On Calculation by Completion and Balancing

بسم الله الرحمن الرحيم هذا كتاب وضعه محمد بن موسى الخوارزمى افتتحه بأن قال

الحمد لله على نعمه بما هو أهله من محامده التى بأداء ما افترض منها على من يعبده من خلقه يقع اسم الشكر ويستوجب المزيد ونؤمن من الغير اقراراً بربويته وتذللا لعزته وخشوعاً لعظمته. بعث محمداً صلى الله عليه وعلى آله وسلم بالنبوة على حين فترة من الرسل وتنكر من الحق ودروس من الهدى فبصر به من العمى واستنقذ ه من الهلكة وكثر ه بعد القلة والف به بعد الشتات. تبارك الله ربنا وتعالى جده وتقدست اسماؤه ولا إله غيره، وصلى الله على محمد النبى وآله وسلم. ولم تزل العلماء فى الأزمنة الخالية والأمم الماضية يكتبون الكتب مما يصنفون من صنوف العلم ووجوه الحكمة نظراً لمن بعدهم واحتساباً للأجر بقدر الطاقة ورجاء أن يلحقهم من أجر ذلك وذخره وذكره ويبقى لهم من لسان الصدق ما يصغر فى جنبه كثير مما كانوا يتكلفونه من المؤونة ويحملونه على أنفسهم من المشقة فى كشف أسرار العلم وغامضه. إما رجل سبق إلى ما لم يكن مستخرجاً قبله فورثه من بعده. وإما رجل شرح مما أبقى الأولون ما كان مستغلقاً فأوضح طريقه وسهل مسلكه وقرب مأخذه. وإما رجل وجد فى بعض الكتب خللا فلم شعثه وأقام أدده وأحسن الظن بصاحبه غير راد عليه ولا مفتخر بذلك من فعل نفسه. وقد شجعنى مافضل الله به الامام المأمون أمير المؤمنين مع الخلافة التى حاز له إرثها وأكرمه بلباسها وحلاه بزينتها، من الرغبة فى الأدب وتقريب أهله وادنائهم وبسط كنفه لهم ومعونته إياهم على إيضاح ما كان مستهماً وتسهيل ما كان مستوعراً، على أن ألفت من كتاب الجبر والمقابلة كتاباً مختصراً حاصراًللطيف الحساب وجليله لما يلزم الناس من الحاجة إليه فى مواريثهم ووصاياهم وفى مقاسمتهم وأحكامهم وتجاراتهم، وفى جميع ما يتعاملون به بينهم من مساحة الأرضين وكرى الأنهار والهندسة وغير ذلك من وجوهه وفنونه، مقدماً لحسن النية فيه وراجيا لأن ينزله أهل الأدب بفضل ما استودعوا من نعم الله تعالى وجليل آلائه وجميل بلائه عندهم منزلته وبالله توفيقى فى هذا وفى غيره عليه توكلت وهو رب العرش العظيم. وصلى الله على جميع الانبياء والمرسلين. وإنى لما نظرت فيما يحتاح اليه الناس من الحساب وجدت جميع ذلك عدداً ووجدت جميع الأعداد إنما تركبت من الواحد والواحد داخل فى جميع الأعداد. ووجدت جميع ما يلفظ به من الأعداد ما جاوز الواحد إلى العشرة يخرج مخرج الواحد ثم تثنى العشرة وتثلث كما فعل بالواحد فتكون منها العشرون والثلاثون الى تمام المائة، ثم تثنى المائة وتثلث كما فعل بالواحد وبالعشرة إلى الألف ثم كذلك تردد الألف عند كل عقد إلى غاية المدرك من العدد. ووجدت الأعداد التى يحتاج إليها فى حساب الجبروالمقابلة على ثلاثة ضروب وهى جذور وأموال وعدد مفرد لا ينسب إلى جذر ولا إلى مال. فالجذر منها كل شىء مضروب فى نفسه من الواحد وما فوقه من الأعداد وما دونه من الكسور. والمال كل ما اجتمع من الجذر المضروب فى نفسه. والعدد المفرد كل ملفوظ به من العدد بلا نسبة إلى جذر ولا إلى مال. فمن هذه الضروب الثلاثة ما يعدل بعضها بعضا وهو كقولك اموال تعدل جذوراً. وأموال تعدل عدداً. وجذور تعدل عدداً. فأما الأموال التى تعدل الجذور فمثل قولك مال يعدل خمسة اجذاره فجذر المال خمسة والمال خمسة وعشرون وهو مثل خمسة أجذاره. وكقولك ثلث مال يعدل أربعة أجذار فالمال كله يعدل اثنى عشر جذراً وهو مائة وأربعة وأربعون وجذره اثنى عشر. ومثل قولك خمسة أموال تعدل عشرة أجذار فالمال الواحد يعدل جذرين وجذر المال اثنان والمال اربعة وكذلك ما كثر من الاموال أو قل يردإلى مال واحد. وكذلك يفعل بما عادلها من الأجذار يرد إلى مثل مايرد إليه المال. وأما الاموال التى تعدل العدد فمثل قولك مال يعدل تسعة فهو المال وجذره ثلاثة وكقولك خمسة أموال تعدل ثمانين فالمال الواحد خمس الثمانين وهو ستة عشر وكقولك نصف مال يعدل ثمانية عشر فالمال يعدل ستة وثلاثين وجذره ستة وكذلك جميع الاموال زائدها وناقصها ترد إلى مال واحد وإن كانت أقل من مال زيد عليها حتى تكمل مالا تاما وكذلك يفعل بما عادلها من الاعداد. وأما الجذور التى تعدل عددا فكقولك جذر يعدل ثلاثة من العدد فالجذر ثلاثة والمال الذى يكون منه تسعة. وكقولك اربعة اجذار تعدل عشرين فالجذر الواحد يعدل خمسة والمال الذى يكون منه خمسة وعشرون وكقولك نصف جذر يعدل عشرة فالجذريعدل عشرين والمال الذى يكون منه اربعمائة. ووجدت هذه الضروب الثلاثة، التى هى الجذور والاموال والعدد، تقترن فيكون منها ثلاثة اجناس مقترنة وهى أموال وجذور تعدل عددا. وأموال وعدد تعدل جذوراً. وجذور وعدد تعدل اموالا. فأما الأموال والجذور التى تعدل العدد فمثل قولك مال وعشرة اجذاره يعدل تسعة وثلاثين درهما ومعناه أىّ مال اذا زدت عليه مثل عشرة اجذاره بلغ ذلك كله تسعة وثلاثين. فبابه أن تنصف الاجذار وهى فى هذه المسئلة خمسة فتضربها فى مثلها فتكون خمسة وعشرين فتزيدها على التسعة والثلاثين فتكون اربعة وستين فتأخذ جذرها وهو ثمانية فتنقص منه نصف الاجذار وهو خمسة فيبقى ثلاثة وهو جذر المال الذى تريد والمال تسعة. وكذلك لو ذكر مالين أو ثلاثة أو أقل أو اكثر فاردده إلى مال واحد واردد ما كان معه من الأجذار والعدد إلى مثل ما رددت إليه المال. وهو نحو قولك مالان وعشرة اجذار تعدل ثمانية واربعين درهما ومعناه أى مالين إذا جمعا وزيد عليهما مثل عشرة اجذار احدهما بلغ ذلك ثمانية واربعين درهما فينبغى أن ترد المالين إلى مال واحد وقد علمت أن مالا من مالين نصفهما فارددكل شىء فى المسئلة إلى نصفه فكانه قال مال وخمسة اجذار يعدل أربعة وعشرين درهما. ومعناه أى مال إذا زدت عليه خمسة اجذاره بلغ ذلك اربعة وعشرين. فنصف الأجذار فتكون اثنين ونصفا فاضربها فى مثلها فتكون ستة وربعا فزدها على الاربعة والعشرين فتكون ثلاثين درهما وربعا فخذ جذرها وهو خمسة ونصف فانقص منها نصف الأجذار وهو اثنان ونصف يبقى ثلثة وهو جذر المال والمال تسعة. وكذلك لو قال نصف مال وخمسة أجذاره يعدل ثمانية وعشرين درهما فعنى ذلك أى مال إذا زدت على نصفه مثل خمسة اجذاره بلغ ذلك ثمانية وعشرين درهما فتريد أن تكمل مالك حتى يبلغ مالا تاماً وهو أن تضعفه فأضعفه وأضعف كلما معك مما يعادله فيكون مالا وعشرة اجذار يعدل ستة وخمسين درهما فنصف الاجذار تكون خمسة فاضربها فى مثلها تكون خمسة وعشرين فزدها على الستة والخمسين تكون احدا وثمانين فخذ جذرها وهو تسعة فانقص منها نصف الاجذار وهو خمسة فيبقى أربعة وهو جذر المال الذى أردت والمال ستة عشر ونصفه ثمانية وكذلك فافعل بجميع ما جاءك من الاموال والجذور وما عادلها من العدد تصب ان شاء الله. وأما الأاموال والعدد التى تعدل الجذور فنحو قولك مال وأحد وعشرون من العدد يعدل عشرة اجذاره ومعناه أى مال إذا زدت عليه واحدا وعشرين درهما كان ما اجتمع مثل عشرة أجذار ذلك المال. فبابه أن تنصف الاجذار فتكون خمسة فاضربها فى مثلها تكون خمسة وعشرين فانقص منها الواحد والعشرين التى ذكر انها مع المال فيبقى اربعة فخذ جذرها وهو اثنان فانقصه من نصف الاجذار وهو خمسة فيبقى ثلاثة وهو جذر المال الذى تريده والمال تسعة. وان شئت فزد الجذر على نصف الاجذار فتكون سبعة وهو جذر المال الذى تريده والمال تسعة واربعون. فاذا وردت عليك مسئلة تخرجك الى هذا الباب فامتحن صوابها بالزيادة فان لم تكن فهى بالنقصان لا محالة وهذا الباب يعمل بالزيادة والنقصان جميعا وليس ذلك فى غيره من الابواب الثلاثة التى يحتاج فيها إلى تنصيف الاجذار. واعلم انك اذا نصفت الاجذار فى هذا الباب وضربتها فى مثلها فكان مبلغ ذلك أقل من الدراهم التى مع المال فالمسئلة مستحيلة وإن كان مثل الدراهم بعينها فجذر المال مثل نصف الاجذار سواء لازيادة ولا نقصان. وكل ما أتاك من مالين أو أكثر أو أقل فاردده الى مال واحد كنحو ما بينت لك فى الباب الاول. وأما الجذور والعدد التى تعدل الأموال فتحو قولك ثلثة اجذار وأربعة من العدد تعدل مالا. فبابه أن تنصف الأجذار فتكون واحدا ونصفا فاضربها فى مثلها فتكون اثنين وربعا فزدها على الاربعة فتكون ستة وربعا فخذ جذرها وهو اثنان ونصف فزده على نصف الأجذار وهو واحد ونصف فتكون اربعة وهو جذر المال، والمال ستة عشر وكل ما كان اكثر من مال أو أقل فأردده إلى مال واحد فهذه الستة الضروب التى ذكرتها فى صدر كتابى هذا وقد اتيت على تفسيرها واخبرت أن منها ثلثة ضروب لا تنصف فيها الأجذار وقد بينت قياسها واضطرارها. فأما ما تحتاج فيه إلى تنصيف الأجذار فى الثلاثة الأبواب الباقية فقد وصفته بابواب صحيحة وصيرت لكل باب منها صورة يستدل منها على العلة فى التنصيف.

