatis in interiore parte instrumenti orae: aut ad- detur super distantiam, quae est inter circulos, modicum: et erit additio eius ex duobus lateribus cir- culorum aequalis. Sequitur ergo ex positione, quod punctum, quod est in medio luminis appa- rentis intra aquam, quod est super interiorem partem orae instrumenti, sit per medium circulum trium circulorum aequidistantium, qui sunt in interiore parte orae instrumenti. Et hoc lumen, quod est intra aquam, erit manifestum, quod ora superior instrumenti, quae circumdat superius fora- men, obumbrat interiorem partem orae instrumenti, quae circundat lumen, quod est in interiore parte orae instrumenti. Et sic in illo loco non erit ex interiore parte orae instrumenti aliquid de lu- mine solis, nisi lumen, quod exit ex duobus foraminibus. Deinde experimentator accipiat li- gnum minutum, siue acum, et applicet eam in exteriore parte superioris foraminis, quod est in o- ra instrumenti, et obseruet, ut acus transeat per medium foraminis: Deinde aspiciat supra uas, et seruet positionem, quam mensurauit prius: tunc uidebit umbram acus in medio lucis: deinde in- curuet acum attrahendo ipsam, donec extremitas eius sit in medio foraminis, et intueatur lumen, quod est intra aquam, et quod est in superficie aquae: tunc inueniet umbram extremitatis acus in medio lucis, quae est intra aquam, et in medio lucis, quae est in superficie aquae. Deinde mutet po- sitionem acus, et ponat extremitatem eius etiam apud medium foraminis, et intueatur umbram: tunc inueniet umbram extremitatis acus apud medium lucis: deinde leuet acum: et inueniet lu- cem redeuntem ad suum statum intra aquam, et in superficie aquae. Deinde applicet acum in late- re foraminis, et ponat eam chordam in foramine, non diametrum, et intueatur lumen, quod est in- tra aquam, et in superficie aquae: tunc inueniet in utroque illorum umbram, quae est chorda: dein- de leuet acum: tunc inueniet lumen rediens ad locum suum: et si mutauerit situm acus in lateribus foraminis: inueniet umbram semper in latere luminis. Declarabitur ergo ex hac experientia, quod ad punctum, quod est in medio lucis, quae est intra aquam, in circumferentia medij circuli, non exi uit lux, nisi ex puncto, quod est medium lucis, quae est in superficie aquae: et quod ad punctum, quod est medium lucis, quae est in superficie aquae, nun exiuit lux, nisi ex puncto, quod est centrum foraminis superioris, et transiuit per centrum foraminis inferioris, quod est in oris alijs. Nam si non transisset per centrum foraminis inferioris, non manifestaretur medium lucis, quae est in super ficie aquae, cum acus esset in medio foraminis inferioris, sed non manifestaretur de luce, quae est in superficie aquae, nisi locus alius a centro eius. Lux ergo, quae peruenit ad punctum, quod est cen- trum lucis, quae est in superficie aquae, et lux, quae extenditur in aere, non extenditur nisi secun- dum lineas rectas. Lux ergo, quae transit per centra duorum foraminum, extenditur secundum rectitudinem lineę transeuntis per centra duorum foraminum: haec autem lux est illa, quę peruenit ad medium lucis, quae est in superficie aquae. Punctum ergo, quod est in medio lucis, quae est in su- perficie aquae, est in linea recta transeunte per centra duorum foraminum. Et haec linea est in su- perficie medij circuli de tribus circulis signatis in interiore parte orae instrumenti: et est illius dia- meter, quia haec linea est aequidistans diametro circuli, qui est in superficie laminae. Cum ergo pun- ctum, quod est in medio lucis, quae est in superficie aquae, fuerit super hanc lineam: tunc illud punctum est in superficie circuli medij praedicti: punctum autem, quod est in medio lucis, quae est intra aquam, est in circumferentia medij circuli: ergo haec duo puncta sunt in superficie medij circu li. Si ergo lux, quae est in superficie aquae, latuerit, et non fuerit bene manifesta: tunc experimenta- tor mittet illam minorem regulam in aquam, et applicet oram eius in superficie laminae, et ponat superficiem, in qua signata est linea, sequentem superficiem aquae, et moueat eam, donec superfi- cies eius fiat cum superficie aquae. Cum ergo superficies regulae fuerit cum superficie aquae, et fue- rit regula erecta super oram eius: tunc linea, quae est in superficie ipsius, erit in superficie circuli medij, qui transit per centra duorum foraminum: hac autem positione praeseruata: apparebit lux, quae est in superficie aquae, super superficiem regulae, et inueniet medium lucis super lineam, quae est in medio regulae. Et si acus sit posita super medium superioris foraminis: tunc linea, quę est in medio regulae, obumbrabitur: et si extremitas acus fuerit posita super centrum foraminis, ap- parebit umbra extremitatis acus in medio lucis, quae est super regulam: et si acus fuerit ablata, redibit lux, sicut erat. Cum hac ergo regula apparebit lux, quae est in superficie aquae, apparitio- ne manifesta, et manifestabitur, quod est supra lineam transeuntem per centra duorum forami- num: et iam posueramus superficiem aquae apud centrum laminae. Cum ergo superficies regulae fuerit cum superficie aquae: transibit superficies regulae per centrum laminae: et tunc erit remo- tio centri lucis a centro laminae aequalis medietati latitudinis regulae, quae est aequalis perpendicu- lari cadenti a centro foraminis super superficiem laminae: et sic erit centrum lucis, quę est in super- ficie regulę, centrum circuli medij. Deinde oportet experimentatorem auferre regulam subtilem, et mittere eam iterum in aquam, et applicare superficiem latitudinis eius cum superficie lami- nae, et ponere angulum eius acutum apud centrum lucis, quae est intra aquam, scilicet angulum, qui est in superficie eius superiore: deinde moueat regulam, donec acuitas eius inferior transeat per centrum laminae, et sic acuitas eius superior transibit per centrum circuli medij. Punctum ergo ex linea superiore regulę, quod est in superficie aquę, est centrum circuli medij: est ergo cen- trum lucis, quae est in superficie aquae: et erit longitudo eius diametri ex diametris medij circuli. Hac autem ratione praeseruata, accipiat experimentator acum longam: et mittat eam in aquam: et ponat caput suum in punctum ultimitatis regulae: et intueatur lucem, quae est intra aquam: tunc inueniet umbram acus secantem lucem: et inueniet umbram capitis acus apud cornu regu- lae, quod est apud medium lucis. Deinde mutet positionem acus, et caput eius sit in loco eius ex fine regulae: tunc mutabitur situs umbrae ex luce, quae est intra aquam: et erit umbra capitis acus inseparabilis a medio lucis: deinde auferat acum et redibit lux ad locum suum. Deinde mittat a- cum in aquam iterum, et ponat caput eius in alio puncto finis regulę, et intueatur umbram, donec inueniat secantem lucem, quae est intra aquam: et inueniet umbram capitis acus in medio lucis. De- inde mutet positionem acus super multitudinem punctorum ex acuitate regulae: et inueniet um- bram capitis eius semper in medio lucis. Declarabitur ergo ex hac experientia declaratione mani- festa, quod lux, quae est in puncto mediante lucem, quae est intra aquam, quę est super circumferen- tiam medij circuli: peruenit ad illud punctum a puncto, quod est medium lucis, quae est in superficie aquae. Et declarabitur cum hoc, quod haec lux extenditur super lineam rectam, quę est finis regulae. Nam experientia eius per extremitatem acus ex diuersis locis in fine regulę ostendit illam transeun- tem per omne punctum finis regulae. Hac ergo uia experimentabitur transitus lucis per corpus aquae: ex quo declarabitur, quod extensio lucis per corpus aquae est secundum uerticationes re- ctarum linearum.

4. Radius medio densiori obliquus, refringitur ad perpendicularem a refractionis puncto excitatam. 43 p 2. Idem 17 n 1.

DEinde oportebit experimentatorem ponere super centrum lucis signum fixum cum sculptio- ne: deinde quando experimentator intuebitur punctum, quod est in medio lucis, quę est in- tra aquam: inueniet ipsum non aequidistans duabus extremitatibus diametri laminae, sed ex- tra duas lineas perpendiculares, quę sunt super extremitatem diametri laminae, quę est intra aquam: et inueniet declinationem eius ab ista linea ad partem, in qua est sol: et inueniet inter punctum, quod est centrum mediae lucis, et punctum, quod est communis differentia lineae perpendiculari super extremitatem diametri laminae, et puncto medio, quod est extremitas diametri medij circuli, tran- seuntis per centrum foraminis: inueniet dico, distantiam sensibilem. Hoc declarato, oportet mitte- re regulam subtilem in aquam, et applicare eam cum superficie laminae, et ponere terminum regu- lae super centrum laminę, et mouere regulam, quousque acuitas eius sit perpendicularis super super- ficiem aquae, quo ad sensum: tunc igitur inueniet centrum lucis, quę est intra aquam, inter acuitatem regulae et lineam perpendicularem super diametrum laminae. Declarabitur ergo ex hoc, quod haec refractio est ad partem perpendicularis, exeuntis a loco refractionis perpendicularis super super- ficiem aquae. Cum ergo certus fuerit experimentator de hoc: oportebit eum signare apud extremi- tatem regulae, quę est super circumferentiam medij circuli, quę est extremitas perpendicularis, ex- euntis a centro medij circuli perpendicularis super superficiem aquae, signum fixum, ut primum, quod signatum est apud centrum lucis. Et iam declaratum est, quod lux, quę peruenit ad punctum, quod est centrum lucis, quae est intra aquam, est lux extensa secundum rectitudinem lineae conti- nuantis duo centra foraminum: et haec linea peruenit ad centrum medij circuli aequidistantis super- ficiei laminae: et est illius diameter. Si hęc linea fuerit extensa in imaginatione secundum rectitudi- nem intra aquam, donec perueniat ad oram laminae: tunc igitur erit aequidistans diametro laminae, et perueniet ad lineam perpendicularem in interiore parte orae laminae. Et cum centrum lucis, quę est intra aquam, non est super perpendicularem lineam orae laminae: tunc lux, quę extenditur a me- dio lucis, quę est in superficie aquae, ad medium lucis, quae est intra aquam, non extenditur secun- dum rectitudinem lineae transeuntis per centra duorum foraminum, sed refringitur. Declaratum est autem, quod haec lux extenditur recte a medio lucis, quę est in superficie aquae, ad medium lucis, quae est intra aquam. Ergo refractio huius lucis est apud superficiem aquae.

5. Radij incidentiae et refractionis sunt in uno plano. 46 p 2.

ET iam declaratum est, quod haec lux transit per centra duorum foraminum, et per medium lucis, quae est in superficie aquae, quod est centrum circuli medij, aequidistantis superficiei la- minae, et per medium lucis, quae est intra aquam, quod est in circumferentia medij circuli. Ex quo patet, quod lumen perueniens ad centrum luis, quae est intra aquam, dum extenditur in aere, et postquam refringitur intra aquam, est in eadem superficie aequali, scilicet in superficie circuli me- dij trium circulorum, qui sunt in interiore parte orae instrumenti. Et refractio haec inuenitur, quando linea transiens per centra foraminum fuerit decliuis super superficiem aquae, non perpendicularis. Et nunquam erit haec linea perpendicularis super superficiem aquae in hora transitus lucis solis, nisi quando fuerit sol in uertice capitis: et hoc erit in aliquibus locis, et non in omnibus: et in quibus- dam temporibus, non in omnibus: neque transit sol per uerticem capitis habitantium in pluribus lo- cis habitationis: et in quibus transit: in istis locis distinguetur hęc experimentatio in omni tempo- re: illi autem super quorum zenith transit sol, si uoluerint hoc experiri, cauebunt tempus, in quo sol transit per capita eorum.

6. Radius medio rariori perpendiculari, irrefractus penetrat. 44 p 2.

ITem accipiat experimentator frusta uitri clari, quorum figurae sint cubicae: et sit longitudo uniuscuiusque eorum dupla diametri foraminis, quod est in ora instrumenti: et adaequentur superficies eorum ue- hementer per confricationem, quousque sint aequales et aequidistantes, et latera sint recta: deinde po- liantur. Hoc autem completo, signetur in medio laminae linea recta transiens per centrum eius: et sit perpendicularis super diametrum eius, super cuius extrema sunt lineae duae perpendiculares in in- teriore parte orae instrumenti, et transeat in utramque partem: et signetur haec linea ferro, ut descendat in corpus laminae, et remaneat ibi. Deinde ponat unum uitrorum cubicorum super superficiem la- minae, et applicet unum latus suorum laterum cum hac perpendiculari, et ponat medium lateris ui- tri uere super centrum laminae, et ponat corpus uitri ex parte foraminum. Transibit ergo diameter laminae, super cuius extrema sunt duae lineae perpendiculares, per medium superficiei uitri superpo- sitae laminae. Hac positione praeseruata, applicetur uitrum applicatione fixa per glutinum tali modo, aut possit euelli: deinde accipiatur alterum uitrum, et ponatur ultra primum, scilicet ex parte forami- num, et applicetur aliqua superficierum eius superficiei primi uitri: hoc praeseruato, applicetur secun dum uitrum laminae applicatione fixa: deinde accipiatur tertium uitrum, et applicetur secundo ui- tro, et adaequetur superficies eius cum duabus superficiebus laterum secundi uitri, et applicetur la- minae: et sic fiat de pluribus uitris, quousque perueniant uitra ad oram perpendicularium super super- ficiem instrumenti, aut prope. Cum ergo uitra fuerint applicata superficiei laminae secundum posito- nem praedictam: transibit diameter laminae, super cuius extremitates sunt duae lineae perpendicula- res in extremitate instrumenti, per mediam superficiem uitrorum superpositorum laminae: altitudo autem istorum uitrorum in latitudine est dupla diametri foraminis: sed diameter foraminis est aequa lis perpendiculari exeunti a centro foraminis super superficiem laminae et super diametrum eius: ergo unaquaeque perpendicularium exeuntium a centris superficierum uitrorum, scilicet superficierum per- pendicularium super superficiem laminae, secantium diametrum oppositam duobus foraminibus, est aequalis perpendiculari exeunti a centro foraminis super superficiem laminae, et super diametrum lami- nae: et cadent perpendiculares exeuntes a centris superficierum uitrorum ad superficiem laminae, super dia- metrum laminae, super cuius extremitates est perpendicularis, egrediens a centro foraminis. Linea ergo transiens per centra duorum foraminum, si extendatur in imaginatione secundum rectitudinem, transibit per centra superficierum uitrorum, scilicet superficierum perpendicularium super superficiem laminae oppositae duobus foraminibus. Deinde experimentator accipiat regulam subtilem praedictam: et erigat eam super oram ipsius in superficie laminę: et ponat faciem eius, in qua signata est linea ex par- te primi uitri, quod est super centrum laminae, et ponat regulam prope uitrum, et ponat finem lon- gitudinis regulae secantem diametrum laminae perpendiculariter. Hoc autem praeseruato, applicet regulam laminae applicatione fixa, ita ut possit euelli: hac autem positione praeseruata in regula: tunc linea, quae est in superficie regulae, erit in superficie medij circuli ex tribus circulis, signatis in inte- riore parte orae instrumenti: et transibit linea recta per centra duorum foraminum, et per media su- perficierum uitrorum, secans lineam, quę est in regula. Hoc toto completo, ponatur instrumentum in uas praedictum: sit autem uas uacuum aqua: et ponatur uas in sole, et moueatur instrumentum, quousque lux solis transeat per duo foramina: et sit lux apud secundum foramen aequalis: tunc igitur intueatur experimentator superficiem regulae oppositam uitro: et inueniet lucem exeuntem a duo- bus foraminibus super superficiem regulae: et inueniet illud, quod circundat lucem ex superficie regulae, obumbratum umbra orae instrumenti: et inueniet centrum uisus super lineam, quae est in superficie regulae. Hoc autem declarato, accipiat festucam subtilem, uel acum, et ponat illam super superius foramen, et ponat extremitatem perpendiculariter super centrum foraminis, et intueatur lucem, quae est super regulam: tunc inueniet umbram extremitatis festucae super centrum lucis, et inueniet illam super lineam, quę est in superficie regulae. Tunc ergo accipiat experimentator pen- nam intinctam incausto, et signet super extremitatem umbrę, quę est in medio lucis, quę est super re- gulam, punctum: ergo erit istud punctum super lineam, quę est in superficie regulae: deinde auferat acum a superiore foramine: et ponat ipsam super inferius foramen, scilicet quod est in ora: et ponat extremitatem acus super centrum foraminis: et intueatur lucem, quę est super regulam: tunc inue- niet umbram extremitatis acus super punctum, quod est in superficie regulę: deinde auferat acum, et redibit umbra ad suum locum. Declarabitur ergo ex hac experimentatione, quod lux, quę est su- per punctum, quod est in superficie regulae, est lux, quę transit per centra duorum foraminum. Deinde accipiat experimentator calamum tinctum incausto, et signet punctum in uero medio superficiei uitri ex parte regulae: si uero non comprehendat medium uitri, quo ad sensum: signet in ipso duas diametros secantes se, et locus sectionis est medium superficiei uitri. Hoc autem facto, intueatur lucem, quę est super regulam: et inueniet umbram puncti, quod est in medio uitri super punctum, quod est in su- perficie regulae. Declarabitur ergo ex hoc, quod lux, quae transit per duo centra duorum foraminum, transibit per punctum, quod est in medio uitri. Hoc autem declarato oportet experimentatorem ui- trum primum euellere, et signare in superficie secundi uitri punctum medium, ut prius, et compo nere instrumentum secundo, et moueat ipsum, quousque lux transeat per duo foramina: deinde in- tueatur: et inueniet lucem peruenientem ad centrum lucis, quę est in superficie regulę: et est lux, quę transit per centra duorum foraminum. Declarabitur igitur ex hoc, quod lux, quę transit per centra duorum fo- raminum, transit etiam per punctum, quod est in medio superficiei secundi uitri: et situs eius est situs lucis tran- seuntis per centra duorum foraminum de superficiebus uitrorum in prima experimentatione: et cum hoc quando lux transit per punctum, quod est in medio uitri secundi: tunc lux, quae transit per centra duorum foraminum in prima experimentatione, transit etiam per punctum, quod est in medio uitri secundi. Deinde opor- tet experimentatorem euellere secundum uitrum, et experiri tertium, et sic de cęteris usque ad ultimum. Patebit ergo experimentatione hac, quod lux quae transit per centra duorum foraminum, perueniens ad superficiem regulae, transit per centra superficierum uitrorum omnium positorum super superficiem la- minae. Manifestum est ergo, quod sit in rectitudine lineae transeuntis per centra duorum foraminum: et lux, quae transit per centra duorum foraminum in experimentatione omnium uitrorum, extenditur in rectitudine lineae continuantis centra duorum foraminum. Manifestum est ergo, quod lux, quae transit per lineam rectam, transeuntem per centra duorum foraminum, transit etiam per centra superficierum uitrorum. Ex quo patet, quod lux transit in corpus uitri, in quo extenditur, postquam transit, secundum lineas re- ctas: et quod lux, quae transit per centra duorum foraminum, extenditur etiam in corpus uitri secundum rectitudinem lineae, per quam extendebatur in aere, antequam pertransiret uitrum: et illa linea, per quam extenditur lux in aere, est perpendicularis super superficiem uitri oppositam foramini [per 8 p 11.] Nam linea, quae transit per centra duorum foraminum, est aequidistans diametro laminae, quę est per- pendicularis super primam superficiem superficierum uitrorum: quia est perpendicularis super dif- ferentiam communem inter superficiem uitri, et superficiem laminae. Item accipiat experimentator medietatem sphęrae uitreae mundae clarae, ut crystallinae, cuius semidiameter sit minor distantia in- ter tabulam et centrum laminae, et inueniat centrum basis eius, super quod signet lineam subtilem cum incausto: postea separet ex hac linea ex parte centri basis, quod est centrum sphaerae, lineam aequa- lem diametro foraminis, quod est in ora instrumenti: erit ergo haec linea aequalis lineae, quae est inter

centrum foraminis, quod est in ora instrumenti, quae est perpendicularis super su- perficiem laminaelaminae et inter superficiem laminae. Deinde statuamus super extremitatem lineae separatae a dia- metro lineam perpendicularem, et extrahamus illam in utramque partem: deinde fecemus uitrum super hanc lineam in confrictorio uel in tornatorio, donec lo- cus sectionis fiat superficies aequalis, et perpendicularis super superficiem basis semicirculi, et mensuremus angulum, qui est inter duas superficies, per angulum rectum factum ex cupro, donec uerificetur superficies ista: et tunc differentia communis huic superficiei et superficiei basis sphęrae erit linea recta: et linea copulans centrum sphęrae cum hac linea, erit perpendicularis super su- perficiem factam: postea sumatur in medio huius lineae, quę est communis differentia, particula parua, quae est signum medij eius. Hoc completo, poliatur uitrum uehementissime, et ponatur super superficiem laminae, et gibbositas eius sit ex parte foraminum, et sit pars facta in uitro super superficiem laminae, et superponatur linea recta, quae est communis differentia duabus superficiebus aequalibus, quę sunt in uitro, super lineam scilicet signatam in lamina, secantem diametrum perpendiculariter, et ponatur medium lineae super centrum laminae. Hac ergo positione praeseruata, applicetur uitrum laminae applicatione fixa: deinde ponamus regulam subtilem super superficiem instrumenti, sicut ponebamus in experimenta- tione uitrorum cubicorum, et ponamus superficiem regulae, in qua est linea recta latitudinis, sit ex parte uitri, et prope illud: deinde ponatur instrumentum in praedictum uas: et ponatur uas in sole, uacuum sine aqua: et moueatur instrumentum, donec lux solis transeat per duo foramina: et sit situs lucis de secun- do foramine situs mediocris, et intueatur experimentator regulam: et inueniet lucem transeuntem per duo foramina, super superficiem regulae: deinde applicet stilum superiori foramini, et ponat extremitatem stili super centrum foraminis, et intueatur lucem, quę est in regula: tunc inueniet umbram extremitatis stili apud centrum lucis: deinde auferat stilum, et redibit lux ad suum locum. Postea applicet stilum ad secundum fora- men, et ponat extremitatem eius apud centrum secundum, et intueatur lucem, quę est in regula: tunc inue- niet umbram extremitatis stili apud centrum lucis. Postea ponat extremitatem stili apud centrum basis ui- tri (quod est centrum sphęrae) et intueatur lucem, quę est super regulam: inueniet umbram extremitatis stili super centrum lucis. Deinde ponat stilum in medio lucis, quae est super conuexum uitri oppositi foramini secundo, quod est prope illud, et intueatur lucem, quę est super regulam: et inueniet umbram extremitatis stili apud centrum lucis. Ex quo patet, quod lux, quę transit per centra duorum foraminum, transit etiam per centrum basis uitri, et per medium superficiei lucis, quę est in conuexo uitri. Manifestum est igitur quod lux, quę transit in corpus uitri, extenditur secundum rectitudinem lineę transeuntis per centra duorum foraminum: hęc autem linea est diameter sphęrae uitreae. Nam perpendicularis exiens a centro basis uitri ad laminam, est aequalis diametro foraminis: diameter autem foraminis est aequalis perpendiculari exeunti a centro fo- raminis ad superficiem laminę: ergo perpendicularis a centro foraminis basis uitri super superficiem lami- nae, est aequalis perpendiculari exeunti a centro foraminis ad superficiem laminę: et hae duę perpendicula- res cadunt super diametrum laminę. Linea ergo, quę trasit per centra duorum foraminum, si fuerit extensa in rectitudine, perueniet ad centrum sphęrae uitreae: erit ergo diameter huius sphęrae: est ergo perpendi- cularis super superficiem huius sphęrae [ut demonstratum est 25 n 4.] Experimentatione autem uitrorum cu- bicorum patuit, quod lux, quę extenditur in corpus uitri, est in rectitudine lineę, per quam extendebatur in aere: et linea, per quam extendebatur in aere, erat illic perpendicularis super superficiem uitri. Et oportet ex- perimentatorem auferre regulam subtilem, applicatam ad superficiem laminę: et componat instrumentum secun- do, et moueat ipsum, quousque lux transeat per duo foramina, et intueatur oram instrumenti, quae est intra uas: et inueniet lucem super oram instrumenti, et inueniet centrum lucis in puncto, quod est differentia com munis inter circumferentiam circuli medij et lineam perpendicularem in ora instrumenti, quod est extre- mitas diametri circuli medij, transeuntis per centra duorum foraminum: et lux, quae extenditur per hanc lineam, erit differentia communis perueniens ad centrum sphęrae uitreę. Centrum ergo lucis, quę est in ora instrumenti, et centrum sphaerae uitreae, et centrum duorum foraminum sunt in eadem linea recta. Ex quo patet, quod lux, quae transit in corpus uitri, perueniens ad centrum sphaerae eius, cum extra- hitur in aerem, extenditur in rectitudine lineae, per quam extendebatur in corpore uitri. Haec au- tem linea est perpendicularis super superficiem basis uitri, quae est aequidistans diametro laminae, quae est perpendicularis super superficiem basis uitri: quia est perpendicularis super lineam rectam, quae est differentia communis duabus superficiebus uitri aequalibus, quarum altera est superposi- ta superficiei laminae, et reliqua erecta super superficiem laminae. Linea igitur transiens per centra duorum foraminum et per centrum sphaerae uitreae est perpendicularis super superficiem uitri: est ergo perpendicularis super superficiem aeris, qui tangit hanc superficiem. Et si experimentator in- fuderit aquam in uas, remanente uitro in sua positione, et posuerit aquam supra centrum uitri, et in- spexerit lucem, quae est in ora instrumenti: inueniet centrum lucis super extremitatem diametri me- dij circuli. Et si euulserit uitrum, et posuerit illud in lamina e contrario huic ordinationi, scilicet, ut superficies aequalis sit ex parte foraminum, et conuexitas uitri sit ex parte interiore uasis: et super- posuerit lineam rectam, quae est in uitro, quae est differentia communis duabus suis superficiebus aequalibus, super lineam rectam, quae est in lamina, secantem perpendiculariter diametrum laminae, et posuerit medium huius lineae, scilicet, quae est in uitro, super centrum laminae, et inspexerit lucem, sicut fecit in prima positione: inueniet lucem cadentem super oram instrumenti, et inueniet cen- trum lucis super punctum, quod est differentia communis medij circuli, et lineae stanti in ora instru- menti. Ex quibus declarabitur, quod lux solis, quae transit per centra duorum foraminum, transit etiam in corpus uitri secundum rectitudinem lineae, per quam extendebatur in aere: et postquam egreditur corpus uitri, extenditur etiam in aere secundum rectitudinem lineae, per quam extende- batur in uitro: lineaque, quae transit per centra duorum foraminum, est in hac positione etiam perpen- dicularis super superficiem uitri, oppositam foramini, scilicet superficiem, quae est basis hemisphaerij. Et haec linea est etiam perpendicularis super superficiem conuexam: nam in hac positione etiam est diameter sphaerae: est ergo perpendicularis super superficiem aeris contingentis superficiem sphae- rae. Et si experimentator infuderit aquam in uas, et reliquerit uitrum in sua positione, et posuerit aquam infra centrum uitri, et aspexerit lucem, quę est in ora instrumenti: inueniet centrum lucis in extremitate diametri medij circuli. Ex his ergo experimentationibus, quae fiunt per cubicum et sphęricum uitrum, patet, quod si lux occurrerit corpori diaphano diuersae diaphanitatis a corpore, in quo est, et linea, per quam extenditur, fuerit perpendicularis super superficiem secundi corporis: tunc lux extenditur in secundo corpore in rectitudine lineae, per quam extendebatur in corpore primo: nec differt, si secundum corpus fuerit grossius primo aut subtilius.

7. Radius medio rariori obliquus, refringitur a perpendiculari a refractionis puncto excitata. 45 p 2.

ITem oportet experimentatorem euellere uitrum, et referre illud ad laminam, et ponere medium lineae rectae, quae est in eo, super centrum laminae, et ponere superficiem aequalem ex parte duorum forami- num, et lineam, quae est in uitro, quae est differentia communis duabus suis superficiebus, obliquam su- per diametrum laminae qualibet obliquatione, et ponere obliquationem diametri laminae super hanc li- neam ad illam partem, ad quam declinabat apud experimentationem aquae. Necesse est igitur, ut perpen- dicularis, quae egreditur a centro uitri, quae est super superficiem uitri perpendicularis, quę extenditur in corpore uitri, obliqua sit a linea transeunte per centra duorum foraminum ad partem, in qua sunt duo foramina. Et applicet experimentator uitrum secundum hunc situm applicatione fixa, et ponat instru- mentum in uas, et uas in sole, et moueat instrumentum, donec lux transeat per duo foramina, et intuea- tur lucem, quae est intra uas: tunc inueniet illam in interiore ora instrumenti, et inueniet centrum lucis in circumferentia medij circuli: sed extra punctum, quod est differentia communis circumferentiae circuli medij, et lineae stanti in ora instrumenti: et declinatio eius erit ad partem, in qua est sol: erit ergo ad partem perpendicularis, exeuntis a loco refractionis. Et haec lux extenditur in aere in rectitudine li- neae, transeuntis per centra duorum foraminum: et hęc linea in hoc situ perueniet ad centrum sphęrae ui- treae, et erit obliqua super superficiem aequalem. Huius autem lucis terminatio extensionis in uitro est a centro uitri: extenditur igitur in corpore uitri secundum lineam rectam, exeuntem a centro sphaerae: ergo illius est diameter: hęc igitur lux extenditur in corpore uitri secundum uerticationem diametri alicuius eius. Cum ergo peruenerit ad sphęricam superficiem, erit perpendicularis super illam: et cum extrahetur in aerem, erit perpendicularis super aerem contingentem superficiem sphęricam. Non ergo refringi- tur in aere, neque extenditur recte: ergo refringitur, sed non in corpore uitri, neque in conuexo eius, neque in primo aere, neque in secundo: ergo refringitur apud centrum uitri: et hęc lux est obliqua super super- ficiem ęqualem, in qua est centrum uitri. Ex quibus patet, quod, cum lux extenditur in aere et tran- sit in uitrum, et fuerit obliqua super superficiem uitri: refringetur, et non transibit recte: et refra- ctio eius erit ad partem, in qua est perpendicularis, exiens a loco refractionis: et corpus uitri gros- sius est corpore aeris. Manifestum est igitur ex hac experimentatione, et prima de refractione lu- cis ab aere ad aquam (luce existente obliqua super superficiem aquę) quod, cum lux fuerit extensa in corpore subtiliore, et occurrerit illi grossius corpus: refringetur ab ipso: et erit refractio eius ad partem, in qua est linea exiens a loco refractionis, quę est perpendicularis super superficiem corporis grossioris. Item oportet experimentatorem euellere uitrum, et ponere ipsum e contrario: scilicet ut superficies conuexa sit ex parte foraminum, et ponat medium differentię communis, quę est in uitro super centrum laminę, et ponat differentiam communem obliquam super diametrum laminę, et applicet uitrum applicatione fixa, et extrahat a centro laminae lineam in superficie perpendicularem super differentiam communem, quae est in uitro: erit haec linea perpendicularis super superficiem uitri. Nam superficies uitri aequalis, est perpendicularis super superficiem laminae. Deinde experimentator ponat instrumentum in uase existente sine aqua, et moueat instrumentum, quousque lux transeat per duo foramina, et intueatur lucem, quae est intra uas: tunc inueniet illam in interiore ora instrumenti, et inueniet centrum lucis in circumferentia medij circuli, et extra punctum, quod est differentia com munis circumferentiae medij circuli, et lineae perpendiculari, in ora instrumenti: quod punctum est extremitas diametri medij circuli: et inueniet declinationem eius ad contrariam partem illi, in qua est perpendicularis. Haec autem lux extenditur in uitro secundum rectitudinem lineae transeuntis per cen tra duorum foraminum: quia haec linea est diameter uitri in hac etiam positione, quia transit per centrum uitri. In hac ergo positione refractio lucis etiam est apud centrum uitri: et hęc lux est obliqua super superficiem uitri aequalem, et superficiem aeris contingentem uitrum. Ex quibus patet, quod, cum lux extenditur in uitro, et egreditur ad aerem, et fuerit obliqua super superficiem aeris: refringetur: et refractio eius erit in superficie circuli medij, et ad partem contrariam illi, in qua est linea exiens a loco refractionis, quae est perpendicularis super superficiem aeris. Et si experimentator infuderit aquam in uas (existente uitro in sua positione) et posuerit aquam super centrum uitri, et aspexe- rit lucem, quae est intra uas: inueniet lucem in interiore parte orae instrumenti, et inueniet centrum lucis in circumferentia medij circuli, et inueniet illud extra extremitatem diametri medij circuli, obliquum ad partem contrariam illi, super quam cadit perpendicularis: et inueniet distantiam cen- tri lucis ab extremitate diametri medij circuli minorem distantia centri lucis ab hoc puncto, in ex- perientia egressus lucis a centro ad aerem: quia aer est subtilior aqua, aqua autem est subtilior uitro. Ex hac autem experimentatione, et praedicta, patet, quod quando lux extenditur in corpore gros- siore, et occurrerit corpori subtiliori, et fuerit obliqua super superficiem corporis subtilioris: refrin getur, et non transibit recte: et refractio eius erit ad partem contrariam illi, in qua est perpendicularis exiens a loco refractionis, quae est perpendicularis super superficiem corporis subtilioris: et tanto magis declinabit a perpendiculari, quanto corpus erit subtilius. Item oportet experimentatorem euellere uitrum, et ponere etiam ipsum in superficie laminae, et superponat lineam rectam, quae est in eo, super lineam rectam, quae est in lamina, et ponat superficiem eius conuexam ex parte duo- rum foraminum, et lineam rectam, quę est in uitro, extra centrum laminae, et coniungat uitrum be- ne, et ponat regulam subtilem super superficiem laminae, et erigat eam super oram eius, et ponat superficiem eius, in qua signatur linea, ex parte uitri, et terminus eius secet diametrum laminae per- pendiculariter, et applicetur hoc modo. Sic ergo linea, quae transit per centra duorum foraminum, non transit per centrum sphaerae, sed per aliud punctum superficiei uitri aequalis: et erit obliqua su- per sphaericam superficiem. Deinde oportet experimentatorem ponere instrumentum in uase, et uas in sole: et moueat instrumentum, quousque lux transeat per duo foramina, et intueatur super- ficiem regulae: tunc inueniet lucem super superficiem regulae, et centrum eius super lineam, quae est in superficie regulae, et centrum lucis extra rectitudinem lineae, quae transit per centra duorum foraminum: et inueniet declinationem eius ad partem, in qua est centrum uitri: et inueniet lineam, quae transit per centra duorum foraminum, perpendicularem super superficiem uitri aequalem [per 8 p 11] est enim aequidistans diametro, et diameter laminae est perpendicularis super superficiem uitri aequalem. Et si lux transisset per centra duorum foraminum, et extenderetur secundum recti- tudinem ad superficiem aequalem: tunc extenderetur in rectitudine in aere: sed cum centrum lu- cis, quę est in regula, non sit in rectitudine huius lineae: ergo lux non extenditur in rectitudine ipsius ad superficiem aequalem: et lux in corpore uitri extenditur recte: ergo lux, quae extenditur in cor- pore uitri, non est in rectitudine lineae, quae transit per centra duorum foraminum: ergo est refracta: sed non in aere, neque in corpore uitri: ergo refringitur apud sphaericam superficiem uitri. Et linea, quae transit per centra duorum foraminum, non transit per centrum uitri: et haec lux, cum egreditur a superficie uitri aequali refringitur. Sed cum regula subtilis fuerit ualde propinqua superficiei ui- tri: tunc declinatio centri lucis, quae est in regula, a rectitudine lineae, quę extenditur in corpore ui- tri, non latebit in tantum, ut possit occultare refractionem lucis in corpore uitri aut partem eius. Et haec refractio erit ad partem, in qua est centrum uitri: ergo est ad perpendicularem exeuntem a loco refractionis, perpendicularem super superficiem uitri sphaericam: quia linea exiens a centro uitri ad punctum refractionis, est perpendicularis exiens a loco refractionis super superficiem sphae- ricam. Deinde oportet experimentatorem euellere uitrum, et ponere e contrario huic positioni: scilicet ut ponat superficiem uitri aequalem ex parte duorum foraminum, et ponat differentiam com munem duabus superficiebus aequalibus uitri, super lineam secantem diametrum laminę perpen- diculariter, et ponat medium differentiae communis extra centrum laminae. Vitro autem coniuncto hoc modo: linea, quae transit per centra duorum foraminum, non transit per centrum uitri, sed perueniet ad punctum de superficie eius aequali, in qua est centrum eius, extra punctum centri: et erit perpendicula- ris super superficiem aequalem, sicut supradictum est. Et cum linea, quae transit per centra duorum forami- num, extensa fuerit recte in imaginatione: perueniet ad punctum, quod est extremitas diametri circuli medij. Et cum experimentator posuerit uitrum hoc modo, ponet instrumentum in uase, et uas in sole, et moueat instrumentum, donec lux transeat per duo foramina, et intueatur oram instrumenti: et inue- niet lucem in interiore parte orae instrumenti, et inueniet centrum lucis in circumferentia circuli medij, et extra punctum, quod est extremitas diametri circuli medij: et declinans ad partem, in qua est centrum sphaerae uitreae. Et linea, quae egreditur a centro huius sphaerae in imaginatione ad lo- cum refractionis, est perpendicularis super superficiem huius sphaerae: est ergo perpendicularis su- per superficiem aeris, qui contingit superficiem sphaerae. Hęc ergo refractio est ad partem contrariam illi, in qua est perpendicularis, exiens a loco refractionis super superficiem aeris contingentis super- ficiem sphaerae. Lux autem, quae transit per centra duorum foraminum, transit in corpus uitri recte: quia est perpendicularis super superficiem uitri aequalem, oppositam duobus foraminibus: et per- ueniet ad conuexitatem sphaerae uitreae: et cum peruenerit ad illam superficiem, non erit perpen- dicularis super illam: cum non sit diameter in sphaera. Et omnis perpendicularis super sphaerae super- ficiem, est diameter illius, aut secundum rectitudinem diametri illius [ut constat e 4 th 1 sphae.] Sed lux, quae extenditur in corpore uitri hoc modo, non est perpendicularis super superficiem aeris con- tingentis conuexum uitri: et haec lux inuenitur refracta: ergo refringitur apud conuexum sphaerae. Et si experimentator infuderit aquam intra uas, (uitro remanente in suo situ) et posuerit aquam infra centrum laminae, et aspexerit lucem, quae est in ora instrumenti: inueniet lucem refractam ad partem, in qua est centrum uitri: ergo ad partem contrariam illi, in qua est perpendicularis, exiens a loco refractionis, quae extenditur a corpore uitri in corpore aeris perpendicularis super concaui- tatem aeris, contingentis conuexum uitri. Ex omnibus ergo his experimentationibus patet, quod lux solis transit in omne corpus diaphanum secundum uerticationes linearum rectarum: et cum oc- currit corpori diaphano diuersae diaphanitatis a diaphanitate corporis, in quo est, lineaeque, per quas extenditur in primo corpore, fuerint declinantes super superficiem secundi corporis: tunc lux refringitur in corpore secundo in uerticatione linearum rectarum aliarum a primis, per quas exten- debatur in primo corpore. Et si lineae rectae, per quas extendebatur in primo corpore, fuerint per- pendiculares super superficiem secundi corporis: tunc lux extenditur in rectitudine eius, et non re- fringitur. Et cum lux obliqua fuerit, et exierit a corpore subtiliore ad grossius, refringetur ad par- tem perpendicularis, exeuntis a loco refractionis perpendicularis super superficiem secundi cor- poris. Cum uero lux obliqua, fuerit extensa a grossiore ad subtilius: refringetur ad partem contra- riam perpendicularis exeuntis a loco refractionis super superficiem secundi corporis. Cum ergo lux transeat per omnia diaphana secundum lineas rectas: ergo omnes luces extendentur in omni- bus corporibus diaphanis: quia declaratum est in primo tractatu huius libri [14. 17. 28 n] quod pro prium lucis est extendi semper secundum lineas rectas, siue lux fuerit essentialis, siue accidentalis, siue fortis, siue debilis. Praeterea potest experimentator experiri luces accidentales in illo praedicto instrumento, et illis uijs praedictis: si in aliqua domo, in quam intret lux diei per aliquod foramen alicuius quantitatis, clauserit ianuam, et posuerit instrumentum in oppositione foraminis, et inspe- xerit lucem, quae est intra aquam, et ultra uitrum in ora instrumenti, et processerit per uias praeo- stensas in experimentatione lucis solis. Cum ergo experimentator expertus fuerit lucem acciden- talem his praedictis uijs: inueniet lucem accidentalem transeuntem per corpus aquae et per corpus uitri, et inueniet extensionem eius in uitro secundum uerticationes linearum rectarum: et refractam, si fuerit obliqua super superficiem secundi corporis: et rectam, si fuerit perpendicularis super super- ficiem corporis secundi. In primo autem tractatu declaratum est, quod lux omnis siue essentialis, siue accidentalis, siue fortis, siue debilis, semper extenditur a quolibet puncto cuiuslibet corporis secundum lineam rectam. Ex istis ergo omnibus, quae declarauimus experientia et ratione: patet, quod omnis lux in corpore lucido essentialiter aut accidentaliter, fortiter aut debiliter extenditur a quolibet puncto illius per corpus diaphanum, contingens illud corpus, per omnem lineam rectam, per quam poterit extendi, siue illud corpus contingens sit aer, aut aqua, aut lapis diaphanus. Et si luces extensae per corpus contingens lucem, quae est principium eius, occurrerint corpori diuersae diaphanitatis a diaphanitate corporis, in quo existitexistunt, et fuerint in lineis perpendicularibus super superficiem secundi corporis: extendentur recte in secundo corpore: et si fuerint in obliquis lineis super superficiem secundi corporis, refringentur in secundo corpore: tum in secundo corpore exten- dentur in uerticatione linearum rectarum aliarum a primis. Et si lux fuerit refracta: tunc linea, per quam extendebatur lux in primo corpore, et linea per quam refringebatur in secundo: erunt in ea- dem aequali superficie [ut ostensum est 5 n] et refractio eius, cum egressa fuerit a corpore subtilio- re ad grossius: erit ad partem perpendicularis, exeuntis a loco refractionis super superficiem gros- sioris corporis: et cum egressa fuerit a grossiore corpore ad subtilius: tunc refractio eius erit ad partem contrariam illi, in qua est perpendicularis exiens a loco refractionis super superficiem subtilioris corporis.

8. Radius medio perpendicularis, irrefractus penetrat, obliquus refringitur: in densiore qui- dem ad perpendicularem: in rariore uero a perpendiculari e refractionis puncto excitata. 47 p 2.

QVare autem refringatur lux, quando occurrit corpori diaphano diuersae diaphanitatis, caussa haec est: quia transitus lucis per corpora diaphana fit per motum uelocissimum, ut declara- uimus in tractatu secundo. Luces ergo, quę extenduntur per corpora diaphana, extendun- tur motu ueloci, qui non patet sensui propter suam uelocitatem. Praeterea motus earum in subtili bus corporibus, scilicet in illis, quae ualde sunt diaphana, uelocior est motu earum in ijs, quae sunt grossiora illis, scilicet quae minus sunt diaphana. Omne enim corpus diaphanum, cum lux transit in ipsum, resistit luci aliquantulum, secundum quod habet de grossitie. Nam in omni corpore naturali necesse est, ut sit aliqua grossities: nam corpus paruae diaphanitatis non habet finem in imaginatio- ne, quae est imaginatio lucidae diaphanitatis: et omnia corpora naturalia perueniunt ad finem, quem non possunt transire. Corpora ergo naturalia diaphana non possunt euadere aliquam grossitiem. Luces ergo cum trasseunt per corpora diaphana, transeunt secundum diaphanitatem, quae est in eis, et sic impediunt lucem secundum grossitiem, quae est in eis. Cum ergo lux transiuerit per corpus diaphanum, et occurrit alij corpori grossiori primo: tunc corpus grossius resistit luci uehementius, quam primum resistebat: et omne motum cum mouetur ad aliquam partem essentiaaliter aut acci- dentaliter, si occurrerit resistenti, necesse est, ut motus eius transmutetur: et si resistentia fuerit for- tis: tunc motus ille refringetur ad contrariam partem: si uero debilis, non refringetur ad contrariam partem, nec poterit per illam procedere, per quam incoeperat: sed motus eius mutabitur. Omnium autem motorum naturaliter, quae recte mouentur per aliquod corpus passibile: transitus super per- pendicularem, quae est in superficie corporis, in quo est transitus, erit facilior. Et hoc uidetur in cor- poribus naturalibus. Si enim aliquis acceperit tabulam subtilem, et paxillauerit illam super aliquod foramen amplum, et steterit in oppositione tabulae, et acceperit pilam ferream, et eiecerit eam super tabulam fortiter, et obseruauerit, ut motus pilae sit super perpendicularem super superficiem tabu- lae: tunc tabula cedet pilae aut frangetur, si tabula subtilis fuerit, et uis, qua sphaera mouetur, fuerit fortis. Et si steterit in parte obliqua ab oppositione tabulę, et in illa eadem distantia, in qua prius erat, et eiecerit pilam super tabulam illam eandem, in quam prius eiecerat: tunc sphaera labetur de tabu- la, si tabula non fuerit ualde subtilis, nec mouebitur ad illam partem, ad quam primo mouebatur, sed declinabit ad aliquam partem aliam. Et similiter, si acceperit ensem, et posuerit coram se lignum, et percusserit cum ense, ita ut ensis sit perpendicularis super superficiem ligni: tunc lignum secabi- tur magis: et si fuerit obliquus, et percusserit oblique lignum: tunc lignum non secabitur omnino, sed forte secabitur in parte, aut forte ensis errabit deuiando: et quanto magis fuerit ensis obliquus, tanto minus aget in lignum: et alia multa sunt similia: ex quibus patet, quod motus super perpen- dicularem est fortior et facilior: et quod de obliquis motibus ille, qui uicinior est perpendiculari, est facilior remotiore. Lux ergo, si occurrit corpori diaphano grossiori illo corpore, in quo existit: tunc impedietur ab eo, ita quod non transibit in partem, in quam mouebatur, sed quia non fortiter resistit, non redibit in partem, ad quam mouebatur. Si ergo motus lucis transiuerit super perpendi- cularem, transibit recte propter fortitudinem motus super perpendicularem: et si motus eius fue- rit super lineam obliquam: tunc non poterit transire propter debilitatem motus: accidit ergo, ut de- clinetur ad partem motus, in quam facilius mouebitur, quam in partem, in quam mouebatur: sed facilior motuum est super perpendicularem: et quod uicinius est perpendiculari, est facilius remo- tiore. Et motus in corpore, in quod transit, si fuerit obliquus super superficiem illius corporis, com ponitur ex motu in parte perpendicularis transeuntis in corpus, in quo est motus, et ex motu in par- te lineae, quae est perpendicularis super perpendicularem, quae transit in ipsum. Cum ergo lux fue-

rit mota in corpore diaphano grosso super lineam obliquam: tunc transitus eius in illo corpore diaphano erit per motum compositum ex duobus praedictis motibus. Et quia grossi- ties corporis resistit ei ad uerticationem, quam intendebat, et resistentia eius non est ualde fortis: ex quo sequeretur, quod declinaret ad partem, ad quam facilius transiret: et mo- tus super perpendicularem est facilimus motuum: necesse est ergo, ut lux, quae extenditur super lineam obliquam, mo- ueatur super perpendicularem, exeuntem a puncto, in quo lux occurrit superficiei corporis diaphani grossi. Et quia motus eius est compositus ex duobus motibus, quorum al- ter est super lineam perpendicularem super superficiem cor- poris grossi, et reliquus super lineam perpendicularem su- per perpendicularem hanc: et motus compositus, qui est in ipso, non omnino dimittitur, sed solummodo impeditur: ne- cesse est, ut lux declinet ad partem faciliorem parte, ad quam prius mouebatur, remanente in ipso motu composito: sed pars facilior parte, ad quam mouebatur remanente motu in ipso, est illa pars, quę est uicinor perpendiculari. Vnde lux, quę extenditur in corpore diaphano, si occurrit corpori dia- phano grossiori corpore, in quo existit: refringetur per li- neam propinquiorem perpendiculari, exeunti a puncto, in quo occurrit corpori grossiori, quae extenditur in corpore grossiore per aliam lineam quam sit linea, per quam moue- batur. Hęc ergo caussa est refractionis splendoris in corpo- ribus diaphanis, quae sunt grossiora corporibus diaphanis, in quibus existunt: et ideo refractio proprie est inuenta in lucibus obliquis. Cum ergo lux extendi- tur in corpore diaphano, et occurrerit corpori diaphano diuersae diaphanitatis a corpore, in quo existit, et grossiori, et fuerit obliqua super superficiem corporis diaphani cui occurrit: refringetur ad partem perpendicularis super superficiem corporis diaphani extensae in corpore grossiore. Caussa autem, quae facit refractionem lucis a corpore grossiore ad corpus subtilius ad partem contrariam parti perpendicularis, est: quia cum lux mota fuerit in corpore diaphano, repellet eam aliqua repul- sione, et corpus grossius repellet eam maiore repulsione, sicut lapis, cum mouetur in aere, mouetur facilius et uelocius, quam si moueretur in aqua: eo quod aqua repellit ipsum maiore repulsione, quam aer. Cum ergo lux exierit a corpore grossiore in subtilius: tunc motus eius erit uelocior. Et cum lux fuerit obliqua super duas superficies corporis diaphani, quod est differentia communis am- bobus corporibus: tunc motus eius erit super lineam existentem inter perpendicularem, exeuntem a principio motus eius, et inter perpendicularem super lineam perpendicularem, exeuntem etiam a principio motus. Resistentia ergo corporis grossioris erit a parte, ad quam exit secunda perpen- dicularis. Cum ergo lux exiuerit a corpore grossiore, et peruenerit ad corpus subtilius: tunc resi- stentia corporis subtilioris facta luci, quae est in parte, ad quam secunda exit perpendicularis, erit minor prima resistentia: et fit motus lucis ad partem, a qua resistebatur, maior. Et sic est de luce in corpore subtiliore ad partem contrariam parti perpendicularis.

DE QVALITATE REFRACTIONIS LVCIS IN corporibus diaphanis. Cap. III.

9. Superficies refractionis est perpendicularis superficiei refractiui. 2 p 10.

IN praedicto capitulo [5 n] declaratum est, quod omnis lux, quae refringitur a corpore diaphano ad aliud corpus diaphanum, semper erit in una superficie aequali. Linea ergo recta, per quam ex- tenditur lux in aere, et linea recta, per quam refringitur in aqua, semper erunt in eadem superficie aequali. Haec autem superficies apud inspectionem instrumenti praedicti, est medius circulus ille ex tribus signatis in interiore parte orae instrumenti et ille circulus est aequidistans superficiei interio- ris laminae: sed superficies interioris laminae est aequidistans superficiei dorsi, cui superponitur su- perficies regulae quadratae: ergo superficies circuli medij est aequidistans superficiei regulae quadra- tae: et superficies regulae quadratae, quae est superposita dorso laminae, est perpendicularis super al- teram superficiem, secantem superficiem superpositam: et haec superficies regulae superponiur su- perficiei duarum differentiarum sibi applicatarum in duabus extremitatibus regulae: sed superficies duarum differentiarum superponitur orae instrumenti. Ergo superficies medij circuli est perpen- dicularis super superficiem transeuntem super oram instrumenti. Et haec superficies transiens per oram instrumenti, est aequidistans horizonti apud experimentationem. Superficies ergo medij cir- culi est perpendicularis super superficiem horizontis. Cum ergo declaratum sit [4. 7. 8 n] quod lux, quae est in aere, et refringitur in aqua, est apud experimentationem in circumferentia medij circuli: manifestum, quod lux, quę extenditur in aere, et refringitur in aqua, est semper in eadem superficie

aequali super superficiem horizontis. Et etiam imaginemur lineam a centro medij circuli ad centrum mundi: sic ergo linea haec erit per- pendicularis super superficiem aquae [ut ostensum est 25 n 4] quia est diameter mundi: sed hęc linea est in superficie medij circuli: ergo est in superficie refractionis. Ergo superficies refractionis est perpen dicularis super superficiem aquae. Et iam declaratum est, quod cum lux refringitur ex aere ad aquam: erit inter primam lineam, per quam exten- ditur in aere, quae est inter diametrum medij circuli, et inter perpendi- cularem, exeuntem a centro medij circuli super superficiem aquae. Et iam declaratum est etiam, quod lux, quae est in puncto, quod est centrum lu- cis, quae est intra aquam, non peruenit ad ipsum, nisi ex luce, quae exten- ditur a centro medij circuli. Lux ergo, quę refringitur ex aere ad aquam, refringitur in superficie perpendiculari super superficiem aquae. Et re- fractio eius erit ad partem perpendicularis exeuntis a loco refractionis super superficiem aquae, et non perueniet ad perpendicularem. Refractio autem lucis ab aere ad uitrum hoc modo fit. Declaratum est enim in expe- rimentatione uitri, quod cum linea, quae transit per centra duorum fora- minum, fuerit obliqua super superficiem uitri aequalem, et transiuerit per centrum uitri, et superficies uitri aequalis fuerit ex parte foraminum: tunc refringetur apud centrum uitri: et refractio eius erit in superficie circuli medij ad partem, in qua est perpendicularis, exiens a centro uitri super superficiem uitri aequalem. Et declaratum est etiam, quod cum linea, quę transit per centra duorum foraminum, fuerit obliqua super superficiem ui- tri sphaericam: et superficies sphaerica fuerit ex parte foraminum: tunc lux refringetur in corpore uitri, et apud superficiem uitri sphaericam: et erit refractio eius in superficie medij circuli, et ad partem perpendicularis, exeuntis a loco refractionis super superficiem uitri sphaericam. Et su- perficies uitri aqualis, in qua est centrum uitrei circuli, est perpendi- cularis super superficiem laminae. Est ergo perpendicularis super su- perficiem medij circuli. Superficies ergo medij circuli est perpendicularis super superficiem uitri aequalem. Et superficies circuli medij transit etiam per centrum sphęrae uitreae in omnibus experimen- tationibus uitri. Ergo est perpendicularis super superficiem uitri sphaericam. Lux ergo, quę extenditur in aere, et refringitur in corpore uitri apud extensionem eius in aere, postquam iterum refringitur in uitro, semper est in superficie perpendiculari super superficiem uitri. Et semper refractio eius erit ad partem perpendicularis, exeumtis a loco refractionis super superficiem uitri, siue superficies uitri fuerit aequalis, siue sphęrica. Item declaratum est etiam, quod linea, quę transit per duo centra foraminum, cum fuerit perpendi- cularis super superficiem uitri, et extensa fuerit in corpus uitri secundum rectitudinem, et superficies sphae- rica fuerit ex parte foraminum, et fuerit hęc linea, scilicet quę transit per centra duorum foraminum, decli- nans super superficiem uitri aequalem, et transiuerit per centru uitri, et refracta fuerit in corpore aeris con- tingentis superficiem uitri aequalem, et apud centrum uitri: tunc refractio eius erit in superficie circuli me- dij, et ad contrariam partem illi, in qua est perpendicularis, exiens a centro uitri super superficiem uitri aequa- lem. Et declaratum est etiam, quod linea, quę transit per centra duorum foraminum, cum fuerit perpendicularis super superficiem uitri aequalem, et si fuerit extensa in corpore uitri secundum rectitudinem, et superficies aequalis fuerit ex parte foraminum, et hęc linea, scilicet quę transit per centra duorum foraminum, fuerit ob- liqua super superficiem uitri sphęricam, et non transiens per centrum eius, et fuerit refracta apud superficiem uitri sphaericam in corpore aeris contingentis superficiem sphęricam: tunc refractio eius erit in superficie medij circuli, et ad partem contrariam illi, in qua est perpendicularis, exiens a loco refractionis super su- perficiem secundi corporis. Et in his duobus sitibus superficies etiam medij circuli est perpendicularis super superficiem uitri aequalem et sphaericam. Lux ergo, quę extenditur in corpore uitri, et refringitur in aere, dum extenditur in uitro, et refringitur in aere, semper est in superficie perpendiculari super super- ficiem aeris: et semper refractio erit ad partem contrariam illi, in qua est perpendicularis exiens a loco refractionis super superficiem aeris. Ex omnibus ergo istis praedeclaratis patet, quod omnis lux refra- cta a corpore diaphano ad aliud corpus, semper refringitur in superficie perpendiculari super super- ficiem secundi corporis. Et si secundum corpus fuerit grossius primo: tunc refractio eius erit ad partem perpendicularis, exeuntis a loco refractionis super superficiem secundi corporis, et non peruenit ad per- pendicularem. Et si secundum corpus fuerit subtilius primo: refractio erit ad partem contrariam illi, in qua est perpendicularis, exiens a loco refractionis super superficiem secundi corporis, secundum diuer- sitatem figurarum superficierum corporum diaphanorum. Et ex his etiam patet, quod cum lux refringitur a corpore diaphano ad secundum corpus diaphanum, et de secundo ad tertium: refringetur etiam in super- ficie tertij, si diaphanitas tertij differt a diaphanitate secundi: si uero tertium fuerit grossius secundo: tunc refractio lucis erit ad partem perpendicularis exeuntis a loco refractionis super superficiem tertij: si autem tertium fuerit subtilius secundo: tunc refractio lucis erit ad partem contrariam illi, in qua est perpendicularis. Similiter si lux refracta fuerit ad quartum corpus, et ad quintum, aut ad plura. Hoc autem declarauimus quidem in hoc capitulo, qualiter omnes luces refringantur in corporibus diaphanis diuersae diaphani tatis. Quare autem fiat refractio in superficie perpendiculari super superficiem corporis diaphani, hęc est: quia linea, per quam extenditur lux in primo diaphano corpore, refringitur ad partem perpendicularis in hac superficie, scilicet, in qua est perpendicularis et prima linea: pars enim perpendicularis est in hac superficie: ideo refractio fit in superficie perpendiculari super superficiem corporis diaphani.

10. Magnitudines angulorum refractionis ab aere ad aquam organo refractionis explorare. 5 p 10.

QVantitates autem angulorum retractionis differunt secundum quantitates angulorum, quos conti- nent prima linea, per quam extenditur lux in primo corpore, et perpendicularis exiens a loco refractionis super superficiem secundi corporis, secundum diaphanitatem secundi corporis. Nam quanto magis crescit angulus, quem continent prima linea et perpendicularis, tanto crescit angulus re- fractionis: et quanto magis decrescit ille angulus, quem continent perpendicularis et prima linea, tanto decrescit angulus refractionis. Sed anguli refractionum non obseruant eandem proportionem ad angulos, quos continet prima linea cum perpendiculari, sed differunt hae proportiones in eodem corpore diaphano. Cum ergo prima linea, per quam lux extenditur in primo corpore, continuerit cum perpendiculari duos an- gulos inaequales, in duobus diuersis temporibus, aut in duobus locis diuersis: tunc proportio anguli re- fractionis, quae est ab angulo minore ad angulum minorem, minor erit proportione anguli refractionis anguli maioris ad angulum maiorem. Cum ergo experimentator uoluerit experiri illos angulos, diuidat a circulo medio, qui est in circumferentia instrumenti, ex parte centri foraminis, quod est in circumferentia instrumenti, arcum decem partium ex illis partibus, quibus medius circulus diuiditur 360: deinde ex- trahamus a loco differentiae lineam rectam, perpendicularem super superficiem laminae, et copulemus extre mitatem eius, quae est in lamina, cum centro laminae per lineam rectam, et protrahamus ipsam in aliam par- tem: deinde diuidamus in circumferentia medij circuli etiam arcum sequentem primum, cuius quantitas sit 90 partium: et signemus in extremitate huius arcus signum. Linea ergo, quae exit a centro medij cir- culi ad hoc signum, erit perpendicularis super lineam exeuntem a centro medij circuli ad primum signum, quod est in circumferentia medij circuli [per 33 p 6: quia hae duae lineae quadrantem totius peripheriae comprehendunt] et erit arcus residuus, qui est inter signum et extremitatem diametri medij circuli, quę transit per centra duorum foraminum, 80 partium. Signemus in extremitate huius diametri etiam signum: deinde ponamus instrumentum in uase, et obseruemus ut circumferentia uasis sit aequidistans hori- zonti, et incipiamus experiri ab hora ortus solis, et infundamus in uas aquam claram, quousque per- ueniat ad centrum laminae, et moueamus instrumentum, donec prima linea signata in superficie la- minae, contingat superficiem aquae: in hoc ergo situ linea, quę transit per centrum circuli medij, aequi- distans est primae lineae signatae in superficie laminae, cuius extremitas peruenit ad primum signum,

signatum in circumferentia medij circuli, et tanget etiam superficiem aquae: locus enim harum duarum linearum non differt in respectu superficiei aquae, quo ad sensum. Et haec linea continet cum linea exeunte a centro medij circuli ad signum, quod est in circum ferentia medij circuli, perpendiculari super superfi- ciem aquae, angulum rectum: et diameter medij cir- culi, quae transit per centra duorum foraminum, con- tinet cum hac perpendiculari exeunte a centro me- dij circuli super superficiem aquae, angulum, cuius quantitas erit 80 partium. Hunc enim angulum chor- dat arcus medij circuli, qui est inter secundum et ter- tium signum: arcus autem, qui est inter centrum fo- raminis et primum signum, qui est 10 partium, chor- dat angulum declinationis. Deinde oportet experi- mentatorem considerare solem, et mutare instrumen- tum, donec lux transeat per duo foramina: et tunc aspiciat lucem, quae est in ora instrumenti, quae est intra aquam, et signet super centrum lucis signum: hoc ergo signum erit in circumferentia medij circuli: deinde auferat instrumentum, et aspiciat ter- tium signum, quod est inter extremitatem medij circuli, et inter secundum signum, quod est extre- mitas perpendicularis, exeuntis a centro medij circuli super superficiem aquae. Ex hac ergo experi- mentatione patebit, quod angulus refractionis est ille, quem chordat arcus, qui est inter centrum lu- cis et tertium signum, quod est extremitas lineae transeuntis per centra duorum foraminum, per quam extendebatur lux: et ex numero partium huius arcus patebit quantitas anguli refractionis, et quantitas proportionis anguli refractionis ad 80 partes, quae est angulus, quem continet linea, per quam extendebatur lux, cum perpendiculari exeunte a puncto refractionis super superficiem aquae. Deinde oportet experimentatorem delere signum et lineam signatam in lamina, et distinguere in- ter circumferentiam medij circuli ex parte centri foraminis, quod est in ora instrumenti arcum, cu- ius quantitas sit 20 partium: et signet in extremitate eius signum, et extrahat ab hoc signo perpendi- cularem super superficiem laminae, et extrahat ab eius extremitate lineam ad centrum laminae: et protrahamus illam in utramque partem: et diuidamus arcum sequentem illum (cuius quantitas 20) in partes 90: et signemus in ipso signum: et erit arcus, qui est inter signum secundum et extremita- tem lineae transeuntis per centra duorum foraminum, 70 partium: et signemus in extremitate hu- ius lineae signum. Deinde ponamus instrumentum in uas, et reuoluamus illud, quousque linea signata in lamina tangat superficiem aquae. Linea ergo, quae exit a centro circuli medij ad secundum signum, erit perpendicularis super superficiem aquae, ut praedictum est: et linea, quae transit per centra duo- rum foraminum, continet cum hac perpendiculari angulum 70 partium. Deinde experimentator consideret solem, et moueat instrumentum, quousque lux transeat per duo foramina, et signet super centrum lucis signum, et auferat instrumentum, et aspiciat signa, quae sunt in circumferentia medij circuli: ex qua experimentatione habebit quantitatem anguli refractionis, et proportionem eius ad angulum, quem continet linea, per quam extenditur lux, cum perpendiculari exeunte a loco refra- ctionis, qui est in hoc statu 70 partium. Deinde experimentator auferat instrumentum, et deleat signa, et lineam, quae est in lamina, et diuidat arcum ex parte foraminis, cuius quantitas sit 30 partium, et procedat, ut in primis ablationibus: et sic habebit quantitatem anguli refractionis et proportionem eius ad angulum, quem continet linea, per quam extendebatur lux cum perpendiculari exeunte a loco refractionis, qui est in hoc situ 60 partium. Deinde diuidamus arcum, cuius quantitas sit 40 partium: deinde arcum, cuius quantitas sit 50 partium: deinde 60: deinde 70: deinde 80: et conside ret unumquemque istorum arcuum: et sic habebit quantitates angulorum refractionis, et angulorum declinationis, quos chordant primi arcus distincti ex parte centri foraminis: et habebit proportio- nes angulorum refractionis ad angulos, quos continent primae lineae, per quas extendebatur lux, cum perpendiculari, quae est in superficie aquae, qui crescunt per decem. Et si experimentator uolue- rit, ut anguli crescant per quinque, bene poterit facere: et si uoluerit per minus, quam per quinque, bene poterit facere praedicto ordine.

11. Magnitudines angulorum refractionis ab aere uel aqua ad uitra planum uel conuexum, et contra, organo refractionis inuenire. 6 p 10.

ET cum experimentator uoluerit experiri per uitrum: diuidat arcus, et signet praedicta signa, et superponat uitrum praedictum superficiei laminae, et superponat differentiam eius commu- nem lineae signatae in lamina, et ponat superficiem uitri aequalem ex parte foraminum, et plicet uitrum bene, et ponat instrumentum in uase, et moueat ipsum, quousque lux transeat per duo foramina, et signet super centrum lucis signum, et auferat instrumentum, et intueatur arcus, et de- inde deleat signa, et diuidat alios arcus, et signet alia signa, et inspiciat arcus, prout aspexit per aquam: et sic habebit quantitates angulorum refractionis in transitu lucis de aere ad uitrum. Et si uoluerit experiri refractiones lucis de uitro ad aerem, et ad aquam: applicet uitrum e contrario primi situs: scilicet, ut ponat conuexum eius ex parte duorum foraminum, et ponat medium communis diffe- rentiae, quae est in uitro, super centrum laminae. Tunc ergo lux, quae transit per centra duorum fora- minum, peruenit recte ad centrum uitri, et refringitur apud illud de uitro ad aerem. Deinde diuidat arcus successiue, et mutet positionem uitri: et sic habebit angulos refractionum particulares, et pro- portiones eorum ad angulos, quos continet prima linea, per quam extenditur lux, cum linea per- pendiculari super superficiem contingentem superficiem uitri. Et cum experimentator expertus fue- rit hos duos praedictos situs: uidebit quod quantitates angulorum refractionis de aere ad uitrum, et de uitro ad aerem semper erunt aequales: cum angulus, quem continet linea, per quam extenditur lux ad locum refractionis cum linea perpendiculari, cum refringitur de aere ad uitrum, aequalis sit angulo, quem continet linea, per quam extenditur lux a loco refractionis cum perpendiculari, cum reflectitur a uitro ad aerem. Et si quis uoluerit experiri quantitates angulorum refractionis, qui sunt apud conuexum uitri: diuidat de circumferentia medij circuli ex parte centri foraminis, quod est in ora instrumenti, arcum, cuius quantitas sit 10 partium, et extrahat ab extremitate eius perpendicu- larem super superficiem laminae in superficie orae instrumenti, sicut prius fecerat: deinde diuidat ex hac linea incipiens a centro laminae lineam aequalem semidiametro uitri, et ab extremitate huius lineae extrahat perpendicularem super diametrum laminae, super cuius extremitates sunt duae lineae perpendiculares in ora instrumenti: et protrahat hamc perpendicularem in utramque partem: deinde superponat uitrum super superficiem laminae, et super-

ponat differentiam eius communem prędictae perpen- diculari, et ponat medium differentiae communis super punctum, a quo extracta fuerit perpendicularis: et sic erit centrum uitri in superficie medij circuli, et linea, quae transit per centra duorum foraminum, erit perpen dicularis super superficiem uitri aequalem: [per 8 p 11] est enim aequidistans diametro laminae, quae est perpen- dicularis super illam superficiem et differentiam com- munem, quę est in uitro: et centrum circuli medij erit in conuexo uitri. Nam linea, quae exit a centro circuli medij ad centrum laminae, est aequalis lineae exeunti a centro uitri ad medium differentiae communis: et utraque istarum linearum est perpendicularis super superficiem laminae: ergo duae lineae sunt aequales et aequidistantes: [per 33 p 1] et linea, quę copulat centrum uitri cum centro circuli medij, est aequalis lineae, quę copulat centrum la- minae, et medium differentiae communis, quae est in uitro: haec autem linea aequalis posita fuit semidiametro uitri. Centrum ergo medij circuli est in conuexo uitri. Linea ergo, quę transit per centra duorum foraminum, quae transit per medij circuli centrum, tenet cum linea, exeunte a centro uitri, angulum aequalem angulo, qui est apud centrum laminae. Ex- tendantur ergo duae lineae in imaginatione recte in utramque partem, scilicet diameter praedicta uitri, et linea, quae transit per centra duorum foraminum: peruenient ergo ad circumferentiam medij cir- culi: sunt enim ambae in superficie medij circuli. Ergo duę lineae diuident a circumferentia medij cir- culi ex utraque parte arcum, cuius quantitas est 10 partium: et extremitates lineae, quę transit per cen tra duorum foraminum, sunt notae: altera enim earum est centrum foraminis, et altera punctum opposi- tum centro foraminis: et altera duarum extremitatum lineae, quę transit per centrum uitri, est extremi- tas arcus, quem separauerat a circumferentia medij circuli, qui distat a centro foraminis 10 partibus: re- liqua ergo extremitas lineae, quę transit per centrum uitri, distat a linea, quę transit per centra duorum foraminum, decem partibus in parte opposita primo signo. Signemus ergo extremitatem huius diame- tri, et extremitatem lineae, quę transit per centra duorum foraminum, quoniam locus iste est notus: quia est super lineam perpendicularem in ora instrumenti: et intueatur experimentator signum: et inueniet illud remotius ab extremitate lineae, quae transit per centra duorum foraminum. Haec ergo refractio est ad partem contrariam perpendiculari a loco refractionis: quia perpendicularis exiens a loco re- fractionis, est linea, quae transit per centrum uitri: et arcus circumferentiae medij circuli, qui est inter centrum lucis et extremitatem lineae, quę transit per centra duorum foraminum, est quantitas anguli refractionis: angulus enim refractionis est apud centrum medij circuli. Lux enim extenditur super lineam transeuntem per centra duorum foraminum recte, donec perueniat ad conuexum uitri et sphęricum. Angulus ergo refractionis erit apud centrum circuli medij, qui est super conuexum uitri: et arcus, qui est inter centrum lucis et extremitatem lineae, quę transit per centra duorum foraminum, est ille, qui chordat angulum refractionis, qui est 10 partium. Deinde oportet experimentatorem euel- lere uitrum, et diuidere a centro foraminis arcum, qui sit 20 partium, et procedat ut prius: et sic ha- bebit quantitatem anguli refractionis differentem a quantitate anguli, qui est 20 partium. Et sic diui- dat alios arcus successiue: et experiatur refractiones eorum sicut in primis: et habebit quantitates angulorum refractionis, qui sunt apud conuexum uitri. Et eaedem sunt quantitates angulorum re- fractionis lucis de aere ad uitrum: hoc enim declaratum est in praedictis experimentationibus: sed refractio de aere ad uitrum est ad partem perpendicularis: refractio uero de uitro ad aerem est ad partem contra riam perpendiculari. Et si quis uoluerit experiri uitrum et aquam, et a conuexo uitri et a superficie eius aequali, habebit quantitates angulorum refractionis de uitro ad aquam: aqua enim ponitur in loco aeris.