فأما علة مال وعشرة اجذار تعدل تسعة وثلاثين درهما فصورة ذلك سطح مربع مجهول الاضلاع وهو المال الذى تريد أن تعرفه وتعرف جذره وهو سطح اب وكل ضلع من اضلاعه فهو جذره وكل ضلع من اضلاعه إذا ضربته فى عدد

من الأعداد فما بلغت الاعداد فهى اعداد جذور. كل جذر مثل جذر ذلك السطح فلما قيل إن مع المال عشرة اجذاره اخذنا ربع العشرة وهو اثنان ونصف وصيرنا كل ربع منها مع ضلع من اضلاع السطح فصار مع السطح الأول الذى هوسطح اب اربعة سطوح متساوية طول كل سطح منها مثل جذر سطح اب وعرضه اثنان ونصف وهى سطوح ح ط كـ حـ فحدث سطح متساوى الاضلاع مجهول أيضا ناقص فى زواياه الأربع فى كل زاوية من النقصان اثنان ونصف فى اثنين ونصف فصار الذى يحتاج إليه من الزيادة حتى يتربع السطح اثنان ونصف فى مثله اربع مرات ومبلغ ذلك جميعه خمسة وعشرون. وقد علمنا أن السطح الأول الذى هو سطح المال والأربعة السطوح التى حوله وهى عشرة اجذار هى تسعة وثلاثون من العدد. فاذا زدنا عليها الخمسة والعشرين التى هى المربعات الاربع التى هى على زوايا سطح اب تم تربيع السطح الاعظم وهو سطح ء هـ وقد علمنا أن ذلك كله اربعة وستون وأحد أضلاعه جذره وهو ثمانية فاذا نقصنا من الثمانية مثل ربع العشرة مرتين من طرفى ضلع السطح الأعظم الذى هو سطح ء هـ وهو خمسة بقى من ضلعه ثلاثة وهو جذر ذلك المال. وإنما نصفنا العشرة الاجذار وضربناها فى مثلها وزدناها على العدد الذى هو تسعة وثلاثون ليتم لنا بناء السطح الأعظم بما نقص من زواياه الأربع لأن كل عدد يضرب ربعه فى مثله ثم فى اربعة يكون مثل ضرب نصفه فى مثله فاستغنينا بضرب نصف الاجذار فى مثلها عن الربع فى مثله ثم فى أربعة وهذه صورته. وله أيضاً صورة أخرى تؤدى الى هذا وهى سطح اب وهو المال فأردنا أن نزيد عليه مثل عشرة اجذاره فنصفنا العشرة فصارت خمسة فصيرناها سطحين على جنبتى سطح اب وهما سطحا حـ ن فصار طول كل سطح منهما خمسة اذرع وهو نصف العشرة الاجذار وعرضه مثل ضلع سطح اب فبقيت لنا مربعة من زوايا سطح اب وهى خمسة فى خمسة وهى نصف العشرة الاجذار التى زدناها على جنبتى السطح الأول فعلمنا أن السطح الأول هو المال وأن السطحين للذين على جنبتيه هما عشرة أجذار فذلك كله تسعة وثلاثون وبقى الى تمام السطح الأعظم مربعة خمسة فى خمسة فذلك خمسة وعشرون فزدناها على تسعة وثلاثين ليتم لنا السطح الأعظم الذى هوسطح دة فبلغ

ذلك كله أربعة وستين فأخذنا جذرها وهو ثمانية وهو أحد أضلاع السطح الأعظم فاذا نقصنا منه مثل ما زدنا عليه وهو خمسة بقى ثلاثة وهو ضلع سطح اب الذى هو المال وهو جذره والمال تسعة وهذه صورته وأما مال واحد وعشرون درهما تعدل عشرة اجزاره فانا تجعل المال سطحاً مربعاً مجهول الاضلاع وهو سطح ا< د، ثم نضم اليه سطحاً متوازى الاضلاع عرضه مثل أحد أضلاع سطح ا<د وهو ضلع ة <ن والسطح ة< ب، فصار طول السطحين جميعاً ضلع حـ <ة، وقد علمنا أن طوله عشرة من العدد لأن كل سطح مربع متساوى الأضلاع والزوايا فان أحد أضلاعه مضروباً فى واحد جذر ذلك السطح، وفى أثنين جذراه، فلا قال مال واحد وعشرون تعدل عشرة اجذاره، علمنا أن طول ضلع ة< حـ عشرة اعداد لأن ضلع ح<د جذر المال فقسمناضلع حـ<ة نصفين على نقطة ع فيتبين لنا ان خط آع مثل خط ع<ر وقد تبين لنا أن خط ح ط مثل خط حـ د فزدنا على خط ح ط على استقامته مثل فضل حـ ح على ح ط ليتر بع السطح فصارخط ط كـ مثل خط كـ مـ وحدث سطح مربع متساوى الاضلاع والزوايا وهو سطح مـ ط وقدكان تبين لنا أن خط ط كـ خمسة واضلاعه مثله فسطحه اذأ خمسة وعشرون وهو ما اجتمع من ضرب نصف الاجذار فى مثلها وهو خمسة فى خمسة يكون خمسة وعشرين. وقدكان تبين لنا أن سطح ة ب هو الواحد والعشرون التى زيدت على المال فقطعنا من سطح ة ب بخط كـ الذى هو احد اضلاع سطح مـ ط بقى سطح ط آ واخذنا من خط كـ مـ خط كل وهو مثل خط ح كـ فتبين لنا أن خط ط ح مثل خط مـ ل وفضل من خط مـ كـ خط ل كـ وهو مثل خط كـ ح فصارسطح مـ ز مثل سطح ط آ فيتبين لنا أن سطح ة ط مزيدا عليه سطح مـ ز مثل سطح ا ب هو واحد وعشرون وقد كان سطح مـ ط خمسة وعشرين فلما نقصنا من سطح مـ ط سطح ة ط وسطح مـ ز اللذين هما واحد وعشرون بقى لناسطح صغير وهو سطح زكـ وهو فضل ما بين خمسة وعشرين وواحد وعشرين وهو أربعة وجذرها خط زح وهو مثل خط ح ا وهو اثنان. فان نقصتهما من خط ح حـ الذى هو نصف الاجذار بقى خط ا حـ وهو ثلاثة وهو جذر المال الأول. فان زدته على خط حـ ح الذى هو نصف الاجذار بلغ ذلك سبعة وهو خط زحـ ويكون جذر مال اكثر من هذا المال اذا زدت عليه واحدا وعشرين صار ذلك مثل عشرة اجذاره وهذه صورته

وذلك ما أردنا أن نبين وأما ثلاثة أجذار وأربعة من العدد تعدل مالا فانا نجعل المال سطحاً مربعاً مجهول الاضلاع متساوى الاضلاع والزوايا وهو سطح ا د فهذا السطح

كله يجمع الثلاثة الاجذار والاربعة التى ذكرناها وكل سطح مربع فان احد اضلاعه فى واحد جذره فقطعنا من سطح 1د سطح ة د فجعلنا أحد أضلاعه الذى هو ة حـ ثلاثة التى هى عدد الأجذار وهى مثل ز د فتبين لنا أن سطح ة ب هو الاربعة المزيدة على الأجذار فقطعنا ضلع ةحـ الذى هو ثلاثة أجذار نصفين على نقطة ح ثم جعلنا منه سطحا مربعاً وهو سطح ة ط وهو ما كان من ضرب نصف الاجذار الذى هو واحد ونصف فى مثله وهو اثنان وربع ثم زدنا فى خط ح ط مثل خط اة وهو خط ط ل فصار خط ح ل مثل خط ا ح وخط كـ ن مثل خط ط ل وحدث سطح مربع متساوى الاضلاع والزوايا وهو سطح ح مـ وقد تبين لنا أن خط اح مثل خط مـ ل وخط اح مثل خط ح ل فبقى خط ح حـ مثل ن ز وخط مـ ن مثل خط ط ل فيفضل من سطح ة ب مثل سطح كـ ل وقد علمنا أن سطح از هو الاربعة الزائدة على الثلاثة الاجذار فصار سطح ان وسطح كـ ل مثل سطح ا ز الذى هو الاربعة العدد فتبين لنا أن سطح ح مـ هو نصف الاجذار الذى هو واحد ونصف فى مثله

وهو اثنان وربع وزيادة الاربعة التى هى سطح ان وسطح كـ ل وقد بقى لنا من ضلع المربعة الأوله التى هى سطح ا د وهو المال كله نصف الاجذار وهو واحد ونصف. هو خط ح حـ فاذا زدناه على خط اح الذى هو جذر سطح ح مـ اثنان ونصف وزدنا عليه خط ح حـ الذى هو نصف الثلاثة الاجذار وهو واحد. ونصف فبلغ ذلك كله أربعة وهوخط ا حـ وهو جذر المال الذى هو سطح اد وهذه صورته وذلك ما أردنا أن نبين. ووجدنا كل ما يعمل به من حساب الجبر والمقابلة لابد أن يخرجك الى احد الابواب الستة التى وصفت فى كتابى هذا وقد أتيت على تفسيرها فاعرف ذلك.

باب الضرب

وأنا مخبرك كيف تضرب الاشياء وهى الجذور بعضها فى بعض اذا كانت منفردة، أو كان معها عدد، أو كان مستثنى منها عدد، أو كانت مستثناة من عدد، وكيف تجمع بعضها الى بعض، وكيف تنقص بعضها من بعض. أعلم انه لابد لكل عدد يضرب فى عدد من أن يضاعف أحد العددين بقدر ما فى. الآخر من الآحاد. فاذا كانت عقود ومعها آحاد أومستثنى منها آحاد فلا بد من ضربها أربع مرات. العقود فى العقود، والعقود فى الآحاد، والآحاد فى العقود، والآحاد فى الآحاد. فاذا كانت الآحاد التى مع العقود زائدة جميعاً فالضرب الرابع زائد، واذا كانت ناقصة جميعا فالضرب الرابع زائد أيضاً، واذا كان أحدهما زائدا والآخرناقصاً فالضرب الرابع ناقص وهو مثل عشرة وواحد فى عشرة واثنين فالعشرة فى العشرة مائة والواحد فى العشرة عشرة زائدة والاثنان فى العشرة عشرون زائدة والواحد فى الاثنين اثنان زائدان فذلك كله مائة واثنان وثلاثون واذا كانت عشرة الاواحداً فى عشرة الاواحداً فالعشرة فى العشرة مائة والواحد الناقص فى العشرة عشرة ناقصة والواحد الناقص أيضاً فى العشرة عشرة ناقصة فذلك ثمانون والواحد الناقص فى الواحد الناقص واحد زائد فذلك أحد وثمانون. واذا كانت عشرة واثنان فى عشرة الا واحداً فالعشرة فى العشرة مائة والواحد الناقص فى العشرة عشرة ناقصة والاثنان الزائدان فى العشرة عشرون زائدة فذلك مائة وعشرة والاثنان الزائدان فى الواحد المنقوص اثنان ناقصان فذلك كله مائة وثمانية. وإنما بينت ذلك لتستدل به على ضرب الاشياء بعضها فى بعض اذا كان معها عدد أو استثنيت من عدد أو استثنى منها عدد. فاذا قيل لك عشرة الاشيئاً ومعنى الشىء الجذر فى عشرة فأضرب عشرة فى عشرة يكون مائة والاشيئاً فى عشرة يكون عشرة أجذار ناقصة فيعدل مائة الاعشرة اشياء. فان قال عشرة وشىء فى عشرة فاضرب عشرة فى عشرة يكون مائة وشيئاً فى عشرة بعشرة اشياء زائدة يكون مائة وعشرة اشياء. وان قال عشرة وشى فى مثلها قلت عشرة فى عشرة مائة وعشرة فى شىء بعشرة اشياء وعشرة فى شىء بعشرة اشياء أيضاً وشىء فى شىء مال زائد فيكون ذلك مائة درهم وعشرين شيئاً ومالا زائداً. وإن قال عشرة الاشيئاً فى عشرة الاشيئاً قلت عشرة فى عشرة بمائة والا شيئاً فى عشرة عشرة أشياء ناقصة والاشيئاً فى عشرة عشرة أشياء ناقصة والا شيئاً فى الاشيئاً مال زائد فيكون ذلك مائة ومالا الاعشرين شيئاً وكذلك لوأنه قال لك درهم الاسدساً فى درهم الاسدساً يكون خمسة اسداس فى مثلها وهى خمسة وعشرين جزءاً من ستة وثلاثين من اجزاء الدرهم وهو ثلثان وسدس السدس وقياسه أن تضرب درهما فى درهم فيكون درهما (والاسدساً فى درهم بسدس ناقص والا سدساً فى درهم بسدس ناقص فيبقى ثلثان والا سدساً فى سدس بسدس السدس زائداً وذلك ثلثان وسدس السدس) ثم درهم فى الا سدساً بسدس ناقص ثم درهم فى الاسدسا بسدس ناقص فيكون ثلثى درهم والا سدسا فى الاسدس بسدس السدس زائد فذلك ثلثان وسدس السدس وان قال عشرة الاشيئاً فى عشرة وشىء قلت عشرة فى عشرة مائة والاشيئاً فى عشرة عشرة أشياء ناقصة وشىء فى عشرة عشرة اشياء زائدة والا شيئاً فى شىء مال ناقص فيكون لك مائة درهم الامالا. وإن قال عشرة الاشيئاً فى شىء قلت عشرة فى شىء عشرة اشياء والاشيئاً فى شىء مال ناقص فيكون عشرة أشياء الامالا وإن قال عشرة وشىء فى شىء الاعشرة قلت شىء فى عشرة عشرة اشياء زائدة وشىء فى شىء مال زائد والاعشرة فى عشرة مائة درهم ناقصة والاعشرة فى شىء بعشرة أشياء ناقصة فتقول مال الا مائة درهم بعد ما قابلت به وذلك أن تطرح عشرة اشياء زائدة بعشرة أشياء ناقصة فيبقى مال الامائة درهم. وان قال عشرة دراهم ونصف شىء فى نصف درهم الاخمسة أشياء قلت نصف درهم فى عشرة بخمسة دراهم زائدة ونصف درهم فى نصف شىء بربع شىء زائد والاخمسة أشياء فى عشرة دراهم خمسون جذراً ناقصة فيكون جميع ذلك خمسة دراهم الا تسعة واربعين جذراً (شيئاً) وثلاثة ارباع جذر ثم تضرب خمسة أجذار ناقصة فى نصف جذر زائد فيكون مالين ونصفا ناقصاً فذلك خمسة دراهم الامالين ونصفا والا تسعة وأربعين جذراً وثلاثة أرباع جذر. فان قال عشرة وشىء فى شىء الاعشرة فكانه قال شىء وعشرة فى شىء الاعشرة فتقول شىء فى شىء مال زائد وعشرة فى شىء عشرة أشياء زائدة والاعشرة فى شىء عشرة أشياء ناقصة فذهبت الزيادة بالنقصان وبقى المال والاعشرة فى عشرة مائة منقوصة من المال فجميع ذلك مال الامائة درهم. وكل ما كان من الضرب زائداً وناقصاً مثل الاشياء فى زيادة شىء فالضرب الأخير ناقص أبداً فاعلم ذلك وبالله التوفيق.