12. Magnitudines angulorum refractionis ab aere uel aqua ad uitrum cauum, et contra, organo refractionis inuestigare. 7. 8 p 10.

ET si quis uoluerit experiri quantitates angulorum refractionis apud concauum uitri: accipiat ui- trum concauum concauitate columnari in quantitate semicolumnę: et sit figura uniuersi ui tri aequidistantium superficierum: et longitudo eius sit maior diametro uitri sphaerici uno grano hordei: et latitudo eius sit similiter: et spisitudo eius sit dupla diametri foraminis, quod est in ora instrumenti: et concauitas sit in uno suorum laterum: columnaris scilicet in superficie una quadrata: et longitudo columnae sit in longitudine uitri: et semidiameter basis columnae sit in quantitate semidia ametri uitri sphęrici: et sint fines uitri lineae rectę uerissimae. Hoc autem instrumentum sic bene potest fieri super formam: ita ut forma fiat eadem doctrina praedicta, et dissoluatur uitrum, et infundatur super formam praedictam. Si ergo experimentator uoluerit experiri refractionem hoc instrumento: diui- dat de circumferentia medij circuli arcum, cuius quantitas sit illa, quam uult experiri, et extrahat ab extremitate arcus perpendicularem super superficiem laminę, ut prędictum est, et copulet extremitatem perpendicularis cu centro laminae linea recta, quam protrahat in alteram partem, et diuidat ex hac li- nea in altera parte, scilicet in qua sunt duo foramina, lineam aequalem semidiametro basis columnae, et extrahat ab extremitate eius perpendicularem super diametrum laminę, et protrahat illam in utramque partem. Deinde superponat uitrum laminę, et ponat dorsum concauitatis ex parte duorum foraminu, et superponat duas superfluitates, quę superfluunt super diametrum columnae, huic perpendiculari, obseruetque, ut sint distantiae duarum extremitatum diametri basis concauitatis a puncto, a quo exiuit perpendicularis, distantiae aequales. Erit ergo centrum basis concauitatis columnaris super punctum, a quo exiuit perpendicularis, superque punctum, cuius distantia a centro laminae, est in quantitate semidiametri basis concauitatis. Hoc situ obseruato, applicet uitrum fixa applicatione: et erit super-

ficies medij circuli secans foramen columnae et aequi distans basi eius: nam basis eius in hac dispositione est in superficie laminae. Superficies ergo circuli medij facit in superficie columnari concaua semicirculum [per 5 th. cylindricorum Sereni] et est diameter hu- ius semicirculi aequidistans diametro basis concaui- tatis. Erit ergo linea, quae egreditur a centro huius se- micirculi ad centrum basis concauitatis, quę est per- pendicularis super superficiem laminae, aequalis per- pendiculari exeunti a centro circuli medij perpendi- culari super superficiem laminę: et perpendicularis, quę exit a centro circuli medij ad centrum laminę, est aequalis semidiametro basis columnae. Ergo linea, quae exit a centro circuli medij ad centrum semicirculi, qui sit in superficie columnae, est aequalis semidiametro huius semicirculi [per 33 p 1.] Centrum ergo circuli medij est in circumferentia semicirculi facti: est ergo in concauo columnae. Et quia terminus uitri super- ponitur lineę perpendiculari super punctum laminę: erit diameter laminę perpendicularis super super- ficiem uitri aequalem. Nam superficies uitri aequales, sunt perpendiculares inter se. Erit ergo linea, quę transit per centra duorum foraminum perpendicularis super superficiem uitri aequalem, quę est in parte conuexa uitri [per 8 p 11] quia est aequidistans diametro laminę: et hęc superficies uitri aequalis, est ex parte foraminum. In hoc ergo situ lux, quę extenditur super lineam, quę transit per centra duorum foraminum, extenditur in corpore uitri recte, donec perueniat ad concauum uitri: et tunc refringitur apud concauum uitri: cum non transeat per centrum circuli, qui est in concauo uitri: neque est per- pendicularis super concauum uitri: ergo refringitur in concauo uitri: ergo differentia communis huic lineae et concauo uitri est centrum circuli medij. Ergo lux, quę extenditur super lineam, quę transit per centra duorum foraminum, refringitur apud centrum medij circuli: ergo arcus, qui est inter cen- trum lucis et extremitatem lineae, quę transit per centra duorum foraminum, chordat angulum re- fractionis. Hac igitur uia posset quis experiri quantitates angulorum refractionis, qui fiunt in con- cauo uitri, addendo in arcubus parum. Et haec refractio est a uitro concauo ad aerem: et erunt an- guli acquisiti hac refractione ijdem illis, qui fiunt ex aere ad uitrum in concauo uitri. Declaratum est autem paulo ante, quod angulus refractionis a uitro ad aerem, et ab aere ad uitrum, est idem cum angulo, quem continet prima linea, per quam extenditur lux, et perpendicularis exiens a lo- co refractionis. Hac ergo uia posset quis habere quantitates angulorum refractionis de aere ad aquam, et de aere ad uitrum, et de uitro ad aerem, et de uitro ad aquam a superficie aequali, et con- caua et conuexa. His ergo angulis experimentatis et proportionibus eorum notis, experimentator inueniet duos angulos, quorum utrumque continet prima linea, per quam extenditur lux, et perpendi- cularis, exiens a loco refractionis super superficiem corporis diaphani: inueniet dico in eisdem cor- poribus diaphanis: et erunt duo anguli diuersi. Nam angulus refractionis ab angulo maiore ex il- lis, erit maior duobus angulis refractionis ab angulo minore: et excessus anguli refractionis super angulum refractionis, erit minor excessu anguli maioris, quem continet prima linea cum perpendi- culari super angulum minorem, quem continet prima linea cum perpendiculari. Et proportio an- guli refractionis ab angulo maiore ad angulum maiorem, erit maior proportione anguli refractio- nis ab angulo minore ad angulum minorem: Et illud, quod restat post angulum refractionis de an- gulo maiore, est maius illo, quod remanet post angulum refractionis de angulo minore. Et remo- tio anguli refractionis, cum lux exiuerit de corpore subtiliore ad grossius, semper erit minor an- gulo, quem continet linea, per quam extenditur lux ad locum refractionis cum perpendiculari ex- eunte a loco refractionis. Et si lux exiuerit a corpore grossiore ad subtilius: tunc angulus refractio- nis erit medietas duorum angulorum coniunctorum. Et si comparaueris angulos refractionis, qui sunt inter aliquod istorum corporum diaphanorum, et aliud corpus grossius illis, ad angulos refra- ctionis, qui sunt inter illud idem corpus diaphanum subtilius et aliud corpus grossius primo grosso: inuenies proportiones maiores angulorum refractionis ad angulos, quos continet prima linea et perpendicularis, qui sunt inter corpus subtilius et grossius, quod magis grossum est, proportioni- bus angulorum refractionis, quos continet prima linea et perpendicularis, qui sunt inter idem cor- pus subtilius et corpus grossius, quod minus est grossum. Quoniam si fuerint duo anguli aequales, quorum utrumlibet continet prima linea, per quam extenditur lux, et perpendicularis, quae exit a loco refractionis: quorum alter est inter corpus subtilius et corpus grossius illo, et alter inter illud idem corpus subtilius et corpus grossius primo grosso: tunc angulus refractionis, qui est in corpore grossiore, erit maior angulo refractionis, qui est in corpore grossiore, quod est minus grossum. Et si- militer si refractio fuerit a corpore grossiore ad subtilius, quod est magis subtile: maior erit angulo refractionis, qui est ab illo eodem corpore grossiore ad corpus subtilius, quod est minus subtile. Haec ergo sunt omnia, quae pertinent ad qualitatem refractionis lucis a corporibus diaphanis.

QVOD QVICQVID COMPREHENDITVR VLTRA CORPORA diaphana, quae differunt in diaphanitate a corpore, in quo est uisus, cum fuerit obliquum a lineis perpendicularibus super superficiem eorum, comprehenditur secundum refractio- nem. Cap. IIII.

13. Visibile medio diuerso perpendiculare, recte: obliquum refracte uidetur. 3 p 10.

IN praedicto autem capitulo patuit, quod lux transit de uitro ad aerem, et de aere ad uitrum, et de aere ad aquam. Et cum transit de uitro ad aerem et ad aquam: constat quod transibit de aqua ad aerem: aqua enim est subtilior uitro, cum fuerit clara: et cum transit de aere ad uitrum, transi- bit de aqua ad uitrum, cum aqua sit grossior aere. Praeterea patuit, quod luces omnes accidentales et essentiales, fortes et debiles transeunt per haec corpora diaphana. His ergo modis omne corpus lucidum quacunque luce, mittit lucem suam in omne corpus diaphanum: et si occurrerit aliud corpus diaphanum: transibit in alio corpore aut refracte aut recte. Et in primo libro [14. 18. 19 n] declaratum est, quod a quolibet puncto cuiuslibet corporis lucidi oritur lux per quamcunque lineam rectam, quae po test extendi ex illo puncto. Ex quibus patet, quod a quolibet puncto cuiuslibet corporis diaphani contingentis aliquod corpus lucidum quacunque luce, oritur lux per omnem lineam rectam, quae poterit extendi ex illo puncto, et transit in corpore diaphano tangente illud punctum. Et si occurrerit aliud corpus diaphanum diuersae diaphanitatis a diaphanitate corporis tangentis illud, transibit e- tiam in ipsum aut refracte aut recte, siue primum corpus sit subtilius secundo, siue secundum sit sub- tilius primo. Et etiam primo libro [14. 18. 19. 28 n] declaratum est, quod ab omni corpore colorato lucido color oritur cum luce, qui est mixtus cum luce: et quod uisus cum comprehendit lucem, compre- hendit formam coloris mixtam sibi. Ex quibus patet, quod corpora colorata, quae sunt in aqua et ul tra corpora diaphana, quae differunt in diaphanitate a diaphanitate aeris, cum in eis fuerit lux essen tialis, aut accidentalis fortis aut debilis: tunc lux, quę est in eis, oritur a quolibet puncto cum forma coloris, qui est in illo puncto, et transit lux mixta cum colore in corpore aquae, et in omni corpore diaphano contingente ipsum: et extenditur lux in corpore aquae et in omni corpore diaphano cum forma coloris per lineas rectas, donec perueniat ad superficiem aquae, aut illius corporis diapha- ni. Et cum fuerit aer aut aliud corpus diaphanum tangens aquam: tunc in illud corpus diapha- num transibit lux cum forma mixta sibi in aere aut in alio corpore diaphano per lineas rectas. Et hae lineae secundae in maiore parte secabunt primas lineas, per quas extendebatur: et quaedam earum erunt in rectitudine primarum linearum. Et omnia corpora, quae sunt in aqua et ultra dia- phana corpora, quae differunt a diaphanitate aeris, cum fuerint in loco lucido, scilicet cum lux orta fuerit super aquam, in qua sunt: tunc lux perueniet ad ipsa. Manifestum est enim, quod omnis lux transit in omne corpus in aqua existens aut in alio corpore diaphano, cum super a- quam illam aut corpus illud diaphanum ceciderit: et a quolibet puncto ipsius corporis orietur forma lucis, quae est in ipso cum forma coloris, et extendetur in uniuerso illius aquae aut illius cor- poris diaphani per omnem lineam rectam, quae poterit extendi ab ipso puncto, donec perue- niat lux cum forma coloris, qui est in illo puncto ad superficiem aquae aut ad superficiem illius cor- poris diaphani. Sed non potest extrahi ab eodem puncto alicuius superficiei ad eandem superficiem linea perpendicularis nisi una [per 13 p 11.] Ergo a quolibet puncto cuiuslibet corporis colorati exi- stentis in corpore diaphano oritur forma lucis cum forma coloris in uniuerso corporis diaphani, in quo existit, secundum lineas rectas: et peruenit forma ad uniuersum oppositum de superficie corporis diaphani: et una illarum linearum erit perpendicularis super superficiem corporis dia- phani uel superficiem continuam cum superficie corporis diaphani, reliquae autem lineae erunt ob- liquae super superficiem corporis diaphani. Sed in praecedente capitulo [3. 6. 8. 4. 7 n] declaratum est, quod lux, cum extenditur in corpore diaphano, et occurrerit alij corpori diaphano diuerso a dia phanitate primi corporis, et linea, per quam extensa est lux in primo corpore, fuerit perpendicula- ris super superficiem secundi corporis: tunc lux extendetur in rectitudine eius in secundo corpore: et si linea, per quam extenditur lux, fuerit obliqua super superficiem secundi corporis: tunc lux re- fringetur. Et cuiuslibet puncti cuiuslibet corporis colorati, et lucidi existentis in corpore dia- phano forma lucis et coloris extenditur in uniuerso corpore diaphano, et peruenit ad oppositam superficiem corporis diaphani. Et si fuerit aliud corpus oppositum contingens diaphanum, et fue- rit alterius diaphanitatis: tunc forma, quae peruenit ad superficiem illius corporis diaphani, transit in corpus ipsum contingens: et omnes erunt refractae, praeterquam forma, quae est in perpendicu- lari: extenditur enim secundum rectitudinem in corpore contingente. Et si forte perpendicula- ris ceciderit super punctum superficiei continuae cum superficie corporis, quod non est in ipso cor- pore diaphano: tunc illa forma delebitur, et tunc omnes formae, quae transeunt in corpus contin- gens, erunt refractae. Ergo formae omnium uisibilium, quae sunt in aqua, et in coelo, et in omni- bus corporibus diaphanis contingentibus aerem, quae differunt a diaphanitate aeris, extendun- tur in uniuerso aere opposito secundum lineas rectas: et illae lineae, quae fuerint ex istis lineis decli- natae, per quas extenduntur formae super superficiem aeris contingentis superficiem corporis dia- phani, habebunt formas refractas: et quae fuerint ex illis perpendiculares super superficiem ae- ris, contingentis superficiem corporis diaphani, habebunt formas extensas secundum rectitudi- nem ipsarum. Et cum iam declaratum sit, quod a quolibet puncto cuiuslibet corporis colorati et lucidi extenditur forma lucis, et coloris in uniuerso corpore diaphano, et peruenit ad superficiem eius, et refringitur a superficie eius: ergo forma, quae extenditur ab uno puncto ad superficiem cor- poris diaphani, erit continua et coniuncta. Et cum forma fuerit continua, et superficies corpo- ris diaphani fuerit continua coniuncta, et forma fuerit refracta in alio corpore diaphano: tunc re- fringetur continua. Et cum forma refracta fuerit continua: et occurrerit corpus densum: tunc for- ma perueniet ad illud corpus diaphanum: et sic locus corporis diaphani, per quem extenditur for- ma puncti, quod est in primo corpore, quae refringitur a superficie primi corporis, ad illum locum, cum fuerit lucidus coloratus, mittet formam lucis et coloris a quolibet puncto ipsius per omnem lineam rectam, quae poterit extendi ex illo puncto. Accidit ergo ex hoc, quod sint lineae refra- ctae ad illum locum ex lineis, per quas extenditur forma illius loci: et iam extendebatur forma cu- iuslibet puncti illius loci per unam illarum linearum refractarum. Forma ergo illius loci ex cor- pore denso colorato lucido erit in loco ex superficie corporis diaphani, apud quem refringitur for- ma unius puncti extensi ad illum locum superficiei corporis diaphani, quae refringitur ad eundem locum corporis densi. Ex quo sequitur, quod forma loci corporis densi, quae extenditur ad illum locum corporis diaphani, refringitur ad easdem lineas extensas ab uno puncto ad illum locum cor poris diaphani. Et cum forma loci corporis diaphani fuerit refracta super illas easdem lineas: tunc perueniet ad illud idem punctum. Ex quo declaratur, quod si imaginatus fuerit aliquis pyramidem extensam a quolibet puncto aeris secundum lineas rectas, et pyramis fuerit coniuncta continua, et peruenerit illa pyramis ad superficiem corporis diaphani diuersae diaphanitatis ab aere, et ima- ginatus fuerit omnem lineam rectam, quae possit extendi ex illa pyramide, refringi apud superfi- ciem corporis diaphani in loco, quem exigit eius declinatio: et si aliqua fuerit perpendicularis, ex- tendetur recte: tunc efficitur et hoc corpus continuum refractum in corpore diaphano, quod dif- fert a diaphanitate aeris. Et cum hoc corpus refractum peruenerit ad corpus densum: tunc illud corpus densum, si fuerit coloratum et lucidum, mittet formam lucis et coloris, quae sunt in ipso, in hoc corpore refracto imaginato per quamlibet lineam rectam, quae poterit extendi in hoc corpo- re refracto a linea extensa in corpore pyramidis a puncto, quod est in aere. Nam omne corpus co- loratum lucidum proprie mittit formam suam a quolibet puncto ipsius per omnem lineam rectam, quae poterit extendi ab illo puncto. Erit ergo forma puncti illius loci corporis densi extensa per quamlibet linearum refractarum ad illum locum corporis densi. Perueniet ergo illius forma a cor- pore denso, colorato, lucido ad locum superficiei corporis diaphani, in quem refringuntur illae lineae. Et cum peruenerit forma ad illum locum superficiei corporis diaphani, necessario refringe- tur per easdem lineas extensas ad illum locum ab uno puncto, quod est in aere: forma autem, quae est forma loci colorati corporis densi, quod est in corpore diaphano, quod differt a diaphanitate aeris (et est super lineam, quae est de numero illarum linearum, per quas extenditur forma ad cen- trum uisus) forma, dico, quae extenditur per illam lineam: peruenit ad centrum uisus recte. Formae autem, quae extenduntur per omnes alias lineas, quae constituunt pyramidem extensam a centro uisus, erunt refractae, non directae. Et in primo tractatu [14. 17. 28 n] declaratum est, quod aer re- cipit formam uisibilium, et reddit eam omni corpori opposito: et quod aer deferens formam cum tetigerit uisum: transibit forma, quae est in ipso, in corpus uisus: et sic uisus comprehendit uisibilia, quae aer reddit uisui. Ex omnibus ergo istis patet, quod forma omnis corporis colorati, lucidi, exi- stentis in corpore diaphano diuersae diaphanitatis a diaphanitate aeris, extenditur in corpore dia- phano, in quo existit, et refringitur in aere, et extenditur in aere secundum lineas rectas: et quod quaedam linearum rectarum, per quas forma refringitur in aere, coniunguntur apud idem pun- ctum aeris. Et cum centrum uisus fuerit apud illud punctum: tunc uisus comprehendit illud ui- sum secundum refractionem: et si aliquid ipsius comprehenditur recte: non erit nisi unum pun- ctum tantum. Hoc ergo modo comprehendit uisus res, quae sunt in aqua, et in coelo, et omnia uisi- bilia, quae sunt ultra corpora diaphana, quę differunt a diaphanitate aeris.

14. Imago refracti uisibilis a medio quidem densiore, inclinat ad perpendicularem a refra- ctionis puncto excitatam: a rariore uero ab eadem declinat. 4 p 10.

QVod autem hoc uerum sit, sic poterit experimentari. Accipiat ergo experimentator prędi- ctum instrumentum, et ponat in uase, et ponat uas in loco lucido quacunque luce, ita ut lux perueniat ad interius uasis, et infundat in uas aquam, quousque perueniat ad centrum laminae: deinde diminuat foramina cum cera, ita ut non remaneat de foraminibus, nisi modicum in medio eorum, et mittat in duobus foraminibus unum calamum, ita ut spatium, quod est inter duo foramina, sit determinatum: deinde moueat instrumentum, donec diameter laminae, super cu- ius extremitates sunt duae lineae perpendiculares in ora instrumenti, sit perpendicularis super su- perficiem aquae. Deinde accipiat stilum subtilem album, et mittat eum in uas, et eius extremita- tem ponat in puncto medij circuli, quod est differentia communis circumferentiae medij circuli et lineae perpendiculari in ora instrumenti, quod est extremitas diametri circuli, quę transit per cen tra duorum foraminum. Deinde ponat experimentator alterum uisum super superius foramen, et claudat reliquum, et intueatur oram instrumenti, quae est intra aquam: tunc enim uidebit extremi- tatem stili. Declarabitur ergo ex hac experimentatione, quod comprehensio eius ad extremita- tem stili est secundum rectitudinem perpendicularis, egredientis ab extremitate stili super super- ficiem aquae. Nam linea, quae transit per centra duorum foraminum, in qua est centrum uisus, et ex- tremitas stili, ex cuius uerticatione comprehendit uisus extremitatem stili, sunt perpendiculares super superficiem aquae. In primo autem libro [18. 19 n] patuit, quod uisus nihil comprehendit, ni- si secundum rectitudinem linearum, quae extenduntur per centrum uisus. Visus ergo comprehen- dit extremitatem stili a uerticatione lineae, quae transit per centra duorum foraminum. Et haec li- nea extenditur ad extremitatem stili recte: et est perpendicularis super superficiem aquae. Deinde oportet experimentatorem declinare instrumentum, donec linea, quae transit per centra duorum foraminum, sit obliqua super superficiem aquae, et mittat stilum in aquam, et ponat extremitatem eius super primum punctum, scilicet super extremitatem diametri circuli medij, quę transit per cen tra duorum foraminum, et ponat uisum suum super superius foramen, et intueatur oram instrumen ti, quae est intra aquam: tunc enim non uidebit extremitatem stili: deinde moueat stilum ad partem contrariam illi, in qua est uisus: et moueat extremitatem stili per circumferentiam circuli medij sua- uiter, et molliter, et intueatur oram instrumenti: tunc enim uidebit extremitatem stili: tunc figat ex- tremitatem stili in suo loco. Deinde pręcipiat alij, ut mittat in uas lignum aliquod uel acum perpen

dicularem, neque grossam, neque gracilem, et ponat illam apud superficiem aquae in oppositione secundi fora- minis, ut sit apud centrum circuli medij, et intueatur experimentator interius uasis: tunc non uidebit extre mitatem stili: deinde praecipiat auferre lignum: et tunc uidebit extremitatem stili: deinde figat extremitatem stili in suo loco, et leuet uisum suum a foramine, et au- ferat instrumentum suum a uase, existente extremitate stili in suo loco, et intueatur locum, in quo est extremi tas stili: tunc enim uidebit inter ipsum et diametrum circuli medij distantiam sensibilem. Et si miserit regu- lam subtilem in aquam in hora experimentationis, et acumen eius fecerit transire per centrum laminę, et si- gnauerit locum circuli medij, qui est apud extremita- tem regulae, signo, et abstulerit instrumentum, et aspe- xerit locum extremitatis stili: uidebit locum extremi- tatis stili etiam medium inter locum extremitatis regulae et diametrum circuli medij. Deinde opor tet eum auferre instrumentum, et infundere aquam in uas, et applicare uitrum laminae, et ponere superficiem uitri ęqualem ex parte foraminum, et ponere differentiam communem, quę est in ipso, super lineam secantem diametrum laminae perpendiculariter. Sic ergo linea, quę transit per centra duorum foraminum, erit perpendicularis super superficiem uitri aequalem et super superficiem eius con- uexam. Deinde ponat experimentator instrumentum in aquam, et mittat stilum in uas, et ponat extremita tem stili super extremitatem diametri circuli medij, et ponat uisum suum super superius foramen, et intueatur oram instrumenti: tunc uidebit extremitatem stili. Et si mouerit extremitatem stili, et extraxerit illam a puncto, quod est extremitas diametri medij circuli, non uidebit extremitatem stili. Ex quo patet, quod extremitatem stili comprehendit recte. Nam duo centra foraminum, et extremitas diametri circuli medij sunt in eadem linea recta: et experimentator non comprehen- dit extremitatem stili in hoc situ, cum extremitas stili non fuerit super extremitatem diametri. Et si euulserit uitrum, et posuerit ipsum e contrario, scilicet ut ponat conuexum uitri ex parte duo- rum foraminum, et differentiam eius communem super primum locum, et expertus fuerit extre- mitatem stili: etiam uidebit illam, cum fuerit in extremitate diametri circuli medij: ideo in hoc si- tu etiam linea, quae transit per centra duorum foraminum, ex cuius uerticatione comprehendit uisus extremitatem stili: erit perpendicularis super superficiem uitri aequalem, et superficiem eius conuexam. Deinde oportet experimentatorem euellere uitrum, et extrahere a centro laminae li- neam rectam in superficie laminae, quae contineat cum diametro laminae, super cuius extremitates sunt duae lineae perpendiculares in ora instrumenti, angulum obtusum: et extrahat illam, donec perueniat ad oram instrumenti: deinde extrahat a centro laminae lineam in superficie laminae, quae contineat cum prima linea angulum rectum: et protrahat illam in utramque partem: tunc haec linea continebit cum diametro laminae angulum acutum: et diameter laminae erit obliqua su- per hanc lineam. Deinde superponat uitrum laminae, et ponat differentiam eius communem su- per lineam, quam ultimo signauit in superficie laminae, et ponat superficiem uitri aequalem ex par- te duorum foraminum, et ponat medium differentiae communis super centrum laminae. Sic ergo erit centrum uitri super centrum circuli medij, ut prius declaratum est: et linea, quae transit per cen tra duorum foraminum, transibit per centrum uitri. Et haec linea erit obliqua super superficiem ui- tri aequalem: nam diameter laminae illi aequidistans, est obliqua super differentiam communem, quae est in uitro. Et haec linea erit perpendicularis super superficiem uitri conuexam, [ut osten- sum est 25 n 4] quia transit per centrum eius. Deinde extrahat experimentator ab extremita- te lineae, quam primo signauit in lamina, lineam perpendicularem in ora instrumenti: et ducat il- lam ad circumferentiam circuli medij: et sint hae lineae nigrae. Erit ergo linea cum ab illo puncto extracta fuerit ad centrum circuli medij, quod est centrum uitri, perpendicularis super superficiem uitri aequalem, et super superficiem uitri sphaericam. Super superficiem autem uitri aequalem est perpendicularis, [per 8 p 11] quia est aequidistans primae lineae signatae in lamina super differen- tiam communem, quae est in uitro: super sphaericam uero [per 25 n 4] quia transit per centrum e- ius. Punctum ergo, ad quod peruenit linea extracta in ora instrumenti, quod est super circumferen- tiam circuli medij, est casus, in quem cadit perpendicularis, exiens a centro uitri super superficiem uitri planam. Deinde oportet experimentatorem ponere instrumentum in uas, et ponere extremi- tatem stili in puncto, quod est extremitas diametri circuli medij, et ponat experimentator suum ui sum super superius foramen, et intueatur oram instrumenti: tunc non uidebit extremitatem stili: deinde moueat stilum ad partem contrariam illi, in qua est casus perpendicularis: et tunc etiam non uidebit extremitatem stili: deinde moueat stilum ad partem illam, in qua est casus perpendicula- ris, et per circumferentiam circuli medij: tunc enim, si motus fuerit suauis, uidebit extremitatem stili in suo loco, in quo apparuit. Deinde praecipiat alicui cooperire centrum uitri tenui et subtili li- gno: et tunc non uidebit extremitatem stili: et si abstulerit coopertorium, uidebit ipsum. Ex hac ergo experimentatione patet, quod cum uisus comprehendit extremitatem stili, est secundum re- fractionem: et quod refractio est a centro uitri: et quod forma refracta est in superficie circuli me- dij, quae est perpendicularis super superficiem uitri aequalem, apud quam fit refractio ad perpendi- cularem, ut prius declaratum est [5 n.] Et si experimentator aspexerit locum extremitatis stili: in- ueniet ipsum inter casum perpendicularis et extremitatem diametri circuli medij, quae transit per centra duorum foraminum. Linea ergo, quae exit ab extremitate stili ad centrum uitri, cum exten- sa fuerit recte in aere: perpendicularis exiens a centro uitri super superficiem uitri aequalem, erit media inter perpendicularem et lineam, quae transit per centra duorum foraminum. Et forma ex- tremitatis stili, quae extensa est ab extremitate stili ad centrum uitri, extensa est super hanc lineam, et extensa est in rectitudine eius ad centrum uitri. Haec enim linea est perpendicularis super super- ficiem uitri sphaericam, quae est ex parte extremitatis. Deinde cum haec forma fuerit refracta super lineam, quae transit per centra duorum foraminum: lineae radiales, quae exeunt in hoc situ a uisu, non perueniunt ad uitrum, praeter lineam, quae transit per centra duorum foraminum: calamus e- nim, qui extenditur inter duo foramina, secat omnem in eamlineam a uisu exeuntem ad uitrum, praeter- quam lineam, quę transit per centra duorum foraminum. Visus autem non comprehendit for- mas, nisi ex uerticationibus harum linearum tantum: ergo formae non extenduntur nisi recte: er- go uisus non comprehendit hanc formam, nisi ex uerticatione huius lineę perpendicularis. Er- go quę extenditur recte in aere, est perpendicularis super superficiem aeris contingentis superfi- ciem uitri ęqualem. Ergo hęc refractio erit ad partem contrariam parti perpendicularis, exeuntis a loco refractionis super superficiem aeris. Nam linea, quę transit per centra duorum foraminum, magis distat a perpendiculari, quę extenditur in aere, quam linea, quę exit ab extremitate sti- li ad centrum uitri, quę extenditur in aere. Et hęc forma exit a uitro, et refringitur in aere: et aer est subtilior uitro. Et hoc modo fiet refractio formę de aqua ad aerem. Visus enim compre- hendit extremitatem stili in aqua ab isto loco, scilicet quia comprehendit extremitatem stili, quan- do fuit inter casum perpendicularis et extremitatem diametri circuli medij, quae transit per cen- tra duorum foraminum. Et illa forma etiam exiuit ab aqua, et refracta est in aere: et aer est subti- lior aqua. Deinde oportet experimentatorem euellere uitrum, et ponere ipsum supra laminam extra huiusmodi situm, scilicet, ut ponat conuexum eius ex parte duorum foraminum, et ponat differentiam eius communem super lineam aequalem in superficie laminae, in qua posuerat illam in praedicto situ, et ponat medium differentiae communis super centrum laminae: et sic linea, quae transit per centra duorum foraminum, erit obliqua super superficiem uitri aequalem, et perpendi- cularis super superficiem eius conuexam: et applicet uitrum in hoc situ, et ponat instrumentum in uas, et ponat extremitatem stili super extremitatem diametri circuli medij, ut prius fecerat, et ponat uisum suum super superius foramen, et intueatur oram instrumenti: non enim uidebit tunc extremitatem stili: deinde moueat stilum ad partem casus perpendicularis: et tunc non uidebit ex- tremitatem stili: deinde moueat eundem ad partem contrariam illi, in qua est casus perpendicula- ris per circumferentiam medij circuli, et suauiter: tunc enim uidebit extremitatem stili. Sic ergo li- nea recta, quae exit ab extremitate stili ad centrum uitri, cum fuerit extensa recte in corpore uitri, et extensa fuerit cum ipsa perpendicularis exiens a centro uitri: erit linea, quae transit per centra duorum foraminum, media inter duas lineas. Et forma extremitatis stili, quae extenditur super hanc lineam, cum fuerit extensa ad centrum uitri: refringetur super lineam, quae transit per centra duorum foraminum. Erit ergo refractio ista ad partem perpendicularis exeuntis a loco refractio- nis super superficiem uitri. Et haec forma exit ab aere, et refringitur in uitro: et uitrum est grossius aere. Eix omnibus ergo istis experimentationibus patet, quod uisus comprehendit uisibilia, quae sunt in aqua, et ultra corpora diaphana, quae differunt a diaphanitate aeris, secundum refractio- nem, praeterquam illa, quae sunt super lineas perpendiculares super superficiem corporis diapha- ni, in quo existit: et quod refractio formarum ipsorum est in superficiebus perpendicularibus su- per superficies corporum diaphanorum. Omne enim quod experimentatum est per praedictum in- strumentum, inuenitur refringi in superficie medij circuli, de quo patuit, [5 n] quod est perpendi- cularis super superficies corporum diaphanorum, et super superficies corporum contingentium superficies eorum. Ex hac ergo experimentatione declarabitur etiam, quod formae, quae compre- henduntur a uisu secundum refractionem, quae exeunt a grossiore corpore diaphano ad subtilius, refringuntur ad partem contrariam illi, in qua est perpendicularis exiens a loco refractionis super superficiem corporis diaphani: et quae exeunt a subtiliore ad grossius, refringuntur ad partem, in qua est perpendicularis praedicta.