باب الجمع والنقصان

اعلم أن جذر مائتين الاعشرة مجموع الى عشرين الا جذر مائتين فانه عشرة سوياً. وجذر مائتين الا عشرة منقوص من عشرين الاجذر مائتين فهو ثلانون الا جذرى مائتين. وجذرا مائتين هو جذر ثمانى مائة. ومائة ومال الاعشرين جذراً مجموع اليه خمسون وعشرة اجذارالا مالينفهومائة (ومال) وخمسون الامالا والاعشرة اجذار. ومائة ومال الى عشرين جذراً منقوص منه خمسون وعشرة أجذار الامالين فهو خمسون درهما وثلاثة أموال الاثلاثين جذراً. وأنا مبين لك علة ذلك فى صورة تؤدى الى الطلب ان شاء الله تعالى. واعلم أن كل جذر مال معلوم أو أصم تريد أن تضعفه ومعنى اضعافك أياه أن تضربه فى اثنين فينبغى أن تضرب اثنين فى اثنين ثم فى المال فيصير جذر ما اجتمع مثلى جذر ذلك المال وأن أردت ثلاثة امثاله فاضرب ثلاثة فى ثلاثة ثم فى المال فيكون جذر ما اجتمع ثلاثة امثال جذر ذلك المال الأول وكذلك ما زاد من الاضعاف أو نقص فعلى هذا المثال نفسه. وأن أردت أن تأخذ نصف جذر مال فينبغى أن تضرب نصفاً فى نصف فيكون ربعاً ثم فى المال فيكون جذر ما اجتمع مثل نصف جذر ذلك المال. وكذلك ثلثه أو ربعه أو أقل من ذلك أو اكثر بالغاً ما بلغ فى النقصان والاضعاف: ومثال ذلك اذا أردت أن تضعف جذر تسعة ضربت اثنين فى اثنين ثم فى تسعة فيكون ذلك ستة وثلاثين فخذ جذرها يكون سته وهو كجذرتسعة وكذلك لو أردت أن تضعف جذر تسعة ثلاث مرات ضربت ثلاثة فى ثلاثة ثم فى تسعة فيكون أحد وثمانين فخذ جذرها تسعة وذلك جذر تسعة مضاعفاً ثلاث مرات. فان اردت أن تأخذ نصف جذر تسعة فانك تضرب نصفا فى نصف فيكون ربعا ثم تضرب ربعا فى تسعة فيكون اثنين وربعا فتأخذ جذرها وهو واحد ونصف وهو نصف جذر تسعة وكذلك ما زاد أو نقص من المعلوم والاصم. فهذا طريقه. القسم وان اردت ان تقسم جذر تسعة على جذر أربعة فانك تقسم تسعة على اربعة فيكون اثنين وربعا فجذرها هو ما يصيب الواحد وهو واحد ونصف. وان اردت ان تقسم جذر اربعة على جذر تسعة فانك تقسم أربعة على تسعة فيكون اربعة اتساع واحد فجذرها ما يصيب الواحد وهو ثلثا واحد. فان اردت ان تقسم جذرى تسعة على جذر اربعة أو غيرها من الاموال فاضعف جذر التسعة على ما اريتك فى عمل الاضعاف فما بلغ فاقسمه على أربعة أو على ما اردت ان تقسم عليه واعمل به كما عملت. وكذلك ان أردت ثلاثة أجذار تسعة أو اكثر أو نصف جذر تسعة أو أقل أو ماكان فعلى هذا المنوال فاعمله تصب ان شاء الله تعالى. وان اردت ان تضرب جذر تسعة فى جذر اربعة فاضرب تسعة فى اربعة فيكون ستة وثلاثين فخذ جذرها وهو ستة فهو جذر تسعة مضروب فى جذر أربعة. وكذلك لو أردت أن تضرب جذر خمسة فى جذر عشرة فاضرب خمسة فى عشرة فجذر ما بلغ هو الشىء الذى تريده. وان اردت ان تضرب جذر ثلت فى جذر نصف فاضرب ثلثا فى نصف فيكون سدسا فجذر السدس هو جذر الثلث مضروب فى جذر النصف. وان اردت ان تضرب جذرى تسعة فى ثلاثة أجذار اربعة فاستخزج جذرى تسعة كما وصفت لك حتى تعلم جذر اى مال هو وكذلك فافعل بثلاثة اجذار الاربعة حتى تعلم جذر أى مال هو ثم اضرب المالين أحدهما فى الآخر فجذر ما اجتمع لك هو جذر تسعة فى ثلاثة اجذار اربعة وكذلك كلما زاد من الاجذار او نقص فعلى هذا المثال فاعمل به. فأما علة جذر مائتين الاعشرة مجموعا الى عشرين الاجذر مائتين فان صورة ذلك خط ا ب وهو جذر مائتين فمن ا الى نقطة حـ هو العشرة والباق جذر مائتين هو الباقى من خط اب وهو خط حـ ب ثم تخرج من نقطة خطا الى نقطة ة وهو خط العشرين وهو مثلا خط "احـ" الذى هو عشرة فمن نقطة" ب" الى نقطة" ة" مثل خط "اب" فهو جذر مائتين أيضا والباقي من العشرين هو من نقطة" ة" الى نقطة د فلما أردنا أن نحمع ما بقى من جذر المائتين بعد طرح العشرة وهو خط" حـ ب "الى خط" ة د "الذى هو عشرون الاجذر مائتين فقطعنا من خط "ب ة " مثل خط "حـ ب" وهو خط "زة" وقد كان تبين لنا أن خط "اب" الذى هوجذر مائتين مثل خط "ب ة" وأن خط "احـ" الذى هو العشرة مثل خط "ب ز" والباقى من خط اب الذى هو "حـ ب" مثل الباقى من خط "ب ة" الذى هو "زة" زدنا على خط "ة د" خط "زة" فتبين لنا أنه قد نقص من خط "ب د| الذى هو عشرون مثل خط "ا حـ" الذى هو عشرة وهو خط "ب ز" وبقى لنا خط "زد" وهو عشرة وذلك ما أردنا أن نبين وهذه

صورته. وأما علة جذر مائتين الاعشرة منقوصاً من عشرين الاجذر مائتين فان صورة ذلك خط "ا ب"وهو جذر مائتين ومن آ الى نقطة حـ هى العشرة المعلومة ونخرج من ب نقطة خطا الى نقطة د ونجعله العشرين ونجعل من الى نقطة ة مثل خط جذر مائتين وهو مثل خط "ا ب" وقد تبين لنا أن خط "حـ ب" هو ما بقى من جذر مائتين بعد القاء العشرة وخط "د ة" هو ما بقى من العشرين بعد القاء جذر المائتين فأردنا أن ننقص خط "حـ ب" من خط " ة د " فأخرجنا من نقطة ب خطا الى نقطة "ر" وهو مثل خط "احَـ" الذى هو العشرة فصار جميع خط "رد" مثل خط "رب" وخط "ب د" وقد تبين لنا أن ذلك كله ثلاثون وقطعنا من خط "ة د" مثل خط "حـ ب" وهو خط "آح" فتبين لنا أن خط "ح د" هو ما بقى من خط "رد" الذى هو ثلاثون وتبين لنا أن خط "ب ة" جذر مائتين وخط "ر ب" و"ب حـ" جذر المأتين أيضاً فلا صار خط "ة حـ" مثل خط "حـ ب" تبين لنا أن الذى نقص من خط "رد" الذى هو ثلاثون - جذرا مائتين وجذرا مائتين هو جذر ثمانى مائة وذلك

ما أردنا أن نبين وهذه صورته. وأما مائة ومال الا عشرين جذراً محموع اليه خسون وعشرة اجذار الا مالين فلم تستقم له صورة لانه من ثلاثة اجناس مختلفة. اموال وجذور وعدد وليس معها ما يعادلهافتصور وقدتمكننا لهاصورة لا تحسن فاما اضطرارها باللفظ فبين وذلك انك قد علمت ان معك مائة ومالا الاعشرين جذرا فلما زدت عليها خمسين وعشرةأجذار صارت مائة وخمسين ومالا الاعشرة اجذار لأن هذه العشرة الاجذارالمزيدة جبرت من العشربن الجذر الناقصةعشرة أجذارفبقيت مائة وخمسون ومال الاعشرة اجذار وقد كان مع المائة مال فلما نقصت من المائة والمال المالين المستثنين من الحمسين ذهب مال بمال وبقى عليك مال فصارت مائة وخمسين الامالا والاعشرة أجذار وذلك ما أردنا أن نبين.

باب المسائل الست

وقد قدمنا قبل ابواب الحساب ووجوهها ست مسائل جعلتها أمثلة للستة الابواب المتقدمة فى صدركتابى هذا لابد ان منها ثلاثة لا تنصف فيها الاجذار وذكرت ان حساب الجبر والمقابلة لا بد ان يخرجك الى باب منها ثم اتبعت ذلك من المسائل بما يقرب من الفهم وتخف فيه المؤنة وتسهل فيه الدلالة ان شاء الله تعالى. فالاولى م الست نحو قولك عشرة قسمتها قسمين فضربت أحد القسمين فى الآخر ثم ضربت أحدهما فى نفسه فصار المضروب فى نفسه مثل احد القسمين فى الآخر اربع مرات فقياسه ان تجعل أحد القسمين شيئا والاخر عشرة الاشيئا فتضرب شيئا فى عشرة الاشيئا فتكون عشرة اشياء الامالا ثم تضربه فى أربعة لقولك أربع مرات فيكون أربعة امثال المضروب من أحد القسمين والاخر فيكون ذلك اربعين شيئاً الا اربعة اموال ثم تضرب شيئاً فى شىء وهو احد القسمين فى نفسه فيكون مالا يعدل اربعين شيئاً الااربعة اموال فاجبرها بالاربعة الاموال وزدها على المال فيكون اربعين شيئاً تعدل خمسة أموال فالمال الواحد يعدل ثمانية أجذار وهو أربعة وستون جذرها ثمانية وهو أحد القسمين المضروب فى نفسه والباقى من العشرة اثنان وهو القسم الاخر فقد اخرجتك هذه المسألة الى احد الابواب الستة وهى أموال تعدل جذوراً فاعلم ذلك. والمسألة الثانية عشرة قسمتها قسمين فضربت كل قسم فى نفسة ثم ضربت العشرة فى نفسها فكانما اجتمع من ضرب العشرة فى نفسها مثل أحد القسمين مضروبا فى نفسه مرتين وسبعة اتساع مرة أو مثل الآخر مضروباً فى نفسه ست مرات وربع مرة.فقياس ذلك ان تجعل أحد القسمين شيئا والآخر عشرة الاشيئاً فتضرب الشىء فى نفسه فيكون مالاثم فى اثنين وسبعة اتساع فيكون مالين وسبعة اتساع مال ثم تضرب العشرة فى مثلها فتكون مائة تعدل مالين وسبعة اتساع مال فاردده الى مال واحد وهو تسعة اجزاء من خمسة وعشرين جزءا وهو خمس وأربعة اخماس الخمس فخذ خمس المائة واربعة اخماس خمسها وهو ستة وثلاثون تعدل مالا فخذ جذرها ستة وهو أحد القسمين والآخر أربعة لا محالة فقد أخرجتك هذه المسألة الى أحد الابواب الستة وهى أموال تعدل عددا. والمسألة الثالثة عشرة قسمتها قسمين ثم قسمت أحدهما على الآخر خرج القسم أربعة. فقياس ذلك أن تجعل أحد القسمين شيئا والآخرعشرة الاشيئاً ثم تقسيم عشرة الا شيئاًعلى شىء ليكون أربعة وقد علمت انك متى ماضربت ماخرج لك من القسم فى المقسوم عليه عاد المال الذى قسمته والقسم فى هذالمسألة أربعة والمقسوم عليه شىء فاضرب أربعة فى شىء فيكون أربعة أشياء تعدل المال الذى قسمته وهو عشرة الاشيئافاجبر العشرة بالشى وزده على الأربعة الاشياءفيكون خمسة اشياءتعدل عشرة فالشى الواحد اثنان وهو أحد القسمين فقد اخرجتك هذه المسألة الى احد الأبواب الستة وهى جذور تعدل عدداً. والمسألة الرابعة مال ضربت ثلثه ودرهما فى ربعه ودرهم فكان عشرين. قياسه أن تضرب ثلث شىء فى ربع شىء فيكون نصف سدس مال وتضرب درهما فى ثلث شىء فيكون ثلث شىءودرهما فى ربع شىء بربع شىء ودرهما فى درهم بدرهم فذلك كله نصف سدس مال وثلث شىء وربع شىء ودرهم تعدل عشرين درهما فالق من العشرين درهما بدرهم فتبقى تسعة عشر درهما تعدل نصف سدس مال وثلث شىء وربع شىء فكمل مالك واكماله أن تضرب كل ما معك فى اثنى عشر فيصير معك مال وسبعة اجذار تعدل مائتين وثمانية وعشرين درهما فنصف الاجذار واضربها فى مثلها تكن أثنى عشر وربعاً فزدها على الاعداد وهى مائتان وثمانية وعشرين فيكون مائتين واربعين وربعا فخذ جذرها خمسة عشر ونصفاً فانقص منه نصف الأجذار وهو ثلاثة ونصف يبقى اثنى عشر وهو المال فقد أخرجتك هذه المسئلة الى أحد الأبواب الستة وهى أموال وجذور تعدل عدداً. والمسئلة الخامسة عشرة قسمتها قسمين ثم ضربت كل قسم فى نفسه وجمعتهما فكانا ثمانية وخمسين درهما. قياسه أن تجعل أحد القسمين شيئا والآخر عشرة الاشيئا فاضرب عشرة الاشيئا فى مثلها فيكون مائة ومالا الاعشرين شيئا ثم تضرب شيئا فى شىء فيكون مالا ثم تجمعهما فيكون ذلك مائة ومالين الاعشرين شيئا تعدل ثمانية وخمسين درهما فاجبر المائة والمالين بالعشرين الشىء الناقصة وزدها على الثمانية والخمسين فيكون مائة ومالين تعدل ثمانية وخمسين درهماً وعشرين شيئا فاردد ذلك الى مال واحد وهو أن تأخذ نصف ما معك فيكون خمسين درهماً ومالا تعدل تسعة وعشرين درهماً وعشرة أشياء فقابل به وذلك أنك تلقى من الخمسين تسعة وعشرين فيبقى أحد وعشرون ومال تعدل عشرة أشياء فنصف الاجذار يكون خمسة واضربها فى مثلها فتكون خمسة وعشرين فالق منها الواحد والعشرين التى مع المال فيبقى أربعة فخذ جذرها وهو اثنان فانقصه من نصف الاجذار التى هى خمسة يبقى ثلاثة وهى أحد القسمين والآخر سبعة فقد أخرجتك هذه المسئلة الى أحد الأبواب الستة وهى أموال وعدد تعدل جذورأً. والسئلة السادسة. (مال) ضربت ثلثه فى ربعه فعاد (المال) وزيادة اربعة وعشرين درهما. فقياسه أن تجعل مالك شيئا ثم تضرب ثلث شىء فى ربع شىء فيكون نصف سدس مال تعدل شيئا وأربعة وعشرين درهما ثم تضرب نصف سدس المال فى اثنى عشر حتى تكمل مالك واضرب الشىء فى اثتى عشر يكن اثنى عشر شيئا واضرب الاربعة والعشرين فى اثنى عشر فيصير معك مائتان وثمانية وثمانون درهما واثنى عشر جذراً تعدل مالا فنصف الاجذار تكون ستة واضربها فى مثلها وزدها على مائتين وثمانية وثمانين فيكون ثلثمائة واربعة وعشرين فخذ جذرها وهو ثمانية عشر فزده على نصف الاجذار وهى ستة فيكون ذلك أربعة وعشرين وهو (المال) فقد أخرجتك هذه المسئلة الى أحد الأبواب الستة وهى جذور وعدد تعدل أموالا.

باب المسائل المختلفة.