15. Stella uidetur refracte. 49 p 10.

STellae autem comprehenduntur etiam secundum refractionem: nam corpus coeli est subtilius corpore aeris, id est maioris diaphanitatis. Hoc autem potest experimentari experimentatio- ne, quae ostendet, quod stellae comprehendantur secundum refractionem: ex quo patebit e- tiam, quod corpus coeli est magis diaphanum corpore aeris. Et cum quis hoc uoluerit experiri, ac- cipiat instrumentum de armillis, et ponat illud in loco eminente, in quo poterit apparere hori- zon orientalis, et ponat instrumentum armillarum suo modo proprio: scilicet ut ponat armillam, quae est in loco circuli meridionalis, in superficie circuli meridiei, et polus eius sit exaltatus a terra secundum altitudinem poli mundi supra horizontem loci, in quo ponitur instrumentum: et in no- cte obseruet aliquam stellarum fixarum magnarum, quae transit per uerticem capitis illius loci, aut prope, et obseruet illam ab ortu suo in oriente: stella autem orta, reuoluat armillam, quae reuolui- tur in circuitu poli aequinoctialis, donec fiat aequidistans stellae, et certificetur locus stellae ex ar- milla: et sic habebit longitudinem stellae a polo mundi. Deinde obseruet stellam, quousque per- uenerit ad circulum meridiei, et reuoluat armillam, quam prius mouerat, donec fiat aequidistans stellae: et sic habebit longitudinem stellae a polo mundi, cum stella fuerit in uertice capitis. Hoc au- tem facto, inueniet remotionem stellae a polo mundi in ascensione, minorem remotione eius a po- lo mundi in hora existentiae eius in uertice capitis. Ex quo patet, quod uisus comprehendit stellas refracte, non recte: Stella enim fixa semper mouetur per eundem circulum de circulis aequidistantibus aequatori, et nunquam exit ab ipso, ita ut appareat, nisi in longissimo tempore. Et si stella compre- henderetur recte: tunc lineae radiales extenderentur a uisu recte ad stellas, et extenderentur for- mae stellarum per lineas radiales recte, quousque peruenirent ad uisum. Et si forma extendere- tur a stella recte ad uisum: tunc uisus comprehenderet eam in suo loco: et sic inueniret distantiam stellae fixae a polo mundi in eadem nocte eandem: Sed distantia stellae mutatur eadem nocte a po- lo mundi: ergo uisus non recte comprehendit stellam. In coelo autem non est corpus densum ter- sum, nec in aere, a quo possint formae reflecti. Et cum uisus non comprehendat stellam recte, nec secundum reflexionem: ergo secundum refractionem, cum his solis tribus modis compre- hendantur res a uisu [per 1 n 4. 1 n.] Ex diuersitate ergo distantiae eiusdem stellae in eadem no- cte a polo mundi, patet procul dubio, quod uisus comprehendat stellas refracte: Ergo corpus, in quo sunt stellae fixae, differt in diaphanitate ab aere. Praeterea potest experimentari diapha- nitas corporis coeli per experimentationem lunae. Nam cum aequaueris locum lunae in aliqua ho- ra prope ortum eius, et post in nocte nota, et in loco noto uerificaueris locum eius a polo mundi, deinde posueris instrumentum horarum in illa nocte ante ortum lunę, et sciueris altitudinem lune, et obseruaueris lunam usque ad ortum eius, et perueniat tempus in instrumento ad minutum idem eiusdem horae, quod habet luna, et obseruaueris altitudinem lunae, quam habet in illa hora a uerti- ce capitis, et obseruaueris, ut instrumentum eleuationis sit diuisum per minuta, et per minora mi- nutis, si possibile est: tunc inuenies distantiam lunae a uertice capitis in illa hora per instrumen- tum, minorem spatio remotionis a uertice capitis in illa hora per computationem. Ergo lux lunae non extenditur per duo foramina instrumenti, per quae sumpta est eleuatio, recte: tunc enim distan tia eius a uertice capitis esset eadem cum illa, quę est inuenta per computationem: Sed distantia in- uenta per computationem, differt a distantia per instrumentum. Ergo lux lunae non extenditur a coelo ad aerem per lineas rectas: ergo secundum refractionem. Ex his ergo experimentationibus patet, quod uisus comprehendit omnes stellas, quae sunt in coelo refracte. Ergo uniuersum coelum differt a diaphanitate aeris. Restat ergo declarare, quod corpus coeli differt in subtilitate ab aere: et hoc declarabitur per experimentationem praedictam.

16. Coelum rarius est aere et igne. 50 p 10.

SIt ergo circulus meridiei in loco experimentationis circulus a b gk b g: et zenith capitis b: et polus mundi d: et centrum mundi e: et continuemus b cum e: et sit locus uisus z: et circulus aequidi- stans aequinoctiali (cuius distantia a poli mundi est illa, in qua inuenitur stella in hora certifica tionis distantię primae) circulus h t: et sit locus stellae in illa hora h: et sit circulus aequidistans aequi noctiali (cuius distantia a polo est illa, in qua inuenitur stella in secunda hora) circulus k b: iste ergo circulus erit ille, in quo requiescet stella secundum uerticationem. Nam cum stella fuerit in uertice capitis, aut ualde prope: tunc uisus comprehendet illam recte: [per 13 n] quia linea recta, quae transit per uisum et per uerticem capitis, est perpendicularis super concauum sphaerae coeli et perpendicu laris super conuexum aeris: et cum sit perpendicularis super utrumque corpus: ergo uisus compre- hendit stellam, quae est super lineam hanc recte, siue haec duo corpora coeli et aeris fuerint diuersae diaphanitatis, siue consimilis. Cum ergo stella fuerit in uertice capitis, aut prope: uisus comprehen- dit illam in suo uero circulo aequidistante aequinoctiali, super quem mouebatur ab initio noctis, quo- usque peruenit ad circulum meridiei. Circulus ergo k b g est ille, in quo erat stella in experimentatio- ne prima: et sit circulus uerticationis, qui transit per stellam in hora experimentationis primae cir- culus b h k: et secet ille circulus circulum k b g in puncto k, et circulum h t in puncto h. Et quia di- stantia stellę a polo mundi fuit in prima experimenIn this figure, the letter *a* needs to be placed differently, see Errata p. a3v, l. 11–12: “in figura ponatur litera a è regione e centri mundi ad peripheriam meridiani b g”.

tatione minor, quam in secunda: erit circulus h t pro pinquior polo, circulo k b g: ergo punctum h est pro- pinquius zenith capitis, quam punctum k: et conti nuemus duas lineas h z, k z. Quia ergo stella com- prehenditur a uisu in hora experimentationis pri- mę in puncto h: et tunc erat in superficie circuli b h k uerticalis: et stella erat in illa hora in circumferen tia k b g: ergo stella erat in illa hora in puncto k: et comprehenditur a uisu in puncto h, et per rectitudi nem lineae z h: uisus enim nihil comprehendit, nisi per uerticationes linearum radialium, per quas for mae perueniunt ad uisum. Visus ergo comprehendit stellam in puncto h: quia forma peruenit ad illum in rectitudine lineae h z. Et cum uisus comprehendat illam in rectitudine h z: et linea recta, quae est inter stellam et uisum, sit linea k z: manifestum est ergo, quod uisus non comprehendit stellam, quae est in puncto k recte: ergo refracte. Sit ergo locus refractionis m: et continuemus k m: et protrahamus ab m rectam usque ad z. Forma ergo stellae, quae peruenit ad z, ex qua uisus comprehendit sellam: extendi tur a stella per lineam k m, et refringitur per lineam m z: et non refringuntur formae, nisi cum occur- rit corpus diuersae diaphanitatis a diaphanitate corporis, in quo existitexistunt. Ergo corpus, in quo est stel la, scilicet coelum, est diaphanum diferens in diaphanitate ab aere. Et quia locus refractionis est apud superficiem, quae transit in duo corpora, quae differunt in diaphanitate: punctum ergo m est pun- ctum in concauitate coeli. Et continuemus lineam inter e, m: et sit diameter sphaerę coeli: erit ergo li- nea e m perpendicularis super superficiem coeli concauam contingentem aerem, et super superfi- ciem aeris conuexam: [ut demonstratum est 25 n 4.] Et cum forma stellae, quae est in puncto k, exten datur per lineam m k, et refringatur in aere per lineam m z: patet, quod haec refractio est ad lineam, in qua est perpendicularis e m, quae transit per punctum refractionis, quae est perpendicularis su- per superficiem aeris. Et cum refractio in aere sit ad partem perpendicularis exeuntis a loco refra- ctionis: ergo corpus aeris est grossius corpore coeli. Patet ergo, quod hoc quod inuenimus per ex- perimentationem stellarum, significat demonstratiue, quod uisus non comprehendit stellas, nisi refracte: et quod corpus aeris est grossius corpore coeli: et quod corpus coeli est subtilius corpore aeris. Ex his ergo omnibus patet, quod omnia, quę comprehenduntur a uisu ultra corpora diaphana, quorum dia phanitas differt a diaphanitate aeris (si uisus fuerit obliquus a perpendicularibus egredienitibus ex ipsis super superficiem diaphanorum corporum, in quibus consistunt) comprehenduntur refracte.

DE IMAGINIBVS. CAP. V.

17. Imago (quae est forma refracti uisibilis a medio diuerso) extra uisibilis locum uidetur. in defin. 11 p 10.

IMago est forma rei uisibilis, quam uisus comprehendit ultra diaphanum corpus, quod differt in sua diaphanitate a diaphanitate aeris, cum uisus fuerit obliquus a perpendicularibus exeuntibus ab illo uisibili ad superficiem illius corporis diaphani. Nam forma, quam comprehendit uisus in cor- pore diaphano de re uisa, quae est ultra ipsum corpus, non est ipsa res uisa: quoniam uisus tunc non comprehendit rem uisam in suo loco, neque in sua forma, sed in alio loco et in alio modo, scilicet re fracte: et cum hoc comprehendit illam rem in sua oppositione: hęc autem forma dicitur imago. Hoc autem comprehenditur ratione et experientia. Ratione, quoniam ex prędicto capitulo patet, quod uisum, quod est in diaphano corpore diuersę diaphantatis ab aere, comprehenditur a uisu refracte, cum uisus fuerit decliuis a perpendicularibus exeuntibus a re uisa super superficiem corporis diapha ni. Et cum uisus comprehendit huiusmodi uisum refracte, nec est in oppositione eius, non comprehen dit ipsum recte, nec sentit se comprehendere ipsum refracte: patet, quod comprehendit ipsum extra suum locum. Per experientiam uero sic potest cognosci. Nam si aliquis acceperit uas habens oras erectas perpendiculares, in cuius medio posuerit aliquod uisum manifestum ut obolum aut dena- rium, et steterit a longe, quousque uiderit rem uisam in profundo uasis: deinde elongauerit se a re ui- sa, quoosque non uideat rem paulatim: tunc in initio occultationis stet in suo loco, et praecipiat alte ri infundere aquam in uas ipso existente in suo loco, nec moueat uisum, nec mutet situm: tunc enim cum aspexerit aquam, quae est in uase: uidebit rem uisam, postquam non uiderat eam, et uidebit eam in eius oppositione. Ex quo patet, quod forma, quam uidet in aqua, non est in loco uisi. Nam si forma esset in loco uisi: tunc uisus comprehenderet rem uisam non existente aqua in uase: uisus enim in se- cundo statu comprehendit rem uisam in sua oppositione, ipsa non existente in sua oppositione. Hoc ergo modo declarabitur utroque modo, ratione uidelicet et experientia, quod imago rei uisae, quam uisus comprehendit refracte, non est in loco rei uisae.

18. Imago uidetur in concursu linearum refractionis, et perpendicularis incidentiae. 15 p 10.

DEinde dico, quod imago cuiuslibet puncti, quod uisus comprehendit refracte, est in puncto, quod est differentia communis lineae, per quam forma peruenit ad uisum, et perpendicula- ri, exeunti ab illo puncto uiso super superficiem diaphani corporis. Hoc autem declarabitur per experientiam hoc modo. Accipiat aliquis circulum ligneum, cuius diameter non sit minor uno cubito, altitudo duorum uel trium digitorum, et adęquet superficies eius quantumcunque poterit: et inueniat centrum eius, et extrahat in ipso diametros sese intersecantes quomodocunque uolue- rit, et signentur ferro, ut appareant, et impleat lineas illas corpore albo, ut cerusa mixta lacte: et pun ctum centri sit nigrum. Hoc autem perfecto, accipiat uas amplum, ut peluim habens oras eleuatas, et ponat uas in loco luminoso, et infundat in uas aquam claram, et sit altitudo aquae minor diame- tro circuli, et maior semidiametro eius, et mensuretur hoc ipso circulo, quousque aqua transeat cen trum circuli aliquot digitis, duabus scilitet diametris aut pluribus signatis in pso uase, scilicet, ut sit aqua cooperiens aliquam partem utriusque diametri, et remaneat altera pars extra aquam, et ex- pectet, donec aqua quiescat in uase, et tunc mittat circulum ligneum in uas, et erigat circulum su- per oram ipsius, et ponat superficiem ipsius, in qua sunt lineae signatae, ex parte uisus: deinde moue- at circulum, donec aliqua suarum diametrorum sit perpendicularis super superficiem aquae: dein- de dimittat uisum suum, et erigat uas, quousque uisus simul appropinquet aequidistantiae superfi- ciei aquae, et extra oram uasis, et supra superficiem aquae in tantum, ut possit uidere centrum circu- li: experientia enim secundum hunc modum erit manifestior. Hoc ergo facto, intueatur centrum cir- culi et diametrum circuli perpendicularem super superficiem aquae: tunc enim inueniet centrum circuli in rectitudine diametri perpendicularis. Deinde intueatur diametrum circuli decliuem, cu- ius pars eminet supra aquam: tunc enim inueniet ipsam incuruatam: cuius incuruatio erit apud su- perficiem aquae: et illa pars, quae est intra aquam, continet cum illa, quae est extra aquam, angulum obtusum: et inueniet angulum ex parte diametri perpendicularis: et inueniet illud, quod est intra aquam, rectum et continuum. Ex quo patet, quod forma puncti, quod est centrum circuli, scilicet forma, quam uisus comprehendit, non est apud centrum circuli. Nam si esset apud centrum circu- li: tunc esset in rectitudine diametri decliuis: nam in rei ueritate talem habet situm. Cum ergo uisus comprehendit hoc punctum extra rectitudinem diametri decliuis, et anguli, quem continent par- tes diametri decliuis, sequuntur diametrum perpendicularem: tunc punctum, quod est forma cen- tri, est eleuatum a centro. Et quia uisus comprehendit hoc punctum in rectitudine diametri, per- pendicularis super superficiem aquae: erit hoc punctum, quod est forma puncti, quod est in centro, eleuatum a centro: et cum hoc, est in rectitudine perpendicularis, exeuntis a centro super superfi- ciem aquae. Et declarabitur ex incuruatione diametri decliuis apud superficiem aquae, et rectitu- dine eius, quod est ntraintra aquam ex diametro, et continuatione eius: quod omne punctum partis, quae est intra aquam ex diametro decliui, est eleuatum a suo loco. Deinde oportet experimentatorem reuoluere circulum ligneum, quousque diameter decliuis fiat perpendicularis super superficiem aquae, et diameter, quae erat perpendicularis, fiat decliuis: deinde dimittat uisum suum, et intuentur centrum: et tunc inueniet formam centri in rectitudine diametri, quae nunc est perpendicularis su- per superficiem aquę, extra cuius rectitudinem erat forma centri, quando erat decliuis: et inueniet formam extra rectitudinem diametri, quae est nunc decliuis, quae prius erat perpendicularis super superficiem aquae: et inueniet diametrum decliuem incuruatam apud superficiem aquae: et angulus incuruationis erit ex parte diametri decliuis. Et si fuerint in circulo plures diametri, et reuoluerit experimentator circulum, quousque unaquęque earum fuerit perpendicularis super superficiem aquae successiue, et fuerit diameter, quae sequitur illam diametrum, decliuis, et aliqua pars eius fue- rit extra aquam: tunc inueniet formam puncti, quod est centrum circuli, semper in rectitudine dia- metri perpendicularis, et eleuatam a rectitudine diametri decliuis, et semper inueniet illud, quod est intra aquam, rectum. Ex omnibus ergo istis patet, quod forma cuiuslibet puncti comprehensi a uisu in corpore diaphano grossiore corpore aeris: comprehenditur extra suum locum et eleuatum a suo loco, et in rectitudine perpendicularis exeuntis ab illo puncto super superficiem corporis dia phani: cum linea, quae continuat centrum uisus cum illo puncto, non fuerit perpendicularis super superficiem corporis diaphani: omne autem punctum comprehenditur a uisu in eius oppositio- ne, et in rectitudine lineae rectae, per quam extenditur forma ad uisum, [per 19. 21. 38 n 1. 13 n.] Pun- cta ergo, quę comprehendit uisus refracte, comprehenduntur in eius oppositione, et in rectitudine lineae rectę, per quam forma peruenit ad uisum. Hoc autem declarabitur per experimentationem comprehensionis rerum uisibilium secundum refractionem per illud instrumentum praedictum. Nam si experimentator clauserit secundum foramen, quod est in instrumento: tunc non compre- hendet rem uisam, quam comprehendebat secundum refractionem: et cum clauserit secundun fo- ramen, nihil aliud facit, nisi secare lineam rectam imaginabilem, quae exit a centro uisus ad locum refractionis. Ex quo patet, quod forma, quae extenditur a uisu in corpore diaphano, in quo res ui- sa est, et refringitur in corpore diaphano, in quo est uisus: extenditur per lineam rectam, quae exit a centro uisus ad locum refractionis: et quod omne punctum, quod comprehenditur a uisu in corpo re diaphano magis grosso, quam sit corpus aeris (si centrum uisus fuerit extra perpendicularem, exeuntem ab illo puncto super corpus diaphanum) comprehenditur in puncto, quod est diffferen- tia communis lineę, super quam peruenit forma ad uisum, et perpendiculari, exeunti a puncto ui- so super superficiem corporis diaphani, quod est ex parte uisus. Si autem experimentator uolue-

rit experiri imaginem rei uisae, cuius forma refrin- gitur a corpore subtiliore ad corpus grossius: acci- piat frustum uitri, cuius superficies sint aequatae et aequidistantes, habens in longitudine octo digi- tos, et in altitudine quatuor, et in spissitudine qua- tuor: et accipiat circulum ligneum praedictum, et signet in dorso eius chordam in longitudine decem digitorum, et diuidat illam in duo aequalia, et con- tinuet locum diuisionis cum centro circuli linea re cta, quae transeat in utramque partem: haec ergo li nea erit perpendicularis super lineam primam [per 3 p 3.] Deinde continuet alteram extremitatem chordae cum centro circuli linea recta, quae etiam transeat in utramque partem. Et hae duae diame- tri sint signatę ferro, quarum alteram impleat cor- pore albo, et aliam alterius modi colore. Deinde ponat uitrum longum super dorsum instrumenti circuli lignei, et superponat alteram extremitatem longitudinis eius medietati chordae, et distinguat de uitro tres digitos, ex quibus duo erunt ex par te diametri decliuis extra circulum, et remanebit de longitudine uitri unus digitus: qui erit ultra diametrum perpendicularem super chordam: et sit corpus uitri ex parte centri: et applicet uitrum secundum hunc situm circulo ligneo applicatione fixa. Sic ergo diameter perpendicularis super chordam, erit perpendicularis super extremitates uitri ęquidistantes, et altera diameter erit decli- uis super has duas superficies. Deinde oportet, ut experimentator ponat oram circuli, in qua est extremitas uitri eminens ex parte sui uisus, et ponat alterum uisum in differentia communi circum- ferentiae et extremitati uitri, quae est extremitas diametri decliuis, et appropinquet uisum suum ui- tro, quantum poterit, ita, ut non possit per illum uidere ex superficie aliquid, pręter extremitatem diametri decliuis: reliquus autem uisus sit in parte, in qua est uitrum et circulus: deinde cooperiat illud, quod opponitur alteri uisui ex superficie uitri cum bombace: quam applicet super aliquam partem uitri, ita ut comprehendat diametrum decliuem, quae est ultima linea per unum uisum, qui contingit uitrum: et non uideat ultra hanc lineam, et uideat lineam albam perpendicularem utro- que uisu. Ipso autem existente in hoc situ, intueatur centrum circuli, et inueniet illud in rectitudi- ne lineae albae, quę est perpendicularis super superficiem uitri: et intueatur diametrum decliuem, apud cuius extremitatem tenet uisum suum: et tunc uidebit eam incuruatam apud superficiem ui- tri, quae est ex parte centri, et inueniet angulum incuruationis ex parte circumferentiae: uisus au- tem comprehendet partem huius diametri decliuis, quae est sub uitro in rectitudine. Et quia uisus tangit superficiem uitri, et diametri perpendicularis una pars est sub uitro, alia extra uitrum ex par te centri, altera extra uitrum ex parte extremitatis diametri: pars igitur, quae sub uitro est, compre- henditur a uisu extra uitrum secundum refractionem: et pars, quae est parte extremitatis diametri, comprehenditur a uisu extra uitrum: qui uisus est extra uitrum recte et sine refractione: pars au- tem quae est ex parte centri, comprehenditur ab utroque uisu secundum refractionem. Nam lineę, quae exeunt a centro uisus contingentis uitrum, et extenduntur in corpore uitri, quando perue- niunt ad superficiem uitri, quae est ex parte extremitatis centri, omnes erunt decliues super super- ficiem uitri. Pars ergo, quae est ex parte centri ex diametro perpendicularis, comprehenditur a uisu contingente uitrum secundum refractionem. Lineae uero, quae exeunt a reliquo uisu ad superio- rem superficiem uitri, erunt decliues super superficiem uitri superiorem: et cum extenduntur su- per superficiem aliam uitri, quae est ex parte centri, erunt etiam decliues: reliquus ergo uisus com- prehendit partem diametri perpendicularis, quae est ex parte centri, duabus refractionibus: par- tem autem, quae est sub uitro, una sola refractione: et cum hoc toto, uisus comprehendit hanc dia- metrum rectam. Et si experimentator cooperuerit alterum uisum, et aspexerit per uisum, qui ex parte uitri: comprehendet perpendicularem rectam. Et si eleuauerit uisum suum a uitro, et intu- ens fuerit diametrum perpendicularem ultra uitrum: comprehendet ipsam rectam, cum hoc, quod comprehendit ipsam secundum refractionem. Caussa autem huius est, quod omne punctum dia- metri perpendicularis, quando comprehenditur a uisu secundum refractionem, comprehenditur non in suo loco, sed tamen comprehenditur in loco, qui est in rectitudine perpendicularis, quae exit ab illo super superficiem uitri: et ista diameter est perpendicularis, quae exit a quolibet puncto eius ad superficiem uitri: et nullum punctum comprehenditur refracte, nisi super ipsam. Cum er- go uisus comprehendit hanc diametrum rectam, et comprehendit formam centri in rectitudine hu ius diametri: forma centri, quam uisus comprehendit ultra uitrum, quando uisus tangit uitrum, est in rectitudine perpendicularis exeuntis a centro super superficiem uitri. Et cum comprehenderit dia- metrum decliuem incuruatam: comprehendet partem eius, quae exit a centro, quae est ex parte centri, non in suo loco: et punctum centri non comprehenditur a uisu, nisi praeter suuumsuum locum. Et cum angulus incuruationis fuerit ex parte circumferentiae: tunc punctum, quod est forma centri, est sub centro. Ex quo patet, quod imago cuiuslibet puncti comprehensi a uisu ultra corpus diapha- num, subtilius corpore diaphano, quod est in parte uisus, est in rectitudine lineae, quae exit ab illo puncto, perpendicularis super superficiem corporis diaphani, quod est in parte uisus: et est remo- tior a superficie corporis diaphani, quod est in parte uisus, quam ipsum punctum. Et omne pun- ctum comprehensum a uisu, est in rectitudine lineae, per quam forma peruenit ad uisum. Et imago cuiuslibet puncti comprehensi a uisu ultra corpus diaphanum, subtilius corpore diaphano, quod est ex parte uisus, est in differentia communi lineae, per quam forma peruenit ad uisum, et perpen- diculari, quae exit a puncto uiso super superficiem corporis diaphani, quod est ex parte uisus. Ex omnibus ergo istis declaratis in hoc capitulo patet, quod imago cuiuslibet puncti uisi, comprehen- si a uisu ultra corpus diaphanum diuersae diaphanitatis a diaphanitate corporis, quod est in parte uisus (cum uisus fuerit decliuis a perpendicularibus exeuntibus ab illa re super superficiem corporis diaphani, quod est in parte uisus) est in differentia communi lineae, per quam forma illius pun- cti peruenit ad uisum, et perpendiculari, quae exit ab illo puncto super superficiem corporis dia- phani, quod est in parte uisus: siue corpus diaphanum, quod est in parte uisus, sit subtilius corpo- re diaphano, quod est in parte rei uisae: siue grossius. Quare autem uisus comprehendat rem ui- sam in loco imaginis, et quare imago fit in loco sectionis inter lineam, per quam forma peruenit ad uisum, et inter perpendicularem, quae exit a puncto uiso ad superficiem corporis diaphani, po- stea dicetur.

19. Imago uidetur tum in linea refractionis, tum in perpendiculari incidentiae. 12. 13. 18 p 10.

QVod autem uisus comprehendat formam puncti uisi, quam comprehendit refracte, etiam in rectitudine lineae, per quam forma peruenit ad uisum, manifestum est: et caussa eius decla- rata est in praedictis tractatibus: et est: quoniam uisus nihil comprehendit, nisi in rectitudi- ne linearum radialium: non enim patitur, nisi in uerticationibus istarum linearum. Quare autem comprehendat formam per perpendiculares, exeuntes a re uisa super superficiem corporis diapha- ni: est: quia, ut in secundo libro declarauimus: quando lux extenditur in corpore diaphano, exten- ditur per motum uelocissimum: et in quarto capitulo huius tractatus [8 n] declarauimus, quod motus lucis in corpore diaphano super lineam decliuem super superficiem illius corporis, est com- positus ex motu super perpendicularem, exeuntem a puncto, in quoa quo extenditur lux, super superfi- ciem illius corporis diaphani, et ex motu super lineam, quae est perpendicularis super hanc perpen dicularem. Forma autem, quae extenditur a puncto uiso refracte ad locum refractionis (quae est for ma lucis existens in puncto uiso mixta cum forma coloris) semper extenditur super lineam decli- uem super superficiem corporis diaphani. Haec igitur forma extenditur ad locum refractionis mo- tu composito ex motu super perpendicularem, quae exit a puncto uiso super superficiem corporis diaphani, et ex motu super lineam, quae est perpendicularis super hanc perpendicularem. Est ergo motus formae, quae mouetur, aut super perpendicularem, quae est super superficiem corporis dia- phani, et deinde translata est ab hac perpendiculari alio motu: aut super perpendicularem, quae exi stit super primam perpendicularem, et translata est post motum ipsius super primam perpendicu- larem motu composito ex praedictis duobus motibus. Hoc autem punctum comprehenditur a ui- su in rectitudine lineae, per quam forma peruenit ad uisum. Forma ergo existens in loco refractio- nis peruenit ad ipsum per motum formae, quae mouetur super lineam perpendicularem super superficiem corporis diaphani: deinde translata est ab hac perpendiculari per motum in rectitudine lineae, per quam forma peruenit ad uisum. Forma autem, quae est super perpendicularem existentem super superficiem corporis diaphani: et deinde mouetur in rectitudine lineae, per quam forma extendi- tur ad uisum: est forma, quae extenditur a puncto uiso super superficiem corporis diaphani, donec perueniat ad punctum sectionis inter hanc perpendicularem, et lineam, per quam forma extendi- tur ad uisum. Forma igitur puncti, quam uisus comprehendit refracte ultra corpus diaphanum, est per motum formae, quae peruenit ad uisum a loco imaginis. Visus autem comprehendit hanc for- mam ex loco imaginis: quia est per motum formae, quam uisus comprehendit recte, et sine refractio ne: et est locus, qui distat tantum a uisu, quantum punctum imaginis: cuius situs, in respectu uisus, est situs formae, quę est in loco imaginis: unde uisus comprehendit illud punctum secundum refra- ctionem in loco imaginis. Hęc autem est caussa, propter quam uisus comprehendit rem uisam ultra corpus diaphanum in loco imaginis, et propter quam imago cuiuslibet puncti rei uisae comprehen sae secundum refractionem, est in loco, in quo linea, per quam forma peruenit ad uisum, secat per- pendicularem, exeuntem a puncto illo super superficiem corporis diaphani.

20. Visibile refractum a medio (quod sectum plano, facit communem sectionem lineam re- ctam aut peripheriam) unam habet imaginem. 29. 30 p 10.

HOc autem declarato: dicamus quod omne uisum comprehensum a uisu ultra aliquod cor- pus diaphanum, quod differt in diaphanitate a corpore, quod est in parte uisus (si corpus fue- rit ex corporibus communibus) non habet, nisi unam imaginem. Corpora autem diaphana assueta sunt coelum, et aer, et aqua, et uitrum, et lapides diaphani: et superficies coeli, quae est ex par- te uisus, est sphaerica et concaua. Vnde omnis superficies plana, quę secat eam, facit in ea lineam cir cularem, cuius concauitas est ex parte uisus. Superficies autem aeris, quae tangit illam, est sphaerica conuexa. Vnde si secetur a superficie aequali: fiet in ipsa linea circularis, [per 1 th 1 sphaer.] cuius con uexum est ex parte coeli. Superficies uero aquae, quae est ex parte uisus, est sphaerica conuexa: et si secetur a superficie aequali, fiet in ipsa linea circularis: cuius conuexum est ex parte uisus. Vtro- rum autem et lapidum diaphanorum figurae assuetae sunt rotundae, aut planae. Vnde si secentur a planis superficiebus, fient in illis aut circuli, aut lineae rectę. Et uniuersaliter dicimus, quod omne punctum comprehensum a uisu ultra quodcunque corpus diaphanum, (cuius superficies, quae op ponitur uisui, est unica superficies, et si secetur a superficie ęquali, fiat in superficie eius linea recta, aut circularis) non habet, nisi unam imaginem: nec comprehenditur a uisu, nisi unum punctum tantum.

21. Si communis sectio superficierum, refractionis et refractiui fuerit linea recta: uisibie in perpendiculari super refractiuum a uisu ducta: recte, et unum uidebitur. 19 p 10.

SIt ergo uisus a: et punctum uisibile b: et corpus diaphanum ul- tra, quod est b sit illud, in cuius superficie est g: et sit diaphani- tas huius corporis grossior diaphanitate corporis, quod est ex parte uisus: et sit superficies eius, quae est ex parte uisus, aequalis: et [per 11 p 11 ] extrahamus super ipsam a puncto a perpendicularem a g c. Punctum ergo b aut erit super lineam a g c: aut extra ipsam. Si ergo punctum b fuerit in linea g c: tunc uisus a comprehendet b re- cte et sine refractione [per 13 n.] Nam forma b, quando extenditur per b g, exit ad corpus, quod est in parte a in rectitudine b g: nam b g est perpendicularis super superficiem corporis diaphani, quod est ex parte uisus [per thesin.] Visus ergo a comprehendit b in suo lo co, et in rectitudine a g b. Dicimus ergo, quod punctum b extra hanc lineam nunquam refringetur ad a. Quod si sit possibile: refringatur forma b ad a ex puncto p: et extrahamus superficiem, in qua est per- pendicularis a g b et punctum p: faciet ergo [per 3 p 11] in superficie corporis diaphani lineam rectam: sit ergo g p d: et [per 11 p 1] extra- hamus a puncto p perpendicularem super lineam d p g: et sit k p l: e rit ergo k p l perpendicularis super superficiem corporis diaphani: [per conuersionem 4 d 11]. Nam a g p refractionis planum est ad per- pendiculum plano refractiui per 9 n:] et continuemus b p, et extra- hamus ad h: erit ergo angulus k p h ille, quem continet linea, per quam extenditur forma, et perpen dicularis, exiens a loco refractionis super superficiem corporis diaphani. Quia ergo corpus, quod est ex parte a, est subtilius illo, quod est ex parte b: cum b peruenerit ad p, refringetur ad partem con trariam illi, in qua est perpendicularis p k, [per 14 n:] non ergo perueniet forma refracta ad lineam a b: sed [ex hypothesi] est refracta ad punctum a: quod est impossibile. Non ergo refringetur forma b ad a ex p, neque ex alio puncto: a ergo non comprehendit b, nisi in rectitudine lineae a g b: non ergo com prehendit ipsum, nisi puncto uno tantum.

22. Si communis sectio superficierum, refractionis et refractiui densioris fuerit linea recta: uisibile extra perpendicularem a uisu super refractiuum ductam, ab uno puncto refringetur, et unam habebit imaginem. 20 p 10.