فان سال سائل فقال عشرة قسمتها قسمين ثم ضربت أحدهما فى الآخر فكان واحداً وعشرين درهما. فقد علمت أن أحد القسمين من العشرة شىء والآخر عشرة الاشيئا فاضرب شيئا فى عشرة الاشيئا فيكون عشرة أشياءالا مالاتعدل أحدأوعشرين فاجبر العشرةالاشياء بالمال وزده على الواحد والعشرين فيكون عشرة اشياء تعدل أحداً وعشرين درهما ومالا فالق نصف الأجذار فيبقى خمسة فاضربها فى مثلها تكن خمسة وعشرين فالق منها الواحد والعشرين التى مع المال فيبقى أربعة فخذ جذرها وهو اثنان فانقصه من نصف الأجذار وهى خمسة يبقى ثلاثة وذلك أحد القسمين. وان شئت زدت جذر الأربعة على نصف الأجذار فتكون سبعة وهو أحد القسمين وهذه المسآلة التى تعمل بالزيادة والنقصان. وان قال عشرة قسمتها قسمين فضربت كل قسم فى نفسه ثم القيت الأقل من الاكثر فبقى أربعون قياسه أن تضرب عشرة الاشيئا فى مثلها فتكون مائة ومالا الاعشرين شيئا وتضرب شيئا فى شىء فيكون مالا فانقصه من المائة والمال الاعشرين شيئا تبقى مائة الاعشرين شيئا تعدل أربعين درهما فاجبر المائة بالعشرين الشىء وزدها على الأربعين فيكون مائة تعدل عشرين شيئا وأربعين درهما فالق الأربعين من المائة يبقى ستون درهما تعدل عشرين شيئافالشىء الواحد يعدل ثلاثة وهو أحد القسمين. وان قال عشرة قسمتها قسمين فضربت كل قسم فى نفسه وجمعتهما وزدت عليهما فضل ما بين القسمين من قبل ان تضربهما فبلغ ذلك أربعة وخمسين درهما. فان قياسه أن تضرب عشرة الاشيئا فى مثلها فتكون مائة ومالا الاعشرين شيئا وتضرب الشى الباقى من العشرة فى مثله فيكون مالا ثم تجمع ذلك فيكون مائة ومالين الاعشرين شيئا وقال زدت عليهما فضل ما يينهما قبل أن تضربهما فقلت فضل ما بينهما عشرة الاشيئين فجميع ذلك مائة وعشرة ومالان الاأثنتين وعشرين شيئا يعدل أربعة وخمسين درهما فاذاجبرت وقابلت قلت مائة وعشرة دراهم ومالان تعدل أربعة وخمسين درهما وأثنين وعشرين شيئا فاردد المالين الى مال واحد وهو أن تأخذ نصف ما معك فيكون خمسة وخمسين درهما ومالا تعدل سبعة وعشرين درهماً وأحد عشر شيئا فالق سبعة وعشرين من خمسة وخمسين يبقى تمانية وعشر وندرهما ومالا تعدل أحد عشر شيئا فنصف الاشياء فيكون خمسة ونصف فاضربها فى مثلها فيكون ثلاثين وربعاً فانقص منها الثمانية والعشرين التى مع المال فبقى اثنان وربع فخذ جذرها وهو واحدونصف فانقصه من نصف الاجذار يبقى اربعة وهو أحد القسمين. فان قال. عشرة قسمتها قسمين فقسمت هذا على هذا وهذا على هذا فبلغ ذلك درهمين وسدساً. فقياس ذلك أنك اذا ضربت كل قسم فى نفسه ثم جمعتهما كان مثل أحد ألقسمين اذا ضربت احداهما فى الآخر ثم ضربت الذى اجتمع معك من الضرب فى الذى بلغ القسم وهو اثنان وسدس فاضرب عشرة الاشيئا فى مثلها يكن مائة ومالا الاعشرين شيئا واضرب شيئا فى شىء فيكون مالا فاجمع ذلك فيصير مائة ومالين الاعشرين شيئا يعدل شيئا مضروباً فى عشرة الاشيئا وذلك عشرة اشياء الامالا مضروبا فى ما خرج من القسمين وهو اثنان وسدس فيكون ذلك أحداً وعشرين شيئا وثلثى شىء الامالين وسدساً تعدل مائة ومالين الاعشرين شيئا فاجبر ذلك وزد مالين وسدساً على مائة ومالين الاعشرين شيئا وزد العشرين الشىء الناقصة من المائة والمالين على الواحد والعشرين الشىء وثلثى الشىء فيكون معك مائة واربعة اموال وسدس مال تعدل احدا وأربعين شيئا وثلثى شىء فاردد ذلك الى مال وقد علمت ان المال الواحد من أربعة أموال وسدس هو خمسها وخمس خمسها خذ من جميع ما معك الخمس وخمس الخمس فيكون معك أربعة وعشرون ومال تعدل عشرة أجذار لأن العشرة من أحد واربعين شيئا وثلثى شىء خمسها وخمس خمسها فنصف الاجذار وهو خمسة واضربها فى مثلها فيكون خمسة وعشرين فانقص منها الاربعة والعشرين التى مع المال يبقى واحد فخذ جذره وهو واحد فانقصه من نصف الاجذار وهى خمسة يبقى أربعة وهو أحد القسمين. واعلم بان كل شيئين تقسم هذا على هذا وهذا على هذا فانك اذا ضربت الذى يخرج من هذا فى الذى يخرج من هذا كان واحدا أبدافان قال عشرة قسمتها قسمين وضربت أحد القسمين فى خمسة وقسمته على الاخر تم القيت نصف ما اجتمع معك وزدته على المضروب فى خمسة فكان خمسين درهما فان قياس ذلك أن تأخذ شيئا من العشرة فتضربه فى خمسة فيكون خمسة اشياء مقسومة على الباقى من العشرة وهو عشرة الاشيئا مأخوذ نصفها ومعلوم انك اذا قسمت الخمسة الاشياء على عشرة الاشيئا وأخذت نصف ما خرج كان ذلك كقسمك نصف الخمسة الاشياء على العشرة إلا شيئا فاذا أخذت نصف الخمسة الاشياء صار شيئين ونصفا وهو الذى تريد أن تقسمه على عشرة الاشيئا يخرج يعدل خمسين الاخمسة اشياء لانه قال تضم اليه أحد القسمين مضروبا فى خمسة فيكون ذلك كله خمسين وقد علمت انك متى ضربت ما خرج لك من القسم فى المقسوم عليه عاد المال ومالك شيئان ونصف فاضرب عشرة الاشيئا فى خمسين الاخمسة اشياء فيكون ذلك خمسمائة درهم وخمسة أموال الامائة شىء تعدل شيئين ونصفا فاردد ذلك الى مال واحد فيكون ذلك مائة درهم ومالا الا عشرين شيئا تعدل نصف شىء فاجبرذلك المائة وزد العشرين الشىء على نصف الشىء فيصير معك مائة درهم ومال تعدل عشرين شيئا ونصف شىء فنصف الاشياء واضربها فى مثلها وانقص منها المائة وخذ جذر ما بقى وانقصه من نصف الاجذار وهو عشرة وربع فيبقى ثمانية وهو أحد القسمين. فان قال عشرة قسمتها قسمين فضربت أحد القسمين فى نفسه فكان مثل الاخر احدى وثمانين مرة . فقياس ذلك ان تقول عشرة الاشيئا فى مثلها بمائة ومال الاعشرين شيئا تعدل احدا وثمانين شيئا فاجبر المائة والمال بالعشرين الشىء وزدها على الواحد والثمانين (الشىء) فيكون مائة ومالا تعدل مائة جذر وجذرا فنصف الاجذار فتكون خمسين ونصفا واضربها فى مثلها فيكون الفين وخمسمائة وخمسين وربعا فانقص منها المائة فيبقى الفان واربعمائة وخمسون وربع فخذ جذرها وهو تسعة واربعون ونصف فانقصها من نصف الاجذار وهو خمسون ونصف فيبقى واحد وهو أحد القسمين. فان قال عشرة اقفزة حنطة أو شعيرا بعت كل واحد منهما بسعر ثم جمعت ثمنهما فكان ما اجتمع مثل فضل ما بين السعرين ومثل مابين الكيلين خذ ما شئت فانه يجوز فكأنك أخذت أربعة وستة فقلت بعت كل واحد من الاربعة بشىء فضربت أربعة فى شىء فصار أربعة أشياء وبعت الستة كل واحد بمثل نصف الشى الذى بعت به الاربعة وان شئت بثلثه وان شئت بربعه أو ما شئت فانه يجوز. فاذا كان بيعك الآخر بنصف شىء فاضرب نصف شىء فى ستة فيكون ثلاثة أشياء فأجمعها مع الاربعة الاشياء فتكون سبعة أشياء تعدل ما بين الكيلين وهو قفيزان وفضل ما بين السعرين وهو نصف شىء فيكون سبعة أشياء تعدل اثنين ونصف شىء فالق نصف شىء من سبعة أشياء فتبقى ستة أشياء ونصف (شىء) تعدل درهمين فالشىء الواحد أربعة أجزاء من ثلاثة عشر فتقول باع الاربعة كل واحد بأربعة أجزاء من ثلاثة عشر من درهم وباع الستة كل واحد بجزأين من ثلاثة عشر من درهم فبلغ ذلك ثمانية وعشرين جزءا من ثلاثة عشر من درهم وذلك مثل فضل ما بين الكيلين وهو قفزان فصرفهما ستة وعشرون جزءا وفضل ما بين السعرين وهو جزءان فذلك ثمانية وعشرون جزءا. فان قال مالان بينهما درهمان قسمت القليل على الكثير فأصاب القسم نصف درهم فاجعل أحد المالين شيئا والاخر شيئا ودرهمين فلما قسمت شيئا على شىء ودرهمين خرج القسم نصف درهم وقد علمت انك متى ضربت ما خرج لك من القسم فى المقسوم عليه عاد مالك الذى قسمته وهو شىء فقل شىء ودرهمان فى النصف الذى هو القسم فيكون نصف شىء ودرهما تعدل شيئا فألقيت نصف شىء بنصف شىء وبقى درهم يعدل نصف شىء فاضعفه يكون الشىء يعدل درهمين والاخراربعة. فان قال عشرة قسمتها قسمين وضربت احدهما فى عشرة والقسم الآخر فى نفسه فاستويا. فان قياسه ان تضرب شيئا فى عشرة فيكون عشرة أشياء ثم تضرب عشرة الاشيئا فى مثلها فتكون مائة ومالا الاعشرين شيئا تعدل العشرة الاجذار فقابل بها على ما قد وصفت لك. وكذلك لو قال عشرة قسمتها قسمين ثم ضربت احدهما فى الاخر ثم قسمت ما اجتمع من الضرب على فضل ما بين القسمين قبل أن تضرب أحدهما فى الاخر فخرج خمسة وربعاً فقياسه أن تأخذ شيئاً من العشرة فيبقى عشرة الاشيئاً فاضرب احدهما فى الاخر فيكون عشرة اجذار الامالا فهو ما خرج من ضرب أحد القسمين فى الاخر ثم قسمت ذلك على فضل ما بين القسمين وهو عشرة الا شيئين خرج من القسم خمسة وربع ومتى ضربت خمسة وربعاً فى عشرة الاشيئين خرج لك المال المضروب وهو عشرة اشياء الامالا فاضرب خمسة وربعاً فى عشرة الاشيئين يكون ذلك اثنين وخمسين درهما ونصفاً الاعشرة اجذار ونصفا تعدل عشرة اجذار الامالا فاجبر الاثنين والخمسين والنصف بالعشرة الاجذار والنصف وزدها على العشرة الاجذار الامالا ثم اجبرها بالمال وزد المال على اثنين وخمسين درهما ونصف فيكون معك عشرون جذراً ونصف جذر تعدل اثنين وخمسين درهما ونصفاً ومالا فقابل بها على ما فسرنافى اول الكتاب فان قال مال ثلثا خمسه مثل سبع جذره فان المال كله يعدل جذرأً ونصف سبع جذر فالجذر اربعة عشر جزءاً من خمسة عشر من المال. وقياسه أن تضرب ثلثى خمس مال فى سبعة ونصف ليتم المال وأضرب ما معك وهو سبع جذر فى مثل ذلك فيصير المال يعدل جذراً ونصف سبع جذر ويصير جذره واحدا ونصف سبع فالمال واحد وتسعة وعشرون جزءاً من مائة وستة وتسعين من درهم وثلثا خمسه يكون ثلاثين جزءاً من مائة وستة وتسعين وسبع جذره أيضاً ثلاثون جزءاً من مائة وستة وتسعين فان قال مال ثلاثة أرباع خمسه مثل أربعة أخماس جذره قياسه أن تزيد على ثلاثة ارباع خمسه مثل ربعها ليكون الجذر تاماً وذلك ثلاثة وثلاثة أرباع من عشرين فاجعلها ارباعاً كلها فتكون خمسة عشر من ثمانين فاقسم الثمانين على الخمسة عشر فيكون خمسة وثلثاً فذلك جذر المال والمال ثمانية وعشرون واربعة اتساع. فان قال مال تضربه فى أربعة أمثاله فيكون عشر ين. فقياسه أنك اذاضربته فى مثله كان خمسة وهو جذرخمسة. فان قال مال تضربه فى ثلثه فيكون عشرة. فقياسه أنك اذا ضربته فى مثله كان ثلاثين فتقول المال جذرثلاثين. فان قال مال تضربه فى أربعة أمثاله فيعود ثلث المال الاول. فقياسه أنك اذا ضربته فى اثنى عشر مثله عاد المال وهو نصف سدس فى ثلث. فان قال مال تضربه فى جذره فيعود ثلاثة أمثال المال الاول. فقياسه أنك اذا ضربت الجذر فى ثلت المال عاد المال فتقول هذا مال ثلثه جذره وهو تسعة. فان قال مال تضرب أربعة اجذاره فى ثلاثة اجذاره فيعود المال وزيادة أربعة وأربعين درهما. فقياسه أن تضرب أربعة أجذار فى ثلاثة اجذار فيكون اثنى عشر مالا تعدل مالا وأربعة واربعين درهما فالق من الاثنى عشر المال مالا بمال فيبقى أحد عشر مالا تعدل اربعة وأربعين درهما فاقسمها عليها تكن أربعة وهو المال. فان قال مال تضرب أربعة أجذاره فى خمسة اجذاره فيعود مثلى المال وزيادة ستة وثلاثين درهما فقياسه أنك تضرب اربعة اجذار فى خمسة أجذار فيكون عشرين مالا تعدل مالين وستة وثلاثين درهماً فتلقى من العشرين المال مالين بمالين فتبقى ثمانية عشر مالا تعدل ستة وثلاثين درهما فتقسم ستة وثلاثين درهما على ثمانية عشر فيكون القسم أثنين وهو المال. وكذلك لو قال مال تضرب جذره فى اربعة اجذاره فيعود ثلاثة امثال المال وزيادة خمسين درهما قياسة أن تضرب جذراً فى أربعة أجذار فيكون أربعة أموال تعدل ثلاثة أموال وخمسين درهماً فالق ثلاثة أموال من الاربعة الاموال يبقى مال واحد يعدل خمسين درهما وهو جذر خمسين مضروب فى اربعة أجذار خمسين أيضاً فذلك مائتان يكون ثلاثة امثال المال وزيادة خمسين، درهما. فان قال مال تزيد عليه عشرين درهما فيكون مثل اثنى عشر جذره فقياسه أن تقول مال وعشرون درهما تعدل اثنى عشر جذراً فنصف الاجذار واضربها فى مثلها تكن ستة وثلاثين فانقص منها العشرين الدرهم وخذجذر ما بقى فانقصه من نصف الاجذار وهو ستة فما بقى فهو جذر المال وهو درهمان والمال أربعة. فان قال مال تعزل ثلثه وثلاثة دراهم وتضرب ما بقى فى مثله فيعود المال قياسه أنك اذا القيت ثلثه وثلاثة دراهم بقى ثلثاه الا ثلاثة دراهم وهو جذر فاضرب ثلثى شىء الا ثلاثة دراهم فى مثله فتقول ثلثان فى ثلثين أربعة أتساع مال والا ثلاثة دراهم فى ثلثى شىء جذران. والا ثلاثة دراهم فى ثلثى شىء جذران والا ثلاثة دراهم فى الا ثلاثة دراهم تسعة دراهم فيصير معك أربعة اتساع مال وتسعة دراهم الاأربعة أجذار تعدل جذرا. فرد الأربعة الاجذار على الجذر فيكون خمسة أجذار تعدل أربعة اتساع (مال) وتسعة دراهم فاكمل مالك وهو أن تضرب الأربعة الاتساع فى اثنين وربع فيكون مالا واضرب تسعة دراهم فى اثنين وربع يكن عشرين وربعاً ثم اضرب الخمسة الاجذار فى اثنين وربع فيكون أحد عشر شيئا وربعاً فيصير معك مال وعشرون درهما وربع تعدل أحد عشر جذرأ وربعاً فقابل بذلك كنحو ما وصفت لك فى تنصيف الأجذار ان شاء الله. فان قال مال تضرب ثلثه فى ربعه فيعود المال. قياسه أن تضرب ثلث شىء فى ربع شى فيكون نصف سدس مال تعدل شيئا فالمال يعدل اثنى عشر شيئاً وهو جذر مائة وأربعة وأربعين. فان قال مال تضرب ثلثه ودرهما فى ربعه ودرهمين فيعود المال وزيادة ثلاثة عشر درهما. فقياسه أن تضرب ثلث شىء فى ربع شىء فيكون نصف سدس مال وتضرب درهمين فى ثلث شىء فيكون ثلثى جذر ودرهما فى ربع شىء فيكون ربع جذرودرهمين فى درهم بدرهمين فذلك نصف سدس مال ودرهمان وأحد عشر جزءأً من اثنى عشر جزءاً من جذر تعدل جذراً وثلاثة عشر درهما فالق درهمين من ثلاثة عشر بدرهمين فيبقى أحد عشر درهما والق أحد عشر جزءاً من جذر فيبقى نصف سدس جذر وأحد عشر درهما تعدل نصف سدس مال فاكمله وذلك أن تضربه فى اثنى عشر وتضرب كل ما معك فى اثنى عشر فيكون مالا يعدل مائة واثنين وثلاثين درهما وجذرأً فقابل به تصب أن شاء الله تعالى كما وصفت لك. فان قال درهم ونصف مقسوم على رجل وبعض رجل فأصاب الرجل مثلى البعض. فقياسه أن تقول الرجل والبعض هو واحد وشىء فكأنه قال درهم ونصف بين واحد وشىء فاصاب الواحد شيئين فاضرب الشيئين فى الواحد والشىء فيكون مالين وشيئين تعدل درهماً ونصفاً فردهما الى مال واحد وهو أن تأخذ من كل ما معك نصفه فتقول مال وشىء تعدل ثلاثة أرباع درهم فقابل به على نحو ما وصفت لك فى صدر الكتاب. فان قال مال عزلت ثلثه وربعه وأربعة دراهم وضربت ما بقى فى مثله فعاد المال وزيادة أثنى عشر درهماً. فقياسه أنك تأخذ شيئا فتعزل ثلثه وربعه فيبقى خمسة اجزاء من اثنى عشر جزءاً من شىء فتعزل منها أربعة دراهم أيضا فيبقى خمسة أجزاء من أثنى عشرمن شى الاأربعة دراهم فتضربها فى مثلها فتكون الاجزاء الخمسة خمسة وعشرين جزءا وتضرب الاثنى عشرفى مثلها فتكون مائة واربعة واربعين فذلك خمسة وعشرون من مائة واربعة واربعين من مال ثم تضرب الاربعة الدراهم فى الخمسة الاجزاء من اثنى عشر من شىء مرتين فيكون أربعين جزءا كل اثنى عشر منها شىء والأربعة الدراهم فى الاربعة الدراهم ستة عشر درهما زائدة فتصير الاربعون الجزء ثلاثة اجذار وثلث جذر ناقص فتحصل معك خمسة وعشرون جزءاً من مائة واربعة واربعين جزءاً من مال وستة عشر درهما الا ثلاثة اجذار وثلث جذر تعدل المال الأول وهو شىء وأثنى عشر درهما فاجبره وزد الثلاثة الاجذار والثلث على الشىء والأثنى عشر درهما فتصير أربعة أجذار وثلث جذر وأثنى عشر درهما فقابل به والق اثنى عشر من ستة عشر يبقى أربعة دراهم وخمسة وعشرون جزءا من مائة (واربعة) واربعين من مال تعدل اربعة اجذار وثلثا فتحتاج أن تكمل مالك واكالك أياه أن تضرب جميع مامعك فى خمسة وتسعة عشر جزءا من اجزاء خمسة وعشرين. فتضرب خمسة وعشرين فى خمسة وتسعة عشر جزءا من خمسة وعشرين فيكون مالا وتضرب الأربعة الدراهم فى خمسة وتسعة عشر جزءا من خمسة وعشرين فيكون ثلاثة وعشرين درهما و جزءا من خمسة وعشرين وتضرب اربعة اجذار وثلثا فى خمسة وتسعة عشرجزءا من خمسة وعشرين فيكون اربعة وعشرين جذرا وأربعة وعشرين جزءا من خمسة وعشرين من جذر. فنصف الاجذار فيكون اثنى عشر جذرا واثنى عشر جزءا من خمسة وعشرين من جذر واضربها فى مثلها فيكون مائة وخمسة وخمسين (درهما) واربعمائة وتسعة وستين جزءا من ستمائة وخمسة وعشرين فالق منها (الدراهم) الثلاثة والعشرين والجزء من الخمسة والعشرين الذى كان مع المال فيبقى مائة واثنان وثلاثون واربعمائة واربعون جزءا من ستمائة وخمسة وعشرين فتأخذ جذرذلك وهو أحد عشر (درهما) وثلاثة عشر جزءا من خمسة وعشرين فتزيده على نصف الاجذار التى هى اثنى عشر (درهما) واثنى عشر جزءامن خمسة وعشرين فيكون ذلك أربعة وعشرين وهو المال المطلوب الذى تعزل ثلثه وربعه وأربعة دراهم ثم تضرب ما بقى فى مثله فيعود المال وزيادة اثنى عشر درهما. فان قال مال ضربته فى ثلثيه فبلغ خمسة. فقياسه أن تضرب شيئاً فى ثلثى شىء فيكون ثلثى مال تعدل خمسة فأكمله بمثل نصفه وزد على الخمسة مثل نصفها فيصير معك مال يعدل سبعة ونصفاً فذ جذرها وهو الشىء الذى تريد أن تضربه فى ثلثيه فيكون خمسة. فانه قال مالان بينهما درهمان قسمت القليل على الكثير فأصاب القسم نصف درهم. قياسه أن تضرب شيئاً ودرهمين فى القسم وهو نصف فيكون نصف شىء ودرهما تعدل شيئاً فالق نصف شىء بنصف شىء يبقى درهم يعدل نصف شىء فأضعفه فيكون معك شىء يعدل درهمين وهو أحد المالين والمال الآخر أربعة. فان قال قسمت درهما على رجال فأصابهم شىء ثم زدت فيهم رجلا ثم قسمت عليهم درهما فأصابهم أقل من القسم الاول بسدس درهم(). فقياسه أن تضرب عدد الرجال الأولين وهم شىء فى النقصان الذى بيهم ثم تضرب ما اجتمع فى عدد الرجال الاولين والآخرين ثم تقسم ما اجتمع على ما بين الرجال الأولين والآخرين فانه يخرج مالك الذى قسمته فأضرب عدد الرجال الاولين وهم شىء فى السدس الذى بينهم فيكون سدس جذر ثم اضرب ذلك فى عدد الرجال الأولين والآخرين وهو شىء وواحد يكون سدس مال وسدس جذر مقسوم على درهم تعدل درهما فكمل المال الذى معك وهو أن تضربه فى ستة فيكون معك مال وجذر فاضرب الدرهم فى ستة فيكون ستة دراهم فيكون مالا وجذراً تعدل ستة دراهم فنصف الجذر واضربه فى مثله فيكون ربعاً فزده على الستة وخذ جذر ما اجتمع فانقص منه نصف الجذر الذى كنت ضربته فى مثله وهو نصف وما بقى فهوعدد الرجال الأولين وهما فى هذه المسئلة رجلان. فان قال مال ضربته فى ثلثيه فكان خمسة. فقياسه انك اذا ضربته فى مثله كان سبعة ونصفاً. فتقول هو جذر سبعة ونصف فى ثلثى جذر سبعة ونصف فاضرب ثلثين فى ثلثين فيكون اربعة أتساع وأربعة اتساع فى سبعة ونصف يكون ثلاثة وثلثاً فجذر ثلاثة وثلث هو ثلثا جذر سبعة ونصف فأضرب ثلاثة وثلثاً فى سبعة ونصف فيكون خمسة وعشرين جذرها خمسة. فان قال مال تضربه فى ثلاثة اجذاره فيكون خمسة أمثال المال الأول فكاأنه قال مال ضربته فى جذره فكان مثل المال الأول وثلثيه فجذر المال درهم وثلثان والمال درهمان وسبعة اتساع. فان قال مال تلقى ثلثه ثم تضرب الباقى فى ثلاثة اجذار المال فيعود المال الأول. فقياسه أنك اذا ضربت المال الأول كله من قبل أن تلقى (ثلثه) فى ثلاثة اجذاره كان مالا ونصفاً لأن ثلثيه فى ثلاثة اجذاره مال فهو كله فى ثلاثة اجذاره مال ونصف وهو كله فى جذر واحد نصف مال فجذر المال نصف والمال ربع فثلثا المال سدس وثلاثة اجذار المال درهم ونصف فمتى ما ضربت سدساً فى درهم ونصف خرج ربعاً وهو المال. فان قال مال تعزل أربعة اجذاره ثم تأخذ ثلث ما بقى فيكون مثل الاربعة الاجذار فالمال مائتان وستة وخمسون. فقياسه أنك تعلم أن ثلث ما بقى مثل الاربعة الاجذار وان (ما) بقى مثل اثنى عشر جذره فزد عليها الاربعة الاجذار فتكون ستة عشر جذرأً وهو جذرالمال. فان قال مال عزلت جذره وزدت على جذره جذر ما بقى فكان درهمين فهذا جذر مال وجذر مال الاجذراً تعدل درهمين فالق منه جذر مال والق من الدرهمين جذر مال فيكون درهمين الاجذراً فى مثله أربعة دراهم ومالا الااربعة اجذار تعدل مالا الاجذراً. فقابل به فيكون مالا واربعة دراهم تعدل مالا وثلاثة اجذار فتلقى مالا بمال فيبقى ثلاثة اجذار تعدل أربعة دراهم فالجذر يعدل درهماً وثلثاً وهو جذر المال والمال درهم وسبعة اتساع درهم. فان قال مال تعزل ثلاثة اجذاره ثم تضرب ما بقى فى مثله فيعود المال فقد علمت أن الذى بقى هو جذر أيضاً وأن المال أربعة اجذار وهو ستة عشر.