SI uero b fuerit extra a g c: extrahamus superficiem, in qua est a g c linea, et punctum b: ergo [per 18 p 11] erit perpendicularis super superficiem corporis diaphani: et fiat in superficie huius cor poris linea g d sectio communis: ergo [per 3 p 11] g d est recta: non ergo refringetur forma b ad a, nisi in superficie, in qua est g d [per 5. 9 n:] non enim transit per duo puncta a, b superficies perpen- dicularis super superficiem corporis diaphani, nisi superficies transiens per perpendicularem a c: et per punctum b et per pendicularem a c non transit superficies aequalis, nisi una sola tantum. Forma ergo b non refringitur ad a, nisi ex linea g d. Refringatur ergo forma b ad a a puncto e: et continue- mus duas lineas b e, e a: et [per 11 p 1] extrahamus ex e perpendicularem super lineam g e d: sit ergo h e z: erit ergo h e z perpendicularis super duas superficies duorum corporum diaphanorum: [per 9 n et conuersionem 4 d 11] et extrahamus b e recte ad p: erit ergo e p inter duas lineas e h, e a: nam corpus diaphanum, quod est ex parte a, est subtilius illo, quod est ex parte b, [ex thesi.] Forma ergo b, quae extenditur per lineam b e, cum peruenerit ad e, refringetur ad partem contrariam parti per-

pendicularis z e h [per 14 n] ideo erit linea e p inter duas lineas e h e a: et [per 12 p 1] extrahamus ex b perpendicularem super lineam g d: scilicet b k: erit ergo b k per- pendicularis super superficiem dia phani corporis, quod est ex par- te b: [per 9 n et conuersionem 4 d 11:] et extrahamus a e recte, ut secet angulum b e k: et secet lineam b k in m: m ergo erit imago pun- cti b [per 18 n]: et angulus p e a e- rit angulus refractionis. Dico er go, quod b non habebit aliam imagi nem, pręter m. Quoniam enim de- monstratum est [19 n] quod b non comprehenditur a uisu, nisi super perpendicularem b k: Si ergo b aliam habuerit imaginem: erit in linea b k, et inter duo puncta b, k: corpus enim, quod est ex parte b, est grossius illo, quod est ex parte a. Sit ergo illa alia imago, si possibile est, punctum n: erit ergo aut inter duo puncta m, k: aut inter duo puncta m, b: sit inter m, k: et continuemus a n: secabit ergo linaam g d in puncto o: et continuemus b o: et transeat usque ad l: erit ergo o punctum refractionis: quia linea b o l est illa, per quam extenditur forma, quę est apud b: et erit angulus l o a angulus refractionis: et [per 11 p 1] extrahamus ex o perpendicularem super lineam g d: et sit f o q: erit ergo linea f o q perpendicularis super superficiem corporis diaphani [per 9 n et conuersionem 4 d 11] et erit angulus l o f sicut angulus, quem con tinet perpendicularis, et linea, per quam extenditur forma ad locum refractionis [per 15 p 1.] Si igitur n fue rit inter duo puncta m, k: tunc o erit inter duo puncta e, k: angulus ergo e b k est maior angulo o b k [per 9 ax.] angulus ergo p e h est maior angulo l o f: [Quia nisi h e z, k b et f o q sunt perpendiculares ipsi g d per

fabricationem: erunt per 28 p 1 paral- lelę: et per 29 p 1 angulus p e h ęqua bitur angulo e b k: eademque de cau- sa l o f ęquabitur o b k. Quare sum ptis, pro e b k, o b k: ęqualibus p e h, l o f: erit angulus p e h maior angulo l o f] et angulus p e a est angulus refractionis ex angulo p e h: et an gulus l o a est angulus refractionis ex angulo l o f: angulus ergo p e a est maior angulo l o a, ut declara- tum est in tertio capite huius tracta tus [12 n:] angulus ergo a e h est maior angulo a o f: quod est impos- sibile. [Quia nisi anguli h e g, f o g ęquantur per 10 ax: et per 16 p 1 an- gulus a e g maior est angulo a o g: reliquus igitur a e h minor est re- liquo a o f.] Si autem n fuerit inter duo puncta m, b: tunc punctum e erit inter duo puncta o, k: et erit an- gulus e b k minor angulo o b k [per 9 axio.] erit ergo angulus p e h minor angulo l o f: erit ergo angu lus p e a, qui est angulus refractionis, minor angulo l o a, qui est angulus refractionis: angulus ergo a e h est maior angulo a o f: quod est impossibile, [ut proxime ostensum est.] Ergo impossibile est, ut punctum n sit imago puncti b: neque aliud punctum est praeter m. Ergo punctum b, respectu uisus a, nullam habet imaginem, praeterquam punctum m: et hoc declarare uoluimus.

23. Si communis sectio superficierum refractionis et refractiui rarioris fuerit linea recta: uisibi- le extra perpendicularem, a uisu super refractiuum ductam: ab uno puncto refringetur: et unam habebit imaginem. 21 p 10.

ET iterum: sit corpus grossius ex parte uisus, et subtilius ex parte rei uisę: et sit differentia communis inter hanc superficiem et superficiem corporis diaphani linea g d: et [per 12 p 1] extrahamus ex b li- neam perpendicularem super lineam g d: et sit b k: erit ergo b k perpendicularis super superficiem corporis diaphani: [per 9 n et conuersionem 4 d 11] et refringatur forma b ad a ex e: et continuemus lineas b e, e a: et extrahamus perpendicularem h e: et extrahamus b e recte ad p: erit ergo a e linea media inter duas

lineas e p, e h. Nam prima linea, per quam extenditur forma ad locum refra- ctionis, est linea b e p: refractio nisi est ad partem perpendicularis e h: [per 14 n] nam corpus, quod est ex parte a, est grossius illo, quod est ex parte b [ex thesi] Linea ergo a e est me- dia inter duas lineas e p, e h: et ex- trahamus a e, directe ad partem e, quousque occurrat lineę b k: secat nisi h e z. [Itaque secabit k b ipsi h e z per 6 p 11 parallelam, per lemma Procli ad 29 p 1] occurrat ergo illi in puncto m: m ergo erit imago puncti b: [per 18 n] nam corpus, quod est ex parte b, est subtilius illo, quod est ex parte a. Dico igitur, quod b non habet ima- ginem, nisi m. Habeat enim n: si pos- sibile est: n ergo erit in perpendiculari b k, [per 19 n] et infra punctum b: quia corpus, quod est in par- te b, est subtilius illo, quod est ex parte a. Est ergo aut inter duo puncta m, b: aut infra m: et continue- mus a n: secabit ergo lineam d g in o: o ergo est punctum refractionis. Et continuemus b o: et transeat usque ad l: et [per 11 p 1] extrahamus ex o perpendicularem f o q. Linea ergo b o est linea, per quam extenditur forma ad locum refractionis: ergo linea o a erit inter duas lineas o l, o f: refractio enim est ad partem perpendicu laris [per thesin et 14 n.] Si ergo fuerit n inter duo puncta m, b: tunc punctum o erit inter duo puncta e, k: er go erit angulus o b k minor angulo e b k: [per 9 ax.] ergo angulus l o f est minor angulo p e h, [ut de- monstratum est superiore numero] ergo [per 12 n] angulus l o a (qui est angulus refractionis) est minor angulo pe a, qui est angulus refractionis: etangulus ao fqui remanet post angulum refractionis, est minor angulo a e h, qui remanet post angulum refractionis [per 12 n] sed [per 29 p 1] angulus a o f est aequalis angulo a n k, et angulus a e h est aequalis angulo a m k: ergo angulus a n k est minor angulo a m k: quod est impossibile [et contra 16 p 1.] Si autem n fuerit infra m: tunc erit e inter duo puncta o, k: et

erit angulus o b k maior angulo e b k: angulus ergo l o f erit maior an- gulo p e h: [ut patuit proximo nu- mero] ergo angulus l o a est maior angulo p e a: et angulus a o f est ma ior angulo a e h: [per 12 n] ergo angu lus a n k est maior angulo a m k: quod est impossibile: [et cotra 16 p 1] n er go non est imago b: nec aliud pun- ctum, praeterquam m: b ergo non habet imaginem, nisi m. Et hoc est, quod uoluimus declarare.

24. Si duae rectae lineae circuloIn the second figure on this page, the letter at the end of the prolongation of line f o has to be q, see Errata p. a3v, l. 12–13: “in secunda figura ad terminum lineae f o continuatae, pone literam q”. inscriptae intersecentur: angulus sectionis quilibet aequatur angulo in peripheria, insistenti in periphe- riam aequalem duabus peripherijs eidem angulo, et ad uerticem opposito subtensis 54 p 1.

AD duas autem lineas circulares conuexam et concauam pręmittemus hęc. Cum duę chordę sese secuerint in circulo: angulus sectionis erit aequalis angulo, qui est pud circumferentiam, quam chordant duo arcus, quos distinguunt illae duae chordae. Et si duae lineae secuerint circulum, et secuerint se

extra circulum: angulus sectionis erit aequalis angulo, qui est apud circumferentiam, quam chordat excessus ma ioris iliorum duorum arcuum, quos distinguunt illae duae lineae, supra reliquum. Verbi gratia: in circulo a b c d se- cent se duae chordę a c, b d in e. Dico igitur, quod angu lus a e b est aequalis angulo, qui est apud circumferen- rentiam, quam respiciunt duo arcus a b, c d: et quod an- gulus b e c est aequalis angulo in circumferentia, quam respiciunt duo arcus d g a, b z c. Extrahamus enim ex b lineam b z aequidistantem lineae a c [per 31 p 1:] arcus ergo c 2 est aequalis arcui a b [Ducta enim recta a z: aequabi- tur angulus c a z angulo a z b per 29 p 1: ideoque periphe- ria c z peripherię a b per 26 p 3:] et arcus c d est communis: ergo arcus d z est aequalis duobus arcubus, a b, c d: sed arcus d z respicit angulum d b z [per 8 d 3] ergo d z respicit arcus aequales duobus arcubus a b, c d: et [per 29 p 1] an- gulus d b z est aequalis angulo a e b: ergo angulus a e b est aequalis angulo, qui est in circumferentia, quam respi- ciunt duo arcus a b, c d. Et hoc est quod uoluimus. Item continuemus d z: et producamus z b in h: e- rit ergo [per 32 p 1] angulus h b d aequalis duobus angulis b d z, b z d, et [per 8 d 3] duo anguli b z d,

b d z respiciuntur a duobus arcubus b g d, b f z: angu- lus ergo h b d est aequalis angulo, quem respicit arcus d b z: et arcus a b est aequalis arcui z c, [ex concluso:] re goergo arcus d b z est aequalis duobus arcubus d g a, b z c: ergo angulus h b e est aequalis angulo, quem respiciunt duo arcus d g a, b z c: et [per 29 p 1] angulus h b e est ę- qualis angulo b e c. Ergo angulus b e c est aequalis an- gulo, qui est in circumferentia, quam respiciunt duo arcus d g a, b z c Et hoc est, quod uoluimus declarare. Et si li nea h b z contingat circulum: tunc [per 32 p 3] angu- lus e b z erit aequalis angulo cadenti in portionem b a d: et sic arcus b c d respicit angulum apud circumferentiam, aequalem angulo e b z: et [ per 29 p 1] angulus e b z est aequalis angulo b e a: ergo angulus b e a est aequalis an gulo, qui est apud circumferentiam, quem respicit arcus b c d: et arcus b c est aequalis arcui b a: quia diameter, quae exit ex b, est perpendicularis super lineam a c: [Nam diameter per punctum b educta, est perpendicularis tan- genti per 18 p 3: itaque per 29 p 1 est perpendicularis ipsi a c ad tangentem parallelę] quare [per 3 p 3] diui dit ipsam in duo aequalia: ergo arcus a b aequalis erit arcui b c: [ductis enim rectis a b, b c: erunt ipsae per 4 p 1 aequales: ideoque peripheriae a b, b c ipsis subtensae, per 28 p 3:] arcus ergo b c d est ęqualis duo- bus arcubus a b, c d: ergo angulus b e a est aequalis angulo, qui est apud circumferentiam, quem respiciunt duo arcus a b, c d. Et similiter declarabitur, quod angulus b e c est aequalis angulo, qui est apud cir- cumferentiam, quem respiciunt duo arcus b c, a d. Et hoc est quod uoluimus.

25. Si duae rectae lineae circulo inscriptae, extra continuatae concurrant: angulus concursus aequa- tur angulo in peripheria, insistenti in peripheriam, qua maior peri- pheriarum inter inscriptas comprehensarum exuperat minorem. 55 p 1.

ITem: sit e extra circulum a b c d: et extrahamus ex e duas lineas se- cantes circulum a b c d et sint e a d, e b c. Dico ergo, quod angulus c e d est aequalis angulo, qui est apud circumferentiam circuli, quem respi- cit arcus excessus d c supra arcum a b. Extrahamus enim lineam aequidi- stantem lineae b c [per 31 p 1] erit ergo [ut paulo ante ostensum est] ar- cus f c aequalis arcui a b: erit ergo arcus d f excessus arcus d c supra arcum a b: sed [per 8 d 3] arcus d f respicit angulum d a f: et [per 29 p 1] angulus d a f est aequalis angulo c e d: ergo c e d est aequalis angulo, qui est apud circumferentiam d f. Et hoc est quod uoluimus.

26. Si communis sectio superficierium refractionis et refractiui con uexi fuerit peripheria: uisibile in perpendiculari a uisu super re- fractiuum ducta: recte, et unum uidebitur. 22 p 10.

HIs ergo declaratis, sit uisus punctum a: et sit punctum b in aliquo uiso: et sit ultra corpus diaphanum grossius corpore, quod est in parte uisus: et sit superficies corporis diaphani, quod est ex parte b, superficies circularis conuexa ex parte uisus. Ergo per duo puncta, a, b transit superficies perpendicularis super superficiem corporis dia- phani, [per 9 n: quia superficies per a et b educta, est superficies refractionis:] et non transit per illa, superficies perpendicularis super superficiem corporis, in qua refringitur forma b ad a, nisi una tan- tum. Hanc ergo superficiem corporis diaphani signet circulus c e d: cuius centrum sit a: et continue- mus a c z d: linea ergo c z d erit perpendicularis super superficiem corporis diaphani [per 4 th 1 sphę- ricorum: quia perpendicularis est plano tangenti.] Punctum autem b aut erit extra lineam c d: aut in ipsa. Si igitur b fuerit in linea c d: tunc uisus a comprehendet b recte, et sine refractione [per 13 n.] Nam forma, quae extenditur per lineam c d, extenditur recte in corpore diaphano, quod est ex par- te uisus: quia linea c d est perpendicularis super superficiem corporis diaphani, quod est ex parte uisus. Visus ergo a comprehendit b in suo loco, et recte. Dico ergo, quod forma puncti b, quod est

in c d linea, nunquam refringetur ad a. Quoniam punctum b aut erit in centro: aut extra centrum. Si ergo fuerit in centro: tunc o- mnis linea, per quam extenditur forma b ad circumferentiam c e d, extenditur in rectitudine eius in corpore diaphano, quod est ex parte uisus. Nam omnis linea exiens a centro circuli c e d est per- pendicularis super superficiem corporis diaphani, [ut ostensum est 25 n 4:] et non exit a centro circuli c e d ad uisum a linea recta, nisi linea z a. Ergo forma puncti b, quod est in centro, non refringi- tur ad a ex circumferentia c e d. Ergo forma b nunquam refringe- tur ad a, si b fuerit in centro. Si uero fuerit extra centrum: aut erit in linea z c, aut in z d: sit ergo primo in linea z c. Dico, quod forma b non refringatur ad a. Quod si fuerit possibile: refringatur ex ipso e: et continuemus b e: et extrahamus illud ad h: et continuemus z e: et extrahamus ipsam ad p: erit ergo linea z e p perpendicu- laris super superficiem corporis diaphani [per 25 n 4,] quod est ex parte uisus. Forma ergo b, quando extenditur ad lineam b e, et refringitur in puncto e: transit a perpendiculari p e ad partem h contrariam illi, in qua est perpendicularis [per 14 n:] forma ergo b non perueniet ad a secundum refractionem, si b fuerit in linea z c. Item sit b in linea d z. Dico ergo, quod forma b non refringetur ad a. Quod si est possibile: refringatur ex e: et continuemus b e: et extrahamus b e lineam ad r: et con tinuemus z e, et extrahamus lineam usque ad p: et refringatur forma b ad a per lineam e a: Sic ergo angulus r e a erit angulus refractionis: angulus autem r e p erit angulus, quem continet linea, per quam extenditur forma, et perpendicularis exiens a loco refractionis: angulus ergo r e a est minor angulo r e p [per 12 n] et linea b z aut est minor linea z e, aut aequalis ei: nam b aut est inter duo puncta d, z: aut in puncto d: ergo angulus e b z aut est maior angulo b e z [per 18 p 1] aut aequalis ei: [per 5 p 1] sed [per 16 p 1] angulus a e r est maior angulo e b z: ergo angulus a e r est maior angu lo r e p. [Nam quia a e r maior est e b z, qui maior est, uel aequalis ipsi b e z: erit etiam maior ipso b e z: at ipsi b e z aequatur r e p per 15 p 1: quare a e r maior est r e p] quo prius erat minor: quod est impossibile. Ergo forma b non refringetur ad a ex e: nec ex alio puncto circumferentiae c e d: ne- que ex alia circumferentia circulorum, qui fiunt in superficie corporis diaphani, in quo est b. Igitur b existente in linea c d: non comprehendetur ipsum a uisu per refractionem. Quare non compre- henditur, nisi unum solum punctum.

27. Si communis sectio superficierum, refractionis et refractiui conuexi densioris fuerit peripheria: uisibile extra perpendicularem a uisu super refractiuum ductam, ab uno puncto re fringetur, unamque habebit imaginem, uarie, pro uaria uisus uel uisibilis positione, sitam. 23 p 10.

ITem: sit b extra lineam c d: et extrahamus superficiem, in qua est perpendicularis, et punctum b. Haec ergo superficies erit perpendicularis super superficiem corporis diaphani: [per 9 n: quia planum ductum per perpendicularem a c d et uisibile b, est planum refractionis] et punctum b non refringetur ad a, nisi in hac superficie: non enim transit per duo puncta a, b superficies perpen- dicularis super superficiem corporis diaphani, nisi illa, quae transit per lineam a d: et non exit ex linea a d superficies, quae transit per b, nisi una tantum. Haec ergo superficies signet in superficie corporis diaphani circulum c e d: forma ergo b non refringetur ad a, nisi ex circumferentia c e d: refringatur ergo ex e. Dico ergo, quod non refringetur ex alio puncto quam e. Refringatur enim (si possibile est) ex alio puncto: quod, ut dictum est, erit in circumferentia c e d: Sit ergo m: et continuemus lineas b e, e a, b m, m a, z e, z m: et secent se lineae b m, z e in puncto g: et extrahamus b e usque ad h: et b m ad n: et e z ad p: et z m ad l. Erit ergo angulus h e p ille, quem continet linea, per quam extenditur forma, et perpendicularis exiens a loco refractionis: et angulus h e a erit angulus refractionis: et n m l angulus ille, quem continet linea, per quam extenditur forma, et perpendicularis exiens a loco refractionis: et angulus n m a erit angulus refractionis. Angulus igitur h e p aut erit aequa- lis angulo n m l: aut erit minor: aut maior. Si aequalis: angulus h e a, qui est angulus refractionis: erit aequalis angulo n m a, qui est angulus refractionis [per 12 n:] angulus ergo a m b erit aequa- lis angulo a e b [per 13 p 1. 3 ax.] quod est impossibile. [Ducta enim recta linea a b: erit angulus a m b maior angulo a e b per 21 p 1.] Si minor: erit [per 12 n] angulus h e a minor angulo n m a:

angulus ergo a m b erit minor angulo a e b [per 13 p 1] quod est impossibile [et contra 21 p 1.] Si maior: extra- hamus lineam e b in partem b ad f: et extrahamus m b usque ad o: angulus ergo e m b erit aequalis angulo, qui est apud circumferentiam, quem respiciunt duo arcus e m, f o [per 24 n.] Et cum [ex hypothesi] angulus h e p sit maior angulo n m l: erit [per 15 p 1] angulus z e b maior angulo n m I: et cum angulus z e b sit maior angulo n m l: angulus m z p erit maior angulo m b e. [Nam quia in triangulis e b g, m z g, angulus b e g ma- ior est angulo z m g per thesin et 15 p 1: et anguli ad g ae- quantur per eandem: erit reliquus m z p maior reliquo m b e per 32 p 1:] et excessus anguli m z e supra angu- lum m b e, erit aequalis excessui anguli z e b supra an- gulum z m b: nam duo anguli apud g sunt aequales [per 15 p 1. Itaque cum per 32 p 1 anguli trianguli z m g aequen- tur angulis trianguli b e g: erunt exuperantiae angulo- rum m z e, z e b supra angulos m b e, z m b aequales.] Arcus uero, qui respicit angulum m z e, cum fuerit apud circumferentiam, erit duplus ad arcum m e [Quia enim angulus m z e duplus est anguli in peripheria, in ean- dem peripheriam m e insistentis per 20 p 3: ergo angulus m z e in peripheria constitutus, insistet in duplam peri- pheriam m e per 33 p 6.] Si ergo angulus m z e fuerit maior angulo m b e: tunc arcus m e dupli- catus erit maior duobus arcubus m e, f o: et erit excessus arcus m e duplicati supra duos arcus m e, f o, aequalis excessui arcus m e supra arcum f o [subducta enim communi peripheria m e, su perest eadem exuperantia.] Excessus ergo anguli m z e supra angulum m b e est iste, quem re- spicit apud circumferentiam excessus arcus m e supra arcum f o: sed excessus arcus m e supra ar- cum f o est minor duobus arcubus m e, f o [per 9 ax.] Ergo excessus anguli m z e supra angu- lum m b e, est minor angulo m b e [per 33 p 6.] Excessus igitur anguli z e b supra angulum z m b est mminor angulo m b e: ergo [per 15 p 1] excessus anguli h e p supra angulum n m l est minor angulo m b e. Ergo [per 12 n] excessus anguli h e a, qui est angulus refractionis, supra angulum n m a, qui est angulus refractionis, est multo minor angulo m b e. Sed excessus anguli h e a su- pra angulum n m a, est excessus anguli a m b supra angulum a e b [per 13 p 1.] Ergo excessus an- guli a m b supra angulum a e b est minor angulo m b e. Sed excessus anguli a m b supra angu- lum a e b, sunt duo anguli m a e, m b e. [Nam connexa recta a b et continuata e m ultra m in x: aequabitur per 32 p 1 angulus a m x duobus interioribus ad a et e: itemque b m x duobus interiori- bus ad b et e. Totus igitur a m b exuperat totum a e b duobus angulis m a e, m b e.] Ergo duo an- guli m a e, m b e sunt minores angulo m b e: quod est impossibile [et contra 9 ax.] Forma ergo b non refringetur ad a ex alio puncto, praeterquam ex e. Et hoc est quod uoluimus. Cum ergo b non re- fringatur ad a, nisi ex uno puncto: nec habebit, nisi unam imaginem. Sed locus imaginis diuersatur secundum diuersitatem loci, in quo est b. Continuemus enim b z: linea ergo b z aut concurret cum linea e a: aut erit ei aequidistans: et concursus aut erit in parte e b, ut in k: aut in parte a, ut in r. Et cum b z fuerit aequidistans lineae e a: erit ut linea b z sit media inter duas lineas k b z, b z r. Si uero concursus harum duarum linearum fuerit in k: erit imago ante uisum, et erit forma manifesta et comprehensa a uisu in k [per 18 n.] Si uero concursus fuerit in r: erit imago punctum r: et tunc for ma comprehendetur a uisu in eius oppositione: sed non tam manifeste, quia comprehenditur a ui- su extra suum locum. Hoc autem declaratum est in loco, in quo locuti sumus de reflexione [61 n 5.] Si linea b z fuerit aequidistans lineae e a: tunc imago erit indeterminata, et forma comprehendetur in loco refractionis. Huius autem caussa similis est illi, quam diximus in loco reflexionis [61 n 5] cum fuerit reflexio per lineam aequidistantem perpendiculari. Ex praedictis ergo patet, quod res, quae comprehenditur a uisu ultra corpus diaphanum grossius corpore, quod est ex parte uisus: non habet, nisi unam imaginem, neque comprehenditur, nisi unum tantum. Haec uero refractio est a con- cauitate corporis diaphani ex parte uisus contingentis conuexum corporis diaphani, quod est ex parte rei uisae. Et hoc est quod uoluimus.

28. Si communis sectio superficierum refractionis et refractiui conuexi rarioris fuerit peri pheria: uisibile extra perpendicularem a uisu super refractiuum ductam: ab uno puncto refrin getur, unamque habebit imaginem, uarie pro uaria uisus uel uisibilis positione sitam. 24 p 10.

ET si corpus diaphanum fuerit grossius ex parte uisus, et subtilius ex parte rei uisae: tunc uisus non uidebit nisi unam solam imaginem. Nam tunc uisus erit ut b: et res uisa ut a. Et cum for- ma a refringetur ad b: refractio erit in superficie perpendiculari super superficiem corporis diapha ni [per 9 n] et erit differentia communis inter illam superficiem et superficiem corporis diaphani circulus [per 1 th 1 sphaericorum], ut circulus c e d: et erit punctum refractionis, ut e: et erit linea re fracta, ut a e k. Sequitur ergo, ut forma, quę extendetur per lineam a e, et refringetur per b e: exten- datur ex b per lineam b e, et refringatur per lineam a e. Si ergo forma a refringitur ad b ex alio pun- cto quam ex e: sequetur quod forma b refringetur ad a ex illo puncto. [Quia lineae incidentiae et refractionis eaedem permanent, nominibus tantum mutatis.] Sed iam declaratum est [superiore numero] quod cum forma extensa fuerit per lineam b e, et refracta per lineam a e: nunquam refrin getur, nisi ex puncto uno, nec habebit nisi unam imaginem. Et si a fuerit in perpendiculari exeunte ex b ad centrum sphaerae: tunc b comprehendet a in rectitudine perpendicularis [per 13 n] et patet, quod forma a non refringetur ad b. Ex quo patuit, quod forma b, cum fuerit in perpendiculari, non refringetur ad a. Cum ergo grossius corpus fuerit ex parte uisus, et subtilius ex parte rei uisae: tunc res uisa non habebit, nisi unam imaginem et unam formam tantum.

29. Si uisus sit extra circulum (qui est communis sectio superficierum, refractionis et re- fractiui sphaerici conuexi densioris) linea recta in definito situ potest a segmento peripheriae non magnae refringi: et aliquod eius punctum recte: e reliquis plura refracte uideri: et locus to- tius imaginis est in ipso uisu. 25 p 10.

ITem: iteremus figuram ponentes in circumferentia g e d, punctum ex parte g: et sit e: ex quo extrahamus lineam aequidistantem lineae a b [per 31 p 1:] et sit linea e t: et continuemus z e, et extrahamus illam usque ad h: et sit proportio anguli z e k ad angulum k e t duplicatum maxima proportio, quam angulus, quem continet linea, per quam extenditur forma cum perpendiculari, possit habere ad angulum refractionis, quem exigit ille angulus, quo ad sensum. [Id autem per 10 11. 12 n praestari potest, quibus anguli refractionum a medio crassiore ad subtilius et contra, inuen- ti sunt.] Anguli enim refractionis, qui fuerint inter duo corpora diuersa in diaphanitate, a luce transeunte per illa diuersantur: quorum diuersitas, quo ad sensum, habet finem: quem si excesserit: sensus non comprehendet quantitatem refractionis: comprehendet enim centrum lucis in rectitu dine lineae, per quam lux extenditur, cum uidelicet experimentatus fuerit hoc per instrunmentum. Et ponamus angulum d z t aequalem angulo k e t [per 23 p 1] erit ergo angulus z k e duplus ad an- gulum k e t. [Quia enim e t, z b sunt parallelae per fabricationem: aequatur angulus k b z angulo k e t per 29 p 1: cui iam aequatus est k z b: anguli igitur k b z, k z b sunt aequales: quibus cum aeque-

tur z k e per 32 p 1: erit duplus ad utrumlibet: itaque duplus ad ęqua- lem k e t] et sic proportio anguli z e k ad angulum z k e erit maxima pro- portio inter angulum, quem continet prima linea et perpendicula- ris, exiens a puncto refractionis, et inter angulum refractionis. Sed linea e k concurret cum linea a d: [per lemma Procli ad 29 p 1] con- currant ergo in b: et extrahamus ex e lineam aequidistantem t z: con curret ergo [ut ante] cum z g extra circulum ex parte g: sit concur- sus in a: et extrahamus b e usque ad l: erit ergo [per 29 p 1] angulus l e a aequalis angulo z k e: et [per 15 p 1] angulus l e h aequalis angulo z e k. Erit ergo angulus l e a angulus refractionis, quem exigit angulus l e h [angulus enim z e k, qui per 15 p 1 aequatur angulo l e h, talis est ex thesi.] Si ergo b fuerit in aliquo uiso: et corpus diaphanum, cuius con uexum est ex parte a, fuerit continuatum ex e usque ad b, et non fue- rit distinctum apud circumferentiam g e d ex parte b: tunc forma b extendetur per lineam b e, et refringetur per lineam e a, et compre- hendetur a uisu a per uerticationem a e. Et quia angulus a e h potest diuidi pluribus proportionibus earum, quae fuerint inter angulos re fractionis, et angulos, quos continent perpendiculares cum primis lineis, quae fuerint inter duo corpora diapnana: sic ergo in linea d b erunt plura puncta, quorum formae extenduntur ad arcum e g, et re- fringuntur ad a: et forma totius lineae, in qua sunt illa puncta, refrin- getur ad a ex arcu g e. Cum ergo uisus fuerit in corpore diaphano, et res uisa fuerit in alio diaphano grossiore, et fuerit superficies dia- phani grossioris, quae est ex parte uisus, sphaerica conuexa, et uisus fuerit extra circulum, cuius conuexum est ex parte uisus, et fuerit il- le circulus remotior a uisu, quam punctum remotius ex duobus pun ctis, sectionis factae inter perpendicularem et circumferentiam, et corpus diaphanum grossum, quod est ex parte uisus, fuerit conti- nuum usque ad locum, in quo est res uisa, et non fuerit decisum a- pud circulum, qui est ex parte rei uisae: tunc uisus poterit comprehendere illam rem uisam et re- fracte et recte: et huius rei uisae imago erit centrum uisus [per 13 n.] Item si fixerimus lineam a g b, et reuoluerimus figuram a e b in circuitu a b, et pars superficiei corporis diaphani, quod est ex parte rei uisae, fuerit sphaerica: tunc punctum e signabit circumferentiam in superficie cir- culari conuexa, quae est ex parte uisus, ex qua circumferentia refringetur b ad a: sed imago in to- ta circumferentia refractionis erit una, scilicet centrum uisus. Imago ergo rei uisae etiam erit u- na. Sed ex hac positione accidit, ut uisus comprehendat formam rei uisae apud locum refra- ctionis ea de caussa, quam diximus in reflexione ex speculis, [61 n 5] cum fuerit reflexio a circumferentia in aliqua sphaera, et fuerit imago centrum uisus. Ergo huius rei uisae forma a uisu circularis comprehenditur apud circulum refractionis: et punctum eius superius circa d ui- detur in rectitudine perpendicularis, transeuntis per uisum et rem uisam simul. Et hoc est quod uoluimus.

30. Si communis sectio superficierum, refractionis et refractiui caui, densioris fuerit peri- pheria: uisibile in perpendiculari a uisu super refractiuum ducta, re

cte: et unum uidebitur. 26 p 10.

ITem: sit a uisus: et sit b in aliquo uiso, et ultra corpus diaphanum grossius illo, in quo est uisus: et sit superficies corporis, quod est ex parte uisus, circularis concaua: cuius concauitas sit ex parte uisus. Dico ergo, quod b unam solam habebit imaginem, et unam tantum for- mam apud a. Et sit centrum concauitatis g: et continuemus a g: et ex- trahamus ipsam recte usque ad z. Erit ergo a z perpendicularis super su perficiem concauam: [ut ostensum est 25 n 4: ] et b aut erit in a z, aut extra. Sit ergo primo in linea a z. A ergo comprehendet b in rectitudi- ne a b, cum a b sit perpendicularis super superficiem concauam, et nun quam refracte [per 13 n.] Quod si est possibile, refringatur forma b ad a ex e, et continuemus b e, g e, et extrahamus b e usque ad t: angulus er- go t e g est ille, quem continet linea, per quam extenditur forma, et per- pendicularis exiens a loco refractionis. Et quia corpus, quod est ex par te a, subtilius est illo, quod est ex parte b: erit [per 14 n] refractio ad par tem contrariam illi in qua est e g. Linea ergo e t, quando refringitur, re- mouetur a linea e g: et non concurret cum linea b a aliquo modo. For- ma ergo b non refringetur ad a: non ergo comprehendetur refracte, sed recte: ergo non habebit apud uisum, nisi unam formam tantum. Et hoc est quod uoluimus.

31. Si communis sectio superficierum, refractionis et refractiui caui, densioris fuerit peripheria: uisibile extra perpendicularem a ui su super refractiuum ductam, ab uno puncto refringetur, unamque habebit imaginem, uarie pro uaria uisus uel uisibilis positione si- tam. 27 p 10.

ITem: iteremus figuram, et sit b extra lineam a z, et extrahamus superficiem, in qua est a z b: Haec ergo superficies erit perpendicularis super superficiem concauam [per 9 n] et non refringetur forma b ad a, nisi in hac superficie. Non enim erigitur perpendicularis super superficiem con- cauam alia superficies aequalis, quae transit per a, nisi illa, quae transit per a z: sed per a z et per b non transit, nisi una sola tantum. Forma ergo b non refringetur ad a, nisi in superficie transeunte per li- neam a z, et per b. Et sit differentia communis inter hanc superficiem et superficiem concauam ar- cus h d e, et refringatur forma b ad a ex h. Dico ergo, quod non refringetur ex alio puncto. Quod si possibile fuerit, refringatur ex m, et continuemus lineas a h, b h, g h, a m, b m, g m, et extrahamus h b recte usque ad c, et b m recte usque ad n, et g h recte usque ad k, et g m recte usque ad p, et perficiamus circumferentiam h e d, et secet lineam a g in k. A ergo aut erit in linea k d: aut extra in parte k, [quia ea pars obiecta est cauae refractiui superficiei, a qua refractio fit ad uisum a.] si ergo a fuerit in k d, aut erit in g, aut in altera duarum linearum g d, g k. Si ergo fuerit a in g: tunc forma b non refrin- getur ad a [per praecedentem numerum: ] lineae enim, quae continuant corpus circulare cum g, sunt perpendiculares super superficiem corporis, [per 25 n 4.] quod est ex parte a: Refractio au- tem non fit per ipsam perpendicularem, sed extra ipsam. Forma ergo b non refringetur ad a, si a fuerit in g. Et si a fuerit in g d: tunc linea h c erit inter duas lineas h a, h g: et ideo linea n m erit inter duas lineas m a, m g. Nam refractio est ad partem contrariam parti perpendicularis, [per 14 n] nam corpus diaphanum, quod est ex parte uisus, est subtilius illo, quod est ex parte rei ui- sae. Et si linea h c fuerit inter duas lineas h a, h g, et a fuerit in linea g d: tunc angulus b h a e- rit ex parte d: et similiter angulus b m a erit ex parte d: et erit b ultra lineam g h l, uidelicet ex par- te k, a linea h g l. Et erit angulus c h g ille, quem continet linea, per quam extenditur forma cum perpendiculari exeunte a loco refractionis: et similiter angulus n m g: et erit angulus c h a angulus refractionis: et similiter angulus n m a. Angulus autem n m g aut erit aequalis angulo c h g, aut ma-

ior, aut minor. Si aequalis: erit [per 12 n] n m a aequalis angulo a h c: ergo [per 13 p 1. 3 ax.] angulus b h a erit e- qualis angulo b m a: quod est impossibile. [Ducta enim recta b a: erit angulus b m a maior angulo b h a per 21 p 1.] Si maior: tunc [per 12 n] angulus n m a erit maior angulo a h c: et sic [per 13 p 1. 3 ax.] angulus b m a erit mi- nor angulo b h a: quod est imposaibile [et contra 21 p 1.] Si minor: tunc [per 12 n] angulus n m a erit minor angu lo a h c: et sic totus angulus a m g erit minor toto angulo a h g: et erit [per 12 n] diminutio anguli n m a, ab angu- lo a h c minor, quam diminutio anguli a m g, ab angulo a h g: Sed diminutio anguli a m g ab angulo a h g, est ae- qualis diminutioni anguli h g m ab angulo h a m: duo enim anguli, qui sunt in sectione linearum a h, m g sunt aequales [per 15 p 1: et per 32 p 1 reliquus simul uterque trianguli h g f aequatur reliquo simul utrique trianguli m a f. Itaque quanto minor est angulus a m g angulo a h g: tanto minor erit angulus h g m angulo h a m per 32 p 1.] Ergo diminutio anguli n m a ab angulo a h c minor est, quam diminutio anguli h g m ab angulo h a m. Et extra- hamus duas a h, m a ad duo puncta e, o: erit ergo [per 24 n] angulus h a m ille, quem respiciunt in circumferen- tia duo arcus h m, e o: et angulum h g m respicit in circum- ferentia arcus h m duplicatus [angulus enim h g m du- plus est anguli in peripheria constituti, et in eandem peri- pheriam h m insistentis per 20 p 3. Si igitur angulus, aequa- lis angulo h g m in peripheria constituatur: insistet in pe ripheriam duplam peripheriae h m per 33 p 6.] Et cum angulus h g m sit minor angulo h a m: [angu- lus enim a h g maior est conclusus angulo a m g: et ad uerticem f ęquantur per 15 p 1: reliquus igitur h g m minor est reliquo h a m per 32 p 1] erit arcus h m duplicatus minor duobus arcubus h m, e o [per 33 p 6:] et erit diminutio arcus h m duplicati a duobus arcubus h m, e o, sicut diminutio ar- cus h m ab arcu e o [quia h m communis est.] Ergo diminutio anguli n m a ab angulo a h c erit mi

nor angulo, quem respicit apud circumferentiam dimi- nutio arcus h m ab arcu e o. Sed angulus, quem respicit a- pud circumferentiam diminutio arcus h m ab arcu e o, est minor angulo h a m. Est ergo diminutio anguli n m a ab angulo a h c minor angulo h a m. Excessus ergo anguli b m a supra angulum b h a est minor, quam angulus h a m. [Nam per 13 p 1 exuperantia anguli b m a supra angulum b h a est exuperantia anguli a h c supra angulum n m a, quae minor est conclusa angulo h a m.] Sed excessus an- guli b m a supra angulum b h a sunt duo anguli h a m, h b m, [ut ostensum est 27 n.] Ergo isti duo anguli simul sunt minores angulo h a m: quod est impossibile. Et si a fuerit in linea g k: tunc linea h c erit inter duas lineas h g, h a: et similiter linea m n erit inter duas lineas m g, m a. Erit ergo angulus b h a ex parte k: et similiter angu- lus b m a erit ex parte k: et erit b infra lineam g m p, sci- licet ex parte d, a linea g m p: et uterque angulus c h g, n m g est ille, quem continet linea, per quam extenditur for- ma, et perpendicularis exiens a loco refractionis: et uter- que angulus c h a, n m a erit angulus refractionis. Si ergo c h g fuerit aequalis n m g: tunc [per 12 n] angulus c h a e- rit aequalis angulo n m a: et sic [per 13 p 1] angulus b h a erit aequalis angulo b m a: quod est impossibile [et con- tra 21 p 1, connexa recta b a.] Et si fuerit maior: tunc [per 12 n] angulus c h a erit maior angulo n m a: et sic [per 13 p 1] angulus b h a erit minor angulo b m a: quod est im- possibile. Et si fuerit minor: tunc [per 12 n] angulus c h a erit minor angulo n m a: et sic totus angulus g h a erit minor toto angulo g m a: Ergo [ut supra o- stensum est] erit angulus h g m minor angulo h a m. Et erit diminutio anguli h g m ab angulo h a m minor, quam angulus g m a, ut prius declarauimus. Et diminutio anguli c h a ab angulo n m a est minor, quam diminutio anguli g h a ab angulo g m a: est ergo minor, quam diminutio anguli h g m ab angulo h a m: ergo diminutio anguli c h a ab angulo

n m a est minor, quam angulus g m a: Sed diminutio an- guli c h a ab angulo n m a, est excessus anguli b h a su- per angulum b m a [per 13 p 1,] qui sunt duo anguli h a m, h b m [ut patuit 27 n.] Ergo isti duo anguli simul sunt mi nores angulo h a m: quod est impossibile. Si uero a fuerit extra lineam k d ad partem k: et corpus, in quo est a, fuerit continuum usque ad a: continuabimus duas lineas a h, a m: et secabunt circumferentiam in q et in r. Et si angulus c h g fue rit aequalis angulo n m g: tunc [per 12 n] angulus b h a erit aequalis angulo b m a: quod est impossibile [ut su- pra.] Et si fuerit maior: tunc angulus c h a erit maior an- gulo n m a: et sic [per 13 p 1] angulus b h a erit minor angulo b m a: quod est impossibile. Si uero fuerit mi- nor: tunc angulus c h a erit minor angulo n m a: et to- tus angulus g h a erit minor toto angulo g m a. Ergo an- gulus h g m erit minor angulo h a m [ut supra:] sed an- gulus h g m est ille, quem respicit apud circumferentiam arcus h m duplicatus: et angulus h a m est ille, quem re- spicit in circumferentia excessus arcus h m supra arcum r q [per 25 n.] Ergo arcus h m duplicatus est minor excessu arcus h m, supra arcum r q: quod est impossibi- le [et contra 9 ax.] Ergo si punctum b fuerit extra lineam a k g: tunc forma eius non refringetur ad a, nisi ex uno puncto tantum. Quapropter non habebit, nisi unam i- maginem: quae imago aut erit ante uisum, aut retro, aut in loco refractionis, ut in praecedentibus declaraui- mus. Et hoc est quod uoluimus declarare.

32. Si communis sectio superficierum, refractionis et refractiui caui rarioris, fuerit peri- pheria: uisibile extra perpendicularem a uisu super refractiuum ductam, ab uno puncto refrin getur, unamque habebit imaginem, uarie pro uaria uisus uel uisibilis positione sitam. 28 p 10.

SI uero corpus diaphanum grossius fuerit ex parte uisus, et subtilius ex parte rei uisae, ijsdem manentibus figuris: tunc etiam res uisa non habebit nisi unam imaginem solam: et hoc decla- rabitur, ut in conuersa septimae figurae [quae fuit 27. 28 n.] Et omnia, quae declarauimus in re- fractionibus a conuexo et concauo circuli: sequuntur in superficiebus sphaericis et columnaribus: praeter refractionem circularem, a circumferentia circuli, quae non fit, nisi in superficiebus sphaeri- cis tantum.

33. Visibile refractum a refractiuo uariae uel figurae uel perspicuitatis, uel simul utriusque: uarias et monstrificas uarijs in locis imagines habet. 29. 30 p 10.

HAEc autem, quae diximus, sunt imagines uisibilium, quae comprehenduntur a uisu ultra corpora diaphana simplicia, quae sunt unius substantiae, et quorum figura, quae est ex par- te uisus, est una figura. Si uero corpus diaphanum fuerit diuersum, aut non consimilis dia- phanitatis: tunc imagines rei uisae diuersantur. Et si superficies corporis diaphani, quae est ex par- te uisus, fuerit diuersa: tunc loca etiam imaginum rei uisae diuersantur, cum formę refractionum ex superficie corporis diaphani diuersentur etiam. Et si aliquis respexerit ad paruam sphaeram, aut ali quod corpus rotundum paruum, aut columnare uitri aut crystalli, ultra quod corpus fuerit ali- quod uisibile: inueniet imaginem illius alio modo, quam sit res uisa in se: et forte inueniet rei ui- sae imaginem aliam: et sic dubitabitur super ea. Sed huiusmodi refractio non est una, sed duae: for- ma enim rei uisae extenditur a re uisa ad sphaeram, aut ad aliud corpus rotundum columnare, et refringitur a conuexo sphaerae aut columnae ad interius corporis, et extenditur intra corpus, quo- usque perueniat ad superficiem eius: et deinde refringitur a sphaera aut columna apud concaui- tatem aeris contingentis sphaeram aut columnam. Et sic comprehensio huiusmodi rerum erit dua- bus diuersis refractionibus. Quapropter imago eius erit diuersa ab imagine eius, quod compre- henditur una refractione. Nos autem loquemur de hoc parum, quando tracta- bimus de deceptionibus uisus, quae fiunt per refractionem.

QVOMODO VISVS COMPREHENDAT VISIBILIA SE- cundum refractionem. Cap. VI.

34. Si uisus et uisibile in diuersis medijs sua loca inter se permutent: nomina linearum incidentiae et refractionis mutantur. 9 p 10.

IN praecedentibus iam declarauimus, quod, cum forma refringitur ab aliquo corpore diapha- no, ad aliud corpus diuersae diaphanitatis: extenditur per lineam rectam, donec perueniat ad superficiem corporis diaphani, in quo est: deinde refringitur in illo alio corpore diaphano per lineam aliam rectam, quae continet cum prima linea angulum. Et cum forma extenditur per hanc aliam lineam, super quam refringitur forma in secundo corpore, alia quaecunque forma sit in se- cundo corpore usque ad punctum sectionis, inter duas lineas rectas, refringetur per primam li- neam rectam. Et est manifestum per experientiam, quod si aliquis inspexerit aliquod corpus di- phanum, quod differt in sua diaphanitate a diaphanitate aeris: comprehendet omnia, quae sunt ul tra de illis, quae opponuntur uisui. Et si cooperuerit alterum uisum, et aspexerit reliquo: compre- hendet etiam, quaecunque sunt ultra, siue illud corpus sit aer, siue aqua, siue uitrum. Et similiter si homo posuerit uisum in aliquo corpore grossiore aere, ut uitro aut crystallo: uidebit omnia, quae sunt ultra de illis, quae sunt in aere. Et si aspiciens mouerit uisum suum dextrorsum aut sinistrorsum, et in omnem partem, et non remouerit ipsum multum a suo primo loco: tunc comprehendet etiam omnia, quae prius comprehendebat, siue motus uisus fuerit in aere, siue in uitro. Sed iam declaraui- mus experientia et demonstratione, quod uisus nihil comprehendit de illis, quae sunt ultra corpora diaphana, quae differunt in diaphanitate ab aere, nisi secundum refractionem, praeterquam unum punctum, quod est in perpendiculari exeunte a centro uisus super superficiem corporis diaphani. Ergo omne punctum comprehensum a uisu ultra corpus diaphanum, praeter illud punctum prae- dictum, comprehenditur ex forma, quae extenditur ex illo puncto ad superficiem corporis diapha- ni, ultra quod est, et refringitur a superficie illius corporis ad uisum. Et cum unus uisus compre- hendat omnia, quae sunt ultra corpus diaphanum: forma omnis puncti existentis ultra corpus il- lud diaphanum, extenditur per lineam rectam ad superficiem illius corporis diaphani, et refringi- tur ad illum uisum unum, praeterquam illud punctum praedictum. Et cum formę omnium punctu- rum, quae sunt in omnibus uisibilibus existentibus ultra corpus diaphanum, refringantur in eo- dem tempore ad centrum uisus unius: forma puncti, quod existit apud centrum uisus illius, cum fuerit in aliquo uisibili, refringetur ad omnia puncta, quae sunt in omnibus uisibilibus existentibus ultra corpus diaphanum, oppositum uisui in eodem tempore et eodem modo. Et similiter est de omni puncto propinquo puncto, quod est apud centrum uisus. Nam si uisus motus fuerit ad omnem partem, et non fuerit remotus a suo situ: comprehendet uisibilia. Ergo forma cuiusli- bet puncti cuiuslibet uisi, cum fuerit ultra aliquod corpus diaphanum, extendetur ad superficiem corporis diaphani, ultra quod est, et refringetur ad uniuersum eius, quod opponitur ei ex corpo- re aeris. Et non est aliquod tempus magis appropriatum huic, quam aliud: sed hoc est proprium naturae lucis et coloris, quae sunt in uisibilibus: scilicet, ut semper extendantur a quolibet puncto cu iuslibet corporis lucidi, per lineam rectam, quae extenditur ab illo puncto, et refringantur in omni corpore diaphano diuerso, praeterquam punctum, quod est in perpendiculari. Et omnis forma cuiuslibet puncti uisibilis existentis in aliquo corpore diuerso ab aere: extendetur in illo corpore, in quo existit, et refringetur in uniuerso corpore aeris sibi opposito, et illa forma exit ad quodlibet punctum aeris. Quapropter forma totius rei uisae coniungitur apud quodlibet punctum aeris: et forma totius cuiuslibet uisi existentis in aliquo corpore diuerso ab aere, existit apud unumquod- que punctum aeris oppositi illi rei uisae: et forma illa extenditur a quolibet puncto rei uisae in cor- pore, in quo est, et refringitur apud superficiem illius corporis, et peruenit ad illud punctum ae- ris. Et ideo si uisus aspexerit aliquod corpus diaphanum diuersum ab aere, ultra quod fuerit ali- qua res uisibilis: uisus comprehendit illam rem. Nam forma illius existit apud punctum, apud quod existit centrum uisus. Propter hoc, quod et si uisus comprehenderit aliquam rem uisibilem ultra aliquod corpus diaphanum diuersum ab aere: deinde motus fuerit a loco suo dextrorsum, aut sinistrorsum: dum in suo motu fuerit oppositus corpori diaphano, et rei uisae, quae est ultra: semper comprehendet illam rem. Vnde etiam plures aspicientes comprehendunt unam rem in coelo, et in aqua, et in uno et eodem tempore. Et hoc etiam est in eodem corpore diaphano: scilicet, quod forma uisi congregatur apud quodlibet punctum corporis, in quo est: nam forma puncti cu- iuslibet eius extenditur per lineam rectam: et inter quodlibet punctum corporis, in quo est ui- sus, et quodlibet punctum rei uisae, est linea recta. Forma ergo cuiuslibet puncti rei uisae extendi- tur ad quodlibet punctum corporis diaphani, in quo est res uisa: et forma cuiuslibet rei lucidae congregatur apud quodlibet punctum cuiuslibet corporis, in quo existit, et congregatur apud quodlibet punctum corporis cuiuslibet diaphani diuersi a corpore, in quo existit, quando inter rem uisam, et illud corpus diaphanum diuersum non interfuerit aliquod impedimentum. Et for- ma rei uisae, quae est apud quodlibet punctum corporis diaphani, in quo extenditur, extenditur ad illud punctum recte: et forma illius apud quodlibet punctum corporis diaphani diuersi, extendi- tur ad illud punctum refracte: quia inter quodlibet puuctum aeris et quamlibet rem uisibilem exi- stentem in aliquo corpore diaphano diuerso ab aere: fit pyramis refracta, cuius caput est punctum in aere, et basis est illa res uisa: et erit refractio eius apud superficiem corporis ab aere diuersi. O- mnis ergo res uisa in corpore diaphano diuerso ab aere, quando comprehenditur a uisu: compre- henditur a forma extensa in pyramide refracta, adunata apud punctum existens in centro uisus. Hoc ergo modo comprehendit uisus ea, quae refracte comprehendit.

35. Imago uisibilis refracti assimilatur figurae refractiui. 46 p 10.

IN capitulo autem imaginis declarauimus, quod omne uisum comprehenditur a uisu ultra ima- ginem: et locus imaginis est punctum, in quo secant se linea radialis, per quam extenditur for- ma ad uisum, et perpendicularis exiens a puncto uiso. Si ergo imaginati fuerimus, quod ab uno- quoque puncto rei uisae exit perpendicularis ad superficiem corporis diaphani, in quo est res uisa: tunc habebimus quoddam corpus, exiens a uisu ad superficiem corporis diaphani: unde sequitur quod istud corpus secet pyramidem refractam, et illa superficies, in qua secant se, est imago illius rei uisae. Si ergo superficies corporis diaphani, in quo est res uisa, fuerit aequalis: tunc corpus imagina- tum continens omnes perpendiculares, erit aequalis superficiei. Quare imago addit parum luper rem uisam. Et si corpus fuerit sphaericum, et conuexum eius ex parte uisus, et centrum eius fuerit super illam rem uisam: tunc corpus imaginatum erit pyramidale, cuius caput est centrum sphaerae: et quanto magis extenditur a superficie corporis sphaerici, tanto magis amplificabitur: et si sectio fuerit inter rem uisam et superficiem sphaericam: tunc imago erit amplior illa re uisa: Si autem sectio fuerit ultra rem uisam: tunc imago erit strictior re uisa. Si uero res uisa fuerit ultra superficiem sphę ricam: tunc corpus imaginatum, erunt duae pyramides oppositae, quarum caput centrum sphaerae. Quare cum loca sectionis inter corpus imaginatum et pyramidem possint esse diuersa: forte locus sectionis, in quo est imago, erit maior uiso, forte minor, forte aequalis. Si uero corpus diaphanum fuerit sphaericum, et concauitas eius fuerit ex parte uisus: tunc corpus imaginatum erit pyramis, cuius caput est centrum sphaerae. Quanto ergo magis extenditur hoc corpus in partem superficiei spherae, tanto magis adunatur et constringitur, et quanto magis extenditur in aliam partem, tanto magis amplificatur: superficies enim continua parua, erit media inter centrum eius, et sphaeram. Si uero locus sectionis huius corporis cum pyramide refracta fuerit propinquior centro concauita- tis sphaerae, quam res uisa: erit imago minor ipsa re uisa. Si autem fuerit remotior a centro concauitatis, quam res uisa: erit imago maior, quam res uisa. Et cum una res uisa comprehenditur a pluribus uisi bus in uno momento: omnes imagines, quas illi uisus comprehendunt, erunt in illo tempore in u- no imaginato, quod est perpendiculare super superficiem corporis diaphani.

36. Vtroque uisu una refracti uisibilis imago uidetur. 47 p 10.

ET una res uisibilis comprehenditur ab uno homine in uno tempore, ultra corpus diaphanum diuersum a diaphanitate corporis, in quo est uisus, utroque uisu: et tamen comprehendit rem illam unam. Si enim homo comprehenderit aliquid de eis, quae sunt in coelo, aut in aqua, aut ultra uitrum, et cooperuerit alterum uisum: nihilominus comprehendet illud reliquo. Ex quo patet, quod una res uisa existens ultra corpus diaphanum, diuersum ab aere, comprehendetur utroque ui- su, et altero uisu. Caussa autem huius est, ut in tertio libro [9. 14 n] diximus: quoniam in omni pun- cto cuiuslibet uisi comprehensibilis recte et utroque uisu, in quo coniuncti fuerint duo radij utriusque uisus consimilis positionis, quantum ad duos axes uisuum: comprehendetur unum: et si in ipso ag- gregati fuerint radij diuersae positionis, quantum ad duos axes uisuum: comprehendentur duo: et in maiore parte, eorum quae comprehenduntur, positio est consimilis. Haec autem, quae sunt diuer- sae positionis, respectu utriusque uisus, sunt ualde rara, ut in tertio diximus tractatu. Et illud, quod comprehenditur refracte, comprehenditur in loco imaginis: forma autem, quae est in loco imagi- nis, comprehenditur a uisu recte, positio autem huius formae, quae est imago respectu uisus: est, sicut positio alterius rei uisae earum, quae uidentur recte. Vnde positio harum imaginum, respectu uisus, est in maiore parte consimilis: et in omni puncto imaginis congregantur duo radij duorum uisuum consimilis positionis. Quare una res uisa uidetur una utroque uisu. Et ut hoc euidentius declaretur: dicamus, quod iam diximus: quod omne punctum eius, quod comprehenditur refracte: compre- henditur in loco imaginis, qui est inter punctum sectionis ex perpendiculari, exeunte ab illo pun- cto super superficiem corporis diaphani, in quo est res uisa, et inter lineam radialem, per quam exten ditur forma ad uisum. Cum ergo aspiciens comprehenderit punctum alicuius rei utroque uisu: ima- go illius puncti respectu utriusque uisus est in perpendiculari, exeunte ex illo puncto, quae est eadem linea. Et cum forma illius puncti peruenerit ad duo puncta superficierum uisuum, quorum situs respe- ctu axis uisus est consimilis: tunc duae lineae, per quas formę extenduntur ad utrunque uisum: perueni- unt ad duo centra duorum uisuum. Sunt ergo axes, aut habentes ex axibus positionem consimilem: et duo axes uisuum semper sunt in eadem superficie: et omnes lineae exeuntes a centro duorum uisuum habentes positionem consimilem ab axe communi, erunt in eadem superficie: axis enim commu- nis semper est in eadem superficie. Nam si aliquid comprehenditur utroque uisu in eodem tempore uera comprehensione: tunc axes concurrunt in uno puncto illius rei [per 10. 15 n 3.] Quare sunt in eadem superficie. Item positio uisuum naturalis est consimilis, et non exit a naturali positione, nisi per accidens, aut per uiolentiam: quare axes eorum sunt in eadem superficie. Principium enim axium est unum punctum, quod est in medio concauitatis communis nerui, a quo exit communis axis. Existentibus ergo duobus uisibus in sua naturali positione, semper axes erunt in eadem super- ficie, siue sint mori, siue quiescentes. Si autem positio alterius uisuum mutata fuerit, respectu reliqui propter aliquod impedimentum: tunc res uisa uidebitur duplex, ut in primo libro declarauimus. Duo ergo axes in maiore parte sunt in eadem superficie. Quare omnes duo radij habentes positio- nem similem ex duobus axibus, erunt in eadem superficie. Duae ergo lineę, per quas extenduntur formę unius puncti ad duo loca consimilis positionis, sunt in eadem superficie. Sed imagines illius, respectu duorum uisuum, sunt in illis duabus lineis. Ergo sunt in eadem superficie. Sed imagines illi us puncti sunt in perpendiculari exeunte ex illo puncto. Ergo sunt in loco sectionis inter superfi- ciem, in qua sunt lineę radiales, quę est una superficies, et inter perpendicularem, quę est una linea. Sectio autem unius superficiei cum una linea est unum punctum Ergo imagines unius puncti, re- spectu duorum uisuum, quando perueniunt ad duo loca consimilis positionis, sunt punctum unum. Ex quo patet, quod imago totius rei uisae, respectu duorum uisuum, erit una: si positio imaginis fuerit consimilis. Quare res comprehenditur una utroque uisu. Si uero positio fuerit parum diuersa: uide- bitur res una: sed non uere, sed cauillose Si autem diuersitas positionis fuerit multa: tunc forma rei uidebuntur duae: sed hoc fit rarissime. Haec est ergo qualitas comprehensionis uisus de uisibilibus secundum refractionem.

37. Visio distincta fit rectis lineis a uisibili ad uisum perpendicularibus. Et uisio omnis fit re- fracte. 17. 18 p 3.

HOc autem declarato: dicamus uniuersaliter, quod omnia, quae comprehenduntur a uisu, com prehenduntur refracte, siue uisus et uisum fuerint in eodem diaphano, siue in diuersi, siue uisum sit in oppositione uisus, siue comprehendatur ab ipso reflexe. Nihil enim comprehen ditur sine refractione facta apud superficiem uisus. Nam tunicae uisus, quae sunt cornea, albuginea, glacialis, sunt etiam diaphanae et spissiores aere. Et iam declaratum est, quod formae eorum, quae sunt in aere et in alijs corporibus diaphanis, extenduntur in illis corporibus: et si occurrerint corpori- bus diuersae diaphanitatis ab eo, in quo sunt: refringuntur in illo corpore diaphano: forma ergo e- ius, quae est in aere, semper extenditur in aere. Cum ergo aer tangit superficiem alicuius uisus: tunc illa forma, quae est in aere, refringitur in superficie uisus: et tunc refringitur omni modo in corpore corneae et albugineae. Refractio enim proprie est de numero formarum: recipere autem formas et refractiones est proprium corporibus diaphanis. Formae ergo eorum, quae opponuntur uisui, sem- per refringuntur in tunicis uisus. Et iam patuit, quod cum formę extenduntur super lineas perpen diculares super secundum corpus: pertranseunt recte in secundo corpore. Formę ergo eorum, quę opponuntur superficiei uisus, refringuntur omnes in tunicis uisus: et quae fuerint ex eis in extremi tatibus linearum radialium, perpendicularium super superficiem uisus, pertranseunt recte, cum re fractione formarum earum in tunicis uisus. Parti enim superficiei uisus, quae opponitur foramini uueae, multa opponuntur uisibilia, quorum alia sunt apud extremitates linearum radialium, et a- lia extra. Omnes enim lineae radiales, quę sunt perpendiculares super superficies tunicarum uisus, continentur in pyramide, cuius caput est centrum uisus, et cuius basis est circumferentia uueae fo- raminis. Et quanto magis extenditur haec pyramis, et remouetur a uisu, tanto magis amplificatur: et omnes formae eorum, quae sunt intra pyramidem, extenduntur in rectitudine linearum radialium, et pertranseunt in tunicis uisus recte. Et haec pyramis dicitur pyramis radialis. Lineae autem, quae extenduntur in hac pyramide, quarum extremitates sunt apud centrum uisus, dicuntur lineae ra- diales. Formae uero eorum, quae sunt extra hanc pyramidem, nunquam extenduntur per aliquam linearum radialium: tamen extenduntur per lineas rectas, quae sunt inter ipsam superficiem uisus, quae opponuntur foramini uueae: et formae, quae extenduntur per has lineas, refringuntur a diapha nitate tunicarum uisus. Et forma cuiuslibet puncti eorum, quae sunt intra pyramidem radialem, exten- ditur ad superficiem uisus, quae opponitur foramini uueae in pyramide, cuius caput est illud pun- ctum, et cuius basis est superficies, quae opponitur foramini uueae: et una linea earum, quae imagi- natur in hac pyramide, est linea radialis: caeterae autem omnes, quę non sunt in hac pyramide, non sunt radiales: et nulla earum est perpendicularis super superficies tunicarum uisus. Et forma cuiusli- bet puncti eorum, quae sunt intra pyramidem radialem, extenditur super lineam omnem, quę po- test cadere in illam pyramidem, cuius caput est illud punctum, et cuius basis est superficies rei uisę, quę opponitur foramini uueę: et per unam istarum linearum transit forma, quę extenditur per illam in tunicis uisus secundum rectitudinem: et omnes formę alię extensę in residuo pyramidis, refrin- guntur in tunicis uisus, et non pertranseunt recte. Omnia ergo, quę opponuntur parti superficiei uisus, quę opponitur foramini uueę, ex illis quę sunt in aere, aut in coelo, aut in aqua, aut in consimi libus, et ex illis, quę reflectuntur a tersis corporibus, quae perueniunt ad hanc partem superficiei ui sus, refringuntur in tunicis uisus. Et formę eorum, quę sunt intra pyramidem, pertranseunt recte in tunicis uisus, cum refractione formarum earum, quę extenduntur super pyramidem, quę remanent in uniuerso huius partis superficiei uisus. Restat ergo declarare, quod formę, quę refringuntur in tunicis uisus, comprehenduntur a uisu, et sentiuntur a uirtute sensibili. In primo autem tractatu [15. 18. 19 25 n] declarauimus, quod si membrum sensibile sentiret ex quolibet puncto suę super- ficiei omnem formam ad se uenientem: tunc sentiret rerum formas mixtas. Vnde membrum sensibi- le non sentit formas, nisi ex rectitudine linearum perpendicularium super superficiem ipsius tan- tum. Quare transeunt formae uisibilium, nec admiscentur apud ipsum. In hoc uero tractatu monstra- uimus, quod formae refractę nunquam comprehenduntur, nisi in perpendicularibus exeuntibus a uisibilibus super superficies corporum diaphanorum. Ergo formae refractae in tunicis uisus non com- prehenduntur a uisu, nisi in perpendicularibus exeuntibus a uisibilibus super superficies tunicarum uisus: et hae perpendiculares lineae sunt exeuntes a centro uisus. Formae ergo omnes refractę in tu- nicis uisus comprehenduntur a uisu in rectitudine linearum exeuntium a centro uisus. Formae ergo omnium uisibilium, quae opponuntur parti superficiei uisus, quę opponitur foramini uueae, et exi- stunt in hac parte superficiei uisus: refringuntur in diaphanitate tunicarum uisus, et perueniunt ad mem brum sensibile, quod est humor glacialis, et comprehenduntur a uirtute sensibili per lineas rectas, quę continuant centrum uisus cum ipsis uisibilibus, scilicet quod forma cuiuslibet puncti cuiuslibet uisi, oppo siti superficiei uisus, quae opponitur foramini uueae, existit in uniuerso superficiei huius partis, et refringitur a tota superficie, et peruenit ad humorem glacialem: et tunc ille humor sentit formam ad se uenientem: et uirtus sensibilis comprehendit omnia, quae perueniunt ad glacialem ex forma ui- sus puncti super unam lineam continuantem centrum uisus cum illo puncto. Hoc ergo modo compre- hendit uisus omnia uisibilia. In hoc autem capitulo diximus, quod eorum, quae opponuntur superficiei uisus, alia sunt intra pyramidem, et alia extra: et cum dico superficiem uisus: intelligere oportet nunc et ammodo partem oppositam superficiei uueae. Visibilia ergo, quae sunt intra pyramidem radialem, comprehenduntur a uisu ex rectitudine linearum radialium recte, ex formis eorum, quae extenduntur ad ui sum in rectitudine harum linearum. Et hae lineae sunt perpendiculares, quę exeunt a punctis uisibilibus, quae sunt intra pyramidem super superficies tunicarum uisus: illa autem, quae sunt extra pyramidem radialem, comprehenduntur a uisu ex formis refractis, et in rectitudine linearum exeuntium a centro uisus, existentium extra pyramidem radialem. Et hae lineae, quae sunt extra pyramidem radialem, possunt etiam di ci lineae radiales transsumptiue: assimilantur enim lineis radialibus in eo, quod exeunt a centro ui- sus. Restat ergo declarare per experientiam, quod uisus comprehendit ea, quę sunt extra pyramidem radialem. Dicimus ergo, quod manifestum est, quod lachrymalia, et ea, quae continent circulum, sunt extra pyramidem, cuius caput centrum uisus est, et cuius basis est circumferentia foraminis uueae, quod est paruum foramen in medio nigredinis oculi. Et si aliquis sumpserit acum subtilem gracilem, et posue- rit extremitatem eius in postremo oculi, et inter palpebras, et quieuerit uisus: tunc uidebit extremita- tem eius: et similiter si posuerit extremitatem acus in lachrymali, et si miserit illam in oculo, et applica- uerit extremitatem in latere nigredinis oculi aut prope, uidebit extremitatem acus. Item omnia, quae aequidistant superficiei rei uisae, ex locis continentibus uisum, sunt extra pyramidem radialem. Et cum dico loca continentia uisum: intelligo illa, a quibus lineae exeuntes ad medium superficiei ui- sus, secant axem pyramidis radialis. Et si homo erexerit indicem suum ex parte suae faciei et pro- pe palpebram uidebit indicem. Et similiter si applicauerit indicem cum inferiore palpebra, ita ut superior superficies eius indicis sit aequidistans superficiei uisus, quantum ad sensum: uidebit superficiem indicis. Sed omnia ista loca sunt extra pyramidem radialem: et hoc patebit. Nam py- ramis radialis, quam continet foramen uueae, est ualde subtilis, et extenditur recte, et pyramidalitas eius non est ampla: unde nihil ex ipsa peruenit ad loca, quae circundant oculum, et appropinquant corpori oculi, et aequidistant superficiei oculi: et inter omnia loca continentia oculum, et aequidi- stantia superficiei uisus, et inter superficiem uisus, sunt lineae rectae, propter refractionem earum a cor- poribus densis, cum aer, qui est inter ipsa et superficiem uisus, fuerit continuus: tunc forma horum uisibilium peruenit ad superficiem uisus super has lineas, quae sunt extra pyramidem. Et cum haec forma perueniat ad uisum non per lineas radiales, et tamen comprehendatur a uisu: patet, quod ui- sus comprehendat illam refracte. Ex hac ergo experientia patet, quod uisus comprehendit multa eorum, quę sunt extra pyramidem radialem, refracte. Inductione autem possumus ostendere, quod uisus comprehendit illa, quae sunt intra pyramidem radialem, refracte, cum hoc, quod comprehen- dit illa recte, hoc modo. Accipias acum subtilem, et sedeas in loco opposito albo parieti, et coope- rias alterum oculorum, et ponas acum in oppositione alterius oculi, et facias acum appropinquare, ita ut applicetur palpebrae, et ponas acum in oppositione medij uisus, et aspicias parietem opposi- tum: tunc enim uidebis acum, quasi corpus diaphanum, in quo est aliquantula densitas: et uidebis quicquid est ultra acum ex pariete, et apud acum quasi corpus latum, cuius latitudo est multiplex ad latitudinem acus. Caussa autem huius in secundo tractatu declarata est: scilicet quod si res uisi- bilis fuerit multum propinqua uisui: uidebitur maior, quam sit: et quanto magis fuerit propinqua, tanto magis uidebitur maior. Diaphanitas autem eius est, quia uisus comprehendit quicquid est ultra: acus autem est corpus densum cooperiens, quod est ultra: et quia acus est ualde propinqua uisui: ideo cooperuit de pariete multiplex ad suam latitudinem. Basis enim pyramidis (cuius caput est centrum uisus, et basis est altitudo acus) erit multiplex ad latitudinem acus: et cum hoc, uisus comprehendit quicquid est ultra acum, nec cooperitur a uisu aliquid de pariete, sed comprehen- dit quod est ultra, quasi ultra corpus diaphanum. Et cum acus fuerit opposita medio uisui: tunc non cooperiet totam superficiem uisus, propter subtilitatem eius, sed aliquam partem, quanta est lati- tudo eius: et remanet ex superficie uisus aliquid a lateribus acus: et exit forma eius ad illud, quod est a lateribus acus de superficie uisus. Forma autem exiens ad acum, numquam perueniet ad uisum, nec comprehendetur ab ipso: forma autem, quae peruenit ad latera superficiei uisus, refringitur ad uisum, cum non recte perueniat ad centrum uisus. Si ergo uisus non comprehenderet illud, quod opponitur ex pariete acui, nisi recte: tunc illud, quod opponitur acui ex pariete, esset coopertum a uisu. Cum ergo comprehendatur, et non recte: patet ipsum comprehendi refracte per formam, quae refringitur a lateribus acus ex superficie uisus. Et hoc iam manifestatur etiam, quod si experimenta- tor posuerit loco acus aliquod corpus latum, cuius latitudo sit maior latitudine foraminis uueae: tunc enim nihil uidebit omnino de pariete, nec uidebit illud corpus diaphanum, sed densum. Ex hoc ergo, quod paries comprehenditur ultra acum ex gracilitate eius, et non comprehenditur ultra corpus latum: scimus quod illa comprehensio est ex forma, quae peruenit ad acum ex superficie uisus, et refrin- gitur in tunicis uisus. Et quia quicquid a uisu comprehenditur refracte, comprehenditur in rectitu dine perpendicularium: ideo illud, quod comprehendit, comprehendit refracte ex forma eius, quod opponitur acui per rectitudinem linearum, exeuntium a centro uisus, cum eo, quod opponitur acui ex pa riete: et hae lineae secantur acu, et uisus comprehendit illud, quod est ultra acum etiam in rectitudine harum linearum, et comprehendit acum etiam in rectitudine illarum. Quare totam formam quasi compre- hendet ultra corpus diaphanum, in quo est aliquantula densitas. Et si experimentator scripserit in bom- bace subtiliter, et applicauerit ipsum parieti, et remotus fuerit a pariete, in quantum possit legere scri pturam, et posuerit acum in oppositione medij uisus, ut primo fecit, et aspexerit bombacem: tunc po- terit legere scripturam, sed tamen uidebit eam quasi ultra uitrum aut ultra corpus diaphanum, in quo est aliqua densitas. Si ergo uisus non comprehendit illud, quod opponitur acui de bombace secundum refractionem: tunc aliquid lateret de scriptura: acus enim debet cooperire de scriptura multo magis se in quantitate latitudinis diaphanitatis, quam tunc comprehendit, propter remotionem bomba- cis a uisu. Sed quia uisui non patet aliquid de scriptura: patet ipsum comprehendere illud, quod op- ponitur acui: sed hoc non potest fieri recte: restat ergo, ut fiat refracte. Et si experimentator abstule- rit acum, non destruetur refractio, quę prius erat: non enim propter acum erat refractio, sed crescit refractio, eo quod refringitur ex loco acus. Et cum experimentator abstulerit acum: comprehendet il- lud, quod opponitur uisui, manifestius. Nam comprehendet illud recte, quod cooperiebatur acu: cum hoc, quod comprehendit illud refracte, sicut comprehendebat cum cooperiebatur: et propter hanc additionem comprehendit illud manifestius, quam antequam auferret acum. Ex qua experientia patet, quod illud quod opponitur uisui de illis, quae sunt intra pyramidem radialem, comprehendi- tur refracte et recte. Ex his ergo omnibus declaratur, quod omnia, quae comprehenduntur a uisu, quorum formae perueniunt ad uisum recte, aut reflexe, aut refracte: comprehenduntur secundum refractionem factam apud superficiem uisus: et quod illorum quę comprehenduntur secundum refractio nem factam a superficie uisus: quaedam comprehenduntur refracte et recte simul: et ideo illud, quod opponitur medio uisus, est manifestius illo, quod est in circuitu medij. Et cum uisus comprehende- rit aliquid latum, comprehendet illud, quod est in medio, manifestius illo, quod est in lateribus. Hoc autem declaratum est in secundo tractatu, in quo declarauimus, quomodo hoc posset experimentari: et di ximus, quod caussa huius est propter lineas radiales: et hoc est in illis, quę sunt intra pyramidem ra dialem: In alijs autem, quae sunt extra, est caussa refractio. Caussa autem uniuersalis in hoc, quod illud, quod opponitur medio uisus, est manifestius, quam illud, quod est in circuitu: est: quoniam illud quod oppo nitur medio uisus, comprehenditur recte et refracte simul. Hoc autem, quod quicquid comprehenditur a uisu, comprehendatur refracte, a nullo antiquorum dictum est.