باب المعاملات

أعلم أن معاملات الناس كلها فمن البيع والشرى والصرف والاجارة وغير ذلك على وجهين باربعة اعداد يلفظ بها السائل وهى المسعر والسعر والثمن والمثمن فالعدد الذى هو المسعر مباين للعدد الذى هو الثمن. والعدد الذى هو السعر مباين للعدد الذى هو المثمن وهذه الأربعة الأعداد ثلاثة منها ابدا ظاهرة معلومة وواحد منها مجهول وهو الذى فى قول القائل كم وعنه يسأل السائل. والقياس فى ذلك أن تنظر الى الثلاثة الأعداد الظاهرة فلا بد أن يكون منها اثنان كل واحد منهما مباين لصاحبه فتضرب العددين الظاهرين المتباينين كل واحد منهما فى صاحبه فما بلغ فاقسمه على العدد الآخر الظاهر الذى متباينه مجهول فما خرج لك فهو العدد المجهول الذى يسأل عنه السائل وهو مباين للعدد الذى قسمت عليه ومثال ذلك فى وجه منه اذا قيل لك عشرة بستة كم لك بأربعة فقوله عشرة هو العدد المسعر وقوله بستة هو السعر وقوله كم لك هو العدد المجهول المثمن وقوله بأربعة هو العدد الذى هو الثمن فالعدد المسعر الذى هو العشرة مباين للعدد الذى هو الثمن وهو الأربعة فاضرب العشرة فى الأربعة وهما المتباينان الظاهران فيكون أربعين فاقسمها على العدد الآخر الظاهر الذى هو السعر وهو ستة فيكون ستة وثلثين وهو العدد المجهول الذى هو فى قول القائل كم وهو المثمن ومباينه الستة الذى هو السعر. والوجه الثانى قول القائل عشرة بثمانية كم ثمن أربعة وربما قال أربعة منها كم ثمنها فالعشرة هى العدد المسعر وهو مباين للعدد الذى هو الثمن المجهول الذى فى قوله كم. والثمانية هى العدد الذى هو السعر وهو مباين للعدد الظاهر الذى هو المثمن وهو أربعة فاضرب العددين الظاهرين المتباينين أحدهما فى الآخر وهو أربعة فى ثمانية فيكون اثنين وثلاثين واقسمه على العدد الآخر الظاهر الذى هو المسعر وهو عشرة فيكون ثلاثة وخمساً وهو العدد الذى هو المثمن وهو مباين للعشرة التى عليها قسمت وهكذا جميع معاملات الناس وقياسها ان شاء الله تعالى. فان سال مائل فقال أجير أجرته فى الشهر عشرة دراهم عمل ستة أيام كم نصيبه فقد علمت أن الستة الأيام هى خمس الشهر وأن الذى يصيبه من الدراهم بقدر ما عمل من الشهر. وقياس ذلك أن قوله شهر وهو ثلاثون يوماً وهو المسعر وقوله عشرة دراهم هو السعر وقوله ستة أيام هو المثمن وقوله كم يصيبه هو الثّمن فاضرب السعر الذى هو عشرة فى المثمن الذى هو مباينه وهو ستة فيكون ستين فاقسمه على الثلاثين التى هى العدد الظاهر وهو المسعر فيكون ذلك درهمين وهو الثمن وهذا ما يتعامل الناس به بينهم من الصرف والكيل والوزن.