DE FALLACIIS VISVS, QVAE ACCIDVNT ex refractione. Cap. VII.

38. Refractio debilitat lucem et colorem uisibilis: itaque totam imaginem confusam uisui of- fert. 10 p 10.

FAllaciae, quae accidunt secundum refractionem: similes sunt ijs, quae accidunt per reflexionem. Quod enim comprehenditur refracte, comprehenditur non in suo loco, cum comprehendatur in loco imaginis: quapropter positio formae comprehensae erit alia a positione rei uisae. Item re- fractio debilitat formam refractam, scilicet, formam lucis et coloris, quae sunt in re uisa. Et hoc po- test intelligi: quoniam si aspexeris aliquid existens in aqua, et tu sis obliquus a perpendicularibus, exeuntibus a re uisa super superficiem aquę multa obliquatione, et intuearis illud uere, deinde mo uearis, et moueas uisum, donec ponas ipsum in aliqua perpendiculari, exeunte a re uisa super super- ficiem aquae, et aspexeris: tunc uidebis illud manifestius, quam cum eras obliquus: et nulla est dif- ferentia inter duos situs, nisi quia in primo, forma, quae exit ad uisum, est refracta et multum obli- qua: in secundo autem forma exit recte, aut quaedam pars ipsius exit recte, et quaedam modicum obli que aut fere recte. Ex hac ergo experimentatione declaratur, quod refractio debilitat formas refra ctas. Item ea, quę sunt in aqua, et ultra uitrum et consimilia, quando refringuntur ad uisum, deferunt secum colorem corporis, in quo existunt. In illis ergo, quae comprehenduntur refracte ultra corpora diaphana, accidunt propter refractionem fallaciae, quae non accidunt in eis, quae uidentur recte, sci- licet diuersitas positionis et distantiae, et debilitas lucis et coloris. Praeterea accidunt eis ista, quae accidunt illis, quae recte uidentur. Formae enim eorum, quae comprehenduntur refracte, compre- henduntur in oppositione uisus et in rectitudine linearum radialium. Quicquid ergo accidit eis, quae uidentur in rectitudine linearum radialium, accidit istis. Et in tertio libro declarauimus omnes illas falla- cias et caussas earum: et quę sunt etiam caussae istarum: sed in his accidit magis, et citius propter de- hilitatem harum formarum. Particulares autem deceptiones, quae accidunt propter figuras super- ficierum corporum diaphanorum, sunt multimodae, sed accidunt raro uisui. Ea enim, quę compre- henduntur ultra corpora diaphana, diuersa ab aere, sunt stellae, et ea, quae sunt in aqua: Illa autem, quae sunt ultra uitrum, et lapides diaphanos diuersarum figurarum raro comprehenduntur a uisu: et non est ita de istis corporibus diaphanis, ut de speculis: specula enim saepius aspiciuntur ab homi nibus, ut uideant in eis suas formas, et habentur in domibus. Et similiter quando homo inspexerit in quodlibet corpus tersum: etiam uidebit formam eorum, quae sunt in oppositione. Et similiter si aspexerit aquam: uidebit formam suam in ea, et uidebit, quae sunt in oppositione. Et non est ita il- lud, quod uidebit ultra uitrum, et lapides diaphanos: quia homines raro aspiciunt ad illud, quod est ultra uitrum, et lapides diaphanos. Et quia ita est, dicamus de deceptionibus refractionis particu- laribus, quae semper accidunt et sine difficultate, scilicet quae accidunt in eis, quę uidentur in coelo, et in aqua: et dicemus parum de his, quae uidentur ultra uitrum, et lapides. Dicamus ergo, quod semper uisus fallitur in eis, quae comprehenduntur ultra corpus diaphanum, diuersum ab aere, praesertim in positione et remotione, in coloribus et lucibus eorum, et in magnitudine eorum et figuris quo- rundam. Ea enim, quae uidentur in aqua, et ultra uitrum, et lapides diaphanos, uidentur maiora: stel- lae autem, et distantiae inter stellas, quandoque uidentur maiores, quandoque minores.

39. Si communis sectio superficierum, refractionis et refractiui fuerit linea recta, et uisus sit in perpendiculari ducta a medio uisibilis paralleli communi sectioni: imago maior uidebitur uisibili. 31 p 10.

SIt ergo uisus a: et sit b c ultra corpus diaphanum, grossius aere: Dico, quod b c uidetur maior, quam sit. Sit ergo primo superficies corporis diaphani plana. A aut est in perpendiculari, exe- unte a medio b c super superficiem corporis: aut extra. Sit ergo in primis, in ipsa: et [per 12 p 1] sit illa perpendicularis a m z: et extrahamus superficiem, in qua sunt lineae a z, b c: et faciet in superfi cie corporis diaphani lineam d m e [per 3 p 11]: et [per 9 n] superficies, in qua sunt duae lineę a z, b c, erit perpendicularis super superficiem corporis diaphani. Et non transit per a et per aliquod pun- ctum lineae b c superficies, quae sit perpendicularis super superficiem corporis diaphani, nisi illa, in qua sunt lineae a z, b c. Non enim transit per a superficies perpendicularis super superficiem corpo- ris diaphani, nisi illa, quae transit per a z: quae linea est perpendicularis super superficiem corporis: [per 9 n et conuersionem 4 d 11] nec exit ex a perpendicularis super superficiem corporis diapha- ni, nisi linea a z. Non ergo per a transit superficies, quae sit perpendicularis super superficiem corpo ris diaphani, nisi illa, quae transit per lineam a z: et non transit per aliquod punctum lineae b c et per lineam a z, nisi illa superficies, in qua sunt duae lineae a z, b c. Non ergo transit per a et per aliquod

punctum lineae b c superficies perpendicularis super su- perficiem corporis diaphani, nisi illa, in qua sunt lineae a z, b c. Non ergo refringetur forma alicuius puncti eorum, quae sunt in b c, nisi ex linea d e. Et [per 11 p 1] extraha- mus ex b et c duas perpendiculares: cadent ergo in lineam d e in duobus punctis d e, [per lemma Procli ad 29 p 1: quia b c, d e sunt parallelae ex thesi] scilicet b d, c e. Et sit b c in primis aequidistans lineę d e: et refringatur forma b ad a ex p: et forma c ad a ex h: et continuemus lineas b p, p a, c h, h a: item a b, a c: et extrahamus a p ad l, et a h ad k. [Nam quod a p, a h concurrant cum b d, c e patet per lem ma Procli ad 29 p 1.] Quia ergo z positum fuit in medio lineae b c, positio b ex a erit ęqualis positioni c ex a: et sic distantia p ex a erit sicut distantia h ex a. [Quia enim a z bifariam secans b c, est ad eandem perpendicularis per thesin, ipsaque a z communis, aequatur sibijpsi: erit per 4 p 1 a b aequalis a c. Itaque cum b c, d e sint parallelae ex thesi, et puncta b et c a uisu a aequabiliter distent: ab eodem ae- quabiliter distabunt refractionum puncta p et h, propter aequabilem in eodem et aequabili medio punctorum o- mnium diffusionem. Quare a p aequatur ipsi h a:] et sic [per 5. 15 p 1] angulus d p l erit aequalis angulo e h k, sed [per 29 p 1] duo anguli d, e sunt recti: et linea d p est aequa lis lineae e h: quia p m est ęqualis m h. [Nam quia per the sin, fabricationem et 34 p 1 tota m d ęquatur toti m e: et an- guli ad m deinceps recti per 29 p 1, et ad p et h ęquales per conclusionem, latusque a m commune: aequabitur per 26 p 1 m p ipsi m h. Quare reliqua d p aequabitur reliquae e h per 19 p 5] ergo [per 26 p 1] d l est aequalis e k: et continuemus l k: erit ergo [per 33 p 1] aequalis lineae b c: angulus ergo c a b erit minor angu- lo k a l. [Nam recta l k secans latera a b, a c, facit duos angulos exteriores, maiores interioribus oppo sitis ad l et k per 16 p 1: sed angulis exterioribus a rectis a b, a c et secante k l factis aequantur interio- res ad b et c trianguli a b c per 29 p 1. Anguli igitur ad b et c sunt maiores angulis ad l et k. Quare per 32 p 1 reliquus a b c minor est reliquo l a k:] et linea l k est diameter imaginis b c. Nam omne punctum lineae b c refringitur ab aliquo puncto p h. Nam si forma b refringitur ex p: punctum, quod est inter b et z, refringitur ab aliquo puncto inter p et m: et ponamus super lineam b z punctum n. Si ergo for- ma n refringeretur ab aliquo puncto extra lineam m p ex parte d: tunc linea, per quam extenditur forma n, secaret lineam b p: et sic forma puncti sectionis refringeretur ad a ex duobus punctis [p et g,] quod est impossibile, ut diximus in capitulo quinto huius libri de imagine: [19 n] n ergo non re fringitur ad a, nisi ex aliquo puncto inter p m. Et similiter omne punctum in z c, non refringetur ad a, nisi ex linea m h. Linea ergo l k est diameter imaginis lineę b c: [per 18 n] forma ergo b c uidebitur in l k. Item iam declarauimus [numero praecedente] quod forma refracta est debilior recta: ergo for ma b c, quę comprehenditur refracte, est debilior forma eius, quę comprehenditur recte: et propter debilitatem formae rei, uisus assimilat eam formae rei, quae uidetur a maiore remotione: maior enim distantia debilitat formam. Et iam declarauimus in secundo libro [38 n] quod uisus comprehendit imaginem rei uisae secundum quantitatem anguli, respectu remotionis et positionis rei uisae apud uisum: et angulus k a l est maior angulo c a b [ex concluso,] et positio l k est sicut positio c b, et b c ui detur in l k, et l k comprehenditur in maiore quasi distantia, distantia b c, propter debilitatem for- mae. Visus ergo comprehendit b c refracte ex comparatione anguli maioris angulo c a b ad distan- tiam maiorem distantia b c, et ad positionem aequalem positioni b c. Quapropter b c comprehendi- tur refracte maior: et hoc duabus de caussis, scilicet magnitudine anguli, et debilitate formae. Caus- sa autem magnitudinis anguli, est propinquitas anguli ad uisum: et caussa propinquitatis anguli est refractio. Caussa ergo, qua b c comprehenditur maior, est refractio.

40. Si communis sectio superficierum, refractionis et refractiui fuerit linea recta, et uisus sit in perpendiculari ducta a medio uisibilis obliqui ad communem sectionem: imago maior ui- debitur uisibili. 32 p 10.

ITem: iteremus figuram: et sit b c non aequidistans lineę d e: et extrahamus a remotiore extremitatum

b c lineam aequidistantem lineae d e: [per 31 p 1] et sit c q: et extrahamus a z ad o: erit ergo o in medio c q. [Quia enim per fabricationem a z parallela d b, continuata est in o, et d b in q: erit per 2 p 6, ut b z ad z c, sic q o ad o c: sed b z ęquatur z c ex thesi: ergo q o ęquabitur o c: o igitur erit medium punctum lineę q c:] quare z est in medio b c: quia b q est aequidistans z o: et [per 2 p 6] proportio q o ad o c, sicut b z ad z c. Et refringatur forma q ad a ex p: et forma c ad a ex h: et continuemus a p, et pertranseat usque ad l: et continuemus a h, et pertranseat usque ad k: et conti- nuemus l k: erit ergo l k diameter imaginis q c: eritque an- gulus k a l maior angulo c a q: [ut ostensum est pręceden te numero] a ergo comprehendet imaginem q c maiorem q c, ut prius diximus. Linea autem q p secabit lineam b c in r: r ergo refringetur ad a ex p: ergo b refringetur ad a ex puncto inter duo puncta p, d. Nam si refringeretur ex puncto inter p, m: accideret praedictum impossibile [nu mero pręcedente: quod erat, idem punctum uisibilis a duo bus refractiui punctis refringi non posse.] Refringatur ergo b ad a ex f, et continuemus a f, et pertranseat ad i, et continuemus i k: ergo i k erit diameter imaginis b c: et po- sitio i k in respectu a, est similis positioni b c, quia i k aut erit ęquidistans ad b c, aut non erit inter illam et aequidi- stantem diuersitas, quae mutet positionem: non est enim inter distantiam i k et distantiam b c a uisu grandis diuersi- tas: quare declinatio i k a linea aequidistante b c, quę exit ex k, erit ualde parua. Ergo angulus i a k est maior angu- lo b a c: et positio i k est similis positioni b c: et i k comprehenditur quasi remotior, propter debilita- tem formae eius. Linea ergo k i uidetur maior, quam b c, ut in praecedente figura declarauimus: Sed i k est imago b c: ergo b c uidebitur maior, quam sit: et hoc est quod uoluimus.

41. Si communis sectio superficierum, refractionis et refractiui fuerit linea recta: et uisus sit extra planum perpendicularium a terminis uisibilis, paralleli communi sectioni super refra- ctiuum ductarum: imago uidebitur maior uisibili. 33 p 10.

ITem: sit uisus a: et res uisa b c: extrahamus perpendiculares b d, c e: et continuemus d e: et sit b c aequidistans d e: et sit a extra superficiem b d c e, cum eo quod continuatur cum ipsa: et [per 10 p 1] diuidamus b c in duo aequalia in z: et extrahamus perpendicularem a h super superfi ciem b c d e: et continuemus a z: et sit a z posita perpendiculariter super b z c. Positio ergo b respectu a est similis positioni c, respectu a: et distantia b ex a est equalis distantiae c ex a, [ut 39 n ostensum est.] Et refringatur b ad a ex p: et c ad a ex k. Positio ergo p, respectu a, est similis positioni k, respectu a: et distantia p ex a, sicut distantia k ex a: et continuemus lineas b p, p a, c k, k a. Est ergo [per 9 n] su- perficies, in qua sunt duę lineae, a p, h p perpendicularis super superficiem corporis diaphani: quia

est superficies refractionis: perpendicularis ergo b d erit in hac superficie: et perpendicularis, quae exit ex p, erit in illa superficie: linea ergo a p secabit b d [per lemma Procli ad 29 p 1:] extrahatur ergo a p, et secet b d in l: et extrahatur a k, et secet c e in o: erit ergo a l, sicut a o: [pro- pter similem positionem punctorum l et o ad punctum a:] et erit b l, sicut c o: et continuemus l o, quae est dia- meter imaginis b c: et [per 33 p 1] erit l o aequalis b c: et continuemus a b, a c. Vtraque ergo superficies a l b, a o c est perpendicularis super superficiem corporis diaphani [per 9 n:] et tres superficies perpendiculares super su perficiem corporis diaphani, quae transeunt per puncta b, z, c, [nempe a l b: a m z: a o c] secant se in perpendicu- lari exeunte ex a super superficiem corporis diaphani [per 19 p 11:] et erit angulus b p l angulus refractionis: et linea b l d perpendicularis est super superficiem corporis: ergo [per 13 p 11] linea a l est obliqua super ipsam. Linea ergo a p continet cum perpendiculari exeunte ex p super su- perficiem corporis angulum acutum ex parte l: et extra- hamus perpendicularem: et sit p g: ergo [per 6 p 11] erit ę- quidistans l d: angulus ergo pl d est acutus [per 29 p 1:] ergo [per 13 p 1] angulus a l b est obtusus. Linea ergo a l est minor, quam linea a b [per 19 p 1.] Et similiter declara tur, quod a o erit minor a c: sed lineae a l, a o sunt aequales, et a b, a c sunt aequales, et linea l o est ęqualis lineae c b: er go angulus o a l est maior angulo c a b: [ut patuit 39 n] et positio l o est consimilis positioni b c: quia linea, quę exit ex a ad medium l o, est perpendicularis super lineam l o, quia [per 29 p 1] l o est aequidistans b c, et b c est perpendicularis super superficiem, in qua sunt a z, d b: ergo [per 8 p 11] l o est perpendicularis super eandem superficiem. Linea ergo l o est perpendicularis super superficiem, quae continuat a cum medio l o. Positio ergo l o respectu a est, sicut positio b c respectu a: Sed l o comprehenditur re- motior, propter debilitatem formae: ergo l o uidebitur maior quam b c: sed l o est imago b c. Ergo b c uidebitur maior, quam sit.

42. Si communis sectio superficierum, refractionis et refractiui fuerit linea recta: et uisus sit extra planum perpendicularium a terminis uisibilis obliqui ad com- munem sectionem, super refractiuum ductarum: ima- go maior uidebitur uisibili. 34 p 10.

ITem iteremus figuram: et sit b c non aequidistans d e: et extrahamus c f aequidistantem lineae d e: et conti- nuemus a f: et sit p punctum, ex quo refringatur f ad a: b autem refringatur ad a ex q: et continuemus a q: et pro- trahamus illam ad g. Sic ergo erit g altius quam l: nam b est ultra lineam a f: unde linea a g est ultra lineam a l: ergo g est altius, quam l: et continuemus g o: erit ergo g o dia- meter imaginis b g: et erit [per 19 p 1] g o maior l o [angu lus enim g l o est rectus per fabricationem et 29 p 1:] et a g minor a l [per 19 p 1: quia angulus a g l est obtusus, ut osten- sum est 40 n] et duae lineae a g, a o sunt in duabus superfi- ciebus secantibus se, scilicet a g b, a o c: et differentia com munis inter duas has superficies transit per a: et duae li- neae, quae exeunt ex a perpendiculariter super illam su- perficiem corporis diaphani, sunt extra hanc communem differentiam in his duabus superficiebus, et sunt altiores duabus lineis a g, a o: ergo angulus g a o est maior angulo b a c: [ut ostensum est 39 n] et remotiones g o, b c ex a non differunt multum: quia linea g o aut erit aequidistans b c, aut non erit ibi differentia sensibilis in positione. Positio ergo g o, respectu a est, sicut positio b c, re- spectu a: et inter distantias g o, b c respectu a, non est diuersitas sensibilis. Quapropter g o uidebi- tur maior quam b c: sed g o est imago b c. Ergo b c uidetur maior quam sit. Et hoc est quod uo- luimus.

43. Si tota imago refracti uisibilis a refractiuo plano, uideatur maior uisibili: uidebitur et pars imaginis maior parte uisibilis proportionali. 35 p 10.

ITem: iteremus figuram primam huius capituli: [39 n] et sit perpendicularis, secans lineam l k, a m o z: erit ergo l o medietas l k: et punctum z uidebitur in o: quia uidetur in perpendiculari z m: er go b c uidebitur in linea l k: et b z est medietas b c: et l o est medietas l k: et l k uidetur maior quam b c. ergo l o uidebitur maior quam b z. Caussa autem magnitudinis b c est refractio: ergo caussa ma gnitudinis b z est refractio. a autem est in perpendiculari a z, quae exit ab extremitate b z: super su- perficiem corporis diaphani. Et hoc idem sequitur in tribus figuris sequentibus primam, scilicet in

secunda, in tertia, et quarta huius capituli: scilicet quod uisus comprehendit medietates uisibilium maiores, quam sint: et uisus est in perpendiculari exeunte ab ex- tremitate medietatis super superficiem corporis diapha ni, aut super superficiem transeuntem per extremitatem medietatis perpendicularis super superficiem corporis. Nam punctum, quod est medium imaginis, est in perpen diculari exeunte a medio rei uisae, siue res uisa sit ęquidi- stans superficiei corporis diaphani, siue non. Item b n sit quaedam pars lineę b z: et extrahamus perpendicularem n g: imago ergo n erit in linea n g: [per 19 n] sit ergo g i- mago n g: ergo aut erit in linea l g, aut prope illam. Qua- propter l g aut erit aequalis lineae b n, aut fere. Sed in pri- ma figura huius capituli [39 n] declarauimus, quod b c comprehenditur maior, quam sit. Et caussa huius est re- fractio: et refractiones formarum, quae remotiores sunt a perpendiculari, cadente a centro uisus super superfi- ciem corporis diaphani, sunt maiores refractionibus for marum, quae sunt propinquiores perpendiculari: refra- ctio ergo formae b n ad a est maior quam refractio formę partis z n ad a. Caussa ergo, quae facit imaginem b z ui- deri maiorem, facit, ut b n habeat maiorem proportio- nem ad ipsam, quam illa, quam habet b z ad b n: ergo l g (quae est imago b n) comprehenditur maior, quam b n. Item si a non comprehenderit imaginem b n maiorem, quam ipsam b n: non comprehendet imagines caetera- rum partium lineae b n, quae sunt propinquiores ad z, ma iores ipsis partibus. Nam formae caeterarum partium sunt minoris refractionis, quam forma b z: sed refractio est caussa magnitudinis imaginis: ergo a non comprehenderet l o maiorem, quam b z: a ergo comprehendet maiorem b n, quam sit. Et idem accidit, si a extra perpendicularem est exe- untem ex b z super superficiem corporis diaphani, et linea, quae exit ex a ad medium b z, non est per- pendicularis super b z. Et hoc idem sequitur in tribus figuris, in secunda scilicet, tertia et quarta huius capituli: [40. 41. 42 numeris.] Omne ergo, quod comprehenditur a uisu ultra corpus diaphanum grossius aere, cuius superficies fuerit plana, comprehenditur maius, quam sit, siue sit uisus in aliqua perpendiculari exeunte ex illo uisu super superficiem corporis, siue sit extra: et in- differenter, siue diameter rei uisae fuerit aequidistans superficiei corporis, siue non aequidistans.

44. Si uisus sit in continuata diametro circuli (qui est communis sectio superficierum, re- fractionis et refractiui conuexi densioris) uisibile uero inter ipsius centrum et uisum, ab eodem centro aequabiliter distet: imago uidebitur maior uisibili. 36 p 10.

ITem: sit superficies corporis sphaerica, cuius conuexum sit ex parte uisus, et grossius aere: et sit uisus a: et res uisa b c: et sit centrum sphaerae ultra b c, in respectu uisus: et sit centrum d: z me- dium b c: et continuemus d b, d z, d c: et extrahamus has lineas, quousque concurrant cum superfi- cie sphaerae ad e, m, n: et extrahamus z m in parte m: et primo sit uisus in linea z m: erit ergo a m z linea recta: et primo sit b d aequalis c d: Sic ergo [per 8 p 1. 10 d 1] erit a z perpendicularis super b c. Po sitio ergo b, respectu a, erit similis positioni c respectu a. Et extrahamus superficiem, in qua sunt d e, d n, d m: faciet ergo [per 1 th. 1 sphęricorum] in superficie sphęrica arcum circuli magni: sit ergo arcus e m n: et haec superficies est perpendicularis super superficiem sphaericam [per 9 n: quia est superficies re- fractionis] nec sit refraction extra hanc superficiem: nam a z est perpendicularis super superficiem sphaericam corporis Non ergo refringetur forma alicuius partis b c ad a, nisi ex circumferentia e m n Refringatur ergo b ad ad a ex h: et c ad a

ex g. Positio ergo h respectu a, et distantia eius est ęqualis positioni et distantię g. Et continuemus b h, h a, c g, g a: et extra hamus a h ad k, et a g ad l: et continuemus k l: erit ergo a k ę- qualis a l. [Quia enim anguli ad z recti sunt e conclusione, et b z aequalis c z, et z d communis: erunt anguli b d z, c d z aequales per 4 p 1. Et cum puncta h et g a puncto a ę- quabiliter distent, propter aequabilem punctorum b et c, a puncto a distantiam: aequabiliter etiam a puncto m di- stabunt, quia m est in peripheria e m n, in recta linea a m z: itaque peripheri h m aequabitur peripherię g m: et conne- xis rectis d h, d g: aequabitur angulus h d m angulo g d m per 27 p 3:et per 15 d. 4 p 1 angulus d a h angulo d a g. Qua re cum triangula d a k, d a l habeant duos angulos duobus angulis aequales ad commune latus d a: erunt ipsa aequilate ra per 26 p 1: itaque latus a k ęquabitur lateri a l, et d k ipsi d l:] et erit l k imago b c: et erit ęquidistans b c: [Nam quia d k aequalis conclusa est ipsi d l, et d b aequalis d c ex thesi: erit b k ęqualis c l: et per 7 p 5 ut d b ad b k, sic d c ad c l: I- taque per 2 p 6 l k parallela est c b:] erit ergo maior quam b c: [Nam propter triangulorum l d k, c d b similitudinem e 29. 32 p 1 manifestam: est, ut l d ad c d, sic l k ad c b: sed per 9 ax. l d maior est c d: ergo l k maior est c b:] et continuemus a b, a c: erit ergo [ut patuit 39 n] angulus k a l maior angulo b a c: et erit positio k l similis positioni b c: et inter l k et c b non est differentia in distantia, ut in praecedentibus diximus: ergo k l uidebitur maior quam b c: sed k l est imago b c: ergo b c uidebitur maior, quam sit: quia imago eius est maior se: et hoc est, quia for- ma eius est debilior, quam uera forma. Et hoc est quod uoluimus.

45. Si uisus sit in continuata diametro circuli (qui est communis sectio superficierum refractio-Of the two adjacent figures, the left belongs to chapter 45, the right to chapter 46. On the following page, the figure on the left belongs to chapter 46, the figure on the right to chapter 47. See Errata p. a3v, l. 13–16: “Pagina 275 sub numero 45 duae figurae coniunctae sunt, quarum posterior, quae ad dextram est, pertinet ad 46 numerum: ad quem prior quoque figura 47 numeri referri debet”. nis et refractiui conuexi densioris) uisibile uero inter ipsius centrum et uisum ab eodem centro inaequa- biliter distet:

imago uidebi tur maior uisi bili. 37 p 10.

SI uero b d, b c fuerint inę quales: tunc a k a l erunt inęqua les: et sic b c, k l erunt obliquę super lineam a d: erit ergo k l, ut in secunda figu ra huius capi- tis [40 n] dixi mus, maior quam b c in uisu.

46. Si commu nis sectio super- ficierum refra- ctionis et re- fractiui conue- xi densioris fue rit peripheria: et uisus sit extra planum perpendicularium ductarum a terminis uisibilis inter cen trum refractiui et uisum, ab eodem centro siue aequabiliter siue inaequabiliter distantis: imago ui- debitur maior uisibili. 38. 39 p 10.

ITem: si a fuerit extra superficiem b z c: et b d, c d fuerint aequales aut inaequales, declarabitur, ut in tertia figura et quarta huius capituli [41. 42 n] quod k l uidebitur maior quam b c.

47. Si tota imago refracti uisibilis a refractiuo conuexo, uideatur maior uisibili: uidebitur et pars imaginis maior parte uisibilis proportionali. 41 p 10.

SEd secet linea d

m lineam k l in o: erit ergo k o ima- go b z: et erit angu lus k a o maior an- gulo b a z [per 9 ax.] et positio k o est si- milis positioni b z: et distantię k o, b z respectu a non diffe runt multum. Qua- propter k o uidebi tur maior quam b z: Et a est in perpendicu- lari z m exeunte ab extremitate b z su per superficiem cor- poris: sit ergo b f pars b z: et sit k r i- mago b f: Ergo, ut in quinta figura hu ius capituli [43 n] diximus: patet quod k r uidebitur ma- ior quam b f. Si autem a est extra superfi- ciem, in qua sunt omnes perpendiculares exeuntes ex b c super superficiem corporis diaphani (nam linea, quae exit ex a ad medium b c perpendiculariter, non est idcirco perpendicularis super superficiem li- neae b c) idem patebit. Nam quia b c, k l sunt erectae super lineam a z d, aut super superficiem, quae tran- sit per lineam m d: et k o est imago b z: et l o est imago c, et angulus, quem respicit k o apud centrum uisus, est maior angulo, quem respicit b z apud centrum uisus: et similiter angulus, quem respicit o l, est maior angulo, quem respicit z c: ergo k o uidebitur maior quam c z: et similiter k r uidebitur maior quam b f. Et omnia haec declarantur in quinta figura huius capituli [43 n.] Sed in hac positione est quae- dam additio, scilicet quod k l, quae est imago b c, est maior in ueritate quam b c, et k r est maior b f. In prima autem positione, scilicet in plana superficie [refractiui: qualis fuit 39. 40. 41. 42. 43 n] duae ima gines sunt aequales duobus uisibilibus apparent autem uisui esse maiores. Imago uero k l, et imago k o, in superficie sphęrica, a qua fit refractio, sunt maiores in uisu ipsis rebus: et sic sunt in ueritate. Et patet, quod angulus, quem respicit k l apud centrum uisus, est maior angulo, quem respicit b c apud cen- trum uisus: et angulus, quem respicit k o apud centrum uisus, est maior angulo, quem respicit b z, cum uisus fuerit extra superficiem, in qua sunt d e, d z, ut in quarta figura huius capituli [42 n] diximus. Ergo si uisus comprehenderit aliquid ultra corpus grossius aere, cuius superficies fuerit sphęrica, et cuius conuexum fuerit ex parte uisus, et cuius centrum fuerit ultra rem uisam, quantum ad uisum: comprehendet illud maius, quam sit secundum ueritatem, et etiam secundum apparentiam in uisu: siue fuerit uisus in perpendiculari, exeunte a re uisa super superficiem sphaericam, siue extra, siue li- nea, quae exit a centro uisus ad medium rei uisae, fuerit perpendicularis super rem uisam, siue obliqua. Et hoc est quod uoluimus declarare.

48. Imago refracti uisibilis ab aqua ad aerem, uidetur maior uisibili. 42 p 10.

ET hoc accidit in eis, quae uidentur in aqua: nam conuexum superficiei aquae sphaericum est ex parte uisus, et centrum superficiei aquae est ultra illa, quae comprehenduntur in aqua, et aqua est grossior aere: Sed illud, quod uidetur in aqua, si aqua fuerit clara et pauca, forte non com- prehenditur a uisu esse maius in aqua, quam si esset in aere. Non enim differt quantitas eius tunc, quantum ad sensum, scilicet quantitas eius in aqua et aere: tunc enim illa additio in aqua erit par- ua, et ideo sensus non distinguet tunc illam additionem: tamen experientia potest comprehendi hoc modo. Accipe corpus columnare, cuius longitudo non sit minor uno cubito: et sit aliquantae grossiciei: album: nam albedo in aqua manifestius distinguitur: et sit superficies basis eius plana, ita ut per se stet aequaliter super superficiem terrae. Hoc obseruato, accipe uas amplum, et sit su- perficies eius plana, et infunde in uas aquam claram in altitudine minore longitudine corpo- ris columnaris: deinde mitte illud corpus columnare in aquam, et pone ipsum super suam ba- sim in medio uasis: erit ergo aliqua pars huius corporis extra aquam: nam altitudo aquae est mi- nor longitudine huius corporis. Tunc enim, cum quieuerit aqua, uidebis partem corporis, quę est in- tra aquam grossiorem illa, quę est extra aquam. Patet ergo ex hac experientia, quod omne uisum com prehensum in aqua, comprehenditur maius, quam sit in ueritate. Item sit corpus sphaericum, cuius con- uexum sit ex parte uisus, et res uisa sit ultra centrum superficiei sphaericę, et sit illud corpus grossius aere: Sed in assuetis uisibilibus non est tale aliquid, quod uideatur ultra corpus diaphanum sphaericum grossius aere, ultra centrum sphaerae, et res uisa cum hoc sit intra corpus sphaericum: hoc enim non fit, nisi corpus sphaericum fuerit uitreum aut lapideum, et fuerit totum corpus sphaericum solidum, et res uisa fuerit intra ipsum, aut ut corpus sphaericum sit portio sphaerae maior semisphaera, et res uisa sit appli cata cum basi eius: sed hi duo situs raro accidunt: huiusmodi ergo res non sunt de assuetis uisibilibus: non ergo debemus occupari circa ea, quae accidunt huiusmodi uisibilibus. Sed sunt quaedam assue- ta, quae uidentur ultra corpus diaphanum sphaericum grossius aere, cuius conuexum erit ex parte ui- sus, cum res uisa fuerit ultra sphaeram crystallinam, aut uitream in aere, non intra sphaeram. Positio- nes autem huiusmodi uisibilium sunt multimodae: Sed haec raro comprehenduntur: et si comprehendantur, raro uidentur. Non est ergo conueniens distinguere omnes illas positiones. Simus ergo contenti una sola positione, scilicet ut uisus et res uisa sint in eadem perpendiculari super superficiem corporis sphaerici.

49. Si uisus, centrum refractiui conuexi densioris et uisibile ultra refractiuum positum, fue- rint in eadem recta linea: imago uidebitur corona seu armilla: et maior uisibili. 43 p 10.

SIt ergo uisus a: et corpus sphaericum b g z d: et centrum eius sit e: et continuemus a e, et extraha- mus eam recte: et secet superficiem sphaerae in duobus punctis b, d: et extrahamus ipsam in par te d usque ad h: et extrahamus ex linea h b a superficiem aequalem secantem sphaeram: faciet er- go [per 1 th 1 sphaericorum] in superficie sphaerę circulum b g z d. Octaua autem figura in capitulo de imagine [29 n] diximus, quod in linea b d sunt plura puncta, quorum formę refringuntur ad a ex cir cumferentia b g z d: et quod forma totius illius lineae refringitur ad a, si b g z d fuerit continuum et non fractum in parte b. Refringatur ergo h l ad a ex circumferentia b g z d, et refringatur h ad a ex g: et l ad a ex p: forma ergo h l refringetur ad a ex arcu g p: et continuemus lineas g m h, g a, l z p, p a: h ergo extenditur per g h, et refringitur per g a: et l extenditur per l p, et refringitur per p a: et continue mus lineas e g, e m, e z: et extrahamus e m ad c: et e z ad f. forma ergo, quae extenditur per a g, refrin- gitur per g h, et peruenit ad h: et forma, quae extenditur per a p, refrin-

gitur per p l, et peruenit ad l: hoc est, si corpus diaphanum fuerit conti nuum usque ad g. Si uero corpus sphaericum fuerit signatum apud super- ficiem sphaericam: tunc forma, quae extenditur per a g: refringitur per g m in partem perpendicularis, quę est e h: et cum forma perueniet ad m: refringetur secundo in partem contrariam perpendicularis, quae est e m c: refringatur ergo ad k. Et ideo etiam forma, quae extenditur per a p, refringitur per p z: et cum fuerit refracta ad z, refringetur secundo ad contrariam partem perpendicularis, quae est e z: sit ergo refractio for- mę, quę peruenit ad z, per lineam z o. Forma ergo k extenditur per k m et refringitur per m g: deinde refringitur secundo per g a. Et similiter for ma o extenditur per o z, et refringitur per z p: deinde secundo refringi- tur per p a. Forma ergo totius k o refringitur ad a ex arcu g p. Et si linea a k o fuerit fixa, et imaginati fuerimus figuram a g p k circumuolui circa a k o: tunc arcus g p faciet figuram circularem, ut armillam, a cuius uniuer- so refringetur forma k o ad a: et erit imago k o apud centrum uisus, quod est a. Forma ergo k o uidebitur in tota superficie circulari, quae est locus refractionis, quae est in rectitudine linearum radialium, quae est figura armillae. Forma ergo k o uidebitur maior seipsa: et erit figu- ra formae diuersae a figura k o. Hoc autem potest experimentari sic. Ac- cipe sphaeram crystallinam aut uitream rotundissimam, et accipe cor pus paruum: ut granum ciceris uel ceram paruam: nam experientia per corpus paruum erit manifestior, et tingas ipsam colore nigro, et sit figura cerae sphaerica: deinde ponas ipsam in capite acus, et ponas sphaeram crystallinam in oppositione alterius oculorum, et claude al terum oculum, et eleua acum ultra sphaeram, et aspice ad medium sphae rae, et pone ceram in oppositione medij formae, ita ut sit opposita me- dio sphaerae in una linea recta, quo ad sensum, et respice ad superficiem sphaerae: tunc enim uidebis in illa superficie sphaerae nigredinem rotun- dam in figura armillae. Si uero non uideas eam: moue ceram ante et post, donec uideas nigredinem rotundam, tunc aufer ceram, et abscindetur nigredo: deinde redeat cera ad suum locum, et iterum uidebis illam nigredinem rotundam. Ex hac ergo experientia pate- bit, quod si res uisa fuerit ultra corpus diaphanum sphaericum grossius aere, et uisus, et res uisa, et centrum corporis sphaerici fuerint in eadem linea recta: tunc uisus comprehendit illam rem uisam in figura armillae.

50. Si uisus, centrum circuli in refractiuo cylindraceo conuexo densiore, et uisibile ultra re- fractiuum positum fuerint in eadem recta linea: imago uidebitur duplicata. 44 p 10.

SI uero b g z d fuerit in corpore columnari, et corpus fuerit grossius aere: tunc forma k o uidebi tur apud arcum g p et apud arcum sibi aequalem, et sibi respondentem ex arcu b d: Sed haec for ma non erit circularis: quia figura a h p g cum fuerit circumuoluta circa a k: non transibit per li- neam illam arcus g p per totam superficiem columnarem: Sed refringetur forte forma ex aliquibus portionibus columnaribus, et erit continua in una parte et similiter in alia. Nam superficies ex l k, quae etiam transit per axem columnae, facit in superficie columnę, quę est ex parte a, lineam rectam, quae transit per b, et extenditur in longitudine columnae: et non refringitur forma k o ex illa linea recta: nam k b erit perpendicularis super illam lineam rectam. Non ergo erit forma rotunda, si fue- rit corpus columnare: sed erunt duae formae, quarum altera refringitur super alteram. Videbitur ergo k o esse duo, quorum utrumque erit maius k o: et forma utriusque erit diuersa a forma k o: et ta- men illae duae formae erunt apud idem punctum, scilicet centrum uisus. In uisibilibus autem assue- tis nihil est, quod comprehendatur a uisu ultra diaphanum corpus, sphaericum, grossius aere, cu- ius concauum sit ex parte uisus. Nam si fuerit ex uitro aut aliquo lapide: oportet, ut sit portio sphae- rae concaua, et ut res uisa sit intra illam sphaeram, aut ut superficies eius, quae est ultra concauitatem, sit plana, et res uisa adhaereat illi. Et illi duo situs non inueniuntur, aut raro: non ergo solicitemur circa huiusmodi.

51. Stella in horizonte ut plurimum uidetur maior, quam in medio coeli. 54 p 10.

ITem: non inuenitur aliquod corpus subtilius aere, cuius superficies, quae est ex parte uisus, sit plana aut conuexa. Et non inuenitur aliquid subtilius aere, ultra quod comprehendatur aliquid, nisi corpus coeli et ignis. Et non diuiditur a corpore aeris superficies, quae distinguit unam par- tem ab alia, sed quanto magis appropinquat aer coelo, tanto magis purificatur, donec fiat ignis. Subtilitas ergo eius fit ordinate secundum successionem, non in differentia terminata. Formę ergo eorum, quae sunt in coelo, quando extenduntur ad uisum, non refringuntur apud concauitatem sphae- rae ignis, cum non sit ibi superficies concaua determinata. Nullum ergo inuenitur corpus subtilius aere, in quo extendantur formae uisibilium, et refringantur apud superficiem eius, nisi corpus coele ste: et corpus coeleste est sphęricum concauum ex parte uisus. Ergo omnes stellae, quae sunt in coelo, extenduntur in corpore coeli, et refringuntur apud concauitatem coeli, et extenduntur in corpore ignis, et in corpore aeris recte, donec perueniant ad uisum. Et centrum concauitatis coeli est centrum ter- rae. Dico ergo quod stellae in maiore parte comprehenduntur in suis locis: et quod semper compre- henduntur non in suis magnitudinibus: et cum hoc diuersatur magnitudo uniuscuiusque earum, se- cundum locorum diuersitatem. Diuersitas autem locorum est propter radiorum refractorum po- sitionem, ut prius diximus. Diuersitas autem quantitatum est propter remotionem: nam propter remotionem comprehenduntur minores, quam sint in ueritate, ut diximus in tertio tractatu, scili- cet quod illa, quae in maxima remotione funt, comprehenduntur minora. Diuersitas autem quanti tatum secundum diuersitatem locorum, accidit propter refractionem, cuius caussam hic declaraui- mus: et in quarto capitulos [15 n] declarauimus, quod formae stellarum, quae comprehenduntur a ui- su, sunt refractae. Dico ergo, quod omnis stella comprehenditur ex omnibus locis coeli, per quos mouetur, minore quantitate, quam sit in ueritate, secundum quod exigit remotio eius, (scilicet mi- nor, si uisa fuerit recte) cum non fuerit inter illam et uisum aliqua nubes, aut uapor grossus. Et omnis stella in uertice capitis aspicientis existens uidetur minor, quam in alio loco coeli: et quanto magis remouetur a uertice capitis, tanto magis apparet maior: ita ut in horizonte appareat maior, quam in alio loco. Et hoc est commune omnibus stellis remotis et propinquis. Item si in aere fuerit uapor grossus, ultra quem fuerit aliqua stella: tunc comprehendetur maior, quam si esset sine illo uapore: et multoties accidit, ut uapor grossus sit in horitonte. Vnde stellae in maiore parte uidentur in hori- zonte maiores, quam in medio coeli. Et hoc apparet in distantijs, quae sunt inter illas, magis, quam in magnitudinibus ipsarum stellarum: nam quantitas stellae, quo ad uisum, est parua, sed excessus in diuersitate distantiae inter stellas, cum fuerint in horionte, est grandis et manifestus sensui, et maxi me in distantijs spatiosis, et maxime, si in horizonte fuerit uapor grossus.

52. Diameter stellae uertici propinquae, et duarum inter se distantia, refracte uisa, minori recte, maior uidetur. 51 p 10.

SIt ergo circulus meridiei in aliquo horizonte, b k: et differentia communis inter hunc circu- lum et concauitatem coeli, circulus m e z: et sit centrum mundi g: et centrum uisus t: et extra- hamus g t in partem t: et occurrat circulo meridiei in b: et secet circulum, qui est in concauitate orbis, in e: erit ergo b uertex capitis, quo ad uisum t. Sit k l diameter alicuius stellae, aut distantia inter aliquas duas stellas: et linea t b transeat per medium k l et secet lllam in c: ergo erit arcus k b aequalis arcui b l: [Nam quia t b bifariam secans k l ex thesi secat ad angulos rectos per 3 p 3: con- nexae igitur rectae k b, b l aequabuntur per 4 p 1. Quare per 28 p 3 peripheria k b aequatur periphe- riae b l] et continuemus duas lineas t k, t l: erit ergo angulus k t l ille, a quo t comprehendir k l, si re- cte comprehenderet: et refringatur k ad t ex m, et l ad t ex z: et continuemus g m, g z: et pertranseant ad f, o: et continuemus lineas k m, m t, l z, z t. Forma, autem quę extenditur ex k per m k, refringitur per m t: et g m est perpendicularis, exiens ex m (quod est punctum refractionis) super superficiem corpo- ris, quod est in parte t [ut ostensum est 25 n 4.] Et quia corpus z m est subtilius corpore g t [per 16 n] erit refractio m t ad partem perpendicularis m g: [per 14 n ] m ergo erit inter duas lineas t b, t k. Nam si m esset ultra t k: tunc perpendicularis, quae exit ex g, esset ultra t: et forma k cum extendere- tur ad illud punctum: refringeretur ad partem perpendicularis g m, et non perueniret ad perpendi cularem g e: et sic non perueniret ad t. M ergo est inter duas lineas t b, t k. Et similiter declarabitur

quod z est inter duas lineas t b, t l. Et extrahamus t m ad q, et t z ad r: erit ergo arcus q k aequalis arcui l r: [Quia enim puncta k et l aequabiliter a uisu distant per thesin: puncta refractionis m et z in refractiuo m e z aequabili- ter a puncto e distabunt: ideoque peripheria m e aequabi- tur peripheriae z e: et per 33 p 6 angulus b t q angulo b t r, et peripheria b q peripheriae b r (est enim uisus t, ut in astrologia demonstratur, tanquam centrum mundi) at tota peripheria b k aequalis conclusa est peripheriae b l: reliqua igitur q k aequatur reliquae r l] et angulus q t r est ille, per quem t comprehendit k l refracte: et angu- lus k t l est ille, per quem t comprehenderet k l, si recte comprehenderet. Sed remotio k l a uisu est maxima: qua- propter quantitas eius non certificatur. Quare t existi- mat remotionem k l, sicut in secundo libro diximus [24. 25 n.] Sed aestimatio eius quando comprehendit refra- cte, non differt ab aestimatione eius quando comprehen- dit recte, nisi quod putat se recte comprehendere cum refracte comprehendat. t ergo comprehendit k l refracte ex angulo minore illo, ex quo comprehen dit illam recte, et secundum comparationem ad illam eandem remotionem, ad quam compararet illam, si recte comprehenderet. Sed uisus comprehendit magnitudinem ex quantitate anguli respe ctu remotionis [per 38 n 2.] t ergo comprehendit quantitatem k l refracte minorem, quam si com- prehenderet illam recte. Et si circumuoluamus figuram k t l circa t b immobilem, faciet circulum: et erunt anguli, qui sunt apud t, quos continent duae lineae k t, t l, et sui compares, aequales: t ergo com prehendit k l refracte in omni situ, in respectu circuli meridiei, cum fuerit in uertice capitis, minorem, quam si comprehenderet eam recte. Et si t b secuerit k l in duo aequalia: tunc duo puncta q, r erunt in- ter duo puncta k, l: et erit angulus q t r minor angulo k t l: et erit omnis angulus eius exiens a pun- cto t, secans stellam: et linea, quae exit ex t in superficie illius circuli, secabit circulum, et comprehen detur minor, quam sit: et sic tota stella uidebitur minor, quam sit. Stella ergo in uertice capitis com- prehenditur minor, quam si comprehenderetur recte. Et similiter distantia inter duas stellas, cum uertex fuerit inter duas extremitates distantiae, comprehendetur in omnibus positionibus minor, quam si recte comprehenderetur. Et hoc est, quod uoluimus.

53. Diameter stellae, uel duarum stellarum distantia in horizonte, aut inter horizontem et meridianum, ad horizontem parallela, refracte uisa, minor: recte, maior uidetur. 52 p 10.

ITem: sit stella siue distantia in horizonte, aut inter horizonta et uerticem capitis, aequidistans ho rizonti: et sit uisus a: et uertex capitis b: et continuemus a b: et sit diameter stellae aut distantia d e aequidistans horizonti: et sit circulus uerticalis, qui transit per alteram extremitatem diametri

uel distantię, circulus b d: et ille, qui transit per aliam extremitatem, circulus b e: et sint duae differentiae communes inter duos circulos et inter concauita- tem orbis duo circuli h g, g z. Forma ergo d refringa- tur ad a ex h: et e ad a ex z: et continuemus lineas a h, h d, a z, z e, a d, a e: et sit centrum mundi m: et conti- nuemus m h, m z, et pertranseant ad f, n: erit ergo m h perpendicularis, exiens ex h ad superficiem corpo ris diaphani: [ut demonstratum est 25 n 4] et erit h a refracta ad partem h m: erit ergo refracta ad partem contrariam illi, in qua est [f h: [per 14 n] h ergo est al- tius, quam a d. Et similiter declarabitur, quod z est al tius quam a e: ergo duo puncta f, n sunt inter duo pun- ct d, e et zenith capitis: et angulus refractionis, qui est apud h, est aequalis angulo refractionis qui est a- pud z: positio enim duorum punctorum d, e respectu a est consimilis. Tantum ergo distat f a d, quantum n ab e: et extrahamus a h ad t, et a z ad k. Distabit ergo t a d tantum, quantum k ab e: et continuemus t k: erit ergo aequidistans d e: est ergo minor: [quorum utrumque dermonstratum est a Campano 14 p 12] et lineę a t, a k, a f, a e sunt aequales: quia a est quasi centrum mundi et duorum circulorum b d, b e. Duae ergo lineae a t, a k sunt aequales duabus lineis a d, a e, et basis t k est minor quam basis d e: ergo [per 25 p 1] angulus t a k est minor angulo d a e: et an- gulus t a k est ille, quo d e comprehenditur refracte: et angulus d a e est ille, quo d e comprehenditur re- cte. Si ergo stella fuerit in horizonte, aut inter horizonta et circulum meridiei: et fuerit diameter eius aequidistans horizonti: uidebitur minor, quam si uideretur recte. Et hoc idem est de distantia inter duas stellas, si distantia fuerit aequidistans horizonti.

54. Diameter stellae, uel duarum stellarum distantia in circulo altitudinis refracte uisa, mi- nor: recte, maior uidetur. 53 p 10.

ITem: iteremus figuram: et sit diameter aut distantia erecta scilicet in eodem circulo uerticali: et sit illa diameter aut distantia linea d e in circulo uerticali b d e: et sit differentia communis inter hunc circulum et inter concauitatem orbis, circulus g h z: et continuemus a d, a e: et refringatur d ad a ex h, et e ad a ex z. Patet ergo, ut in praecedente figura, quod h est altius quam a d, et quod z est

altius quam a e: et continuemus lineas a h, h d, a z, z e, m h, m z: et extrahamus m h ad t, et m z ad k. Erit ergo angulus a z m ualde paruus. [Nam semidiame ter terrae ad semidiametrum coeli, rationem sensilem nullam habet, ut docetur in astrologia] et angulus refractionis erit pars illius Erit ergo [per 12 n] angu lus e z k acutus: et similiter d h t acutus: et [per 13 p 1] uterque angulus a h d, a z e obtusus. z autem aut erit in horizonte, aut altius: si in horizonte: erit ergo in extremitate perpendicularis exeuntis ex a super a b, aut altius illa: et h est altius quam z: ergo angulus a h m erit minor angulo a z m. [Nam constitutis ad puncta m et a angulis a m p, g a q ęqualibus angulis z m a, h a g per 23 p 1, connexisque rectis a p, h p: erunt anguli m p h, m h p aequales per 15 d. 5 p 1: et a p ma- ior a h: quia per 7 p 3 maior est a q: et per 18 p 1 angulus a h p maior angulo a p h. Quare angulus a h m, mi- nor erit angulo a p m, cui ęqualis est angulus a z m per 15 d. 4 p 1. Itaque angulus a h m minor erit angulo a z m] ergo [per 12 n] angulus d h t est minor angulo e z k: ergo angulus a h d est maior angulo a z e [per 12 n. 13 p 1:] et duę lineę m t, m k sunt semidiametri circuli b d e: et duę lineae m h, m z sunt semidiametri circuli g h z: ergo [per 15 d 1] m t est aequalis m k, et m h est aequalis m z: ergo [per 3 ax] h t est aequalis z k, et angulus d h t est minor angulo e z k: ergo linea d h est minor quam e z. [Nam linea aequalis ipsi d h (quę cum k z continet angulum aequalem angulo d h t) minor est linea e z per 7 p 3] et duae lineae a d, a e sunt aequales, similiter duae a h, a z sunt aequa- les: quia a est quasi centrum circuli b d e, et circuli g h z. Ergo circulus, qui continet triangulum a h d, maior est circulo, qui continet triangulum a e z, quia angulus a h d est maior angulo a z, et linea h d est minor, ut declaratum est, quam z e. Ergo h d distinguit de circulo continente triangulum a h d, arcum minorem arcu, simili arcui, quem diuidit z e ex circulo continente a e z: angulus ergo h a d minor est angulo z a e: sit ergo z a d communis: ergo angulus h a z est minor angulo d a e: et angu- lus h a z est ille, sub quo a comprehendit refracte d e: et angulus d a e est ille, sub quo comprehendit d e recte: si comprehenderet: a ergo comprehendit d e refracte minorem, quam recte. Et hęc demon stratio sequitur, si circulus b d e fuerit circulus meridiei. Diameter ergo stellae cum fuerit directa et recta, et distantia inter duas stellas recta: comprehenditur refracte minor quam recte. Et hoc est quod uoluimus.

55. Stella uidetur circularis: maior in horizonte, quam in medio coeli: similiterque duarum sic sitarum inter se distantia. 54 p 10. Idem 51 n.

ET omnis stella in coelo comprehenditur rotunda: quia diametri eius comprehenduntur ae- quales. Et cum sit manifestum, quod utraque diameter eius recta et transuersa secundum lati- tudinem comprehenditur minor, quam si comprehenderetur recte: ergo utraque diameter e- ius decliuis comprehenditur aequaliter minor, quam si comprehenderetur recte. Et similiter distan tiae inter stellas comprehenduntur in omnibus locis et in omnibus sitibus minores, quam si com- prehenderentur recte. Item diximus [51 n] quod omnis stella in uertice capitis comprehenditur minor, quam in omnibus alijs partibus coeli: et quanto fuerit remotior a uertice capitis, tanto com- prehendetur maior: et quam maxima comprehenditur, quando comprehenditur in horizonte. Re- stat ergo declarare caussam, quare hoc sit. Dico, quod in secundo tractatu huius libri declarauimus, cum tractauimus de magnitudine [38 n:] quod si uisus comprehenderit magnitudines uisibilium: comprehendit illas ex quantitatibus angulorum, quos respiciunt uisibilia apud centrum uisus, et ex quantitatibus remotionum, et ex comparatione angulorum ad remotiones. Et declarauimus, quod uisus nunquam comprehendit uisibilium quantitates, nisi remotiones eorum sint in rectitu- dine corporum propinquorum continuorum: et, quod si uisus non certificaritcertificauerit remotiones uisibi- lium, non certificabit quantitates uisibilium. Et declarauimus illic etiam, quod uisus, si non certifi- cauerit distantiam uisi, potest perpendere distantiam eius, et assimilare eam distantijs uisibilium as- suetorum, quibus tale uisibile comprehenditur, in tali forma et in tali figura: deinde comprehendit ma- gnitudinem illius ex quantatequantitate anguli, quem respicit illud uisibile apud centrum uisus, respectu remo- tionis, quam perpendit: et remotiones stellarum non sunt in rectitudine corporum propinquorum. Quare uisus no comprehendit quantitates earum, neque certificat distantias earum. Visus ergo per- pendit distantias stellarum, et assimilat illas distantijs eorum, quae sunt terrestria, quae comprehen- duntur ex distantia maxima, et perpendit quantitates eorum. Corpus autem coeli non uidetur sen- sui, quod sit sphaericum, et concauum eius sit ex parte uisus, neque uisus sentit corporeitatem coeli, neque uisus sentit de coelo, nisi colorem glaucum solummodo: corporeitas uero et extensio secundum tres dimensiones, et rotunditas et concauitas nullo modo possunt comprehendi. Et si uisus non certifica- uerit aliquid: tunc assimilabit ipsum alicui de rebus assuetis: unde comprehendit solem et lunam pla nos, et corpora conuexa et concaua a maxima distantia, plana: et arcus quorum conuexum aut con cauum est ex parte uisus, comprehendet lineas rectas. Nam si non comprehenderit propinquitatem medij, et remotionem extremitatum in conuexis, et remotionem medij et propinquitatem extremita- tum in concauis: tunc assimilabit superficies conuexas, et concauas superficiebus planis, et assimi- labit arcus lineis rectis: assueta enim uisibilia in maiore parte sunt plana et recta. Nec uisus, cum for- ma stellę peruenit ad ipsum, sentit quod illa forma sit refracta, aut quod refringatur ex superficie con- caua, et quod corpus, in quo stella est, sit subtilius corpore, in quo est uisus: sed forma stellae compre henditur, sicut formae aliarum rerum, quae comprehenduntur in aere recte. Et formae uisibilium non re- fringuntur, quando occurrunt corpori diuerso ab aere, propter uisum: nec uisus sentit refractionem eorum, nec superficiem, a qua refringuntur formae in corporibus diuersis in diaphanitate, nisi proprie tate naturali formę lucis et coloris, quę extenduntur in corporibus diaphanis. Formae ergo stellarum refractarum perueniunt ad uisum, sicut perueniunt formę eorum, quę sunt in aere, ad uisum, et non com- prehenduntur, sicut comprehenduntur in aere. Visus autem comprehendit colorem coeli, nec tamen cer tificat formam eius nudo sensu. Et cum uisus comprehenderit colorem aliquem in longitudine et latitudi ne: super hoc, quod comprehendit figuram et formam: comprehendet ipsum planum: assimilabit enim i- psum aliquibus superficiebus assuetis, ut parieti et alijs. Et hoc modo comprehendit superficies con- uexas et concauas in remotione maxima. Visus ergo comprehendit planiciem terrę planam omnino, nec sentit conuexitatem eius, nisi fuerint ibi montes et ualles. Visus ergo comprehendit superficiem coeli planam, et comprehendit stellas, sicut comprehendit uisibilia assueta separata, quę sunt in locis spatio sis. Et cum uisus comprehenderit aliqua uisibilia assueta in loco aliquo spatioso, et comprehenderit illa angulis aequalibus, et comprehenderit quantitates distantiarum uisibilium: tunc illud quod est remo tius, comprehendetur maius. Nam quantitates remotionis magnitudinis comprehenduntur ex com paratione anguli, quem respicit illa remotio apud centrum uisus, ad distantiam remotam: et comprehen- dit uisus quantitatem magnitudinis propinquae ex comparatione anguli quem respicit illud propinquum, qui est aequalis angulo, quem respicit distantia ad distantiam propinquam. Et hoc patet, et esse, testatur ei: scilicet: quod duorum uisibilium, quae a uisu comprehenduntur duobus angulis aequalibus, quorum distantię sunt diuersae, sensibiliter: remotius uidebitur maius. Nam si homo opposuerit se spatioso parieti, deinde eleuauerit manum, donec apponat illam uisui, et cooperuerit alterum uisum, et aspe xerit reliquo, et posuerit manum mediam inter uisum suum et illum parietem: tunc manus eius coope- riet portionem et latitudinem illius parietis, et comprehendet manum suam et parietem simul. Com prehendet ergo manum suam angulo acuto: et in hoc statu comprehendet latitudinem parietis maio rem, quam latitudinem manus multiplicem: deinde si mouerit manum ita, ut detegatur illud, quod ma- nus cooperuerat de pariete, et aspexerit ad manum: uidebit illud, quod detectum est de pariete, maius, quam sit sua manus, multipliciter: et ipse comprehendet manum suam et parietem duobus angulis aequalibus. Ex quo patet, quod uisus comprehendit magnitudinem ex comparatione anguli ad remo tionem. Visus ergo comprehendit superficiem coeli planam, nec sentit concauitatem eius, et compre- hendit stellas separatas in ipso. Comprehendit ergo stellas aequales, separatas inaequales: nam com parat angulum, quem respicit stella extrema, propinqua horizonti apud centrum uisus, ad distantiam remotam, et comparat angulum, quem respicit stella in medio coeli, et propinqua medio, remotioni propinquae. Et similiter comprehendit stellam, quae est in horizonte aut prope, maiorem ea, quae est in medio coeli aut prope. Comprehendit ergo eandem stellam et distantiam in diuersis locis coeli, di- uersae quantitatis. Sic ergo comprehendit eandem stellam et distantiam in horizonte aut prope. Nam comparat angulum, quem respicit illa stella apud centrum uisus, stella existente in horizonte, distantiae remotae: et comparat angulum, quem respicit illa stella apud centrum uisus, existente stella in medio coeli, distantiae propinquę. Sed inter angulum, quem respicit stella apud centrum uisus, stella existente in medio coeli, et inter angulum, quem respicit stella apud centrum uisus, stella existente in horizon te, non est maxima diuersitas, sed duo anguli sunt propinqui, quamuis diuersi et similiter distantiae inter stellas. Et cum sensus comparauerit duos angulos propinquos in magnitudine ad duas diuer sas distantias in magnitudine: tunc remotior comprehenditur maior. Et quod certificat hanc caus- sam: est: quod anguli quos eadem stella respicit apud centrum uisus ex omnibus partibus coeli (cum lineae, quę continent ipsos, fuerint refractae) sunt quasi anguli, per quos comprehenderetur recte: quo- niam locus uisus est centrum coeli, et refractiones formarum stellarum non diminuuntur ex illis an- gulis diminutione maxima. Et cum istae diminutiones non sint maximę: tunc diuersitas inter an- gulos refractos, quibus stella comprehenditur, et inter remotionem inter stellas a locis diuersis coeli, non erit maxima diuersitas. Et cum diuersitas istorum angulorum non est maxima: tunc magnitudo stellae non comprehendetur diuersa maxima diuersitate: et quod demonstrat diminutiones angulo rum refractionis ad angulos, quos continent lineae rectae, non est maximae magnitudinis. Et quod sunt ualde paruę: est: quod dictum est in prędicta experientia in capitulo refractionis [15 n] in quo de- clarauimus, quod uisus comprehendit stellam refracte, et uidet stellam fixam ex polo mundi, et remotio eius est ab ipso in una reuolutione: nam haec diuersitas inuenitur parua: ex quo patet, quod anguli refractionis sunt parui. Vnde per illam diuersitatem, quae est inter ipsos, non diuersantur anguli, quibus stella comprehenditur in locis diuersis coeli, maxima diuersitate. Sed magnitudo stellae et distantiae stellarum differunt multum, cum sunt in horizonte et in medio coeli. Ergo caussa diuersitatis stellae et distantiae in magnitudine, in locis diuersis coeli, non est diuersitas angulorum refractionis. Et iam de- clarauimus, quod uisus comprehendit magnitudinem comparando angulos remotionis ad remotio nes. Ergo si diuersitas inter angulos fuerit modica, et inter distantias et remotiones multa: tunc res uidebitur ex maiore distantia maior. Caussa ergo, propter quam uidentur distantiae stellarum in hori- zonte maiores quam in medio coeli aut prope: est illud: quod sensus ęstimat illas distare magis in ho rizonte, quam in medio coeli. Et hoc, quod uisus comprehendit stellas in diuersis locis coeli diuersas in magnitudine: est error perpetuus: quia caussa est perpetua: et est: quoniam uisus comprehendit su- perficiem coeli planam, nec sentit concauitatem eius et aequalitatem distantiae a uisu. Et constat in anima, quod in superficie plana, quae extenditur ad omnem partem, differunt distantię eius in uisu: et id, quod est propinquius, est illud, quod est proximum capiti. Comprehendit ergo illud, quod est in horizonte remotius, quam illud, quod est in medio coeli: et quod anguli, quos respicit eadem stella apud centrum uisus ex omnibus partibus coeli, non maxime diuersantur: et quod uisus comprehendit magnitudinem rei ex comparatione anguli, quem res respicit ad remotionem illius rei a uisu. Comprehendit ergo quanti tatem stellae, et quantitatem distantiae, quae est inter stellas, cum fuerint in horizonte aut prope, compa- ratione anguli ad distantiam remotam: et cum fuerint in medio coeli, aut prope, ex comparatione anguli aequalis primo aut fere, ad distantiam propinquam: et inter ipsam et inter distantiam horizontis uidetur maxima diuersitas. Haec est igitur caussa, propter quam errat uisus in diuersitate magnitudinis stella- rum et distantiarum: et haec caussa fixa est et perpetua et immutabilis. Et uisus comprehendit stellas par uas propter remotionem earum: respiciunt enim apud centrum uisus angulos paruos. Sed et sensus non certificat quantitatem remotionis stellae, sed aestimat et comparat remotiones stellarum cum remotio- nibus uisibilium assuetorum, quę sunt in terra: ita quod opinatur, quod remotio stellae est, sicut remotio alicuius maxime remoti in terra. Comparat ergo angulum, quem facit stella apud uisum, qui est paruus ad remotionem, sicut remotio est eorum, quae sunt in terra. Et sic comprehendit stellam, propter hanc com- parationem, paruam. Et si uisus esset certus de quantitate remotionis stellae: tunc comprehenderet eam magnam. Et similiter est de omnibus, quę sunt super terram, maxime remotis, si comprehendantur, parua sunt: quia non certificatur remotio eorum. Et iam declarauimus hoc perfecte in tertio tractatu huius li bri [23 n.] Et sicut uisus errat in quantitate remotionis stellae: quia non est certus de ipsa, et assimilat ipsam remotionibus, quę sunt super terram: sic errat in hoc, quod distantiae earum in locis diuersis coeli sint diuersę cum sint aequales: quia assimilat eas etiam distantijs diuersis, quae sunt super terram, de qui- bus non est dubium eas esse diuersas. Et sicut error in remotione et magnitudine stellę est perpetuus: sic error in diuersitate distantiarum stellarum in locis diuersis coeli et in diuersitate magnitudinis, est perpetuus. Nam formae earum distantiarum non diuersantur apud uisum in diuersis temporibus, sed semper sunt eodem modo: et uisus assimilat eas distantijs assuetarum rerum, quę maxime distant a ui su super superficiem terrae. Accedit etiam eis, quae sunt in coelo alia caussa, ad hoc, quod uideantur maio ra in horizonte, in maiore parte: scilicet uapores grossi, qui sunt oppositi inter uisum et stellam. Et cum uapor fuerit in horizonte aut prope, et non fuerit continuus usque ad medium coeli: erit portio sphae- rae, cuius centrum erit centrum mundi, qui continet terram: et sic abscindetur ex parte medij coeli, et erit superficies eius, quae est ex parte uisus, plana. Quare formę aut distantię, quae sunt ultra illum uaporem, uidebuntur maiores, quam sine illo uapore. In illo enim loco concauitatis coeli, ex quo loco refringi tur forma stellae ad uisum, forma stellę existit, et ex ipso extenditur recte ad uisum, si in horizonte non fuerit uapor grossus. Si uero fuerit uapor grossus: tunc hęc forma extendetur ad superficiem uaporis, quę est ex parte coeli, et existet in illa superficie: et sic uisus comprehendet illam, sicut comprehendit ea, quę sunt in uapore: scilicet, quod illa forma extenditur in uapore grosso recte: deinde refringitur a- pud superficiem uaporis ad contrariam partem perpendicularis, exeuntis super superficiem uaporis, quae est plana. Nam aer, qui est ex parte uisus, est subtilior illo uapore: ex quo sequitur, quod forma uidetur maior, quam si uideretur recte, ut in prima figura huius capituli [39 n] diximus: et est, cum corpus subtilius fuerit ex parte uisus, et grossius ex parte rei uisae, erit superficies corporis grossio- ris plana. Forma ergo, quę peruenit ad superficiem uaporis, quę est ex parte coeli, est res uisa, et cor- pus, in quo extenditur forma, est uapor grossus, et aer, in quo est uisus, est subtilior illo. Caussa uero principalis, quare stellę et distantię stellarum uideantur in horizonte maiores, quam in medio coeli, est illa praedicta: et est fixa et perpetua. Si uero acciderit, ut sit uapor grossus, crescit magnitudo ea- rum: sed haec causa est in quibusdam locis semper, et in quibusdam quandoque. Omnia ergo, quę dixi mus in hoc capitulo de illis, quę accidunt uisui propter refractionem: sunt deceptiones illae, quę sem- per accidunt aut in maiore parte: et sufficiunt in hoc, quo indigemus de deceptionibus, quarum caussa est refractio. Nunc autem terminemus hunc tractatum, qui est finis libri. ALHAZEN FILII ALHAYZEN OPTICAE FINIS.